Производная элементарной функции n x с выводом. Найти производную: алгоритм и примеры решений. Производная логарифмической функции

Решать физические задачи или примеры по математике совершенно невозможно без знаний о производной и методах ее вычисления. Производная - одно из важнейших понятий математического анализа. Этой фундаментальной теме мы и решили посвятить сегодняшнюю статью. Что такое производная, каков ее физический и геометрический смысл, как посчитать производную функции? Все эти вопросы можно объединить в один: как понять производную?

Геометрический и физический смысл производной

Пусть есть функция f(x) , заданная в некотором интервале (a, b) . Точки х и х0 принадлежат этому интервалу. При изменении х меняется и сама функция. Изменение аргумента – разность его значений х-х0 . Эта разность записывается как дельта икс и называется приращением аргумента. Изменением или приращением функции называется разность значений функции в двух точках. Определение производной:

Производная функции в точке – предел отношения приращения функции в данной точке к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю.

Иначе это можно записать так:

Какой смысл в нахождении такого предела? А вот какой:

производная от функции в точке равна тангенсу угла между осью OX и касательной к графику функции в данной точке.

Физический смысл производной: производная пути по времени равна скорости прямолинейного движения.

Действительно, еще со школьных времен всем известно, что скорость – это частное пути x=f(t) и времени t . Средняя скорость за некоторый промежуток времени:

Чтобы узнать скорость движения в момент времени t0 нужно вычислить предел:

Правило первое: выносим константу

Константу можно вынести за знак производной. Более того - это нужно делать. При решении примеров по математике возьмите за правило - если можете упростить выражение, обязательно упрощайте .

Пример. Вычислим производную:

Правило второе: производная суммы функций

Производная суммы двух функций равна сумме производных этих функций. То же самое справедливо и для производной разности функций.

Не будем приводить доказательство этой теоремы, а лучше рассмотрим практический пример.

Найти производную функции:

Правило третье: производная произведения функций

Производная произведения двух дифференцируемых функций вычисляется по формуле:

Пример: найти производную функции:

Решение:

Здесь важно сказать о вычислении производных сложных функций. Производная сложной функции равна произведению производной этой функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента по независимой переменной.

В вышеуказанном примере мы встречаем выражение:

В данном случае промежуточный аргумент – 8х в пятой степени. Для того, чтобы вычислить производную такого выражения сначала считаем производную внешней функции по промежуточному аргументу, а потом умножаем на производную непосредственно самого промежуточного аргумента по независимой переменной.

Правило четвертое: производная частного двух функций

Формула для определения производной от частного двух функций:

Мы постарались рассказать о производных для чайников с нуля. Эта тема не так проста, как кажется, поэтому предупреждаем: в примерах часто встречаются ловушки, так что будьте внимательны при вычислении производных.

С любым вопросом по этой и другим темам вы можете обратиться в студенческий сервис . За короткий срок мы поможем решить самую сложную контрольную и разобраться с заданиями, даже если вы никогда раньше не занимались вычислением производных.

При выводе самой первой формулы таблицы будем исходить из определения производнойфункции в точке. Возьмем , где x – любое действительное число, то есть, x – любое число из области определения функции . Запишем предел отношения приращения функции к приращению аргумента при :

Следует заметить, что под знаком предела получается выражение , которое не являетсянеопределенностью ноль делить на ноль, так как в числителе находится не бесконечно малая величина, а именно ноль. Другими словами, приращение постоянной функции всегда равно нулю.

Таким образом, производная постоянной функции равна нулю на всей области определения .

Производная степенной функции.

Формула производной степенной функции имеет вид , где показатель степени p – любое действительное число.

Докажем сначала формулу для натурального показателя степени, то есть, для p = 1, 2, 3, …

Будем пользоваться определением производной. Запишем предел отношения приращения степенной функции к приращению аргумента:

Для упрощения выражения в числителе обратимся к формуле бинома Ньютона:

Следовательно,

Этим доказана формула производной степенной функции для натурального показателя.

Производная показательной функции.

Вывод формулы производной приведем на основе определения:

Пришли к неопределенности. Для ее раскрытия введем новую переменную , причем при . Тогда . В последнем переходе мы использовали формулу перехода к новому основанию логарифма.

Выполним подстановку в исходный предел:

Если вспомнить второй замечательный предел, то придем к формуле производной показательной функции:

Производная логарифмической функции.

Докажем формулу производной логарифмической функции для всех x из области определения и всех допустимых значениях основания a логарифма. По определению производной имеем:

Как Вы заметили, при доказательстве преобразования проводились с использованием свойств логарифма. Равенство справедливо в силу второго замечательного предела.

Производные тригонометрических функций.

Для вывода формул производных тригонометрических функций нам придется вспомнить некоторые формулы тригонометрии, а также первый замечательный предел.

По определению производной для функции синуса имеем .

Воспользуемся формулой разности синусов:

Осталось обратиться к первому замечательному пределу:

Таким образом, производная функции sin x есть cos x .

Абсолютно аналогично доказывается формула производной косинуса.

Следовательно, производная функции cos x есть –sin x .

Вывод формул таблицы производных для тангенса и котангенса проведем с использованием доказанных правил дифференцирования (производная дроби).

Производные гиперболических функций.

Правила дифференцирования и формула производной показательной функции из таблицы производных позволяют вывести формулы производных гиперболического синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

Производная обратной функции.

Чтобы при изложении не было путаницы, давайте обозначать в нижнем индексе аргумент функции, по которому выполняется дифференцирование, то есть, - это производная функции f(x) по x .

Теперь сформулируем правило нахождения производной обратной функции.

Пусть функции y = f(x) и x = g(y) взаимно обратные, определенные на интервалах и соответственно. Если в точке существует конечная отличная от нуля производная функции f(x) , то в точке существует конечная производная обратной функции g(y) , причем . В другой записи .

Можно это правило переформулировать для любого x из промежутка , тогда получим .

Давайте проверим справедливость этих формул.

Найдем обратную функцию для натурального логарифма (здесь y – функция, а x - аргумент). Разрешив это уравнение относительно x , получим (здесь x – функция, а y – ее аргумент). То есть, и взаимно обратные функции.

Из таблицы производных видим, что и .

Убедимся, что формулы нахождения производных обратной функции приводят нас к этим же результатам:

Как видите, получили такие же результаты как и в таблице производных.

Теперь мы обладаем знаниями для доказательства формул производных обратных тригонометрических функций.

Начнем с производной арксинуса.

. Тогда по формуле производной обратной функции получаем

Осталось провести преобразования.

Так как областью значений арксинуса является интервал , то (смотрите раздел основные элементарные функции, их свойства и графики). Поэтому , а не рассматриваем.

Следовательно, . Областью определения производной арксинуса является промежуток (-1; 1) .

Для арккосинуса все делается абсолютно аналогично:

Найдем производную арктангенса.

Для обратной функцией является .

Выразим арктангенс через арккосинус, чтобы упростить полученное выражение.

Пусть arctgx = z , тогда

Следовательно,

Схожим образом находится производная арккотангенса:

Операция отыскания производной называется дифференцированием.

В результате решения задач об отыскании производных у самых простых (и не очень простых) функций по определению производной как предела отношения приращения к приращению аргумента появились таблица производных и точно определённые правила дифференцирования. Первыми на ниве нахождения производных потрудились Исаак Ньютон (1643-1727) и Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646-1716).

Поэтому в наше время, чтобы найти производную любой функции, не надо вычислять упомянутый выше предел отношения приращения функции к приращению аргумента, а нужно лишь воспользоваться таблицей производных и правилами дифференцирования. Для нахождения производной подходит следующий алгоритм.

Чтобы найти производную , надо выражение под знаком штриха разобрать на составляющие простые функции и определить, какими действиями (произведение, сумма, частное) связаны эти функции. Далее производные элементарных функций находим в таблице производных, а формулы производных произведения, суммы и частного - в правилах дифференцирования. Таблица производных и правила дифференцирования даны после первых двух примеров.

Пример 1. Найти производную функции

Решение. Из правил дифференцирования выясняем, что производная суммы функций есть сумма производных функций, т. е.

Из таблицы производных выясняем, что производная "икса" равна единице, а производная синуса - косинусу. Подставляем эти значения в сумму производных и находим требуемую условием задачи производную:

Пример 2. Найти производную функции

Решение. Дифференцируем как производную суммы, в которой второе слагаемое с постоянным множителем, его можно вынести за знак производной:

Если пока возникают вопросы, откуда что берётся, они, как правило, проясняются после ознакомления с таблицей производных и простейшими правилами дифференцирования. К ним мы и переходим прямо сейчас.

Таблица производных простых функций

1. Производная константы (числа). Любого числа (1, 2, 5, 200...), которое есть в выражении функции. Всегда равна нулю. Это очень важно помнить, так как требуется очень часто
2. Производная независимой переменной. Чаще всего "икса". Всегда равна единице. Это тоже важно запомнить надолго
3. Производная степени. В степень при решении задач нужно преобразовывать неквадратные корни.
4. Производная переменной в степени -1
5. Производная квадратного корня
6. Производная синуса
7. Производная косинуса
8. Производная тангенса
9. Производная котангенса
10. Производная арксинуса
11. Производная арккосинуса
12. Производная арктангенса
13. Производная арккотангенса
14. Производная натурального логарифма
15. Производная логарифмической функции
16. Производная экспоненты
17. Производная показательной функции

Правила дифференцирования

1. Производная суммы или разности
2. Производная произведения
2a. Производная выражения, умноженного на постоянный множитель
3. Производная частного
4. Производная сложной функции

Правило 1. Если функции

дифференцируемы в некоторой точке , то в той же точке дифференцируемы и функции

причём

т.е. производная алгебраической суммы функций равна алгебраической сумме производных этих функций.

Следствие. Если две дифференцируемые функции отличаются на постоянное слагаемое, то их производные равны , т.е.

Правило 2. Если функции

дифференцируемы в некоторой точке , то в то же точке дифференцируемо и их произведение

причём

т.е. производная произведения двух функций равна сумме произведений каждой из этих функций на производную другой.

Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак производной :

Следствие 2. Производная произведения нескольких дифференцируемых функций равна сумме произведений производной каждого из сомножителей на все остальные.

Например, для трёх множителей:

Правило 3. Если функции

дифференцируемы в некоторой точке и , то в этой точке дифференцируемо и их частное u/v , причём

т.е. производная частного двух функций равна дроби, числитель которой есть разность произведений знаменателя на производную числителя и числителя на производную знаменателя, а знаменатель есть квадрат прежнего числителя.

Где что искать на других страницах

При нахождении производной произведения и частного в реальных задачах всегда требуется применять сразу несколько правил дифференцирования, поэтому больше примеров на эти производные - в статье "Производная произведения и частного функций " .

Замечание. Следует не путать константу (то есть, число) как слагаемое в сумме и как постоянный множитель! В случае слагаемого её производная равна нулю, а в случае постоянного множителя она выносится за знак производных. Это типичная ошибка, которая встречается на начальном этапе изучения производных, но по мере решения уже нескольких одно- двухсоставных примеров средний студент этой ошибки уже не делает.

А если при дифференцировании произведения или частного у вас появилось слагаемое u "v , в котором u - число, например, 2 или 5, то есть константа, то производная этого числа будет равна нулю и, следовательно, всё слагаемое будет равно нулю (такой случай разобран в примере 10).

Другая частая ошибка - механическое решение производной сложной функции как производной простой функции. Поэтому производной сложной функции посвящена отдельная статья. Но сначала будем учиться находить производные простых функций.

По ходу не обойтись без преобразований выражений. Для этого может потребоваться открыть в новых окнах пособия Действия со степенями и корнями и Действия с дробями .

Если Вы ищете решения производных дробей со степенями и корнями, то есть, когда функция имеет вид вроде , то следуйте на занятие "Производная суммы дробей со степенями и корнями ".

Если же перед Вами задача вроде , то Вам на занятие "Производные простых тригонометрических функций".

Пошаговые примеры - как найти производную

Пример 3. Найти производную функции

Решение. Определяем части выражения функции: всё выражение представляет произведение, а его сомножители - суммы, во второй из которых одно из слагаемых содержит постоянный множитель. Применяем правило дифференцирования произведения: производная произведения двух функций равна сумме произведений каждой из этих функций на производную другой:

Далее применяем правило дифференцирования суммы: производная алгебраической суммы функций равна алгебраической сумме производных этих функций. В нашем случае в каждой сумме второе слагаемое со знаком минус. В каждой сумме видим и независимую переменную, производная которой равна единице, и константу (число), производная которой равна нулю. Итак, "икс" у нас превращается в единицу, а минус 5 - в ноль. Во втором выражении "икс" умножен на 2, так что двойку умножаем на ту же единицу как производную "икса". Получаем следующие значения производных:

Подставляем найденные производные в сумму произведений и получаем требуемую условием задачи производную всей функции:

А проверить решение задачи на производную можно на .

Пример 4. Найти производную функции

Решение. От нас требуется найти производную частного. Применяем формулу дифференцирования частного: производная частного двух функций равна дроби, числитель которой есть разность произведений знаменателя на производную числителя и числителя на производную знаменателя, а знаменатель есть квадрат прежнего числителя. Получаем:

Производную сомножителей в числителе мы уже нашли в примере 2. Не забудем также, что произведение, являющееся вторым сомножителем в числителе в текущем примере берётся со знаком минус:

Если Вы ищете решения таких задач, в которых надо найти производную функции, где сплошное нагромождение корней и степеней, как, например, , то добро пожаловать на занятие "Производная суммы дробей со степенями и корнями" .

Если же Вам нужно узнать больше о производных синусов, косинусов, тангенсов и других тригонометрических функций, то есть, когда функция имеет вид вроде , то Вам на урок "Производные простых тригонометрических функций" .

Пример 5. Найти производную функции

Решение. В данной функции видим произведение, один из сомножителей которых - квадратный корень из независимой переменной, с производной которого мы ознакомились в таблице производных. По правилу дифференцирования произведения и табличному значению производной квадратного корня получаем:

Проверить решение задачи на производную можно на калькуляторе производных онлайн .

Пример 6. Найти производную функции

Решение. В данной функции видим частное, делимое которого - квадратный корень из независимой переменной. По правилу дифференцирования частного, которое мы повторили и применили в примере 4, и табличному значению производной квадратного корня получаем:

Чтобы избавиться от дроби в числителе, умножаем числитель и знаменатель на .

Формулы 3 и 5 докажите самостоятельно.

ОСНОВНЫЕ ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ

Применяя общий способ нахождения производной с помощью предела можно получить простейшие формулы дифференцирования. Пусть u=u(x),v=v(x) – две дифференцируемые функции от переменной x .

Формулы 1 и 2 докажите самостоятельно.

Доказательство формулы 3 .

Пусть y = u(x) + v(x). Для значения аргумента x +Δx имеем y (x +Δx )=u (x +Δx ) + v (x +Δx ).

Δy =y (x +Δx ) – y(x) = u(x +Δx) + v(x +Δx) – u(x) – v(x) = Δu +Δv .

Следовательно,

Доказательство формулы 4 .

Пусть y=u(x)·v(x). Тогда y (x +Δx )=u (x +Δx )·v (x +Δx ), поэтому

Δy =u (x +Δx )·v (x +Δx ) – u (x )·v (x ).

Заметим, что поскольку каждая из функций u и v дифференцируема в точке x , то они непрерывны в этой точке, а значит u (x +Δx )→u(x), v (x +Δx )→v(x) , при Δx →0.

Поэтому можем записать

На основании этого свойства можно получить правило дифференцирования произведения любого числа функций.

Пусть, например, y=u·v·w. Тогда,

y " = u "·(v· w) + u ·(v ·w) " = u "·v ·w + u ·(v "·w +v ·w ") = u "·v ·w + u ·v "·w + u·v ·w ".

Доказательство формулы 5 .

Пусть . Тогда

При доказательстве воспользовались тем, что v(x+ Δx) →v(x) при Δx →0.

Примеры .

ТЕОРЕМА О ПРОИЗВОДНОЙ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ

Пусть y = f(u), а u = u (x ). Получаем функцию y , зависящую от аргумента x : y = f(u(x)). Последняя функция называется функцией от функции или сложной функцией .

Областью определения функции y = f(u(x)) является либо вся область определения функции u =u (x ) либо та ее часть, в которой определяются значения u , не выходящие из области определения функции y = f(u) .

Операция "функция от функции" может проводиться не один раз, а любое число раз.

Установим правило дифференцирования сложной функции.

Теорема. Если функция u = u (x ) имеет в некоторой точке x 0 производную и принимает в этой точке значение u 0 = u (x 0 ), а функция y= f(u) имеет в точке u 0 производную y " u = f "(u 0 ), то сложная функция y = f(u(x)) в указанной точке x 0 тоже имеет производную, которая равна y " x = f "(u 0 )·u "(x 0 ), где вместо u должно быть подставлено выражение u = u (x ).

Таким образом, производная сложной функции равна произведению производной данной функции по промежуточному аргументу u на производную промежуточного аргумента по x .

Доказательство . При фиксированном значении х 0 будем иметь u 0 =u (x 0), у 0 =f(u 0 ). Для нового значения аргумента x 0 +Δx :

Δu = u (x 0 + Δx ) – u (x 0), Δy =f (u 0 +Δu ) – f (u 0 ).

Т.к. u – дифференцируема в точке x 0 , то u – непрерывна в этой точке. Поэтому при Δx →0 Δu →0. Аналогично при Δu →0 Δy →0.

По условию . Из этого соотношения, пользуясь определением предела, получаем (при Δu →0)

где α→0 при Δu →0, а, следовательно, и при Δx →0.

Перепишем это равенство в виде:

Δy = y " u Δu +α·Δu .

Полученное равенство справедливо и при Δu =0 при произвольном α, так как оно превращается в тождество 0=0. При Δu =0 будем полагать α=0. Разделим все члены полученного равенства на Δx

.

По условию . Поэтому, переходя к пределу при Δx →0, получим y " x = y " u ·u " x . Теорема доказана.

Итак, чтобы продифференцировать сложную функцию y = f(u(x)), нужно взять производную от "внешней" функции f , рассматривая ее аргумент просто как переменную, и умножить на производную от "внутренней" функции по независимой переменной.

Если функцию y=f(x) можно представить в виде y=f(u), u=u(v), v=v(x), то нахождение производной y " x осуществляется последовательным применением предыдущей теоремы.

По доказанному правилу имеем y " x = y " u ·u " x . Применяя эту же теорему для u " x получаем , т.е.

y " x = y " x · u " v · v " x = f " u (u )·u " v (v )·v " x (x ).

Примеры.

ПОНЯТИЕ ОБРАТНОЙ ФУНКЦИИ

Начнем с примера. Рассмотрим функцию y= x 3 . Будем рассматривать равенство y = x 3 как уравнение относительно x . Это уравнение для каждого значения у определяет единственное значение x : . Геометрически это значит, что всякая прямая параллельная оси Ox пересекает график функции y= x 3 только в одной точке. Поэтому мы можем рассматривать x как функцию от y . Функция называется обратной по отношению к функции y= x 3 .

Прежде чем перейти к общему случаю, введем определения.

Функция y = f(x) называется возрастающей на некотором отрезке, если большему значению аргумента x из этого отрезка соответствует большее значение функции, т.е. если x 2 >x 1 , то f(x 2 ) > f(x 1 ).

Аналогично функция называется убывающей , если меньшему значению аргумента соответствует большее значение функции, т.е. еслих 2 < х 1 , то f(x 2 ) > f(х 1 ).

Итак, пусть дана возрастающая или убывающая функция y= f(x) , определенная на некотором отрезке [a ; b ]. Для определенности будем рассматривать возрастающую функцию (для убывающей все аналогично).

Рассмотрим два различных значения х 1 и х 2 . Пусть y 1 =f(x 1 ), y 2 =f(x 2 ). Из определения возрастающей функции следует, что если x 1 <x 2 , то у 1 <у 2 . Следовательно, двум различным значениям х 1 и х 2 соответствуют два различных значения функции у 1 и у 2 . Справедливо и обратное, т.е. если у 1 <у 2 , то из определения возрастающей функции следует, чтоx 1 <x 2 . Т.е. вновь двум различным значениям у 1 и у 2 соответствуют два различных значенияx 1 и x 2 . Т.о., между значениями x и соответствующими им значениями y устанавливается взаимно однозначное соответствие, т.е. уравнение y=f(x) для каждого y (взятого из области значений функции y=f(x)) определяет единственное значение x , и можно сказать, что x есть некоторая функция аргумента y : x= g(у) .

Эта функция называется обратной для функции y=f(x) . Очевидно, что и функция y=f(x) является обратной для функции x=g(у) .

Заметим, что обратная функция x=g(y) находится путем решения уравнения y=f(x) относительно х .

Пример. Пусть дана функция y = e x . Эта функция возрастает при –∞ < x <+∞. Она имеет обратную функцию x = lny . Область определения обратной функции 0 < y < + ∞.

Сделаем несколько замечаний.

Замечание 1. Если возрастающая (или убывающая) функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a ; b ], причем f(a)=c, f(b)=d , то обратная функция определена и непрерывна на отрезке [c ; d ].

Замечание 2. Если функция y=f(x) не является ни возрастающей, ни убывающей на некотором интервале, то она может иметь несколько обратных функций.

Пример. Функция y=x 2 определена при –∞<x <+∞. Она не является ни возрастающей, ни убывающей и не имеет обратной функции. Однако, если мы рассмотриминтервал 0≤x <+∞, то здесь функция является возрастающей и обратной для нее будет . На интервале – ∞ <x ≤ 0 функция – убывает и обратная для нее .

Замечание 3. Если функции y=f(x) и x=g(y) являются взаимно обратными, то они выражают одну и ту же связь между переменными x и y . Поэтому графикомих является одна и та же кривая. Но если аргумент обратной функции мы обозначим снова через x , а функцию через y и построим их в одной системе координат, то получим уже два различных графика. Легко заметить, что графики будут симметричны относительно биссектрисы 1-го координатного угла.

ТЕОРЕМА О ПРОИЗВОДНОЙ ОБРАТНОЙ ФУНКЦИИ

Докажем теорему, позволяющую находить производную функции y=f(x) , зная производную обратной функции.

Теорема. Если для функции y=f(x) существует обратная функция x=g(y ), которая в некоторой точке у 0 имеет производную g "(v 0 ), отличную от нуля, то в соответствующей точке x 0 =g (x 0 ) функция y=f(x) имеет производную f "(x 0 ), равную , т.е. справедлива формула.

Доказательство . Т.к. x=g(y) дифференцируема в точке y 0 , то x=g(y) непрерывна в этой точке, поэтому функция y=f(x) непрерывна в точке x 0 =g (y 0 ). Следовательно, при Δx →0 Δy →0.

Покажем, что .

Пусть . Тогда по свойству предела . Перейдем в этом равенстве к пределу при Δy →0. Тогда Δx →0 и α(Δx)→0, т.е. .

Следовательно,

,

что и требовалось доказать.

Эту формулу можно записать в виде .

Рассмотрим применение этой теоремы на примерах.

Вычисление производной часто встречается в заданиях ЕГЭ. Данная страница содержит список формул для нахождения производных.

Правила дифференцирования

1. (k⋅ f(x))′=k⋅ f ′(x).
2. (f(x)+g(x))′=f′(x)+g′(x).
3. (f(x)⋅ g(x))′=f′(x)⋅ g(x)+f(x)⋅ g′(x).
4. Производная сложной функции. Если y=F(u), а u=u(x), то функция y=f(x)=F(u(x)) называется сложной функцией от x. Равна y′(x)=Fu′⋅ ux′.
5. Производная неявной функции. Функция y=f(x) называется неявной функцией, заданной соотношением F(x,y)=0, если F(x,f(x))≡0.
6. Производная обратной функции. Если g(f(x))=x, то функция g(x) называется обратной функцией для функции y=f(x).
7. Производная параметрически заданной функции. Пусть x и y заданы как функции от переменной t: x=x(t), y=y(t). Говорят, что y=y(x) параметрически заданная функция на промежутке x∈ (a;b), если на этом промежутке уравнение x=x(t) можно выразить в виде t=t(x) и определить функцию y=y(t(x))=y(x).
8. Производная степенно-показательной функции. Находится путем логарифмирования по основанию натурального логарифма.

Советуем сохранить ссылку, так как эта таблица может понадобиться еще много раз.