Kolika je visina pravougaonika? Pravokutni trokut. Pravokutni trokut i trigonometrija

U stvari, sve uopšte nije tako strašno. Naravno, u članku treba pogledati "pravu" definiciju sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa. Ali zaista ne želim, zar ne? Možemo se radovati: da biste riješili probleme o pravokutnom trokutu, možete jednostavno ispuniti sljedeće jednostavne stvari:

Šta je sa uglom? Postoji li noga koja je nasuprot uglu, odnosno suprotna (za ugao) noga? Naravno! Ovo je noga!

Šta je sa uglom? Pogledaj pažljivo. Koja noga je uz ugao? Naravno, noga. To znači da je za ugao noga susjedna, i

Sada, obratite pažnju! Pogledajte šta imamo:

Pogledajte kako je super:

Sada pređimo na tangentu i kotangens.

Kako da to sada zapišem riječima? Šta je noga u odnosu na ugao? Nasuprot, naravno - "leži" nasuprot uglu. Šta je sa nogom? U blizini ugla. Pa šta imamo?

Vidite kako su brojilac i imenilac zamijenili mjesta?

A sad opet uglovi i razmjena:

Sažetak

Hajde da ukratko zapišemo sve što smo naučili.

Pitagorina teorema:

Glavna teorema o pravougaonog trougla- Pitagorina teorema.

Pitagorina teorema

Usput, da li se dobro sjećate šta su noge i hipotenuza? Ako nije baš dobro, onda pogledajte sliku - osvježite svoje znanje

Sasvim je moguće da ste Pitagorinu teoremu već koristili mnogo puta, ali jeste li se ikada zapitali zašto je takva teorema istinita? Kako to mogu dokazati? Postupimo kao stari Grci. Nacrtajmo kvadrat sa stranom.

Pogledajte kako smo pametno podijelili njegove stranice na dužine i!

Sada spojimo označene tačke

Ovdje smo, međutim, primijetili nešto drugo, ali vi sami pogledate crtež i pomislite zašto je to tako.

Kolika je površina većeg kvadrata?

U redu, .

Šta je sa manjom površinom?

Svakako, .

Ukupna površina četiri ugla ostaje. Zamislite da smo ih uzeli po dva i prislonili jedno na drugo hipotenuzama.

Šta se desilo? Dva pravougaonika. To znači da je površina "rezova" jednaka.

Hajde da sve to spojimo sada.

Pretvorimo:

Tako smo posjetili Pitagoru - dokazali smo njegovu teoremu na drevni način.

Pravokutni trokut i trigonometrija

Za pravougli trokut vrijede sljedeće relacije:

Sinus oštrog ugla jednak je omjeru suprotne strane prema hipotenuzi

Kosinus oštrog ugla jednak je omjeru susjednog kraka i hipotenuze.

Tangens oštrog ugla jednak je omjeru suprotne i susjedne strane.

Kotangens oštrog ugla jednak je omjeru susjedne i suprotne strane.

I još jednom sve ovo u obliku tableta:

Veoma je udobno!

Znaci jednakosti pravokutnih trougla

I. Sa dve strane

II. Po kraku i hipotenuzi

III. Hipotenuzom i oštrim uglom

IV. Duž noge i oštrog ugla

Pažnja! Ovdje je veoma važno da noge budu “primjerene”. Na primjer, ako ide ovako:

ONDA TROUGOVI NISU JEDNAKI, uprkos činjenici da imaju jedan identičan oštar ugao.

Treba u oba trougla krak je bio susedan, ili u oba suprotan.

Jeste li primijetili kako se znakovi jednakosti pravokutnih trouglova razlikuju od uobičajenih znakova jednakosti trokuta?

Pogledajte temu „i obratite pažnju na to da za jednakost „običnih“ trokuta tri njihova elementa moraju biti jednaka: dvije stranice i ugao između njih, dva ugla i stranica između njih, odnosno tri stranice.

Ali za jednakost pravokutnih trougla dovoljna su samo dva odgovarajuća elementa. Odlično, zar ne?

Približno ista situacija je i sa znacima sličnosti pravokutnih trokuta.

Znakovi sličnosti pravokutnih trougla

I. Duž oštrog ugla

II. Na dvije strane

III. Po kraku i hipotenuzi

Medijan u pravokutnom trokutu

Zašto je to tako?

Umjesto pravougaonog trokuta, razmotrite cijeli pravougaonik.

Nacrtajmo dijagonalu i razmotrimo tačku - tačku presjeka dijagonala. Šta znaš o dijagonalama pravougaonika?

I šta iz ovoga slijedi?

Tako se ispostavilo

- medijana:

Zapamtite ovu činjenicu! Pomaže puno!

Ono što je još više iznenađujuće je da je i obrnuto.

Kakvo dobro se može dobiti iz činjenice da je medijan povučen hipotenuzi jednak polovini hipotenuze? Pogledajmo sliku

Pogledaj pažljivo. Imamo: , to jest, udaljenosti od tačke do sva tri vrha trougla su se pokazale jednake. Ali u trouglu postoji samo jedna tačka od koje su udaljenosti od sva tri vrha trougla jednake, a to je CENTAR KRUŽNICE. Šta se desilo?

Pa počnimo sa ovim “osim...”.

Pogledajmo i.

Ali svi slični trokuti imaju jednake uglove!

Isto se može reći i za i

Sada ga nacrtajmo zajedno:

Kakva korist se može izvući iz ove „trostruke“ sličnosti?

Pa, na primjer - dvije formule za visinu pravokutnog trougla.

Zapišimo odnose odgovarajućih strana:

Da bismo pronašli visinu, rješavamo proporciju i dobivamo prva formula "Visina u pravokutnom trokutu":

Pa, sada, primjenom i kombinovanjem ovog znanja s drugima, riješit ćete bilo koji problem sa pravokutnim trouglom!

Dakle, primijenimo sličnost: .

Šta će se sada dogoditi?

Opet rješavamo proporciju i dobivamo drugu formulu:

Morate dobro zapamtiti obje ove formule i koristiti onu koja je prikladnija.

Hajde da ih ponovo zapišemo

Pitagorina teorema:

U pravokutnom trokutu kvadrat hipotenuze jednak je zbroju kvadrata kateta: .

Znakovi jednakosti pravokutnih trougla:

na dvije strane:
po kraku i hipotenuzi: ili
duž kraka i susjednog oštrog ugla: ili
duž kraka i suprotnog oštrog ugla: ili
hipotenuzom i oštrim uglom: ili.

Znakovi sličnosti pravokutnih trokuta:

jedan oštri ugao: ili
iz proporcionalnosti dvije noge:
iz proporcionalnosti kateta i hipotenuze: ili.

Sinus, kosinus, tangenta, kotangens u pravokutnom trokutu

Sinus oštrog ugla pravokutnog trokuta je omjer suprotne strane i hipotenuze:
Kosinus oštrog ugla pravokutnog trokuta je omjer susjednog kraka i hipotenuze:
Tangens oštrog ugla pravokutnog trokuta je omjer suprotne strane i susjedne stranice:
Kotangens oštrog ugla pravokutnog trokuta je omjer susjedne i suprotne stranice: .

Visina pravokutnog trougla: ili.

U pravokutnom trokutu medijana povučena iz vrha pravog ugla jednaka je polovini hipotenuze: .

Površina pravouglog trougla:

preko nogu:

Pravokutni trokut- ovo je trougao u kojem je jedan od uglova ravan, odnosno jednak 90 stepeni.

Strana naspram pravog ugla naziva se hipotenuza (na slici označena kao c ili AB)
Strana koja se nalazi uz pravi ugao naziva se noga. Svaki pravokutni trokut ima dvije krake (na slici su označene kao a i b ili AC i BC)

Formule i svojstva pravokutnog trougla

Oznake formula:

(vidi sliku iznad)

a, b- katete pravouglog trougla

c- hipotenuza

α, β - oštri uglovi trougla

S- kvadrat

h- visina spuštena od vrha pravog ugla do hipotenuze

m a a iz suprotnog ugla ( α )

m b- medijana povučena u stranu b iz suprotnog ugla ( β )

m c- medijana povučena u stranu c iz suprotnog ugla ( γ )

IN pravougaonog trougla bilo koji od kateta je manji od hipotenuze(Formule 1 i 2). Ovo svojstvo je posledica Pitagorine teoreme.

Kosinus bilo kojeg od oštrih uglova manje od jedan (Formule 3 i 4). Ovo svojstvo proizlazi iz prethodne. Budući da je bilo koji katet manji od hipotenuze, omjer kateta i hipotenuze je uvijek manji od jedan.

Kvadrat hipotenuze jednak je zbiru kvadrata kateta (Pitagorina teorema). (Formula 5). Ovo svojstvo se stalno koristi prilikom rješavanja problema.

Površina pravouglog trougla jednako polovini umnožaka nogu (Formula 6)

Zbir medijana na kvadrat na katete jednako je pet kvadrata medijane hipotenuze i pet kvadrata hipotenuze podijeljeno sa četiri (Formula 7). Pored navedenog, postoji Još 5 formula, stoga se preporučuje da pročitate i lekciju “Medijan pravokutnog trougla” koja detaljnije opisuje svojstva medijane.

Visina pravokutnog trokuta jednak je umnošku kateta podijeljenih hipotenuzom (formula 8)

Kvadrati kateta su obrnuto proporcionalni kvadratu visine spuštene na hipotenuzu (Formula 9). Ovaj identitet je također jedna od posljedica Pitagorine teoreme.

Dužina hipotenuze jednak prečniku (dva poluprečnika) opisane kružnice (Formula 10). Hipotenuza pravouglog trougla je prečnik opisane kružnice. Ovo svojstvo se često koristi u rješavanju problema.

Upisani radijus V pravougaonog trougla krug može se naći kao polovina izraza uključujući zbir kateta ovog trokuta minus dužinu hipotenuze. Ili kao proizvod kateta podijeljen zbirom svih strana (perimetra) datog trokuta. (Formula 11)
Sinus ugla odnos prema suprotnom ovaj ugao krak do hipotenuze(po definiciji sinusa). (Formula 12). Ovo svojstvo se koristi prilikom rješavanja problema. Znajući veličine stranica, možete pronaći ugao koji oni formiraju.

Kosinus ugla A (α, alpha) u pravokutnom trokutu bit će jednak stav susjedni ovaj ugao krak do hipotenuze(po definiciji sinusa). (Formula 13)

Trouglovi.

Osnovni koncepti.

Trougao je figura koja se sastoji od tri segmenta i tri tačke koje ne leže na istoj pravoj liniji.

Segmenti se zovu stranke, a tačke su vrhovi.

Zbir uglova trougao je 180º.

Visina trougla.

Visina trougla- ovo je okomito povučeno iz vrha na suprotnu stranu.

U oštrom trouglu visina se nalazi unutar trougla (slika 1).

U pravokutnom trokutu, katete su visine trougla (slika 2).

U tupouglom trouglu visina se proteže izvan trougla (slika 3).

Svojstva nadmorske visine trougla:

Simetrala trougla.

Simetrala trougla- ovo je segment koji dijeli ugao temena na pola i povezuje vrh sa tačkom na suprotnoj strani (slika 5).

Svojstva simetrale:

Medijan trougla.

Medijan trougla- ovo je segment koji povezuje vrh sa sredinom suprotne strane (slika 9a).

Dužina medijane može se izračunati pomoću formule:

2b 2 + 2c 2 - a 2
m a 2 = ——————
4

Gdje m a- medijana povučena u stranu A.

U pravokutnom trokutu medijana povučena do hipotenuze jednaka je polovini hipotenuze:

c
m c = —
2

Gdje m c- medijana povučena prema hipotenuzi c(Sl.9c)

Medijani trokuta se sijeku u jednoj tački (u centru mase trougla) i dijele se ovom tačkom u omjeru 2:1, računajući od vrha. Odnosno, segment od vrha do centra je dvostruko veći od segmenta od centra do stranice trougla (slika 9c).

Tri medijane trougla dijele ga na šest jednakih trouglova.

Srednja linija trougla.

Srednja linija trougla- ovo je segment koji povezuje sredine njegove dvije strane (slika 10).

Srednja linija trougla je paralelna sa trećom stranom i jednaka njenoj polovini

Vanjski ugao trougla.

Vanjski kut trougla jednak je zbiru dva nesusedna unutrašnja ugla (slika 11).

Vanjski ugao trougla je veći od bilo kojeg nesusjednog ugla.

Pravokutni trokut.

Pravokutni trokut je trougao koji ima pravi ugao (slika 12).

Strana pravokutnog trougla nasuprot pravog ugla naziva se hipotenuza.

Druge dvije strane se zovu noge.

Proporcionalni segmenti u pravokutnom trokutu.

1) U pravouglom trouglu, visina povučena iz pravog ugla formira tri slična trougla: ABC, ACH i HCB (slika 14a). Prema tome, uglovi formirani visinom jednaki su uglovima A i B.

Fig.14a

Jednakokraki trougao.

Jednakokraki trougao je trougao čije su dvije stranice jednake (slika 13).

Ove jednake strane se nazivaju strane, a treći - osnovu trougao.

U jednakokračnom trouglu uglovi osnove su jednaki. (U našem trouglu, ugao A je jednak uglu C).

U jednakokračnom trokutu, medijana povučena do osnove je i simetrala i visina trougla.

Jednakostranični trougao.

Jednakostranični trougao je trougao u kome su sve strane jednake (slika 14).

Svojstva jednakostraničnog trougla:

Izuzetna svojstva trouglova.

Trokuti imaju jedinstvena svojstva koja će vam pomoći da uspješno riješite probleme koji uključuju ove oblike. Neke od ovih svojstava su navedene gore. Ali mi ih ponavljamo, dodajući im još nekoliko divnih karakteristika:

1) U pravokutnom trokutu sa uglovima od 90º, 30º i 60º b, koji leži nasuprot ugla od 30º, jednako je polovina hipotenuze. Nogaa više nogub√3 puta (sl. 15 A). Na primjer, ako je krak b 5, onda je hipotenuza c nužno jednako 10, a krak A jednako 5√3.

2) U pravokutnom jednakokrakom trouglu sa uglovima od 90º, 45º i 45º, hipotenuza je √2 puta veća od kraka (Sl. 15 b). Na primjer, ako su katete 5, onda je hipotenuza 5√2.

3) Srednja linija trougla jednaka je polovini paralelne stranice (slika 15 With). Na primjer, ako je stranica trokuta 10, tada je srednja linija paralelna s njom 5.

4) U pravokutnom trokutu medijana povučena do hipotenuze jednaka je polovini hipotenuze (slika 9c): m c= s/2.

5) Medijane trougla, koji se sijeku u jednoj tački, podijeljene su ovom tačkom u omjeru 2:1. Odnosno, segment od vrha do tačke preseka medijana je dvostruko veći od segmenta od presečne tačke medijana do stranice trougla (slika 9c)

6) U pravokutnom trokutu sredina hipotenuze je centar opisane kružnice (Sl. 15 d).

Znakovi jednakosti trouglova.

Prvi znak jednakosti: ako su dvije stranice i ugao između njih jednog trokuta jednaki dvjema stranicama i kutu između njih drugog trokuta, onda su takvi trokuti podudarni.

Drugi znak jednakosti: ako su stranica i njeni susjedni uglovi jednog trougla jednaki stranici i susjednim uglovima drugog trougla, onda su takvi trouglovi podudarni.

Treći znak jednakosti: Ako su tri strane jednog trougla jednake trima stranicama drugog trougla, onda su takvi trouglovi podudarni.

Nejednakost trokuta.

U bilo kojem trouglu svaka strana je manja od zbira druge dvije stranice.

Pitagorina teorema.

U pravokutnom trokutu kvadrat hipotenuze jednak je zbroju kvadrata kateta:

c 2 = a 2 + b 2 .

Površina trougla.

1) Površina trokuta jednaka je polovini umnoška njegove stranice i visine povučene na ovu stranicu:

ah
S = ——
2

2) Površina trokuta jednaka je polovini umnoška bilo koje dvije njegove stranice i sinusa ugla između njih:

1
S = — AB · A.C. · grijeh A
2

Trougao opisan oko kružnice.

Krug se naziva upisanim u trokut ako dodiruje sve njegove strane (slika 16.). A).

Trougao upisan u krug.

Za trokut se kaže da je upisan u krug ako ga dodiruje svim svojim vrhovima (Sl. 17 a).

Sinus, kosinus, tangent, kotangens oštrog ugla pravouglog trokuta (slika 18).

Sinus oštar ugao x suprotno krak u hipotenuzu.
Označava se na sljedeći način: sinx.

Kosinus oštar ugao x pravouglog trougla je omjer susjedni krak u hipotenuzu.
Označava se kako slijedi: cos x.

Tangenta oštar ugao x- ovo je omjer suprotne strane prema susjednoj strani.
Označava se kako slijedi: tgx.

Kotangens oštar ugao x- ovo je omjer susjedne i suprotne strane.
Označava se kako slijedi: ctgx.

pravila:

Noga nasuprot uglu x, jednak je proizvodu hipotenuze i grijeha x:

b = c grijeh x

Noga uz ugao x, jednak je proizvodu hipotenuze i cos x:

a = c cos x

Noga nasuprot uglu x, jednak je umnošku druge noge za tg x:

b = a tg x

Noga uz ugao x, jednako je umnošku druge noge po ctg x:

a = b· ctg x.

Za bilo koji oštar ugao x:

greh (90° - x) = cos x

cos (90° - x) = grijeh x

Nekretnina: 1. U bilo kojem pravokutnom trokutu, visina uzeta iz pravog ugla (hipotenuzom) dijeli pravokutni trokut na tri slična trokuta.

Nekretnina: 2. Visina pravokutnog trokuta, spuštenog na hipotenuzu, jednaka je geometrijskoj sredini projekcija kateta na hipotenuzu (ili geometrijskoj sredini onih segmenata na koje visina dijeli hipotenuzu).

Nekretnina: 3. Katet je jednak geometrijskoj sredini hipotenuze i projekciji te katete na hipotenuzu.

Nekretnina: 4. Kat nasuprot ugla od 30 stepeni jednak je polovini hipotenuze.

Formula 1.

Formula 2., gdje je hipotenuza; , noge.

Nekretnina: 5. U pravokutnom trokutu medijana povučena do hipotenuze jednaka je njegovoj polovini i jednaka polumjeru opisane kružnice.

Svojstvo: 6. Odnos između stranica i uglova pravouglog trougla:

44. Teorema kosinusa. Posljedice: odnos između dijagonala i stranica paralelograma; određivanje vrste trougla; formula za izračunavanje dužine medijane trokuta; Izračunavanje kosinusa ugla trokuta.

Kraj rada -

Ova tema pripada sekciji:

Klasa. Program kolokvijuma iz osnovne planimetrije

Svojstvo susednih uglova.. definicija da su dva ugla susedna ako imaju jednu zajedničku stranu, a druge dve čine pravu liniju..

Ako vam je potreban dodatni materijal na ovu temu, ili niste pronašli ono što ste tražili, preporučujemo da koristite pretragu u našoj bazi radova:

Šta ćemo sa primljenim materijalom:

Ako vam je ovaj materijal bio koristan, možete ga spremiti na svoju stranicu na društvenim mrežama:

(ABC) i njegove karakteristike, što je prikazano na slici. Pravokutni trokut ima hipotenuzu - stranu koja leži nasuprot pravog ugla.

Savjet 1: Kako pronaći visinu pravokutnog trougla

Stranice koje formiraju pravi ugao nazivaju se noge. Na slici su prikazane strane AD, DC i BD, DC- noge i strane AC I NE- hipotenuza.

Teorema 1. U pravouglom trokutu sa uglom od 30°, krak suprotan ovom uglu će prekinuti polovinu hipotenuze.

AB- hipotenuza;

AD I DV

Trougao
Postoji teorema:
sistem komentara CACKLE

Rješenje: 1) Dijagonale bilo kojeg pravougaonika su jednake Tačno 2) Ako trougao ima jedan oštar ugao, onda je ovaj trougao oštar. Nije istina. Vrste trouglova. Trougao se naziva oštar ako su mu sva tri ugla oštra, odnosno manja od 90° 3) Ako tačka leži na.

Ili, u drugom unosu,

Prema Pitagorinoj teoremi

Koja je formula za visinu pravokutnog trougla?

Visina pravouglog trougla

Visina pravokutnog trokuta povučena do hipotenuze može se naći na ovaj ili onaj način ovisno o podacima u iskazu problema.

Ili, u drugom unosu,

Gdje su BK i KC projekcije kateta na hipotenuzu (odsječke na koje visina dijeli hipotenuzu).

Visina do hipotenuze može se naći preko površine pravokutnog trokuta. Ako primijenimo formulu da pronađemo površinu trokuta

(pola proizvoda stranice i visine povučene na ovu stranu) na hipotenuzu i visinu povučenu na hipotenuzu, dobijamo:

Odavde možemo pronaći visinu kao omjer dvostruke površine trokuta i dužine hipotenuze:

Budući da je površina pravokutnog trokuta jednaka polovini umnoška kateta:

To jest, dužina visine povučene do hipotenuze jednaka je omjeru proizvoda kateta i hipotenuze. Ako dužine kateta označimo sa a i b, a dužinu hipotenuze sa c, formula se može prepisati kao

Budući da je polumjer opisane kružnice pravokutnog trokuta jednak polovini hipotenuze, dužina nadmorske visine može se izraziti kroz katete i polumjer opisane kružnice:

Budući da visina povučena do hipotenuze čini još dva pravokutna trougla, njena dužina se može naći preko odnosa u pravokutnom trokutu.

Iz pravouglog trougla ABK

Iz pravouglog trougla ACK

Dužina visine pravouglog trougla može se izraziti kroz dužine kateta. Jer

Prema Pitagorinoj teoremi

Ako kvadriramo obje strane jednadžbe:

Možete dobiti još jednu formulu za povezivanje visine pravokutnog trokuta s njegovim kracima:

Koja je formula za visinu pravokutnog trougla?

Pravokutni trokut. Prosječan nivo.

Želite li testirati svoju snagu i saznati rezultat koliko ste spremni za Jedinstveni državni ispit ili Jedinstveni državni ispit?

Glavna teorema o pravokutnim trokutima je Pitagorina teorema.

Pitagorina teorema

Usput, da li se dobro sjećate šta su noge i hipotenuza? Ako nije baš dobro, onda pogledajte sliku - osvježite svoje znanje

Pogledajte kako smo pametno podijelili njegove stranice na dužine i!

Sada spojimo označene tačke

Ovdje smo, međutim, primijetili nešto drugo, ali vi sami pogledate crtež i pomislite zašto je to tako.

Kolika je površina većeg kvadrata? U redu, . Šta je sa manjom površinom? Svakako, . Ukupna površina četiri ugla ostaje. Zamislite da smo ih uzeli po dva i prislonili jedno na drugo hipotenuzama. Šta se desilo? Dva pravougaonika. To znači da je površina "rezova" jednaka.

Hajde da sve to spojimo sada.

Tako smo posjetili Pitagoru - dokazali smo njegovu teoremu na drevni način.

Pravokutni trokut i trigonometrija

Za pravougli trokut vrijede sljedeće relacije:

Sinus oštrog ugla jednak je omjeru suprotne strane prema hipotenuzi

Kosinus oštrog ugla jednak je omjeru susjednog kraka i hipotenuze.

Tangens oštrog ugla jednak je omjeru suprotne i susjedne strane.

Kotangens oštrog ugla jednak je omjeru susjedne i suprotne strane.

I još jednom sve ovo u obliku tableta:

Da li ste primetili jednu veoma zgodnu stvar? Pažljivo pogledajte znak.

Veoma je udobno!

Znaci jednakosti pravokutnih trougla

II. Po kraku i hipotenuzi

III. Hipotenuzom i oštrim uglom

IV. Duž noge i oštrog ugla

Pažnja! Ovdje je veoma važno da noge budu “primjerene”. Na primjer, ako ide ovako:

ONDA TROUGOVI NISU JEDNAKI, uprkos činjenici da imaju jedan identičan oštar ugao.

Treba U oba trougla noga je bila susjedna, ili u oba suprotna.

Jeste li primijetili kako se znakovi jednakosti pravokutnih trouglova razlikuju od uobičajenih znakova jednakosti trokuta? Pogledajte temu “Trokut” i obratite pažnju na to da za jednakost “običnih” trokuta tri njihova elementa moraju biti jednaka: dvije stranice i ugao između njih, dva ugla i stranica između njih ili tri strane. Ali za jednakost pravokutnih trougla dovoljna su samo dva odgovarajuća elementa. Odlično, zar ne?

Približno ista situacija je i sa znacima sličnosti pravokutnih trokuta.

Znakovi sličnosti pravokutnih trougla

III. Po kraku i hipotenuzi

Medijan u pravokutnom trokutu

Umjesto pravougaonog trokuta, razmotrite cijeli pravougaonik.

Nacrtajmo dijagonalu i razmotrimo tačku u kojoj se dijagonale sijeku. Šta znaš o dijagonalama pravougaonika?

Točka presjeka dijagonala podijeljena je na pola. Dijagonale su jednake.

I šta iz ovoga slijedi?

Tako se ispostavilo

Zapamtite ovu činjenicu! Pomaže puno!

Ono što je još više iznenađujuće je da je i obrnuto.

Kakvo dobro se može dobiti iz činjenice da je medijan povučen hipotenuzi jednak polovini hipotenuze? Pogledajmo sliku

Počnimo s ovim "osim toga". "

Ali svi slični trokuti imaju jednake uglove!

Isto se može reći i za i

Sada ga nacrtajmo zajedno:

Imaju iste oštre uglove!

Kakva korist se može izvući iz ove „trostruke“ sličnosti?

Pa, na primjer - Dvije formule za visinu pravokutnog trokuta.

Zapišimo odnose odgovarajućih strana:

Da bismo pronašli visinu, rješavamo proporciju i dobivamo Prva formula "Visina u pravokutnom trokutu":

Kako do drugog?

Sada primijenimo sličnost trokuta i.

Dakle, primijenimo sličnost: .

Šta će se sada dogoditi?

Opet rješavamo proporciju i dobivamo drugu formulu "Visina u pravokutnom trokutu":

Morate dobro zapamtiti obje ove formule i koristiti onu koja je prikladnija. Hajde da ih ponovo zapišemo

Pa, sada, primjenom i kombinovanjem ovog znanja s drugima, riješit ćete bilo koji problem sa pravokutnim trouglom!

Komentari

Distribucija materijala bez odobrenja je dozvoljena ako postoji dofollow link do izvorne stranice.

Politika privatnosti

Očuvanje vaše privatnosti nam je važno. Iz tog razloga smo razvili Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Pregledajte našu praksu privatnosti i javite nam ako imate pitanja.

Prikupljanje i korištenje ličnih podataka

Lični podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju ili kontaktiranje određene osobe.

Od vas se može tražiti da unesete svoje lične podatke u bilo koje vrijeme kada nas kontaktirate.

U nastavku su navedeni neki primjeri vrsta ličnih podataka koje možemo prikupljati i kako ih možemo koristiti.

Koje lične podatke prikupljamo:

razne informacije

Kako koristimo vaše lične podatke:

Svojstvo visine pravokutnog trougla spuštenog na hipotenuzu

Ako učestvujete u nagradnoj igri, natjecanju ili sličnoj promociji, možemo koristiti informacije koje nam date za upravljanje takvim programima.

Otkrivanje informacija trećim licima

Podatke koje dobijemo od vas ne otkrivamo trećim licima.

Ako je potrebno - u skladu sa zakonom, sudskim postupkom, u sudskom postupku, i/ili na osnovu javnih zahtjeva ili zahtjeva državnih organa u Ruskoj Federaciji - otkriti vaše lične podatke. Takođe možemo otkriti informacije o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje neophodno ili prikladno za sigurnosne, provođenje zakona ili druge svrhe od javnog značaja. U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti lične podatke koje prikupimo na odgovarajuću treću stranu.

Zaštita ličnih podataka

Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - da zaštitimo vaše osobne podatke od gubitka, krađe i zloupotrebe, kao i neovlaštenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.

Poštivanje vaše privatnosti na nivou kompanije

Kako bismo osigurali da su vaši lični podaci sigurni, našim zaposlenima prenosimo standarde privatnosti i sigurnosti i striktno provodimo praksu privatnosti.

Hvala na poruci!

Vaš komentar je prihvaćen i nakon moderacije biće objavljen na ovoj stranici.

Želite li saznati što se krije ispod reza i dobiti ekskluzivne materijale o pripremi za Jedinstveni državni ispit i Jedinstveni državni ispit? Ostavite svoj email

Svojstva pravouglog trougla

Razmotrimo pravougli trougao (ABC) i njegove karakteristike, što je prikazano na slici. Pravokutni trokut ima hipotenuzu - stranu koja leži nasuprot pravog ugla. Stranice koje formiraju pravi ugao nazivaju se noge. Na slici su prikazane strane AD, DC i BD, DC- noge i strane AC I NE- hipotenuza.

Znakovi jednakosti pravokutnog trokuta:

Teorema 1. Ako su hipotenuza i krak pravouglog trougla slični hipotenuzi i kraku drugog trougla, onda su takvi trouglovi podudarni.

Teorema 2. Ako su dva kraka pravouglog trougla jednaka dvama kracima drugog trougla, onda su takvi trouglovi podudarni.

Teorema 3. Ako su hipotenuza i oštar ugao pravouglog trougla slični hipotenuzi i oštrom uglu drugog trougla, onda su takvi trouglovi podudarni.

Teorema 4. Ako su kateta i susjedni (suprotni) oštri ugao pravouglog trougla jednaki kraku i susjednom (suprotnom) oštrom uglu drugog trougla, onda su takvi trouglovi podudarni.

Svojstva noge nasuprot ugla od 30°:

Teorema 1.

Visina u pravokutnom trokutu

U pravouglom trokutu sa uglom od 30°, krak nasuprot ovom uglu će prekinuti polovinu hipotenuze.

Teorema 2. Ako je u pravokutnom trokutu kateta jednaka polovini hipotenuze, onda je ugao nasuprot njemu 30°.

Ako se visina povuče od vrha pravog ugla do hipotenuze, onda se takav trokut dijeli na dva manja, slična izlaznom i slična jedan drugom. Iz ovoga proizilaze sljedeći zaključci:

Visina je geometrijska sredina (proporcionalna sredina) dva segmenta hipotenuze.
Svaki krak trougla je srednja vrijednost proporcionalna hipotenuzi i susjednim segmentima.

U pravokutnom trouglu noge se ponašaju kao visine. Ortocentar je tačka u kojoj se dešava presek visina trougla. Poklapa se sa vrhom pravog ugla figure.

hC- visina koja izlazi iz pravog ugla trougla;

AB- hipotenuza;

AD I DV- segmenti koji nastaju dijeljenjem hipotenuze visinom.

Povratak na pregled informacija o disciplini "Geometrija"

Trougao je geometrijska figura koja se sastoji od tri tačke (vrhova) koje nisu na istoj pravoj liniji i tri segmenta koji povezuju ove tačke. Pravokutni trokut je trokut čiji je jedan od uglova 90° (pravougao).
Postoji teorema: zbir oštrih uglova pravouglog trougla je 90°.
sistem komentara CACKLE

Ključne riječi: trougao, pravi ugao, krak, hipotenuza, Pitagorina teorema, krug

Trougao se zove pravougaona ako ima pravi ugao.
Pravougli trokut ima dvije međusobno okomite stranice tzv noge; zove se njegova treća strana hipotenuza.

Prema svojstvima okomite i kose, hipotenuza je duža od svake katete (ali manja od njihovog zbira).
Zbir dva oštra ugla pravouglog trougla jednak je pravom uglu.
Dvije visine pravouglog trougla poklapaju se s njegovim katetama. Dakle, jedna od četiri izuzetne tačke pada na vrhove pravog ugla trougla.
Centar opisanog pravougla trougla leži u sredini hipotenuze.
Medijan pravouglog trougla povučen iz vrha pravog ugla do hipotenuze je poluprečnik kružnice opisane oko ovog trougla.

Posmatrajmo proizvoljan pravougli trougao ABC i povučemo visinu CD = hc iz vrha C njegovog pravog ugla.

On će podijeliti dati trougao na dva pravougla trougla ACD i BCD; svaki od ovih trouglova ima zajednički oštar ugao sa trouglom ABC i stoga je sličan trouglu ABC.

Sva tri trougla ABC, ACD i BCD slična su jedan drugom.

Iz sličnosti trokuta određuju se sljedeći odnosi:

$$h = \sqrt(a_(c) \cdot b_(c)) = \frac(a \cdot b)(c)$$;
c = ac + bc;
$$a = \sqrt(a_(c) \cdot c), b = \sqrt(b_(c) \cdot c)$$;
$$(\frac(a)(b))^(2)= \frac(a_(c))(b_(c))$$.

Pitagorina teorema jedna od osnovnih teorema euklidske geometrije, koja uspostavlja odnos između stranica pravouglog trougla.

Geometrijska formulacija. U pravokutnom trokutu, površina kvadrata izgrađenog na hipotenuzi jednaka je zbiru površina kvadrata izgrađenih na katetama.

Algebarska formulacija. U pravokutnom trokutu kvadrat hipotenuze jednak je zbiru kvadrata kateta.
To jest, označavajući dužinu hipotenuze trokuta sa c, a dužine kateta sa a i b:
a2 + b2 = c2

Obratna Pitagorina teorema.

Visina pravouglog trougla

Za bilo koju trojku pozitivnih brojeva a, b i c tako da
a2 + b2 = c2,
Postoji pravougaoni trokut sa katetama a i b i hipotenuzom c.

Znakovi jednakosti pravokutnih trougla:

duž kraka i hipotenuze;
na dvije noge;
duž noge i oštri ugao;
duž hipotenuze i oštrog ugla.

Vidi također:
Površina trougla, jednakokraki trokut, Jednakostranični trokut

Geometrija. 8 Klasa. Test 4. Opcija 1 .

AD : CD = CD : B.D. Stoga CD2 = AD ∙ B.D. Oni kazu:

AD : AC = AC : AB. Dakle, AC2 = AB ∙ A.D. Oni kazu:

BD : BC = BC : AB. Stoga je BC2 = AB ∙ B.D.

Riješiti probleme:

A) 70 cm; B) 55 cm; C) 65 cm; D) 45 cm; E) 53 cm.

2. Visina pravokutnog trougla povučena do hipotenuze dijeli hipotenuzu na segmente 9 i 36.

Odredite dužinu ove visine.

A) 22,5; B) 19; C) 9; D) 12; E) 18.

A) 30,25; B) 24,5; C) 18,45; D) 32; E) 32,25.

A) 25; B) 24; C) 27; D) 26; E) 21.

A) 8; B) 7; C) 6; D) 5; E) 4.

8. Krak pravouglog trougla je 30.

Kako pronaći visinu u pravokutnom trokutu?

Pronađite udaljenost od vrha pravog ugla do hipotenuze ako je polumjer kružnice opisane oko ovog trokuta 17.

A) 17; B) 16; C) 15; D) 14; E) 12.

10.

A) 15; B) 18; C) 20; D) 16; E) 12.

A) 80; B) 72; C) 64; D) 81; E) 75.

12.

A) 7,5; B) 8; C) 6,25; D) 8,5; E) 7.

Provjerite odgovore!

G8.04.1. Proporcionalni segmenti u pravokutnom trokutu

Geometrija. 8 Klasa. Test 4. Opcija 1 .

U Δ ABC ∠ACV = 90°. AC i BC krakovi, AB hipotenuza.

CD je visina trougla povučena do hipotenuze.

AD projekcija kraka AC na hipotenuzu,

BD projekcija BC kraka na hipotenuzu.

Visina CD trougao ABC dijeli na dva trougla slična njemu (i jedan drugom): Δ ADC i Δ CDB.

Iz proporcionalnosti strana sličnih Δ ADC i Δ CDB slijedi:

AD : CD = CD : B.D.

Svojstvo visine pravokutnog trougla spuštenog na hipotenuzu.

Dakle, CD2 = AD ∙ B.D. Oni kazu: visina pravokutnog trokuta povučena do hipotenuze,je prosječna proporcionalna vrijednost između projekcija kateta na hipotenuzu.

Iz sličnosti Δ ADC i Δ ACB slijedi:

AD : AC = AC : AB. Dakle, AC2 = AB ∙ A.D. Oni kazu: svaki krak je prosječna proporcionalna vrijednost između cijele hipotenuze i projekcije ovog kraka na hipotenuzu.

Slično, iz sličnosti Δ CDB i Δ ACB slijedi:

BD : BC = BC : AB. Stoga je BC2 = AB ∙ B.D.

Riješiti probleme:

1. Nađite visinu pravokutnog trokuta povučenog prema hipotenuzi ako dijeli hipotenuzu na segmente 25 cm i 81 cm.

A) 70 cm; B) 55 cm; C) 65 cm; D) 45 cm; E) 53 cm.

2. Visina pravouglog trougla povučena do hipotenuze dijeli hipotenuzu na segmente 9 i 36. Odredite dužinu ove visine.

A) 22,5; B) 19; C) 9; D) 12; E) 18.

4. Visina pravouglog trougla povučenog prema hipotenuzi je 22, projekcija jedne od kateta je 16. Pronađite projekciju druge katete.

A) 30,25; B) 24,5; C) 18,45; D) 32; E) 32,25.

5. Krak pravokutnog trougla je 18, a njegova projekcija na hipotenuzu je 12. Nađite hipotenuzu.

A) 25; B) 24; C) 27; D) 26; E) 21.

6. Hipotenuza je jednaka 32. Pronađite stranu čija je projekcija na hipotenuzu jednaka 2.

A) 8; B) 7; C) 6; D) 5; E) 4.

7. Hipotenuza pravouglog trougla je 45. Pronađite stranu čija je projekcija na hipotenuzu 9.

8. Krak pravouglog trougla je 30. Nađite rastojanje od vrha pravog ugla do hipotenuze ako je poluprečnik kružnice opisane oko ovog trougla 17.

A) 17; B) 16; C) 15; D) 14; E) 12.

10. Hipotenuza pravouglog trougla je 41, a projekcija jedne od kateta je 16. Nađite dužinu visine povučene od vrha pravog ugla do hipotenuze.

A) 15; B) 18; C) 20; D) 16; E) 12.

A) 80; B) 72; C) 64; D) 81; E) 75.

12. Razlika u projekcijama kateta na hipotenuzu je 15, a udaljenost od vrha pravog ugla do hipotenuze je 4. Nađite poluprečnik opisane kružnice.

A) 7,5; B) 8; C) 6,25; D) 8,5; E) 7.