Istražite svojstva funkcije i izgradite njen graf. Online crtanje. Definisanje dodatnih tačaka

Referentne tačke pri proučavanju funkcija i konstruisanju njihovih grafova su karakteristične tačke - tačke diskontinuiteta, ekstrema, prevoji, preseci sa koordinatnim osama. Korišćenjem diferencijalni račun može se instalirati karakteristike promjene funkcija: povećanje i smanjenje, maksimumi i minimumi, smjer konveksnosti i konkavnosti grafa, prisutnost asimptota.

Skica grafa funkcije se može (i treba) nacrtati nakon pronalaženja asimptota i ekstremnih tačaka, a zgodno je popuniti zbirnu tabelu proučavanja funkcije kako studija napreduje.

Obično se koristi sljedeća shema proučavanja funkcija.

1.Pronađite domen definicije, intervale kontinuiteta i tačke prekida funkcije.

2.Ispitajte funkciju parne ili neparne (aksijalne ili centralna simetrija grafike.

3.Pronađite asimptote (vertikalne, horizontalne ili kose).

4.Naći i proučavati intervale povećanja i smanjenja funkcije, njene ekstremne tačke.

5.Naći intervale konveksnosti i konkavnosti krive, njene prevojne tačke.

6.Pronađite točke presjeka krive sa koordinatnim osa, ako postoje.

7.Sastavite zbirnu tabelu studije.

8.Grafikon se konstruiše, uzimajući u obzir proučavanje funkcije koje se izvodi prema gore opisanim tačkama.

Primjer. Funkcija istraživanja

i izgradi njegov graf.

7. Sastavimo zbirnu tabelu za proučavanje funkcije u koju ćemo unijeti sve karakteristične tačke i intervale između njih. Uzimajući u obzir paritet funkcije, dobijamo sledeću tabelu:

				Chart Features
[-1, 0[			Povećanje	Konveksna
				(0; 1) – maksimalni bod
]0, 1[			Silazno	Konveksna
				Tačka savijanja formira se sa osom Ox tupi ugao

Prvo pokušajte pronaći domenu funkcije:

Jeste li uspjeli? Uporedimo odgovore:

Je li sve u redu? Dobro urađeno!

Pokušajmo sada pronaći raspon vrijednosti funkcije:

Pronađen? uporedimo:

Jasno? Dobro urađeno!

Ponovo radimo s grafovima, samo što je sada malo kompliciranije - pronađite i domenu definicije funkcije i raspon vrijednosti funkcije.

Kako pronaći i domenu i raspon funkcije (napredno)

Evo šta se dogodilo:

Mislim da ste shvatili grafikone. Pokušajmo sada pronaći domenu definicije funkcije u skladu s formulama (ako ne znate kako to učiniti, pročitajte odjeljak o):

Jeste li uspjeli? Hajde da proverimo odgovori:

1. , budući da radikalni izraz mora biti veći ili jednak nuli.
2. , budući da ne možete dijeliti sa nulom i radikalni izraz ne može biti negativan.
3. , pošto, respektivno, za sve.
4. , pošto ne možete podijeliti sa nulom.

Ipak, ostaje nam još jedno neodgovoreno pitanje...

Još jednom ću ponoviti definiciju i naglasiti je:

Jeste li primijetili? Reč "samo" je veoma, veoma važan element naša definicija. Pokušaću da ti objasnim prstima.

Recimo da imamo funkciju definiranu pravom linijom. . At, ovu vrijednost zamjenjujemo u naše "pravilo" i dobijamo to. Jedna vrijednost odgovara jednoj vrijednosti. Možemo čak napraviti tablicu različitih vrijednosti i grafički prikazati ovu funkciju da se sami uvjerimo.

„Pogledaj! - kažete: "" se dešava dvaput!" Dakle, možda parabola nije funkcija? Ne, jeste!

Činjenica da se “ ” pojavljuje dvaput nije razlog da se parabola optužuje za dvosmislenost!

Činjenica je da smo, računajući za, dobili jednu utakmicu. I kada se računa sa, dobili smo jednu utakmicu. Tako je, parabola je funkcija. Pogledajte grafikon:

Jasno? Ako ne, evo jednog životnog primjera koji je jako daleko od matematike!

Recimo da imamo grupu aplikanata koji su se upoznali prilikom podnošenja dokumenata, od kojih je svaki u razgovoru rekao gde živi:

Slažem se, sasvim je moguće da nekoliko momaka živi u jednom gradu, ali je nemoguće da jedna osoba živi u nekoliko gradova istovremeno. Ovo je kao logičan prikaz naše "parabole" - Nekoliko različitih X-ova odgovara istoj igri.

Hajde sada da smislimo primjer gdje ovisnost nije funkcija. Recimo da su nam ti isti momci rekli za koje su se specijalnosti prijavili:

Ovdje imamo potpuno drugačiju situaciju: jedna osoba može lako podnijeti dokumente za jedan ili više smjerova. To je jedan element setovi se stavljaju u korespondenciju nekoliko elemenata mnoštvo. odnosno ovo nije funkcija.

Provjerimo svoje znanje u praksi.

Odredite iz slika što je funkcija, a što nije:

Jasno? I evo ga odgovori:

• Funkcija je - B, E.
• Funkcija nije - A, B, D, D.

Pitate zašto? Da, evo zašto:

Na svim slikama osim IN) I E) Ima ih nekoliko za jednog!

Siguran sam da sada možete lako razlikovati funkciju od ne-funkcije, reći šta je argument, a šta zavisna varijabla, te također odrediti raspon dopuštenih vrijednosti argumenta i raspon definicije funkcije . Pređimo na sljedeći odjeljak - kako postaviti funkciju?

Metode za određivanje funkcije

Šta mislite šta znače riječi? "postavi funkciju"? Tako je, to znači objasniti svima o kojoj funkciji je riječ u ovom slučaju. Štaviše, objasnite to na način da vas svi ispravno razumiju i da su grafovi funkcija koje su ljudi nacrtali na osnovu vašeg objašnjenja isti.

Kako to mogu učiniti? Kako postaviti funkciju? Najjednostavnija metoda, koja je već korištena više puta u ovom članku, je koristeći formulu. Pišemo formulu i zamjenom vrijednosti u nju izračunavamo vrijednost. I kao što se sjećate, formula je zakon, pravilo po kojem nama i drugoj osobi postaje jasno kako se X pretvara u Y.

Obično upravo to rade - u zadacima vidimo gotove funkcije specificirane formulama, međutim, postoje i drugi načini postavljanja funkcije na koje svi zaboravljaju, pa se stoga postavlja pitanje "kako drugačije možete postaviti funkciju?" pregrade. Hajde da shvatimo sve po redu i počnimo sa analitičkom metodom.

Analitička metoda specificiranja funkcije

Analitička metoda je specificiranje funkcije pomoću formule. Ovo je najuniverzalnija, sveobuhvatnija i nedvosmislena metoda. Ako imate formulu, onda znate apsolutno sve o funkciji - možete napraviti tablicu vrijednosti ​​iz nje, možete izgraditi graf, odrediti gdje se funkcija povećava, a gdje smanjuje, općenito, proučite je u cijelosti.

Razmotrimo funkciju. Koja je razlika?

"Šta to znači?" - pitate. Sad ću objasniti.

Da vas podsjetim da se u notaciji izraz u zagradama naziva argumentom. A ovaj argument može biti bilo koji izraz, ne nužno jednostavan. Prema tome, kakav god da je argument (izraz u zagradama), umjesto toga ćemo ga napisati u izrazu.

U našem primjeru to će izgledati ovako:

Razmotrimo još jedan zadatak koji se odnosi na analitičku metodu specificiranja funkcije, koju ćete imati na ispitu.

Pronađite vrijednost izraza at.

Siguran sam da ste se u početku uplašili kada ste vidjeli takav izraz lica, ali u tome nema apsolutno ništa strašno!

Sve je isto kao u prethodnom primjeru: kakav god da je argument (izraz u zagradama), upisaćemo ga umjesto njega u izraz. Na primjer, za funkciju.

Šta treba učiniti u našem primjeru? Umjesto toga trebate napisati, i umjesto toga -:

skratiti rezultirajući izraz:

To je sve!

Samostalan rad

Sada pokušajte sami pronaći značenje sljedećih izraza:

1. , Ako
2. , Ako

Jeste li uspjeli? Uporedimo naše odgovore: Navikli smo na činjenicu da funkcija ima oblik

Čak iu našim primjerima funkciju definiramo upravo na ovaj način, ali analitički je, na primjer, moguće specificirati funkciju u implicitnom obliku.

Pokušajte sami izgraditi ovu funkciju.

Jeste li uspjeli?

Ovako sam ga napravio.

Koju smo jednačinu na kraju izveli?

Tačno! Linearno, što znači da će graf biti prava linija. Napravimo tabelu da odredimo koje tačke pripadaju našoj liniji:

Upravo o tome smo pričali... Jedan odgovara nekoliko.

Pokušajmo nacrtati šta se dogodilo:

Je li ono što imamo funkcija?

Tako je, ne! Zašto? Pokušajte odgovoriti na ovo pitanje uz pomoć crteža. šta si dobio?

“Zato što jedna vrijednost odgovara nekoliko vrijednosti!”

Kakav zaključak možemo izvući iz ovoga?

Tako je, funkcija se ne može uvijek eksplicitno izraziti, a ono što je “prikriveno” u funkciju nije uvijek funkcija!

Tabelarni metod specificiranja funkcije

Kao što ime govori, ova metoda je jednostavan znak. Da da. Kao onaj koji smo ti i ja već napravili. Na primjer:

Ovdje ste odmah primijetili uzorak - Y je tri puta veći od X. A sada zadatak da “vrlo pažljivo razmislite”: mislite li da je funkcija data u obliku tabele ekvivalentna funkciji?

Hajde da ne pričamo dugo, nego da crtamo!

Dakle. Funkciju specificiranu pozadinom crtamo na sljedeće načine:

Vidite li razliku? Nije sve u označenim tačkama! Pogledajte izbliza:

Jeste li ga sada vidjeli? Kada definišemo funkciju na tabelarni način, na grafu prikazujemo samo one tačke koje imamo u tabeli i linija (kao u našem slučaju) prolazi samo kroz njih. Kada analitički definiramo funkciju, možemo uzeti bilo koje točke, a naša funkcija nije ograničena na njih. Ovo je posebnost. Zapamtite!

Grafička metoda konstruisanja funkcije

Grafička metoda konstruisanja funkcije nije ništa manje zgodna. Nacrtamo našu funkciju, a druga zainteresirana osoba može pronaći koliko je y jednako pri određenom x i tako dalje. Grafičke i analitičke metode su među najčešćim.

Međutim, ovdje se morate sjetiti o čemu smo pričali na samom početku - nije svaka „švrgola“ nacrtana u koordinatnom sistemu funkcija! Sjećaš li se? Za svaki slučaj, kopirat ću ovdje definiciju što je funkcija:

U pravilu, ljudi obično imenuju upravo tri načina specificiranja funkcije o kojima smo raspravljali - analitički (pomoću formule), tabelarni i grafički, potpuno zaboravljajući da se funkcija može opisati verbalno. Volim ovo? Da, vrlo jednostavno!

Verbalni opis funkcije

Kako verbalno opisati funkciju? Uzmimo naš nedavni primjer - . Ova funkcija se može opisati kao "svaka realna vrijednost x odgovara njegovoj trostrukoj vrijednosti." To je sve. Ništa komplikovano. Vi ćete, naravno, prigovoriti - "postoje tako složene funkcije da je jednostavno nemoguće verbalno odrediti!" Da, ima takvih, ali postoje funkcije koje je lakše opisati verbalno nego definirati formulom. Na primjer: "svaka prirodna vrijednost x odgovara razlici između cifara od kojih se sastoji, dok se minus smatra najveća znamenka sadržana u zapisu broja." Pogledajmo sada kako se naš verbalni opis funkcije implementira u praksi:

Najveća cifra u datom broju je, respektivno, minus, a zatim:

Glavne vrste funkcija

Pređimo sada na najzanimljiviji dio – pogledajmo glavne vrste funkcija s kojima ste radili/radite i koje ćete raditi u toku školske i fakultetske matematike, odnosno upoznajmo ih, da tako kažem , i dajte im kratak opis. Pročitajte više o svakoj funkciji u odgovarajućem odjeljku.

Linearna funkcija

Funkcija obrasca, gdje, - realni brojevi.

Grafikon ove funkcije je prava linija, pa se konstruisanje linearne funkcije svodi na pronalaženje koordinata dvije tačke.

Položaj prave linije na koordinatnoj ravni zavisi od ugaonog koeficijenta.

Opseg funkcije (poznat i kao opseg valjanih vrijednosti argumenata) je .

Raspon vrijednosti - .

Kvadratna funkcija

Funkcija forme, gdje

Graf funkcije je parabola; kada su grane parabole usmjerene prema dolje, kada su grane usmjerene prema gore.

Mnoga svojstva kvadratne funkcije zavise od vrijednosti diskriminanta. Diskriminanta se izračunava pomoću formule

Položaj parabole na koordinatnoj ravni u odnosu na vrijednost i koeficijent prikazan je na slici:

Domain

Raspon vrijednosti ovisi o ekstremumu date funkcije (vrhna tačka parabole) i koeficijentu (smjer grana parabole)

Inverzna proporcionalnost

Funkcija data formulom, gdje

Broj se naziva koeficijent inverzne proporcionalnosti. Ovisno o vrijednosti, grane hiperbole su u različitim kvadratima:

Domena - .

Raspon vrijednosti - .

SAŽETAK I OSNOVNE FORMULE

1. Funkcija je pravilo prema kojem je svaki element skupa povezan s jednim elementom skupa.

• - ovo je formula koja označava funkciju, odnosno zavisnost jedne varijable od druge;
• - vrijednost varijable, ili argument;
• - zavisna količina - mijenja se kada se argument promijeni, odnosno prema nekima određenu formulu, što odražava zavisnost jedne veličine od druge.

2. Važeće vrijednosti argumenata, ili domena funkcije, je ono što je povezano s mogućnostima u kojima funkcija ima smisla.

3. Raspon funkcija- to su vrijednosti koje uzima, s obzirom na prihvatljive vrijednosti.

4. Postoje 4 načina za postavljanje funkcije:

• analitički (koristeći formule);
• tabelarni;
• grafički
• verbalni opis.

5. Glavne vrste funkcija:

• : , gdje su realni brojevi;
• : , Gdje;
• : , Gdje.