Работа силы на бесконечно малом перемещении , называемая элементарной работой, выражается формулой

где - угол между силой F и скоростью v точки ее приложения (рис. 171), или в виде скалярного произведения:

где - дифференциал радиуса-вектора точки приложения силы.

Выражая это скалярное произведение через проекции векторов F и на координатные оси, получаем аналитическое выражение элементарной работы:

где X, Y, Z - проекции силы на координатные оси, - бесконечно малые изменения (дифференциалы) координат точки приложения силы при элементарном перемещении этой точки.

Если сила F приложена к твердому телу, вращающемуся вокруг неподвижной оси z, то

где - элементарный угол поворота тела вокруг оси.

Если к телу, имеющему неподвижную ось вращения приложена пара сил с моментом , то элементарная работа этой пары выражается следующим образом:

где - проекция вектора - момента пары на ось .

Особый интерес представляет случай, когда сила является функцией координат точки и, кроме того,

В этом случае существует такая функция координат , частные производные которой по координатам равны проекциям силы на соответствующие координатные оси, т. е.

Такая функция называется силовой, или потенциальной, функцией. Таким образом, если существует силовая функция, то

т. е. элементарная работа силы равна полному дифференциалу силовой функции. Ограниченная или неограниченная часть пространства, где проявляется действие силы, имеющей силовую функцию, называется силовым потенциальным полем.

Геометрическое место точек силового потенциального поля, в которых силовая функция сохраняет постоянное значение, называется эквипотенциальной поверхностью, или поверхностью уровня.

Работа А силы F на конечном пути определяется как предел суммы элементарных работ и выражается в виде криволинейного интеграла, взятого вдоль дуги траектории от точки до точки М:

Если произведение а выражается известной функцией дуговой координаты s точки приложения силы, то переменной интегрирования является эта величина s и формула для вычисления работы принимает вид

(168)

где - значения дуговой координаты, соответствующие положениям и М точки приложения силы, - проекция силы на касательную к траектории этой точки.

Если постоянная по модулю сила образует с прямой, по которой движется ее точка приложения, постоянный угол , то

В частном случае, когда точка М движется по прямой под действием постоянной силы F, направленной по той же прямой в сторону движения или против движения, то соответственно имеем:

где - путь пройденный точкой.

Если при вращательном движении твердого тела вокруг неподвижной оси момент приложенной к нему силы является функцией угла поворота тела, т. е.

Аналогично определяется работа пары сил:

Работа силы, имеющей потенциальную функцию, на конечном перемещении выражается разностью значений этой функции в конечной и начальной точках пути:

т. е. в этом случае работа силы не зависит от кривой, по которой перемещается точка М, а зависит лишь от начального и конечного ее положений. При изучении движения материальной точки в силовом потенциальном поле весьма большое значение имеет понятие потенциальной энергии. Потенциальная энергия материальной точки представляет собой особый вид энергии, которым обладает точка, находящаяся в силовом потенциальном поле. Потенциальная энергия П равна работе, которую совершила бы сила поля при перемещении точки ее приложения из данного положения М(х, у, z) в положение , принятое за нулевое, т. е.

Работа силы на конечном пути через потенциальную энергию выражается так:

Если на точку действует несколько сил, то работа равнодействующей этих сил на каком-либо пути равна сумме работ составляющих сил на том же пути.

В технической системе единиц работа измеряется в килограмм-метрах . В Международной системе единиц единицей работы является 1 джоуль .

Мощность N характеризует быстроту, с которой совершается работа, и в общем случае определяется как производная от работы по времени:

т. е. мощность равна скалярному произведению вектора силы на вектор скорости.

Если работа А производится равномерно, то мощность определяется так:

где - время, в течение которого произведена работа.

Таким образом, в этом частном случае мощность численно равна работе, производимой в единицу времени.

При вращательном движении твердого тела вокруг неподвижной оси :

где - главный момент приложенных к телу сил относительно оси вращения, - угловая скорость тела.

В технической системе единиц мощность измеряется в или в лошадиных силах, причем

В Международной системе единиц единицей мощности является

При решении задач на вычисление работы и мощности часто используют коэффициент полезного действия. Коэффициентом полезного действия называется отношение полезной работы или мощности к работе или мощности движущих сил:

Так как вследствие вредных сопротивлений , то .

При вычислении работы нужно различать следующие случаи.

1. Прямолинейное движение под действием постоянной по модулю и направлению силы, в задачах такого типа применяются формулы (169) и (170) (задачи 756, 762).

2. Прямолинейное движение под действием силы, проекция которой на направление прямолинейной траектории является функцией расстояния точки от некоторого неподвижного центра на этой прямой (задача № 768), в задачах этого типа применяется формула (167), которая, если направить ось по траектории точки, принимает вид

3. Криволинейное движение под действием постоянной по модулю и направлению силы, в этом случав можно использовать формулу (167).

4. Криволинейное движение под действием силы, которая является функцией координат точки приложения силы.

Здесь определение работы сводится к вычислению криволинейного интеграла по формуле (167). Если в рассматриваемом случае существует силовая функция, то работу определяют по формуле (173) или (176).

5. Вращательное движение твердого тела под действием постоянного момента или момента, являющегося функцией угла поворота тела; в этом случае для вычисления работы применяется формула (171).

Для вычисления мощности в зависимости от характера движения пользуемся формулой (177) при прямолинейном или криволинейном движении точки приложения силы (задачи 760, 764), или формулой (179) - в случае вращательного движения твердого тела (задачи 771, 772, 765). Среднюю мощность можно определять по формуле (178).

Пример 131. Вдоль тяги, при помощи которой тянут вагончик по горизонтальному пути, действует постоянная сила (рис. 172). Тяга образует с горизонтом угол . Определить работу, совершенную силой F на пути .

Решение. Здесь работу определяем по формуле (169):

Пример 132. Тело весом передвигают по горизонтальному полу при помощи горизонтальной силы на расстояние . Определить работу, которую совершит при этом сила трения, если коэффициент трения между поверхностью тела и полом .

Решение. Согласно закону Кулона, сила трения , где N - нормальное давление тела на поверхность пола, причем в данном случае . Так как сила трения направлена в сторону, противоположную движению, то работа этой силы отрицательна:

Пример 133. Найти работу силы тяжести при перемещении материальной точки из положения в положение М (х, у, z), а также вычислить потенциальную энергию точки в положении М (рис. 173).

Решение. Направляя ось z вертикально вверх, имеем:

где - вес тела. Следовательно, по формуле (162)

(182)

т. е. работа силы тяжести равна произведению веса материальной точки на разность ее высот в начальном и конечном положениях, причем эти высоты отсчитываются от произвольно выбранной горизонтальной плоскости.

Потенциальную энергию точки определим на основании формулы (175):

где С - произвольная постоянная интегрирования.

Пример 134. Определить работу силы упругости растянутого стержня, к концу которого подвешен груз М, при перемещении этого груза из положения в положение М, если длина недеформированного стержня равна вычислить также потенциальную энергию точки в положении М (рис. 174).

Решение. Обозначив силу упругости F и направив ось х по вертикали вниз, имеем:

где х - удлинение стержня, с - его жесткость.

Следовательно,

Пример 135. На материальную точку действует сила, проекции которой на координатные оси выражаются так:

Определить работу этой силы при перемещении точки из положения в положение , если сила выражена в н, а координаты - в см.

Решение. Выясним прежде всего, существует ли в данном случае силовая функция: для этого находим частные производные:

Отсюда получаем, что

т. е. условия (164) выполняются, и силовая функция существует. Полный дифференциал этой функции равен элементарной работе, т. е. . Элементарную работу находим по формуле или, подставляя значения :

Это выражение действительно является полным дифференциалом

Значения функции в точках и М равны:

Следовательно, искомая работа равна

Пример 136. Определить работу центральной силы, модуль которой является функцией расстояния материальной точки от центра этой силы, т. е. (рис. 175).

Решение. В данном случае единичный вектор силы равен

Причем знак выбирается в зависимости от того,отталкивается от центра силы или притягивается к нему точка М.

Таким образом, вектор силы F выразится так:

Отсюда, пользуясь формулой (161), имеем:

Следовательно,

т. е. элементарная работа является полным дифференциалом и, значит, существует силовая функция, причем

Итак, в данном случае имеем общую формулу, по которой сразу можем определить силовую функцию в зависимости от радиуса-вектора точки приложения силы, а затем вычислить работу силы при перемещении этой точки из положения в положение

Пример 137. Один конец пружины закреплен шарнирно в точке О, а к другому концу ее прикреплен шарик Длина нерастянутой пружины - , жесткость . Шарик перемещают из положения в положение , причем пружина растянута и не изгибается. Определить работу силы упругости пружины, если

Решение. Модуль силы упругости пружины в данном случае выражается так.

Теорема об изменении кинетической энергии механической системы

Учебные вопросы:

1. Работа силы.

2. Кинетическая энергия точки и механической системы.

3.Теорема об изменении кинетической энергии точки.

4. Теорема об изменении кинетической энергии механической системы.

5. Потенциальное силовое поле и потенциальная энергия.

1. Работа силы.

Элементарная работа силы - это бесконечно малая ска­лярная величина, равная скалярному произведению вектора силы на вектор бесконечного малого перемещения точки приложения силы :

.

-приращение ра­диуса-вектора точки приложе­ния силы, годографом которого является траектория этой точки. Элементарное перемещение
точ­ки по траектории совпадает с
в силу их малости. Поэтому

Так как
- проекция силы на направление пе­ремещения точки (при криволинейной траектории - на каса­тельную оськ траектории, то

,

т. е. работу совершает только касательная сила, а работа нор­мальной силы равна нулю.

Если
то

если
то

если
то
.

Представим векторы и
через их проекции на оси де­картовых координат:

,

Работа силы на конечном перемещении равна инте­гральной сумме элементарных работ на этом перемещении

.

.

Если сила постоянная, а точка ее приложения перемещает­ся прямолинейно, то

.

Работа силы тяжести

где h - перемещение точки приложения силы по вертикали вниз (высота).

При перемещении точки приложения силы тяжести вверх
(точка
- внизу,
- вверху). Итак ,

.

Работа силы тяжести не зависит от формы траектории. При движении по замкнутой траектории (
совпадает с
) работа равна нулю.

Работа силы упругости пружины.

Пружина растягивается только вдоль оси х

,

где - величина деформации пружины. При перемещении точки приложения силы
из нижнего положения в верхнее направление силы и направление перемещения совпадают, тогда
.

Поэтому работа силы упругости

.

Работа сил, приложенных к твердому телу.

а) Работа внутренних сил

Для двух k - х точек: , т. к.
и(доказывается в кинематике) (рис. 80).

Элементарная работа всех внутренних сил в твердом теле равна нулю:

.

Следовательно, на любом конечном перемещении тела

.

б) Работа внешних сил.

Поступательное движение тела.

Элементарная работа k –й силы

Для всех сил

.

Так как при поступательном движении , то

,

где
- проекция главного вектора внешних сил на направление перемещения.

Работа сил на конечном перемещении

.

Вращение тела вокруг неподвижной оси .

Элемен­тарная работа k - й силы

где
,
и
- составляю­щие силыпо естественным осям

Так как
,
, то работа этих сил на перемещение
точки приложения силы равна нулю. Тогда

.

Элементарная работа k - й внешней силы равна произве­дению момента этой силы относительно оси вращения
на элементарный угол поворота
тела вокруг оси.

Элементарная работа всех внешних сил

,

где
- главный момент внешних сил относительно оси.

Работа сил на конечном перемещении

.

Если
, то

где
- конечный угол поворота;
, гдеп - число оборотов тела вокруг оси.

Мощность - это работа, выполненная силой в единицу времени . Если работа совершается равномерно, то мощность

,

где А – работа, совершенная силой на конечном перемещении, за время t .

В более общем случае мощность силы можно определить как отношение элементарной работы силы dA к элементарному про­межутку времени dt , за который совершена эта работа, что представляет собой производную от работы по времени. Поэтому

При вращении тела вокруг неподвижной оси

,

где
- угловая скорость вращения тела.

Единицы измерения работы и мощности . В системе СИ единица измерения работы силы - джоуль (1 Дж = 1 Нм ),

Единица измерения мощности соответственно - ватт (1 Вт = 1 Дж/с )

75 кГм/с = 1 л. с . (лошадиная сила).

1 кВт = 1000 Вт = 1,36 л. с .

Теорема: работа силы тяжести не зависит от вида траектории и равна произведению модуля силы на вертикальное перемещение точки ее приложения .

Пусть материальная точка М движется под действием силы тяжести G и за какой-то промежуток времени перемещается из положения М 1 в положение М 2 , пройдя путь s (рис. 4) .
На траектории точки М выделим бесконечно малый участокds , который можно считать прямолинейным, и из его концов проведем прямые, параллельные осям координат, одна из которых вертикальна, а другая горизонтальна.
Из заштрихованного треугольника получим, что

dy = ds cos α .

Элементарная работа силы G на пути ds равна:

dW = F ds cos α .

Полная работа силы тяжести G на пути s равна

W = ∫ Gds cos α = ∫ Gdy = G ∫ dy = Gh .

Итак, работа силы тяжести равна произведению силы на вертикальное перемещение точки ее приложения:

Теорема доказана.

Пример решения задачи по определению работы силы тяжести

Задача: Однородный прямоугольный массив АВСD массой m = 4080 кг имеет размеры, указанные на рис. 5 .
Определить работу, которую необходимо выполнить для опрокидывания массива вокруг ребра D .

Решение.
Очевидно, что искомая работа будет равна работе сопротивления, совершаемой силой тяжести массива, при этом вертикальное перемещение центра тяжести массива при опрокидывании через ребро D является путем, который определяет величину работы силы тяжести.

Для начала определим силу тяжести массива: G = mg = 4080×9,81 = 40 000 Н = 40 кН .

Для определения вертикального перемещения h центра тяжести прямоугольного однородного массива (он находится в точке пересечения диагоналей прямоугольника), используем теорему Пифагора, исходя из которой:

КО 1 = ОD – КD = √(ОК 2 + КD 2) – КD = √(3 2 +4 2) - 4 = 1 м .

На основании теоремы о работе силы тяжести определим искомую работу, необходимую для опрокидывания массива:

W = G×КО 1 = 40 000×1 = 40 000 Дж = 40 кДж.

Задача решена.

Работа постоянной силы, приложенной к вращающемуся телу

Представим себе диск, вращающийся вокруг неподвижной оси под действием постоянной силы F (рис. 6) , точка приложения которой перемещается вместе с диском. Разложим силу F на три взаимно-перпендикулярные составляющие: F 1 – окружная сила, F 2 – осевая сила, F 3 – радиальная сила.

При повороте диска на бесконечно малый угол dφ силаF совершит элементарную работу, которая на основании теоремы о работе равнодействующей будет равна сумме работ составляющих.

Очевидно, что работа составляющих F 2 и F 3 будет равна нулю, так как векторы этих сил перпендикулярны бесконечно малому перемещению ds точки приложения М , поэтому элементарная работа силы F равна работе ее составляющей F 1 :

dW = F 1 ds = F 1 Rdφ .

При повороте диска на конечный угол φ работа силы F равна

W = ∫ F 1 Rdφ = F 1 R ∫ dφ = F 1 Rφ ,

где угол φ выражается в радианах.

Так как моменты составляющих F 2 и F 3 относительно оси z равны нулю, то на основании теоремы Вариньона момент силы F относительно оси z равен:

М z (F) = F 1 R .

Момент силы, приложенной к диску, относительно оси вращения называется вращающим моментом, и, согласно стандарту ИСО , обозначается буквой Т :

Т = М z (F) , следовательно, W = Tφ .

Работа постоянной силы, приложенной к вращающемуся телу, равна произведению вращающего момента на угловое перемещение .

Пример решения задачи

Задача: рабочий вращает рукоятку лебедки силой F = 200 Н , перпендикулярной радиусу вращения.
Найти работу, затраченную в течение времени t = 25 секунд , если длина рукоятки r = 0,4 м , а ее угловая скорость ω = π/3 рад/с .

Решение.
Прежде всего определим угловое перемещение φ рукоятки лебедки за 25 секунд :

φ = ωt = (π/3)×25 = 26,18 рад.

W = Tφ = Frφ = 200×0,4×26,18 ≈ 2100 Дж ≈ 2,1 кДж .

Мощность

Работа, совершаемая какой-либо силой, может быть за различные промежутки времени, т. е. с разной скоростью. Чтобы охарактеризовать, насколько быстро совершается работа, в механике существует понятиемощности , которую обычно обозначают буквой P .

Практическая работа на тему: «Работа и мощность при вращательном движении»

Цель работы: закрепить изучение материал по теме, научиться решать задачи.

Ход работы:

Изучить материал по теме.

Записать краткую теорию.

Решить задачи.

Оформить работу.

Ответить на контрольные вопросы.

Написать вывод.

Краткая теория:

Работа постоянной силы, приложенной к вращающемуся телу

Представим себе диск, вращающийся вокруг неподвижной оси под действием постоянной силы F (рис. 6) , точка приложения которой перемещается вместе с диском. Разложим силу F на три взаимно-перпендикулярные составляющие: F 1 – окружная сила, F 2 – осевая сила, F 3 – радиальная сила.

При повороте диска на бесконечно малый угол dφ сила F совершит элементарную работу, которая на основании теоремы о работе равнодействующей будет равна сумме работ составляющих.

Очевидно, что работа составляющих F 2 и F 3 будет равна нулю, так как векторы этих сил перпендикулярны бесконечно малому перемещению ds точки приложения М , поэтому элементарная работа силы F равна работе ее составляющей F 1 :

dW = F 1 ds = F 1 Rdφ .

При повороте диска на конечный угол φ работа силы F равна

W = ∫ F 1 Rdφ = F 1 R ∫ dφ = F 1 Rφ ,

где угол φ выражается в радианах.

Так как моменты составляющих F 2 и F 3 относительно оси z равны нулю, то на основании момент силы F относительно оси z равен:

М z (F) = F 1 R .

Момент силы, приложенной к диску, относительно оси вращения называется вращающим моментом, и, согласно стандарту ИСО , обозначается буквой Т :

Т = М z (F) , следовательно, W = Tφ .

Работа постоянной силы, приложенной к вращающемуся телу, равна произведению вращающего момента на угловое перемещение .

Пример решения задачи

Задача: рабочий вращает рукоятку лебедки силой F = 200 Н , перпендикулярной радиусу вращения.
Найти работу, затраченную в течение времени t = 25 секунд , если длина рукоятки r = 0,4 м , а ее угловая скорость ω = π/3 рад/с .

Решение.
Прежде всего определим угловое перемещение φ рукоятки лебедки за 25 секунд :

φ = ωt = (π/3)×25 = 26,18 рад.

W = Tφ = Frφ = 200×0,4×26,18 ≈ 2100 Дж ≈ 2,1 кДж .

Мощность силы, приложенной к равномерно вращающемуся телу, равна произведению вращающего момента на угловую скорость .

Если работа совершается силой, приложенной к равномерно вращающемуся телу, то мощность в этом случае может быть определена по формуле:

P = W/t = Tφ/t или P = Tω .

Вариант №1

На двух шнурах одинаковой длины, равной 0,8 м, подвешены два свинцовых шара массами 0,5 и 1 кг. Шары соприкасается между собой. Шар меньшей массы отвели в сторону так, что шнур отклонился на угол α= 60°, и отпустили. На какую высоту поднимутся оба шара после столкновения? Удар считать центральным и неупругим. Определить энергию, израсходованную на деформацию шаров при ударе.

Маховик массой 4 кг свободно вращается вокруг горизонтальной оси, проходящей через его центр, с частотой 720 мин-1. Массу маховика можно считать распределенной по его ободу радиусом 40 см. Через 30 с под действием тормозящего мо­мента маховик остановился. Найти тормозящий момент и число оборотов, которое делает маховик до полной остановки.

Тело массой m=1,0 кг падает с высоты h=20 м. Пренебрегая сопротивлением воздуха найти среднюю мощность, развиваемую силой тяжести на пути h, и мгновенную мощность на высоте h/2.

Вариант №2

Маховик вращается по закону, выражаемому уравнением, где А = 2 рад, В = 32 рад/с, С = -4 рад/с2. Найти среднюю мощность N , развиваемую силами, действующими на маховик при его вращении, до остановки, если момент инерции I = 100 кг·м 2 .

Тело массы m вращается на горизонтальной поверхности по окружности радиуса r=100мм. Найти работу силы трения при повороте тела на угол α=30. Коэффициент трения между телом и поверхностью равен k=0,2.

Первый шар массой m1 = 2 кг движется со скоростью, величина которой v1 = 3 м/с. Второй шар массой m2 = 8 кг движется со скоростью, величина которой v2 = 1 м/с. Найти скорость v 1 первого шара и скорость v 2 второго шара сразу после удара, если: а) шары движутся навстречу друг другу; б) первый шар догоняет второй. Удар считать центральным и абсолютно упругим.

нальности (∂ f ∂ ϕ ) 2 . Отсюда видно, что коэффициент инерции объекта зави-

сит от выбора обобщенной координаты и может быть пересчитан.

КЭ нестационарной голономной одностепенной системы имеет струк-

туру квадратного полинома относительно обобщенной скорости q & , коэффи-

циенты которой в общем случае зависят от q и t :

2T = aq & 2 + 2a 1 q & + 2a 0 , при a = a (q ,t ), a 1 = a 1 (q ,t ), a 0 = a 0 (q ,t ) (5.10)

Размерность коэффициентов a , a 0 ,a 1 определяем по принципу Л.Эйлера: все слагаемые в выражениях должны иметь одинаковую размерность.

5.3. Мощность силы

Область пространства, в которой к материальному объекту приложена сила, называется векторным силовым полем . Эта область может быть трехмерной (например-шаровой), либо двумерной, либо представлять отрезок прямой или кривой линии. Обычно считают, что сила зависит только от координат (x , y , z ) точки приложения силы, либо - от одной или двух координат, либо – постоянная по модулю и направлению. Допускаются также случаи, когда силы зависят и от скорости точки и от времени, т.е. сила задана в области пространства координат, скоростей, времени. Встречаются случаи, ко-

гда сила зависит от ускорения.

в мгновение t в системе отсчета Oxyz называется

Мощностью силы F

скаляр, равный скалярному произведению силы

на скорость точки прило-

жения силы v в этой системе:

м/c=Вт)

Fv cos(F ,v )

Zz, (Н

Согласно данному определению мощность силы есть положительный скаляр, если угол между силой и скоростью острый (в этом случае сила способствует движению, нарастанию кинетической энергии) и отрицательна, если угол тупой.(когда сила замедляет движение). Мощность силы равна нулю, если сила перпендикулярна к скорости точки приложения силы, или в случае, если точка приложения силы не имеет скорости.

Мощности в двух системах отсчета различны в случае, если системы движутся одна относительно другой, поэтому следует указывать систему отсчета, в которой вычисляется мощность сил.

Мощность сил трения, также как и других диссипативных сил, направленных против движения, отрицательна.

Мощность силы сцепления колеса с дорогой (если нет проскальзывания колеса) равна нулю, поскольку точка приложения силы не имеет скорости.

Рассмотрим случай, когда силы зависят только от положения точки при-

U (x , y , z ) - функция положения точки приложения силы, т.е. – функция декартовых (или обобщенных) координат. В этом случае силу F (x , y , z ) называют потенциальной , а “силовую функцию” U с обратным знаком, называют

потенциальной энергией : П (x , y , z ) = − U (x , y , z ) . Область пространства, в ко-

торой на тело действует потенциальная сила, называется потенциальным силовым полем . Под знаком производной можно добовлять любую константу, поэтому силовая функция и потенциальная энергия определяется с точностью до константы, определяющей уровень отсчета. В общем случае, потенциальную энергию можно определить как функцию П (q 1 ,..., q n ) , получаемую

путем преобразования мощности к виду: P = − П & (q 1 ,..., q n ) , где q s – обобщен-

ные координаты.

Пусть тело произвольно движется в пространстве, т.е. оно перемещается вместе с полюсом O со скоростью v O и вращается с угловой скоростью ω .

Мощность пары сил, приложенной к твердому телу, не зависит от скорости полюса. Она равна скалярному произведению момента пары сил и угловой скорости.

P = M			M ω cos(M ,ω			) = M xω x + M yω y + M zω z ,

где M - момент пары сил, ω - угловая скорость твердого тела, которая, как известно, не зависит от выбора полюса. Мощность диссипативных пар сил отрицательна. Мощность пары сил не зависит от места приложения её к телу. Мощность пары сил трения в подшипнике отрицательная, поскольку момент трения и угловая скорость вращения противонаправлены.

Мощность системы сил, приложенных к твердому телу, равна скалярному произведению главного вектора R системы на скорость любого полюса тела, сложенному со скалярным произведением главного момента M 0 сил относительно этого полюса на угловую скорости тела:

v O + M

O ω

при R = ∑ F i , M O = ∑ r i × F i .

5.4. Работа и потенциальная энергия

Элементарной работой силы в выбранной системе координат Oxyz (неподвижной или подвижной) называется бесконечно малая величина, равная скалярному произведению силы на элементарное перемещение точки приложения силы в этой системе:

d ′ A = F		d r = Xdx + Ydy + Zdz = F | d r | cos(F ,d r ), (Н м=Дж)

Здесь через d ΄A обозначена бесконечно малая работа, совершаемая силой за бесконечно малый интервал времени, d r - элементарное перемещение, сонаправленное со скоростью точки. Штрихом отмечено, что d ΄A не всегда является полным дифференциалом от некоторой функции.

Очевидно, что произведение Pdt равно элементарной работе d ΄A :

Мощность, умноженная на малый интервал времени ∆t , есть приближенное значение работы ∆A силы за этот интервал, мощность приближенно равна работе силы за 1 сек. Работой силы за конечный интервал времени называется определенный интеграл от мощности по времени:

A12 = ∫ Pdt = ∫			v dt при v = r & = dr / dt .

Для расчета работы по данной общей формуле необходимо знать мощность как функцию времени или силу и скорость в виде функций только времени t . Но в некоторых частных случаях (случай потенциальной силы, случай постоянной силы трения при неизменном направлении движения) возможно вычисление работы без применения кинематических уравнений движения точки приложения силы, достаточно знать только начальное и конечное положение точки.

Рассмотрим движение точки приложения силы по отношению к двум системам отсчета, движущимся одна относительно другой. Скорость точки в двух системах различна, поэтому и мощность силы будет различной. Таким образом, понятия мощность, работа, формулируется по отношению к конкретной системе отсчета, преимущественно – по отношению к ИСО или ПСО (инерционной или поступательной системам отсчета).

Определение Сила F называется потенциальной , а ее силовое поле -

потенциальным силовым полем , если выполнены два условия:

1) Сила удовлетворяет одному из следующих условий: сила постоянна по величине и направлению F = const или зависит только от координат точки (всех трех или части) ее приложения, т.е. F = F (x , y , z ).

2) Элементарная работа d ′ A силы есть полный дифференциал от некоторой функции координат, либо мощность силы в любой момент времени равна полной производной по времени от некоторой функции Π (x , y , z )

Функция П(x ,y ,z ), получаемая посредством преобразования выражения элементарной работы, либо из выражения мощности, называется по-

тенциальной энергией потенциального силового поля в точке M(x, y, z).

Тем самым векторному силовому полю силы F (x , y , z ) сопоставляется

математически более простое поле скалярной функции трех переменных П(x , y , z ), либо - функции двух переменных П(x ,y ), либо - функции одной переменной П(x )

Потенциальная энергия может быть представлена не только в декартовой системе координат, но также - в цилиндрической, сферической системах координат, в общем она является функцией некоторых обобщенных коорди-

нат П(q 1 , q 2 , q 3 ).

Поверхности, определенные уравнением П(q 1 , q 2 , q 3 )=C, где C - произвольно назначаемый постоянный параметр, называются эквипотенциальными поверхностями .

Заметим, что под знаком дифференциала всегда можно прибавить или вычесть любую константу, так что функция П в формуле (5.18) определяется с точностью до константы. Константу произвольно назначают, например, полагают равной нулю, выбирая тем самым уровень отсчета семейства эквипотенциальных поверхностей.

Мощность потенциальной силы равна взятой со знаком минус произ-

водной по времени от потенциальной энергии P = −Π & . Подставим это выражение в определенный интеграл (5.17). Получим выражение работы потенциальной силы на конечном перемещении точки приложения силы, осуществленном за конечный промежуток времени:

A 12 = П(x 1 , y 1 , z 1 ) – П(x 2 , y 2 , z 2 ) = П1 – П2 .

Таким образом, работа потенциальной силы при ее перемещении за ин-

тервал из точки M 1 (x 1 , y 1 , z 1 ) в точку M 2 (x 2 , y 2 , z 2 ) по любой траектории равна убыли потенциальной энергии на этом перемещении, т.е. равна разно-

сти потенциальных энергий в первой и второй точках потенциального поля. Работа потенциальной силы не зависит от формы траектории, соединяющей две точки. В частности, работа потенциальной силы на любой замкнутой траектории равна нулю, а работа при переходе точки приложения силы с эквипотенциальной поверхности П=С1 на поверхность П=С2 равна разно-

сти констант: А12 =С1 -С2 .

Частный случай В качестве начальной точки M 1 (x 1 , y 1 , z 1 ) возьмем любую точку M (x , y , z ) потенциального поля, а в качестве M 2 (x 2 , y 2 , z 2 ) возьмем такую точку поля M (x O , y O , z O ), в которой потенциальная энергия принята равной

Получаем следующую физическую интерпретацию. Потенциальная энергия в любой точке M потенциального поля равна работе приложенной силы при перемещении ее точки приложения из положения M по любой гладкой или негладкой траектории в такое положение, в котором потенциальная энергия принята равной нулю, а также равна взятой со знаком минус работе силы на перемещении в положение M (x ,y ,z ) из “нулевого” положения, в котором потенциальная энергия принята равной нулю.

Пример 1 Найдем потенциальную энергию силы тяжести G = − Gk , про-

тивонаправленной с ортом k вертикальной оси Oz системы Oxyz . Методом элементарной работы получаем:

d ΄A = G x dx + G y dy + G z dz = –Gdz = – d (Gz ) => П = Gz .

Методом мощности получаем

P = G x x & +G y y & +G z z & = −Gz & = −(Gz ) Π = Gz .

Таким образом, потенциальная энергия силы тяжести равна произведению веса материальной точки на высоту расположения точки M над плоскостью Oxy , удовлетворяющей условию z = 0. Здесь плоскость Oxy назначена

нулевой эквопотенциальной плоскостью. Потенциальная энергия силы тяжести отрицательна в точках, расположенных под плоскостью Oxy , при z < 0. На любых горизонтальных плоскостях данная потенциальная энергия одинакова во всех точках, т.е. горизонтальные плоскости являются эквипотенциальными поверхностями. Работа силы тяжести на перемещении с плоскости уровня z = z 1 на плоскость z = z 2 определяется по формуле:

A 12 = П1 – П2 = G (z 1 – z 2 ) = ± Gh при h = |z 1 –z 2 |.

Эта работа пропорциональна разности (убыли) уровней, она отрицательна, если первый уровень ниже, чем второй.

Замечание . В случае если ось Oz направлена вниз, получаем формулу с обратным знаком: П = –Gz .

Пример 2 . Потенциальная энергии силы упругости пружины. Силовое поле горизонтальной пружины имеет вид горизонтальной оси Ox . Начало оси совместим со свободным концом недеформированной пружины, x - деформация растяжения пружины при x > 0, или сжатия пружины при x < 0. Упругая сила пружины F = − cxi , где i - орт оси x . Она всегда направлена противоположно деформации. Методом мощности находим потенциальную энергию силы упругости

P = Fx x = − c x x = − (c x					Π = cx

Вообразим, что пружина очень медленно растягивается внешней силой,

медленно нарастающей от нуля до значения F вн = cxi . Считаем, что в каждый момент времени упругая сила пружины уравновешивает внешнию силу.

Среднее значение величины силы F вн на интервале равно: F cр = cx / 2 .

Упругая сила пружины, совершая при этом отрицательную работу по сопротивлению растягиванию, запасает в пружине положительную потенциальную

энергию, равную Π = F x = cx 2 / 2.
Работа упругой силы на деформации				X 2 − x 1 равна A 12 = (x 2 2 – x 1 2 )c /2.
Очевидно, что A 12 < 0 при x1 < x2 и A 12 > 0 при x1 > x2
	3 . Сила тяготения Земли			по закону "обратных квадратов":
F = γ m m / r2 ,			= − γ m m r / r 3 , где r - радиус-вектор материальной точки в

геоцентрической системе отсчета, γ = 6,672· 10–11 (м3 /(кг· с2 ) - постоянная тя-

готения, r / r = e - орт радиус-вектора тела (материальной точки), проведенного из центра Земли, m 1 = 6· 1024 (кг)- масса Земли, m - масса тела, γm 1 =

3986· 1011 (м3 /с2 ) - геоцентрическая гравитационная постоянная. Учитывая

тождества r r = r 2 ,

γ m1 m

γ m1 m

γ m1 m

γ m1 m

d A = −

r dr = −

dr = d (−

Π(r ) = −

Отметим, что П(r )→0 при r →∞, следовательно, потенциальная энергия

на бесконечности принята равной нулю.

"