Рассмотрим систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными

а 11 , a 12 , …, a 33 – коэффициенты при неизвестных,

b 1 , b 2 , b 3 – свободные члены.

Решить систему (2.4) – значит найти такую упорядоченную тройку чисел x 1 =c 1 , x 2 =c 2 , x 3 =c 3 , при подстановке которых в уравнения системы последние обращаются в тождества.

Система уравнений, имеющая решения (единственное или бесчисленное множество), называется совместной , система уравнений, не имеющая решений, – несовместной .

Приведем три способа решений системы (2.4).

Правило Крамера

Составим определитель системы из коэффициентов при неизвестных

(2.5)

Если , то система (2.4) имеет единственное решение, которое находится по формулам Крамера:

где , , получены из определителя заменой соответственно первого, второго, третьего столбца столбцом из свободных членов системы (2.4).

(2.7)

Пример 7. Решить систему

Вычисляем определитель системы (2.5) и определители , , (2.6).

следовательно, система имеет единственное решение.

По формулам Крамера (2.6) находим:

Можно сделать проверку, подставив значения неизвестных в уравнения системы.

Итак, x 1 =x 2 =x 3 =1 – решение системы.

Метод Гаусса

Рассмотрим систему (2.4):

Метод Гаусса, иначе метод последовательного исключения неизвестных, состоит в следующем. Пусть Исключим из 2-го и 3-го уравнений системы x 1 . Получим систему:

Получим систему треугольного вида. Из 3-го уравнения найдем x 3 , подставляя его во 2-ое уравнение, найдем x 2 , затем из 1-го уравнения найдем x 1 , подставляя в него x 2 и x 3 .

Пример 8. Решить систему

Переставим 3-е и 1-ое уравнения, чтобы в 1-ом уравнении коэффициент при x 1 был равен 1.

Исключим x 1 из 2-го и 3-его уравнений. Для этого умножим 1-ое уравнение на (-4) и сложим его со 2-м уравнением; затем умножим 1-ое уравнение на (-6) и сложим с 3-м уравнением. Получим систему:

Исключим x 2 из 3-его уравнения. Для этого умножим 2-ое уравнение на (-13/10) и сложим с 3-м уравнением. Получим систему:

Из последнего уравнения находим x 3 = -1, подставляем во 2-ое уравнение:

10x 2 - 13(-1) = -7, -10x 2 = - 20, x 2 = 2.

Подставляя x 2 и x 3 в 1-ое уравнение, получим

Итак, решение системы: x 1 = 1, x 2 = 2, x 3 = -1.

Решение системы с помощью обратной матрицы

Дана система: (2.8)

Составим матрицу А из коэффициентов при неизвестных, матрицу-столбец Х – из неизвестных, матрицу-столбец В – из свободных членов.

,

Систему (2.8) можно записать в матричной форме так:

Матрица-решение Х находится по формуле:

А -1 – обратная матрица для матрицы А , она составляется из алгебраических дополнений элементов матрицы А по формуле (2.3):

– детерминант или определитель матрицы А , .

Пример 9. Решить систему:

Введем матрицы: ,

Обратная матрица вычислена в примере 6. По формуле (2.9) находим решение системы

Итак, x 1 =1, x 2 =1, x 3 =1.

Элементы векторной алгебры

Вектор – направленный отрезок; обозначается или . А – начало вектора, В – конец.

Длина или модуль вектора обозначается .

Рис. 21.

В координатном пространстве 0xyz вектор может быть представлен в виде

(3.1)

Эта формула дает разложение вектора по базису векторов , , ; , , - прямоугольные декартовые координаты вектора (иначе проекции вектора на оси координат).

Формулу (3.1) можно записать так:

– вектор имеет координаты , , .

Длина (модуль) вектора находится по формуле:

. (3.2)

Если вектор задан задан координатами начала A(x 1 ,y 1 ,z 1) и конца B(x 2 ,y 2 ,z 2) , то координаты находятся по формулам:

Если известны разложения векторов и по осям координат , то при сложении (вычитании) векторов их одноименные координаты складываются (вычитаются), при умножении вектора на число координаты вектора умножаются на это число, т.е.

(3.4)

Скалярным произведением векторов и , обозначается , называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними

. (3.5)

Если , , то

. (3.6)

Если векторы и коллинеарны (параллельны), то

. (3.7)

Если векторы и ортогональны (перпендикулярны), то

Или (3.8)

Пример 10. Даны точки А 1 (1,0,-1), A 2 (2,-1,1), A 3 (0,1,-2). Средствами векторной алгебры, учитывая, что найти:

1) координаты векторов и .

Используем формулу (3.3):

2) Координаты вектора

Используя формулы (3.4) и (3.5), получим

Или 1.2. По правилу треугольников: , и длину вектора . Отв.:

3. Даны точки А(0,-2,3), В(2,1,4), С(3,4,5). Найти:

а) координаты (проекции) векторов и

б) координаты вектора

с) длину вектора

4. Даны векторы Найти скалярное произведение векторов .

5. Доказать, что векторы и коллинеарны.

6. Доказать, что векторы ортогональны.

Для системы составляем главный определитель

и вычисляем его.

Затем составляем дополнительные определители

и вычисляем их.

По правилу Крамера решение системы находят по формулам

;
;
,если

1)

Вычислим:

По формулам Крамера находим:

Ответ: (1; 2; 3)

2)

Вычислим:

Так как главный определитель
, а хотя бы один дополнительный не равен нулю (в нашем случае
), то решения у системы нет.

3)

Вычислим:

Так как все определители равны нулю, то система имеет бесконечное множество решений, которое можно найти так

Решите самостоятельно системы:

а)
б)

Ответ: а) (1; 2; 5) б) ;;

Практическое занятие № 3 на тему:

Скалярное произведение двух векторов и его приложение

1. Если дан
и
, то скалярное произведение находим по формуле:

∙

2.Если, то скалярное произведение этих двух векторов находим по формуле

1. Даны два вектора
и

Их скалярное произведение находим так:

.

2. Даны два вектора:

={2;3;–4}
={1; –5; 6}

скалярное произведение находят так:

3.
,

3.1 Нахождение работы постоянной силы на прямолинейном участке пути

1) Под действием силы в 15Н тело переместилось по прямой на 2 метра. Угол между силой и направлением перемещения =60 0 . Вычислить работу силы по перемещению тела.

Дано:

Решение:

2) Дано:

Решение:

3) Из точки М(1; 2; 3) в точку N(5; 4; 6) переместилось тело под действием силы 60Н. Угол между направлением силы и вектором перемещения =45 0 . Вычислить работу, совершаемую этой силой.

Решение: находим вектор перемещения

Находим модуль вектора перемещения:

По формуле
находим работу:

3.2 Определение ортогональности двух векторов

Два вектора ортогональны, если
, то есть

так как

1)

–не ортогональны

2)

–ортогональны

3) Определить, при каком  векторы
и
взаимно-ортогональны.

Так как
, то
, значит

Решите самостоятельно:

а)

. Найти их скалярное произведение.

б) Вычислить, какую работу производит сила
, если точка ее приложения, двигаясь прямолинейно, переместилась из точки M (5; -6; 1) в точку N (1; -2; 3)

в) Определить, ортогональны ли вектора
и

Ответы: а) 1 б) 16 в) да

3.3.Нахождение угла между векторами

1)

. Найти .

Находим

подставляем в формулу:

.

1). Даны вершины треугольника А(3; 2; –3), В(5; 1; –1), С(1; –2; 1). Найти угол при вершине А.

Подставим в формулу:

Решите самостоятельно:

Даны вершины треугольника А(3; 5; -2), В(5; 7; -1), С(4; 3; 0). Определить внутренний угол при вершине А.

Ответ: 90 о

Практическое занятие № 4 на тему:

ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ДВУХ ВЕКТОРОВ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЕ.

Формула для нахождения векторного произведения двух векторов:

	имеет вид

1) Найти модуль векторного произведения:

Составим определитель и вычислим его (по правилу Саррюса или по теореме о разложении определителя по элементам первой строки).

1-ый способ: по правилу Саррюса

2-й способ: разложим определитель по элементам первой строки.

2) Найти модуль векторного произведения:

4.1. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДИ ПАРАЛЛЕЛОГРАММА, ПОСТРОЕННОГО НА ДВУХ ВЕКТОРАХ.

1) Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах

2). Найти векторное произведение и его модуль

4.2. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДИ ТРЕУГОЛЬНИКА

Пример: даны вершины треугольника А(1; 0; -1), В(1; 2; 0), С(3; -1; 1). Вычислить площадь треугольника.

Сначала найдем координаты двух векторов, выходящих из одной вершины.

Найдем их векторное произведение

4.3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЛЛИНЕАРНОСТИ ДВУХ ВЕКТОРОВ

Если вектора
и
коллинеарны, то

, т. е. координаты векторов должны быть пропорциональны.

а) Даны вектора::
,
.

Они коллинеарны потому, что
и

после сокращения каждой дроби получается соотношение

б) Даны вектора:

.

Они не коллинеарны, потому, что
или

Решите самостоятельно:

а) При каких значениях m и n вектора
коллинеарны?

Ответ:
;

б) Найти векторное произведение и его модуль
,
.

Ответ:
,
.

Практическое занятие № 5 на тему:

ПРЯМАЯ ЛИНИЯ НА ПЛОСКОСТИ

Задача № 1. Найти уравнение прямой, проходящей через точку А(-2; 3) параллельно прямой

1. Найдем угловой коэффициент прямой
.

- это уравнение прямой с угловым коэффициентом и начальной ординатой (
). Поэтому
.

2. Так как прямые MN и АС параллельны, то их угловые коэффициенты равны, т.е.
.

3. Для нахождения уравнения прямой АС воспользуемся уравнением прямой, проходящей через точку с данным угловым коэффициентом:

. В эту формулу вместо и подставим координаты точки А(-2; 3), вместо подставим – 3. В результате подстановки получим:

Ответ:

Задача №2. Найти уравнение прямой, проходящей через точку К(1; –2) параллельно прямой .

1. Найдем угловой коэффициент прямой .

Это общее уравнение прямой, которое в общем виде задается формулой . Сравнивая уравнения и находим, что А = 2, В = –3. Угловой коэффициент прямой, заданной уравнением , находится по формуле
. Подставив в эту формулу А = 2 и В = –3, получим угловой коэффициент прямой MN. Итак,
.

2. Так как прямые MN и КС параллельны, то их угловые коэффициенты равны:
.

3. Для нахождения уравнения прямой КС воспользуемся формулой уравнения прямой, проходящей через точку с данным угловым коэффициентом
. В эту формулу вместо и подставим координаты точки К(–2; 3), вместо

Задача № 3. Найти уравнение прямой, проходящей через точку К(–1; –3) перпендикулярно прямой .

1. – это общее уравнение прямой, которое в общем виде задается формулой .

и находим, что А = 3, В = 4.

Угловой коэффициент прямой, заданной уравнением , находится по формуле:
. Подставив в эту формулу А = 3 и В = 4, получим угловой коэффициент прямой MN:
.

2. Так как прямые MN и КD перпендикулярны, то их угловые коэффициенты обратно пропорциональны и противоположны по знаку:

.

3. Для нахождения уравнения прямой КD воспользуемся формулой уравнения прямой, проходящей через точку с данным угловым коэффициентом

. В эту формулу вместо и подставим координаты точки К(–1; –3), вместо подставим . В результате подстановки получим:

Решите самостоятельно:

1. Найти уравнение прямой, проходящей через точку К(–4; 1) параллельно прямой
.

Ответ:
.

2. Найти уравнение прямой, проходящей через точку К(5; –2) параллельно прямой
.

3. Найти уравнение прямой, проходящей через точку К(–2; –6) перпендикулярно прямой
.

4. Найти уравнение прямой, проходящей через точку К(7; –2) перпендикулярно прямой
.

Ответ:
.

5. Найти уравнение перпендикуляра, опущенного из точки К(–6; 7) на прямую
.

Задача 1

Решить систему линейных уравнений двумя способами: по формулам Крамера и методом Гаусса

1) решим неоднородную систему линейных алгебраических уравнений Ах = В методом Крамера

Определитель системы D не равен нулю. Найдем вспомогательные определители D 1 , D 2 , D 3 , если они не равны нулю, то решений нет, если равны, то решений бесконечное множество

Система 3 линейных уравнений с 3 неизвестными, определитель которой отличен от нуля, всегда совместна и имеет единственное решение, вычисляемое по формулам:

Ответ: получили решение:

2) решим неоднородную систему линейных алгебраических уравнений Ах = В методом Гаусса

Составим расширенную матрицу системы

Примем первую строку за направляющую, а элемент а 11 = 1 – за направляющий. С помощью направляющей строки получим нули в первом столбце.

соответствует множество решений системы линейных уравнений

Ответ: получили решение:

Задача 2

Даны координаты вершин треугольника АВС

Найти:

1) длину стороны АВ;

4) уравнение медианы АЕ;

Построить заданный треугольник и все линии в системе координат.

А(1; -1), В(4; 3). С(5; 1).

1) Расстояние между точками А(х 1 ; у 1 ) и В(х 2 ; у 2 ) определяется по формуле

воспользовавшись которой находим длину стороны АВ;

2) уравнения сторон АВ и ВС и их угловые коэффициенты;

Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки плоскости А(х 1 ; у 1 ) и В(х 2 ; у 2 ) имеет вид

Подставляя в (2) координаты точек А и В, получаем уравнение стороны АВ:

Угловой коэффициент k АВ прямой АВ найдем, преобразовав полученное уравнение к виду уравнения прямой с угловым коэффициентом у = kx - b .

, то есть откуда

Аналогично получим уравнение прямой ВС и найдем ее угловой коэффициент.

Подставляя в (2) координаты точек В и С, получаем уравнение стороны ВС:

Угловой коэффициент k ВС прямой ВС найдем, преобразовав полученное уравнение к виду уравнения прямой с угловым коэффициентом у = kx - b .

, то есть

3) внутренний угол при вершине В в радианах с точностью до 0,01

Для нахождения внутреннего угла нашего треугольника воспользуемся формулой:

Отметим, что порядок вычисления разности угловых коэффициентов, стоящих в числителе этой дроби, зависит от взаимного расположения прямых АВ и ВС.

Подставив ранее вычисленные значения k ВС и k АВ в (3), находим:

Теперь, воспользовавшись таблицами инженерным микрокалькулятором, получаем В » 1,11 рад.

4) уравнение медианы АЕ;

Для составления уравнения медианы АЕ найдем сначала координаты точки Е, которая лежит на середине отрезка ВС

Подставив в уравнение (2) координаты точек А и Е, получаем уравнение медианы:

5) уравнение и длину высоты CD;

Для составления уравнения высоты CD воспользуемся уравнением прямой, проходящей через заданную точку М(х 0 ; у 0 )с заданным угловым коэффициентом k , которое имеет вид

и условием перпендикулярности прямых АВ и CD, которое выражается соотношением k AB k CD = -1, откуда k CD = -1/k AB = - 3/4

Подставив в (4) вместо k значение k С D = -3/4, а вместо x 0 , y 0 ответствующие координаты точки С, получим уравнение высоты CD

Для вычисления длины высоты СD воспользуемся формулой отыскания расстояния d от заданной точки М(х 0 ; у 0 ) до заданной прямой с уравнением Ax+ By + С = 0 , которая имеет вид:

Подставив в (5) вместо х 0 ; у 0 координаты точки С, а вместо А, В, С коэффициенты уравнения прямой АВ, получаем

6) уравнение прямой, проходящей через точку Е параллельно стороне АВ и точку М ее пересечения с высотой CD;

Так как искомая прямая EF параллельна прямой АВ, то k EF = k AB = 4/3. Подставив в уравнение (4) вместо х 0 ; у 0 координаты точки Е, а вместо k значение k EF получаем уравнение прямой EF".

Для отыскания координат точки М решаем совместно уравнения прямых EF и CD.

Таким образом, М(5,48; 0,64).

7) уравнение окружности с центром в точке Е, проходящей через вершину В

Поскольку окружность имеет центр в точке Е(4,5; 2) и проходит через вершину В(4; 3), то ее радиус

Каноническое уравнение окружности радиуса R с центром в точке М 0 (х 0 ; у 0 ) имеет вид

Треугольник АВС, высота СD, медиана AE, прямая EF , точка M и окружность построенная в системе координат x0у на рис.1.

Задача 3

Составить уравнение линии, для каждой точки которой ее расстояние до точки А (2; 5) равно расстоянию до прямой у = 1. Полученную кривую построить в системе координат

Решение

Пусть М (x , у ) - текущая точка искомой кривой. Опустим из точки М перпендикуляр MB на прямую у = 1 (рис.2). Тогда В(х; 1). Так как МА = MB , то

Системой линейных уравнений называется совокупность рассматриваемых совместно нескольких линейных уравнений.

В системе может быть любое число уравнений с любым числом неизвестных.

Решением системы уравнений называется совокупность значений неизвестных, удовлетворяющая всем уравнениям системы, то есть обращающая их в тождества.

Система, имеющая решение, называется совместной, в противном случае – несовместной.

Для решения системы применяют различные методы.

Пусть
(число уравнений равно числу неизвестных).

Метод Крамера

Рассмотрим решение системы трёх линейных уравнений с тремя неизвестными:

(7)

Для нахождения неизвестных
применим формулу Крамера:

(8)

где - определитель системы, элементы которого есть коэффициенты при неизвестных:

.

получается путём замены первого столбца определителя столбцом свободных членов:

.

Аналогично:

;
.

Пример 1. Решить систему по формуле Крамера:

.

Решение: Воспользуемся формулами (8):

;

;

;

;

Ответ:
.

Для любой системы линейных уравнений снеизвестными можно утверждать:

Матричный способ решения

Рассмотрим решение системы (7) трёх линейных уравнений с тремя неизвестными матричным способом.

Используя правила умножения матриц, данную систему уравнений можно записать в виде:
, где

.

Пусть матрица невырожденная, т.е.
. Умножая обе части матричного уравнения слева на матрицу
, обратную матрице, получим:
.

Учитывая, что
, имеем

(9)

Пример 2. Решить систему матричным способом:

.

Решение: Введём матрицы:

- из коэффициентов при неизвестных;

- столбец свободных членов.

Тогда систему можно записать матричным уравнением:
.

Воспользуемся формулой (9). Найдём обратную матрицу
по формуле (6):

;

.

Следовательно,

Получили:

.

Ответ:
.

Метод последовательного исключения неизвестных (метод Гаусса)

Основная идея применяемого метода заключается в последовательном исключении неизвестных. Поясним смысл этого метода на системе трёх уравнений с тремя неизвестными:

.

Допустим, что
(если
, то изменим порядок уравнений, выбрав первым уравнением то, в котором коэффициент прине равен нулю).

Первый шаг: а) делим уравнение
на
; б) умножаем полученное уравнение на
и вычитаем из
; в) затем полученное умножаем на
и вычитаем из
. В результате первого шага будем иметь систему:

,

Второй шаг: поступаем с уравнением
и
точно так же, как с уравнениями
.

В итоге исходная система преобразуется к так называемому ступенчатому виду:

Из преобразованной системы все неизвестные определяются последовательно без труда.

Замечание. Практически удобнее приводить к ступенчатому виду не саму систему уравнений, а матрицу из коэффициентов, при неизвестных, и свободных членов.

Пример 3. Решить методом Гаусса систему:

.

Переход от одной матрицы к другой будем записывать при помощи знака эквивалентности ~.

~
~
~
~

~
.

По полученной матрице выписываем преобразованную систему:

.

Ответ:
.

Замечание: Если система имеет единственное решение, то ступенчатая система приводится к треугольной, то есть к такой, в которой последнее уравнение будет содержать одно неизвестное. В случае неопределённой системы, то есть такой, в которой число неизвестных больше числа линейно независимых уравнений, треугольной системы не будет, так как последнее уравнение будет содержать более одного неизвестного (система имеет бесчисленное множество решений). Когда же система несовместна, то, после приведения её к ступенчатому виду, она будет содержать хотя бы одно значение вида
, то есть уравнение, в котором все неизвестные имеют нулевые коэффициенты, а правая часть отлична от нуля (система решений не имеет). Метод Гаусса применим к произвольной системе линейных уравнений (при любых
и).

Теорема существования решения системы линейных уравнений

При решении системы линейных уравнений методом гаусса ответ на вопрос, совместна или несовместна данная система может быть дан лишь в конце вычислений. Однако часто бывает важно решить вопрос о совместности или несовместности системы уравнений, не находя самих решений. Ответ на этот вопрос даёт следующая теорема Кронекера-Капелли.

Пусть дана система
линейных уравнений снеизвестными:

(10)

Для того, чтобы система (10) была совместной, необходимо и достаточно чтобы ранг матрицы системы

.

был равен рангу её расширенной матрицы

.

Причём, если
, то система (10) имеет единственное решение; если же
, то система имеет бесчисленное множество решений.

Рассмотрим однородную систему (все свободные члены равны нулю) линейных уравнений:

.

Эта система всегда совместна, так как она имеет нулевое решение .

В следующей теореме даны условия, при которых система имеет также решения, отличные от нулевого.

Терема. Для того, чтобы однородная система линейчатых уравнений имела нулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы её определитель был равен нулю:

.

Таким образом, если
, то решение- единственное. Если
, то существует бесконечноё множество других ненулевых решений. Укажем один из способов отыскания решений для однородной системы трёх линейных уравнений с тремя неизвестными в случае
.

Можно доказать, что если
, а первое и второе уравнения непропорциональны (линейно независимы), то третье уравнение есть следствие первых двух. Решение однородной системы трёх уравнений с тремя неизвестными сводится к решению двух уравнений с тремя неизвестными. Появляется так называемое свободное неизвестное, которому можно придавать произвольные значения.

Пример 4. Найти все решения системы:

.

Решение. Определитель этой системы

.

Поэтому система имеет нулевые решения. Можно заметить, что первые два уравнения, например, непропорциональны, следовательно, они линейно независимые. Третье является следствием первых двух (получается, если к первому уравнению прибавить удвоенное второе). Отбросив его, получим систему двух уравнений с тремя неизвестными:

.

Полагая, например,
, получим

.

Решая систему двух линейных уравнений, выразим ичерез:
. Следовательно, решение системы можно записать в виде:
, где- произвольное число.

Пример 5. Найти все решения системы:

.

Решение. Нетрудно видеть, что в данной системе только одно независимое уравнение (два других ему пропорциональны). Система из трёх уравнений с тремя неизвестными свелась к одному уравнению с тремя неизвестными. Появляются два свободных неизвестных. Найдя, например, из первого уравнения
при произвольныхи, получим решения данной системы. Общих вид решения можно записать, гдеи- произвольные числа.

Вопросы для самопроверки

Сформулируйте правило Крамера для решения системы линейных уравнений снеизвестными.

В чём сущность матричного способа решения систем?

В чём заключается метод Гаусса решения системы линейных уравнений?

Сформулируйте теорему Кронекера-Капелли.

Сформулируйте необходимое и достаточноё условие существования ненулевых решений однородной системы линейных уравнений.

Примеры для самостоятельного решения

Найдите все решения систем:

1.
; 2.
;

3.
; 4.
;

5.
; 6.
;

7.
; 8.
;

9.
; 10.
;

11.
; 12.
;

13.
; 14.
;

15.
.

Определите, при каких значениях исистема уравнений

а) имеет единственное решение;

б) не имеет решения;

в) имеет бесконечно много решений.

16.
; 17.
;

Найти все решения следующих однородных систем:

18.
; 19.
;

20.
; 21.
;

22.
; 23.
;

Ответы к примерам

1.
; 2.
; 3. Ǿ; 4. Ǿ;

5.
- произвольное число.

6.
, где- произвольное число.

7.
; 8.
; 9. Ǿ; 10. Ǿ;

11.
, где- произвольное число.

12. , гдеи- произвольные числа.

13.
; 14.
гдеи- произвольные числа.

15. Ǿ; 16. а)
; б)
; в)
.

17. а)
; б)
; в)
;

18.
; 19.
; 20., где- произвольное число.

21. , где- произвольное число.

22. , где- произвольное число.

23. , гдеи- произвольные числа.

Системы трёх линейных уравнений с тремя неизвестными имеют вид:

Где a, b, c, d, e, f, g, h, p, q, r, s – заданные числа ; x, y, z – неизвестные . Числа a , b , c , e , f , g , p , q , r – коэффициенты при неизвестных ; d , h , s – свободные члены .

Нормальный вид уравнения первой степени с тремя неизвестными .

Если в уравнении 1 -й степени с 3 неизвестными х, у и z , сделать определённые преобразования, то мы приведем уравнение к такому виду (называемому нормальным), при котором в левой части уравнения находятся только три члена: один с х , другой с у и третий с z , а в правой части будет один член, не содержащий неизвестных.

ПРИМЕР:

Уравнение :

5х – 3у – 4z = –12.

Общий вид его есть следующий :

ах + by + cz = d,
где а, b, с и d какие-нибудь относительные числа .

Неопределенность двух и одного уравнения с тремя неизвестными .

ПРИМЕР:

Предположим, нам дана система 2 уравнений с 3 неизвестными :

Назначим одному неизвестному, например z , какое-нибудь произвольное число, предположим 1 , и подставим это число на место z :

Мы получили таким образом систему 2 уравнений с 2 неизвестными. Решив ее каким-нибудь способом, найдем :
х = 2, у = 3 ;

значит, данная система с 3 неизвестными удовлетворяется при
х = 2 ; у = 3; z = 1.

Дадим теперь неизвестному z какое-нибудь иное значение, например z = 0 , и подставим это значение в данную систему уравнений, получим :

Мы снова получим систему 2 уравнений с 2 неизвестными. Решив ее каким-нибудь способом, найдем :

х = 20 / 11 = 1 9 / 11 ;
у = 2 4 / 11 .

Значит, данная система удовлетворяется при

х = 1 9 / 11 ;
у = 2 4 / 11 и
z = 0 .

Назначив для z еще какое-нибудь (третье) значение, мы снова получим систему 2 уравнений с 2 неизвестными, из которой найдем новые значения для х и у . Так как для z мы можем назначать сколько угодно различных чисел, то и для х и у можем получить сколько угодно значений (соответствующих взятым значениям z ). Значит, 2 уравнения с 3 неизвестными допускают бесчисленное множество решений ; другими словами, такая
система неопределенна .

Еще большая неопределенность будет, если имеется всего 1 уравнение c 3 неизвестными. Тогда можно будет для каких-нибудь 2 неизвестных назначить произвольные числа; третье же неизвестное найдется из данного уравнения, если подставить в него значения, взятые произвольно для двух неизвестных.
Для того, чтобы можно было найти определенные численные значения для трех неизвестных х , у и z , необходимо, чтобы была задана система 3 уравнений. Такая система может быть решена способом подстановки, а также и способом сложения или вычитания уравнений. Покажем применение этих способов на следующем примере (каждое уравнение предварительно приведено к нормальному виду):

ПРИМЕР:

Способ подстановки .

Из какого-нибудь уравнения, например из первого, определим одно неизвестное, например х , как функцию от двух остальных неизвестных :

Так как во всех уравнениях х означает одно и то же число, то мы можем подставить найденное выражение на место х в остальные уравнения :

Мы приходим таким образом к системе 2 уравнений с 2 неизвестными у и z . Решив эту систему по какому-нибудь из способов, указанных раньше, найдем численные значения для у и z . В нашем примере это будут значения : у = 3, z = 2 ; подставив эти числа в выражение, выведенное нами для х , найдем и это неизвестное :

Таким образом, предложенная система имеет решение

х = 1, у = 3, z = 2

(в чем можно убедиться поверкою ).

Способ сложения или вычитания .

Из 3 данных уравнений возьмем какие-нибудь два, напр. 1 -е и 2 -е, и, уравняв в них коэффициенты перед одним неизвестным, напр., перед z , исключим из них это неизвестное способом сложения или вычитания ; от этого получим одно уравнение c 2 неизвестными х и у . Потом, возьмем какие-нибудь два других уравнения из 3 данных, напр. 1 -е и 3 -е (или 2 -е и 3 -е ), и тем же способом исключим из них то же неизвестное т. е. z ; от этого получим еще одно уравнение с х и у :

Решим получившиеся два уравнения :

x = 1, у = 3 .

Вставим эти числа в одно из трех данных уравнений, например, в первое :

3 × 1 – 2 × 3 + 5 z = 7;
5 z = 7 – 3 + 6 = 10;
z = 2.

Замечание.

Теми же двумя способами мы можем привести систему 4 уравнений с 4 неизвестными к системе 3 уравнений с 3 неизвестными (а эту систему – к системе 2 уравнений с 2 неизвестными и т. д.). Вообще систему m уравнений с m неизвестными мы можем привести к системе m –1 уравнений с m –1 неизвестными (а эту систему к системе m –2 уравнений с m –2 неизвестными и т. д.).

Некоторые особые случаи систем уравнений .

Случай, когда не все неизвестные входят в каждое из данных уравнений .

ПРИМЕР:

В этом случае система решается быстрее, чем обыкновенно, так как в некоторых уравнениях уже исключены те или другие неизвестные. Надо только сообразить, какие неизвестные и из каких уравнений следует исключить, чтобы возможно скорее дойти до одного уравнения с одним неизвестным. В нашем примере, исключив z из 1 -го и 3 -го уравнений и v из 2 -го и 1 -го, получим 2 уравнения с х и у :