Inverzni matrični kriterijumi. Inverzna matrica i rang matrice. Izračunavanje ranga matrice

Matrica inverzna od datog.

Nema svaka matrica inverz.

Teorema 1. Najjednostavnija svojstva inverzne matrice.

1°. Bilo koja matrica može imati najviše jedan inverz.

2°. E –1 = E.

3°. ( A –1) –1 = A.

4°. ( AB) –1 = B –1 A –1 .

Singularne i nesingularne kvadratne matrice.

Teorema 2. Kriterijum invertibilnosti matrice.

Matrica je invertibilna ako i samo ako nije singularna.

Lema 1. Bilo koja elementarna transformacija reda (kolone) matrice može se implementirati množenjem ove matrice na lijevoj (desnoj) strani sa odgovarajućom elementarnom matricom.

Lema 2. Da bi matrica bila nesingularna, potrebno je i dovoljno da se može svesti na matricu identiteta koristeći samo redovne elementarne transformacije.

Lema 3. Ako su redovi (kolone) matrice A (B) su linearno zavisne i C = AB, onda potpuno isto linearna zavisnost izvedeno za redove (kolone) matrice WITH.

Praktičan način za izračunavanje inverzne matrice:

A|E ... E|A –1 .

Matrične jednačine.

Snimanje SLE u obliku jedne matrične jednačine posebnog oblika. Cramerov toranj u matričnom obliku.

Permutacije i supstitucije

Preuređenje. Snimanje permutacije. Broj permutacija n elementi. Inverzije. Parne i neparne permutacije. Transpozicije.

Teorema. Svojstva transpozicije.

1°. Možete ići sa bilo koje permutacije na bilo koju drugu permutaciju koristeći nekoliko transpozicija.

2°. Svaka transpozicija mijenja paritet permutacije.

Zamjene. S n. Zamena snimanja. Paritet zamjene. Ispravnost određivanja pariteta zamjene. Divlja karta. (–1) s (p) .

Definicija determinante

Definicija determinante.

Primjeri izračunavanja determinanti matrica drugog i trećeg reda, determinante gornje (donje) trokutne matrice, determinante matrice u kojoj su svi elementi ispod (iznad) bočne dijagonale jednaki nuli.

Svojstva determinante

Teorema. Svojstva determinante.

1°. det t A= det A.

2°.det = det + det .

3°. det = l×det .

4°. det = –det .

5°. Ako je jedan od redova matrice nula, tada je determinanta matrice jednaka nuli.

6°. Ako su bilo koja dva reda matrice jednaka, tada je determinanta matrice nula.

7°. Ako su bilo koja dva reda matrice proporcionalna, tada je determinanta matrice nula.

8°. Ako se jedan od redova matrice pomnoži brojem i doda drugom redu, determinanta se neće promijeniti.

9°. Determinanta singularne matrice jednaka je nuli.

10°. Determinanta nesingularne matrice nije nula.

Bilješka. Svojstva 1°–4° su dokazana po definiciji, preostale osobine su izvedene korištenjem svojstava 1°–4°.

Zaključak 1. Kriterijum za nedegeneraciju matrice.

Kvadratna matrica je nesingularna ako i samo ako je njena determinanta različita od nule.

Zaključak 2. Homogeni sistem linearnih jednačina koji se sastoji od n jednačine sa n nepoznato, ima rješenja različita od nule ako i samo ako je determinanta sistemske matrice jednaka nuli.

Minori i algebarski komplementi. Dekompozicija determinante u redu i koloni

Minor M ij kvadratna matrica. Algebarski komplement A ij element a ij kvadratna matrica.

Teorema o razgradnji.

det A = a k 1 A k 1 +a k 2 A k 2 + ... +a kn A kn, det A = a 1k A 1k +a 2k A 2k + ... +a nk A nk

za bilo koji k =

Faze dokazivanja

1. Za matricu u kojoj A n = e n, po definiciji det.

2. Za matricu u kojoj A i = e j, svođenjem na slučaj 1, uzimajući u obzir znak A i i nepromjenjivost M ij.

3. Opšti slučaj po zastupanju A i kao suma n vektori i redukcija na slučaj 2.

Još jedno svojstvo determinante

11°. a k 1 A str 1 +a k 2 A str 2 + ... +a kn A pn,a 1 k A 1 str+a 2 k A 2 str+ ... +a nk A np, Ako k ¹ str.

Nesingularna matrica je kvadratna matrica n-tog reda čija je determinanta različita od nule. Inače se matrica zove degenerisati.

Teorema ( jedinstvenost postojanja inverzne matrice): Ako matrica ima inverznu matricu, onda je jedinstvena.

Dokaz.

Neka postoji matrica za koju i matrica za koju .

Onda, to je. Pomnožimo obje strane jednakosti matricom, dobivamo , gdje i .

To znači da je to ono što je trebalo dokazati.

12. Matrične jednadžbe, njihovo rješenje pomoću inverzne matrice.

Matrične jednadžbe mogu izgledati ovako:

AX = B, HA = B, AXB = C,

gdje su A, B, C specificirane matrice, X je željena matrica.

Matrične jednadžbe se rješavaju množenjem jednačine inverznim matricama.

Na primjer, da biste pronašli matricu iz jednačine, trebate ovu jednačinu pomnožiti sa lijevo.

Stoga, da biste pronašli rješenje jednadžbe, morate pronaći inverznu matricu i pomnožiti je sa matricom na desnoj strani jednadžbe.

13. Kvadratni sistemi linearnih jednadžbi. Cramerovo pravilo.

Sistem od m linearnih jednačina sa n nepoznatih (ili, linearni sistem) u linearnoj algebri je sistem jednačina oblika

Cramerova metoda (Cramerovo pravilo) je metoda za rješavanje kvadratnih sistema linearnih algebarskih jednadžbi sa nenultom determinantom glavne matrice (i za takve jednačine postoji jedinstveno rješenje). Nazvan po Gabrielu Crameru (1704–1752), koji je izumio metodu.

Za sistem od n linearnih jednadžbi sa n nepoznatih (nad proizvoljnim poljem)

sa determinantom sistemske matrice Δ različitom od nule, rješenje se zapisuje u obliku

(i-ta kolona sistemske matrice zamijenjena je kolonom slobodnih pojmova).

U drugom obliku, Cramerovo pravilo je formulirano na sljedeći način: za bilo koje koeficijente c 1, c 2, ..., c n vrijedi sljedeća jednakost:

Sistem linearnih jednadžbi:

Za svaki brojevi a¹0 postoji inverzni broj a -1 takav da rad a×a -1 =1. Sličan koncept je uveden za kvadratne matrice.

Definicija. Ako postoje kvadratne matrice X i A istog reda koje zadovoljavaju uvjet:

gdje je E matrica identiteta istog reda kao i matrica A, tada se matrica X naziva obrnuto na matricu A i označava se sa A -1.

Iz definicije slijedi da samo kvadratna matrica ima inverz; u ovom slučaju, inverzna matrica je također kvadrat istog reda.

Međutim, nema svaka kvadratna matrica inverz. Ako je stanje a¹0 je neophodan i dovoljan za postojanje broja a -1, tada je za postojanje matrice A -1 takav uslov uslov DA ¹0.

Definicija. Kvadratna matrica n-ti red se zove nedegenerisan (ne-singularan), ako je njegova determinanta DA ¹0.

Ako je DA= 0 , tada se poziva matrica A degenerisan (poseban).

Teorema(neophodan i dovoljan uslov za postojanje inverzne matrice). Ako je kvadratna matrica nije posebno(tj. njegova determinanta nije jednaka nuli), onda za nju postoji jedini inverzna matrica.

Dokaz.

I. Nužnost. Neka matrica A ima inverzno A -1, tj. AA -1 = A -1 A=E. By imovina 3 odrednice ( § 11) imamo D(AA -1)= D(A -1) D(A)= D(E)=1, tj. D.A. ¹0 i DA -1 ¹0.

I I. Adekvatnost. Neka kvadratna matrica A nije singularna, tj. D.A. ¹0 . Napišimo transponovanu matricu A T:

U ovoj matrici svaki element zamjenjujemo njegovim algebarskim komplementom i dobijamo matricu:

Matrica A* se zove pripojen matrica u matricu A.

Nađimo proizvod AA * (i A * A):

Gdje dijagonala elementi = DA,

DA.(formula 11.1 §jedanaest)

I svi ostali van dijagonale elementi matrice AA * jednaki su nuli svojstvo 10 §11, Na primjer:

itd. dakle,

AA * = ili AA * = DA= DA×E.

Slično, dokazano je da je A * A = DA×E.

Podijelimo obje dobijene jednakosti sa DA, dobivamo: . Ovo, po definiciji inverzne matrice, implicira postojanje inverzne matrice

Jer AA -1 =A -1 A=E.

Dokazano je postojanje inverzne matrice. Dokažimo jedinstvenost. Pretpostavimo da postoji druga inverzna matrica F za matricu A, tada je AF = E i FA = E. Množenjem obje strane prve jednakosti sa A -1 na lijevoj strani i druge sa A -1 na desnoj strani, dobijamo: A -1 AF = A - 1 E i FA A -1 = E A -1, odakle je EF = A -1 E i FE = E A -1. Dakle, F = A -1. Jedinstvenost je dokazana.

Primjer. Za matricu A = , pronađite A -1 .

Algoritam za izračunavanje inverzne matrice:

Svojstva inverznih matrica.

1) (A -1) -1 = A;

2) (AB) -1 = B -1 A -1

3) (AT) -1 = (A -1) T .

⇐ Prethodno78910111213141516Sljedeće ⇒

⇐ Prethodna Strana 3 od 4Sljedeća ⇒

Razmotrimo matrice

Štaviše, dati su elementi matrica A i B, a X 1, X 2, X 3 su nepoznati.

Tada se poziva jednačina A × X = B najjednostavnija matrična jednačina.

Da se to riješi, tj. da bismo pronašli elemente matrice nepoznanica X, postupimo na sljedeći način:

1. Pomnožite obje strane jednačine sa matricom A -1, inverznom matricom A , lijevo:

A -1 (A × X) = A -1 × B

2. Koristeći svojstvo množenja matrice, pišemo

(A -1 × A) X = A -1 × B

3. Iz definicije inverzne matrice

(A -1 × A = E) imamo E × X = A -1 × B.

4. Koristeći svojstvo matrice identiteta (E × X = X), konačno dobijamo X = A -1 × B

Komentar. Ako matrična jednadžba ima oblik X × C = D, onda pronaći nepoznata matrica X jednačina se mora pomnožiti sa C -1 desno.

Primjer. Riješite matričnu jednačinu

Rješenje. Hajde da uvedemo notaciju

Njihova definicija množenja matrice, uzimajući u obzir dimenzije A i B, matrica nepoznanica X će imati oblik

Uzimajući u obzir uvedenu notaciju imamo

A × X = B odakle je X = A -1 × B

Nađimo A -1 koristeći algoritam za konstruisanje inverzne matrice

Izračunajmo proizvod

Tada za X dobijamo

X = odakle je x 1 = 3, x 2 = 2

Matrix rang

Razmotrimo matricu A veličine (m x n)

Minor k-tog reda matrice A je determinanta reda k, čiji su elementi elementi matrice A koji se nalaze na presjeku bilo kojeg K reda i bilo kojeg K stupca. Očigledno, k £ min (m, n).

Definicija. Rang r(A) matrice A je najviši red nenulte minora ove matrice.

Definicija. Poziva se svaki minor različit od nule matrice čiji je red jednak njenom rangu osnovni mol.

Definiraj e. Pozivaju se matrice koje imaju iste rangove ekvivalentno.

Izračunavanje ranga matrice

Definicija. Matrica se zove stupio, ako prvi element svakog reda koji nije nula sadrži nule u osnovnim redovima.

Teorema. Rang ešalonske matrice jednak je broju njenih redova koji nisu nula.

Dakle, transformacijom matrice u ešalonski oblik, lako je odrediti njen rang. Ova operacija se izvodi pomoću elementarne matrične transformacije, koji ne mijenjaju svoj rang:

— množenje svih elemenata reda matrice brojem l ¹ 0;

- zamjena redova kolonama i obrnuto;

— preuređenje paralelnih redova;

— precrtavanje nultog reda;

- dodajući elementima određenog niza odgovarajuće elemente paralelnog niza, pomnožene bilo kojim realnim brojem.

Primjer.

Teorema (neophodan i dovoljan uslov za postojanje inverzne matrice).

Izračunajte rang matrice

A =

Rješenje. Transformirajmo matricu u ešalonski oblik. Da biste to učinili, dodajte drugi red u treći red, pomnožen sa (-3).

A~

Dodajmo treću četvrtom redu.

Broj redova koji nisu nula u rezultirajućoj ekvivalentnoj matrici je tri, dakle r(A) = 3.

Sistemi od n linearnih jednačina sa n nepoznatih.

Metode za njihovo rješavanje

Razmotrimo sistem od n linearnih jednačina sa n nepoznatih.

A 11 x 1 + a 12 x 2 + ... + a 1 n x n = b 1

a 21 x 1 + a 22 x 2 + ... + a 2 n x n = b 2 (1)

……………………………….

a n 1 x 1 + a n 2 x 2 + … + a nn x n = b n

definicija: Rješenje sistema (1) je skup brojeva (x 1, x 2, ..., x n), koji svaku jednačinu sistema pretvara u pravu jednakost.

Matrica A, sastavljena od koeficijenata za nepoznate, naziva se glavna matrica sistema (1).

A=

Matrica B, koja se sastoji od elemenata matrice A i stupca slobodnih članova sistema (1), naziva se proširena matrica.

B =

Matrična metoda

Razmotrimo matrice

X = — matrica nepoznatih;

S = je matrica slobodnih termina sistema (1).

Tada se, prema pravilu množenja matrice, sistem (1) može predstaviti kao matrična jednačina

A × X = C (2)

Rješenje jednačine (2) je gore navedeno, odnosno X = A -1 × C, gdje je A -1 inverzna matrica za glavnu matricu sistema (1).

Cramer metoda

Sistem od n linearnih jednadžbi sa n nepoznatih, čija je glavna determinanta različita od nule, uvijek ima rješenje i, osim toga, jedinstveno, koje se nalazi prema formulama:

gde je D = det A determinanta glavne matrice A sistema (1), koja se zove glavna, Dh i se dobijaju iz determinante D zamenom i-te kolone sa kolonom slobodnih termina, tj.

Dx 1 = ;

Dx 2 = ; … ;

Primjer.

Riješite sistem jednačina koristeći Cramerovu metodu

2x 1 + 3x 2 + 4x 3 = 15

x 1 + x 2 + 5x 3 = 16

3x 1 - 2x 2 + x 3 = 1

Rješenje.

Izračunajmo determinantu glavne matrice sistema

D = det A = = 44 ¹ 0

Izračunajmo pomoćne determinante

Dx 3 = = 132.

Koristeći Cramerove formule pronaći ćemo nepoznanice

; ; .

Dakle, x 1 = 0; x 2 = 1; x 3 = 3.

Gaussova metoda

Suština Gaussove metode je sekvencijalna eliminacija nepoznatih iz jednačina sistema, tj. u svođenju glavne matrice sistema na trouglasti oblik, kada se ispod njegove glavne dijagonale nalaze nule. Ovo se postiže korištenjem elementarnih matričnih transformacija nad redovima. Kao rezultat ovakvih transformacija, ekvivalencija sistema se ne narušava i on takođe dobija trouglasti oblik, tj. zadnja jednačina sadrži jednu nepoznatu, pretposljednju dvije itd. Izražavajući n-tu nepoznanicu iz posljednje jednačine i korištenjem obrnutog kretanja, uz pomoć niza uzastopnih supstitucija, dobiju se vrijednosti svih nepoznanica.

Primjer. Riješite sistem jednačina Gaussovom metodom

3x 1 + 2x 2 + x 3 = 17

2x 1 - x 2 + 2x 3 = 8

x 1 + 4x 2 - 3x 3 = 9

Rješenje. Zapišimo proširenu matricu sistema i svedemo matricu A koja se u njoj nalazi u trouglasti oblik.

Zamenimo prvi i treći red matrice, što je ekvivalentno preuređivanju prve i treće jednačine sistema. To će nam omogućiti da izbjegnemo pojavu frakcijskih izraza u kasnijim proračunima

B~

Prvi red rezultirajuće matrice uzastopno množimo sa (-2) i (-3) i dodajemo ga sa drugim i trećim redom, redom, a B će imati oblik:

Nakon množenja drugog reda sa i dodavanja trećem redu, matrica A će poprimiti trouglasti oblik. Međutim, da biste pojednostavili proračune, možete učiniti sljedeće: pomnožite treći red sa (-1) i dodajte ga drugom. Tada dobijamo:

B~

B~

Vratimo iz rezultujuće matrice B sistem jednačina koji je ekvivalentan ovome

X 1 + 4x 2 - 3x 3 = 9

x 2 - 2x 3 = 0

— 10x 3 = -10

Iz posljednje jednačine nalazimo Pronađenu vrijednost x 3 = 1 zamjenjujemo u drugu jednačinu sistema, iz koje je x 2 = 2x 3 = 2 × 1 = 2.

Nakon zamjene x 3 = 1 i x 2 = 2 u prvu jednačinu za x 1, dobijamo x 1 = 9 - 4x 2 + 3x 3 = 9 - 4 × 2 + 3 × 1 = 4.

Dakle, x 1 = 4, x 2 = 2, x 3 = 1.

Komentar. Za provjeru ispravnosti rješenja sistema jednačina potrebno je u svaku od jednačina ovog sistema zamijeniti pronađene vrijednosti nepoznanica. Štaviše, ako se sve jednačine pretvore u identitete, onda je sistem ispravno riješen.

pregled:

3 × 4 + 2 × 2 + 1 = 17 tačno

2 × 4 – 2 + 2 × 1 = 8 tačno

4 + 4 × 2 – 3 × 1 = 9 tačno

Dakle, sistem je ispravno riješen.

⇐ Prethodno1234Sljedeće ⇒

Pročitajte također:

Najjednostavnije matrične jednadžbe

gdje su matrice takvih veličina da su sve korištene operacije moguće, a lijeva i desna strana ovih matričnih jednadžbi su matrice iste veličine.

Rješenje jednadžbi (1)-(3) moguće je korištenjem inverznih matrica u slučaju nedegeneriranih matrica za X. U općenitom slučaju, matrica X se piše element po element i akcije navedene u jednačini su izvedeno na matricama. Kao rezultat, dobija se sistem linearnih jednačina. Nakon što riješite sistem, pronađite elemente matrice X.

Metoda inverzne matrice

Ovo je rješenje za sistem linearnih jednačina u slučaju kvadratne nesingularne matrice sistema A. Nalazi se iz matrične jednačine AX=B.

A -1 (AX)=A -1 V, (A -1 A)X=A -1 V, EX= A -1 V, X= A -1 V.

Cramerove formule

Teorema.Neka Δ — je determinanta matrice sistema A, a Δ j je determinanta matrice dobijene iz matrice A zamjenom j-te kolone slobodnih članova. Zatim, ako je Δ≠ 0, tada sistem ima jedinstveno rješenje, određeno formulama:

- Cramerove formule.

DZ 1. 2.23, 2.27, 2.51, 2.55, 2.62; DZ 2.2.19, 2.26, 2.40, 2.65

Tema 4. Kompleksni brojevi i polinomi

Kompleksni brojevi i operacije nad njima

Definicije.

1. Složit ćemo se da simbol oblika a + bi, gdje su a i b proizvoljni realni brojevi, nazovemo kompleksnim brojem.

2. Slažemo se da kompleksne brojeve a + bi i a 1 + b 1 i smatramo jednakima ako je a = a 1 i

b = b 1 .

3. Slažemo se da kompleksni broj oblika a + 0i smatramo jednakim realnom broju a.

4. Zbir dva kompleksna broja a + bi i a 1 + b 1 i naziva se kompleksnim brojem (a + a 1) + (b + b 1)i.

Inverzna matrica. Matrični rang.

Proizvod dva kompleksna broja je kompleksni broj aa 1 – bb 1 + (a b 1 +a 1 b)i.

Kompleksni broj oblika 0 + bi naziva se čisto imaginarni broj i obično se piše ovako: bi; broj 0+1 i = i pozvao imaginarna jedinica.

Prema definiciji 3, svaki realan broj A odgovara "jednakom" kompleksnom broju a+0i i obrnuto - na bilo koji kompleksan broj a+0i odgovara "jednakom" realnom broju A, odnosno postoji korespondencija jedan prema jedan između ovih brojeva. Ako uzmemo u obzir zbir i proizvod kompleksnih brojeva a 1 + 0i i a 2 + 0i prema pravilima 4 i 5, dobijamo:

(a 1 + 0i) + (a 2 + 0i) = (a 1 + a 2) + 0i,

(a 1 + 0i) (a 2 + 0i) = (a 1 a 2 – 0) + (a 1 0+a 2 0) i = a 1 a 2 + 0i.

Vidimo da zbir (ili proizvod) ovih kompleksnih brojeva odgovara realnom broju “jednakom” zbiru (ili proizvodu) odgovarajućih realnih brojeva. Dakle, prepiska između kompleksni brojevi vrsta a+0i i pravi broj A je takav da kao rezultat izvršenja aritmetičke operacije na odgovarajućim komponentama dobijaju se odgovarajući rezultati. Poziva se korespondencija jedan-na-jedan koja se održava prilikom izvođenja radnji izomorfizam. Ovo nam omogućava da identifikujemo broj a+0i sa stvarnim brojem A i svaki realan broj smatramo posebnim slučajem kompleksnog broja.

Posljedica. Broj kvadrata i jednako – 1.

i 2 = i i = (0 +1i)(0 +1i) = (0 – 1) + (0 1 + 1 0)i =— 1.

Teorema.Za sabiranje i množenje kompleksnih brojeva ostaju na snazi ​​osnovni zakoni rada.

definicije:

1. Realni broj a se naziva realnim dijelom kompleksnog broja z = a + bi. Rez=a

2. Broj b naziva se imaginarni dio kompleksnog broja z, broj b se naziva koeficijent imaginarnog dijela z. Imz=b.

3. Brojevi a + bi i a – bi nazivaju se konjugirani.

Konjugirani broj z = a + bi označeno simbolom

= a - bi.

Primjer. z =3 + i,= 3 - i.

Teorema.Zbir i proizvod dva konjugirana kompleksna broja su realni.

Dokaz. Imamo

U skupu kompleksnih brojeva može se izvesti inverzno sabiranje i množenje.

Oduzimanje. Neka z 1 = a 1 + b 1 i I z 2 = a 2 + b 2 i su kompleksni brojevi. razlika z 1 – z 2 postoji broj z = x + yi, zadovoljavajući uslov z 1 = z 2 + z ili

a 1 + b 1 i = (a 2 + x) + (b 2 + y)i.

Za utvrđivanje x I y dobijamo sistem jednačina a 2 + x = a 1 I b 2 + y = b 1, koji ima jedinstveno rješenje:

x = a 1 - a 2, y = b 1 - b 2,

z = (a 1 + b 1 i) – (a 2 + b 2 i) = a 1 – a 2 + (b 1 – b 2)i.

Oduzimanje se može zamijeniti sabiranjem sa suprotnim brojem od onog koji se oduzima:

z = (a 1 + b 1 i) – (a 2 + b 2 i) = (a 1 + b 1 i) + (- a 2 – b 2 i).

Division.

Količnik brojeva z 1 I z 2≠ 0 je broj z = x + yi, zadovoljavajući uslov z 1 = z 2 z ili

a 1 + b 1 i = (a 2 + b 2 i) (x + yi),

dakle,

a 1 + b 1 i = a 2 x - b 2 y+ (b 2 x + a 2 y)i,

odakle dobijamo sistem jednačina:

a 2 x - b 2 y = a 1 ,

b 2 x + a 2 y = b 1 .

Rješenje za koje će biti

dakle,

U praksi, da biste pronašli količnik, pomnožite dividendu i djelitelj sa konjugatom djelitelja:

Na primjer,

Konkretno, inverz od datog broja z, može se predstaviti u obliku

Bilješka. U skupu kompleksnih brojeva ostaje validan teorema: ako je proizvod jednak nuli, tada je barem jedan od faktora jednak nuli.

U stvari, ako z 1 z 2 =0 i ako z 1 ≠ 0, a zatim množenjem sa , dobivamo

Q.E.D.

Prilikom izvođenja aritmetičkih operacija nad kompleksnim brojevima, trebali biste se voditi sljedećim opšte pravilo: radnje se izvode prema uobičajenim pravilima za radnje nad algebarskim izrazima, nakon čega se i 2 zamjenjuje sa-1.

Teorema.Kada se svaka komponenta zamijeni svojim konjugiranim brojem, rezultat akcije se također zamjenjuje svojim konjugiranim brojem.

Dokaz leži u direktnoj provjeri. Tako, na primjer, ako svaki pojam z 1 = a 1 + b 1 i I z 2 = a 2 + b 2 i zamijenimo konjugiranim brojem, dobijemo konjugat sume z 1 + z 2 .

dakle,

Slično za proizvod imamo:

Prethodna567891011121314151617181920Sljedeća

VIDJETI VIŠE:

Matrične jednačine

Katalin David

AX = B, gdje je matrica A invertibilna

Budući da množenje matrice nije uvijek komutativno, množimo obje strane jednačine slijeva sa $ A^(-1) $.

$A^(-1)\cdot|A\cdot X = B$

$A^(-1)\cdot A\cdot X = A^(-1)\cdot B$

$I_(n)\cdot X = A^(-1)\cdot B$

$\color(red)(X =A^(-1)\cdot B)$

Primjer 50
Riješite jednačinu
$\begin(pmatrix) 1 & 3\\ 2 & 5 \end(pmatrix)\cdot X \begin(pmatrix) 3 & 5\\ 2 & 1 \end(pmatrix)$

Teorema 2. Kriterijum za postojanje inverzne matrice.

Množimo s lijeve strane njegovom inverznom matricom.
$\begin(pmatrix) 1 & 3\\ 2 & 5\\ \end(pmatrix)^(-1)\cdot \begin(pmatrix) 1 & 3\\ 2 & 5 \end(pmatrix)\cdot X= \begin(pmatrix) 1 & 3\\ 2 & 5 \end(pmatrix)^(-1)\cdot \begin(pmatrix) 3 & 5\\ 2 & 1 \end(pmatrix)$

$I_(2)\cdot X = \begin(pmatrix) 1 & 3\\ 2 & 5 \end(pmatrix)^(-1)\cdot \begin(pmatrix) 3 & 5\\ 2 & 1 \end( pmatrix)$

$X=\begin(pmatrix) 1 & 3\\ 2 & 5 \end(pmatrix)^(-1)\cdot \begin(pmatrix) 3 & 5\\ 2 & 1 \end(pmatrix)$

$\begin(pmatrix) 1 & 3\\ 2 & 5 \end(pmatrix)^(-1)= \begin(pmatrix) -5 & 3\\ 2 & -1 \end(pmatrix)\rightarrow X= \ begin(pmatrix) -5 & 3\\ 2 & -1 \end(pmatrix)\cdot \begin(pmatrix) 3 & 5\\ 2 & 1 \end(pmatrix)= \begin(pmatrix) -9 & -22 \\ 4 & 9 \end(pmatrix)$

XA = B, gdje je matrica A invertibilna

Pošto množenje matrice nije uvijek komutativno, množimo obje strane jednadžbe s desne strane sa $ A^(-1) $.

$X\cdot A = B |\cdot A^(-1)$

$X\cdot A\cdot A^(-1) = B\cdot A^(-1)$

$X \cdot I_(n) =B\cdot A^(-1)$

Rješenje jednačine ima opći oblik
$\color(red)(X =B\cdot A^(-1))$

Primjer 51
Riješite jednačinu
$X \begin(pmatrix) 1 & 3\\ 2 & 5\\ \end(pmatrix)= \begin(pmatrix) 3 & 5\\ 2 & 1\\ \end(pmatrix)$

Uvjerimo se da je prva matrica invertibilna.
$\left|A\right|=5-6=-1\neq 0$, dakle, matrica je invertibilna.

Množimo na desnoj strani njegovom inverznom matricom.
$X \begin(pmatrix) 1 & 3\\ 2 & 5 \end(pmatrix)\cdot \begin(pmatrix) 1 & 3\\ 2 & 5 \end(pmatrix)^(-1)= \begin(pmatrix) ) 3 & 5\\ 2 & 1 \end(pmatrix)\cdot \begin(pmatrix) 1 & 3\\ 2 & 5 \end(pmatrix)^(-1)$

$X\cdot I_(2)= \begin(pmatrix) 3 & 5\\ 2 & 1 \end(pmatrix)\cdot \begin(pmatrix) 1 & 3\\ 2 & 5 \end(pmatrix)^(- 1)$

$X=\begin(pmatrix) 3 & 5\\ 2 & 1 \end(pmatrix)\cdot \begin(pmatrix) 1 & 3\\ 2 & 5 \end(pmatrix)^(-1)$

$\begin(pmatrix) 1 & 3\\ 2 & 5 \end(pmatrix)^(-1)= \begin(pmatrix) -5 & 3\\ 2 & -1 \end(pmatrix)\rightarrow X= \ begin(pmatrix) 3 & 5\\ 2 & 1 \end(pmatrix) \cdot \begin(pmatrix) -5 & 3\\ 2 & -1 \end(pmatrix)= \begin(pmatrix) -5 & 4\ \ -8 & 5 \end(pmatrix)$

Matrice Množenje matrica Determinante Rang matrice Inverzne matrice Sistemi jednadžbi Kalkulatori za matrice

intl. čuđenje, iznenađenje; radost, nada; iznenadnost, strah; tuga, očaj. Oh, kako je dobro! Oh, da je barem tako! Oh, kako si me uplašio! Oh, i odmahnite rukama. Oh, oh, ali nema šta da se pomogne. Ah, sudija, sudija: četiri suknje, osam džepova.

| Ponekad se ah pretvara u imenicu. , muž. Ahh, ohh, i ženski uzdasi. Šta je tu bilo oko dahtanja, iznenađenja, radosti. Ahti, ahhli meni, uzvik tuge, tuge; Jao; Tako sam uzbuđen, svi moji drugovi su u zatvoru - hoće li biti nešto i za mene? Ohti-axmul se nekako udala? Nije tako vruće za mene, nije sjajno, nije previše dobro. Ahkhanki za mene, akhanki, izražava, takoreći, saosećanje prema sebi ili prema drugome. Oh, kao mala djeca, ovo je neka vrsta pozdrava. Zadah, dah, dah, čudo; raduj se nečemu, tuguj, jaukaj, uzvikni ah! Voleo bih da sam kod kuće, sam. Ujak bi dahtao, gledajući u sebe, brinuo se o sebi, o svojim poslovima. Dahnula sam, bila sam uplašena, bila sam zapanjena. I mi smo dahnuli i vidjeli tugu. Samac će ponekad stenjati, a oženjeni će dahnuti.

inverzna matrica

Kvragu. Dahnuli smo kada smo saznali za ovo. Idemo, idemo. Bio sam zadivljen ovim čudima. Dahnu, ili šta? Navijajte još malo. Jedan dahće, drugi dahće. Zašto si se uzbudio? Nehotice ćete zastenjati. Pogrešno dahnete, ponovo dahnete, ismijavanje beskorisnih krikova. Proveo sam cijeli dan stenjajući. Žena je došla da dahne, ali je morala da dahne; Došao sam da pogledam tuđu radost ili tugu, ali se desila moja nesreća. Aah Wed. neumjeren izraz radosti, čuđenja, tuge, očaja: dahta muž. ahalschnitsa no. dahnuo okolo. ko se svemu čudi, preko svake mere hvali tuđe stvari, zavidnik je. Postoji sedam ahalera za svaki ahaler. Za svaki bakhar dolazi sedam ahala. Akhova niže Akhtitelny Penz. divan, nevjerovatno lijep, lijep, izaziva usklik čuđenja i odobravanja. Užasna maramica. Ahwa? supruge , arh.-on. rupa, jaz; rupa, posjekotina na koži, oštećenje od neopreznog udarca, injekcije ili udarca. Akhovnya? supruge koža pokvarena akhovom, akhovom ili akhvodskom kožom. Vau, vau?, uništi kožu udarcem, ubodom, posjekotinom. Užasna subota, prilikom plaćanja, kada neispravni dahću za novcem.

Lema: Za bilo koju matricu A njegov proizvod matricom identiteta odgovarajuće veličine jednak je matrici A: AE=EA=A.

Matrix IN pozvao obrnuto na matricu A, Ako AB=BA=E. Inverzna matrica prema matrici A označeno sa A -1 .

Inverzna matrica postoji samo za kvadratnu matricu.

Teorema: Kvadratna matrica A ima inverz ako i samo ako je determinanta ove matrice različita od nule (|A|≠0).

Algoritam za pronalaženje inverzne matrice A -1:

(za matrice drugog i trećeg reda)

“Ako želiš naučiti plivati, onda hrabro uđi u vodu, a ako želiš naučiti za rješavanje problema, To riješiti ih.»
D. Polya (1887-1985)

(Matematičar. Dao veliki doprinos popularizaciji matematike. Napisao nekoliko knjiga o tome kako se rješavaju problemi i kako se podučava rješavanju zadataka.)

Inverzna matrica · Matrica B se naziva inverzna matrici ako je jednakost tačna: . Oznaka: − Samo kvadrat matrica može imati inverznu matricu. − Ne svaki kvadrat matrica ima inverznu matricu. Svojstva: 1. ; 2. ; 3. , gdje su matrice kvadratne i iste dimenzije. Općenito govoreći, ako je za nekvadratne matrice moguće da proizvod bude kvadratna matrica, tada je moguće i postojanje inverzne matrice , iako je 3-svojstvo povrijeđeno. Da biste pronašli inverznu matricu, možete koristiti metodu elementarnih transformacija reda: 1. Sastavite proširenu matricu tako što ćete desno od originalne matrice dodijeliti matricu identiteta odgovarajuće dimenzije: . 2. Elementarne transformacije redova matrice G dovesti do oblika: . − traženi rang matrice · Minor k-tog reda matrice je determinanta sastavljena od elemenata originalne matrice koji se nalaze na presjeku bilo kojeg k redaka i k stupaca ( ). Komentar. Svaki element matrice je njen minor 1. reda. Teorema. Ako su u matrici svi minori k-tog reda jednaki nuli, tada su svi minori višeg reda jednaki nuli. Proširimo mol (determinantu) ( k+1)-ti red kroz elemente 1. reda: . Algebarski komplementi su u suštini sporedni k- reda, koji su po uslovima teoreme jednaki nuli. Dakle, . · U matrici reda, minor reda se naziva osnovnim ako nije jednak nuli, a svi minori reda i više jednaki su nuli ili uopšte ne postoje, tj. odgovara manjim brojevima ili . Stupci i redovi matrice iz kojih proizlazi bazni minor nazivaju se bazi. Matrica može imati nekoliko različitih baznih minora koji imaju isti red. · Red baznog minora matrice naziva se rang matrice I označeno sa: , . Očigledno je da . Na primjer. 1. , . 2. . Matrix IN sadrži jedan element različit od nule koji je minor 1. reda. Sve determinante višeg reda će sadržavati 0. red i stoga su jednake 0. Prema tome, . inverzna matrica 4. Sistemi linearnih jednačina. Osnovni koncepti. Sistem linearnih algebarskih jednadžbi ( linearni sistem, koriste se i skraćenice SLAU, SLU) - sistem jednačina, svaka jednačina u kojoj je linearno - algebarska jednačina prvog stepena. Opšti oblik sistemi linearnih algebarskih jednadžbi: Ovdje je broj jednačina, i broj varijabli, su nepoznanice koje treba odrediti, koeficijenti i slobodni termini pretpostavlja se da su poznati. Sistem se zove homogena, ako su svi slobodni termini jednaki nuli (), u suprotnom - heterogena. Rješenje sistema linearnih algebarskih jednačina je skup brojeva takvih da odgovarajuća zamjena umjesto umjesto u sistem pretvara sve njegove jednačine u identitete. Sistem se zove konzistentan ako ima barem jedno rješenje, a nekonzistentan ako nema nijedno rješenje. Rješenja se smatraju različitim ako se barem jedna od vrijednosti varijabli ne poklapa. Zajednički sistem s jednim rješenjem naziva se definitivnim; ako postoji više od jednog rješenja, naziva se pododređenim. Matrični oblik Sistem linearnih algebarskih jednadžbi može se predstaviti u matričnom obliku kao: ili: . Ovdje je matrica sistema, kolona nepoznatih, a kolona slobodnih termina. Ako se kolona slobodnih pojmova doda desno od matrice, onda se rezultirajuća matrica naziva proširena. Kronecker-Capelli teorem Kronecker-Capelli teorem uspostavlja neophodan i dovoljan uslov za kompatibilnost sistema linearnih algebarskih jednadžbi kroz svojstva matričnih reprezentacija: sistem je kompatibilan ako i samo ako se rang njegove matrice poklapa sa rangom proširene matrice. Metode rješavanja sistema linearnih jednačina. Matrična metoda Neka je dat sistem linearnih jednačina sa nepoznatima (nad proizvoljnim poljem): Prepišimo to u matričnom obliku: Rješenje sistema ćemo pronaći pomoću formule, a inverznu matricu ćemo pronaći pomoću formule: , gdje je transponirana matrica algebarskih komplemenata odgovarajućih elemenata matrice. Ako, onda inverzna matrica ne postoji i nemoguće je riješiti sistem matričnim metodom. U ovom slučaju sistem se rješava Gausovom metodom. Cramerova metoda Cramerova metoda (Cramerovo pravilo) - metoda za rješavanje SLAE-ova sa nizom jednačina jednak broju nepoznanice sa nenultom glavnom determinantom matrice. Za sistem linearnih jednadžbi sa nepoznanicama I-ti stupac matrice zamjenjujemo kolonom slobodnih termina b Primjer: Sistem linearnih jednadžbi sa realnim koeficijentima: kvalifikacije: U determinantama, stupac koeficijenata za odgovarajuću nepoznatu zamjenjuje se stupcem slobodnih članova sistema. Rješenje: 5. Gausova metoda Algoritam rješenja: 1. Napisati proširenu matricu 2. Reducirati je na stepenasti oblik elementarnim transformacijama 3. Obrnuti potez, pri čemu osnovne članove izražavamo u terminima slobodnih. Proširena matrica se dobija dodavanjem kolone lažnih pojmova u matricu. Postoje sljedeće elementarne transformacije: 1. Redovi matrice se mogu preurediti. 2. Ako postoje (ili su se pojavili) proporcionalni (kao poseban slučaj, identični) redovi u matrici, onda sve ove redove treba ukloniti iz matrice osim jednog. 3. Ako se nulti red pojavi u matrici tokom transformacije, onda ga također treba obrisati. 4. Red matrice se može pomnožiti (podijeliti) bilo kojim brojem, ne-nula. 5. Možete dodati još jedan red u red matrice, pomnožen brojem koji nije nula. Elementarne transformacije ne menjaju rešenje sistema jednačina.Obrnuto: Obično se kao osnovne varijable uzimaju one varijable koje se nalaze na prvim mestima u nenultim redovima transformisane matrice sistema, tj. na "stepenicama". Zatim se osnovni uslovi izražavaju u terminima slobodnih termina. Idemo „od dna ka vrhu“, istovremeno izražavajući osnovne članove i supstituirajući rezultate u višu jednačinu. Primjer: Osnovne varijable uvijek "sjede" striktno na koracima matrice. U ovom primjeru, osnovne varijable su, a slobodne varijable su sve preostale varijable koje nisu primile korak. U našem slučaju postoje dvije: – slobodne varijable. Sada ti treba sve osnovne varijable izraziti samo kroz slobodne varijable. Obrnuto od Gaussovog algoritma tradicionalno radi odozdo prema gore

4.1 INVERZNA MATRICA I MATRIČNI RANG

Kvadratna matrica A rednpozvao nedegenerisan(ili nije posebno), Ako det A≠ 0. Inače matrica A – degenerisati(ili poseban). MatrixA je obrnuto za kvadratnu nesingularnu matricu A, Ako A A AA E , Gdje E- jedinična matrica redan:

.

Teorema 4.1. (neophodan i dovoljan uslov za postojanje inverzne matrice). inverzna matrica A postoji ako i samo ako je originalna matrica Anedegenerisan.

Dokaz . Nužnost. Pustite matricuA ima inverzno A , tj. A A AA E . Po svojstvu 10 determinanti imamoD(A A ) =D(A ) D(A) D(E) = 1 i stogaD(A ) 0.

Adekvatnost. Neka D(A ) 0. Razmotrimo kvadratnu matricu n-th red, zvaopripojen. Njegovi elementi su algebarski komplementi matričnih elemenata, transponirano u matricu A:

.

Lako je to pokazati

.

Iz toga slijedi da ako uzmemo matricu kao inverznu matricuA , zatim proizvodiA A I AA. jednaka matrici identitetaE n-ti red: A A AA. E .

Rangmatrice A (označeno rang A ili r(A)) je najveći poredak nenultih minora (determinanti) koje on generiše. Svaki minor različit od nule matrice čiji je red jednak njenom rangu naziva se njegov osnovni mol. Redovi i kolone uključeni u formiranje osnovnog mola također će biti osnovni. Matrica može imati nekoliko baznih minora, ali su svi njihovi redovi isti i jednaki rangu matrice.

Rang matrice se neće promijeniti ako:

1) zameniti redove i kolone matrice;

2) preurediti bilo koje dve svoje kolone (redove);

3) ukloniti iz njega kolonu (red) čiji su svi elementi jednaki nuli;

4) ukloniti iz njega kolonu (red), koja je linearna kombinacija njegovih preostalih kolona (redova);

5) pomnoži njenu proizvoljnu kolonu (red) bilo kojim brojem koji nije nula;

6) bilo kojoj od njenih kolona (redova) dodati proizvoljnu linearnu kombinaciju preostalih kolona (redova) ove matrice.

Transformacije 2) - 6) se nazivaju osnovno. Dvije matrice su ekvivalentno, ako se jedno dobije od drugog pomoću elementarnih transformacija i označava se kao A~IN.

Za rangove matrica vrijede sljedeće relacije:

1) r(A+ IN ) r(A) + r(B),