Определение центра тяжести твердого тела. Центр тяжести твердого тела. Способы нахождения центра тяжести. Естественный способ задания движе­ния точки

Центр тяжести

геометрическая точка, неизменно связанная с твёрдым телом, через которую проходит равнодействующая всех сил тяжести, действующих на частицы этого тела при любом положении последнего в пространстве; она может не совпадать ни с одной из точек данного тела (например, у кольца). Если свободное тело подвешивать на нити, прикрепляемые последовательно к разным точкам тела, то направления этих нитей пересекутся в Ц. т. тела. Положение Ц. т. твёрдого тела в однородном поле тяжести совпадает с положением его центра масс (См. Центр масс). Разбивая тело на части с весами p k , для которых координаты x k , y k , z k их Ц. т. известны, можно найти координаты Ц. т. всего тела по формулам:

Большая советская энциклопедия. - М.: Советская энциклопедия . 1969-1978 .

Синонимы :

Смотреть что такое "Центр тяжести" в других словарях:

Центр масс (центр инерции, барицентр) в механике это геометрическая точка, характеризующая движение тела или системы частиц как целого. Содержание 1 Определение 2 Центры масс однородных фигур 3 В механике … Википедия

Неизменно связанная с твёрдым телом точка, через которую проходит равнодействующая сил тяжести, действующих на частицы этого тела при любом положении тела в пространстве. У однородного тела, имеющего центр симметрии (круг, шар, куб и т. д.),… … Энциклопедический словарь

Геом. точка, неизменно связанная с твёрдым телом, через к рую проходит равнодействующая сила всех сил тяжести, действующих на частицы тела при любом его положении в пространстве; она может не совпадать ни с одной из точек данного тела (напр., у… … Физическая энциклопедия

Неизменно связанная с твердым телом точка, через которую проходит равнодействующая сил тяжести, действующих на частицы этого тела при любом положении тела в пространстве. У однородного тела, имеющего центр симметрии (круг, шар, куб и т. д.),… … Большой Энциклопедический словарь

Центр тяжести - ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ, точка, через которую проходит равнодействующая сил тяжести, действующих на частицы твердого тела при любом положении тела в пространстве. У однородного тела, имеющего центр симметрии (круг, шар, куб и т.д.), центр тяжести находится … Иллюстрированный энциклопедический словарь

ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ, точка, в которой сконцентрирован вес тела и вокруг которой его вес распределен и уравновешен. Свободно падающий предмет вращается вокруг своего центра тяжести, в свою очередь вращающийся по траектории, которую описывал бы точечный… … Научно-технический энциклопедический словарь

центр тяжести - твёрдого тела; центр тяжести Центр параллельных сил тяжести, действующих на все частицы тела … Политехнический терминологический толковый словарь

Центроид Словарь русских синонимов. центр тяжести сущ., кол во синонимов: 12 главное (31) дух … Словарь синонимов

ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ - человеческого тела не обладает постоянным анат. расположением внутри тела, а перемещается в зависимости от измене ний позы; экскурсии его относительно позвоночника могут достигать 20 25 см. Опытное определение положения Ц. т. всего тела при… … Большая медицинская энциклопедия

Точка приложения равнодействующей сил тяжести (весов) всех отдельных частей (деталей), составляющих данное тело. Если тело симметрично относительно плоскости, прямой или точки, то в первом случае Ц. т. лежит в плоскости симметрии, во втором на… … Технический железнодорожный словарь

центр тяжести - Геометрическая точка твёрдого тела, через которую проходит равнодействующая всех сил тяжести, действующих на частицы этого тела при любом положении его в пространстве [Терминологический словарь по строительству на 12 языках (ВНИИИС Госстроя… … Справочник технического переводчика

Книги

• Центр тяжести , Поляринов А.В.. Роман Алексея Поляринова напоминает сложную систему озер. В нем и киберпанк, и величественные конструкции Дэвида Митчелла, и Борхес, и Дэвид Фостер Уоллес… Но его герои – молодые журналист,…

Просмотр: эта статья прочитана 11269 раз

Pdf Выберите язык... Русский Украинский Английский

Краткий обзор

Полностью материал скачивается выше, предварительно выбрав язык

Обзор

Рычаг - это твердое тело, имеющее недвижимую ось вращения и находящееся под действием сил, лежащих в плоскости, перпендикулярной этой оси.

Если рычаг находится в состоянии покоя, то алгебраическая сумма моментов всех сил, приложенных к рычагу относительно опорной точки, равняется нулю

Произвольная плоская система сил - это система сил, линии действия которых расположены в плоскости независимо.

Методом Пуансо в центре приведения О будет получена система сил и система пар, моменты каждой из которых равняют моментам соответствующей силы относительно центра приведения.

Главным вектором системы называется вектор, который равняется геометрической сумме всех сил системы.

Главным моментом системы относительно центра О в плоскости называется алгебраическая сумма моментов сил системы относительно центра приведения О.

Главный вектор не зависит от выбора центра приведения О. Главный момент сил зависит от центра приведения.

Основная теорема статики о приведении системы сил к данному центру : Какая-либо плоская произвольная система сил, действующих на абсолютно твердое тело, при приведении к произвольно избранному центру О, может быть заменена одной силой, равняющейся главному вектору системы и приложенной в центре приведения О, и одной парой с моментом, равняющемуся главному моменту системы относительно центра О.

Рассмотрены случаи приведения плоской системы сил к более простому виду

Условия равновесия произвольной плоской системы сил.

1. Геометрические условия равновесия : для равновесия плоской произвольной системы сил необходимо и достаточно, чтобы главный вектор и главный момент системы равнялись нулю

2. Аналитические условия равновесия .

Основная форма условий равновесия : Для равновесия произвольной плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций всех сил на координатные оси и сумма их моментов относительно любого центра, который лежит в плоскости действия сил, равнялись нулю.

Вторая форма условий равновесия : Для равновесия произвольной плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы суммы моментов всех сил относительно любых двух центров А и В и сумма их проекций на ось, не перпендикулярную прямой АВ, равнялись нулю.

Третья форма условий равновесия (уравнение трех моментов) : Для равновесия плоской произвольной системы сил необходимо и достаточно, чтобы суммы моментов всех сил относительно любых трех центров А, В и С, не лежащих на одной прямой, равнялись нулю.

Центр параллельных сил

Система параллельных сил, направленных в одну сторону, не может быть уравновешена или приводиться к паре сил, она всегда имеет равнодействующую.

Линия действия равнодействующей параллельна силам. Положение точки ее приложение зависит от величин и положения точек приложения сил системы.

Центр параллельных сил - точка С точка приложения равнодействующей системы параллельных сил.
Положение центра параллельных сил - точки С, определяется координатами этой точки

Центр тяжести твердого тела и его координаты

Центр тяжести тела - неизменно связанная с этим телом геометрическая точка, в которой приложена равнодействующая сил тяжести отдельных частиц тела, т.е. вес тела в пространстве.

Координаты центра тяжести определяются аналогично координатам центра параллельных сил С (), составленных силами тяжести частиц тела.

Положение центра тяжести однородного тела зависит только от его геометрической формы и размеров, и не зависит от свойств материала, из которого тело выполнено.

Сумма произведений элементарных площадей, входящих в состав плоской фигуры, на алгебраические значения их расстояний до некоторой оси, называется статическим моментом площади плоской фигуры.

Статический момент площади плоской фигуры равняется произведению площади фигуры на алгебраическое расстояние от центра тяжести до этой оси. Единица измерения статического момента [см3].
статический момент площади плоской фигуры относительно оси, которая проходит через центр тяжести фигуры, равняется нулю.

Вес тела это равнодействующая сил тяжести отдельных частиц тела.

Способы определения положения центра тяжести .

1. Метод симметрии : Если однородное тело имеет плоскость, ось или центр симметрии, то центр тяжести лежит соответственно или в плоскости симметрии, или на оси симметрии, или в центре симметрии.Центр тяжести линии длиной - по середине. Центр тяжести окружности (или круга) радиуса - в его центре, т.е. в точке пересечения диаметров. Центр тяжести параллелограмма, ромба или параллелепипеда - в точке пересечения диагоналей. Центр тяжести правильного многоугольника - в центре вписанного или описанный круга.
2. Метод разбивки : Если тело можно разбить на конечное количество элементов (объемов, плоскостей, линий), для каждой из которых положение центра тяжести известно, то координаты центра тяжести всего тела можно определить зная значения для элементов непосредственно по формулам
3. Метод дополнения (отрицательных плоскостей): Если тело имеет вырезанные элементы, то при разбивке на элементы, вырезанная часть (площадь, объем) отнимаются из общей, т.е. вырезанным элементам даются отрицательные значения площади или объема

Формат: pdf

Размер: 700 КВ

Язык: русский, украинский

Пример расчета прямозубой цилиндрической передачи
Пример расчета прямозубой цилиндрической передачи. Выполнен выбор материала, расчет допускаемых напряжений, расчет на контактную и изгибную прочность.

Пример решения задачи на изгиб балки
В примере построены эпюры поперечных сил и изгибающих моментов, найдено опасное сечение и подобран двутавр. В задаче проанализировано построение эпюр с помощью дифференциальных зависимостей, провелен сравнительный анализ различных поперечных сечений балки.

Пример решения задачи на кручение вала
Задача состоит в проверке прочности стального вала при заданном диаметре, материале и допускаемых напряжениях. В ходе решения строятся эпюры крутящих моментов, касательных напряжений и углов закручивания. Собственный вес вала не учитывается

Пример решения задачи на растяжение-сжатие стержня
Задача состоит в проверке прочности стального стержня при заданных допускаемых напряжениях. В ходе решения строятся эпюры продольных сил, нормальных напряжений и перемещений. Собственный вес стержня не учитывается

Применение теоремы о сохранении кинетической энергии
Пример решения задачи на применение теоремы о сохранение кинетической энергии механической системы

Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения
Пример решение задачи на определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения

Определение скоростей и ускорений точек твердого тела при плоскопараллельном движении
Пример решения задачи на определение скоростей и ускорений точек твердого тела при плоскопараллельном движении

Центром тяжести твердого тела называется геометрическая точка, жестко связанная с этим телом, и являющаяся центром параллельных сил тяжести, приложенных к отдельным элементарным частицам тела (рисунок 1.6).

Радиус-вектор этой точки

Рисунок 1.6

Для однородного тела положение центра тяжести тела не зависит от материала, а определяется геометрической формой тела.

Если удельный вес однородного тела γ , вес элементарной частицы тела

P k = γΔV k (P = γV ) подставить в формулу для определения r C , имеем

Откуда, проецируя на оси и переходя к пределу, получаем координаты центра тяжести однородного объема

Аналогично для координат центра тяжести однородной поверхности площадью S (рисунок 1.7, а)

Рисунок 1.7

Для координат центра тяжести однородной линии длиной L (рисунок 1.7, б)

Способы определения координат центра тяжести

Исходя из полученных ранее общих формул, можно указать способы определения координат центров тяжести твердых тел:

1 Аналитический (путем интегрирования).

2 Метод симметрии . Если тело имеет плоскость, ось или центр симметрии, то его центр тяжести лежит соответственно в плоскости симметрии, оси симметрии или в центре симметрии.

3 Экспериментальный (метод подвешивания тела).

4 Разбиение . Тело разбивается на конечное число частей, для каждой из которых положение центра тяжести C и площадь S известны. Например, проекцию тела на плоскость xOy (рисунок 1.8) можно представить в виде двух плоских фигур с площадями S 1 и S 2 (S = S 1 + S 2 ). Центры тяжести этих фигур находятся в точках C 1 (x 1 , y 1 ) и C 2 (x 2 , y 2 ) . Тогда координаты центра тяжести тела равны

Рисунок 1.8

5Дополнение (метод отрицательных площадей или объемов). Частный случай способа разбиения. Он применяется к телам, имеющим вырезы, если центры тяжести тела без выреза и вырезанной части известны. Например, необходимо найти координаты центра тяжести плоской фигуры (рисунок 1.9):

Рисунок 1.9

Центры тяжести простейших фигур

Рисунок 1.10

1 Треугольник

Центр тяжести площади треугольник совпадает с точкой пересечения его медиан (рисунок 1.10, а).

DM = MB , CM = (1/3)AM .

2 Дуга окружности

Дуга имеет ось симметрии (рисунок 1.10, б). Центр тяжести лежит на этой оси, т.е. y C = 0 .

dl – элемент дуги, dl = Rdφ , R – радиус окружности, x = Rcosφ , L = 2αR ,

Следовательно:

x C = R(sinα/α) .

3 Круговой сектор

Сектор радиуса R с центральным углом 2α имеет ось симметрии Ox , на которой находится центр тяжести (рисунок 1.10, в).

Разбиваем сектор на элементарные секторы, которые можно считать треугольниками. Центры тяжести элементарных секторов располагаются на дуге окружности радиуса (2/3)R .

Центр тяжести сектора совпадает с центром тяжести дуги AB :

14. Способы задания движения точки.

При векторном способе задания движения положение точки определяется радиус-вектором, проведенным из неподвижной точки в выбранной системе отсчета.

При координатном способе задания движения задаются координаты точки как функции времени:

Это параметрические уравнения траектории движущейся точки, в которых роль параметра играет время t . Чтобы записать ее уравнение в явной форме, надо исключить из них t .

При естественном способе задания движения задаются траектория точки, начало отсчета на траектории с указанием положительного направления отсчета, закон изменения дуговой координаты: s=s(t) . Этим способом удобно пользоваться, если траектория точки заранее известна.

15. 1.2 Скорость точки

Рассмотрим перемещение точки за малый промежуток времени Δt :

средняя скорость точки за промежуток времени Dt . Скорость точки в данный момент времени

Скорость точки – это кинематическая мера ее движения, равная производной по времени от радиус-вектора этой точки в рассматриваемой системе отсчета. Вектор скорости направлен по касательной к траектории точки в сторону движения.

Центр тяжести твердого тела

Центром тяжести твердого тела называется геометрическая точка, жестко связанная с этим телом, и являющаяся центром параллельных сил тяжести, приложенных к отдельным элементарным частицам тела (рисунок 1.6).

Радиус-вектор этой точки

Рисунок 1.6

Для однородного тела положение центра тяжести тела не зависит от материала, а определяется геометрической формой тела.

Если удельный вес однородного тела γ , вес элементарной частицы тела

P k = γΔV k (P = γV)

подставить в формулу для определения r C , имеем

Откуда, проецируя на оси и переходя к пределу, получаем координаты центра тяжести однородного объема

Аналогично для координат центра тяжести однородной поверхности площадью S (рисунок 1.7, а)

Рисунок 1.7

Для координат центра тяжести однородной линии длиной L (рисунок 1.7, б)

Способы определения координат центра тяжести

Исходя из полученных ранее общих формул, можно указать способы определения координат центров тяжести твердых тел:

Рисунок 1.8

Рисунок 1.9

11. Основные понятия кинематики. Кинематика точки. Способы задания движения точки. Скорость и ускорение точки.

Основные понятия кинематики

Кинематика - раздел механики, изучающий движение тел без учета причин, вызвавших это движение.

Основной задачей кинематики является нахождение положения тела в любой момент времени, если известны его положение, скорость и ускорение в начальный момент времени.

Механическое движение - это изменение положения тел (или частей тела) относительно друг друга в пространстве с течением времени.

Для описания механического движения надо выбрать систему отсчета.

Тело отсчета - тело (или группа тел), принимаемое в данном случае за неподвижное, относительно которого рассматривается движение других тел.

Система отсчета - это система координат, связанная с телом отсчета, и выбранный способ измерения времени (рис. 1).

Положение тела можно определить с помощью радиуса-вектора r⃗ r→ или с помощью координат.

Радиус-вектор r⃗ r→ точки Μ - направленный отрезок прямой, соединяющий начало отсчета О с точкой Μ (рис. 2).

Координата x точки Μ - это проекция конца радиуса-вектора точки Μ на ось Ох . Обычно пользуются прямоугольной системой ко ординат. В этом случае положение точки Μ на линии, плоскости и в пространстве определяют соответственно одним (x ), двумя (х , у ) и тремя (х , у , z ) числами - координатами (рис. 3).

В элементарном курсе физики изучают кинематику движения материальной точки.

Материальная точка - тело, размерами которого в данных условиях можно пренебречь.

Этой моделью пользуются в тех случаях, когда линейные размеры рассматриваемых тел много меньше всех прочих расстояний в данной задаче или когда тело движется поступательно.

Поступательным называется движение тела, при котором прямая, проходящая через любые две точки тела, перемещается, оставаясь параллельной самой себе. При поступательном движении все точки тела описывают одинаковые траектории и в любой момент времени имеют одинаковые скорости и ускорения. Поэтому для описания такого движения тела достаточно описать движение его одной произвольной точки.

В дальнейшем под словом "тело" будем понимать "материальная точка".

Линия, которую описывает движущееся тело в определенной системе отсчета, называется траекторией . На практике форму траектории задают с помощью математических формул (y = f (x ) - уравнение траектории) или изображают на рисунке. Вид траектории зависит от выбора системы отсчета. Например, траекторией тела, свободно падающего в вагоне, который движется равномерно и прямолинейно, является прямая вертикальная линия в системе отсчета, связанной с вагоном, и парабола в системе отсчета, связанной с Землей.

В зависимости от вида траектории различают прямолинейное и криволинейное движение.

Путь s - скалярная физическая величина, определяемая длиной траектории, описанной телом за некоторый промежуток времени. Путь всегда положителен: s > 0.

Перемещение Δr⃗ Δr→ тела за определенный промежуток времени - направленный отрезок прямой, соединяющий начальное (точка M 0) и конечное (точка М ) положение тела (см. рис. 2):

Δr⃗ =r⃗ −r⃗ 0, Δr→=r→−r→0,

где r⃗ r→ и r⃗ 0 r→0 - радиусы-векторы тела в эти моменты времени.

Проекция перемещения на ось Ox

Δrx=Δx=x−x0 Δrx=Δx=x−x0

Где x 0 и x - координаты тела в начальный и конечный моменты времени.

Модуль перемещения не может быть больше пути

|Δr⃗ |≤s |Δr→|≤s

Знак равенства относится к случаю прямолинейного движения, если направление движения не изменяется.

Зная перемещение и начальное положение тела, можно найти его положение в момент времени t:

r⃗ =r⃗ 0+Δr⃗ ; r→=r→0+Δr→;

{x=x0+Δrx;y=y0+Δry. {x=x0+Δrx;y=y0+Δry.

Скорость

Средняя скорость hυ⃗ i hυ→i - векторная физическая величина, численно равная отношению перемещения к промежутку времени, за который оно произошло, и направленная вдоль перемещения (рис. 4):

hυ⃗ i=Δr⃗ Δt;hυ⃗ i⇈Δr⃗ . hυ→i=Δr→Δt;hυ→i⇈Δr→.

В СИ единицей скорости является метр в секунду (м/с).

Средняя скорость, найденная по этой формуле, характеризует движение только на том участке траектории, для которого она определена. На другом участке траектории она может быть другой.

Иногда пользуются средней скоростью пути

hυi=sΔt hυi=sΔt

Где s - путь, пройденный за промежуток времени Δt . Средняя скорость пути - это скалярная величина.

Мгновенная скорость υ⃗ υ→ тела - скорость тела в данный момент времени (или в данной точке траектории). Она равна пределу, к которому стремится средняя скорость за бесконечно малый промежуток времени υ⃗ =limΔt→0Δr⃗ Δt=r⃗ ′ υ→=limΔt→0Δr→Δt=r→ ′. Здесь r⃗ ′ r→ ′ - производная от радиуса-вектора по времени.

В проекции на ось Ох :

υx=limΔt→0ΔxΔt=x′. υx=limΔt→0ΔxΔt=x′.

Мгновенная скорость тела направлена по касательной к траектории в каждой ее точке в сторону движения (см. рис. 4).

Ускорение

Среднее ускорение - физическая величина, численно равная отношению изменения скорости ко времени, за которое оно произошло:

ha⃗ i=Δυ⃗ Δt=υ⃗ −υ⃗ 0Δt. ha→i=Δυ→Δt=υ→−υ→0Δt.

Вектор ha⃗ i ha→i направлен параллельно вектору изменения скорости Δυ⃗ Δυ→ (ha⃗ i⇈Δυ⃗ ha→i⇈Δυ→) в сторону вогнутости траектории (рис. 5).

Мгновенное ускорение :

a⃗ =limΔt→0Δυ⃗ Δt=υ⃗ ′. a→=limΔt→0Δυ→Δt=υ→ ′.

В СИ единицей ускорения является метр на секунду в квадрате (м/с 2).

В общем случае мгновенное ускорение направлено под углом к скорости. Зная траекторию, можно определить направление скорости, но не ускорения. Направление ускорения определяется направлением равнодействующей сил, действующих на тело.

При прямолинейном движении с возрастающей по модулю скоростью (рис. 6, а) векторы a⃗ a→ и υ⃗ 0 υ→0 сонаправлены (a⃗ ⇈υ⃗ 0 a→⇈υ→0) и проекция ускорения на направление движения положительна.

При прямолинейном движении с убывающей по модулю скоростью (рис. 6, б) направления векторов a⃗ a→ и υ⃗ 0 υ→0 противоположны (a⃗ ↓υ⃗ 0 a→↓υ→0) и проекция ускорения на направление движения отрицательна.

Вектор a⃗ a→ при криволинейном движении можно разложить на две составляющие, направленные вдоль скорости a⃗ τ a→τ и перпендикулярно скорости a⃗ n a→n (рис. 1.7), a⃗ τ a→τ - тангенциальное ускорение, характеризующее быстроту изменения модуля скорости при криволинейном движении, a⃗ n a→n - нормальное ускорение, характеризующее быстроту изменения направления вектора скорости при криволинейном движении Модуль ускорения a=a2τ+a2n−−−−−−√ a=aτ2+an2.

Способы задания движения точки

Для задания движения точки можно применять один из следую­щих трех способов:

1) векторный, 2) координатный, 3) естественный.

1. Векторный способ задания движения точки.

Пусть точка М движется по отношению к некоторой си­стеме отсчета Oxyz . Положение этой точки в любой момент времени можно определить, задав ее радиус-вектор , проведенный из на­чала координат О в точку М (рис. 3).

Рис.3

При движении точки М вектор будет с течением времени изме­няться и по модулю, и по направлению. Следовательно, является переменным вектором (вектором-функцией), зависящим от аргу­мента t:

Равенство определяет закон движения точки в векторной форме, так как оно позволяет в любой момент времени построить соответствующий вектор и найти положение движущейся точки.

Геометрическое место концов вектора , т.е. годограф этого вектора, определяет траекторию движущейся точки.

2. Координатный способ задания движе­ния точки.

Положение точки можно непосредственно опре­делять ее декартовыми координатами х, у, z (рис.3), которые при движении точки будут с течением времени изменяться. Чтобы знать закон дви­жения точки, т.е. ее положение в пространстве в любой момент вре­мени, надо знать значения координат точки для каждого момента времени, т.е. знать зависимости

x=f 1 (t), y=f 2 (t), z=f 3 (t).

Уравнения представляют собой уравнения движения точки в прямоугольных декартовых координатах. Они определяют закон движения точки при координатном способе задания движения.

Чтобы получить уравнение траектории надо из уравнений движения исключить параметр t.

Нетрудно установить зависимость между векторным и координатным способами задания движения.

Разложим вектор на составляющие по осям координат:

где r x , r y , r z - проекции вектора на оси; – единичные векторы направленные по осям, орты осей.

Так как начало вектора находится в начале координат, то проекции вектора будут равны координатам точки M . Поэтому

Если движение точки задано в полярных координатах

r=r(t), φ = φ(t),

где r - полярный радиус, φ - угол между полярной осью и по­лярным радиусом, то данные уравнения выражают уравнение траекто­рии точки. Исключив параметр t, получим

r = r(φ).

Пример 1. Движение точки задано уравнениями

Рис.4

Чтобы исключить время, параметр t , найдём из первого уравнения sin2t=x/2, из второго cos2t=y/3. Затем возведём в квадрат и сложим. Так как sin 2 2t+cos 2 2t=1, получим . Это уравнение эллипса с полуосями 2 см и 3 см (рис.4).

Начальное положение точки M 0 (при t =0) определяется координатами x 0 =0, y 0 =3 см.

Через 1 сек. точка будет в положении M 1 с координатами

x 1 =2sin2=2∙0,91=1,82 см, y 1 =2cos2=3∙(-0,42)= -1,25 см.

Примечание.

Движение точки может быть задано с помощью и других координат. Например, цилиндрических или сферических. Среди них будут не только линейные размеры, но и углы. При необходимости, с заданием движения цилиндрическими и сферическими координатами можно познакомиться по учебникам.

3. Естественный способ задания движе­ния точки.

Рис.5

Естественным способом задания движения удобно пользоваться в тех слу­чаях, когда траектория движущейся точки известна заранее. Пусть кривая АВ явля­ется траекторией точки М при ее движении относительно системы отсчета Oxyz (рис.5) Выберем на этой траектории какую-нибудь неподвижную точку О" , которую примем за начало отсчета, и установим на траектории положительное и отрицатель­ное направления отсчета (как на координат­ной оси).

Тогда положение точки М на тра­ектории будет однозначно определяться криволинейной коорди­натой s , которая равна расстоянию от точки О’ до точки М , изме­ренному вдоль дуги траектории и взятому с соответствующим знаком. При движении точка М перемещается в положения M 1 , М 2 ,... . следовательно, расстояние s будет с течением времени изменяться.

Чтобы знать положение точки М на траектории в любой момент времени, надо знать зависимость

Уравнение выражает закон движения точки М вдоль тра­ектории. Функция s= f(t) должна быть однозначной, непрерывной и дифференцируемой.

За положительное направление отсчета дуговой координаты s принимают направление движения точки в момент, когда она занимает положение О. Cледует помнить, что уравнение s=f(t) не определяет закон движения точки в пространстве, так как для определения положения точки в пространстве нужно знать еще траекторию точки с начальным положением точки на ней и фиксированное положительное направление. Таким образом, движение точки считается заданным естественным способом, если известна траектория и уравнение (или закон) движения точки по траектории.

Важно заметить, что дуговая координата точки s отлична от пройденного точкой по траектории пути σ. При своем движении точка проходит некоторый путь σ, которой является функцией времени t. Однако пройденный путь σ совпадает с расстоянием s лишь тогда, когда функция s = f(t) монотонно изменяется со временем, т.е. при движении точки в одном направлении. Допустим, что точка М переходит из М 1 в М 2 . Положению точки в М 1 соответствует время t 1 , а положению точки в М 2 - время t 2 . Разложим промежуток времени t 2 - t 1 на весьма малые промежутки времени ∆t 1 (i = 1,2, …n) так, чтобы в каждый из них точка совершала движение в одном направлении. Соответствующее приращение дуговой координаты обозначим ∆s i . Пройденной точкой путь σ будет положительной величиной:

Если движение точки задано координатным способом, то пройденный путь определяется по формуле

где dx=xdt, dy= ydt, dz=zdt.

Следовательно,

Пример 2. Точка движется по прямой линии, по закону s=2t+3 (см) (рис. 6).

Рис.6

В начале движения, при t=0 s=OM 0 =s 0 =3 см. Положение точки M 0 назы­вается начальным положением . При t=1 с, s=OM 1 =5 см.

Конечно, за 1 сек. точка прошла расстоя­ние M 0 M 1 = 2см.Так что s – это не путь пройденный точ­кой, а расстояние от начала отсчёта до точки.

Вектор скорости точки

Одной из основных кинематических характеристик движе­ния точки является векторная величина, называемая скоростью точки. Понятие скорости точки в равномерном прямолинейном движении относится к числу элементарных понятий.

Скорость - мера механического состояния тела. Она характеризует быстроту изменения положения тела относительно данной системы отсчета и является векторной физической величиной.

Единица измерения скорости – м/с. Часто используют и другие единицы, например, км/ч: 1 км/час=1/3,6 м/с.

Движение точки называется равномерным, если приращения радиуса-вектора точки за одинаковые промежутки времени равны между собой. Если при этом траекторией точки является прямая, то движение точки называется прямолинейным.

Для равномерно-прямолинейного движения

∆r=v ∆t, (1)

где v – постоянный вектор.

Вектор v называется скоростью прямолинейного и равномерного движения полностью его определяет.

Из соотношения (1) видно, что скорость прямолинейного и равномерного движения является физической величиной, определяющей перемещение точки за единицу времени. Из (1) имеем

Направление вектора v указано на рис. 6.1.

Рис.6.1

При неравномерном движении эта формула не годится. Введем сначала понятие о средней скорости точки за какой-нибудь промежуток времени.

Пусть движущаяся точка находится в момент времени t в положении М , определяемом радиусом-векто­ром , а в момент t 1 приходит в положение M 1 определяемое векто­ром (рис.7). Тогда перемещение точки за промежуток времени ∆t=t 1 -t определяется вектором который будем называть вектором перемещения точки. Из треугольника ОММ 1 видно, что ; следовательно,

Рис. 7

Отношение вектора перемещения точки к соответствующему промежутку времени дает векторную величину, называемую сред­ней по модулю и направлению скоростью точки за промежуток времени ∆t:

Скоростью точки в данный момент времени t называется векторная величина v, к которой стремится средняя скорость v ср при стремлении промежутка времени ∆t к нулю:

Итак, вектор скорости точки в данный момент времени равен первой производной от радиуса-вектора точки по времени.

Так как предельным направлением секущей ММ 1 является касательная, то вектор скорости точки в данный момент времени направлен по касательной к траектории точки в сторону движения.

Определение скорости точки при координатном способе задания движения

Вектор скорости точки , учитывая, что r x =x, r y =y, r z =z, найдем:

Таким образом, проекции скорости точки на координатные оси равны первым производным от соответствующих координат точки по времени.

Зная проекции скорости, найдем ее модуль и направление (т.е. углы α, β, γ, которые вектор v образует с координатными осями) по формулам

Итак, численная величина скорости точки в данный момент времени равна первой производной от расстояния (криволинейной координаты) s точки по времени.

Направлен вектор скорости по касательной к траектории, кото­рая нам наперед известна.

Определение скорости точки при естественном способе задания движения

Величину скорости можно определить как предел (∆r – длина хорды ММ 1):

где ∆s – длина дуги ММ 1 . Первый предел равен единице, второй предел – производная ds/dt.

Следовательно, скорость точки есть первая производная по времени от закона движения:

Направлен вектор скорости, как было установлено ранее, по касательной к траектории. Если величина скорости в данный момент будет больше нуля, то вектор скорости направляется в положительном направлении

Вектор ускорения точки

Ускорение - векторная физическая величина, характеризующая быстроту изменения скорости. Оно показывает, на какую величину изменяется скорость тела за единицу времени.

В СИ единицей ускорения является метр на секунду в квадрате . к соответствующему про­межутку времени ∆t определяет век­тор среднего ускорения точки за этот промежуток времени:

Вектор среднего ускорения имеет то же направление, что и век­тор , т.е. направлен в сторону вогнутости траектории.

Ускорением точки в данный момент времени t называется век­торная величина , к которой стремится среднее ускорение при стремлении промежутка времени ∆t к нулю: Вектор ускорения точки в данный момент време­ни равен первой производной от вектора скорости или второй произ­водной от радиуса-вектора точки по времени.

Ускорение точки равно нулю лишь тогда, когда скорость точки v посто­янна как по величине, так и по направлению: это соответствует только прямолинейному и равно­мерному движению.

Найдем, как располагается вектор по отношению к траекто­рии точки. При прямолинейном движении вектор направлен вдоль прямой, по которой движется точка. на­правлен в сторону вогнутости траектории и лежит в плоскости, про­ходящей через касательную к траектории в точке М и прямую, па­раллельную касательной в соседней точке M 1 (рис. 8). В пределе, когда точка М стремится к М , эта плоскость занимает положение так называемой соприкасающейся плоскости, т.е. плоскости, в которой происходит бесконечно малый поворот касательной к траектории при элементарном перемещении движущейся точки. Следовательно, в общем случае вектор ускорения лежит в соприкасающейся плоскости и направлен в сторону вогнутости кривой.

Определение ускорения при координатном способе задания движения

Вектор ускорения точки в проекции на оси получаем:

т.е. проекция ускорения точки на координатные оси равны первым производным от проекций скорости или вторым производным от соответствующих координат точки по времени. Модуль и направление ускорения найдутся из формул

Рис.10

Проекции ускорения a x = =0, a y = =-8 см∙с -2 . Так как проекция вектора ускорения на ось x равна нулю, а на ось y – отрица­тельна, то вектор ускорения на­правлен верти­кально вниз, и величина его постоянна, не за­висит от времени.

Любое тело можно рассматривать как совокупность материальных точек, в качестве которых можно, например, брать молекулы. Пусть тело состоит из n материальных точек с массами m1, m2, ...mn.

Центром масс тела , состоящего из n материальных точек, называется точка (в геометрическом смысле), радиус-вектор которой определяется формулой :

Здесь R1 – радиус-вектор точки с номером i (i = 1, 2, ... n).

Это определение выглядит непривычно, но на самом деле оно даёт положение того самого центра масс, о котором у нас имеется интуитивное представление. Например, центр масс стержня будет находиться в его середине. Сумма масс всех точек, входящая в знаменатель вышеопределённой формулы, называется массой тела. Массой тела называется сумма масс всех его точек : m = m1 + m2 + ... + mn .

В симметричных однородных телах ЦМ всегда расположен в центре симметрии или лежит на оси симметрии, если у фигуры центра симметрии нет. Центр масс может находиться как внутри тела (диск, квадрат, треугольник), так и вне его (кольцо, рамка, угольник).

Для человека положение ЦМ зависит от принятой позы. Во многих видах спорта важным слагаемым успеха является способность сохранять равновесие. Так, в спортивной гимнастике, акробатике

большое количество элементов включат в себя разные виды равновесия. Важна способность сохранять равновесие в фигурном катании, в беге на коньках, где опора имеет очень малую площадь.

Условиями равновесия покоящегося тела являются одновременное равенство нулю суммы сил и суммы моментов сил , действующих на тело.

Выясним, какое положение должна занимать ось вращения, чтобы закреплённое на ней тело оставалось в равновесии под действием сил тяжести. Для этого разобьём тело на множество маленьких кусочков и нарисуем действующие на них силы тяжести.

В соответствии с правилом моментов для равновесия необходимо, чтобы сумма моментов всех этих сил относительно оси равнялась нулю.

Можно показать, что для каждого тела существует единственная точка, где сумма моментов сил тяжести относительно любой оси, проходящей через эту точку, равна нулю. Эта точка называется центром тяжести (обычно совпадает с центром масс).

Центром тяжести тела (ЦТ) называется точка, относительно которой сумма моментов сил тяжести, действующей на все частицы тела, равна нулю .

Таким образом, силы тяжести не вызывают вращения тела вокруг центра тяжести. Поэтому все силы тяжести можно было бы заменить единственной силой, которая приложена к этой точке и равна силе тяжести.

Для изучения движений тела спортсмена часто вводится термин общий центр тяжести (ОЦТ). Основные свойства центра тяжести:

Если тело закреплено на оси, проходящей через центр тяжести, то сила тяжести не будет вызывать его вращения;

Центр тяжести является точкой приложения силы тяжести;

В однородном поле центр тяжести совпадает с центром масс.

Равновесным называется такое положение тела, при котором оно может оставаться в покое сколь угодно долго. При отклонении тела от положения равновесия, силы, действующие на него, изменяются, и равновесие сил нарушается.

Существуют различные виды равновесия (рис. 9). Принято различать три вида равновесия: устойчивое, неустойчивое и безразличное.

Устойчивое равновесие (рис. 9, а) характеризуется тем, что тело возвращается в первоначальное положение при его отклонении. В таком случае возникают силы, или моменты сил, стремящаяся возвратить тело в исходное положение. Примером может служить положение тела с верхней опорой (например, вис на перекладине), когда при любых отклонениях тело стремится возвратиться в начальное положение.

Безразличное равновесие (рис. 9, б) характеризуется тем, что при изменении положения тела не возникает сил или моментов сил, стремящихся возвратить тело в начальное положение или ещё более удалить тело от него. Это редко наблюдаемый у человека случай. Примером может служить состояние невесомости на космическом корабле.

Неустойчивое равновесие (рис. 9, в) наблюдается тогда, когда при малых отклонениях тела возникают силы или моменты сил, стремящихся ещё больше отклонить тело от начального положения. Такой случай можно наблюдать, когда человек, стоя на опоре очень малой площади (значительно меньшей площади его двух ног или даже одной ноги), отклоняется в сторону.

Рисунок 9. Равновесие тела : устойчивое (а), безразличное (б), неустойчивое (в)

Наряду с перечисленными видами равновесия тел в биомеханике рассматривают ещё один вид равновесия – ограниченно-устойчивое. Этот вид равновесия отличается тем, что тело может вернуться в начальное положение при отклонении от него до некоторого предела, например, определяемого границей площади опоры. Если же отклонение переходит этот предел, равновесие становится неустойчивым.

Основная задача при обеспечении равновесия тела человека состоит в том, чтобы проекция ОЦМ тела находилась в пределах площади опоры. В зависимости от вида деятельности (сохранение статического положения, ходьба, бег и т. п.) и требований к устойчивости частота и быстрота корригирующих воздействий изменяются, но процессы сохранения равновесия одинаковы.

Распределение массы в теле человека

Масса тела и массы отдельных сегментов очень важны для различных аспектов биомеханики. Во многих видах спорта необходимо знать распределение массы для выработки правильной техники выполнения упражнений. Для анализа движений тела человека используется метод сегментирования: оно условно рассекается на определённые сегменты. Для каждого сегмента определяются его масса и положение центра масс. В табл. 1 определены массы частей тела в относительных единицах.

Таблица 1. Массы частей тела в относительных единицах

Часто вместо понятия центра масс используют другое понятие – центр тяжести. В однородном поле тяжести центр тяжести всегда совпадает с центром масс. Положение центра тяжести звена указывают как его расстояние от оси проксимального сустава и выражают относительно длины звена, принятой за единицу.

В табл. 2 приведены анатомическое положение центров тяжести различных звеньев тела.

Таблица 2. Центры тяжести частей тела

Часть тела	Положение центра тяжести
Бедро	0,44 длины звена
Голень	0,42 длины звена
Плечо	0,47 длины звена
Предплечье	0,42 длины звена
Туловище
Голова
Кисть
Стопа
Плечо	0,47 длины звена
Предплечье	0,42 длины звена
Туловище	0,44 расстояния от поперечной оси плечевых суставов до оси тазобедренных
Голова	Расположена в области турецкого седла клиновидной кости (проекция спереди между бровями, сбоку – на 3,0 – 3,5 выше наружного слухового прохода)
Кисть	В области головки третьей пястной кости
Стопа	На прямой, соединяющей пяточный бугор пяточной кости с концом второго пальца на расстоянии 0,44 от первой точки
Общий центр масс тяжести при вертикальном положении тела	Расположен при основной стойке в области малого таза, впереди крестца