기사의 무작위 변수 분포 법칙. 확률 변수의 분포 법칙. 계산 및

실제로 다수의 확률 요인의 영향을 받는 대부분의 확률 변수는 정규 확률 분포 법칙을 따릅니다. 따라서 확률 이론의 다양한 적용에서 이 법칙은 특히 중요합니다.

확률변수 $X$는 확률분포밀도가 다음과 같은 형태를 가질 경우 정규확률분포법칙을 따른다.

$$f\left(x\right)=((1)\over (\sigma \sqrt(2\pi )))e^(-(((\left(x-a\right))^2)\over ( 2(\시그마 )^2)))$$

$f\left(x\right)$ 함수의 그래프가 그림에 개략적으로 표시되어 있으며 "가우스 곡선"이라고 합니다. 이 그래프의 오른쪽에는 유로가 도입되기 전에 사용되었던 독일의 10마르크 지폐가 있습니다. 자세히 살펴보면 이 지폐에서 가우스 곡선과 그 발견자인 가장 위대한 수학자 칼 프리드리히 가우스(Carl Friedrich Gauss)를 볼 수 있습니다.

밀도 함수 $f\left(x\right)$로 돌아가서 분포 모수 $a,\ (\sigma )^2$에 대해 몇 가지 설명을 해보겠습니다. $a$ 매개변수는 확률 변수 값의 분산 중심을 나타냅니다. 즉, 수학적 기대의 의미를 갖습니다. 매개변수 $a$가 변경되고 매개변수 $(\sigma )^2$가 변경되지 않은 경우, 함수 $f\left(x\right)$의 그래프가 가로좌표를 따라 이동하는 것을 관찰할 수 있습니다. 그 자체로는 모양이 변하지 않습니다.

$(\sigma )^2$ 매개변수는 분산이며 밀도 그래프 곡선 $f\left(x\right)$의 모양을 나타냅니다. $a$ 매개변수를 변경하지 않고 $(\sigma )^2$ 매개변수를 변경하면 가로축을 따라 이동하지 않고도 밀도 그래프의 모양이 압축되거나 늘어나는 방식을 관찰할 수 있습니다.

주어진 구간에 정규 분포된 확률 변수가 포함될 확률

알려진 바와 같이, 확률 변수 $X$가 $\left(\alpha ;\ \beta \right)$ 구간에 포함될 확률은 $P\left(\alpha< X < \beta \right)=\int^{\beta }_{\alpha }{f\left(x\right)dx}$. Для нормального распределения случайной величины $X$ с параметрами $a,\ \sigma $ справедлива следующая формула:

$$P\왼쪽(\알파< X < \beta \right)=\Phi \left({{\beta -a}\over {\sigma }}\right)-\Phi \left({{\alpha -a}\over {\sigma }}\right)$$

여기서 $\Phi \left(x\right)=((1)\over (\sqrt(2\pi )))\int^x_0(e^(-t^2/2)dt)$ 함수는 다음과 같습니다. 라플라스 함수 . 이 함수의 값은 에서 가져옵니다. $\Phi \left(x\right)$ 함수의 다음 속성을 확인할 수 있습니다.

1 . $\Phi \left(-x\right)=-\Phi \left(x\right)$, 즉 $\Phi \left(x\right)$ 함수는 홀수입니다.

2 . $\Phi \left(x\right)$는 단조 증가 함수입니다.

3 . $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) \Phi \left(x\right)\ )=0.5$, $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) \ Phi \ 왼쪽(x\오른쪽)\ )=-0.5$.

$\Phi \left(x\right)$ 함수의 값을 계산하려면 Excel에서 $f_x$ 마법사 함수를 사용할 수도 있습니다. $\Phi \left(x\right)=NORMDIST\left(x ;0;1;1\right )-0.5$. 예를 들어 $x=2$에 대해 $\Phi\left(x\right)$ 함수의 값을 계산해 보겠습니다.

정규 분포 확률 변수 $X\in N\left(a;\ (\sigma )^2\right)$가 수학적 기대값 $a$에 대해 대칭 구간에 포함될 확률은 다음 공식을 사용하여 계산할 수 있습니다.

$$P\왼쪽(\왼쪽|X-a\오른쪽|< \delta \right)=2\Phi \left({{\delta }\over {\sigma }}\right).$$

3시그마 법칙. 정규 분포 확률 변수 $X$가 $\left(a-3\sigma ;a+3\sigma \right)$ 구간에 속한다는 것은 거의 확실합니다.

실시예 1 . 확률 변수 $X$는 매개변수 $a=2,\ \sigma =3$를 사용하는 정규 확률 분포 법칙을 따릅니다. $X$가 $\left(0.5;1\right)$ 구간에 포함될 확률과 부등식 $\left|X-a\right|를 만족할 확률을 구합니다.< 0,2$.

수식 사용

$$P\왼쪽(\알파< X < \beta \right)=\Phi \left({{\beta -a}\over {\sigma }}\right)-\Phi \left({{\alpha -a}\over {\sigma }}\right),$$

우리는 $P\left(0.5;1\right)=\Phi \left(((1-2)\over (3))\right)-\Phi \left(((0.5-2)\ over (3 ))\right)=\Phi \left(-0.33\right)-\Phi \left(-0.5\right)=\Phi \left(0.5\right)-\Phi \ left(0.33\right)=0.191- 0.129=$0.062.

$$P\왼쪽(\왼쪽|X-a\오른쪽|< 0,2\right)=2\Phi \left({{\delta }\over {\sigma }}\right)=2\Phi \left({{0,2}\over {3}}\right)=2\Phi \left(0,07\right)=2\cdot 0,028=0,056.$$

실시예 2 . 한 해 동안 특정 회사의 주식 가격이 50의 기존 통화 단위와 동일한 수학적 기대값과 10의 표준 편차를 갖는 정규 법칙에 따라 분포된 무작위 변수라고 가정합니다. 무작위로 선택한 확률은 얼마입니까? 논의 중인 기간의 날짜에 프로모션 가격은 다음과 같습니다.

a) 70개 이상의 기존 화폐 단위가 있습니까?

b) 주당 50 미만인가요?

c) 주당 기존 화폐 단위가 45~58개입니까?

임의 변수 $X$를 어떤 회사의 주식 가격이라고 가정합니다. 조건에 따라 $X$는 매개변수 $a=50$ - 수학적 기대값, $\sigma =10$ - 표준 편차를 갖는 정규 분포를 따릅니다. 확률 $P\left(\alpha< X < \beta \right)$ попадания $X$ в интервал $\left(\alpha ,\ \beta \right)$ будем находить по формуле:

$$P\왼쪽(\알파< X < \beta \right)=\Phi \left({{\beta -a}\over {\sigma }}\right)-\Phi \left({{\alpha -a}\over {\sigma }}\right).$$

$$а)\ P\left(X>70\right)=\Phi \left(((\infty -50)\over (10))\right)-\Phi \left(((70-50)\ 이상 (10))\right)=0.5-\Phi \left(2\right)=0.5-0.4772=0.0228.$$

$$b)\P\왼쪽(X< 50\right)=\Phi \left({{50-50}\over {10}}\right)-\Phi \left({{-\infty -50}\over {10}}\right)=\Phi \left(0\right)+0,5=0+0,5=0,5.$$

$$in)\ P\left(45< X < 58\right)=\Phi \left({{58-50}\over {10}}\right)-\Phi \left({{45-50}\over {10}}\right)=\Phi \left(0,8\right)-\Phi \left(-0,5\right)=\Phi \left(0,8\right)+\Phi \left(0,5\right)=$$

소개

확률 이론은 수학의 고전적인 분야 중 하나입니다. 오랜 역사를 가지고 있습니다. 이 과학 분야의 기초는 위대한 수학자에 의해 마련되었습니다. 예를 들어 Fermat, Bernoulli, Pascal의 이름을 지정하겠습니다. 나중에 확률 이론의 발전은 많은 과학자들의 연구에서 결정되었습니다. 우리나라 과학자들은 확률 이론에 큰 공헌을 했습니다: P.L. Chebyshev, A.M. Lyapunov, A.A. Markov, A.N. Kolmogorov. 확률론적 및 통계적 방법은 이제 응용 프로그램에 깊이 침투했습니다. 그들은 물리학, 기술, 경제, 생물학 및 의학에 사용됩니다. 특히 컴퓨터 기술의 발전과 관련하여 이들의 역할이 더욱 커졌습니다.

예를 들어, 물리적 현상을 연구하기 위해 관찰이나 실험이 이루어집니다. 그 결과는 일반적으로 관찰 가능한 수량의 값 형태로 기록됩니다. 실험을 반복하면 결과가 흩어지는 것을 발견합니다. 예를 들어, 동일한 장치로 특정 조건(온도, 습도 등)을 유지하면서 동일한 양을 반복 측정하면 서로 조금씩 다른 결과를 얻을 수 있습니다. 반복 측정을 하더라도 다음 측정 결과를 정확하게 예측하는 것은 불가능합니다. 이런 의미에서 그들은 측정 결과가 확률 변수라고 말합니다. 확률 변수의 더욱 명확한 예는 복권의 당첨 티켓 수입니다. 확률변수의 다른 많은 예가 주어질 수 있습니다. 그럼에도 불구하고 우연의 세계에서는 특정한 패턴이 드러납니다. 그러한 패턴을 연구하기 위한 수학적 장치는 확률 이론에 의해 제공됩니다. 따라서 확률 이론은 무작위 사건 및 관련 무작위 변수의 수학적 분석을 다룹니다.

1. 무작위 변수

확률 변수의 개념은 확률 이론과 그 응용의 기본입니다. 예를 들어, 무작위 변수는 주사위를 한 번 던지는 동안 얻은 점수, 일정 기간 동안 붕괴된 라듐 원자의 수, 일정 기간 동안 전화 교환기에 걸려온 통화 수, 편차 등입니다. 적절하게 조정된 부품의 특정 크기의 공칭 값에서 기술적 과정등.

따라서 확률 변수는 실험 결과로 하나 또는 다른 값을 취할 수 있고 사전에 알려진 양입니다.

확률변수는 두 가지 범주로 나눌 수 있습니다.

이산 확률 변수는 실험 결과 특정 확률로 특정 값을 취하여 셀 수 있는 집합(요소에 번호를 매길 수 있는 집합)을 형성할 수 있는 양입니다.

이 집합은 유한하거나 무한할 수 있습니다.

예를 들어, 첫 번째 표적에 명중하기 전의 사격 횟수는 이산확률변수입니다. 이 수량은 셀 수는 있지만 무한한 값을 가질 수 있습니다.

연속확률변수(Continuous Random Variable)는 유한 또는 무한 구간에서 임의의 값을 취할 수 있는 수량입니다.

분명히 연속 확률 변수의 가능한 값의 수는 무한합니다.

확률변수를 지정하려면 단순히 그 값을 표시하는 것만으로는 충분하지 않으며 이 값의 확률도 표시해야 합니다.

2. 균일한 분포

Ox 축의 세그먼트를 일부 장치의 규모로 설정합니다. 포인터가 눈금의 특정 부분에 닿을 확률은 이 부분의 길이에 비례하고 눈금에서 부분의 위치에 의존하지 않는다고 가정해 보겠습니다. 기기 포인터 표시는 무작위 변수입니다.

세그먼트에서 모든 값을 가져올 수 있습니다. 그렇기 때문에 (< ) - две любые отметки на шкале, то согласно условию имеем - коэффициент пропорциональности, не зависящий от и , а разность , - длина сегмента . Так как при =a и =b имеем , то , откуда .

따라서

(1)

이제 확률변수의 확률분포함수 F(x)를 쉽게 찾을 수 있습니다.

. 이면 다음보다 작은 값은 허용되지 않습니다. ㅏ.지금 그대로 두십시오. 확률 덧셈의 공리에 따르면. 우리가 받아들이는 공식 (1)에 따르면, 우리는 를 갖고, 그러면 우리가 얻을 때

마지막으로 만약에

, 그런 다음 값이 세그먼트에 있으므로 초과하지 않습니다. 비. 따라서 우리는 다음과 같은 분포 함수에 도달합니다.

함수 그래프

그림에 표시됩니다. 1.

공식을 사용하여 확률 분포 밀도를 찾습니다. 만약에

또는 , 그러면 . 그렇다면

따라서,

(2)

함수 그래프

그림에 표시됩니다. 2. 주의할 점 ㅏ그리고 비기능이 실패합니다.

식(2)에 의해 분포밀도가 주어지는 값을 균일분포확률변수라고 한다.

3. 이항분포

확률 이론의 이항 분포 - 일련의 "성공" 수 분포 N각각의 "성공" 확률이 다음과 같도록 하는 독립적인 무작위 실험 피.

- 베르누이 분포를 갖는 독립 확률 변수의 유한 시퀀스, 즉

확률변수를 만들어보자 와이.

정규분포 밀도의 형식은 다음과 같습니다.

어디 ㅏ- 주어진 무작위 변수의 확률 분포 또는 수학적 기대의 중심, 즉

주어진 확률변수의 표준편차.

실제로 해당 통계 추정치가 계산됩니다. 따라서 수학적 기대값의 추정치는 평균값이 됩니다.

고려중인 통계 배열의 데이터 양은 어디에 있습니까?

수학적 기대값은 데이터 양이 무제한으로 증가할 때 평균값이 증가하는 경향이 있는 주어진 무작위 변수의 이론적 값입니다.

표준 편차:

물류에서는 수량의 이 값 또는 그 값을 값으로 추정합니다.

이 경우 변동 계수는 다음과 같이 추정됩니다.

그림 4는 정규 확률 분포의 그래프를 보여줍니다.

그림 4 - 정규 확률 분포 법칙

지수 확률 분포 법칙의 밀도는 다음과 같은 형식을 갖습니다.

자연로그의 밑은 어디에 있습니까?

지수법칙은 무작위 로지스틱 프로세스의 시간 매개변수를 설명합니다. 다음 확률 변수는 지수 법칙에 속합니다.

1) 고객 서비스 시간

2) 차량의 적재 및 하역 시간

3) 기타 물류 작업에 소요된 시간

4) 서비스를 위해 도착하는 요청 사이의 간격.

지수법칙의 특별한 특징은 하나의 매개변수에 의해 결정된다는 것입니다. 여기서

연구중인 시간 매개 변수의 평균값은 어디에 있습니까?

지수법칙을 따르는 수량의 경우 수학적 기대값 M과 제곱평균제곱근 값은 서로 같습니다.

그림 5는 지수법칙의 그래프를 보여줍니다.

그림 5 - 지수 확률 분포 법칙

이항 확률 분포 법칙

확률 분포의 이항 법칙은 다음 공식으로 표현됩니다.

이 법칙은 총 사건 수에서 사건이 발생할 확률을 결정합니다.

주어진 사건 그룹에서 하나의 사건이 발생할 확률은 어디에 있습니까?

특정 사건이 발생하지 않을 확률,

값은 다음의 조합 수입니다. 에 의해 는 다음 공식에 의해 결정됩니다.

조합 수를 계산하려면 동등성이 사용됩니다.

이항 분포에서 가장 가능성이 높은 사건 수는 다음과 같습니다.

확률 분포 법칙의 비교. 합의기준

확률 이론에는 실제 확률 분포와 이론 값의 일치 정도를 평가할 수 있는 방법이 있습니다. 이를 위해 소위 합의 기준이 사용되며, 그 중 가장 유명한 것이 기준입니다. 이 기준을 사용하면 동일한 실제 데이터에서 얻은 경험적 분포 법칙을 비교할 수 있습니다.

어떻게 가치가 낮음, 이 경험적 법칙이 이론적 법칙과 더 잘 일치합니다. 확률 분포의 경험적 법칙을 비교하기 위해 다음 공식을 사용하여 값을 계산합니다.

연구중인 유통 법칙의 빈도에 대한 실제 값과 이론적 값은 각각 어디에 있습니까?

값도 무작위이므로 자체 분포 법칙을 따릅니다. 경험적 분포 법칙을 비교하는 접근 방식을 예를 들어 설명할 수 있습니다.

주어진 양의 분포를 더 잘 반영하는 확률 분포 법칙(정규 또는 지수)을 확립해 보겠습니다. 가설을 테스트해 보겠습니다. 우리는 특정 제품의 판매량을 연구 대상 가치로 간주합니다. 초기 데이터는 표 3에 제시되어 있습니다:

테이블 3. 재화의 판매에 관한 정보

	매출 (천 루블)

작업은 다음과 같이 공식화됩니다. 수행 된 연구 결과 판매 결과가 천 루블 단위로 얻은 경우 특정 제품에 대한 수요 규모의 확률 분포를 구성합니다. 하루 만에.

문제에 대한 해결책은 부록 4에 제시되어 있습니다.

일반적으로 판매, 도매 무역 기업의 제품 배송, 재고 이동, 제품 공급을 위한 서비스 제공, 소비 등 여러 가지 물류 프로세스가 있습니다. 물질적 자원등등. 정규 확률 분포 법칙으로 설명됩니다. 이 분포의 특징은 평균값에 비해 무작위 변수의 뚜렷한 대칭이 존재한다는 것입니다. 이러한 프로세스의 경우 모든 제품, 특정 제품 그룹 또는 개별 상품 항목에 일반법이 적용됩니다.

물류 프로세스 구조에 대한 ABC 분석에서 결과적으로 나타나는 가치 또는 물리적 측면의 특성은 지수 분포를 따릅니다.

제품 판매가 일반 법률을 준수한다는 사실은 물류에 중요합니다. 이를 통해 재고량을 결정할 수 있으며 다음 공식이 권장됩니다.

무기한 기간 동안 필요한 재고량은 어디에 있습니까?

단위 시간(일, 주, 월)당 평균 판매량,

표준 편차.

고려된 예에서 재고는 다음과 같습니다.

이 모델은 제품의 특정 품질에 대한 구매자의 요구 사항이 1에 가까운 확률로 충족되어야 함을 보여줍니다. 이 모델은 "3 시그마" 규칙을 사용합니다. 정규법칙에서 이는 0.99의 확률에 해당합니다.

현대적인 상황에서는 컴퓨터 기술을 통해 현재 시간 모드의 평균 판매량과 표준 편차를 추적하고 재고량을 조정할 수 있습니다.

재고 결정을 위해 제공된 모델은 소매 및 도매 거래 모두에 사용될 수 있습니다.

변수가 호출됩니다. 무작위의, 경험의 결과로 특정 확률로 실제 값을 취할 수 있다면. 확률변수의 가장 완전하고 포괄적인 특성은 분포 법칙입니다. 분배의 법칙– 무작위 변수가 발생할 확률을 결정할 수 있는 함수(표, 그래프, 공식) 엑스특정 값을 취함 엑스나또는 특정 간격 내에 속합니다. 확률 변수에 주어진 분포 법칙이 있는 경우 이 법칙에 따라 분포되거나 이 분포 법칙을 따른다고 합니다.

임의의 값 엑스~라고 불리는 이산적인, 그러한 음수가 아닌 함수가 존재하는 경우

값과 일치하는 것 엑스나변하기 쉬운 엑스개연성 아르 자형나, 이 값을 사용합니다.

임의의 값 엑스~라고 불리는 마디 없는, 만약 있다면 ㅏ < 비음수가 아닌 함수가 있습니다 에프 (엑스), 무엇

(2)

기능 에프 (엑스) 라고 한다 분포 밀도연속확률변수.

랜덤변수가 나올 확률 엑스(이산형 또는 연속형)은 다음보다 작은 값을 취합니다. 엑스, 라고 불리는 분포 함수무작위 변수 엑스지정되어 있으며 에프 (엑스) :

(3)

분포함수는 임의의 변수에 적합한 보편적인 유형의 분포 법칙입니다.

분포 함수의 일반 속성:

(4)

이러한 보편적인 법칙 외에도 특별한 유형의 분배 법칙도 있습니다. 유통 시리즈(이산 확률 변수에만 해당) 및 분포 밀도(연속확률변수에만 해당)

분포 밀도의 기본 특성:

(5)

각 분포법칙은 확률론적 관점에서 확률변수를 완벽하게 설명하는 함수입니다. 실제로 확률변수의 확률분포에 대해 엑스종종 우리는 테스트 결과로만 판단해야 합니다. 테스트를 반복하면서 매번 관심 있는 무작위 이벤트가 발생했는지 기록합니다. ㅏ, 또는 아닙니다. 상대 빈도(또는 단순히 빈도) 무작위 이벤트 ㅏ수비라고 한다 Nㅏ이 이벤트의 발생 횟수를 전체 횟수로 N테스트가 수행되었습니다. 동시에, 우리는 무작위 사건의 상대적 빈도가 확률에 가깝다는 것을 받아들입니다. 이는 수행된 실험 수가 많을수록 더욱 사실입니다. 이 경우 확률과 마찬가지로 빈도도 확률 변수의 개별 값이 아닌 간격에 귀속되어야 합니다. 이는 확률 변수의 가능한 값의 전체 범위를 의미합니다. 엑스간격으로 나누어야 합니다. 경험적 가치를 제공하는 일련의 테스트를 수행함으로써 엑스, 숫자를 수정해야 합니다 N엑스각 간격의 결과 조회수입니다. 수많은 테스트를 통해 N태도 N 엑스 / N(구간에 속하는 빈도)는 이러한 구간에 포함될 확률에 가까워야 합니다. 주파수 의존성 N 엑스 / N간격으로 결정 경험적 분포무작위 변수 확률 엑스, 그래픽 표현이 호출됩니다. 히스토그램(그림 1).

쌀. 1. 히스토그램 및 평준화 분포 밀도

히스토그램을 구성하기 위해 가로축을 따라 동일한 길이의 간격이 그려지며, 여기에서 무작위 변수의 가능한 값의 전체 범위가 나누어집니다. 엑스, 주파수는 세로축을 따라 표시됩니다. N 엑스 / N. 그러면 각 히스토그램 막대의 높이는 해당 빈도와 같습니다. 따라서 우리는 확률 변수에 대한 확률 분포 법칙의 대략적인 표현을 얻습니다. 엑스계단 함수의 형태로, 일부 곡선에 대한 근사(정렬) 에프(엑스)는 분포 밀도를 제공합니다.

그러나 분포의 기본 속성을 특징짓는 개별 수치 매개변수만 표시하는 것만으로도 충분한 경우가 많습니다. 이 숫자를 확률변수의 수치적 특성이라고 합니다.

무작위 변수

먼저 이산확률변수의 분포에 관한 몇 가지 법칙을 살펴보겠습니다.

4.1 이항 분포 .

확률 변수를 어떤 사건의 발생 횟수로 설정 일련의 독립적인 시행(각각에서 사건이 발생할 확률)
, 사건이 발생하지 않을 확률
이 값의 분포 계열은 다음과 같은 형식을 갖습니다.

어디
. 이러한 분포 시리즈를 이항식 . 확률변수의 기대
이 경우에는 다음과 같습니다:

(1)

이 표현식을 평가하려면 다음과 같이 미분하세요. 다음 표현식:
우리는 얻는다

이 평등을 곱하면 , 우리는 얻는다

(2)

하지만
등식 (1)과 (2)의 우변이 일치하면

동일한 표현식을 두 번 미분하면 다음을 얻습니다.

결과 평등에 다음을 곱합니다. , 우리는 다음을 얻습니다:

따라서,

여기에서 토다

따라서 이항 분포의 경우:

예. 20발의 독립 사격이 목표물을 향해 발사되었습니다. 각 샷의 적중 확률
. 적중 횟수의 수학적 기대치, 분산, 평균 제곱 기대치를 구합니다.

임의의 값
- 이항법칙에 따라 분포된 히트 수 그런 다음

4.2 포아송 분포.

정의.이산확률변수
그것은 가지고있다

포아송 분포 법칙 , 분포 옆에 지정된 경우

확률은 포아송 공식에 의해 결정됩니다.

(3)

어디 ( - 일련의 테스트에서 이벤트가 발생할 확률이 일정한 각 테스트에서 이벤트가 발생한 평균 횟수
).

증명 없이 다음 정리를 제시해보자.

정리. 포아송의 법칙에 따라 분포된 확률변수의 수학적 기대값과 분산은 일치하고 모수와 같습니다. 이 법칙, 즉

충분히 큰 경우 (일반적으로 언제
) 및 작은 값
그 작업을 제공
- 상수값(
), 포아송 분포 법칙은 이항법칙의 좋은 근사치입니다. 포아송 분포는 이항 법칙의 점근 분포입니다. 때때로 이 법칙은 다음과 같이 불린다. 희귀 현상의 법칙. 예를 들어 포아송의 법칙에 따라 자동 회선 장애 횟수, "정상 모드"에서의 시스템 장애 횟수, 자동 전화 교환기의 장애 횟수 등이 분포됩니다.

4.3 기하학적 분포.

정의.이산확률변수
그것은 가지고있다 기하학적 분포 , 만약에
, 어떤 이벤트가 있을 경우

분포 시리즈의 형식은 다음과 같습니다.

이 경우 확률은 무한히 감소하는 기하학적 진행과 그 합을 나타냅니다.

정리. 모수를 갖는 기하분포를 갖는 확률변수의 경우 , 수학적 기대값과 분산은 다음 공식을 사용하여 계산됩니다.

예.첫 번째 명중이 이루어질 때까지 사격이 대상을 향해 발사됩니다. 각 샷의 적중 확률
.

일련의 랜덤 변수 분포 생성
- “안타 횟수.” 수학적 기대값과 표준편차를 구합니다.

정리에 따르면,

표준 편차

초기하 분포 .

파티를 열어줘
사용 가능한 제품
기준 무작위로 선택됨 제품. 랜덤 변수를 보자
- 선택된 제품 중 표준 제품의 개수입니다. 분명히 이 확률 변수의 가능한 값은 다음과 같습니다.

가능한 값의 확률은 다음 공식을 사용하여 계산됩니다.

이 확률 변수의 경우 수학적 기대값은 다음 공식을 사용하여 계산됩니다.
그리고 차이:

예.항아리에는 흰색 공 5개와 검은색 공 3개가 들어 있습니다. 3개의 공이 무작위로 선택됩니다. 무작위 변수의 일련의 분포를 구성합니다.
- 선택된 공 중 흰색 공의 개수입니다. 수학적 기대값과 분산을 구합니다.

이 무작위 변수의 가능한 값은 0, 1, 2, 3입니다. 확률을 찾아보겠습니다.

우리는 분포 시리즈를 얻습니다.

수학적 기대값은 알려진 공식을 사용하여 직접 계산할 수도 있고 정리의 공식을 사용할 수도 있습니다. 우리의 예에서는

. 그 다음에

이제 연속 확률 변수 분포의 기본 법칙을 고려해 보겠습니다.

4.5 균일한 분포.

정의.연속 확률 변수는 세그먼트에 균일한 분포를 갖습니다.
, 이 세그먼트에 상수 값이 있고 이 세그먼트 외부에서 0과 같은 경우, 즉 밀도 그래프는 다음과 같습니다.

분포 밀도 그래프 아래의 면적은 1과 같아야 하므로
그 다음에

분포 함수의 형식은 다음과 같습니다.

그리고 그녀의 일정

4.6 지수분포 .

확률 이론의 실제 적용에서(예를 들어,

측정, 큐잉, 운영 연구, 신뢰성 이론, 물리학, 생물학 등의 분야에서 소위 지수 또는 지수 분포를 갖는 확률 변수를 처리해야 하는 경우가 많습니다.

정의.연속 무작위 수량
걸쳐 분산 지수법칙 , 확률 분포 밀도가 다음과 같은 형식인 경우:

이 함수의 그래프:

0

배포 기능:

일정이 있어요

에 대한

예상 값:

예.랜덤 변수를 보자
- 특정 메커니즘의 작동 시간은 지수 분포를 갖습니다. 평균 작동 시간이 800시간이라면 메커니즘이 최소 1000시간 동안 작동할 확률을 구하십시오.

문제의 조건에 따라 메커니즘 작동에 대한 수학적 기대치는 다음과 같습니다.
, ㅏ
. 그 다음에

따라서,

필수 확률:

논평.지수 분포는 다음을 의미합니다. 단일 매개변수유통법(다음에만 의존함) ).

4.7 정규분포.

정의.정상 는 다음 공식에 의해 결정되는 확률 분포 밀도를 갖는 연속 확률 변수의 확률 분포입니다.

(1)

우리는 그것을 본다 정규 분포는 두 개의 매개변수로 정의됩니다. : 그리고 . 정규 분포를 설정하려면 이 두 매개변수를 설정하는 것으로 충분합니다.

정규분포 법칙은 실제 문제에서 매우 널리 사용됩니다. 랜덤 변수가 있는 경우에 나타납니다.
다양한 요인의 결과입니다. 각 요인은 개별적으로 확률 변수에 미미한 영향을 미치며 어느 요인이 다른 요인보다 더 큰 영향을 미치는지 말하기는 불가능합니다. 정규 분포를 갖는 확률 변수의 예는 다음과 같습니다. 기계로 생산된 부품 치수의 표준 부품 치수 편차; 측정 오류; 목표물을 촬영할 때의 편차 등

일반법이 다른 법률과 구별되는 주요 패턴은 다른 법률이 접근하는 제한법이라는 점입니다. 충분히 큰 값으로 독립확률변수의 합
는 모든 배포법에 따라 임의적으로 정상에 가까운 배포를 갖습니다.

정규 분포 확률 변수의 분포 함수는 다음과 같은 형식을 갖습니다.

(2)

연속 확률 변수의 수학적 기대값을 정의하면 다음과 같습니다.

새로운 변수를 소개해보자

새로운 통합 한계가 기존 한계와 동일하다는 점을 고려하면 다음을 얻습니다.

첫 번째 항은 홀수 함수의 대칭 구간에 대한 적분으로서 0과 같습니다. 두 번째 항은 다음과 같습니다. (포아송 적분
).

따라서 정규 분포 확률 변수의 수학적 기대는 다음과 같습니다.

연속 확률 변수의 분산을 정의하면 다음을 고려합니다.
, 우리는 얻는다

다시 새로운 변수를 소개해보자

우리는 얻는다
부품 공식과 이전 계산에 의한 통합을 적용하면 다음을 얻습니다.
그 다음에
따라서 정규분포의 두 번째 모수는 평균 제곱 편차입니다.

메모.정규화됨 매개변수가 있는 정규분포라고 함
정규화된 분포 밀도는 다음 함수로 제공됩니다.

(3)

그 의미는 직접 찾거나 모든 참고서에서 찾을 수 있는 해당 표를 사용하여 찾을 수 있습니다. 정규화된 분포 함수는 다음과 같은 형식을 갖습니다.
. 그런 다음 공식 (2)로 주어진 일반 정규 분포 함수는 다음 공식으로 표현됩니다.
. 정규화된 정규 분포 확률 변수에 도달할 확률
그 간격에
라플라스 함수를 사용하여 결정됨
, 그 값은 표에도 나와 있습니다. 물론,

고려해 보면
(분포 밀도의 특성에 따라) 함수의 대칭으로 인해
점에 비해
:

그 다음에

정규분포의 밀도 그래프는 다음과 같습니다. 정규곡선 또는 가우스 곡선 .

함수를 살펴보겠습니다.

전체 수직선에 정의되며 모든 항목에 대해 긍정적입니다. . 무제한 증가 이 함수는 0이 되는 경향이 있습니다. 즉
이 함수의 파생
.

그 점에서 도함수는 0이다
이 시점에서 부호가 "+"에서 "-"로 변경됩니다.
- 최대점과 현시점
. 함수의 2차 도함수를 구하면 함수 그래프의 점에서 굴절이 있음을 알 수 있습니다.
. 개략적으로 그래프는 다음과 같습니다.

0

정규 분포 확률 변수의 경우 주어진 구간에 속할 확률은 다음과 같습니다.
다음과 같이 계산됩니다.

교체를 해보자
.

어디
.

따라서,

(4)

예.자동차의 질량은 65톤의 수학적 기대값과 표준 편차를 갖는 정규 법칙에 따라 분포된 무작위 변수입니다.
t.다음 자동차의 질량이 70톤 이하, 60톤 이상일 확률을 구하십시오.

때로는 절댓값의 확률변수가 평균값에서 일정값 이하로 벗어날 확률을 계산해야 하는 경우가 있습니다. , 즉.
. 이 확률을 계산하기 위해 이전 공식을 사용할 수 있습니다. 물론:

함수의 이상한 점을 고려하여
. 따라서,

(5)

예.수학적 기대값을 갖는 정규 분포 랜덤이 발생할 확률
평균값에서 조금 더 벗어나게 됩니다.
0.09와 같습니다. 이 확률 변수가 구간 (30, 35)에 포함될 확률은 얼마입니까?

조건에 따라,
그 다음에
Laplace 함수의 값 표에 따르면 다음을 얻습니다.
그런 다음 공식 (4)에 따라 필요한 확률은 다음과 같습니다.

3시그마 법칙.

공식 (5)에서 우리는
, 우리는 얻는다

만약에
따라서
, 우리는 다음을 얻습니다:

저것들. 평균값에서 임의 변수의 절대값 편차가 표준 편차의 3배 미만일 확률은 0.9973입니다. 즉, 통일에 매우 가깝습니다.

3시그마 규칙은 정규 분포된 확률 변수에 대한 것입니다. 절대값평균으로부터의 편차는 평균 제곱 편차의 3배를 초과하지 않습니다.실제로 이 규칙은 다음과 같이 적용됩니다. 확률 변수의 분포를 알 수 없지만 해당 매개변수에 대해 3-시그마 규칙이 충족되면 해당 변수가 정규 법칙에 따라 분포된다고 가정할 이유가 있습니다.