심슨 방법이란 무엇입니까? Simpson의 공식을 사용하여 정적분을 계산하는 방법은 무엇입니까? 포물선법을 사용한 정적분의 근사 계산 예

심슨 방법의 핵심은 2차 p2(x)의 보간 다항식으로 세그먼트의 피적분 함수를 근사화하는 것입니다. 즉, 포물선으로 세그먼트의 함수 그래프를 근사화합니다. 피적분함수를 보간하는 데 세 개의 점이 사용됩니다.

임의의 적분을 생각해 봅시다. 대신 통합 세그먼트의 경계가 [-1,1]이 되도록 변수 변경을 사용해 보겠습니다. 이렇게 하려면 변수 z를 도입합니다.

세 개의 등거리 노드 점 z = -1, z = 0, z = +1을 노드로 사용하여 피적분 함수를 보간하는 문제를 고려해 보겠습니다(단계는 1, 적분 세그먼트의 길이는 2). 보간 노드에서 피적분 함수의 해당 값을 표시해 보겠습니다.

세 점 (-1, f-1), (0, f0) 및 (1, f-+1)을 통과하는 다항식의 계수를 찾는 방정식 시스템은 다음과 같은 형식을 취합니다.

계수는 쉽게 얻을 수 있습니다.

이제 보간 다항식의 적분 값을 계산해 보겠습니다.

변수를 역으로 변경하면 원래 적분으로 돌아갑니다. 다음 사항을 고려해보자:

해당

해당

해당

임의의 적분 구간에 대한 Simpson의 공식을 얻습니다.

결과 값은 면적과 일치합니다. 곡선 사다리꼴, x축, 직선 x = x0, x = x2 및 점을 통과하는 포물선으로 경계가 지정됨

필요한 경우 원래 통합 세그먼트를 N 개의 이중 세그먼트로 나눌 수 있으며 각 세그먼트에는 Simpson 공식이 적용됩니다. 보간 단계는 다음과 같습니다.

통합의 첫 번째 세그먼트의 경우 보간 노드는 점 a, a+h, a+2h이고, 두 번째 a+2h, a+3h, a+4h, 세 번째 a+4h, a+5h, a입니다. +6시간 등 적분의 대략적인 값은 N 영역을 합산하여 얻습니다.

적분 수치법 심슨

이 합계에는 동일한 용어가 포함됩니다(인덱스 값이 짝수인 내부 노드의 경우 - 2i). 따라서 이 합계의 항을 다음과 같이 재배열할 수 있습니다.

우리가 얻는 것을 고려하면:

이제 Simpson의 공식을 사용하여 적분 오류를 추정해 보겠습니다. 구간의 함수에는 연속 도함수가 있다고 가정합니다. 차이를 만들어 봅시다:

이 차이에 평균값 정리를 연속적으로 적용하고 R(h)를 미분하면 Simpson 방법의 오류를 얻습니다.

이 방법의 오류는 적분 단계의 길이에 따라 4승에 비례하여 감소합니다. 즉, 간격 수가 두 배로 늘어나면 오류는 16배로 감소합니다.

장점과 단점

Simpson 및 Newton-Cotes 공식은 연속적으로 미분 가능한 함수에 대해 충분한 횟수의 정적분을 계산하는 데 유용한 도구입니다. 따라서 4차 도함수가 너무 크지 않다면 Simpson의 방법을 사용하면 상당히 높은 정확도를 얻을 수 있습니다. 동시에 대수적 정확도 순서는 3이고 Simpson의 공식은 3도 이하의 다항식에 대해 정확합니다.

또한 Newton-Cotes 방법, 특히 Simpson 방법은 피적분 함수의 매끄러움에 대한 선험적 정보가 없는 경우에 가장 효과적입니다. 피적분 함수가 표에 주어졌을 때.

통합 세그먼트를 단계를 통해 포인트별로 동일한 길이의 짝수 기본 세그먼트로 나눕니다.
(
). 모든 세그먼트에서
우리는 이 세그먼트에서 다음 형식을 갖는 2차 다항식으로 피적분 함수를 근사화합니다.
. 그것을주의해라 나여기서는 1에서 홀수 값만 허용됩니다.
. 따라서 피적분 함수는 2차 다항식 세트 또는 2차 스플라인으로 근사화됩니다.

우변에서 임의의 적분을 계산해 봅시다.

승산 ,그리고 보간 조건, 즉 방정식에서 찾을 수 있습니다.

,

요점은 참고하세요 세그먼트의 중간 지점입니다.
, 따라서
. 이 표현식을 두 번째 보간 방정식으로 대체해 보겠습니다.

.

이 방정식에 4를 곱하고 다른 방정식에 추가해 보겠습니다.

마지막 표현은 식 (5.1)의 대괄호 안의 표현과 정확히 일치합니다. 따라서,

즉

따라서 Simpson의 공식은 다음과 같습니다.

직교 공식의 오류 추정.

함수가 다음과 같다는 가정하에 평균 직사각형 방법을 사용할 때의 오차를 추정해 보겠습니다.
무한히 구별 가능합니다.

피적분 함수를 확장해 보겠습니다.
한 점 근처의 테일러 급수에서 ,
.

마지막 행에는 홀수 거듭제곱만 포함되어 있습니다. 엑스. 그 다음에

작은 스텝 크기로 시간오류의 주요 원인 아르 자형가치에 기여하겠습니다
, 선행 오류항이라고 함 아르 자형.

평균 직사각형 방법을 함수에 적용해 보겠습니다.
세그먼트에
증분으로 시간. 그 다음에

.

그래서,
, 어디
– 상수 값. 근사 평등의 오류
에 비해 무한히 높은 차수의 수량입니다. ~에
.

단계 정도 시간, 나머지는 비례합니다 아르 자형를 적분법의 정확도 순서라고 합니다. 평균 직사각형 방법은 2차 정확도를 갖습니다.

함수가 다음과 같다는 가정 하에 사다리꼴 방법을 사용할 때의 오차를 추정해 보겠습니다.
무한히 구별 가능합니다.

점 근처에서 피적분 함수를 테일러 급수로 확장해 보겠습니다. (
).

선행오차항 아르 자형:

.

함수에 왼쪽 사각형 방법 적용
세그먼트에
증분으로 시간, 우리는 얻는다

.

따라서 사다리꼴 방법도 2차 정확도를 갖습니다.

마찬가지로 왼쪽 및 오른쪽 직사각형 방법의 정확도가 첫 번째이고 Simpson 방법의 정확도가 네 번째임을 알 수 있습니다.

강의 17.

“실제 오류 평가를 위한 Runge의 규칙.

적응형 알고리즘의 개념.

특수한 상황들 수치 적분.

세포 방법. 다중 적분 계산."

실제 오류 평가를 위한 Runge의 규칙.

일부 통합 방법이 정확도 순서를 가지도록 하세요. 케이, 그건
, 어디 – 오류, ㅏ– 적분 방법과 피적분 함수에 따른 계수, 시간– 파티션 단계. 그 다음에

그리고 네가 밟을 때

,

도출된 공식을 Runge의 첫 번째 공식이라고 합니다. 이는 실질적으로 매우 중요합니다. 정확한 적분을 계산해야 하는 경우  , 그런 다음 불평등을 달성할 때까지 기본 세그먼트 수를 두 배로 늘려 적분의 대략적인 값을 계산해야 합니다.

그러면 극소량을 무시하면 다음과 같이 가정할 수 있습니다.

원하는 적분의 더 정확한 값을 얻으려면 정제된 값에 대해 제이우리가 대신 받아들일 수 있어
양

.

이것이 Runge의 두 번째 공식이다. 불행하게도 이 정제된 값의 불확실성은 여전히 ​​불확실하지만 일반적으로 원래 방법의 정확도보다 훨씬 더 큽니다(값이 다음과 같은 경우). 제이우리는 받아들인다
).

예를 들어 사다리꼴 방법을 고려하십시오. 위의 그림과 같이 정확도의 순서는 다음과 같습니다. 케이이 방법의 값은 2와 같습니다.

어디
. Runge의 두 번째 공식에 따르면

어디
는 단계를 포함하는 심슨 방법으로 구한 적분의 대략적인 값입니다. 이 방법의 차수는 4이므로 이 예에서는 두 번째 Runge 공식을 사용하여 정확도의 차수가 2만큼 증가했습니다.

정적분을 계산할 때 항상 정확한 해를 얻을 수는 없습니다. 기본 함수 형태로 표현하는 것이 항상 가능한 것은 아닙니다. 뉴턴-라이프니츠 공식은 계산에 적합하지 않으므로 수치적분법을 사용해야 합니다. 이 방법을 사용하면 높은 정확도로 데이터를 얻을 수 있습니다. 심슨의 방법이 바로 그것이다.

이를 위해서는 공식의 도출을 그래픽으로 표현하는 것이 필요합니다. 다음은 Simpson 방법을 이용한 절대오차 추정에 대한 기록이다. 결론적으로 Simpson, 직사각형, 사다리꼴의 세 가지 방법을 비교해 보겠습니다.

포물선 방법 – 본질, 공식, 평가, 오류, 일러스트레이션

y = f (x) 형식의 함수가 주어지며, 이는 구간 [ a ; b ] , 정적분 ∫ a b f (x) d x 를 계산해야 합니다.

세그먼트 [a; b ] x 2 i - 2 형식의 n 세그먼트로 ; x 2 나는 , 나는 = 1 , 2 , . . . , 길이가 2인 n h = b - a n 및 점 a = x 0< x 2 < x 4 < . . . < x 2 π - 2 < x 2 π = b . Тогда точки x 2 i - 1 , i = 1 , 2 , . . . , n считаются серединами отрезков x 2 i - 2 ; x 2 i , i = 1 , 2 , . . . , n . Данный случай показывает, что определение узлов производится через x i = a + i · h , i = 0 , 1 , . . . , 2 n .

각 간격 x 2 i - 2 ; x 2 나는 , 나는 = 1 , 2 , . . . , 피적분 함수의 n은 x 2 i - 2 좌표를 갖는 점을 통과하는 y = a i x 2 + b i x + c i로 정의된 포물선을 사용하여 근사화됩니다. f (x 2 나는 - 2) , x 2 나는 - 1 ; x 2 나는 - 1 , x 2 나는 ; f(x2i) . 이것이 바로 메소드에 이 이름이 붙은 이유입니다.

이러한 작업은 적분 ∫ x 2 i - 2 x 2 i a i x 2 + b i x + c i d x 를 대략적인 값 ∫ x 2 i - 2 x 2 i f (x) d x 로 취하기 위해 수행됩니다. Newton-Leibniz 공식을 사용하여 계산할 수 있습니다. 이것이 포물선 방법의 본질입니다. 아래 그림을 고려하십시오.

포물선 방법의 그래픽 일러스트레이션(Simpson)

빨간색 선을 사용하여 함수 y = f(x)의 그래프를 나타내고, 파란색 선은 2차 포물선을 사용한 그래프 y = f(x)를 근사한 것입니다.

정적분의 다섯 번째 속성에 기초하여, 우리는 ∫ a b f (x) d x = ∑ i = 1 n ∫ x 2 i - 2 x 2 i f (x) d x ∫ ∑ i = 1 n ∫ x 2 i - 2 x를 얻습니다. 2 i (a i x 2 + b i x + c i) d x

포물선법을 사용하여 공식을 얻으려면 다음 계산을 수행해야 합니다.

∫ x 2 i - 2 x 2 i (ai x 2 + b i x + c i) d x

x 2 i - 2 = 0 이라고 가정합니다. 아래 그림을 고려하십시오.

좌표가 x 2 i - 2 인 점을 통해 이를 묘사해 보겠습니다. f (x 2 나는 - 2) , x 2 나는 - 1 ; x 2 나는 - 1 , x 2 나는 ; f (x 2 i)는 y = a i x 2 + b i x + c i 형식의 하나의 2차 포물선을 통과할 수 있습니다. 즉, 계수가 한 가지 방법으로만 결정될 수 있음을 증명해야 합니다.

우리는 x 2 i - 2 를 가지고 있습니다. f (x 2 나는 - 2) , x 2 나는 - 1 ; x 2 나는 - 1 , x 2 나는 ; f (x 2 i)는 포물선의 점이므로 제시된 각 방정식은 유효합니다. 우리는 그것을 얻습니다

a i (x 2 i - 2) 2 + b i x 2 i - 2 + c i = f (x 2 i - 2) a i (x 2 i - 1) 2 + b i x 2 i - 1 + c i = f ( x 2 i - 1) a i (x 2 i) 2 + b i x 2 i + ci = f (x 2 i)

결과 시스템은 a i, bi, c i에 대해 해결되며, Vandermonde에 따라 행렬의 행렬식을 찾아야 합니다. 우리는 그것을 얻습니다

(x 2 i - 2) 2 x 2 i - 2 1 x 2 i - 1) 2 x 2 i - 1 1 (x 2 i) 2 x 2 i 1 , 이는 0이 아닌 것으로 간주되며 다음과 일치하지 않습니다. 점 x 2 i - 2 , x 2 i - 1 , x 2 i . 이는 방정식에 단 하나의 해만 있고 선택된 계수 a i 가 있다는 표시입니다. 비 나는 ; c i는 x 2 i - 2 점을 통해서만 독특한 방식으로 결정될 수 있습니다. f (x 2 나는 - 2) , x 2 나는 - 1 ; x 2 나는 - 1 , x 2 나는 ; f (x 2 i) 단 하나의 포물선만 통과할 수 있습니다.

우리는 적분 ∫ x 2 i - 2 x 2 i (a i x 2 + b i x + ci) d x를 찾는 것으로 진행할 수 있습니다.

분명하다

f (x 2 i - 2) = f (0) = a i 0 2 + b i 0 + c i = c i f (x 2 i - 1) = f (h) = a i h 2 + b i h + c i f ( x 2 i) = f (0) = 4 a i h 2 + 2 b i h + c i

마지막 전환을 수행하려면 다음 형식의 부등식을 사용해야 합니다.

∫ x 2 i - 2 x 2 i (a i x 2 + b i x + c i) d x = ∫ 0 2 h (a i x 2 + b i x + c i) d x = = a i x 3 3 + b i x 2 2 + c i x 0 2 h = 8 a i h 3 3 + 2 b i h 2 + 2 c i h = = h 3 8 a i h 2 + 6 b i h + 6 c i = h 3 f x 2 i - 2 + 4 f 2 2 i - 1 + f x 2 i

따라서 포물선 방법을 사용하여 공식을 얻습니다.

∫ a b f (x) d x ∑ ∑ i = 1 n ∫ x 2 i - 2 x 2 i a i x 2 + b i x + c i d x = = ∑ i = 1 n h 3 (f (x 2 i - 2) + 4 f (x 2 i - 1) + f (x 2 i)) = = h 3 f (x 0) + 4 f (x 1) + f (x 2) + f (x 2) + 4 f (x 3) + f (x 4) + . . . + + f (x 2 n - 2) + 4 f (x 2 n - 1) + f (x 2 n) = = h 3 f (x 0) + 4 ∑ i = 1 n f (x 2 i - 1) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x 2 i) + f (x 2 n)

정의 1

심슨 방법의 공식은 ∫ a b f (x) d x ∑ h 3 f (x 0) + 4 ∑ i = 1 n f (x 2 i - 1) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x 2 i) + f(x2n) .

절대 오차를 추정하는 공식은 δn ≤ m a x [ a ; b ] f (4) (x) · (b - a) 5 2880 n 4 .

포물선법을 사용한 정적분의 대략적인 계산 예

Simpson의 방법에는 정적분의 대략적인 계산이 포함됩니다. 대부분 이 방법을 적용할 수 있는 문제에는 두 가지 유형이 있습니다.

• 정적분의 대략적인 계산에서;
• δn의 정확도로 근사값을 찾을 때.

계산의 정확도는 n 값의 영향을 받으며, n이 높을수록 중간 값이 더 정확해집니다.

실시예 1

Simpson의 방법을 사용하여 정적분 ∫ 0 5 x d x x 4 + 4를 계산하고 적분 세그먼트를 5개 부분으로 나눕니다.

해결책

조건에 따라 a = 0인 것으로 알려져 있습니다. b = 5; n = 5, f(x) = x x 4 + 4.

그런 다음 Simpson의 공식을 다음 형식으로 작성합니다.

∫ a b f (x) d x ∑ h 3 f (x 0) + 4 ∑ i = 1 n f (x 2 i - 1) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x 2 i) + f (x 2 n)

이를 완전히 적용하려면 h = b - a 2 n 공식을 사용하여 단계를 계산하고 x i = a + i · h, i = 0, 1, … . . , 2 n 및 적분 함수 f (x i) , i = 0 , 1 , 의 값을 찾습니다. . . , 2n .

중간 계산은 5자리로 반올림되어야 합니다. 값을 대체하고 얻자

h = b - a 2 n = 5 - 0 2 · 5 = 0 . 5

포인트에서 함수의 값을 찾아보자

i = 0: x i = x 0 = a + i · h = 0 + 0 · 0 . 5 = 0 ⇒ f(x 0) = f(0) = 0 0 4 + 4 = 0 i = 1: x i = x 1 = a + i · h = 0 + 1 · 0. 5 = 0 . 5 ⇒ f (x 1) = f (0 . 5) = 0 . 50 . 5 4 + 4 ≒ 0. 12308. . . i = 10: x i = x 10 = a + i · h = 0 + 10 · 0. 5 = 5 ⇒ f (x 10) = f (5) = 5 5 4 + 4 ≒ 0. 00795

명확성과 편의성은 아래 표에 나와 있습니다.

나	0	1	2	3	4	5
x 나는	0	0 . 5	1	1 . 5	2	2 . 5
fxi	0	0 . 12308	0 . 2	0 . 16552	0 . 1	0 . 05806

나	6	7	8	9	10
x 나는	3	3 . 5	4	4 . 5	5
fxi	0 . 03529	0 . 02272	0 . 01538	0 . 01087	0 . 00795

결과를 포물선 방법의 공식으로 대체해야 합니다.

∫ 0 5 x d x x 4 + 4 ∑ h 3 f (x 0) + 4 ∑ i = 1 n f (x 2 i - 1) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x 2 i) + f (x 2 n ) = = 0 . 5 3 0 + 4 0 . 12308 + 0 . 16552 + 0 . 05806 + + 0 . 02272 + 0 . 01087 + 2 · 0 . 2 + 0 . 1 + + 0 . 03529 + 0 . 01538 + 0 . 00795 ≒ 0 . 37171

계산을 위해 우리는 Newton-Leibniz를 사용하여 계산할 수 있는 정적분을 선택했습니다. 우리는 다음을 얻습니다:

∫ 0 5 x d x x 4 + 4 = 1 2 ∫ 0 5 d (x 2) x 2 2 + 4 = 1 4 a r c t g x 2 2 0 5 = 1 4 a r c t g 25 2 ≒ 0 . 37274

답변:결과는 최대 100분의 1까지 일치합니다.

실시예 2

Simpson의 방법을 사용하여 0.001의 정확도로 부정 적분 ∫ 0 π sin 3 x 2 + 1 2 d x를 계산합니다.

해결책

조건에 따라 a = 0, b = π, f (x) = sin 3 x 2 + 1 2, δ n ≤ 0이 됩니다. 001. n의 값을 결정해야 합니다. 이를 수행하려면 δn ≤ m a x [ a ; b ] f (4) (x) · (b - a) 5 2880 n 4 ≤ 0 . 001

n의 값을 찾으면 불평등 m a x [a; b ] f (4) (x) · (b - a) 5 2880 n 4 ≤ 0 . 001이 실행됩니다. 그런 다음 포물선 방법을 사용하면 계산 오류가 0을 초과하지 않습니다. 001. 마지막 불평등은 다음과 같은 형태를 취합니다.

n 4 ≥ m a x [ a ; b ] f (4) (x) · (b - a) 5 2 . 88

이제 우리는 어느 것이 무엇인지 알아내야 합니다. 가장 높은 가치 4차 도함수의 계수를 취할 수 있습니다.

f " (x) = sin 3 x 2 + 1 2 " = 3 2 cos 3 x 2 ⇒ f "" (x) = 3 2 cos 3 x 2 " = - 9 4 sin 3 x 2 ⇒ f " " " ( x) = - 9 4 죄 3 x 2 " = - 27 8 cos 3 x 2 ⇒ f (4) (x) = - 27 8 cos 3 x 2 " = 81 16 죄 3 x 2

정의 영역 f (4) (x) = 81 16 sin 3 x 2 는 구간 - 81 16 에 속합니다. 81 16, 통합 세그먼트 자체 [0; π)는 극한점을 가지며, 이는 m a x [ 0 ; π ] f (4) (x) = 81 16 .

우리는 다음과 같이 대체합니다.

n 4 ≥ m a x [ a ; b ] f (4) (x) · (b - a) 5 2 . 88 ⇔ n 4 ≥ 81 16 · π - 0 5 2 . 88 ⇔ ⇔ n 4 > 537 . 9252 ⇔ n > 4 . 8159

우리는 n – 자연수, 그 값은 n = 5, 6, 7과 같을 수 있습니다... 먼저 n = 5 값을 가져와야 합니다.

이전 예와 유사한 작업을 수행합니다. 단계를 계산해야 합니다. 이를 위해

h = b - a 2 n = π - 0 2 5 = π 10

노드 x i = a + i · h, i = 0, 1, 을 찾아보겠습니다. . . , 2 n 이면 피적분 함수의 값은 다음과 같은 형식을 갖습니다.

i = 0: x i = x 0 = a + i · h = 0 + 0 · π 10 = 0 ⇒ f (x 0) = f (0) = sin 3 · 0 2 + 1 2 = 0 . 5 i = 1: x i = x 1 = a + i · h = 0 + 1 · π 10 = π 10 ⇒ f (x 1) = f (π 10) = sin 3 · π 10 2 + 1 2 ≒ 0. 953990. . . i = 10: x i = x 10 = a + i · h = 0 + 10 · π 10 = π ⇒ f (x 10) = f (π) = sin 3 · π 2 + 1 2 ≒ - 0. 5 7 π 10

4π5 9π10 π 에프 (엑스 나는) 1 . 207107 0 . 809017 0 . 343566 - 0 . 087785 - 0 . 391007 - 0 . 5

포물선 방법을 사용하여 값을 솔루션 공식에 대체하는 것이 남아 있으며 우리는 다음을 얻습니다.

∫ 0 π sin 3 x 2 + 1 2 ≒ h 3 f (x 0) + 4 ∑ i = 1 n f (x 2 i - 1) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x 2 i) + f ( x 2 n) = = π 30 · 0, 5 + 4 · 0. 953990 + 1 . 487688 + 1 . 207107 + + 0 . 343566 - 0 . 391007 + 2 1 . 309017 + 1 . 451056 + + 0 . 809017 - 0 . 87785 - 0 . 5 = = 2 . 237650

심슨의 방법을 사용하면 정적분 ∫ 0 π sin 3 x 2 + 1 2 d x ≒ 2의 ​​근사값을 얻을 수 있습니다. 237의 정확도는 0.001입니다.

Newton-Leibniz 공식을 사용하여 계산하면 결과적으로 얻습니다.

∫ 0 π sin 3 x 2 + 1 2 d x = - 2 3 cos 3 x 2 + 1 2 x 0 π = = - 3 2 cos 3 π 2 + π 2 - - 2 3 cos 0 + 1 2 0 = π 2 + 2 3 ≒ 2. 237463

답변:∫ 0 π sin 3 x 2 + 1 2d x ≒ 2 . 237

논평

대부분의 경우 m a x [ a ; b ] f (4) (x)는 문제가 있습니다. 따라서 포물선 방법이라는 대안이 사용됩니다. 그 원리는 사다리꼴 방법 섹션에서 자세히 설명됩니다. 포물선 방법은 적분을 푸는 데 선호되는 방법으로 간주됩니다. 계산 오류는 결과 n에 영향을 미칩니다. 값이 작을수록 대략적인 필요한 숫자가 더 정확해집니다.

텍스트에 오류가 있으면 강조 표시하고 Ctrl+Enter를 누르세요.

이 방법은 점을 통과하는 포물선으로 부분 세그먼트의 피적분 함수를 근사화하는 것을 제안합니다.
(xj, f(xj)), 어디 제이 = 나-1; 나-0.5; 나즉, 2차 라그랑주 보간 다항식으로 피적분 함수를 근사화합니다.

통합을 수행한 후 다음을 얻습니다.

그게 바로 그거야 심슨의 공식 또는 포물선 공식. 세그먼트에서
[에, 비] 심슨의 공식은 다음과 같은 형식을 취합니다.

Simpson 방법의 그래픽 표현이 그림 1에 나와 있습니다. 2.4.

쌀. 10.4.심슨 방법

변수를 다시 지정하여 식(2.16)에서 분수 인덱스를 제거해 보겠습니다.

그러면 심슨의 공식은 다음과 같은 형식을 취합니다.

식 (2.18)의 오류는 다음 식으로 추정됩니다.

어디 h·n = b-a, . 따라서 Simpson 공식의 오류는 다음에 비례합니다. 영형(시간 4).

논평.심슨의 공식에서 통합 세그먼트는 반드시 다음과 같이 나누어진다는 점에 유의해야 합니다. 심지어간격의 수.

10.5. 방법에 따른 정적분 계산
몬테카를로

앞에서 설명한 방법을 호출합니다. 결정론적인 즉, 우연의 요소가 없습니다.

몬테카를로 방법(MMK)는 모델링을 사용하여 수학적 문제를 해결하기 위한 수치적 방법입니다. 무작위 변수. MMC를 사용하면 확률적 프로세스로 인해 발생하는 수학적 문제를 성공적으로 해결할 수 있습니다. 또한 확률과 관련이 없는 문제를 해결할 때 이러한 문제를 해결할 수 있는 확률 모델(및 둘 이상)을 인위적으로 생각해 낼 수 있습니다. 정적분의 계산을 고려해보세요

직사각형 공식을 사용하여 이 적분을 계산할 때 간격 [ 에, 비]로 분할 N동일한 간격, 그 중간에 피적분 값이 계산되었습니다. 임의의 노드에서 함수 값을 계산하면 보다 정확한 결과를 얻을 수 있습니다.

여기서 γi는 구간에 걸쳐 균일하게 분포된 난수입니다.
. MMC 적분을 계산할 때의 오류는 ~ 이며 이는 이전에 연구된 결정론적 방법의 오류보다 훨씬 큽니다.

그림에서. 그림 2.5는 무작위 노드(2.21)와 (2.22)를 사용하여 단일 적분을 계산하기 위한 몬테카를로 방법의 그래픽 구현을 보여줍니다.

(2.23)

쌀. 10.6.몬테카를로법에 의한 적분(두 번째 경우)

그림에서 볼 수 있듯이. 2.6에서 적분 곡선은 단위 정사각형에 있으며, 구간에 걸쳐 균일하게 분포된 난수 쌍을 얻을 수 있다면 결과 값(γ 1, γ 2)은 점의 좌표로 해석될 수 있습니다. 단위 광장에서. 그런 다음 이러한 숫자 쌍을 상당히 많이 얻으면 대략 다음과 같이 가정할 수 있습니다.
. 여기 에스는 곡선 아래에 있는 점 쌍의 수입니다. N– 숫자 쌍의 총 개수입니다.

예제 2.1.다음 적분을 계산합니다.

다양한 방법을 사용하여 문제를 해결했습니다. 얻은 결과는 표에 요약되어 있습니다. 2.1.

표 2.1

논평.테이블 적분을 선택함으로써 각 방법의 오류를 비교하고 파티션 수가 계산 정확도에 미치는 영향을 확인할 수 있었습니다.

11 비선형의 근사해
그리고 초월 방정식

고등수학과

작성자: Matveev F.I.

확인자: Burlova L.V.

울란우데.2002

1. 수치적 적분법

2. 심슨의 공식 유도

3.기하학적 일러스트레이션

4. 통합 단계 선택

5.예시

1. 수치적 적분법

수치 적분 문제는 적분을 계산하는 것입니다.

일련의 피적분 값을 통해.

수치 적분 문제는 표에 명시된 함수, 적분이 적용되지 않는 함수에 대해 해결되어야 합니다. 기본 기능, 등. 하나의 변수에 대한 함수만 생각해 봅시다.

적분이 필요한 함수 대신 보간 다항식을 적분합니다. 피적분함수를 보간 다항식으로 대체하는 방법을 사용하면 다항식의 매개변수를 사용하여 결과의 ​​정확도를 추정하거나 주어진 정확도를 기반으로 이러한 매개변수를 선택할 수 있습니다.

수치해석법은 피적분함수의 근사법에 따라 조건부로 그룹화될 수 있습니다.

Newton-Cotes 방법은 함수 근사를 기반으로 합니다.

학위 다항식. 이 클래스의 알고리즘은 다항식의 차수만 다릅니다. 일반적으로 근사 다항식의 노드는 등가 관계입니다.

스플라인 통합 방법은 함수 근사를 기반으로 합니다.

스플라인 조각별 다항식.

대수적 정확도가 가장 높은 방법(가우스 방법)은 주어진(선택한) 수의 노드에 대해 최소 통합 오류를 제공하는 특별히 선택된 동일하지 않은 노드를 사용합니다.

몬테카를로 방법은 여러 적분을 계산할 때 가장 자주 사용됩니다. 노드는 무작위로 선택되며 대답은 확률적입니다.

총 오류 잘림 오류

반올림 오류

선택한 방법에 관계없이 수치 적분 과정에서는 적분의 대략적인 값을 계산하고 오류를 추정하는 것이 필요합니다. n-수가 증가할수록 오류는 감소합니다.

세그먼트 파티션

. 그러나 이로 인해 반올림 오류가 증가합니다.

부분 세그먼트에서 계산된 적분 값을 합산합니다.

잘림 오류는 피적분 함수의 속성과 길이에 따라 달라집니다.

부분 세그먼트.

2. 심슨의 공식 유도

각 세그먼트 쌍에 대해

2차 다항식을 구성한 다음 이를 적분하고 적분의 덧셈 속성을 사용하면 심슨의 공식을 얻습니다. 세그먼트의 피적분 함수를 고려해 보겠습니다. 이 피적분 함수를 다음 점과 일치하는 2차 라그랑주 보간 다항식으로 대체하겠습니다.

통합하자

:

심슨의 공식이라고 합니다.

적분에 대해 얻은 결과

값은 축, 직선 및 점을 통과하는 포물선으로 둘러싸인 곡선 사다리꼴의 영역과 일치합니다.

이제 Simpson의 공식을 사용하여 적분 오류를 추정해 보겠습니다. 우리는

세그먼트에 연속 파생 상품이 있습니다. 차이점을 보완해 봅시다

평균값 정리는 이미 이 두 적분 각각에 적용될 수 있습니다.

는 연속이고 함수는 첫 번째 적분 구간에서 음수가 아니고 두 번째 적분 구간에서는 양수가 아닙니다(즉, 각 구간에서 부호가 변경되지 않음). 그 이유는 다음과 같습니다.

(우리는 평균값 정리를 사용했습니다. 왜냐하면

- 연속 함수; ).

차별화

두 번하고 평균값 정리를 적용하면 다음에 대한 또 다른 표현식을 얻을 수 있습니다.

두 추정치 모두에서

따라서 심슨의 공식은 3차 이하의 다항식에 대해 정확합니다. 예를 들어 Simpson의 공식을 다음과 같은 형식으로 작성해 보겠습니다.

세그먼트의 경우

통합이 너무 크면 동일한 부분으로 나누어집니다( 가정). 그 후 Simpson의 공식이 인접한 세그먼트 , ,...의 각 쌍에 적용됩니다. 즉:

심슨의 공식을 일반적인 형태로 작성해 봅시다.