우주에서 평면의 일반 방정식. 비행기의 방정식. 평면의 방정식을 작성하는 방법은 무엇입니까? 비행기의 상호 배열. 방향 벡터와 점을 사용하여 평면을 동일시하는 문제
비행기의 방정식. 평면의 방정식을 작성하는 방법은 무엇입니까?
비행기의 상호 배열. 작업
공간 기하학은 "평평한" 기하학보다 훨씬 복잡하지 않으며 우주에서의 비행은 이 기사에서 시작됩니다. 주제를 마스터하려면 해당 주제를 잘 이해해야 합니다. 벡터, 또한 평면의 기하학에 익숙해지는 것이 좋습니다. 유사점과 비유가 많으므로 정보가 훨씬 더 잘 소화됩니다. 일련의 수업에서 2D 세계는 기사와 함께 열립니다. 평면 위의 직선 방정식. 하지만 이제 배트맨은 평면 TV 화면을 떠나 바이코누르 우주 비행장에서 발사되고 있습니다.
그림과 기호부터 시작하겠습니다. 도식적으로 평면은 평행사변형 형태로 그려질 수 있으며 이는 공간적인 느낌을 줍니다. 
평면은 무한하지만 우리는 평면의 일부만을 묘사할 기회를 갖고 있습니다. 실제로는 평행사변형 외에도 타원이나 구름도 그려집니다. 기술적인 이유로 평면을 정확히 이런 방식과 정확히 이 위치로 묘사하는 것이 더 편리합니다. 실제 예에서 고려할 실제 평면은 어떤 방식으로든 위치를 지정할 수 있습니다. 정신적으로 그림을 손에 들고 공간에서 회전하여 평면에 기울기와 각도를 부여합니다.
명칭: 비행기는 일반적으로 혼동하지 않도록 작은 그리스 문자로 표시됩니다. 비행기의 직선또는 우주의 직선. 나는 문자를 사용하는 데 익숙합니다. 그림에서 그것은 구멍이 아닌 문자 "시그마"입니다. 하지만 구멍난 비행기는 확실히 꽤 재미있습니다.
어떤 경우에는 평면을 지정하기 위해 낮은 첨자와 동일한 그리스 문자를 사용하는 것이 편리합니다(예: ).
평면은 같은 선상에 있지 않은 세 개의 다른 점에 의해 고유하게 정의된다는 것은 명백합니다. 따라서 비행기에 대한 세 글자 지정은 예를 들어 비행기에 속한 점 등으로 매우 유명합니다. 종종 문자는 괄호 안에 표시됩니다. 
, 평면을 다른 기하학적 도형과 혼동하지 않도록 합니다.
경험이 풍부한 독자들에게 나는 줄 것입니다 빠른 액세스 메뉴:
- 점과 두 벡터를 사용하여 평면의 방정식을 만드는 방법은 무엇입니까?
- 점과 법선 벡터를 사용하여 평면의 방정식을 만드는 방법은 무엇입니까?
그러면 우리는 오래 기다리지 않을 것입니다.
일반 평면 방정식
평면의 일반 방정식은 다음과 같습니다. 여기서 계수는 동시에 0이 아닙니다.
다수의 이론적 계산과 실제 문제는 일반적인 정규직교기저와 다음 모두에 유효합니다. 아핀 기초공백(기름이 기름인 경우 수업으로 돌아가기 벡터의 선형(비) 의존성. 벡터의 기초). 단순화를 위해 모든 사건이 정규 직교 기반과 데카르트식으로 발생한다고 가정합니다. 직사각형 시스템좌표
이제 공간적 상상력을 조금 연습해 봅시다. 당신이 나쁘더라도 괜찮습니다. 이제 조금 발전시켜 보겠습니다. 신경을 쓰는 것에도 훈련이 필요합니다.
가장 일반적인 경우 숫자가 0이 아닌 경우 평면은 세 좌표축 모두와 교차합니다. 예를 들어 다음과 같습니다.
다시 한 번 비행기가 모든 방향으로 무한정 계속되며 우리는 비행기의 일부만 묘사할 기회가 있다는 것을 다시 한 번 반복합니다.
가장 간단한 평면 방정식을 고려해 봅시다.
이 방정식을 이해하는 방법은 무엇입니까? 생각해 보세요. "X"와 "Y" 값에 관계없이 "Z"는 항상 0입니다. 이것은 "기본" 좌표 평면의 방정식입니다. 실제로 공식적으로 방정식은 다음과 같이 다시 작성할 수 있습니다. 
, "x"와 "y"가 어떤 값을 취하는지 상관하지 않는다는 것을 분명히 알 수 있듯이 "z"가 0과 같은 것이 중요합니다.
비슷하게:
- 좌표평면의 방정식;
- 좌표평면의 방정식.
문제를 조금 더 복잡하게 만들어 평면을 생각해 보겠습니다(여기서 그리고 이 단락에서는 수치 계수가 0이 아니라고 가정합니다). 방정식을 다음 형식으로 다시 작성해 보겠습니다. 그것을 이해하는 방법? "X"는 항상 "Y" 및 "Z" 값에 대해 특정 숫자와 같습니다. 이 평면은 좌표 평면과 평행합니다. 예를 들어 평면은 평면과 평행하며 점을 통과합니다.
비슷하게:
– 좌표 평면에 평행한 평면의 방정식;
- 좌표평면과 평행한 평면의 방정식.
구성원을 추가해 보겠습니다. 방정식은 다음과 같이 다시 작성할 수 있습니다. 즉, "zet"는 무엇이든 될 수 있습니다. 무슨 뜻이에요? "X"와 "Y"는 평면에 특정 직선을 그리는 관계식으로 연결됩니다. 평면의 선의 방정식?). "z"는 무엇이든 될 수 있으므로 이 직선은 어떤 높이에서도 "복제"됩니다. 따라서 방정식은 좌표축에 평행한 평면을 정의합니다.
비슷하게:
– 좌표축에 평행한 평면의 방정식;
– 좌표축에 평행한 평면의 방정식.
자유 항이 0이면 평면은 해당 축을 직접 통과합니다. 예를 들어, 고전적인 "직접 비례": . 평면에 직선을 그리고 정신적으로 위아래로 곱합니다(“Z”는 임의이므로). 결론: 방정식으로 정의된 평면은 좌표축을 통과합니다.
검토를 완료합니다: 평면의 방정식 
원점을 통과합니다. 글쎄요, 여기서 점이 이 방정식을 만족한다는 것이 아주 명백합니다.
그리고 마지막으로 그림에 표시된 경우는 다음과 같습니다. – 평면은 모든 좌표축에 친숙하지만 항상 8개의 팔분원 중 하나에 위치할 수 있는 삼각형을 "절단"합니다.
공간의 선형 불평등
정보를 이해하려면 공부를 잘해야 합니다 평면의 선형 부등식, 왜냐하면 많은 것들이 비슷할 것이기 때문입니다. 실제로 자료가 매우 드물기 때문에 이 단락에서는 몇 가지 예를 들어 간략한 개요를 설명할 것입니다.
방정식이 평면을 정의하면 부등식은
묻다 반 공백. 부등식이 엄격하지 않은 경우(목록의 마지막 두 개) 부등식의 해법에는 절반 공간 외에도 평면 자체도 포함됩니다.
실시예 5
평면의 단위 법선 벡터 찾기 
.
해결책: 단위 벡터는 길이가 1인 벡터입니다. 나타내자 주어진 벡터을 통해 . 벡터가 동일선상에 있다는 것은 명백합니다. 
먼저 평면 방정식에서 법선 벡터를 제거합니다.
단위 벡터를 찾는 방법은 무엇입니까? 단위 벡터를 찾으려면 다음이 필요합니다. 모든벡터 좌표를 벡터 길이로 나눕니다..
형식의 법선 벡터를 다시 작성하고 길이를 찾아보겠습니다.
위에 따르면 :
답변: 
검증: 검증에 필요한 것.
수업의 마지막 문단을 주의 깊게 공부한 독자들은 아마도 다음과 같은 점을 알아차렸을 것입니다. 단위 벡터의 좌표는 정확히 벡터의 방향 코사인입니다.:
당면한 문제에서 잠시 벗어나 보겠습니다. 0이 아닌 임의의 벡터가 주어졌을 때, 조건에 따라 방향 코사인을 찾아야 합니다(강의 마지막 문제 참조). 벡터의 내적), 그러면 실제로 이것과 동일 선상에 있는 단위 벡터를 찾을 수 있습니다. 실제로 한 병에 두 가지 작업이 있습니다.
단위 법선 벡터를 찾아야 할 필요성은 수학적 분석의 일부 문제에서 발생합니다.
낚시와 함께 법선 벡터우리는 그것을 알아냈습니다. 이제 반대 질문에 답해 보겠습니다.
점과 법선 벡터를 사용하여 평면의 방정식을 만드는 방법은 무엇입니까?
법선 벡터와 점의 견고한 구성은 다트판에 잘 알려져 있습니다. 손을 앞으로 뻗어 정신적으로 공간의 임의 지점(예: 찬장에 있는 작은 고양이)을 선택하십시오. 분명히 이 지점을 통해 손에 수직인 단일 평면을 그릴 수 있습니다.
벡터에 수직인 점을 통과하는 평면의 방정식은 다음 공식으로 표현됩니다.
법선 평면 방정식.
형식의 일반 평면 방정식은 다음과 같습니다. 법선 방정식, 벡터 길이가 
1과 같습니다. 즉, 
, 그리고 .
평면의 정규 방정식이 로 쓰여지는 것을 종종 볼 수 있습니다. 다음은 단위 길이의 주어진 평면의 법선 벡터의 방향 코사인입니다. 피– 원점에서 평면까지의 거리와 동일한 음수가 아닌 숫자.
직각 좌표계의 평면의 정규 방정식 옥시즈원점에서 일정 거리만큼 제거된 평면을 정의합니다. 피이 평면의 법선 벡터의 양의 방향으로 
. 만약에 p=0, 평면은 원점을 통과합니다.
법선평면방정식의 예를 들어보자.
평면을 직교좌표계로 지정하자 옥시즈다음 형식의 일반 평면 방정식 
. 이 평면의 일반방정식은 평면의 정규방정식이다. 실제로 이 평면의 법선 벡터는 다음과 같습니다. 
길이는 1과 동일합니다. 왜냐하면 
.
일반 형태의 평면 방정식을 사용하면 점에서 평면까지의 거리를 찾을 수 있습니다.
점에서 평면까지의 거리.
점에서 평면까지의 거리는 이 점과 평면의 점 사이의 거리 중 가장 작은 것입니다. 다음과 같이 알려져 있습니다. 거리한 점에서 평면까지의 길이는 이 점에서 평면까지 그린 수선의 길이와 같습니다.
좌표의 원점이 평면의 다른 면에 있는 경우, 반대의 경우입니다. 한 점에서 평면까지의 거리는
비행기의 상호 배열. 평면의 평행성과 직각성의 조건.
평행 평면 사이의 거리
관련 개념
평면은 평행하다 , 만약에
또는 
(벡터 곱)
평면은 수직이다, 만약에
또는 
.
(스칼라 곱)
우주에서 똑바로. 다양한 종류직선의 방정식.
공간의 직선 방정식 - 초기 정보.
평면 위의 직선 방정식 옥시두 변수의 선형 방정식입니다 엑스그리고 와이, 이는 선 위의 임의 점 좌표로 만족되고 다른 점 좌표로는 만족되지 않습니다. 3차원 공간의 직선의 경우 상황은 약간 다릅니다. 세 개의 변수가 있는 선형 방정식은 없습니다. 엑스, 와이그리고 지, 이는 직각 좌표계에서 지정된 선 위의 점 좌표에 의해서만 충족됩니다. 옥시즈. 실제로 다음 형식의 방정식은 다음과 같습니다. 엑스, 와이그리고 지변수이고, ㅏ, 비, 씨그리고 디– 일부 실수, 그리고 ㅏ, 안에그리고 와 함께동시에 0과 같지 않음을 나타냅니다. 일반 평면 방정식. 그러면 다음과 같은 질문이 생깁니다. “직교 좌표계에서 직선을 어떻게 설명할 수 있습니까? 옥시즈»?
이에 대한 답변은 기사의 다음 단락에 포함되어 있습니다.
공간의 직선 방정식은 교차하는 두 평면의 방정식입니다.
한 가지 공리를 떠올려 보겠습니다. 공간의 두 평면이 공통점을 갖고 있다면 두 평면은 모두 공통된 직선을 가집니다. 공통점이 비행기들. 따라서 공간의 직선은 이 직선을 따라 교차하는 두 평면을 지정하여 정의할 수 있습니다.
마지막 문장을 대수학의 언어로 번역해 보겠습니다.
직교좌표계를 3차원 공간에 고정시키자 옥시즈그리고 직선이라는 것이 알려져 있습니다. ㅏ는 두 평면의 교차선이며 각각 형태 평면의 일반 방정식에 해당합니다. 직선이니까 ㅏ는 평면의 모든 공통점의 집합이고, 선 a 위의 임의 점의 좌표는 방정식과 방정식을 동시에 만족할 것이고, 다른 점의 좌표는 평면의 두 방정식을 동시에 만족하지 않을 것입니다. 따라서 선 위의 모든 점의 좌표는 ㅏ직각 좌표계에서 옥시즈대표하다 선형 방정식 시스템에 대한 특정 솔루션친절한 
, 그리고 방정식 시스템에 대한 일반적인 해 
선의 각 점의 좌표를 결정합니다. ㅏ즉, 직선을 정의합니다. ㅏ.
따라서 직교좌표계에서 공간의 직선은 옥시즈두 개의 교차 평면의 방정식 시스템으로 주어질 수 있습니다. 
.
다음은 두 방정식 시스템을 사용하여 공간에서 직선을 정의하는 예입니다. 
.
교차하는 두 평면의 방정식으로 직선을 설명하는 것은 다음과 같은 경우에 탁월합니다. 선과 평면의 교차점 좌표 찾기, 그리고 언제 공간에서 두 선의 교차점 좌표 찾기.
기사를 참조하여 이 주제에 대한 추가 연구를 권장합니다. 공간의 선 방정식 - 교차하는 두 평면의 방정식. 좀 더 자세한 정보를 제공하고, 대표적인 사례와 문제에 대한 해결책을 자세히 논의하며, 다른 유형의 공간에서 직선의 방정식으로 전환하는 방법도 보여줍니다.
다르다는 점에 유의해야 합니다. 공간에서 선을 정의하는 방법, 그리고 실제로 직선은 교차하는 두 평면에 의해 정의되는 것이 아니라 직선의 방향 벡터와 이 직선 위에 놓인 점에 의해 정의되는 경우가 많습니다. 이러한 경우 공간 내 선의 표준 방정식과 매개변수 방정식을 얻는 것이 더 쉽습니다. 다음 단락에서 이에 대해 이야기하겠습니다.
공간에 있는 선의 매개변수 방정식.
공간 내 선의 매개변수 방정식처럼 보인다 
,
어디 엑스 1 ,와이 1 그리고 지 1 – 선상의 어떤 점의 좌표, ㅏ 엑스 , ㅏ 와이그리고 ㅏ 지 (ㅏ 엑스 , ㅏ 와이그리고 ㅏ 지동시에 0과 같지 않음) - 해당 직선의 방향 벡터의 좌표, a는 실제 값을 취할 수 있는 매개변수입니다.
매개변수 값에 대해 공간 내 선의 매개변수 방정식을 사용하여 세 개의 숫자를 계산할 수 있습니다.
이는 선의 어떤 점에 해당합니다(따라서 이 유형의 선 방정식의 이름). 예를 들어,
공간에서 직선의 매개변수 방정식으로부터 좌표를 얻습니다. 엑스 1
, 와이 1
그리고 지 1
: 
.
예를 들어, 다음 형식의 매개변수 방정식으로 정의된 직선을 생각해 보세요. 
. 이 선은 한 점을 통과하며 이 선의 방향 벡터에는 좌표가 있습니다.
기사를 참조하여 주제를 계속 연구하는 것이 좋습니다. 공간 내 선의 매개변수 방정식. 공간의 선 매개변수 방정식의 유도를 보여주고, 공간의 선 매개변수 방정식의 특수한 사례를 검토하며, 그래픽 일러스트레이션을 제공하고, 특징적인 문제에 대한 상세한 해결책을 제시하며, 선의 매개변수 방정식과 다른 유형의 매개변수 방정식 간의 연관성을 나타냅니다. 선의 방정식.
공간에서 직선의 표준 방정식.
다음 형식의 각 매개변수 직선 방정식을 해결한 후 
매개변수에 관해서는 다음으로 이동하기 쉽습니다. 공간에서 직선의 표준 방정식친절한 
.
공간에서 직선의 표준 방정식은 점을 통과하는 직선을 결정합니다. 
, 직선의 방향 벡터는 벡터입니다. 
. 예를 들어, 정규 형식의 직선 방정식은 
좌표가 있는 공간의 한 점을 통과하는 선에 해당하면 이 선의 방향 벡터는 좌표를 갖습니다.
선의 표준 방정식에 있는 숫자 중 하나 또는 두 개가 0이 될 수 있다는 점에 유의해야 합니다(선의 방향 벡터가 0이 될 수 없기 때문에 세 숫자 모두 동시에 0이 될 수는 없습니다). 그런 다음 형식의 표기법 
(하나 또는 두 개의 분수의 분모는 0을 갖기 때문에) 형식적인 것으로 간주되며 다음과 같이 이해되어야 합니다. 
, 어디.
선의 표준 방정식에 있는 숫자 중 하나가 0이면 선은 좌표 평면 중 하나에 있거나 평행한 평면에 있습니다. 숫자 중 두 개가 0이면 선은 좌표축 중 하나와 일치하거나 평행합니다. 예를 들어, 다음 형식의 공간에 있는 선의 표준 방정식에 해당하는 선입니다. 
, 비행기에 누워 z=-2, 좌표평면과 평행한 옥시, ㅏ 좌표축 아야표준 방정식에 의해 결정됩니다.
이러한 사례에 대한 그래픽 설명, 공간에 있는 선의 표준 방정식 유도, 일반적인 예와 문제에 대한 자세한 솔루션, 선의 표준 방정식에서 공간에 있는 선의 다른 방정식으로의 전환에 대해서는 다음을 참조하세요. 기사 공간에 있는 선의 표준 방정식.
직선의 일반방정식. 일반 방정식에서 정식 방정식으로 전환합니다.
| " |
– 우주 평면의 일반 방정식
일반 평면 벡터
평면의 법선 벡터는 평면에 있는 모든 벡터에 직교하는 0이 아닌 벡터입니다.
주어진 법선 벡터를 사용하여 점을 통과하는 평면의 방정식
– 주어진 법선 벡터로 점 M0을 통과하는 평면의 방정식
평면 방향 벡터
평면에 평행한 두 개의 비공선형 벡터를 평면의 방향 벡터라고 부릅니다.
파라메트릭 평면 방정식
– 매개변수 방정식벡터 형태의 비행기
– 좌표계 평면의 매개변수 방정식
주어진 점과 두 방향 벡터를 통한 평면의 방정식
– 고정점
-그냥 포인트 ㅋㅋㅋ
-coplanar, 이는 혼합 제품이 0임을 의미합니다.
주어진 세 점을 통과하는 평면의 방정식
– 세 점을 통한 평면의 방정식
세그먼트의 평면 방정식
– 세그먼트의 평면 방정식
증거
이를 증명하기 위해 평면이 A, B, C와 법선 벡터를 통과한다는 사실을 사용합니다.
점과 벡터 n의 좌표를 평면의 방정식에 법선 벡터로 대입해 보겠습니다.
모든 것을 나누어서 얻자
그래서 간다.
법선평면방정식
– ox와 O에서 나오는 평면에 대한 법선 벡터 사이의 각도.
– oy와 O에서 나오는 평면에 대한 법선 벡터 사이의 각도.
– oz와 O에서 나오는 평면에 대한 법선 벡터 사이의 각도.
– 원점에서 평면까지의 거리.
증명이나 그런 헛소리
표지판은 D의 반대편에 있습니다.
나머지 코사인도 마찬가지입니다. 끝.
점에서 평면까지의 거리
점 S, 평면
– 점 S에서 평면까지의 방향 거리
이면 S와 O는 평면의 반대편에 놓여 있습니다.
이면 S와 O는 같은 편에 있다.
n을 곱한다 
공간에서 두 선의 상대적 위치
평면 사이의 각도
교차할 때 두 쌍의 수직 이면각이 형성되며 가장 작은 각도를 평면 사이의 각도라고 합니다.
공간 속의 직선
공간의 직선은 다음과 같이 지정될 수 있습니다.
두 평면의 교차점:
선의 매개변수 방정식
– 벡터 형태의 직선의 매개변수 방정식
– 좌표계 직선의 매개변수 방정식
정식 방정식
– 직선의 표준 방정식.
주어진 두 점을 지나는 직선의 방정식
– 벡터 형식의 직선의 표준 방정식;
공간에서 두 선의 상대적 위치
공간에서 직선과 평면의 상대적 위치
직선과 평면 사이의 각도
점에서 공간의 선까지의 거리
a는 직선의 방향 벡터입니다.
– 주어진 선에 속하는 임의의 점
– 우리가 거리를 찾고 있는 지점.
두 교차선 사이의 거리
두 평행선 사이의 거리
M1 – 첫 번째 선에 속하는 점
M2 – 두 번째 선에 속하는 점
2차 곡선과 표면
타원은 평면 위의 점 집합으로, 주어진 두 점(초점)까지의 거리의 합은 일정한 값입니다.
정식 타원 방정식
다음으로 교체
로 나누다
타원의 속성
좌표축과의 교차점
태생
대칭 상대
타원은 평면의 제한된 부분에 있는 곡선입니다.
타원은 원을 늘이거나 압축하여 얻을 수 있습니다.
타원의 매개변수 방정식:
– 교장 선생님들
쌍곡선
쌍곡선은 주어진 2개의 점(초점)까지의 거리 차이 계수가 일정한 값(2a)인 평면 위의 점 집합입니다.
우리는 타원과 같은 일을 합니다.
다음으로 교체
로 나누다
쌍곡선의 속성
;
– 교장 선생님들
점근선
점근선은 곡선이 무한히 접근하다가 무한대로 멀어지는 직선입니다.
포물선
파라워크의 속성
타원, 쌍곡선, 포물선의 관계.
이 곡선 사이의 관계는 대수적으로 설명됩니다. 모두 2차 방정식으로 제공됩니다. 모든 좌표계에서 이러한 곡선의 방정식은 다음 형식을 갖습니다. ax 2 +bxy+cy 2 +dx+ey+f=0, 여기서 a, b, c, d, e, f는 숫자입니다.
직사각형 직교 좌표계 변환
평행 좌표계 전송
-O' 기존 좌표계에서
– 기존 좌표계의 점 좌표
– 지점의 좌표 새로운 시스템좌표
새 좌표계의 점 좌표입니다.
직사각형 직교 좌표계의 회전
– 새로운 좌표계
이전 기반에서 새 기반으로의 전환 매트릭스
– (첫 번째 열 아래 나’
, 두 번째 아래 – 제이’
) 기초로부터의 전이 행렬 나,제이기지로 나’
,제이’
일반적인 경우
좌표계 회전
좌표계 회전
병렬 원점 번역
옵션 1개
옵션 2
2차선의 일반 방정식과 표준 형식으로의 축소
– 일반적인 형태 2차 곡선 방정식
2차 곡선의 분류
타원체
타원체 단면
– 타원
– 타원
혁명의 타원체
회전 타원체는 우리가 회전하는 대상에 따라 편원형 또는 장형 회전 타원체입니다.
단일 스트립 쌍곡면
단일 스트립 쌍곡면의 단면
– 실수 축이 있는 쌍곡선
– 실수 축 x를 사용한 쌍곡선
결과는 임의의 h에 대한 타원입니다. 그래서 간다.
단일 스트립 쌍곡면의 혁명
한 장의 회전 쌍곡면은 허수축을 중심으로 쌍곡선을 회전시켜 얻을 수 있습니다.
2장 쌍곡면
두 장으로 구성된 쌍곡면의 단면 
- 행동을 통한 과장법. 축오즈
– 실수 축오즈를 사용한 쌍곡선
원뿔 
– 한 쌍의 교차선
– 한 쌍의 교차선
타원형 포물면 
- 포물선
– 포물선
회전
이면 타원형 포물면은 대칭축을 중심으로 포물선이 회전하여 형성된 회전 표면입니다.
쌍곡선 포물면
포물선
– 포물선
h>0 x에 평행한 실수 축을 갖는 쌍곡선
시간<0 гипербола с действительной осью паралльной оу и мнимой ох
원통이란 방향을 바꾸지 않고 직선이 공간에서 이동할 때 얻을 수 있는 표면을 의미합니다. 직선이 oz를 기준으로 이동하는 경우 원통의 방정식은 xoy 평면에 의한 단면의 방정식입니다.
타원형 실린더
쌍곡선 실린더
포물선형 실린더
2차 표면의 직선 생성기
표면에 완전히 놓인 직선을 표면의 직선 생성기라고 합니다.
혁명의 표면
엿 먹어라 멍청아
표시하다
표시하다집합 A의 각 요소가 집합 B의 하나 이상의 요소와 연관되는 규칙을 호출해 보겠습니다. 각각에 집합 B의 단일 요소가 할당되면 매핑이 호출됩니다. 모호하지 않은, 그렇지 않으면 모호한.
변환집합의 집합은 집합 자체에 대한 일대일 매핑입니다.
주입
세트 A를 세트 B로 주입 또는 일대일 매핑
(a의 다른 요소는 B의 다른 요소에 해당) 예를 들어 y=x^2
주사
세트 A를 세트 B로 삽입 또는 매핑
모든 B에는 최소한 하나의 A가 있습니다(예: 사인).
집합 B의 각 요소는 집합 A의 한 요소에만 대응됩니다. (예: y=x)
공간에서 평면 Q를 생각해 봅시다. 그 위치는 이 평면에 수직인 벡터 N과 Q 평면에 있는 일부 고정점을 지정하여 완전히 결정됩니다. Q 평면에 수직인 벡터 N을 이 평면의 법선 벡터라고 합니다. 법선 벡터 N의 투영을 A, B 및 C로 표시하면
주어진 점을 통과하고 주어진 법선 벡터 를 갖는 평면 Q의 방정식을 유도해 보겠습니다. 이를 위해 Q 평면의 임의의 점과 점을 연결하는 벡터를 고려하십시오(그림 81).
평면 Q 위의 점 M의 임의 위치에 대해 벡터 MHM은 평면 Q의 법선 벡터 N에 수직입니다. 따라서 스칼라 곱 투영의 관점에서 스칼라 곱을 작성하겠습니다. , 및 은 벡터이므로
따라서
우리는 Q 평면의 모든 점의 좌표가 방정식 (4)를 만족한다는 것을 보여주었습니다. Q 평면에 있지 않은 점의 좌표가 이 방정식을 만족하지 않는다는 것을 쉽게 알 수 있습니다(후자의 경우). 결과적으로 우리는 평면 Q에 대해 필요한 방정식을 얻었습니다. 방정식 (4)는 주어진 점을 통과하는 평면의 방정식이라고 합니다. 현재 좌표를 기준으로 1차입니다.
따라서 우리는 모든 평면이 현재 좌표에 대한 1차 방정식에 해당함을 보여주었습니다.
예 1. 벡터에 수직인 점을 통과하는 평면의 방정식을 작성합니다.
해결책. 여기 . 공식 (4)에 기초하여 우리는 다음을 얻습니다.
또는 단순화한 후에
식 (4)의 계수 A, B, C에 서로 다른 값을 부여함으로써 점 을 통과하는 모든 평면의 방정식을 얻을 수 있습니다. 주어진 점을 통과하는 평면의 집합을 평면 묶음이라고 합니다. 계수 A, B, C가 임의의 값을 가질 수 있는 방정식 (4)를 평면 묶음 방정식이라고 합니다.
예 2. 세 점을 통과하는 평면에 대한 방정식을 작성합니다(그림 82).
해결책. 점을 통과하는 여러 평면에 대한 방정식을 작성해 봅시다.
이번 강의에서는 행렬식을 사용하여 행렬식을 생성하는 방법을 살펴보겠습니다. 평면 방정식. 행렬식이 무엇인지 모른다면, 수업의 첫 부분인 "행렬과 행렬식"으로 가세요. 그렇지 않으면 오늘의 내용을 아무것도 이해하지 못할 위험이 있습니다.
세 점을 사용한 평면의 방정식
왜 평면 방정식이 필요한가요? 간단합니다. 이를 알면 문제 C2에서 각도, 거리 및 기타 헛소리를 쉽게 계산할 수 있습니다. 일반적으로 이 방정식 없이는 할 수 없습니다. 따라서 우리는 문제를 공식화합니다.
일. 같은 선상에 있지 않은 공간에 세 개의 점이 주어집니다. 좌표:
M = (x1, y1, z1);
N = (x 2, y 2, z 2);
K = (x3, y3, z3);이 세 점을 통과하는 평면에 대한 방정식을 만들어야 합니다. 또한 방정식은 다음과 같아야 합니다.
도끼 + By + Cz + D = 0
여기서 숫자 A, B, C 및 D는 실제로 찾아야 하는 계수입니다.
그렇다면 점의 좌표만 알면 어떻게 평면의 방정식을 구할 수 있을까요? 가장 쉬운 방법은 좌표를 방정식 Ax + By + Cz + D = 0으로 대체하는 것입니다. 쉽게 풀 수 있는 세 가지 방정식의 시스템을 얻습니다.
많은 학생들은 이 솔루션이 매우 지루하고 신뢰할 수 없다고 생각합니다. 지난해 수학통합고시에서는 계산 오류를 범할 확률이 정말 높다는 사실이 드러났다.
따라서 가장 뛰어난 교사들은 더 간단하고 우아한 솔루션을 찾기 시작했습니다. 그리고 그들은 그것을 발견했습니다! 사실, 얻은 기술은 오히려 더 높은 수학과 관련이 있습니다. 개인적으로 저는 우리가 어떤 정당성이나 증거 없이 이 기술을 사용할 권리가 있는지 확인하기 위해 전체 연방 교과서 목록을 뒤져야 했습니다.
행렬식을 통한 평면의 방정식
가사는 충분하고 본론으로 들어가겠습니다. 우선, 행렬식과 평면 방정식이 어떻게 관련되어 있는지에 대한 정리입니다.
정리. 평면을 그려야 하는 세 점의 좌표를 다음과 같이 지정합니다. M = (x 1, y 1, z 1); N = (x 2, y 2, z 2); K = (x3, y3, z3). 그런 다음 이 평면의 방정식은 행렬식을 통해 작성할 수 있습니다.
예를 들어 문제 C2에서 실제로 발생하는 한 쌍의 평면을 찾아보겠습니다. 모든 것이 얼마나 빨리 계산되는지 확인하세요.
A 1 = (0, 0, 1);
B = (1, 0, 0);
C1 = (1, 1, 1);
우리는 행렬식을 구성하고 이를 0과 동일시합니다.
행렬식을 확장합니다.
a = 1 1 (z − 1) + 0 0 x + (−1) 1 y = z − 1 − y;
b = (−1) 1 x + 0 1 (z − 1) + 1 0 y = −x;
d = a − b = z − 1 − y − (−x ) = z − 1 − y + x = x − y + z − 1;
d = 0 ⇒ x − y + z − 1 = 0;
보시다시피, 숫자 d를 계산할 때 변수 x, y 및 z가 올바른 순서가 되도록 방정식을 약간 "빗질"했습니다. 그게 다야! 평면 방정식이 준비되었습니다!
일. 점을 통과하는 평면에 대한 방정식을 작성하십시오.
A = (0, 0, 0);
B 1 = (1, 0, 1);
D 1 = (0, 1, 1);
우리는 즉시 점의 좌표를 행렬식으로 대체합니다.
행렬식을 다시 확장합니다.
a = 11 z + 0 1 x + 1 0 y = z;
b = 1 1 x + 0 0 z + 1 1 y = x + y;
d = a − b = z − (x + y ) = z − x − y;
d = 0 ⇒ z − x − y = 0 ⇒ x + y − z = 0;
그래서 평면의 방정식이 다시 얻어집니다! 다시 말하지만, 마지막 단계에서 우리는 더 "아름다운" 공식을 얻기 위해 기호를 변경해야 했습니다. 이 솔루션에서는 이 작업을 수행할 필요가 전혀 없지만 문제의 추가 솔루션을 단순화하기 위해 여전히 권장됩니다.
보시다시피 이제 평면의 방정식을 구성하는 것이 훨씬 쉬워졌습니다. 점을 행렬에 대입하고 행렬식을 계산하면 방정식이 준비됩니다.
이로 인해 수업이 종료될 수 있습니다. 그러나 많은 학생들은 행렬식 안에 무엇이 있는지 끊임없이 잊어버립니다. 예를 들어, 어느 줄에 x 2 또는 x 3이 포함되어 있는지, 어느 줄에 x만 포함되어 있는지 등이 있습니다. 실제로 이 문제를 해결하기 위해 각 숫자의 출처를 살펴보겠습니다.
행렬식을 포함한 공식은 어디에서 왔나요?
그렇다면 행렬식을 포함한 이러한 가혹한 방정식이 어디서 나오는지 알아봅시다. 이를 기억하고 성공적으로 적용하는 데 도움이 될 것입니다.
문제 C2에 나타나는 모든 평면은 세 개의 점으로 정의됩니다. 이러한 점은 항상 도면에 표시되거나 문제 텍스트에 직접 표시됩니다. 어쨌든 방정식을 만들려면 좌표를 적어야 합니다.
M = (x1, y1, z1);
N = (x 2, y 2, z 2);
K = (x3, y3, z3).
임의의 좌표가 있는 평면의 또 다른 점을 고려해 보겠습니다.
T = (x, y, z)
처음 세 점(예: 점 M)에서 임의의 점을 선택하고 이 점에서 나머지 세 점 각각에 벡터를 그립니다. 우리는 세 개의 벡터를 얻습니다:
MN = (x 2 − x 1 , y 2 − y 1 , z 2 − z 1 );
MK = (x 3 − x 1 , y 3 − y 1 , z 3 − z 1 );
MT = (x − x 1 , y − y 1 , z − z 1 ).
이제 이 벡터로부터 정사각 행렬을 구성하고 행렬식을 0으로 동일시해 보겠습니다. 벡터의 좌표는 행렬의 행이 되며 정리에 표시된 행렬식을 얻게 됩니다.
이 공식은 벡터 MN, MK 및 MT를 기반으로 만들어진 평행육면체의 부피가 0과 같음을 의미합니다. 따라서 세 벡터는 모두 같은 평면에 있습니다. 특히, 임의의 점 T = (x, y, z)가 바로 우리가 찾던 것입니다.
행렬식의 점과 선 바꾸기
행렬식에는 훨씬 더 쉽게 만드는 몇 가지 훌륭한 속성이 있습니다. 문제 C2에 대한 해결책. 예를 들어, 어느 지점에서 벡터를 그리는지는 중요하지 않습니다. 따라서 다음 행렬식은 위와 동일한 평면 방정식을 제공합니다.
행렬식의 직선을 바꿀 수도 있습니다. 방정식은 변경되지 않습니다. 예를 들어, 많은 사람들은 점 T = (x; y; z)의 좌표를 맨 위에 두고 선을 작성하는 것을 좋아합니다. 귀하에게 편리한 경우 다음을 수행하십시오.
어떤 사람들은 선 중 하나에 점을 대체해도 사라지지 않는 변수 x, y 및 z가 포함되어 있다는 사실로 인해 혼란스러워합니다. 하지만 사라져서는 안 됩니다! 숫자를 행렬식에 대입하면 다음과 같은 구성을 얻게 됩니다.
그런 다음 수업 시작 부분에 제공된 다이어그램에 따라 행렬식을 확장하고 평면의 표준 방정식을 얻습니다.
도끼 + By + Cz + D = 0
예를 살펴보십시오. 오늘 수업의 마지막 수업입니다. 답이 평면과 동일한 방정식을 제공하는지 확인하기 위해 의도적으로 선을 바꿀 것입니다.
일. 점을 통과하는 평면에 대한 방정식을 작성하십시오.
B 1 = (1, 0, 1);
C = (1, 1, 0);
D1 = (0, 1, 1).
따라서 우리는 4가지 사항을 고려합니다.
B 1 = (1, 0, 1);
C = (1, 1, 0);
D 1 = (0, 1, 1);
T = (x, y, z).
먼저 표준 행렬식을 만들고 이를 0과 동일시해 보겠습니다.
행렬식을 확장합니다.
a = 0 1 (z − 1) + 1 0 (x − 1) + (−1) (−1) y = 0 + 0 + y;
b = (−1) 1 (x − 1) + 1 (−1) (z − 1) + 0 0 y = 1 − x + 1 − z = 2 − x − z;
d = a − b = y − (2 − x − z ) = y − 2 + x + z = x + y + z − 2;
d = 0 ⇒ x + y + z − 2 = 0;
그게 다입니다. 우리는 x + y + z − 2 = 0이라는 답을 얻었습니다.
이제 행렬식의 두 줄을 재배열하고 무슨 일이 일어나는지 살펴보겠습니다. 예를 들어 변수 x, y, z가 맨 아래가 아닌 맨 위에 있는 줄을 작성해 보겠습니다.
결과 행렬식을 다시 확장합니다.
a = (x − 1) 1 (−1) + (z − 1) (−1) 1 + y 0 0 = 1 − x + 1 − z = 2 − x − z;
b = (z − 1) 1 0 + y (−1) (−1) + (x − 1) 1 0 = y;
d = a − b = 2 − x − z − y;
d = 0 ⇒ 2 − x − y − z = 0 ⇒ x + y + z − 2 = 0;
우리는 x + y + z − 2 = 0과 똑같은 평면 방정식을 얻었습니다. 이는 실제로 행의 순서에 의존하지 않는다는 것을 의미합니다. 남은 것은 답을 적는 것뿐입니다.
따라서 우리는 평면의 방정식이 선의 순서에 의존하지 않는다고 확신합니다. 비슷한 계산을 수행하여 평면의 방정식이 다른 점에서 좌표를 뺀 점에 의존하지 않는다는 것을 증명할 수 있습니다.
위에서 고려한 문제에서는 점 B 1 = (1, 0, 1)을 사용했지만 C = (1, 1, 0) 또는 D 1 = (0, 1, 1)을 취하는 것이 상당히 가능했습니다. 일반적으로 알려진 좌표가 있는 모든 점은 원하는 평면에 있습니다.
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