시체의 자유 낙하. 수평선을 향해 비스듬히 던져진 몸의 움직임! 중력가속도

이론

물체가 수평선에 비스듬히 던져지면 비행 중에 중력과 공기 저항력의 영향을 받습니다. 저항력을 무시하면 남는 힘은 중력뿐입니다. 따라서 뉴턴의 제2법칙에 따라 신체는 중력 가속도와 동일한 가속도로 움직입니다. 가속도 예측 좌표축동일한 엑스 = 0, 그리고 y= -g.

재료 점의 복잡한 움직임은 좌표축을 따른 독립적인 움직임의 중첩으로 표현될 수 있으며, 다른 축 방향에서는 움직임 유형이 다를 수 있습니다. 우리의 경우, 비행체의 운동은 두 개의 독립적인 운동, 즉 수평축(X축)을 따른 등속 운동과 수직축(Y축)을 따른 등가속도 운동의 중첩으로 표현될 수 있습니다(그림 1). .

따라서 신체의 속도 예측은 시간에 따라 다음과 같이 변합니다.

어디에 초기 속도, α는 투사 각도입니다.

따라서 신체 좌표는 다음과 같이 변경됩니다.

좌표 원점을 선택하면 초기 좌표(그림 1)가

높이가 0이 되는 두 번째 시간 값은 0이며, 이는 던지는 순간에 해당합니다. 이 값은 물리적인 의미도 있습니다.

첫 번째 공식(1)으로부터 비행 범위를 구합니다. 비행 범위는 좌표 값입니다. 엑스비행이 끝날 때, 즉 같은 시간에 t 0. 값 (2)를 첫 번째 공식 (1)에 대입하면 다음을 얻습니다.

(3)

이 공식을 통해 가장 큰 비행 범위는 투사 각도 45도에서 달성된다는 것을 알 수 있습니다.

던져진 물체의 최대 들어올림 높이는 두 번째 식(1)으로부터 구할 수 있다. 이렇게 하려면 비행 시간(2)의 절반에 해당하는 시간 값을 이 공식에 대체해야 합니다. 비행 고도가 최대가 되는 곳은 궤적의 중간 지점입니다. 계산을 수행하면

물체가 수평선에 비스듬히 던져지면 비행 중에 중력과 공기 저항력의 영향을 받습니다. 저항력을 무시하면 남는 힘은 중력뿐입니다. 따라서 뉴턴의 제2법칙에 따라 물체는 중력 가속도와 동일한 가속도로 움직입니다. 좌표축 ax = 0, ay = - g에 가속도 투영.

그림 1. 운동학적 특성수평으로 비스듬히 던져진 몸

따라서 신체의 속도 예측은 시간에 따라 다음과 같이 변합니다.

여기서 $v_0$는 초기 속도이고 $(\mathbf \alpha )$는 투사 각도입니다.

원점을 선택하면 초기 좌표(그림 1)는 $x_0=y_0=0$입니다. 그러면 우리는 다음을 얻습니다:

(1)

공식 (1)을 분석해 봅시다. 던져진 몸체의 이동 시간을 결정합시다. 이렇게 하려면 y 좌표를 0으로 설정합시다. 착륙 순간 몸의 높이는 0입니다. 여기에서 비행 시간을 얻습니다.

높이가 0이 되는 두 번째 시간 값은 0이며, 이는 던지는 순간에 해당합니다. 이 값은 물리적인 의미도 있습니다.

첫 번째 공식(1)으로부터 비행 범위를 구합니다. 비행 범위는 비행 종료 시 x 좌표 값입니다. $t_0$와 같은 시간에. 값 (2)를 첫 번째 공식 (1)에 대입하면 다음을 얻습니다.

이 공식을 통해 가장 큰 비행 범위는 투사 각도 45도에서 달성된다는 것을 알 수 있습니다.

방정식 (1)에서 신체의 궤적 방정식을 얻을 수 있습니다. 운동하는 동안 신체의 x 및 y 좌표와 관련된 방정식. 이렇게 하려면 첫 번째 방정식(1)에서 시간을 표현해야 합니다.

그리고 이를 두 번째 방정식에 대입합니다. 그러면 우리는 다음을 얻습니다:

이 방정식은 운동 궤적 방정식입니다. 이는 2차항 앞에 "-" 기호가 표시된 것처럼 가지가 아래로 향하는 포물선의 방정식임을 알 수 있습니다. 여기서는 투사 각도 $\alpha $와 그 함수가 단순히 상수라는 점을 명심해야 합니다. 일정한 숫자.

물체가 속도 v0로 수평에 대해 $(\mathbf \alpha )$ 각도로 던져졌습니다. 비행 시간 $t = 2s$. 몸은 몇 높이 Hmax까지 올라갈 것인가?

$$t_B = 2s$$ $$H_max - ?$$

신체 운동의 법칙은 다음과 같은 형식을 갖습니다.

$$\left\( \begin(array)(c) x=v_(0x)t \\ y=v_(0y)t-\frac(gt^2)(2) \end(array) \right.$ $

초기 속도 벡터는 OX 축과 각도 $(\mathbf \alpha )$를 형성합니다. 따라서,

\ \ \

$v_0 = 6 m/s$의 초기 속도로 산 꼭대기에서 각도 = 30$()^\circ$로 수평선을 향해 돌이 던져졌습니다. 경사면 각도 = 30$()^\circ$. 돌은 던진 지점으로부터 어느 정도 떨어진 곳에 떨어지나요?

$$ \alpha =30()^\circ$$ $$v_0=6\ m/s$$ $$S - ?$$

좌표의 원점을 던지는 지점인 OX(아래쪽 경사면을 따라), OY(경사면 위쪽에 수직)에 두겠습니다. 움직임의 운동학적 특성:

운동의 법칙:

$$\left\( \begin(array)(c) x=v_0t(cos 2\alpha +g\frac(t^2)(2)(sin \alpha \ )\ ) \\ y=v_0t(sin 2 \alpha \ )-\frac(gt^2)(2)(cos \alpha \ ) \end(array) \right.$$ \

결과 값 $t_В$를 대체하면 $S$를 찾습니다.

물체가 속도 로 수평에 대해 각도 α로 던져진다고 가정합니다. 이전 사례와 마찬가지로 공기 저항을 무시하겠습니다. 움직임을 설명하려면 Ox와 Oy라는 두 개의 좌표축을 선택해야 합니다(그림 29).

그림 29

기준점은 신체의 초기 위치와 호환됩니다. Oy 및 Ox 축의 초기 속도 투영: , . 가속 예측: ,

그러면 신체의 움직임은 다음 방정식으로 설명됩니다.

(8)

(9)

이 공식에 따르면 몸체는 수평 방향으로 균일하게 움직이고 수직 방향으로는 균일하게 가속됩니다.

신체의 궤적은 포물선이 됩니다. 포물선의 꼭대기 지점에서 물체가 포물선의 꼭대기 지점까지 올라가는 데 걸리는 시간을 알 수 있습니다.

t 1 값을 방정식 (8)에 대입하면 신체의 최대 높이를 찾을 수 있습니다.

본체의 최대 리프팅 높이.

t=t 2에서 좌표 y 2 =0이라는 조건에서 신체의 비행 시간을 찾습니다. 따라서, . 따라서 - 신체의 비행 시간. 이 공식을 공식(10)과 비교하면 t 2 =2t 1임을 알 수 있습니다.

최대 높이에서 신체가 움직이는 시간은 t 3 =t 2 -t 1 =2t 1 -t 1 =t 1입니다. 결과적으로, 물체가 최대 높이까지 올라가는 데 걸리는 시간은 이 높이에서 내려가는 데 걸리는 시간과 같습니다. 시간 값 t 2 를 x 좌표 방정식(6)에 대입하면 다음을 찾을 수 있습니다.

- 신체 비행 범위.

궤적의 임의 지점에서의 순간 속도는 궤적에 접선 방향으로 향하며(그림 29 참조), 속도 모듈은 다음 공식에 의해 결정됩니다.

따라서 수평선에 대해 비스듬히 또는 수평 방향으로 던져진 신체의 움직임은 수평 균일 및 수직 균일 가속(초기 속도가 없는 자유 낙하 또는 수직으로 던져진 신체의 움직임)이라는 두 가지 독립적인 움직임의 결과로 간주될 수 있습니다. 상승).

운동학적 문제의 목표가 무엇인지 생각해 봅시다.

1. 우리는 운동량의 변화에 관심이 있을 수 있습니다. 움직임의 과정, 즉. 좌표, 속도, 가속도 및 해당 각도 값의 변화에 대한 정보를 얻습니다.

2. 예를 들어 신체가 수평선에 대해 비스듬히 움직이는 문제와 같은 여러 문제에서 물리량의 값에 대해 배우는 것이 필요합니다. 특정 조건: 비행 범위, 최대 리프트 등

3. 신체가 여러 운동(예: 공의 굴림)에 동시에 참여하거나 여러 신체의 상대 운동을 고려하는 경우 변위, 속도 및 가속도(선형 및 각도) 간의 관계를 설정하는 것이 필요합니다. 즉. 방정식 찾기 운동학적 연결.

다양한 운동학 문제에도 불구하고 이를 해결하기 위한 다음 알고리즘이 제안될 수 있습니다.

1. 몸체의 초기 위치와 초기 상태를 묘사하는 개략도를 만듭니다. 그리고 .

2. 문제 조건 분석을 기반으로 참조 시스템을 선택합니다. 이렇게 하려면 참조 몸체를 선택하고 좌표 원점, 좌표 축 방향 및 시간 참조 시작 순간을 나타내는 좌표계를 연결해야 합니다. 양의 방향을 선택할 때 이동 방향(속도) 또는 가속 방향에 따라 안내됩니다.

3. 운동 법칙을 기반으로 모든 물체에 대해 벡터 형식의 방정식 시스템을 구성한 다음 스칼라 형식으로 이러한 벡터 운동 방정식을 좌표축에 투영합니다. 이러한 방정식을 작성할 때 방정식에 포함된 벡터량 투영의 "+" 및 "-" 기호에 주의해야 합니다.

4. 답은 분석 공식의 형태로 얻어야 합니다( 일반적인 견해), 마지막에는 수치 계산을 수행합니다.

예시 4. 54km/h의 속도로 달리는 기차의 창가에 앉아 있는 승객은 속도가 36km/h이고 길이가 250m인 다가오는 기차가 지나가는 것을 얼마나 오랫동안 볼 수 있습니까?

해결책.고정된 기준 프레임을 지구와 연결하고 움직이는 프레임을 승객이 있는 기차와 연결합니다. 속도를 합산하는 법칙에 따르면, 첫 번째 열차에 비해 다가오는 열차의 속도는 어디입니까? Ox 축에 대한 투영에서:

첫 번째 열차를 기준으로 다가오는 열차가 이동한 경로는 열차의 길이와 동일하므로 시간은 다음과 같습니다.

실시예 5.증기선은 니즈니노브고로드에서 아스트라한까지 5.0일이 걸리며, 이전에는 7.0일이 걸립니다. 니즈니노브고로드에서 아스트라한까지 뗏목은 얼마나 오래 이동하나요? 주차와 교통 정체를 피하세요.

주어진 경우: t 1 =5일, t 2 =7일.

해결책.고정된 기준틀을 해안과 연결하고 움직이는 기준틀을 물과 연결하겠습니다. 우리는 물의 속도가 전체 여행 동안 동일하고 물에 대한 증기선의 속도가 일정하고 모듈러스와 같다고 가정합니다. 순간 속도물에 상대적인 증기선.

뗏목은 강의 흐름 속도로 해안을 기준으로 이동하므로 이동 시간은 입니다. 여기서 s는 도시 간 거리입니다. 증기선이 해류와 함께 이동할 때 속도는 속도 추가 법칙에 따르거나 황소 축에 투영됩니다.

해안에 대한 배의 속도는 어디이며, 강에 대한 배의 속도는 어디입니까?

이동 시간을 알면 속도를 찾을 수 있습니다.

공식 (1)과 (2)로부터 우리는 다음을 얻습니다:

선박이 해류에 반대하여 움직일 때 또는 Ox 축의 투영에서 해안에 대한 선박의 속도는 어디입니까?

반면에 . 그 다음에

에 대한 방정식 (3)과 (4) 시스템을 풀면 다음을 얻습니다.

뗏목이 움직이는 시간을 찾아봅시다:

실시예 6.균일하게 가속된 운동에서 물체는 각각 4.0초의 처음 두 번의 동일한 연속 시간 동안 경로 s 1 = 24 m 및 s 2 = 64 m를 따라 이동합니다. 신체의 초기 속도와 가속도를 결정합니다.

주어진 값: t 1 =t 2 = 4.0초, s 1 =24m, s 2 = 64m.

해결책. s 1 및 (s 1 + s 2)에 대한 경로 방정식을 각각 작성해 보겠습니다. 이 경우 초기 속도는 동일하므로

t1=t2이므로,

(1)을 식으로 표현하고 (2)에 대입하면 다음과 같은 결과를 얻습니다.

그러면 초기속도

실시예 7.초기 속도 5.0 m/s로 균일한 가속도로 직선 경로를 따라 이동하는 자동차가 1초에 6.0 m의 거리를 이동했습니다. 자동차의 가속도, 2초가 끝날 때의 순간 속도와 2.0초 만에 변위.

해결책.처음 1초 동안 신체가 이동한 경로를 알면 가속도를 찾을 수 있습니다.

공식을 사용하여 두 번째 초가 끝날 때의 속도를 찾습니다.

실시예 8. 엑스)의 형식은 x = A + Bt + Ct 3이며, 여기서 A = 4m, B = 2m/s, C = -0.5m/s 3입니다.

t 1 =2 s의 순간에 다음을 결정합니다. 1) 점 x 1 점의 좌표; 2) 순간 속도 v 1; 3) 순간 가속 1.

주어진 값: x = A + Bt + Ct 3, A = 4m, B = 2m/s, C = -0.5m/s 3, t 1 = 2s.

찾기: x 1 ; v 1 ; 1.

해결책. 1. t 대신 지정된 시간 값 t 1을 운동 방정식으로 대체합니다. x 1 = A + Bt 1 + Ct 1 3. A, B, C, t 1 값을 이 표현식에 대입하고 계산을 수행해 보겠습니다. x 1 = 4 m.

2. 순간 속도: 그러면 시간 t 1 에서 순간 속도는 v 1 = B + 3Ct 1 2 입니다. 여기로 대체하자 값 B, C, t 1: v 1 = - 4m/s. 빼기 기호는 시간 t 1 =2 s에서 점이 좌표축의 음의 방향으로 이동하고 있음을 나타냅니다.

3. 순간 가속: 시간 t 1에서의 순간 가속도는 a 1 = 6Сt 1 과 같습니다. C의 값 t 1을 대입해 보겠습니다. a 1 = –6 m/s 2. 빼기 기호는 가속도 벡터의 방향이 좌표축의 음의 방향과 일치함을 나타내며, 이 문제의 조건에서 이는 임의의 순간에 발생합니다.

실시예 9.직선(축)을 따라 물질 점의 운동 운동 방정식 엑스)는 x = A + Bt + Ct 2 형식을 가지며, 여기서 A = 5m, B = 4m/s, C = -1m/s 2입니다. t 1 =1 s부터 t 2 =6 s까지의 시간 간격에 대한 평균 속도 v xsr을 결정합니다.

주어진 값: x = A + Bt + Ct 2, A = 5m, B = 4m/s, C = - 1m/s 2, t 1 = 1s, t 2 = 6s.

찾기: v xsr -? 그리고 khsr -?

해결책.시간 간격 t 2 -t 1 동안의 평균 속도는 v cf = (x 2 - x 1)/(t 2 - t 1) 식으로 결정됩니다.

x 1 = A + Bt 1 + Ct 1 2 = 8m, x 2 = A + Bt 2 + Ct 2 2 = –7m.

x 1, x 2, t 1, t 2 값을 대체하고 계산을 수행해 보겠습니다. v xsr = -3 m/s.

실시예 10.고도 h = 300m에 위치한 헬리콥터에서 하중이 떨어졌습니다. 다음과 같은 경우 화물이 지상에 도달하는 데 시간이 얼마나 걸릴까요? a) 헬리콥터가 정지되어 있습니다. b) 헬리콥터는 속도 v 0 =5 m/s로 하강합니다. 3) 헬리콥터는 속도 v 0 =5 m/s로 상승합니다. s(t), v(t) 및 a(t) 축에서 해당 하중의 움직임을 그래픽으로 설명합니다.

해결책. a) 고정된 헬리콥터를 떠나는 하중이 자유롭게 떨어집니다. 중력가속도에 따라 균일하게 움직인다 g. 우리는 관계에서 이동 시간을 찾을 것입니다. 개체 이동 그래프는 그림에서 1로 표시됩니다.

b) 일정한 속도 v 0 = 5 m/s로 하강하는 헬리콥터에서 나가는 하중의 움직임은 일정한 가속도 g를 사용하여 균일하게 가속되는 움직임이며 다음 방정식으로 설명됩니다.

수치 값을 대입하면 방정식 9.8t 2 +10t-600=0이 됩니다.

부정적인 결과는 물리적인 의미가 없으므로 이동 시간은 t=7.57초입니다.

개체 이동 그래프는 그림에서 2로 표시됩니다.

3) 일정한 속도 v 0 =5 m/s로 상승하는 헬리콥터를 떠나는 화물의 이동은 두 단계로 구성됩니다. 첫 번째 단계에서 하중은 속도의 반대 방향인 일정한 가속도 g로 동일하게 느리게 이동하며 다음 방정식으로 설명됩니다.

궤적의 정점에서는 속도가 0이 되므로

시스템의 두 번째 방정식을 첫 번째 방정식으로 대체하면 다음을 얻습니다.

두 번째 단계 - 높이에서 자유 낙하 h 0 =h+h 1 =300+1.28=301.28 m.

왜냐하면

개체 이동 그래프는 그림에서 3으로 표시됩니다.

실시예 11.지면에 대해 18m/s의 속도로 2m/s의 일정한 속도로 하강하는 풍선에서 하중이 수직 위쪽으로 던져졌습니다. 하중이 상승의 가장 높은 지점에 도달하는 순간에 볼과 하중 사이의 거리를 결정합니다. 하중이 공을 지나 날아가서 떨어지는 데 얼마나 걸릴까요?

주어진 값: v 01 = 2m/s, v 02 = 18m/s

찾기: s-? τ -?

해결책. 0Y 축을 수직 위쪽으로 향하게 합시다. 원점은 하중이 던져진 순간 공이 있던 지점 0과 호환됩니다.

그러면 화물과 풍선의 운동 방정식은 다음과 같습니다.

하중의 이동 속도는 v 2 = v 02 – gt 법칙에 따라 변경됩니다.

하중을 들어 올리는 가장 높은 지점 B에서 v 2 =0. 그러면 이 지점까지의 상승 시간 B 지점에서의 부하 좌표

이 시간 동안 풍선은 A 지점으로 내려갔습니다. 그 좌표

지점 A와 B 사이의 거리:

일정 시간 τ 후에 돌이 공을 지나갈 때 몸체의 좌표는 동일합니다. y 1C = y 2C;

실시예 12.비행 중에 27km/h의 속도로 자오선을 기준으로 30° 각도로 북서풍이 불면 비행기가 2시간 안에 북쪽으로 300km를 비행하려면 어떤 속도와 코스로 비행해야 합니까?

주어진 값: t=7.2∙10 3초; 엘=3·10 5m; α=30° ≒ 0.52rad; v 2 ≒7.2m/s.

찾기: v 2 -? ∨ -?

해결책.지면에 연결된 기준계에서 비행기의 움직임을 생각해 봅시다.

OX축을 동쪽 방향으로, OY축을 북쪽 방향으로 그려보겠습니다. 그런 다음 선택한 기준 프레임에서 항공기의 속도

여기서 v= 엘/티(2)

축 투영의 방정식 (1)

OX: 0=v 1 ∙sinα – v 2 ∙sinψ;

OY: v= v 2 ∙cosΦ - v 1 ∙cosα, 또는 v 1 ∙sinα = v 2 ∙sinψ, v 2 ∙cosΦ=v 1 ∙cosα + v (3)

이 방정식을 항으로 나누면 tanψ=v 1 sinα/(v 1 cosα+ v)를 얻습니다.

또는 고려 (2)

tgΦ=v 1 ∙sinα/(v 1 ∙cosα+ 엘/티);

Φ=arctgv 1 ∙sinα/(v 1 ∙cosα+ 엘/t) ≒0.078rad.

방정식 (3)의 오른쪽과 왼쪽을 제곱하고 결과 방정식을 추가하면 다음을 찾을 수 있습니다.

v 2 2 ∙sin 2 ψ + v 2 2 ∙cos 2 ψ = v 1 2 sin 2 α+ (v 1 ∙cosα + v) 2 ,

어디에서 , 또는 고려 (2)

실시예 13.수직으로 위쪽으로 던져진 물체는 t=3초 후에 땅으로 돌아옵니다. 몸체가 상승하는 높이와 초기 속도를 구합니다.

해결책.몸의 위쪽 움직임은 똑같이 느리고 가속됩니다. g그리고 시간이 지남에 따라 발생합니다. 티 1, 하향 이동은 가속도 g에 따라 균일하게 가속되며 시간이 지남에 따라 발생합니다. 티 2. 섹션 AB 및 BA의 움직임을 설명하는 방정식은 시스템을 구성합니다.

v B =0이므로 v 0 =gt 1입니다. v 0을 시스템의 첫 번째 방정식에 대입하면 다음을 얻습니다. 이 식을 시스템의 세 번째 방정식과 비교하면 상승 시간이 하강 시간 t 1 =t 2 =t/2=1.5s와 같다는 결론을 내릴 수 있습니다. 초기 속도와 착지 속도는 서로 같고 v 0 =v A =gt 1 =9.8∙1.5=14.7 m/s가 됩니다.

본체 리프팅 높이

실시예 14.이동의 마지막 순간에 자유 낙하하는 몸체가 거리의 절반을 통과했습니다. 던진 높이와 이동 시간을 구하세요.

해결책.자유 낙하하는 물체가 시간에 따라 이동한 거리에 따라 달라집니다. 전체 경로의 절반을 구성하는 BC 구간이 1초의 시간에 이동되었으므로 경로 AB의 전반부는 (t-1)초의 시간에 이동되었습니다. 그러면 항공기 단면에서의 움직임은 다음과 같이 설명할 수 있다.

시스템 해결

우리는 t 2 -4t+2=0을 얻습니다. 이 방정식의 근은 t 1 =3.41 s 및 t 2 =0.59 s입니다. 두 번째 루트는 적합하지 않습니다. 문제의 조건에 따라 이동 시간은 1초를 초과해야 합니다. 결과적으로 시체는 3.41초 동안 떨어졌으며 이 시간 동안 거리를 이동했습니다.

실시예 15. 25m 높이의 탑에서 15m/s의 속도로 돌이 수평으로 던져졌습니다.

찾아보세요: 1) 돌이 얼마나 오랫동안 움직일지, 2) 돌이 땅에 떨어질 거리, 3) 땅에 떨어질 속도, 4) 돌의 궤적이 돌과 어떤 각도를 이루는지 알아보세요. 땅에 떨어지는 지점의 지평선. 공기 저항을 무시합니다.

주어진 값: H=25m, v o =15m/s

찾기: t-? s x - ? V - ? ∨-?

해결책.수평으로 던진 돌의 움직임은 두 가지로 분해될 수 있습니다. sx그리고 수직 y:

여기서 t는 이동 시간입니다.

2) s x =v o t= 33.9m;

3) vy =gt=22.1m/s;

4) sinΦ= v y /v=0.827;

실시예 16.한 시체가 25m 높이의 탑에서 속도 v x = 10m/s로 수평으로 던져졌습니다.

찾기: 1) 몸이 떨어지는 시간 t, 2) 어느 거리에 있는지 엘타워 바닥에서 추락할 것입니다. 3) 추락이 끝날 때의 속도 v, 4) 착지 지점에서 몸체의 궤적이 지면과 이루는 각도입니다.

해결책.몸의 움직임이 복잡합니다. 수평으로 등속 운동에 참여하고 수직으로 가속도 g로 균일하게 가속됩니다. 따라서 섹션 AB는 다음 방정식으로 설명됩니다.

점 A에 대해 이러한 방정식은 다음과 같은 형식을 취합니다.

그 다음에 엘=10∙2.26=22.6m, v y =9.8∙2.26=22.15m/s.

그때부터

궤적이 지면과 이루는 각도는 점 A의 속도 삼각형의 각도 ψ와 같습니다. 접선은 다음과 같습니다. , 따라서 Φ=68.7°입니다.

실시예 17.수평 속도 v x =10 m/s로 던져진 물체의 경우, 이동 시작 후 시간 t=2 s 이후에 정상, 접선 및 전체 가속도와 이 지점에서 궤적의 곡률 반경을 구합니다.

해결책.수직 속도 성분 v y =gt=9.8∙2=19.6 m/s

A 지점의 속도:

벡터는 속도의 삼각형을 형성하고 벡터는 가속도의 삼각형을 형성합니다. 그림에서 볼 수 있듯이, 이 삼각형들은 유사합니다. 즉, 변이 비례한다는 것을 의미합니다.

일반 가속도이므로 궤적의 곡률 반경

실시예 18.공이 수평에 대해 40° 각도로 10m/s의 속도로 던져졌습니다.

찾기: 1) 공이 어느 높이까지 올라갈지; 2) 공을 던지는 곳에서 어느 정도 떨어진 곳에 공이 땅에 떨어질지, 3) 공이 얼마나 오래 움직일지.

주어진 값: v o =10 m/s, α=40 o.

찾기: s y - ? s x - ? t - ?

해결책. 1) 지평선에 대한 각도 α에서 속력 v o로 던져진 물체가 상승하는 최대 높이 s y max를 찾아봅시다. 우리는 다음을 가지고 있습니다(그림 참조):

v y =v o sinα – gt; (1)

s y =v o t∙sinα – gt 2 /2. (2)

상단 지점 v y에서 = 0이고 (1)로부터 v o ∙sin𝛼 = gt 1 을 얻습니다. 따라서 공을 들어올리는 시간 t 1 =vo ∙sinα/g입니다. t 1을 (2)에 대입하면 다음을 얻습니다.

s y 최대 = v o 2 ∙sin 2 α/(2g)= 2.1m.

2) 수평선에 대해 비스듬히 던져진 물체의 비행 범위 s x max를 구합니다.

우리는 다음을 가집니다: v x =v 영형∙cosα , (3)

s x =v x t=v o t∙cosα. (4)

몸체는 시간 t 2 =2t 1 =2v o sinα/g 후에 수평면으로 떨어질 것입니다.

t 2 를 (4)에 대입하면 s xmax = v o 2 sin2α/를 얻습니다. g= 10.0m.

3) t 2 =2t 1 =2v o sinα/g=1.3초.

실시예 19.물체가 속도 v 0 =10 m/s 2 로 수평에 대해 각도 α=30°로 던져졌습니다. 몸은 어느 정도 높이까지 올라갈 것인가? 던진 곳으로부터 어느 정도 거리에 땅에 떨어지나요? 그 사람은 언제까지 이동 중일까요?

해결책.초기 속도의 수평 및 수직 구성 요소

OA 섹션의 움직임은 수평으로 균일하게 움직이는 것과 수직으로 균일하게 느리게 움직이는 두 가지 간단한 동작으로 분해될 수 있습니다.

A 지점에서

그 다음에 그리고

신체가 여러 동작에 동시에 참여하는 경우 각각은 서로 독립적으로 참여하므로 섹션 AB의 이동 시간은 하향 이동 시간(t 2)에 의해 결정됩니다. 위로 이동하는 데 걸리는 시간과 아래로 이동하는 시간이 같습니다.

동일한 시간 동안 균일한 수평 운동으로 신체는 경로의 동일한 부분을 통과하므로

비행 범위

본체 리프팅 높이

실시예 20. x=4(t-2) 2 법칙에 따라 점이 평면에서 직선으로 움직입니다. 초기 속도 v0와 점의 가속도는 얼마입니까? ㅏ? 이동의 5초가 시작될 때 v t =5 지점의 순간 속도를 구합니다.

해결책.

1) 왜냐하면 v=x', 그러면 v 0 =(4∙(t-2) 2)’=(4∙(t 2 -4t+4))’=(4t 2 -16t+16)’=8t-16

t=0 v 0 =-16m/s에서.

2) 왜냐하면 a= , 그러면 a=(8t-16)'=8 m/s.

3) t=4에서, 왜냐하면 5초가 시작되기 전에 4초가 지났습니다.

vt =5 =8t-16=8∙4-16=32m/s.

답변:점의 초기 속도는 v 0 = -16 m/s이고 가속도는 a = 8 m/s이며 5초 이동 시작 시 점의 속도는 v t = 5 = 32 m/s입니다.

실시예 21.재료 점의 이동은 다음 방정식으로 설명됩니다. a) s=αt 3 ; b) s=αt2+βt. 평균속도와 초기속도와 최종속도의 산술평균을 비교한다. V시간 간격 0 - t의 cf. 여기서 α와 β는 양의 상수입니다.

해결책.평균 속도와 순간 속도의 정의를 생각해 보겠습니다.

순간 속도에 대한 표현은 운동 방정식을 미분하여 얻습니다.

평균 속도에 대한 표현은 시간에 대한 곡선 좌표의 변화 비율로 나타납니다.

산술 평균 속도에 대한 표현식을 얻습니다.

문제의 조건에 대한 질문에 답해 봅시다. a의 경우에는 평균속도와 산술평균속도가 일치하지 않지만, b의 경우에는 일치함을 알 수 있다.

실시예 22.재료 점은 곡선 경로를 따라 균일하게 이동합니다. 궤적의 어느 지점에서 가속도가 최대가 됩니까?

해결책.곡선 경로를 따라 이동할 때 가속도는 접선 방향과 수직 방향으로 구성됩니다. 접선 가속도는 속도 크기(모듈)의 변화율을 나타냅니다. 속도의 크기가 변하지 않으면 접선 가속도는 0입니다. 수직 가속도는 궤도의 곡률 반경에 따라 달라집니다. n = V 2/R. 가속도는 곡률 반경이 가장 작은 지점, 즉 C 지점에서.

실시예 23.중요한 점은 법칙에 따라 움직입니다.

1) 일정한 가속도를 갖는 운동 법칙과 비교하여 초기 좌표, 초기 속도 및 가속도를 결정합니다. 속도 투영에 대한 방정식을 적어보세요.

해결책.일정한 가속도를 갖는 운동 법칙은 다음과 같은 형태를 갖습니다.

이 방정식을 문제 조건의 방정식과 비교하면 다음을 얻습니다.

엑스 0 = - 1m,

V 0 x = 1m/초,

ㅏ x = - 0.25m/s 2 .

문제가 발생합니다. 빼기 기호의 의미는 무엇입니까? 벡터의 음수 투영은 언제입니까? 벡터가 좌표축을 향하는 경우에만 해당됩니다.

초기 좌표, 속도 및 가속도 벡터를 그림에 나타내겠습니다.

속도 방정식을 다음과 같은 형식으로 작성해 보겠습니다.

수신된 데이터(초기 조건)를 여기에 대입합니다.

2) 이러한 양의 정의를 사용하여 시간에 따른 속도와 가속도의 의존성을 찾아보세요.

해결책.속도와 가속도의 순간 값에 대한 정의를 적용해 보겠습니다.

차별화를 수행하면, V x =1-0.25t, a x = - 0.25m/s 2.

가속도는 시간에 의존하지 않는다는 것을 알 수 있습니다.

3) v x (t)와 a x (t)의 그래프를 그립니다. 그래프의 각 섹션에서 움직임을 특성화합니다.

해결책.시간에 대한 속도의 의존성은 선형이고 그래프는 직선입니다.

t = 0v x = 1m/s에서. t = 4이고 v x = 0입니다.

그래프에서 섹션 "a"의 속도 투영은 양수이고 그 값은 감소한다는 것이 분명합니다. 점이 x축 방향으로 천천히 이동합니다. 섹션 "b"에서는 속도 투영이 음수이고 모듈러스가 증가합니다. 점이 x축 반대 방향으로 가속되어 이동합니다. 결과적으로 그래프와 가로축의 교차점에서 회전이 발생하고 이동 방향이 변경됩니다.

4) 전환점의 좌표와 전환 경로를 결정합니다.

해결책.전환점에서는 속도가 0이라는 점을 다시 한 번 참고하세요. 이 상태에 대해 운동 방정식으로부터 다음을 얻습니다.

두 번째 방정식으로부터 우리는 다음을 얻습니다. 티 pv = 4초. (분명히 이 값을 얻기 위해 그래프를 작성하고 분석할 필요는 없습니다). 이 값을 첫 번째 방정식에 대입해 보겠습니다: x 표면 = -1+4-4 2 /8 = 1m. 점이 어떻게 이동했는지 묘사해 보겠습니다.

그림에서 볼 수 있듯이 회전 경로는 좌표 변경과 같습니다. s 회전 =x 회전 -x 0 =1-(-1)=2 m.

5) 점이 원점을 통과하는 시점은 언제입니까?

해결책.운동 방정식에서 우리는 x = 0을 넣어야 합니다. 우리는 2차 방정식 0=-1+t-t 2 /8 또는 t 2 -8t+8=0을 얻습니다. 이 방정식에는 두 가지 근이 있습니다. . t 1 = 1.17초, t 2 = 6.83초. 실제로 점은 "거기"로 이동할 때와 "뒤로" 이동할 때 좌표 원점을 두 번 통과합니다.

6) 이동 시작 후 5초 동안 해당 지점이 이동한 경로와 이 시간 동안의 변위 및 해당 경로 구간의 평균 지상 속도를 구합니다.

해결책.우선 5초 이동 후 점이 끝나는 좌표를 찾아 그림에 표시해 봅시다.

x(5)=-1+5-5 2 /8= 0.875m.

이 상태에서 지점은 회전 후에 위치하므로 이동한 거리는 더 이상 좌표(이동)의 변화와 동일하지 않지만 회전 전 경로라는 두 가지 항으로 구성됩니다.

s 1 = x 표면 - x 0 = 1 - (-1) = 2m

그리고 차례가 지나면

s 2 = x 표면 - x(5) = 1 - 0.875 = 0.125m,

s = s1 + s 2 = 2.125m.

점의 변위는

s x = x(5) - x 0 = 0.875 - (-1) = 1.875m

평균 지상 속도는 다음 공식으로 계산됩니다.

고려된 문제는 가장 큰 문제 중 하나를 설명합니다. 단순 유형운동 - 일정한 가속도를 갖는 운동. 그러나 움직임의 본질을 분석하는 이러한 접근 방식은 보편적입니다.

실시예 24.일정한 가속도를 갖는 1차원 운동에서 시간에 대한 입자의 좌표와 속도의 의존성은 다음 관계식으로 설명됩니다.

입자의 좌표와 속도 사이의 연결을 설정합니다.

해결책.이 방정식에서 시간 t를 제외합니다. 이를 위해 대체 방법을 사용합니다. 두 번째 방정식에서 시간을 표현합니다. 첫 번째 방정식으로 대체합니다.

이동이 원점에서 시작되는 경우( 엑스 0 =0) 나머지( V 0 x =0), 결과 종속성은 다음과 같은 형식을 취합니다.

우리 학교 물리학 과목에서 잘 알려져 있어요.

실시예 25.재료 점의 이동은 방정식으로 설명됩니다. 여기서 i와 j는 x와 y축의 단위 벡터이고 α와 β는 양의 상수입니다. 초기 순간에 입자는 x 0 = y 0 = 0 지점에 있었습니다. 입자 궤적 방정식 y(x)를 구합니다.

해결책.문제의 조건은 움직임을 기술하는 벡터 방법을 사용하여 공식화됩니다. 좌표 방법으로 넘어 갑시다. 단위 벡터의 계수는 속도 벡터의 투영입니다. 즉,

먼저, 일급 문제를 해결하여 종속성 x(t)와 y(t)를 얻습니다.

실시예 28.높은 탑에서 시간빠른 속도로 돌을 던졌다 V수평에 대해 각도 α로 0입니다. 찾다:

1) 돌이 움직이는 시간;

2) 땅에 떨어지는 거리는 어느 정도입니까?

3) 어떤 속도로 땅에 떨어질지;

4) 돌이 떨어지는 지점에서 수평선과 돌의 궤적이 어떤 각도 β를 만들 것인가?

5) 이 지점에서 돌의 수직 및 접선 가속도와 궤적의 곡률 반경;

6) 돌을 들어 올리는 최대 높이.

공기 저항을 무시합니다.

해결책.이 문제를 예로 사용하여 이 클래스의 문제를 해결하기 위해 주어진 알고리즘이 어떻게 일반화된 형태로 확립될 수 있는지 보여줄 것입니다.

1. 문제는 지구 중력장에서 물질적 점(돌)의 움직임을 고려합니다. 따라서 이것은 수직으로 아래쪽을 향하는 일정한 중력 가속도 g를 갖는 움직임입니다.

자유 낙하란 무엇입니까? 이것은 공기 저항이 없을 때 시체가 지구로 떨어지는 것입니다. 즉, 공허에 빠지는 것입니다. 물론, 공기저항이 없다는 것은 진공상태인데, 정상적인 조건에서는 지구에서는 찾아볼 수 없는 진공상태이다. 따라서 공기 저항력은 너무 작아서 무시할 수 있으므로 고려하지 않겠습니다.

중력가속도

피사의 사탑에서 유명한 실험을 수행한 갈릴레오 갈릴레이는 질량에 관계없이 모든 물체가 같은 방식으로 지구로 떨어지는 것을 발견했습니다. 즉, 모든 물체의 중력 가속도는 동일합니다. 전설에 따르면 과학자는 탑에서 질량이 다른 공을 떨어 뜨렸다.

중력가속도

중력 가속도는 모든 물체가 지구로 떨어지는 가속도입니다.

중력 가속도는 약 9.81ms 2이며 문자 g로 표시됩니다. 때때로 정확도가 근본적으로 중요하지 않은 경우 중력 가속도는 10ms 2로 반올림됩니다.

지구는 완벽한 구체가 아니며 다양한 지점에서 지구의 표면, 좌표와 해발 고도에 따라 g 값이 달라집니다. 따라서 중력 가속도는 극에서 가장 크고(약 9.83 m s 2) 적도에서 가장 작습니다(약 9.78 m s 2).

자유낙하 몸체

자유낙하의 간단한 예를 살펴보겠습니다. 어떤 물체가 초기 속도가 0인 높이 h에서 떨어지도록 합니다. 우리가 피아노를 높이 h까지 올리고 조용히 놓았다고 가정해 보겠습니다.

자유 낙하 - 직선 운동일정한 가속으로. 신체의 초기 위치 지점에서 지구를 향해 좌표축을 향하게 합시다. 균일하게 가속된 직선 운동에 대한 운동학 공식을 사용하여 다음과 같이 작성할 수 있습니다.

h = v0 + gt22 .

초기 속도가 0이므로 다음과 같이 다시 작성합니다.

여기에서 우리는 높이 h에서 물체가 떨어지는 시간에 대한 표현을 찾습니다.

v = g t를 고려하여 낙하 순간의 신체 속도, 즉 최대 속도를 찾습니다.

v = 2hg · g = 2hg .

마찬가지로, 특정 초기 속도로 수직 위쪽으로 던져진 물체의 움직임을 고려할 수 있습니다. 예를 들어, 우리는 공을 위로 던집니다.

몸을 던지는 지점에서 좌표축이 수직 위쪽을 향하도록 합니다. 이번에는 몸이 똑같이 느리게 움직여 속도가 떨어집니다. 가장 높은 지점에서는 신체의 속도가 0입니다. 운동학 공식을 사용하여 다음과 같이 작성할 수 있습니다.

v = 0으로 대입하면 신체가 최대 높이까지 올라가는 데 걸리는 시간을 알 수 있습니다.

떨어지는 시간은 상승하는 시간과 일치하며 t = 2 v 0 g 이후에 몸은 지구로 돌아옵니다.

수직으로 던져진 신체의 최대 리프팅 높이:

아래 그림을 살펴 보겠습니다. 가속도 a = - g인 세 가지 운동 사례에 대한 신체 속도 그래프를 보여줍니다. 이 예에서는 모든 숫자가 반올림되고 자유 낙하 가속도는 10ms 2로 가정된다고 이전에 지정한 각 항목을 고려해 보겠습니다.

첫 번째 그래프는 초기 속도 없이 특정 높이에서 떨어지는 물체입니다. 하강 시간 tp = 1초. 공식과 그래프를 통해 물체가 떨어진 높이가 h = 5m임을 쉽게 알 수 있습니다.

두 번째 그래프는 초기 속도 v 0 = 10 ms로 수직 위쪽으로 던져진 몸체의 움직임입니다. 최대 리프팅 높이 h = 5m 상승 시간 및 하강 시간 t p = 1s.

세 번째 그래프는 첫 번째 그래프의 연속입니다. 떨어지는 물체는 표면에서 튕겨져 나오며 그 속도는 급격히 반대 방향으로 표시를 바꿉니다. 두 번째 그래프에 따르면 신체의 추가 움직임을 고려할 수 있습니다.

신체의 자유 낙하 문제는 수평선에 대해 특정 각도로 던져진 신체의 운동 문제와 밀접한 관련이 있습니다. 따라서 포물선 궤적을 따른 움직임은 수직 및 수평 축을 기준으로 한 두 개의 독립적인 움직임의 합으로 표현될 수 있습니다.

O Y 축을 따라 몸체는 가속도 g로 균일하게 움직이며, 이 움직임의 초기 속도는 v 0 y입니다. OX 축을 따른 이동은 초기 속도 v 0 x로 균일하고 직선적입니다.

OX 축을 따라 이동하기 위한 조건:

x 0 = 0 ; v 0 x = v 0 cos α ; x = 0 .

O Y 축을 따라 이동하기 위한 조건:

와이 0 = 0 ; v 0 y = v 0 죄 α ; y = - g .

수평에 대해 비스듬히 던져진 물체의 운동에 대한 공식을 제시해 보겠습니다.

본체 비행 시간:

t = 2 v 0 죄 α g .

본체 비행 범위:

L = v 0 2 죄 2 α g .

최대 비행 범위는 각도 α = 45°에서 달성됩니다.

L m a x = v 0 2 g .

최대 리프팅 높이:

h = v 0 2 죄 2 α 2 g .

실제 조건에서 수평선에 대해 비스듬히 던져진 신체의 움직임은 공기 및 바람의 저항으로 인해 포물선과 다른 궤적을 따라 발생할 수 있습니다. 우주에 던져진 신체의 움직임에 대한 연구는 탄도학이라는 특별한 과학입니다.

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유도된 공식을 적용한 예로서 공기 저항이 없을 때 수평선에 대해 비스듬히 던져진 신체의 움직임을 고려해 보겠습니다. 예를 들어, 산 위 해발 높이에 연안 해역을 지키는 대포가 있다고 가정해 보겠습니다. 위치가 반경 벡터에 의해 결정되는 지점에서 초기 속도로 수평선에 대한 각도로 발사체를 발사하도록 합니다(그림 2.16).

쌀. 2.16. 수평에 대해 비스듬히 던져진 신체의 움직임

덧셈.

중력장에서 물질점의 운동방정식 도출

운동 방정식(뉴턴의 제2법칙 방정식)을 작성해 보겠습니다.

이는 동일한 초기 조건 하에서 모든 질량의 물체(재료 지점)가 동일한 방식으로 균일한 중력장에서 움직일 것임을 의미합니다. 방정식 (2.7.2)을 축에 투영해 봅시다. 데카르트 시스템좌표 수평축 오그림에 표시됩니다. 13 점선, 축 오오점을 통해 그려보자 에 대한수직은 위쪽, 수평축은 온스, 또한 지점을 통과합니다. 에 대한, 우리를 향한 벡터에 수직으로 향하게하십시오. 우리는 다음을 얻습니다:

수직 방향은 정의에 따라 벡터의 방향이므로 수평 축에 대한 투영입니다. 황소그리고 오오 0과 같습니다. 두 번째 방정식은 벡터가 아래쪽을 향하고 축이 오오- 위로.

쌀. 2.17. 수평에 대해 비스듬히 던져진 몸의 움직임.

초기 순간에 물체의 위치와 속도를 결정하는 운동 방정식에 초기 조건을 추가해 보겠습니다. t 0, 허락하다 t0 = 0. 그러면 그림에 따르면 2.7.4

일부 함수의 미분 값이 0이면 함수는 첫 번째 및 세 번째 방정식(2.7.3)에서 각각 상수입니다.

두 번째 방정식(2.7.3)에서 도함수는 상수와 같습니다. 이는 함수가 인수에 선형적으로 의존한다는 것을 의미합니다.

(2.7.7)과 (2.7.9)를 결합하여 시간에 따른 좌표축에 대한 속도 투영의 의존성에 대한 최종 표현식을 얻습니다.

세 번째 방정식(2.7.11)은 몸체의 궤적이 평평하고 완전히 평면에 있음을 보여줍니다. XOY는 벡터와 에 의해 정의된 수직 평면입니다. 분명히 마지막 진술은 일반적입니다. 좌표축의 방향을 어떻게 선택하든 수평선에 대해 비스듬히 던져진 물체의 궤적은 평평하며 항상 초기 속도 벡터와 자유에 의해 결정되는 평면에 있습니다. 가을 가속도 벡터.

세 개의 방정식(2.7.10)에 축 , , 및 추가의 단위 벡터를 곱하고 세 개의 방정식(2.7.11)을 사용하여 동일한 작업을 수행하면 입자 속도의 시간 의존성을 얻습니다. 벡터와 그 반경 벡터. 초기 조건을 고려하면 다음과 같습니다.

중력 가속도가 일정한 벡터라는 점을 고려하면 공식 (2.7.12)과 (2.7.13)은 (2.7.2)에서 직접 얻을 수 있습니다. 가속도(속도 벡터의 미분)가 일정하면 속도 벡터는 시간에 선형적으로 의존하고, 시간 미분은 시간에 선형적으로 의존하는 속도 벡터인 반경 벡터는 시간에 2차적으로 의존합니다. 이는 (2.7.4) 형식의 초기 조건에 따라 선택된 상수(상수 벡터)를 사용하여 관계식 (2.7.12) 및 (2.7.13)로 작성됩니다.

특히 (2.7.13)에서 반경 벡터는 일반적인 규칙에 따라 합산된 세 벡터의 합이라는 것이 분명하며 이는 그림 2에 명확하게 표시되어 있습니다. 2.18.

쌀. 2.18. 임의의 시간 t에서의 반경 벡터 r(t)를 세 벡터의 합으로 표현

이 벡터는 다음을 나타냅니다.

여기에는 물리학의 다른 영역에서 다음과 같이 알려진 운동 독립의 원리가 있습니다. 중첩 원리(오버레이). 일반적으로 중첩의 원리에 따르면 여러 영향의 결과 효과는 각 영향의 효과를 개별적으로 합한 것입니다. 이는 운동 방정식의 선형성의 결과입니다.

비디오 2.3. 중력장 내에서 이동할 때 수평 및 수직 이동의 독립성.

던지는 지점에 원점을 두자. 지금 =0 , 이전과 마찬가지로 축이 회전되어 축이 0x수평, 축 0у- 수직이고 초기 속도는 평면에 있습니다. x0y(그림 2.19).

쌀. 2.19. 좌표축에 초기 속도 투영

좌표축에 투영해 보겠습니다((2.7.11) 참조).

비행 경로. 얻은 방정식 시스템에서 시간을 제외하면 티, 그러면 우리는 궤적 방정식을 얻습니다.

이것은 가지가 아래쪽을 향하는 포물선의 방정식입니다.

높은 곳에서 발사할 때의 비행 범위 시간 . 몸이 떨어지는 순간(발사체가 바다 표면에 위치한 목표물에 부딪힙니다). 총에서 목표물까지의 수평 거리는 와 같습니다. 대체 ; 궤적 방정식에 비행 범위에 대한 2차 방정식을 얻습니다.

이차 방정식에는 두 가지 해(이 경우 양수와 음수)가 있습니다. 긍정적인 해결책이 필요합니다. 우리 문제의 이차 방정식의 근에 대한 표준 표현은 다음과 같은 형식으로 축소될 수 있습니다.

에 도달한 경우 h = 0.

최대 비행 범위. 높은 산에서 촬영할 때는 더 이상 그렇지 않습니다. 최대 비행 범위가 달성되는 각도를 찾아 보겠습니다. 각도에 따른 비행 범위의 의존성은 상당히 복잡하며, 최대값을 찾기 위한 차별화 대신 다음과 같이 진행하겠습니다. 시작 각도를 증가시킨다고 상상해 봅시다. 첫째, 비행 범위가 증가하고(공식(2.7.15) 참조) 최대값에 도달한 후 다시 떨어지기 시작합니다(수직 위쪽으로 촬영할 때 0으로). 따라서 최대 비행 범위를 제외한 각 비행 범위에는 두 가지 초기 속도 방향이 있습니다.

비행 범위의 2차 상대성 방정식을 다시 살펴보고 이를 각도 방정식으로 고려해 보겠습니다. 고려해 보면