선형 근사 c. 선형 근사. 차트의 추세선

선형 근사- (선형 근사) – 경제학의 근사, 선형성 참조...

선형 근사- 선형 근사 근사는 다른 단순한 수량이나 대상을 통해 수량이나 대상을 대략적으로 표현하는 것입니다. 선형 근사의 경우 근사는 선형 함수를 사용하여 구성됩니다. ] 주제 정보 보안 EN 블록 암호의 선형 근사 ... 기술 번역가 가이드

함수의 조각별 선형 근사- - [L.G.수멘코. 정보 기술에 관한 영어-러시아어 사전. M.: State Enterprise TsNIIS, 2003.] 일반 EN 조각별 선형 근사의 주제 정보 기술 ... 기술 번역가 가이드

근사- "일부 수학적 개체를 어떤 의미에서 원본에 가까운 다른 개체로 대체"; 특히 대략적인 표현 복잡한 기능더 간단한 것을 사용합니다. 예를 들어, 조각별 선형 A의 경우 연속형... ... 경제수학사전

근사- "일부 수학적 개체를 어떤 의미에서 원래 개체에 가까운 다른 개체로 대체합니다." 특히, 더 간단한 함수를 사용하여 복잡한 함수를 대략적으로 표현합니다. 예를 들어, 조각별 선형 A의 경우 연속형... ... 기술 번역가 가이드

선형변환 그룹 벡터 공간어떤 물체 K에 대한 유한 차원 n의 V. 공간 V에서 기저의 선택은 선형 그룹을 물체 K에 대한 n차의 비퇴화 정사각 행렬 그룹으로 실현합니다. 따라서 동형이 확립됩니다... 수학백과사전

L.K.Z.에 대한 해를 구할 수 있는 수치해법 예상되는 솔루션 형태에 대한 예비 정보를 사용하지 않고 그리드 지점의 대략적인 값을 표 형태로 제공합니다. 이러한 방법의 이론에 대한 일반적인 가정은 다음과 같습니다. 수학백과사전

일종의 통계 문제를 해결하는 방법입니다. 새로운 추정치는 새로운 관찰에 기초한 기존 추정치의 수정입니다. S.a의 첫 번째 절차. H. Robbins와 S. Monroe가 1951년에 제안했습니다... ... 수학백과사전

실험 데이터의 근사는 실험적으로 얻은 데이터를 원래 값(실험이나 실험 중에 얻은 데이터)과 절점에서 가장 가깝게 통과하거나 일치하는 분석 함수로 대체하는 방법입니다. 현재 분석 함수를 정의하는 방법에는 두 가지가 있습니다.

통과하는 n차 보간 다항식을 구성함으로써 모든 지점을 직접 통과주어진 데이터 배열. 이 경우 근사 함수는 라그랑주 형식의 보간 다항식 또는 뉴턴 형식의 보간 다항식의 형태로 표시됩니다.

다음을 통과하는 n차 근사 다항식을 구성함으로써 포인트 바로 근처에주어진 데이터 배열에서. 따라서 근사화 기능은 실험 중에 발생할 수 있는 모든 무작위 노이즈(또는 오류)를 완화합니다. 실험 중에 측정된 값은 자체 변동에 따라 변동하는 무작위 요인에 따라 달라집니다. 무작위 법칙(측정 또는 기기 오류, 부정확성 또는 실험 오류). 이 경우 최소제곱법을 사용하여 근사함수를 결정합니다.

최소제곱법(영문 문헌 Ordinary Least Squares, OLS에서)은 주어진 실험 데이터 배열의 점에 가장 근접하게 구성된 근사 함수를 결정하는 데 기반을 둔 수학적 방법입니다. 원래 함수와 근사 함수 F(x)의 근접성은 수치 측정에 의해 결정됩니다. 즉, 근사 곡선 F(x)에서 실험 데이터의 제곱 편차의 합이 가장 작아야 합니다.

최소제곱법을 사용하여 구성된 근사 곡선

최소 제곱법이 사용됩니다.

방정식의 수가 미지수의 수를 초과할 때 과결정 방정식 시스템을 해결합니다.

일반(중복 결정되지 않은) 비선형 방정식 시스템의 경우 해를 구합니다.

일부 근사 기능을 사용하여 포인트 값을 근사화합니다.

최소 제곱법을 사용하는 근사 함수는 주어진 실험 데이터 배열에서 계산된 근사 함수의 최소 제곱 편차의 합 조건으로부터 결정됩니다. 최소제곱법의 이 기준은 다음 식으로 작성됩니다.

절점에서 계산된 근사 함수의 값,

절점에서 주어진 실험 데이터 배열입니다.

2차 기준에는 미분 가능성과 같은 여러 가지 "좋은" 속성이 있어 다항식 근사 함수를 사용하여 근사 문제에 대한 고유한 솔루션을 제공합니다.

문제의 조건에 따라 근사 함수는 m차 다항식입니다.

근사 함수의 정도는 절점 수에 의존하지 않지만 해당 차원은 항상 주어진 실험 데이터 배열의 차원(점 수)보다 작아야 합니다.

∙ 근사 함수의 차수가 m=1이면 표 형식 함수를 직선으로 근사합니다(선형 회귀).

∙ 근사 함수의 차수가 m=2이면 2차 포물선(2차 근사)으로 테이블 함수를 근사합니다.

∙ 근사 함수의 차수가 m=3이면 3차 포물선(3차 근사)으로 테이블 함수를 근사합니다.

일반적인 경우, 주어진 테이블 값에 대해 m 차의 근사 다항식을 구성해야 하는 경우 모든 노드 점에 대한 편차 제곱합의 최소 조건은 다음 형식으로 다시 작성됩니다.

- m차 근사 다항식의 알려지지 않은 계수;

지정된 테이블 값의 개수입니다.

함수의 최소값이 존재하기 위한 필수 조건은 미지 변수에 대한 편도함수의 0과 동일함입니다. . 결과적으로 우리는 다음과 같은 방정식 시스템을 얻습니다.

결과를 변환해 보겠습니다. 선형 시스템방정식: 괄호를 열고 자유 항을 표현식의 오른쪽으로 이동합니다. 결과적으로 선형 대수식의 결과 시스템은 다음 형식으로 작성됩니다.

이 시스템선형 대수 표현식은 행렬 형식으로 다시 작성할 수 있습니다.

결과적으로, m+1개의 미지수로 구성된 m+1 차원의 선형 방정식 시스템이 얻어졌습니다. 이 시스템은 선형 대수 방정식을 풀기 위한 모든 방법(예: 가우스 방법)을 사용하여 풀 수 있습니다. 솔루션의 결과로 원본 데이터에서 근사 함수의 제곱 편차의 최소 합을 제공하는 근사 함수의 알 수 없는 매개변수가 발견됩니다. 가능한 최선의 이차 근사. 소스 데이터의 값 하나라도 변경되면 모든 계수는 소스 데이터에 의해 완전히 결정되므로 해당 값이 변경된다는 점을 기억해야 합니다.

선형 의존성에 의한 소스 데이터의 근사

(선형 회귀)

예를 들어, 다음 형식으로 제공되는 근사 함수를 결정하는 기술을 고려하십시오. 선형 의존성. 최소 제곱법에 따라 편차 제곱합의 최소 조건은 다음 형식으로 작성됩니다.

테이블 노드의 좌표;

선형 종속성으로 지정되는 근사 함수의 알 수 없는 계수입니다.

함수의 최소값이 존재하기 위한 필수 조건은 알려지지 않은 변수에 대한 편도함수가 0과 동일하다는 것입니다. 결과적으로 우리는 다음과 같은 방정식 시스템을 얻습니다.

결과적인 선형 방정식 시스템을 변환해 보겠습니다.

우리는 결과적인 선형 방정식 시스템을 푼다. 분석 형식의 근사 함수 계수는 다음과 같이 결정됩니다(Cramer의 방법).

이러한 계수는 주어진 표 값(실험 데이터)에서 근사 함수의 제곱합을 최소화하는 기준에 따라 선형 근사 함수의 구성을 보장합니다.

최소제곱법 구현을 위한 알고리즘

1. 초기 데이터:

측정 횟수 N을 갖는 실험 데이터 배열이 지정됩니다.

근사 다항식의 차수(m)가 지정됩니다.

2. 계산 알고리즘:

2.1. 계수는 차원이 있는 방정식 시스템을 구성하기 위해 결정됩니다.

방정식 시스템의 계수(방정식의 왼쪽)

- 방정식 시스템의 정사각 행렬의 열 번호 인덱스

선형 방정식 시스템의 자유항(방정식의 오른쪽)

- 방정식 시스템의 정사각 행렬의 행 번호 인덱스

2.2. 차원을 갖는 선형 방정식 시스템의 형성 .

2.3. 선형 방정식 시스템을 풀어 m차 근사 다항식의 알려지지 않은 계수를 결정합니다.

2.4 모든 노드 지점에서 원래 값으로부터 근사 다항식의 제곱 편차의 합 결정

발견된 편차 제곱합의 값은 가능한 최소값입니다.

다른 함수를 사용한 근사

최소제곱법에 따라 원본 데이터를 근사할 때 근사 함수로 로그 함수, 지수 함수, 거듭제곱 함수가 사용되는 경우가 있다는 점에 유의해야 합니다.

로그 근사

근사 함수가 주어진 경우를 고려해 봅시다 로그 함수유형:

근사, 또는 근사- 일부 개체를 다른 개체로 대체하는 과학적 방법, 어떤 의미에서는 원래 개체에 가깝지만 더 간단합니다. 이 섹션과 다음 섹션에서 논의되는 문제는 주어진 함수를 도표화한 결과 얻은 초기 데이터를 사용합니다. 실제 문제에서 초기 데이터는 관찰 결과(실험 수행, 과학 실험, 실제 사건 관찰 등)이며 측정 오류 및 기타 무작위 요인의 영향을 받을 수 있다는 점을 기억해야 합니다. 연구자의 임무는 시작점(처음에는 무작위로 위치함)에서 기능적 관계(가능하다면)를 선택하는 것입니다. 가장 좋은 방법원본 데이터의 분포를 설명하고 어떤 경우에는 예측을 시도합니다. 추가 개발(예를 들어, 주가의 시계열 변화에 대한 연구)

운동. 함수 값 테이블 작성 F(x)=ax²+bx+c을 위한 11 인수 값 엑스범위 안에 –1 ≤ x ≤ +1. 이 함수의 그래프를 그린 다음 두 가지 유형의 추세선을 사용하여 근사치를 수행합니다. 추세선을 사용하여 앞으로 두 기간에 대한 예측을 작성합니다.

이전 작업과 마찬가지로 초기 데이터(함수 인수의 초기 값)를 입력합니다. Xn, 함수 인수의 최종 값 Xk, 함수 분할 지점 수(테이블 행 수) N, 함수 인수 단계의 공식 dX, 계수 ㅏ, 비, 씨그런 다음 기본 테이블을 만들고 다이어그램을 작성합니다. (이 모든 단계는 섹션에 자세히 설명되어 있습니다):

차트의 추세선

추세선을 사용하면 데이터 추세를 그래픽으로 표시하고 추가 변경 사항을 예측할 수 있습니다. 이러한 유형의 분석을 회귀 분석이라고도 합니다. 회귀 분석을 사용하면 차트의 추세선을 실제 데이터 이상으로 확장하여 미래 값을 예측할 수 있습니다.

모든 2D 차트에 추세선을 그릴 수 있습니다.(3차원, 방사형, 원형, 도넛형 또는 거품형 차트에는 추세선을 추가할 수 없습니다.)

추세선에는 6가지 유형이 있습니다.

• 선의
• 다항식
• 대수
• 지수
• 힘

함수 그래프에 추가된 추세선은 데이터 자체나 원본 차트에 영향을 주지 않습니다.

추세선 계산 공식

선의. 다음 방정식에 따라 최소 제곱법을 사용하여 데이터를 선형적으로 맞추는 데 사용됩니다.

어디: 중 - 경사각, 비 - 가로좌표 축의 교차점 좌표.

다항식. 다음 방정식에 따라 데이터의 다항식 또는 곡선 최소 제곱 피팅에 사용됩니다.

어디: 비 , c 1 , c 2 , … c 6 - 상수.

다항식 차수는 2에서 6까지 설정할 수 있습니다.

대수. 다음 방정식에 따라 데이터에 대한 로그 최소 제곱법을 수행하는 데 사용됩니다.

어디: 씨 그리고 비 - 상수, 에- 자연 로그 함수.

지수. 다음 방정식에 따라 데이터에 대한 지수 최소 제곱법을 수행하는 데 사용됩니다.

어디: 씨 그리고 비 - 상수, 이자형- 자연로그의 밑.

힘. 다음 방정식에 따라 데이터의 거듭제곱 최소 제곱 근사에 사용됩니다.

어디: 씨 그리고 비 - 상수.

메모. 함수 값이 다음과 같은 경우 지수 및 거듭제곱 유형의 근사를 사용할 수 없습니다. 에프엑스(F(x))음수 또는 0 값을 포함합니다. 또한 함수 인수 값이 다음과 같은 경우 로그 및 거듭제곱 유형의 근사를 사용할 수 없습니다. 엑스음수 또는 0 값을 포함합니다. 실험실 할당에서는 인수 하한의 음수 값을 사용하므로 Xn (x0), 로그 및 거듭제곱 근사 유형을 선택하지 마십시오!

이동 평균은 특정 기간 동안의 평균 값입니다.

차트에서 이동 평균 지점에서 그린 선을 사용하면 데이터 전개 패턴을 ​​보다 명확하게 보여주는 부드러운 곡선을 구성할 수 있습니다.

데이터 계열에 추세선 추가

다이어그램을 선택하면(다이어그램의 빈 공간을 클릭) 메뉴 리본에 세 개의 추가 탭이 나타납니다. 건설자 , 공들여 나열한 것 그리고 체재 . 탭에서 공들여 나열한 것 그룹에서 분석 버튼을 클릭하세요 .

선형 대수 수치 방법

실험 데이터를 분석할 때, 측정 결과로 얻은 x와 y 값 사이의 함수적 관계를 찾아야 하는 경우가 종종 있습니다. 두 수량 x와 y 사이의 관계를 분석적으로 연구하면 값 표가 얻어지며, 이 표는 그래픽으로도 표시될 수 있습니다.

근사 함수의 유형을 알면 근사 문제는 함수에 포함된 계수(a, b, c,...)를 찾는 것으로만 축소됩니다. 이러한 계수를 찾기 위해 최소 제곱법이 사용됩니다. 이는 점에서 함수 그래프까지의 수직 거리의 제곱의 합이 y=f(x, a, b, c,..)라는 사실로 구성됩니다. .)이 가장 작습니다: S = i 2 = min, 여기서 S i = y i - f(x i , a, b, c,...). 이를 위해 여러 변수 i - f(x i , a, b, c,...)) 2의 함수 극값에 필요한 조건을 사용합니다. 편도함수는 0과 동일합니다. 결과적으로 우리는 시스템을 얻습니다. 따라서 계수를 찾는 것은 시스템을 해결하는 것으로만 줄어듭니다.

선형 회귀

선형 함수는 y = ax + b 형식을 가지므로 두 개의 매개변수인 a와 b를 찾아야 하며 n 점의 좌표가 주어지는 조건에서 무작위 오류("노이즈")를 사용하여 실험적으로 발견됩니다. 이를 위해 함수 i - (ax i +b)) 2를 구성하고 괄호 i - ax i - b) 2를 열고 시스템을 구성합니다.

A = i, B = i, C = i x i, D = i 2라고 하면 시스템은 다음과 같은 형식을 취합니다.

Cramer의 방법을 사용하여 이 선형 대수 방정식 시스템을 풀고 매개변수 a와 b에 필요한 값을 찾아보겠습니다.

테이블. 포인트가 있습니다:

선형 함수의 매개변수를 계산하는 방법을 사용하여 다음을 얻습니다.

a = 0.1215455, b = - 0.2140002

성적 증명서

1 함수의 근사. 기본 개념 및 정의 문제 설명. 물리학, 화학, 생물학, 경제 및 기타 분야의 많은 과정과 현상에 대한 수학적 모델의 기초는 방정식입니다. 다양한 방식 : 비선형방정식, 상미분방정식, 편미분방정식 등 이러한 방정식을 풀려면 고려 중인 프로세스 또는 현상의 수학적 모델 설명에 포함된 함수의 값을 인수의 임의 값에 대해 계산할 수 있어야 합니다. 복잡한 모델의 경우 컴퓨터를 사용하더라도 이러한 계산은 노동 집약적일 수 있습니다. 수학적 모델에 사용되는 함수는 분석적으로(공식의 형태로) 지정되거나 표 형식으로 지정될 수 있으며, 여기서 함수는 인수의 특정 이산 값에 대해서만 알려집니다. 특히, 컴퓨터에서 수행된 계산의 결과 또는 실험의 일부로 수행된 측정 과정에서 기능적 의존성이 얻어지면 표 형식으로 정확하게 지정되는 것으로 나타났습니다. 실제로는 표에 제시된 것 외에 다른 지점에서 함수 값이 필요할 수도 있습니다. 그러나 이러한 값은 복잡한 계산이나 값비싼 실험을 통해서만 얻을 수 있습니다. 따라서 시간과 비용 절약의 관점에서 사용 가능한 표 형식 데이터를 기반으로 인수 값에 대한 대략적인 함수 값을 계산하는 작업에 도달했습니다. 이 문제는 함수를 주어진 변경 간격에서 인수 x의 값을 쉽게 계산할 수 있는 더 간단한 함수로 대체하여 해결됩니다. 도입된 함수는 수치 값의 대략적인 결정뿐만 아니라 모델의 이론적 연구에서 분석 계산을 수행하는 데에도 사용할 수 있습니다. 더 간단한 함수에 의한 함수의 근사를 근사(라틴어 근사 I 접근 방식에서 유래)라고 합니다. 근사 함수는 주어진 영역에서의 편차(어떤 의미에서)가 최소화되는 방식으로 구성됩니다. 작은 편차의 개념은 두 함수의 근접성을 어떻게 평가하는지에 따라 달라지므로 구체적인 근사 방법을 고려할 때 더 명확해질 것입니다. 연속 근사. 원래 함수가 분석 표현식으로 제공되는 경우 근사 함수를 구성할 때 특정 연속 점 집합(예: 세그먼트)에서 한 함수가 다른 함수와 최소 편차를 요구할 수 있습니다. 이러한 유형의 근사를 연속 또는 적분이라고 합니다. 이론적으로 최상의 근사를 위해서는 특정 세그먼트의 모든 지점에서 근사 함수와 함수의 편차가 다음과 같도록 요구하는 것이 좋습니다. 절대값주어진 값보다 작습니다:,. 이 경우, 그들은 함수가 구간에서 정확도 e로 함수를 균일하게 근사한다고 말합니다. 균일한 근사의 실제적인 획득

2는 큰 어려움을 제시하므로 이 방법은 주로 이론 연구에 사용됩니다. 가장 일반적으로 사용되는 것은 양의 값이 가장 작은 소위 제곱 평균 근사치입니다. 함수를 정의하는 매개변수에 대한 M의 부분 도함수가 사라지도록 요구하므로, 우리는 이러한 매개변수의 최상의(표시된 의미에서) 값을 찾을 수 있는 방정식을 얻습니다. 주어진 개별 점 집합을 기반으로 근사치를 작성하는 근사법을 점 기반이라고 합니다. 표에 명시된 함수의 제곱평균제곱근 근사치를 얻기 위해 근사함수는 해당 함수의 값이 어느 지점에서 최소값이 되는 조건으로부터 구성됩니다. 평균 제곱근 근사의 주요 적용 영역은 실험 데이터 처리(경험식 구성)입니다. 점 근사의 또 다른 유형은 보간법으로, 근사 함수는 주어진 점에서 함수와 동일한 값을 취합니다. 이 경우, 주어진 함수에 대한 보간 함수의 근접성은 해당 값이 주어진 점 시스템에서 일치한다는 것입니다. 그림은 보간 함수(실선)의 정성적 그래프와 평균 제곱근 근사치(점선)의 결과를 보여줍니다. 점은 함수의 테이블 값을 표시합니다.,

3 함수의 보간. 보간 문제의 공식화 일부 함수 f의 알려진 값을 다음 표로 만듭니다. x x 0 x 1 x n f(x) y 0 y 1 y n 이 경우 함수 f의 값을 구해야 합니다. 간격에 포함되지만 x i (i=0,1,n) 값 중 어느 하나와도 일치하지 않는 인수 x의 값. 근사 함수를 구성하는 문제를 해결하기 위한 고전적인 접근 방식은 x i (i=0, 1, 2, n) 지점에서 f(x)와 F(x) 값의 엄격한 일치 요구 사항을 기반으로 합니다. 즉. F(x 0)=y 0, F(x 1)=y 1, F(x n)=y n. (1) 이때 근사함수를 구하는 것을 보간(또는 보간)이라고 하며 x0, x1, xn점은 보간절점이다. 기하학적으로 이는 주어진 점 M i (x i,y i) (i=0,1,2,n) 시스템을 통과하는 특정 유형의 곡선 y=f(x)를 찾아야 함을 의미합니다(그림 참조). . x인 경우 원하는 함수를 찾는 것을 외삽이라고 합니다. 다음에서 보간이라는 용어는 첫 번째 작업과 두 번째 작업 모두로 이해됩니다. 보간 문제는 일반적인 공식화에서 무한한 수의 솔루션을 가지거나 전혀 가지지 않을 수 있습니다. 그러나 임의의 함수 F(x) 대신 조건 (1)을 충족하는 특정 유형의 함수를 찾는 경우 이 문제는 분명해집니다. 실제 사용에 가장 편리한 함수는 n차 대수 다항식입니다. P n (x)=a 0 x n + a 1 x n a n-1 x + a n n차 다항식을 정의하려면 n+를 설정하는 것으로 충분합니다. 계수 1개. 다항식의 값은 계산이 간단하고 미분, 적분 등이 쉽습니다. 따라서 대수 다항식은 함수 근사에 널리 사용됩니다. 아래에서는 지리학 연구에서 널리 사용되는 보간법의 사례를 자세히 설명하겠습니다. 선형 함수(선형 보간) 및 2차 함수(2차 보간).

4 선형 보간 이제 테이블에 정의된 함수가 있다고 가정해 보겠습니다. 보간 문제를 해결하면서 표에서 인수의 인접한 두 값(x k 및 x k+1로 표시)을 찾습니다. 그 사이에는 주어진 값 x(x k

5 함수 f(x)의 2차 도함수는 특정한 기계적 의미를 갖습니다. f(x)가 물질 점의 운동 법칙을 설명하는 경우 이 함수의 2차 도함수는 시간 x에서 이 점의 가속도를 지정합니다. 물리적 관점에서 가속도에 대한 제한(2차 미분의 제한성)이 존재한다는 사실은 함수 f(x)로 설명되는 과정이 상대적으로 균일하게 진행되고 함수가 매우 빠르게 변하지 않는다는 것을 의미합니다. 예를 들어, 이는 시간에 따른 일일 기온의 변화를 지정하는 함수입니다. 실제로 선형 보간 사용의 타당성에 대한 질문에 답하는 데 완전히 사용될 수 있는 것은 프로세스 변화율의 "부드러움"에 대한 기준입니다. 마지막으로, 추가 오류가 필드 데이터의 측정 오류보다 눈에 띄게 작을 경우 선형 보간법을 적용할 수 있는 것으로 간주됩니다. 표에 주어진 함수 값의 마지막 자릿수를 m으로 표시하면 측정 오류는 부등식과 동일하며 선형 보간 적용 조건은 다음 형식으로 작성됩니다 (2 ) 그들은 일반적으로 조건 (2)가 충족되도록 테이블의 단계와 정확도를 조정하려고 합니다. 그러나 이 조건을 만족하려면 너무 작은 단계를 선택해야 하는 경우가 있습니다. 이 경우 이 조건은 고려되지 않으며 함수의 중간값을 찾기 위해 보다 복잡한 2차 보간이나 기타 기술이 사용됩니다.

6 2차 보간 표에 주어진 함수 f(x)를 다시 생각해 보겠습니다. 구간 (x k, x k+2)에서 이 함수가 이차 함수에 의해 충분한 정확도로 대체될 수 있다고 가정합니다. 즉, 함수 그래프의 일부가 포물선으로 대체될 수 있습니다(그림 참조). 구간 (x k, x k+2)에 속하는 어떤 점 x에서 함수 f(x)의 값을 찾아야 합니다. 우리는 다음과 같은 형식의 이차 함수를 찾을 것입니다. 원하는 이차 함수의 값이 주어진 세 지점에서 표로 작성된 함수 값과 일치한다는 조건을 기반으로 다음과 같은 방정식 시스템을 구성합니다. 이것은 세 개의 미지수가 있는 세 개의 선형 방정식 시스템입니다. , b 및 c. 행렬식은 0이 아닙니다(점들이 같은 선에 있지 않는 한). 행렬 방법을 사용하여 컴파일된 방정식 시스템을 풀면 계수 b와 c에 대해 다음과 같은 의존성을 얻습니다. 따라서 점 x에서 함수 f(x)의 값은 대략 다음과 같은 것으로 간주될 수 있습니다. 결과 수식의 오류에 대한 질문입니다. 함수 f(x)의 정확한 값과 대략적인 값의 차이를 고려해 봅시다. 이 차이를 (x)로 표시해 보겠습니다. (x)= f(x)-ax 2 -bx-c.

7 우리는 (x k, x k+2) 구간을 통과하는 x에 대한 함수 j(x)의 값을 추정하는 문제에 접근했습니다. 고려 중인 경우, 고려 중인 구간에서 함수 f(x)의 3차 도함수가 연속적이고 부등식을 만족한다고 가정해야 합니다. 그러면 (x)에 대해 다음 추정이 적용됩니다.

8 회귀 분석. 문제 설명 실험 데이터(ED) 처리의 일반적인 문제 중 하나는 매개변수 값과 외부 환경 특성에 대한 물체의 품질 지표의 정량적 의존성을 결정하는 것입니다. 이러한 문제 공식화의 예는 데이터베이스 쿼리의 처리 시간과 입력 스트림의 강도 간의 관계 설정입니다. 처리 시간은 외부 미디어에 있는 필수 정보의 위치, 요청의 복잡성 등 다양한 요인에 따라 달라집니다. 따라서 특정 요청에 대한 처리 시간은 임의의 변수로 간주될 수 있습니다. 그러나 동시에 요청 흐름의 강도가 증가함에 따라 평균 값도 증가할 것으로 예상됩니다. 처리 시간과 요청 흐름의 강도는 상관관계에 따라 관련되어 있다고 생각하세요. 회귀분석의 문제 진술은 다음과 같이 공식화된다. 일련의 관찰 결과가 있습니다. 이 세트에서 하나의 열은 나머지 열이 나타내는 객체 및 환경의 매개 변수와 기능적 관계를 설정하는 데 필요한 표시기에 해당합니다. 지표를 y *로 표시하고 관측 행렬의 첫 번째 열이 이에 해당한다고 가정합니다. 나머지 m 1 (m > 1) 열은 매개변수(요인) x 2, x 3, x m에 해당합니다. 필수: 지표와 요인 사이의 정량적 관계를 설정합니다. 이 경우 회귀 분석의 문제는 사용 가능한 실험 데이터를 가장 잘 설명하는 함수 관계 y * = f(x 2, x 3, x t)를 식별하는 작업으로 이해됩니다. 가정: 관찰 횟수는 요인과 그 관계에 관한 통계적 패턴을 입증하기에 충분합니다. 처리된 ED에는 측정 오류와 설명되지 않은 무작위 요인의 영향으로 인한 일부 오류(노이즈)가 포함되어 있습니다. 관찰 결과 매트릭스는 연구 시작 전에 사용할 수 있는 연구 대상 개체에 대한 유일한 정보입니다. 매개변수에 대한 지표의 의존성을 설명하는 함수 f(x 2, x 3, x t)를 회귀 방정식(함수)이라고 합니다. "회귀"(회귀 (위도) 후퇴, 무언가로 복귀)라는 용어는 방법 형성 단계에서 해결 된 특정 문제 중 하나의 세부 사항과 관련이 있으며 현재 방법의 전체 본질을 반영하지 않습니다. 하지만 계속해서 사용되고 있습니다. 회귀 분석 문제에 대한 솔루션을 여러 단계로 나누는 것이 좋습니다: ED의 예비 처리; 회귀 방정식의 유형을 선택합니다. 회귀 방정식 계수 계산; 관찰 결과에 대해 구성된 함수의 적절성을 확인합니다.

9 회귀 방정식 유형 선택 ED를 가장 잘 설명하는 기능적 관계를 결정하는 작업은 여러 가지 근본적인 어려움을 극복하는 것과 관련됩니다. 일반적으로 표준화된 데이터의 경우 매개변수에 대한 지표의 기능적 종속성은 y = f(u 1, u 2,...up) + e (1)로 표시될 수 있습니다. 여기서 f는 이전에 알려지지 않은 함수입니다. 결정되다; e - ED 근사 오류. 이 방정식은 일반적으로 u에 대한 y의 표본 회귀 방정식이라고 합니다. 이 방정식은 지표의 변동과 요인의 변동 사이의 관계를 나타냅니다. 그리고 상관관계 측정은 요인의 변동과 관련된 지표의 변동 비율을 측정합니다. 즉, 지표와 요인 사이의 상관관계는 그 수준 간의 연관성으로 해석될 수 없으며, 회귀분석은 지표 생성에 있어서 요인의 역할을 설명하지 못한다. 또 다른 특징은 각 요소가 지표에 미치는 영향 정도를 평가하는 것입니다. 회귀 방정식은 지표에 대한 각 요소의 개별 영향에 대한 평가를 제공하지 않으며, 이러한 평가는 다른 모든 요소가 연구 중인 요소와 관련이 없는 경우에만 가능합니다. 연구 중인 요인이 지표에 영향을 미치는 다른 요인과 관련되어 있는 경우 요인 영향의 혼합 특성이 얻어집니다. 이 특성에는 요인의 직접적인 영향과 다른 요인과의 연결 및 지표에 대한 영향을 통해 발휘되는 간접적인 영향이 모두 포함됩니다. 지표와 약하게 관련되어 있지만 다른 요소와 밀접하게 관련된 요소를 회귀 방정식에 포함하는 것은 권장되지 않습니다. 기능적으로 서로 관련된 요소는 방정식에 포함되지 않습니다(상관 계수는 1입니다). 이러한 요소를 포함하면 회귀 계수를 추정하기 위한 방정식 시스템이 변형되고 해의 불확실성이 발생합니다. 오류 e가 어떤 의미에서 최소화되도록 함수 f를 선택해야 합니다. ED를 절대적으로 정확하게(e = 0) 설명하는 무한한 수의 함수가 있습니다. 즉, 매개변수 u j,2, u j,3, u j,t의 모든 값에 대해 표시기 y i, i = 1, 2, n의 해당 값을 정확히 취하는 함수. 동시에 다른 모든 경우 관찰 결과에 없는 매개변수의 값, 지표 값은 어떤 값이든 가질 수 있습니다. 이러한 기능은 매개변수와 지표 간의 실제 관계와 일치하지 않는 것이 분명합니다. 기능적 연결을 선택하기 위해서는 함수 f가 어떤 클래스에 속할 수 있는지에 대한 가설을 미리 제시한 후 이 클래스에서 "가장 좋은" 함수를 선택합니다. 선택한 기능 클래스에는 어느 정도 "부드러움"이 있어야 합니다. 인수 값의 "작은" 변화는 함수 값의 "작은" 변화를 유발해야 합니다(ED에는 일부 측정 오류가 포함되어 있으며 객체 자체의 동작은 사이의 실제 관계를 가리는 노이즈의 영향을 받습니다). 매개변수 및 표시기). 다항함수 클래스는 간단하고 실용적으로 사용하기 편리하며 지정된 조건을 충족합니다. (2) 이러한 클래스의 경우 함수를 선택하는 문제는 계수 a 0, a j, JK, JJ,. 그러나 다항식 표현의 보편성은 다항식의 차수를 무제한으로 증가시킬 수 있는 경우에만 보장되며, 이는 실제로 항상 허용되는 것은 아니므로 다른 유형의 함수를 사용해야 합니다.

10 실제로 널리 사용되는 특별한 경우는 1차 다항식 또는 선형 회귀 방정식입니다. (3) 회귀 분석에서 이 방정식은 벡터 1로 해석되어야 합니다. 왜냐하면 우리는 데이터 행렬, i = 1, 2, n에 대해 이야기하고 있기 때문입니다. () 일반적으로 그들은 추정된 모델 계수의 수를 초과하는 많은 관측값을 제공하려고 노력합니다. n > m일 때 선형 회귀의 경우 방정식 수가 결정될 다항식 계수 수를 초과합니다. 그러나 이 경우에도 각 스칼라 방정식의 오류가 0이 되는 방식으로 계수를 선택하는 것은 불가능합니다. 왜냐하면 미지수에는 a j 및 ei, 해당 숫자 n + m 1, 즉 는 항상 방정식 n의 수보다 큽니다. 유사한 추론은 첫 번째 것보다 높은 차수의 다항식에 유효합니다. 기능 의존성 유형을 선택하려면 다음 접근 방식을 권장할 수 있습니다. 지표 값이 있는 포인트가 매개변수 공간에 그래픽으로 표시됩니다. 많은 수의 매개변수를 사용하면 각 매개변수에 대한 점을 구성하여 값의 2차원 분포를 얻을 수 있습니다. 점의 위치를 ​​기반으로 하고 지표와 개체 매개변수 간의 관계의 본질을 분석하여 대략적인 회귀 유형 또는 그 유형에 대한 결론을 내립니다. 가능한 옵션; 매개변수를 계산한 후 근사의 품질이 평가됩니다. 계산된 값과 실제 값 사이의 유사성 정도를 평가합니다. 전체 작업 영역에서 계산된 값과 실제 값이 비슷하면 회귀 분석 문제가 해결된 것으로 간주할 수 있습니다. 그렇지 않으면 다른 유형의 다항식이나 주기 함수와 같은 다른 분석 함수를 선택해 볼 수 있습니다.

11 회귀 방정식의 계수 계산. 최소제곱법 사용 가능한 ED를 기반으로 한 방정식 시스템(4)은 미지수의 수가 항상 방정식의 수보다 크기 때문에 명확하게 풀 수 없습니다. 이 문제를 극복하려면 추가적인 가정이 필요합니다. 상식에 따르면 ED ​​근사에서 최소 오류를 보장하는 방식으로 다항식 계수를 선택하는 것이 좋습니다. 근사 오류를 평가하기 위해 다양한 측정값을 사용할 수 있습니다. 이러한 척도로는 평균 제곱근 오차가 널리 사용됩니다. 이를 기반으로 회귀 방정식의 계수를 추정하는 특별한 방법인 최소 제곱법(LSM)이 개발되었습니다. 이 방법을 사용하면 정규 분포 옵션 하에서 회귀 방정식의 알 수 없는 계수에 대한 최대 우도 추정을 얻을 수 있지만 다른 요인 분포에도 사용할 수 있습니다. OLS는 다음 조항을 기반으로 합니다. 오류 값과 요소의 값은 독립적이므로 상관 관계가 없습니다. 간섭을 생성하는 메커니즘은 요소 값을 생성하는 메커니즘과 관련이 없다고 가정합니다. 오류 e의 수학적 기대치는 0과 같아야 합니다(상수 구성 요소는 계수 a 0에 포함됨). 즉, 오류는 중심 수량입니다. 오차 분산의 표본 추정치는 최소화되어야 합니다. 표준화된 값의 선형 회귀와 관련하여 OLS의 사용을 고려해 보겠습니다. 중심 값 u j의 경우 계수 a 0은 0과 같고 선형 회귀 방정식입니다. (5) 여기에는 관찰 결과에서 얻은 값과 달리 회귀 방정식을 사용하여 계산된 지표 값을 표시하기 위해 특수 기호 "^"가 도입되었습니다. 최소 제곱법을 사용하면 표현식에 무조건적인 최소값을 제공하는 회귀 방정식의 계수 값이 결정됩니다. (6) 최소값은 알려지지 않은 계수에 대해 취한 식 (6)의 모든 편도함수를 0으로 동일화하고 방정식 시스템을 풀어 구합니다. (7) 변환을 일관되게 수행하고 이전에 도입된 상관관계 추정을 사용하여 계수

우리는 12를 얻습니다. (8) 따라서 m 1 선형 방정식이 얻어져 a 2, a 3, a m의 값을 고유하게 계산할 수 있습니다. 비선형 함수에 최소 제곱을 사용하는 것은 실제로 고려한 방식과 다르지 않습니다. (원래 방정식의 계수 a 0만 0이 아닙니다.) 예를 들어, 포물선 회귀 계수 = a 0 + a 2 u 2 + a 22 u 2 2를 결정해야 한다고 가정합니다. 샘플 오차 분산. 이를 바탕으로 다음과 같은 방정식 시스템을 얻을 수 있습니다. 변환 후 방정식 시스템은 다음과 같은 형식을 취합니다. 표준화된 수량의 모멘트 속성을 고려하여 다음과 같이 씁니다. 비선형 회귀 계수 결정은 다음 시스템을 해결하는 데 기반을 둡니다. 선형 방정식. 이를 위해 범용 패키지를 사용할 수 있습니다. 수치적 방법또는 전문적인 통계 데이터 처리 패키지. 회귀 방정식의 정도가 증가함에 따라 계수를 결정하는 데 사용되는 매개변수의 분포 모멘트의 정도도 증가합니다. 예,

2차 회귀 방정식의 계수를 결정하기 위해 13에서 4차까지의 매개변수 분포 모멘트가 사용됩니다. 제한된 ED 샘플에서 모멘트를 추정하는 정확도와 신뢰성은 순서가 증가함에 따라 급격히 감소하는 것으로 알려져 있습니다. 회귀 방정식에서 두 번째보다 높은 차수의 다항식을 사용하는 것은 부적절합니다. 결과 회귀 방정식의 품질은 지표 관찰 결과와 매개변수 공간의 특정 지점에서 회귀 방정식에 의해 예측된 값 사이의 근접성 정도에 따라 평가됩니다. 결과가 비슷하면 회귀 분석 문제가 해결된 것으로 간주할 수 있습니다. 그렇지 않으면 회귀 방정식을 변경하고(다양한 다항식 또는 다른 유형의 방정식 선택) 계산을 반복하여 매개변수를 추정해야 합니다. 지표가 여러 개인 경우 회귀 분석 문제는 각 지표에 대해 독립적으로 해결됩니다. 회귀 방정식의 본질을 분석할 때 다음 사항에 유의해야 합니다. 고려된 접근 방식은 계수에 대한 별도의(독립적) 평가를 제공하지 않으며, 한 계수 값의 변경은 다른 계수 값의 변경을 수반합니다. 획득된 계수는 지표 값에 대한 해당 매개변수의 기여로 간주되어서는 안 됩니다. 회귀 방정식은 기존 ED에 대한 좋은 분석 설명일 뿐 매개변수와 지표 간의 관계를 설명하는 법칙은 아닙니다. 이 방정식은 주어진 매개변수 변화 범위에서 지표 값을 계산하는 데 사용됩니다.

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