Izračunajmo momente inercije figure proizvoljnog oblika u odnosu na ose rotirane u odnosu na date ose i
pod uglom (Sl.4.14)

Neka su momenti inercije oko osi
I
poznato. Izaberimo proizvoljno mjesto
i izrazi svoje koordinate u sistemu osovina
I
preko koordinata u prethodnim osama
I
:

Nađimo aksijalni i centrifugalni moment inercije figure u odnosu na rotirane ose
I
:

Uzimajući to u obzir

;
I
,

Na isti način ćemo instalirati:

Centrifugalni moment inercije ima oblik:

. (4.30)

Izrazimo aksijalne momente kroz sinus i kosinus dvostrukog ugla. Da bismo to učinili, uvodimo sljedeće funkcije:

. (4.31)

Zamjenom (4.31) u formule (4.27) i (4.28) dobijamo:

Ako saberemo izraze za aksijalne momente inercije (4.32) i (4.33), dobijamo:

Uslov (4.34) predstavlja uslov nepromenljivosti zbira aksijalnih momenata inercije u odnosu na dve međusobno okomite ose, tj. zbir aksijalnih momenata inercije oko dvije međusobno okomite ose ne zavisi od ugla rotacije osi i konstantna je vrijednost. Prethodno je ovaj uvjet dobiven na osnovu toga da je zbroj aksijalnih momenata inercije oko dvije međusobno okomite ose jednak vrijednosti polarnog momenta inercije oko točke presjeka ovih osa.

Proučimo jednačinu za moment inercije do ekstrema i naci vrijednost ugla , u kojem moment inercije dostiže ekstremnu vrijednost. Da bismo to učinili, uzimamo prvi izvod momenta inercije po uglu (izraz (4.32)) i rezultat je jednak nuli. U isto vrijeme stavljamo
.

(4.35)

Izraz u zagradama predstavlja centrifugalni moment inercije oko osi nagnutih prema osi
pod uglom . U odnosu na ove ose, centrifugalni moment inercije je nula:

, (4.36)

što znači da su nove ose glavne ose.

Prethodno je utvrđeno da su glavne osi inercije one oko kojih je centrifugalni moment inercije nula. Sada se ova definicija može proširiti - to su osi oko kojih su aksijalni momenti inercije imaju ekstremne vrednosti. Momenti inercije oko ovih osa se nazivaju glavni momenti inercije.

Nađimo položaj glavnih osi inercije. Iz izraza (4.36) možemo dobiti:

. (4.37)

Dobivena formula daje za ugao dva značenja: I
.

Posljedično, postoje dvije međusobno okomite ose oko kojih momenti inercije imaju ekstremne vrijednosti. Kao što je gore navedeno, takve osi se nazivaju glavne osi inercije. Ostaje da se utvrdi na kojoj od osi moment inercije dostiže maksimalnu vrijednost, a na kojoj moment inercije dostiže minimalnu vrijednost. Ovaj problem se može riješiti proučavanjem drugog izvoda izraza (4.32) s obzirom na ugao . Zamjena vrijednosti ugla u izraz za drugi izvod ili
a ispitivanjem predznaka drugog izvoda može se prosuditi koji od uglova odgovara maksimalnom momentu inercije, a koji minimalnom. Ispod su formule koje će dati nedvosmislenu vrijednost ugla .

Nađimo ekstremne vrijednosti za momente inercije. Da bismo to uradili, transformišemo izraz (4.32), vadeći ga iz zagrada
:

Upotrijebimo funkciju poznatu iz trigonometrije i zamijenimo izraz (4.37) u nju, dobićemo:

. (4.39)

Zamjenom izraza (4.39) u formulu (4.38) i izvođenjem potrebnih proračuna dobijamo dva izraza za ekstremne momente inercije, koji ne uključuju ugao nagiba osi :

; (4.40)

. (4.41)

Iz formula (4.40) i (4.41) jasno je da se vrijednosti glavnih momenata inercije određuju direktno kroz momente inercije u odnosu na osi
I
. Stoga se mogu odrediti bez poznavanja položaja samih glavnih osa.

Poznavanje ekstremnih vrijednosti momenata inercije
I
Pored formule (4.37), moguće je odrediti položaj glavnih osi inercije.

Predstavljamo formule bez izvođenja koje nam omogućavaju da pronađemo uglove I između ose
i glavne ose:

;
(4.42)

Ugao određuje položaj ose u odnosu na koji moment inercije dostiže svoju maksimalnu vrijednost (
), ugao određuje položaj ose u odnosu na koji moment inercije dostiže minimalnu vrijednost (
).

Uvedemo još jednu geometrijsku karakteristiku, koja se zove polumjer rotacije presjeka. Ova karakteristika je označena slovom i može se izračunati u odnosu na ose
I
na sljedeći način:

;
(4.43)

Radijus inercije se široko koristi u problemima čvrstoće materijala i njegova primjena će biti razmotrena u narednim dijelovima kursa.

Razmotrimo nekoliko primjera strukturnih proračuna uzimajući u obzir rotaciju osi i korištenje radijusa rotacije presjeka.

Primjer 4.7. Momenti inercije pravokutnog presjeka u odnosu na glavne ose su jednaki, odnosno
cm 4,
cm 4. Prilikom skretanja za 45 0, momenti inercije u odnosu na nove osi su se pokazali istim. Koja je njihova veličina?

Za rješavanje problema koristimo izraz (4.28), uzimajući u obzir činjenicu da je centrifugalni moment inercije u odnosu na glavne ose jednak nuli:

Zamijenimo u formulu (a) numeričke vrijednosti za momente inercije i ugao rotacije osi:

Primjer 4.8. Koja od figura (slika 4.15), koja ima istu površinu, ima radijus rotacije u odnosu na osu , će biti najveći? Odredite najveći polumjer rotacije presjeka u odnosu na osu .

1. Pronađite površinu svake figure i dimenzije presjeka. Površina figura je jednaka cm 2 za treću figuru.

Prečnik prvog preseka nalazimo iz izraza:

cm.

Veličina kvadratne strane:

Osnova trougla:

cm.

2. Odrediti momente i poluprečnike inercije svakog preseka u odnosu na centralnu osu .

Za okrugli dio:

cm 4;
cm.

Za kvadratni presjek:

cm 4;
cm.

Za pravougaoni presjek:

;

Za trouglasti presjek:

cm 4;
cm.

Pokazalo se da je najveći polumjer rotacije za pravokutni presjek i jednak je
cm.

Glavne ose i glavni momenti inercije

Kada se koordinatne osi rotiraju, centrifugalni moment inercije mijenja predznak, pa stoga postoji položaj osi u kojem je centrifugalni moment jednak nuli.

Zovu se osi oko kojih centrifugalni moment inercije presjeka nestaje glavne osovine , a glavne ose koje prolaze kroz težište presjeka suglavne centralne osi inercije presjeka.

Momenti inercije oko glavnih osi inercije presjeka nazivaju seglavni momenti inercije presjekai označeni su sa I1 i I2 sa I1>I2 . Obično, kada se govori o glavnim momentima, misli se na aksijalne momente inercije oko glavnih centralnih osa inercije.

Pretpostavimo da su osi u i v su glavni. Onda

Odavde

.

(6.32)

Jednačina (6.32) određuje položaj glavnih osi inercije presjeka u datoj tački u odnosu na originalne koordinatne osi. Pri rotaciji koordinatnih osa mijenjaju se i aksijalni momenti inercije. Nađimo položaj osa u odnosu na koji aksijalni momenti inercije dostižu ekstremne vrijednosti. Da bismo to učinili, uzimamo prvi izvod od Iu sa α i postavite ga na nulu:

odavde

.

Stanje dovodi do istog rezultata dIv/dα. Uspoređujući posljednji izraz sa formulom (6.32), dolazimo do zaključka da su glavne osi inercije osi oko kojih aksijalni momenti inercije presjeka dostižu ekstremne vrijednosti.

Da bi se pojednostavilo izračunavanje glavnih momenata inercije, formule (6.29) - (6.31) se transformišu, eliminišući ih pomoću relacije (6.32) trigonometrijske funkcije:

.

(6.33)

Znak plus ispred radikala odgovara većem I1 , a znak minus je manji I2 od momenata inercije presjeka.

Istaknimo jedno važno svojstvo presjeka kod kojih su aksijalni momenti inercije u odnosu na glavne ose isti. Pretpostavimo da su osi y i z su glavni (Iyz =0), a Iy = Iz . Zatim, prema jednakostima (6.29) - (6.31), za bilo koji ugao rotacije osiα centrifugalni moment inercije Iuv =0, a aksijalni Iu=Iv.

Dakle, ako su momenti inercije presjeka oko glavnih osa isti, tada su sve ose koje prolaze kroz istu tačku presjeka glavne i aksijalni momenti inercije oko svih ovih osa su isti: Iu=Iv=Iy=Iz. Ovo svojstvo posjeduju, na primjer, kvadratni, okrugli i prstenasti presjeci.

Formula (6.33) je slična formulama (3.25) za glavna naprezanja. Prema tome, glavni momenti inercije mogu se grafički odrediti Mohrovom metodom.

Promjena momenata inercije pri rotaciji koordinatnih osa

Pretpostavimo da je zadan sistem koordinatnih osa i da su poznati momenti inercije Iz, Iy i Izy figure u odnosu na ove ose. Zarotirajmo koordinatne ose za određeni ugaoα u smjeru suprotnom od kazaljke na satu i odrediti momente inercije iste figure u odnosu na nove koordinatne osi u i v.

Rice. 6.8.

Od sl. 6.8 slijedi da su koordinate bilo koje tačke u oba koordinatna sistema povezane jedna s drugom relacijama

Moment inercije

dakle,

	(6.29)
	(6.30)

Centrifugalni moment inercije

.

(6.31)

Iz rezultirajućih jednačina jasno je da

,

tj. zbroj aksijalnih momenata inercije pri rotaciji koordinatnih osa ostaje konstantan. Stoga, ako u odnosu na bilo koju os moment inercije dosegne maksimum, tada u odnosu na osu okomitu na nju ima minimalnu vrijednost.

Zamislite ravnu figuru sa poznatim geometrijskim karakteristikama 1 X , 1 g I 1 xy u odnosu na ose X I at(Sl. 3.3). Koristimo ih za određivanje vrijednosti sličnih geometrijskih karakteristika u odnosu na osi I I v, koji čine ugao a sa početnim sistemom.

Izračunajmo koordinate centra gravitacije infinitezimalnog elementa površine dA u novom koordinatnom sistemu I I v:

Rice. 3.3.

Moment inercije oko rotirane ose Oi biće jednaki

Koristeći oznake geometrijskih karakteristika u odnosu na originalne ose, dobijamo

Za druge dvije geometrijske karakteristike formule dobijamo slično:

Dobivene formule transformiramo pomoću trigonometrijskih formula

Nakon transformacije formule za izračunavanje aksijalnih i centrifugalnih momenata inercije pri okretanju osi, oni poprimaju oblik

Glavne ose i glavni momenti inercije

Prethodno je napomenuto da je zbroj aksijalnih momenata konstantna vrijednost. Lako je provjeriti da ova izjava također slijedi iz formula (3.22):

Osi oko kojih momenti inercije poprimaju maksimalnu i minimalnu vrijednost se nazivaju glavne osovine glavni momenti inercije.

Kada se osi rotiraju, mijenjaju se veličine aksijalnih momenata, pa mora postojati par međusobno okomitih glavnih osa, u odnosu na koje momenti inercije dostižu minimalne i maksimalne vrijednosti. Hajde da dokažemo ovu poziciju. Da bismo to učinili, ispitujemo aksijalni moment inercije do krajnosti 1 i:

Pošto izraz u zagradama mora biti jednak nuli, dobijamo formulu koja nam omogućava da odredimo položaj jedne od glavnih osa:

Ugao a 0, mjereno od ose Oh suprotno od kazaljke na satu, određuje položaj glavne ose u odnosu na osu Oh. Dokažimo da je os okomita na ovu osu ujedno i glavna. Zamijenimo u izraz za

ugao derivacije a 0 + -:

Dakle, glavne ose su međusobno okomite na ose.

Obratimo pažnju na činjenicu da izraz u zagradi, prema trećoj formuli (3.22), odgovara centrifugalnom momentu. Tako smo dokazali da je centrifugalni moment inercije oko glavnih osa jednak nuli.

Iskoristimo ovaj rezultat i izvedemo formulu za izračunavanje glavnih momenata inercije. Da bismo to učinili, prepisujemo drugu i treću formulu (3.22) u sljedećem obliku:

Kvadriranjem i sabiranjem desne i lijeve strane obje jednačine dobijamo

Ovo nam daje formulu za izračunavanje dva glavna momenta inercije:

U formuli (3.25), znak plus odgovara maksimalnom glavnom momentu inercije, a znak minus odgovara njegovoj minimalnoj vrijednosti.

U nekim posebnim slučajevima, položaj glavnih osa može se odrediti bez proračuna. Dakle, ako je presjek simetričan, tada je os simetrije jedna od glavnih osa, a druga osa je bilo koja os okomita na nju. Ova pozicija direktno slijedi iz jednakosti nule centrifugalnog momenta inercije u odnosu na osi, od kojih je jedna os simetrije.

Među svim parovima glavnih osa može se razlikovati poseban par, čije obje ose prolaze kroz težište presjeka.

Glavne ose koje prolaze kroz težište presjeka nazivaju se glavne centralne ose, a momenti inercije oko takvih osa su glavni centralni momenti inercije.

Kao što je već napomenuto, rotacija koordinatnog sistema uzrokuje promjenu geometrijskih karakteristika ravnih figura. Može se pokazati da je skup geometrijskih karakteristika koje pripadaju datom presjeku opisan simetričnim tenzorom tzv. tenzor inercije poprečni presjek, koji se može napisati kao matrica:

Prvu invarijantu tenzora inercije, koji je zbir aksijalnih momenata inercije, dobili smo ranije (vidi formulu (3.23)). Druga invarijanta tenzora inercije ima oblik

Ova vrijednost će se koristiti za dobivanje općeg rješenja za savijanje šipke.

Geometrijske karakteristike složenih kompozitnih poprečnih presjeka

Ako presjek formiran skupom protozoa, zatim u skladu sa svojstvima određeni integrali geometrijska karakteristika takvog presjeka jednaka je zbiru odgovarajućih karakteristika pojedinačnih kompozitnih presjeka (slika 3.10).

Rice. 10.

Dakle, da bi se izračunali momenti inercije složene figure, potrebno je rastaviti je na više jednostavnih figura, izračunati momente inercije ovih figura i zatim zbrojiti te momente inercije.

Promjena momenata inercije pri okretanju osi

Nađimo odnos između momenata inercije oko osa i momenata inercije oko osi rotiranih pod uglom (slika 3.11). Neka se pozitivni ugao mjeri od ose u smjeru suprotnom od kazaljke na satu.

Rice. jedanaest. Rotirajuće koordinatne ose

Da bismo riješili problem, pronađimo odnos između koordinata beskonačno male površine u originalnoj i rotiranoj osi

Sada odredimo momente inercije oko osi

Isto tako

Za centrifugalni moment

Sabiranjem (3.28) i (3.29) dobijamo

Oduzevši (3.28) od (3.29), dobijamo

Formula (3.31) pokazuje da se zbir momenata inercije oko bilo koje međusobno okomite ose ne mijenja kada se one rotiraju.

Formula (3.32) se može koristiti za izračunavanje centrifugalnog momenta inercije oko osa iz poznatih aksijalnih momenata inercije oko osa i.

Glavne ose inercije i glavni momenti inercije

Kada se ugao promeni (slika 3.10), momenti inercije (3.280 - (3.31) se menjaju. Nađimo vrednost ugla pod kojim i imaju ekstremnu vrednost. Da biste to uradili, uzmite prvi izvod od i u odnosu na do i izjednačiti ga sa nulom:

Ova formula određuje položaj dvije ose u odnosu na koje je aksijalni moment inercije maksimalan, a u odnosu na drugu minimalan. Takve osi se nazivaju glavne osovine. Momenti inercije oko glavnih osa nazivaju se glavni momenti inercije.

Vrijednosti glavnih momenata inercije naći ćemo iz formula (3.28) i (3.29, zamjenjujući ih iz formule (3.33), koristeći poznate trigonometrijske formule za funkcije dvostrukih uglova. Nakon transformacije dobijamo formula za određivanje glavnih momenata inercije:

Pokažimo sada da je u odnosu na glavne ose centrifugalni moment inercije nula. Zaista, izjednačavanjem sa nulom koristeći formulu (3.30), dobijamo

odakle opet dobijamo formulu (3.33)

Stoga se glavne osi nazivaju osi koje imaju sljedeća svojstva:

Centrifugalni moment inercije oko ovih osa je nula.

Momenti inercije u odnosu na glavne osi imaju ekstremne vrijednosti (u odnosu na jednu - maksimum, u odnosu na drugu - minimalnu).

Glavne ose koje prolaze kroz centar gravitacije presjeka nazivaju se glavne centralne ose.

U mnogim slučajevima moguće je odmah odrediti položaj glavnih centralnih osa. Ako figura ima os simetrije, onda je to jedna od glavnih središnjih osi, druga prolazi kroz težište presjeka okomitog na prvu. To proizlazi iz činjenice da je u odnosu na os simetrije i bilo koju os okomitu na nju, centrifugalni moment inercije jednak nuli.