Funkcija ograničena iznad definicije. Ograničena funkcija. Brojčani nizovi. Definicija i primjeri

Napomena: sve definicije uključuju numerički skup X, koji je dio domene funkcije: X sa D(f). U praksi se najčešće javljaju slučajevi kada je X numerički interval (segment, interval, zraka itd.).

Definicija 1.

Kaže se da je funkcija y = f(x) rastuća na skupu X sa D(f) ako je za bilo koje dvije točke x 1 i x 2 skupa X takve da je x 1< х 2 , выполняется неравенство f(х 1 < f(х 2).

Definicija 2.

Kaže se da je funkcija y = f(x) opadajuća na skupu X sa D(f) ako je za bilo koje dvije točke x 1 i x 2 skupa X takve da je x 1< х 2 , функции выполняется неравенство f(x 1) >f(x 2).

U praksi je zgodnije koristiti sljedeće formulacije: funkcija se povećava ako veća vrijednost argumenta odgovara većoj vrijednosti funkcije; funkcija se smanjuje ako veća vrijednost argumenta odgovara manjoj vrijednosti funkcije.

U 7. i 8. razredu koristili smo sljedeću geometrijsku interpretaciju pojmova povećanja ili smanjenja funkcije: krećući se po grafikonu rastuće funkcije s lijeva na desno, kao da se penjemo na brdo (Sl. 55); krećući se po grafu opadajuće funkcije s lijeva na desno, kao da se spuštamo niz brdo (Sl. 56).
Obično se pojmovi “rastući funkcija” i “opadajuća funkcija” kombinuju pod općim nazivom monotonska funkcija, a proučavanje funkcije za povećanje ili smanjenje naziva se proučavanje funkcije za monotonost.

Zapazimo još jednu okolnost: ako se funkcija povećava (ili smanjuje) u svojoj prirodnoj domeni definicije, tada obično kažemo da se funkcija povećava (ili opada) - bez navođenja numeričkog skupa X.

Primjer 1.

Ispitajte monotonost funkcije:

A) y = x 3 + 2; b) y = 5 - 2x.

Rješenje:

a) Uzmite proizvoljne vrijednosti argumenta x 1 i x 2 i neka je x 1<х 2 . Тогда, по свойствам числовых неравенств (мы с вами изучали их в курсе алгебры 8-го класса), будем иметь:

Posljednja nejednakost znači da je f(x 1)< f(х 2). Итак, из х 1 < х 2 следует f{х 1) < f(х 2), а это означает, что заданная функция возрастает (на всей числовой прямой).

Dakle, od x 1< х 2 следует f(х 1) >f(x 2), što znači da je data funkcija opadajuća (na cijeloj brojevnoj pravoj).

Definicija 3.

Kaže se da je funkcija y - f(x) ograničena odozdo na skupu X sa D(f) ako su sve vrijednosti funkcije na skupu X veće od određenog broja (drugim riječima, ako postoji broj m takav da je za bilo koju vrijednost x ê X nejednakost f( x) >m).

Definicija 4.

Kaže se da je funkcija y = f(x) ograničena odozgo na skupu X sa D(f) ako su sve vrijednosti funkcije manje od određenog broja (drugim riječima, ako postoji broj M takav da za bilo koju vrijednost x ê X vrijedi nejednakost f(x).< М).

Ako skup X nije specificiran, onda se podrazumijeva da se radi o tome da je funkcija ograničena odozdo ili odozgo u cijelom domenu definicije.

Ako je funkcija ograničena i odozdo i odozgo, onda se naziva ograničenom.

Ograničenost funkcije se lako očitava iz njenog grafika: ako je funkcija ograničena odozdo, onda se njen graf u potpunosti nalazi iznad određene horizontalne linije y = m (Sl. 57); ako je funkcija ograničena odozgo, onda se njen graf u potpunosti nalazi ispod neke horizontalne linije y = M (slika 58).

Primjer 2. Ispitati ograničenost funkcije
Rješenje. S jedne strane, nejednakost je sasvim očigledna (po definiciji kvadratni korijen To znači da je funkcija ograničena odozdo. S druge strane, imamo i stoga
To znači da je funkcija gornje ograničena. Sada pogledajte grafik date funkcije (slika 52 iz prethodnog pasusa). Ograničenje funkcije i iznad i ispod može se prilično lako pročitati iz grafa.

Definicija 5.

Broj m naziva se najmanja vrijednost funkcije y = f(x) na skupu X C D(f) ako:

1) u X postoji tačka x 0 takva da je f(x 0) = m;

2) za sve x iz X vrijedi nejednakost m>f(x 0).

Definicija 6.

Broj M naziva se najveća vrijednost funkcije y = f(x) na skupu X C D(f), ako:
1) u X postoji tačka x 0 takva da je f(x 0) = M;
2) za sve x iz X nejednakost
Najmanju vrijednost funkcije u 7. i 8. razredu označili smo simbolom y, a najveću simbolom y.

Ako skup X nije specificiran, onda se pretpostavlja da je riječ o pronalaženju najmanje ili najveće vrijednosti funkcije u cijeloj domeni definicije.

Sljedeće korisne izjave su prilično očigledne:

1) Ako funkcija ima Y, onda je ograničena ispod.
2) Ako funkcija ima Y, onda je ograničena iznad.
3) Ako funkcija nije ograničena ispod, onda Y ne postoji.
4) Ako funkcija nije ograničena iznad, onda Y ne postoji.

Primjer 3.

Pronađite najmanju i najveću vrijednost funkcije
Rješenje.

Sasvim je očigledno, posebno ako koristite graf funkcije (slika 52), da je = 0 (funkcija dostiže ovu vrijednost u tačkama x = -3 i x = 3), a = 3 (funkcija dostiže ovu vrijednost u x = 0.
U 7. i 8. razredu spomenuli smo još dva svojstva funkcija. Prvi se zvao svojstvo konveksnosti funkcije. Funkcija se smatra konveksnom nadole na intervalu X ako, povezivanjem bilo koje dve tačke njenog grafa (sa apscisama od X) sa pravolinijskim segmentom, nalazimo da odgovarajući deo grafika leži ispod nacrtanog segmenta (sl. 59). kontinuitet Funkcija je konveksna nagore na intervalu X ako, povezivanjem bilo koje dvije točke njenog grafa (sa apscisama od X) funkcije s ravnim segmentom, nalazimo da odgovarajući dio grafa leži iznad nacrtanog segmenta ( Slika 60).

Drugo svojstvo - kontinuitet funkcije na intervalu X - znači da je graf funkcije na intervalu X kontinuiran, tj. nema uboda ili skokova.

Komentar.

U stvari, u matematici je sve, kako kažu, „potpuno suprotno“: graf funkcije se prikazuje kao puna linija (bez uboda ili skokova) samo kada se dokaže kontinuitet funkcije. Ali formalna definicija kontinuiteta funkcije, koja je prilično složena i suptilna, još nije u našim mogućnostima. Isto se može reći i za konveksnost funkcije. Kada govorimo o ova dva svojstva funkcija, nastavit ćemo se oslanjati na vizualne i intuitivne koncepte.

Pogledajmo sada naše znanje. Prisjećajući se funkcija koje smo učili u 7. i 8. razredu, razjasnimo kako izgledaju njihovi grafovi i navedemo svojstva funkcije, pridržavajući se određenog reda, na primjer ovo: domen definicije; monotono; ograničenje; , ; kontinuitet; domet; konveksan.

Nakon toga će se pojaviti nova svojstva funkcija, a lista svojstava će se u skladu s tim promijeniti.

1. Konstantna funkcija y = C

Grafikon funkcije y = C prikazan je na sl. 61 - prava linija, paralelna sa x osom. Ovo je toliko nezanimljiva karakteristika da nema smisla nabrajati njena svojstva.

Grafikon funkcije y = kx + m je prava linija (sl. 62, 63).

Svojstva funkcije y = kx + m:

1)
2) raste ako je k > 0 (slika 62), smanjuje se ako je k< 0 (рис. 63);

4) ne postoji ni najveći ni najniže vrijednosti;
5) funkcija je kontinuirana;
6)
7) nema smisla govoriti o konveksnosti.

Graf funkcije y = kx 2 je parabola sa vrhom u početku i sa granama usmerenim nagore ako je k > O (slika 64), a nadole ako je k< 0 (рис. 65). Прямая х = 0 (ось у) является осью параболы.

Svojstva funkcije y - kx 2:

Za slučaj k> 0 (slika 64):

1) D(f) = (-oo,+oo);


4) = ne postoji;
5) kontinuirano;
6) E(f) = funkcija opada, a na intervalu opada na zraku;
7) konveksan prema gore.

Grafikon funkcije y = f(x) je iscrtan tačku po tačku; Što više tačaka oblika (x; f(x)) uzmemo, to ćemo dobiti precizniju ideju o grafu. Ako uzmete mnogo ovih tačaka, onda ćete dobiti potpuniju sliku grafa. Upravo u ovom slučaju intuicija nam govori da graf treba prikazati kao punu liniju (u ovom slučaju, u obliku parabole). A onda, čitajući graf, donosimo zaključke o kontinuitetu funkcije, o njenoj konveksnosti prema dolje ili prema gore, o rasponu vrijednosti funkcije. Morate shvatiti da su od navedenih sedam svojstava samo svojstva 1), 2), 3), 4) „legitimna“ – „legitimna“ u smislu da smo u mogućnosti da ih opravdamo pozivanjem na precizne definicije. Imamo samo vizualne i intuitivne ideje o preostalim svojstvima. Usput, u ovome nema ništa loše. Iz istorije razvoja matematike poznato je da je čovečanstvo često i dugo koristilo razna svojstva određene objekte bez poznavanja tačnih definicija. Onda, kada su takve definicije mogle da se formulišu, sve je došlo na svoje mesto.

Grafikon funkcije je hiperbola, a koordinatne ose služe kao asimptote hiperbole (sl. 66, 67).

1) D(f) = (-00,0)1U (0,+oo);
2) ako je k > 0, tada funkcija opada na otvorenom zraku (-oo, 0) i na otvorenom zraku (0, +oo) (Sl. 66); ako da< 0, то функция возрастает на (-оо, 0) и на (0, +оо) (рис. 67);
3) nije ograničen ni odozdo ni odozgo;
4) ne postoji ni najmanja ni najveća vrednost;
5) funkcija je kontinuirana na otvorenom zraku (-oo, 0) i na otvorenom zraku (0, +oo);
6) E(f) = (-oo,0) U (0,+oo);
7) ako je k > 0, tada je funkcija konveksna prema gore na x< 0, т.е. на открытом луче (-оо, 0), и выпукла вниз при х >0, tj. na otvorenoj gredi (0, +oo) (Sl. 66). Ako da< 0, то функция выпукла вверх при х >O i konveksan prema dolje na x< О (рис. 67).
Graf funkcije je grana parabole (slika 68). Svojstva funkcije:
1) D(f) = raste na zraku (skup A), tada će na njemu biti ograničen i odozgo i odozdo.

Zaista, da bismo pokazali da je ograničen odozgo, moramo razmotriti predikat

i pokazati da postoji (postoji) takvo M da će za sve x uzeto na intervalu [–2;1] biti tačno

Pronalaženje takvog M nije teško. Možemo pretpostaviti da je M = 7, kvantifikator postojanja uključuje pronalaženje najmanje jedne vrijednosti M. Prisustvo takvog M potvrđuje činjenicu da je funkcija na intervalu [–2;1] ograničena odozgo.

Da bismo dokazali da je ograničen odozdo, moramo razmotriti predikat

Vrijednost M koja osigurava istinitost datog predikata je, na primjer, M = –100.

Može se dokazati da će funkcija također biti ograničena u modulu: za sve x iz intervala [–2;1], vrijednosti funkcije se poklapaju sa vrijednostima , pa kao M možemo uzeti, za na primjer, prethodna vrijednost M = 7.

Pokažimo da će ista funkcija, ali na intervalu, biti neograničena, tj

Da biste pokazali da takav x postoji, razmotrite izjavu

Tražeći tražene vrijednosti x među pozitivnim vrijednostima argumenta, dobijamo

To znači da bez obzira na to koje pozitivno M uzmemo, vrijednosti x osiguravaju ispunjenje nejednakosti

se dobijaju iz relacije .

Razmatrajući funkciju na cijeloj realnoj osi, može se pokazati da je neograničena u apsolutnoj vrijednosti.

Zaista, iz nejednakosti

To jest, bez obzira koliko je veliko pozitivno M, ili će osigurati ispunjenje nejednakosti .

EKSTREMNA FUNKCIJA.

Funkcija ima u točki With lokalni maksimum (minimum), ako postoji takva okolina ove tačke da za x¹ With iz ovog susjedstva vrijedi nejednakost

posebno što tačka ekstrema može biti samo unutrašnja tačka intervala i f(x) u njoj mora nužno biti definisana. Mogući slučajevi odsustva ekstremuma prikazani su na Sl. 8.8.

Ako se funkcija povećava (smanjuje) u određenom intervalu i smanjuje (povećava) u određenom intervalu, tada je tačka With je lokalna maksimalna (minimalna) tačka.

Odsustvo maksimuma funkcije f(x) u tački With može se formulisati ovako:

_______________________

f(x) ima maksimum u tački c

To znači da ako tačka c nije lokalna maksimalna tačka, onda bez obzira na susjedstvo koje uključuje tačku c kao internu, postojat će barem jedna vrijednost x koja nije jednaka c za koju . Dakle, ako nema maksimuma u tački c, tada u ovoj tački možda uopće nema ekstrema, ili može biti minimalna tačka (slika 8.9).

Koncept ekstrema daje komparativnu procjenu vrijednosti funkcije u bilo kojoj tački u odnosu na obližnje. Slično poređenje vrijednosti funkcije može se provesti za sve točke određenog intervala.

MAKSIMALNA (NAJMANJA) vrijednost funkcije na skupu je njena vrijednost u tački iz ovog skupa tako da je – u . Najveća vrijednost funkcije postiže se u unutrašnjoj tački segmenta, a najmanja – na njegovom lijevom kraju.

Da biste odredili najveću (najmanju) vrijednost funkcije specificirane na intervalu, potrebno je odabrati najveći (najmanji) broj među svim vrijednostima njenih maksimuma (minimuma), kao i vrijednosti koje su prihvaćene na krajevima intervala. Ovo će biti najveća (najmanja) vrijednost funkcije. Ovo pravilo će biti pojašnjeno kasnije.

Problem pronalaženja najveće i najmanje vrijednosti funkcije na otvorenom intervalu nije uvijek lako riješiti. Na primjer, funkcija

u intervalu (slika 8.11) ih nema.

Uvjerimo se, na primjer, da ova funkcija nema najveći značaj. Zapravo, uzimajući u obzir monotonost funkcije, može se tvrditi da bez obzira koliko blizu postavimo vrijednosti x lijevo od jedinice, postojati će drugi x u kojima će vrijednosti funkcije biti veći od njegovih vrijednosti u datim fiksnim tačkama, ali ipak manji od jedan.

Lekcija i prezentacija na temu: "Svojstva funkcije. Rastuće i opadajuće funkcije"

Dodatni materijali
Dragi korisnici, ne zaboravite ostaviti svoje komentare, recenzije, želje! Svi materijali su provjereni antivirusnim programom.

Obrazovna pomagala i simulatori u internet prodavnici Integral za 9. razred
Interaktivni udžbenik za 9. razred "Pravila i vježbe iz geometrije"
Elektronski udžbenik "Razumljiva geometrija" za 7-9 razred

Ljudi, nastavljamo proučavati numeričke funkcije. Danas ćemo se fokusirati na temu kao što su svojstva funkcija. Funkcije imaju mnoga svojstva. Sjetite se koja svojstva smo nedavno proučavali. Tako je, domen definicije i domen vrijednosti, oni su jedno od ključnih svojstava. Nikada ne zaboravite na njih i zapamtite da funkcija uvijek ima ova svojstva.

U ovom dijelu ćemo definirati neka svojstva funkcija. Preporučujem da se pridržavate redosleda kojim ćemo ih odrediti prilikom rešavanja problema.

Povećana i opadajuća funkcija

Prvo svojstvo koje ćemo definirati je rastuća i opadajuća funkcija.

Za funkciju se kaže da raste na skupu X⊂D(f) ako za bilo koje x1 i x2 takve da je x1< x2 - выполняется неравенство f(x1) < f(x2). То есть большему значению аргумента, соответствует большее значение функции.
Kaže se da je funkcija opadajuća na skupu X⊂D(f) ako za bilo koje x1 i x2 takve da je x1< x2 - выполняется неравенство f(x1)>f(x2). To jest, veća vrijednost argumenta odgovara manjoj vrijednosti funkcije.

Koncepte "povećanje" i "smanjenje" funkcije vrlo je lako razumjeti ako pažljivo pogledate grafove funkcije. Za rastuću funkciju: čini se da idemo uzbrdo, za opadajuću funkciju, idemo prema dolje. Opšti oblik rastuće i opadajuće funkcije prikazane su u grafikonima ispod.

Rastuće i opadajuće funkcije općenito se nazivaju monotonost. Odnosno, naš zadatak je pronaći intervale opadanja i povećanja funkcije. U opštem slučaju, ovo se formuliše na sledeći način: pronađite intervale monotonosti ili ispitajte monotonost funkcije.

Ispitati monotonost funkcije $y=3x+2$.
Rješenje: Provjerimo funkciju za bilo koje x1 i x2 i neka x1< x2.
$f(x1)=3x1+2$
$f(x2)=3x2+2$
Pošto, x1< x2, то f(x1) < f(x2), т. е. большему значению аргумента, соответствует большее значение функции.

Ograničena funkcija

Kaže se da je funkcija $y=f(x)$ ograničena odozdo na skupu X⊂D(f) ako postoji broj a takav da za bilo koje hϵH vrijedi nejednakost f(x)< a.

Kaže se da je funkcija $y=f(x)$ ograničena odozgo na skupu X⊂D(f) ako postoji broj a takav da za bilo koje hϵH vrijedi nejednakost f(x)< a.

Ako interval X nije specificiran, onda se smatra da je funkcija ograničena na cijelom domenu definicije. Funkcija koja je ograničena i iznad i odozdo naziva se ograničenom.

Ograničenje funkcije je lako pročitati iz grafa. Moguće je nacrtati neku pravu liniju
$u=a$, a ako je funkcija viša od ove linije, onda je ograničena odozdo. Ako ispod, onda prema tome gore. Ispod je graf funkcije ograničene ispod. Ljudi, pokušajte sami nacrtati graf ograničene funkcije.

Ispitajte ograničenost funkcije $y=\sqrt(16-x^2)$.
Rješenje: Kvadratni korijen određenog broja je veći ili jednak nuli. Očigledno, naša funkcija je također veća ili jednaka nuli, odnosno ograničena odozdo.
Možemo izdvojiti samo kvadratni korijen iz nenegativnog broja, tada $16-x^2≥0$.
Rješenje naše nejednakosti će biti interval [-4;4]. Na ovom segmentu $16-x^2≤16$ ili $\sqrt(16-x^2)≤4$, ali to znači ograničeno odozgo.
Odgovor: naša funkcija je ograničena na dvije prave $y=0$ i $y=4$.

Najviša i najniža vrijednost

Najmanja vrijednost funkcije y= f(x) na skupu X⊂D(f) je neki broj m takav da je:

b) Za bilo koje hϵH vrijedi $f(x)≥f(x0)$.

Najveća vrijednost funkcije y=f(x) na skupu X⊂D(f) je neki broj m takav da je:
a) Postoji neki x0 takav da je $f(x0)=m$.
b) Za bilo koje hϵH vrijedi $f(x)≤f(x0)$.

Najveća i najmanja vrijednost obično se označavaju sa y max. i y ime .

Koncepti ograničenosti i najveće s najmanjom vrijednošću funkcije su usko povezani. Sljedeće izjave su tačne:
a) Ako postoji minimalna vrijednost za funkciju, onda je ona ograničena ispod.
b) Ako funkcija ima najveću vrijednost, onda je ograničena iznad.
c) Ako funkcija nije ograničena iznad, onda najveća vrijednost ne postoji.
d) Ako funkcija nije ograničena ispod, onda najmanja vrijednost ne postoji.

Pronađite najveću i najmanju vrijednost funkcije $y=\sqrt(9-4x^2+16x)$.
Rješenje: $f(x)=y=\sqrt(9-4x^2+16x)=\sqrt(9-(x-4)^2+16)=\sqrt(25-(x-4)^2 )≤5$.
Za $h=4$ $f(4)=5$, za sve ostale vrijednosti funkcija uzima manje vrijednosti ili ne postoji, odnosno ovo je najveća vrijednost funkcije.
Po definiciji: $9-4x^2+16x≥0$. Nađimo korijene kvadratnog trinoma $(2x+1)(2x-9)≥0$. Na $x=-0.5$ i $x=4.5$ funkcija nestaje; u svim ostalim tačkama je veća od nule. Tada je, po definiciji, najmanja vrijednost funkcije jednaka nuli.
Odgovor: y max. =5 i y ime. =0.

Ljudi, također smo proučavali koncept konveksnosti funkcije. Prilikom rješavanja nekih problema može nam zatrebati ova nekretnina. Ovo svojstvo se također lako utvrđuje pomoću grafova.

Funkcija je konveksna prema dolje ako su bilo koje dvije točke na grafu izvorne funkcije povezane, a graf funkcije je ispod linije spajanja tačaka.

Funkcija je konveksna prema gore ako su bilo koje dvije točke na grafu izvorne funkcije povezane i graf funkcije je iznad linije spajanja tačaka.

Funkcija je kontinuirana ako graf naše funkcije nema prekida, na primjer, kao što je graf funkcije iznad.

Ako trebate pronaći svojstva funkcije, redoslijed traženja svojstava je sljedeći:
a) Područje definicije.
b) Monotonija.
c) Ograničenje.
d) Najveća i najmanja vrijednost.
d) Kontinuitet.
e) Raspon vrijednosti.

Pronađite svojstva funkcije $y=-2x+5$.
Rješenje.
a) Područje definicije D(y)=(-∞;+∞).
b) Monotonija. Provjerimo bilo koje vrijednosti x1 i x2 i neka x1< x2.
$f(x1)=-2x1+2$.
$f(x2)=-2x2+2$.
Od x1< x2, то f(x1) < f(x2), то есть большему значению аргумента, соответствует меньшее значение функции. Функция убывает.
c) Ograničenje. Očigledno da funkcija nije ograničena.
d) Najveća i najmanja vrijednost. Pošto je funkcija neograničena, ne postoji maksimalna ili minimalna vrijednost.
d) Kontinuitet. Graf naše funkcije nema prekida, tada je funkcija kontinuirana.
e) Raspon vrijednosti. E(y)=(-∞;+∞).

Zadaci o svojstvima funkcije za nezavisno rješenje

Pronađite svojstva funkcije:
a) $y=2x+7$,
b) $y=3x^2$,
c) $y=\frac(4)(x)$.

1) Domen funkcije i opseg funkcije.

Domena funkcije je skup svih valjanih vrijednosti argumenata x(promenljiva x), za koje je funkcija y = f(x) odlučan. Opseg funkcije je skup svih realnih vrijednosti y, što funkcija prihvata.

U osnovnoj matematici, funkcije se proučavaju samo na skupu realnih brojeva.

2) Nule funkcije.

Funkcija nula je vrijednost argumenta pri kojoj je vrijednost funkcije jednaka nuli.

3) Intervali konstantnog predznaka funkcije.

Intervali konstantnog predznaka funkcije su skupovi vrijednosti argumenata na kojima su vrijednosti funkcije samo pozitivne ili samo negativne.

4) Monotonost funkcije.

Povećana funkcija (u određenom intervalu) je funkcija u kojoj veća vrijednost argumenta iz ovog intervala odgovara većoj vrijednosti funkcije.

Opadajuća funkcija (u određenom intervalu) je funkcija u kojoj veća vrijednost argumenta iz ovog intervala odgovara manjoj vrijednosti funkcije.

5) Parna (neparna) funkcija.

Parna funkcija je funkcija čija je domena definicije simetrična u odnosu na ishodište i za bilo koje X iz domena definicije jednakost f(-x) = f(x). Graf parne funkcije je simetričan u odnosu na ordinatu.

Neparna funkcija je funkcija čija je domena definicije simetrična u odnosu na ishodište i za bilo koje X iz domena definicije jednakost je tačna f(-x) = - f(x). Graf neparne funkcije je simetričan u odnosu na ishodište.

6) Ograničene i neograničene funkcije.

Funkcija se naziva ograničenom ako postoji pozitivan broj M takav da je |f(x)| ≤ M za sve vrijednosti x. Ako takav broj ne postoji, funkcija je neograničena.

7) Periodičnost funkcije.

Funkcija f(x) je periodična ako postoji broj T koji nije nula takav da za bilo koji x iz domena definicije funkcije vrijedi sljedeće: f(x+T) = f(x). Ovaj najmanji broj naziva se period funkcije. Sve trigonometrijske funkcije su periodični. (Trigonometrijske formule).

19. Basic elementarne funkcije, njihova svojstva i grafikone. Primjena funkcija u ekonomiji.

Osnovne elementarne funkcije. Njihova svojstva i grafovi

1. Linearna funkcija.

Linearna funkcija naziva se funkcija oblika , gdje je x varijabla, a i b su realni brojevi.

Broj A nazvana nagibom prave, jednaka je tangenti ugla nagiba ove linije prema pozitivnom smjeru x-ose. Grafikon linearne funkcije je prava linija. Definisano je sa dve tačke.

Svojstva linearne funkcije

1. Domen definicije - skup svih realnih brojeva: D(y)=R

2. Skup vrijednosti je skup svih realnih brojeva: E(y)=R

3. Funkcija uzima nultu vrijednost kada ili.

4. Funkcija raste (opada) u cijelom domenu definicije.

5. Linearna funkcija je kontinuirana u cijelom domenu definicije, diferencibilna i .

2. Kvadratna funkcija.

Funkcija oblika, gdje je x varijabla, koeficijenti a, b, c su realni brojevi, naziva se kvadratni

Odds a, b, c odrediti lokaciju grafa na koordinatnoj ravni

Koeficijent a određuje smjer grana. Graf kvadratne funkcije je parabola. Koordinate vrha parabole nalaze se pomoću formula:

Svojstva funkcije:

2. Skup vrijednosti za jedan od intervala: ili.

3. Funkcija uzima nulte vrijednosti kada , gdje se diskriminanta izračunava po formuli:.

4. Funkcija je kontinuirana u cijeloj domeni definicije i derivacija funkcije je jednaka .

Teorema o granici monotone funkcije. Dokaz teoreme je dat korištenjem dvije metode. Date su i definicije strogo rastuće, neopadajuće, strogo opadajuće i nerastuće funkcije. Definicija monotone funkcije.

Sadržaj

Funkcija nije ograničena odozgo

1.1. Neka je broj b konačan: .
1.1.2. Neka funkcija nije ograničena iznad.

.

u .

Označimo . Onda za bilo koga postoji, tako
u .
To znači da je granica lijevo u tački b (pogledajte "Definicije jednostranih beskonačnih granica funkcije u krajnjoj točki").

b rano plus beskonačnost

Funkcija je ograničena odozgo

1. Neka se funkcija ne smanjuje na intervalu.
1.2.1. Neka je funkcija odozgo ograničena brojem M: za .
Dokažimo da u ovom slučaju postoji granica.

Pošto je funkcija ograničena iznad, postoji konačan supremum
.
Prema definiciji tačne gornje granice, ispunjeni su sljedeći uvjeti:
;
za svako pozitivno postoji argument za koji
.

Budući da se funkcija ne smanjuje, onda kada . Zatim u . Or
u .

Dakle, otkrili smo da za svakoga postoji broj, dakle
u .
"Definicije jednostranih granica u beskonačnosti").

Funkcija nije ograničena odozgo

1. Neka se funkcija ne smanjuje na intervalu.
1.2. Neka je broj b jednak plus beskonačnost: .
1.2.2. Neka funkcija nije ograničena iznad.
Dokažimo da u ovom slučaju postoji granica.

Pošto funkcija nije ograničena iznad, onda za bilo koji broj M postoji argument za koji
.

Budući da se funkcija ne smanjuje, onda kada . Zatim u .

Dakle, za bilo koji postoji broj, dakle
u .
To znači da je granica na jednaka (vidi "Definicije jednostranih beskonačnih granica u beskonačnosti").

Funkcija se ne povećava

Sada razmotrite slučaj kada se funkcija ne povećava. Možete, kao što je gore navedeno, razmotriti svaku opciju zasebno. Ali mi ćemo ih odmah pokriti. Za ovo koristimo. Dokažimo da u ovom slučaju postoji granica.

Razmotrimo konačni infimum skupa vrijednosti funkcije:
.
Ovdje B može biti ili konačan broj ili beskonačna tačka. Prema definiciji tačne donje granice, ispunjeni su sljedeći uvjeti:
;
za bilo koju okolinu tačke B postoji argument za koji
.
Prema uslovima teoreme, . Zbog toga .

Budući da se funkcija ne povećava, onda kada . Od tada
u .
Or
u .
Zatim napominjemo da nejednakost definira lijevo probušeno susjedstvo tačke b.

Dakle, našli smo da za bilo koju okolinu tačke postoji probušena leva okolina tačke b takva da
u .
To znači da je granica lijevo u tački b:

(vidi univerzalnu definiciju granice funkcije prema Cauchyju).

Ograničenje u tački a

Sada ćemo pokazati da postoji granica u tački a i pronaći njegovu vrijednost.

Razmotrimo funkciju. Prema uvjetima teoreme, funkcija je monotona za . Zamenimo promenljivu x sa - x (ili izvršimo supstituciju, a zatim zamenimo varijablu t sa x). Tada je funkcija monotona za . Množenje nejednakosti sa -1 i mijenjajući njihov redoslijed dolazimo do zaključka da je funkcija monotona za .

Na sličan način lako je pokazati da ako se ne smanjuje, onda se ne povećava. Zatim, prema onome što je gore dokazano, postoji granica
.
Ako se ne povećava, ne smanjuje se. U ovom slučaju postoji granica
.

Sada ostaje pokazati da ako postoji granica funkcije na , onda postoji granica funkcije na , a ove granice su jednake:
.

Hajde da uvedemo notaciju:
(1) .
Izrazimo f u terminima g:
.
Uzmimo proizvoljan pozitivan broj. Neka postoji ipsilon susjedstvo tačke A. Ipsilon susjedstvo je definirano i za konačne i za beskonačne vrijednosti A (pogledajte "Okruženje tačke"). Pošto postoji granica (1), onda, prema definiciji granice, za bilo koje postoji takva da
u .

Neka je a konačan broj. Izrazimo lijevo probušeno susjedstvo tačke -a koristeći nejednačine:
u .
Zamenimo x sa -x i uzmimo u obzir sledeće:
u .
Posljednje dvije nejednakosti definiraju probijenu desnu okolinu tačke a. Onda
u .

Neka je a beskonačan broj, . Ponavljamo obrazloženje.
at ;
at ;
at ;
u .

Dakle, otkrili smo da za svakoga postoji takvo što
u .
To znači da
.

Teorema je dokazana.

Vidi također: