실수 집합의 폐쇄성. 숫자가 많습니다. 다양한 숫자에 대한 행동 법칙. 이진 연산의 속성

일치하든 아니든 두 집합 X와 Y가 주어져야 합니다.

정의. 첫 번째 요소가 X에 속하고 두 번째 요소가 Y에 속하는 순서쌍의 집합을 호출합니다. 집합의 데카르트 곱지정되어 있습니다.

예. 허락하다
,
, 그 다음에

.

만약에
,
, 그 다음에
.

예. 허락하다
, 여기서 R은 모든 실수의 집합입니다. 그 다음에
평면에 있는 점의 모든 데카르트 좌표 집합입니다.

예. 허락하다
가 집합의 특정 계열이면 이 집합의 데카르트 곱은 길이 n의 모든 순서 문자열의 집합입니다.

그렇다면. 요소:
길이가 n인 행 벡터입니다.

하나의 이진 연산을 사용하는 대수 구조

1 이진 대수 연산

허락하다
– 임의의 유한 또는 무한 집합.

정의. 바이너리 대수학작업 ( 내부 구성 법칙) 에
임의적이지만 고정된 데카르트 정사각형 매핑입니다.
V
, 즉.

(1)

(2)

따라서 모든 주문쌍은

. 사실 그
, 기호로 다음과 같은 형식으로 작성됩니다.
.

일반적으로 이진 연산은 기호로 표시됩니다.
등. 이전과 마찬가지로 작업은
"덧셈"을 의미하고 "" 연산은 "곱셈"을 의미합니다. 그것들은 표기법의 형태가 다르며 아마도 문맥에서 분명해질 공리도 다를 수 있습니다. 표현
우리는 그것을 제품이라고 부르겠습니다.
– 요소의 합 그리고 .

정의. 한 무리의
는 연산 에 따라 닫혀 있다고 합니다.

예. 음수가 아닌 정수 집합을 고려하십시오.
. 이진 연산으로
우리는 일반적인 추가 작업을 고려할 것입니다
그리고 곱셈. 그런 다음 세트
,
이러한 작업과 관련하여 폐쇄됩니다.

논평. 정의에서 다음과 같이 대수 연산 *을 지정합니다.
는 집합의 폐쇄성과 동일합니다.
이 작전에 관해서. 그렇게 많이 밝혀지면
주어진 연산 *에서 닫히지 않으면 이 경우 연산 *이 대수적이지 않다고 말합니다. 예를 들어, 자연수 집합에 대한 뺄셈 연산은 대수가 아닙니다.

허락하다
그리고
두 세트.

정의. 외부법 작곡세트에 매핑이라고 함

, (3)

저것들. 어떤 요소가 적용되는 법칙
그리고 어떤 요소
요소가 일치합니다
. 사실 그
, 기호로 표시
또는
.

예. 행렬 곱셈
번호당
세트의 외부 구성 법칙입니다
. 숫자 곱하기
구성의 내부 법칙과 외부 법칙으로 간주 될 수 있습니다.

분배적인내부 구성 법칙에 관하여 *
, 만약에

구성의 외부 법칙은 다음과 같습니다. 분배적인 Y의 내부 구성 법칙 *에 상대적인 경우

예. 행렬 곱셈
번호당
행렬의 덧셈과 숫자의 덧셈 모두에 대해 분배적입니다. 왜냐하면,.

1. 이진 연산의 속성

집합에 대한 이진 대수 연산 
라고 불리는:

논평. 교환성과 결합성의 속성은 독립적입니다.

예. 정수 세트를 고려하십시오. 작동 켜짐 규정에 따라 결정됩니다
. 숫자를 선택하자
다음 숫자에 대해 작업을 수행합니다.

저것들. 연산 은 교환 가능하지만 결합 가능하지는 않습니다.

예. 세트를 고려해보세요
– 차원의 정사각형 행렬
실제 계수를 사용합니다. 이진 연산으로 * on
행렬 곱셈 연산을 고려해 보겠습니다. 허락하다
, 그 다음에
, 하지만
, 즉. 일련의 정사각 행렬에 대한 곱셈 연산은 결합적이지만 교환적은 아닙니다.

정의. 요소
~라고 불리는 하나의또는 중립적해당 작업에 관해  on
, 만약에

보조정리. 만약에 – 집합의 단위 요소
, * 작업으로 닫혀 있으면 고유합니다.

증거 . 허락하다 – 집합의 단위 요소
, * 작업으로 종료되었습니다. 다음과 같이 가정해보자.
단위 요소가 하나 더 있습니다
, 그 다음에
, 왜냐하면 단일 요소이고,
, 왜냐하면 – 단일 요소. 따라서,
– 집합의 유일한 단위 요소
.

정의. 요소
~라고 불리는 뒤집다또는 대칭요소에
, 만약에

예. 정수 세트를 고려하십시오 덧셈 연산으로
. 요소
, 대칭 요소
요소가 있을 겁니다
. 정말,.

"*" 연산의 결과는 피타고라스 표와 같이 결정됩니다. 예를 들어, 3 * 4의 "곱"은 행 번호 3과 열 번호 4가 교차하는 숫자와 같습니다. 우리의 경우 이 숫자는 2입니다. 따라서 3 * 4 = 2입니다. 어떤 규칙이라고 생각하시나요? 이 테이블을 채우는 데 사용되었나요?

집합(0, 1, 2, ..., 9)의 숫자에 대해 "*" 연산을 수행한 결과는 동일한 집합의 숫자입니다. 그러한 경우에는 다음과 같이 말합니다. 세트는 작업 중에 닫혀 있습니다.그리고 작업이 호출됩니다. 대수학.

테이블이 대각선을 기준으로 대칭이라는 것을 이미 알아차렸을 것입니다.
(0, 1, 4, 9, 6, 5, 6, ...). 이는 “*” 연산에 다음 속성이 있음을 의미합니다. 교환성, 즉, 모든 숫자에 대해 ㅏ그리고 비집합 (0, 1, 2, ..., 9)에서 동등성은 다음과 같이 유지됩니다. ㅏ * 비 = 비 * ㅏ.

표를 사용하여 (2 * 3) * 4 = 2 * (3 * 4)가 참인지 확인할 수 있습니다. 인내심을 갖고 순서대로 세 개의 숫자를 모두 시도해 보면 새 연산에 다음과 같은 특성이 있다는 것을 확신하게 될 것입니다. 연관성, 즉, 모든 숫자에 대해 ㅏ, 비, 씨 집합 (0, 1, 2, ..., 9)에서 동등성은 다음과 같이 유지됩니다. ㅏ * 비) * 씨= ㅏ * (비 * 씨).

집합(0, 1, 2, ..., 9)이 피타고라스 표의 곱셈에 따라 닫혀 있는지 확인하세요.

아르 자형위의 예는 숫자 연산을 어떻게 도입하더라도 항상 교환 가능하고 결합 가능하다는 인상을 줄 수 있습니다. 성급하게 결론을 내리지 맙시다.

또 다른 작업을 고려해 봅시다. 이를 "o"로 표시하고 이를 "원" 작업이라고 부르겠습니다. 표에 따라 결정됩니다.

이 테이블이 컴파일되는 패턴을 찾아보십시오. 이 패턴에 따라 누락된 결과를 표에 입력합니다. "o" 연산은 대수적인가요? "o" 연산을 증명하세요. 교환적. 그러나 이 작전은 연관되지 않음! 이를 확인하려면 숫자 3개를 선택하세요. 중, N그리고 케이, 이를 위해 중오 ( N영형 케이) ¹ ( 중영형 N) 오 케이.

피또 다른 작업을 소개하겠습니다. -.

자연수 집합에 대해 다음과 같이 소개하겠습니다. 중 - N = 중 N .

예를 들어 2 - 3 = 2 3 = 8; 3 - 2 = 3 2 = 9.

"-" 연산은 대수적인가요? 위의 예는 새로운 작업이 다음과 같은지 확인하기에 충분합니다. 교환적이지 않음.

작업 결과 계산
2 - (1 - 3) 그런 다음 같음을 확인합니다. 2 - (1 - 3) =
= (2 - 1) - 3. 모든 작업을 올바르게 수행하면 작업이 "-"라고 말할 수 있습니다. 연관되지 않음.

1. 대수 집합에 대한 덧셈과 곱셈의 연산은 다음과 같습니다.

a) 짝수; b) 홀수?

2. 집합 대수학에서 뺄셈 연산이 이루어지나요?

a) 자연수; b) 정수?

3. 집합에 대한 나눗셈 연산은 대수적인가요?

a) 0이 아닌 정수;

b) 0이 아닌 유리수?

4. 조작임을 보여라.

엑스디 와이 = 엑스 + 와이 – 3

5. 조작임을 보여라.

엑스 Ñ 와이 = 엑스 + 와이 – xy

는 모든 정수 집합에 대한 대수적입니다. 이 연산은 결합적 및/또는 교환적인가요?

6. 피타고라스 표와 유사하게 숫자(0, 1, 2, 3, 4)에 대한 "à" 연산을 정의하는 자신만의 표를 만듭니다. 결과 중 à N숫자 연산 중그리고 N이 표의 값은 일반 제품의 나머지 부분을 5로 나눈 값과 같아야 합니다. 백만.

연산 "a"는 대수적입니까? 그렇다면 결합적 및/또는 교환적일까요?

7. 숫자 연산에 대한 자신만의 예를 생각해 보세요.

어느 것이 대수적이 될까요? 대수 연산 중 어느 것이 연관 및/또는 가환적입니까?

친구들과 비밀통신을 하고 싶은 분들을 위해

에 대한어느 날 Foma는 친구 중 한 명으로부터 전보를 받았습니다.

토마스는 누구입니까? 에 대한! 이것 매우 놀라운 성격. 그는 다른 사람의 말을 받아들이지 않고 모든 것을 자기 방식대로 하려고 노력합니다. 그는 한편으로는 오래된 문제에 대한 새로운 해결책을 찾는 것을 좋아하고, 다른 한편으로는 오래된 지식을 사용하여 새로운 어려움을 극복하는 것을 좋아합니다. 다양한 수학 서적을 읽고 그 속에서 비표준적인 상황을 찾아 해결 방법을 찾는 것을 좋아합니다. 그리고 무엇보다도 그는 그러한 상황을 스스로 만드는 것을 좋아합니다.

그래서 전보가 뭔가 이상했습니다. 내용은 다음과 같습니다.

"yajzeirponchorsmedj."

이 텍스트를 "읽을" 수 있나요? 포마는 조금 생각한 끝에 이 전보의 비밀을 이해했습니다. 방문하라는 초대장이 포함되어 있었습니다. 그는 같은 정신으로 대답하기로 결정했습니다. 같은 방법으로 회신전보를 작성하고 암호화하였습니다. 그 결과 “토요일에 찾아뵙겠습니다”, “hetyachertsvutobbusvudeirp”라는 두 줄의 기록이 나왔습니다.

그러나 Foma는 보다 흥미로운 암호화를 원했습니다. 그는 자신의 전보 텍스트를 두 개의 동일한 부분으로 나누고 각각을 이전 방법을 사용하여 암호화했습니다.

피암호화를 완료한 후 Foma는 암호화 방법을 수시로 변경하면서 암호화된 텍스트로만 친구와의 모든 통신을 수행하기를 원했습니다. 그래서 그는 암호 개발에 열성적으로 착수했습니다.

그는 원본 텍스트의 글자를 이 글자가 차지하는 위치의 숫자로 바꾸기로 결정했습니다. Foma가 친구의 전보로 받은 숫자 목록은 다음과 같습니다(1, 2, 3, ..., 18).

그런 다음 그는 문자 순서만 변경된 암호문이 원본과 다르다는 것을 발견했습니다. 같은 위치번호를 이용하면 글자의 순서가 어떻게 바뀌는지 쉽게 알 수 있습니다. 예를 들어, Foma는 이제 친구의 전보의 암호화된 텍스트를 목록 형식(18, 17, 16, ..., 3, 2, 1)으로 표시할 수 있었습니다.

이 두 목록을 비교하면 텍스트 암호화의 열쇠가 제공됩니다.
.

기호 항목은 다음과 같습니다. "1은 18로 갑니다." (대신 다른 표기법이 자주 사용됩니다: 1 ® 18.)

화살표 방향에 따라 순서가 결정됩니다. 암호화텍스트. 예를 들어, 암호문의 첫 번째 위치에 나타나는 문자는 암호문의 18번째 위치를 차지해야 합니다.

화살표 방향이 반대 방향으로 변경되면 동일한 두 줄 테이블이 순서를 결정합니다. 성적 증명서텍스트. 예를 들어, 암호문에서 18번째 위치에 있는 문자는 해독된 텍스트에서 첫 번째 위치를 차지해야 합니다.

마지막으로 첫 번째 줄이 항상 원본 텍스트에 연결되어 있으면 화살표를 사용할 필요가 없습니다. (암호화하면 원본이 암호문이 되고, 복호화하면 암호문이 암호문이 됩니다.)

이 모든 것을 이해한 후 Foma는 자신의 전보의 두 번째 암호화에 대한 키를 신속하게 기록했습니다.

.

이제 어떻게든 신고하는 일만 남았네요
이 열쇠를 친구에게 전달하면 서신의 비밀이 보장됩니다!

Thomas의 생각을 이해하신다면 암호화된 형식의 그의 모토는 다음과 같습니다.

“물깃털”

다음 키로 암호화됩니다.

아마도 이러한 유형의 암호화 키를 많이 생각해 낼 수 있다고 이미 추측했을 것입니다. 각각은 2행 테이블로 표현될 수 있습니다.

.

여기서 맨 위 줄에는 1부터 모든 자연수가 포함됩니다. N오름차순으로. 맨 위 줄의 숫자를 일부 재배열하여 최종 줄을 얻습니다. 전체 테이블이 호출됩니다. 주문 대체N .

안에토마스에게 돌아가자. 키 대체 사용

그는 한 단어로 된 메시지를 암호화하여 친구에게 보냈습니다. 그는 해독되지 않은 메시지를 다시 암호화했지만 다른 키를 사용했습니다.

.

그는 이중 암호화된 메시지를 귀하에게 보냈습니다.

“스노아.”

이 메시지를 해독해 보세요.

대체에 대해 하나의 대수 연산이 수행되는 방법을 알면 암호 해독 프로세스를 훨씬 빠르게 완료할 수 있습니다. 이 작업을 치환을 곱함으로써. (원하는 경우 다른 이름으로 부를 수 있습니다. 일반적인 숫자 곱셈과 관련이 없기 때문입니다.)

이것이 어떻게 수행되는지 예를 살펴 보겠습니다. Foma에 대한 메시지를 암호화하는 데 사용된 대체 항목을 곱해 보겠습니다.

.

곱셈 절차는 순차적 치환으로 귀결됩니다.

첫 번째 대체에서 ( ㅏ) 1 ® 5;

두 번째 대체에서 ( 안에) 5 ® 1.

결과적으로 우리는 1 ® 1을 얻습니다.

마찬가지로 “2 ® 2”와 “2 ® 3”에서는 “2 ® 3”이 됩니다. 이 유형의 세 가지 인수를 더 수행하면 제품 대체를 얻습니다.

.

제품이 정의되어 있음을 참고하세요. 동일한 수의 열을 사용한 대체에만 해당됩니다.

대체 사용 AB암호화 도구로서 이제 한 번에 할 수 있습니다 풀다토마스의 메시지 "snoas". 동시에 자신을 통제하십시오.

관심이 있다면 자신만의 메시지 인코더 대체품을 만들고 친구들과 비밀 통신을 할 수 있습니다.

메시지를 디코딩하는 동안 새로운 객체에 대한 대수 연산, 즉 대체에 대해 알게 되었습니다.

이자형암호화뿐만 아니라 대체 자체에도 관심이 있는 사람이 있다면 다음 작업을 완료하여 암호화에 대해 더 잘 알 수 있습니다.

1. 대체 제품 찾기:

2. 조각 찾기 버지니아대체품 ㅏ그리고 안에위에서 논의했습니다. 대체 사용 버지니아코더처럼, 풀다다시 한 번 "snoas"라는 메시지가 표시됩니다. 복호화된 텍스트를 이전 복호화 결과와 비교합니다.

작업 2를 완료하면 대체 곱셈에 속성이 있는지 여부를 알 수 있습니다. 교환성.

치환의 곱셈은 다음과 같은 특성을 가지고 있음을 알 수 있습니다. 연관성.

다음 작업으로 넘어가기 전에 대체의 몇 가지 일반적인 속성을 살펴보겠습니다.

치환

~라고 불리는 동일한. 그것은 다음과 같이 표시됩니다. 이자형.

쉽게 설정할 수 있으므로 동일한 대체는 메시지 텍스트를 변경하지 않습니다. 이 경우 메시지는 일반 텍스트로 표시됩니다.

셀 수 있는 집합(countable set)은 요소에 자연수로 번호를 매길 수 있는 무한 집합 또는 자연수의 집합과 동등한 집합입니다.

때때로 자연수 집합의 하위 집합과 동일한 카디널리티 집합을 가산 가능이라고 합니다. 즉, 모든 유한 집합도 가산 가능한 것으로 간주됩니다.

셀 수 있는 집합은 "가장 작은" 무한 집합입니다. 즉, 모든 무한 집합에는 셀 수 있는 부분 집합이 있습니다.

속성:

1. 셀 수 있는 집합의 모든 하위 집합은 최대 셀 수 있습니다.

2. 유한하거나 셀 수 있는 수의 셀 수 있는 집합의 합집합은 셀 수 있습니다.

3. 유한한 수의 셀 수 있는 집합의 직접곱은 셀 수 있습니다.

4. 가산 집합의 모든 유한 부분 집합의 집합은 가산 가능합니다.

5. 셀 수 있는 집합의 모든 부분집합으로 구성된 집합은 연속적이며 특히 셀 수 없습니다.

셀 수 있는 집합의 예:

소수 정수, 정수, 유리수, 대수적 숫자, 기간 링, 계산 가능한 숫자, 산술 숫자.

실수 이론.

(진짜 = 진짜 - 우리에게 상기시켜주세요.)

집합 R은 유리수와 무리수를 포함합니다.

유리수가 아닌 실수를 무리수(irrational number)라고 합니다.

정리: 제곱이 되는 유리수는 없습니다. 숫자와 같다 2

유리수: ½, 1/3, 0.5, 0.333.

무리수: 2의 근=1.4142356…, π=3.1415926…

세트 R 실수다음과 같은 속성을 가지고 있습니다:

1. 순서는 다음과 같습니다. 두 개의 서로 다른 숫자에 대해 a와 b두 관계 중 하나가 성립함 ㅏ 또는 a>b