정의 1

벡터의 스칼라 곱은 이러한 벡터의 다인과 벡터 사이의 각도 코사인의 곱과 같은 숫자입니다.

벡터 a → 및 b →의 곱에 대한 표기법은 a → , b → 형식을 갖습니다. 이를 공식으로 변환해 보겠습니다.

a → , b → = a → · b → · cos a → , b → ^ . a → 및 b →는 벡터의 길이를 나타냅니다. a → , b → ^ -주어진 벡터 사이의 각도 지정. 적어도 하나의 벡터가 0이면, 즉 0의 값을 가지면 결과는 0, a → , b → = 0이 됩니다.

벡터 자체를 곱하면 길이의 제곱을 얻습니다.

a → , b → = a → b → cos a → , a → ^ = a → 2 cos 0 = a → 2

정의 2

벡터 자체의 스칼라 곱셈을 스칼라 제곱이라고 합니다.

다음 공식으로 계산됩니다.

a → , b → = a → · b → · cos a → , b → ^ .

a → , b → = a → · b → · cos a → , b → ^ = a → · n p a → b → = b → · n p b → a → 표기법은 n p b → a →가 a →의 수치 투영임을 보여줍니다. b → , n p a → a → - b → a → 각각 투영.

두 벡터에 대한 곱의 정의를 공식화해 보겠습니다.

두 벡터 a → b →의 스칼라 곱은 각각 투영 b → 방향에 의한 벡터 a → 길이의 곱 또는 투영 a →에 의한 길이 b → 곱이라고 합니다.

좌표의 내적

스칼라 곱은 주어진 평면이나 공간에서 벡터의 좌표를 통해 계산할 수 있습니다.

3차원 공간에서 평면 위의 두 벡터의 스칼라 곱을 주어진 벡터 a → 및 b → 좌표의 합이라고 합니다.

평면에서 주어진 벡터 a → = (a x , a y) , b → = (b x , b y) 의 스칼라 곱을 계산할 때 데카르트 시스템사용:

a → , b → = a x b x + a y by y ,

3차원 공간의 경우 다음 표현이 적용 가능합니다.

a → , b → = a x · b x + a y · b y + a z · b z .

실제로 이것은 스칼라 곱의 세 번째 정의입니다.

그것을 증명해 봅시다.

증거 1

이를 증명하기 위해 벡터 a → = (a x , a y) , b → = (b x , by y) 데카르트 시스템에서.

벡터는 따로 보관해야 합니다.

O A → = a → = a x , a y 및 O B → = b → = b x , b y .

그러면 벡터 A B →의 길이는 A B → = O B → - O A → = b → - a → = (b x - a x , b y - a y) 와 같습니다.

삼각형 O A B 를 생각해 보세요.

A B 2 = O A 2 + O B 2 - 2 · O A · O B · cos (∠ A O B)는 코사인 정리에 기초하여 정확합니다.

조건에 따르면 O A = a → , O B = b → , A B = b → - a → , ∠ A O B = a → , b → ^ 이라는 것이 분명합니다. 이는 벡터 사이의 각도를 찾는 공식을 다르게 작성한다는 의미입니다.

b → - a → 2 = a → 2 + b → 2 - 2 · a → · b → · cos (a → , b → ^) .

그러면 첫 번째 정의에서 b → - a → 2 = a → 2 + b → 2 - 2 · (a → , b →)가 되며, 이는 (a → , b →) = 1 2 · (a → 2를 의미합니다. + b → 2 - b → - a → 2) .

벡터의 길이를 계산하는 공식을 적용하면 다음과 같은 결과를 얻습니다.
a → , b → = 1 2 · ((a 2 x + a y 2) 2 + (b 2 x + b y 2) 2 - ((b x - a x) 2 + (by - a y) 2) 2) = = 1 2 (a 2 x + a 2 y + b 2 x + b 2 y - (b x - a x) 2 - (by - a y) 2) = = a x b x + a y by y

등식을 증명해 보겠습니다.

(a → , b →) = a → b → cos (a → , b → ^) = = a x b x + a y b y + a z b z

– 각각 3차원 공간의 벡터에 대해.

좌표가 있는 벡터의 스칼라 곱은 벡터의 스칼라 제곱이 각각 공간과 평면의 좌표 제곱의 합과 같다는 것을 의미합니다. a → = (a x , a y , a z) , b → = (b x , b y , b z) 및 (a → , a →) = a x 2 + a y 2 .

내적과 그 속성

a →, b → 및 c →에 적용되는 내적의 속성은 다음과 같습니다.

1. 교환성 (a → , b →) = (b → , a →) ;
2. 분배성 (a → + b → , c →) = (a → , c →) + (b → , c →) , (a → + b → , c →) = (a → , b →) + (a → , c →) ;
3. 결합 속성 (λ · a → , b →) = λ · (a → , b →), (a → , λ · b →) = λ · (a → , b →), λ - 임의의 숫자;
4. 스칼라 제곱은 항상 0보다 큽니다 (a → , a →) ≥ 0. 여기서 a → 0인 경우 (a → , a →) = 0입니다.

실시예 1

평면상의 스칼라 곱의 정의와 실수의 덧셈과 곱셈의 속성 덕분에 속성을 설명할 수 있습니다.

교환 성질 (a → , b →) = (b → , a →) 을 증명하십시오. 정의에 따르면 (a → , b →) = a y · b y + a y · b y 및 (b → , a →) = b x · a x + b y · a y입니다.

교환성의 특성에 따라 a x · b x = b x · a x 및 a y · b y = b y · a y 등식은 참입니다. 이는 a x · b x + a y · b y = b x · a x + b y · a y를 의미합니다.

(a → , b →) = (b → , a →) 가 됩니다. Q.E.D.

분배성은 모든 숫자에 유효합니다.

(a (1) → + a (2) → + . . . + a (n) → , b →) = (a (1) → , b →) + (a (2) → , b →) + . . . + (a (n) → , b →)

그리고 (a → , b (1) → + b (2) → + . . + b (n) →) = (a → , b (1) →) + (a → , b (2) →) + . . . + (a → , b → (n)) ,

그러므로 우리는

(a (1) → + a (2) → + . . . + a (n) → , b (1) → + b (2) → + . . . + b (m) →) = = (a ( 1) → , b(1) →) + (a(1) → , b(2) →) + . . . + (a (1) → , b (m) →) + + (a (2) → , b (1) →) + (a (2) → , b (2) →) + . . . + (a (2) → , b (m) →) + . . . + + (a(n) → , b(1) →) + (a(n) → , b(2) →) + . . . + (a(n) → , b(m) →)

예제와 솔루션이 포함된 내적

이런 종류의 문제는 스칼라 곱과 관련된 속성과 공식을 사용하여 해결됩니다.

1. (a → , b →) = a → · b → · cos (a → , b → ^) ;
2. (a → , b →) = a → · n p a → b → = b → · n p b → a → ;
3. (a → , b →) = a x · b x + a y · b y 또는 (a → , b →) = a x · b x + a y · b y + a z · b z ;
4. (a → , a →) = a → 2 .

몇 가지 예시 솔루션을 살펴보겠습니다.

실시예 2

a →의 길이는 3, b →의 길이는 7입니다. 각도가 60도일 때 내적을 구합니다.

해결책

조건에 따라 모든 데이터가 있으므로 다음 공식을 사용하여 계산합니다.

(a → , b →) = a → b → cos (a → , b → ^) = 3 7 cos 60 ° = 3 7 1 2 = 21 2

답: (a → , b →) = 21 2 .

실시예 3

주어진 벡터 a → = (1 , - 1 , 2 - 3) , b → = (0 , 2 , 2 + 3) . 스칼라곱이란 무엇인가?

해결책

이 예에서는 문제 설명에 지정되어 있는 좌표 계산 공식을 고려합니다.

(a → , b →) = a x · b x + a y · b y + a z · b z = = 1 · 0 + (- 1) · 2 + (2 + 3) · (2 ​​​​+ 3) = = 0 - 2 + ( 2 - 9) = - 9

답: (a → , b →) = - 9

실시예 4

A B → 및 A C →의 스칼라 곱을 구합니다. 점 A(1, - 3), B(5, 4), C(1, 1)는 좌표 평면에 제공됩니다.

해결책

우선, 조건에 따라 점의 좌표가 제공되므로 벡터의 좌표가 계산됩니다.

A B → = (5 - 1, 4 - (- 3)) = (4, 7) A C → = (1 - 1, 1 - (- 3)) = (0, 4)

좌표를 사용하여 공식을 대체하면 다음을 얻습니다.

(A B →, A C →) = 4 0 + 7 4 = 0 + 28 = 28.

답: (A B → , AC →) = 28 .

실시예 5

벡터 a → = 7 · m → + 3 · n → 및 b → = 5 · m → + 8 · n → 가 주어지면 해당 곱을 찾으십시오. m →는 3이고 n →는 2단위이며, 그들은 수직입니다.

해결책

(a → , b →) = (7m → + 3n → , 5m → + 8n →) . 분배성 속성을 적용하면 다음을 얻습니다.

(7m → + 3n →, 5m → + 8n →) = = (7m →, 5m →) + (7m →, 8n →) + (3n → , 5m →) + ( 3n → , 8n →)

우리는 제품의 부호에서 계수를 꺼내서 다음을 얻습니다.

(7m → , 5m →) + (7m → , 8n →) + (3n → , 5m →) + (3n → , 8n →) = = 7 · 5 · (m → , m →) + 7 · 8 · (m → , n →) + 3 · 5 · (n → , m →) + 3 · 8 · (n → , n →) = = 35 · (m → , m →) + 56 · (m → , n →) + 15 · (n → , m →) + 24 · (n → , n →)

교환성의 특성에 따라 우리는 다음을 변환합니다.

35 · (m → , m →) + 56 · (m → , n →) + 15 · (n → , m →) + 24 · (n → , n →) = = 35 · (m → , m →) + 56 · (m → , n →) + 15 · (m → , n →) + 24 · (n → , n →) = = 35 · (m → , m →) + 71 · (m → , n → ) + 24 · (n → , n →)

결과적으로 우리는 다음을 얻습니다:

(a → , b →) = 35 · (m → , m →) + 71 · (m → , n →) + 24 · (n → , n →).

이제 조건에 지정된 각도를 사용하여 스칼라 곱에 대한 공식을 적용합니다.

(a → , b →) = 35 · (m → , m →) + 71 · (m → , n →) + 24 · (n → , n →) = = 35 · m → 2 + 71 · m → · n → · cos (m → , n → ^) + 24 · n → 2 = 35 · 3 2 + 71 · 3 · 2 · cos π 2 + 24 · 2 2 = 411 .

답: (a → , b →) = 411

수치적 투영이 있는 경우.

실시예 6

a →와 b →의 스칼라 곱을 구합니다. 벡터 a → 좌표 a → = (9, 3, - 3), 투영 b → 좌표 (- 3, - 1, 1)를 갖습니다.

해결책

조건에 따라 벡터 a →와 투영 b →는 반대 방향으로 향합니다. 왜냐하면 a → = - 1 3 · n p a → b → → 이기 때문입니다. 이는 투영 b →가 길이 n p a → b → →에 해당함을 의미하며 " -" 징후:

n p a → b → → = - n p a → b → → = - (- 3) 2 + (- 1) 2 + 1 2 = - 11 ,

공식을 대체하면 다음과 같은 표현을 얻습니다.

(a → , b →) = a → · n p a → b → → = 9 2 + 3 2 + (- 3) 2 · (- 11) = - 33 .

답: (a → , b →) = - 33 .

벡터의 길이나 수치 투영을 찾아야 하는 알려진 스칼라 곱의 문제입니다.

실시예 7

주어진 스칼라 곱 a → = (1, 0, λ + 1) 및 b → = (λ, 1, λ)에 대해 λ가 취해야 하는 값은 -1과 같습니다.

해결책

공식을 통해 좌표 곱의 합을 구하는 것이 필요하다는 것이 분명해졌습니다.

(a → , b →) = 1 λ + 0 1 + (λ + 1) λ = λ 2 + 2 λ .

(a → , b →) = - 1 이 있다고 가정합니다.

λ를 찾기 위해 다음 방정식을 계산합니다.

λ 2 + 2 · λ = - 1, 따라서 λ = - 1입니다.

답: λ = - 1.

스칼라 곱의 물리적 의미

역학은 내적의 적용을 고려합니다.

A가 일정한 힘 F → 움직이는 물체를 M 지점에서 N으로 작업할 때 벡터 F → 및 M N →의 길이와 두 벡터 사이의 각도 코사인의 곱을 찾을 수 있습니다. 즉, 작업이 동일함을 의미합니다. 힘과 변위 벡터의 곱:

A = (F → , MN →) .

실시예 8

움직이는 재료 포인트축을 기준으로 45도 각도로 5Nton에 해당하는 힘의 영향을 받아 3미터. 을 찾다.

해결책

일은 힘 벡터와 변위의 곱이므로 F → = 5, S → = 3, (F →, S → ^) = 45 ° 조건에 따라 A = (F →, S →) = F → · S → · cos (F → , S → ^) = 5 · 3 · cos (45 °) = 15 2 2 .

답: A = 15 2 2 .

실시예 9

힘 F → = (3, 1, 2) 하에서 M(2, - 1, - 3)에서 N(5, 3 λ - 2, 4)으로 이동하는 물질 점은 13 J와 동일하게 작동했습니다. 계산합니다. 움직임의 길이.

해결책

주어진 벡터 좌표에 대해 M N → M N → = (5 - 2, 3 λ - 2 - (- 1) , 4 - (- 3)) = (3, 3 λ - 1, 7) 이 있습니다.

벡터 F → = (3, 1, 2) 및 M N → = (3, 3 λ - 1, 7)에 대한 작업을 찾는 공식을 사용하여 A = (F ⇒, M N →) = 3 3 + 1 ( 3 λ - 1) + 2 7 = 22 + 3 λ.

조건에 따르면 A = 13 J로 주어지며 이는 22 + 3 λ = 13을 의미합니다. 이는 λ = - 3을 의미하며 이는 M N → = (3, 3 λ - 1, 7) = (3, - 10, 7)을 의미합니다.

이동 길이 M N →를 찾으려면 공식을 적용하고 값을 대체하십시오.

M N → = 3 2 + (- 10) 2 + 7 2 = 158.

답: 158.

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벡터 사이의 각도

두 개의 주어진 벡터 $\overrightarrow(a)$와 $\overrightarrow(b)$를 생각해 보세요. 임의로 선택한 점 $O$에서 $\overrightarrow(a)=\overrightarrow(OA)$ 및 $\overrightarrow(b)=\overrightarrow(OB)$ 벡터를 빼면 각도 $AOB$를 벡터 $\overrightarrow( a)$와 $\overrightarrow(b)$ 사이의 각도입니다(그림 1).

그림 1.

$\overrightarrow(a)$ 및 $\overrightarrow(b)$ 벡터가 동일한 방향이거나 그 중 하나가 0 벡터인 경우 벡터 사이의 각도는 $0^0$입니다.

표기법: $\widehat(\overrightarrow(a),\overrightarrow(b))$

벡터의 스칼라 곱 개념

수학적으로 이 정의는 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

내적은 두 가지 경우에 0이 될 수 있습니다.

벡터 중 하나가 0 벡터인 경우(그러므로 길이는 0입니다).

벡터가 서로 수직인 경우(즉, $cos(90)^0=0$).

또한 이 벡터 사이의 각도가 예각인 경우($(cos \left(\widehat(\overrightarrow(a),\overrightarrow(b))\right)\ ) >0$) 스칼라 곱은 0보다 큽니다. , 그리고 이들 벡터 사이의 각도가 둔각인 경우 0보다 작습니다($(cos \left(\widehat(\overrightarrow(a),\overrightarrow(b))\right)\ )

스칼라 곱의 개념과 관련된 것이 스칼라 제곱의 개념입니다.

정의 2

벡터 $\overrightarrow(a)$의 스칼라 제곱은 이 벡터 자체의 스칼라 곱입니다.

우리는 스칼라 제곱이 다음과 같다는 것을 알았습니다.

\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(a)=\left|\overrightarrow(a)\right|\left|\overrightarrow(a)\right|(cos 0^0\ )=\left|\overrightarrow(a )\right|\left|\overrightarrow(a)\right|=(\left|\overrightarrow(a)\right|)^2\]

벡터 좌표에서 내적 계산

정의에 따라 스칼라 곱의 값을 찾는 표준 방법 외에도 다른 방법이 있습니다.

그것을 고려해 봅시다.

벡터 $\overrightarrow(a)$ 및 $\overrightarrow(b)$가 각각 $\left(a_1,b_1\right)$ 및 $\left(a_2,b_2\right)$ 좌표를 갖는다고 가정합니다.

정리 1

벡터 $\overrightarrow(a)$와 $\overrightarrow(b)$의 스칼라 곱은 해당 좌표의 곱의 합과 같습니다.

수학적으로 이는 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=a_1a_2+b_1b_2\]

증거.

정리가 입증되었습니다.

이 정리에는 여러 가지 결과가 있습니다.

결과 1: 벡터 $\overrightarrow(a)$ 및 $\overrightarrow(b)$는 $a_1a_2+b_1b_2=0$인 경우에만 수직입니다.

결과 2: 벡터 사이의 각도의 코사인은 $cos\alpha =\frac(a_1a_2+b_1b_2)(\sqrt(a^2_1+b^2_1)\cdot \sqrt(a^2_2+b^2_2))$와 같습니다.

벡터의 스칼라 곱의 속성

세 개의 벡터와 실수 $k$에 대해 다음이 참입니다.

$(\overrightarrow(a))^2\ge 0$

이 속성은 스칼라 제곱의 정의(정의 2)를 따릅니다.

여행법:$\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=\overrightarrow(b)\overrightarrow(a)$.

이 속성은 스칼라 곱의 정의(정의 1)를 따릅니다.

분배법칙:

$\left(\overrightarrow(a)+\overrightarrow(b)\right)\overrightarrow(c)=\overrightarrow(a)\overrightarrow(c)+\overrightarrow(b)\overrightarrow(c)$. \end(열거하다)

정리 1에 따르면 다음과 같습니다.

\[\left(\overrightarrow(a)+\overrightarrow(b)\right)\overrightarrow(c)=\left(a_1+a_2\right)a_3+\left(b_1+b_2\right)b_3=a_1a_3+a_2a_3+ b_1b_3 +b_2b_3==\overrightarrow(a)\overrightarrow(c)+\overrightarrow(b)\overrightarrow(c)\]

조합법:$\left(k\overrightarrow(a)\right)\overrightarrow(b)=k(\overrightarrow(a)\overrightarrow(b))$. \end(열거하다)

정리 1에 따르면 다음과 같습니다.

\[\left(k\overrightarrow(a)\right)\overrightarrow(b)=ka_1a_2+kb_1b_2=k\left(a_1a_2+b_1b_2\right)=k(\overrightarrow(a)\overrightarrow(b))\]

벡터의 스칼라 곱을 계산하는 문제의 예

실시예 1

$\left|\overrightarrow(a)\right|=3$ 및 $\left|\overrightarrow(b)\right인 경우 벡터 $\overrightarrow(a)$ 및 $\overrightarrow(b)$의 스칼라 곱을 구합니다. |= 2$이고 그 사이의 각도는 $((30)^0,\ 45)^0,\ (90)^0,\ (135)^0$과 같습니다.

해결책.

정의 1을 사용하면 다음을 얻습니다.

$(30)^0의 경우:$

\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=6(cos \left((30)^0\right)\ )=6\cdot \frac(\sqrt(3))(2)=3\sqrt( 삼)\]

$(45)^0의 경우:$

\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=6(cos \left((45)^0\right)\ )=6\cdot \frac(\sqrt(2))(2)=3\sqrt( 2)\]

$(90)^0의 경우:$

\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=6(cos \left((90)^0\right)\ )=6\cdot 0=0\]

$(135)^0의 경우:$

\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=6(cos \left((135)^0\right)\ )=6\cdot \left(-\frac(\sqrt(2))(2)\ 오른쪽)=-3\sqrt(2)\]

강의: 벡터 좌표; 벡터의 스칼라 곱; 벡터 사이의 각도

벡터 좌표

따라서 앞서 언급했듯이 벡터는 고유한 시작과 끝이 있는 방향이 지정된 세그먼트입니다. 시작과 끝이 특정 점으로 표시되면 평면이나 공간에서 자체 좌표를 갖습니다.

각 점에 고유한 좌표가 있으면 전체 벡터의 좌표를 얻을 수 있습니다.

시작과 끝이 다음과 같은 지정과 좌표를 갖는 벡터가 있다고 가정해 보겠습니다. A(A x ; Ay) 및 B(B x ; By)

주어진 벡터의 좌표를 얻으려면 벡터 끝의 좌표에서 시작의 해당 좌표를 빼야 합니다.

공간에서 벡터의 좌표를 결정하려면 다음 공식을 사용하십시오.

벡터의 내적

스칼라 곱의 개념을 정의하는 방법에는 두 가지가 있습니다.

• 기하학적 방법. 이에 따르면 스칼라 곱은 이들 모듈의 값과 이들 사이의 각도의 코사인을 곱한 것과 같습니다.

• 대수적 의미. 대수학의 관점에서 두 벡터의 스칼라 곱은 해당 벡터의 곱의 합으로 얻은 특정 양입니다.

벡터가 공간에 주어지면 비슷한 공식을 사용해야 합니다:

속성:

• 두 개의 동일한 벡터를 스칼라로 곱하면 스칼라 곱은 음수가 되지 않습니다.

• 두 개의 동일한 벡터의 스칼라 곱이 0인 것으로 판명되면 다음 벡터는 0으로 간주됩니다.

• 특정 벡터에 그 자체를 곱하면 스칼라 곱은 모듈러스의 제곱과 같습니다.

• 스칼라 곱에는 의사소통 속성이 있습니다. 즉, 벡터가 재배열되어도 스칼라 곱은 변경되지 않습니다.

• 0이 아닌 벡터의 스칼라 곱은 벡터가 서로 수직인 경우에만 0과 같을 수 있습니다.

• 벡터의 스칼라 곱의 경우 벡터 중 하나에 숫자를 곱하면 교환법칙이 유효합니다.

• 스칼라 곱을 사용하면 곱셈의 분배 속성을 사용할 수도 있습니다.

벡터 사이의 각도

벡터의 내적

우리는 벡터를 계속해서 다룹니다. 첫 수업에서는 인형용 벡터우리는 벡터의 개념, 벡터를 사용한 동작, 벡터 좌표 및 벡터와 관련된 가장 간단한 문제를 살펴보았습니다. 검색 엔진을 통해 이 페이지를 처음 방문하셨다면 위의 소개 기사를 꼭 읽어 보시기를 강력히 권장합니다. 자료를 익히려면 제가 사용하는 용어와 표기법을 숙지해야 하고, 벡터에 대한 기본 지식이 있어야 하고, 기본적인 문제를 해결할 수 있다. 이 강의는 주제의 논리적 연속이며, 여기서는 벡터의 스칼라 곱을 사용하는 일반적인 작업을 자세히 분석합니다. 이것은 매우 중요한 활동입니다.. 첨부된 예제를 건너뛰지 마세요. 유용한 보너스– 연습은 다룬 자료를 통합하고 분석 기하학의 일반적인 문제를 더 잘 해결하는 데 도움이 됩니다.

벡터의 덧셈, 벡터에 숫자의 곱셈.... 수학자들이 다른 것을 생각해 내지 못했다고 생각하는 것은 순진한 것입니다. 이미 설명한 작업 외에도 벡터를 사용하는 여러 가지 작업이 있습니다. 즉: 벡터의 내적, 벡터의 벡터 곱그리고 벡터의 혼합곱. 벡터의 스칼라 곱은 학교에서 우리에게 친숙합니다. 다른 두 곱은 전통적으로 고등 수학 과정에 속합니다. 주제는 간단하고, 많은 문제를 해결하기 위한 알고리즘은 간단하고 이해하기 쉽습니다. 유일한 것. 정보의 양이 꽤 많기 때문에 모든 것을 한 번에 마스터하고 해결하려고 하는 것은 바람직하지 않습니다. 이것은 특히 인형의 경우에 해당됩니다. 저자는 수학에서 Chikatilo처럼 느껴지기를 절대 원하지 않습니다. 물론 수학도 아닙니다 =) 더 준비된 학생들은 어떤 의미에서 자료를 선택적으로 사용할 수 있으며, 어떤 의미에서는 누락된 지식을 "얻을" 수 있습니다. 저는 무해한 드라큘라 백작이 될 것입니다 =)

마침내 문을 열고 두 벡터가 서로 만날 때 무슨 일이 일어나는지 열정적으로 지켜봅시다...

벡터의 스칼라 곱의 정의.
스칼라 곱의 속성입니다. 일반적인 작업

내적의 개념

먼저 벡터 사이의 각도. 벡터 사이의 각도가 무엇인지는 누구나 직관적으로 이해하고 있다고 생각합니다. 하지만 혹시 모르니 좀 더 자세히 설명하겠습니다. 0이 아닌 자유 벡터와 를 고려해 봅시다. 임의의 점에서 이러한 벡터를 플로팅하면 많은 사람들이 이미 정신적으로 상상했던 그림을 얻을 수 있습니다.

나는 여기서 이해 수준에서만 상황을 설명했음을 인정합니다. 벡터 사이의 각도에 대한 엄격한 정의가 필요한 경우 실제 문제는 교과서를 참조하세요. 원칙적으로는 필요하지 않습니다. 또한 여기와 여기에서는 실제 중요성이 낮기 때문에 제로 벡터를 무시하겠습니다. 나는 일부 후속 진술의 이론적 불완전성에 대해 나를 비난할 수 있는 고급 사이트 방문자를 위해 특별히 예약했습니다.

0~180도(0~라디안)의 값을 사용할 수 있습니다. 분석적으로 이 사실은 이중 부등식의 형태로 표현됩니다. 또는 (라디안 단위).

문헌에서는 각도 기호를 건너뛰고 간단히 쓰는 경우가 많습니다.

정의:두 벡터의 스칼라 곱은 이러한 벡터의 길이와 두 벡터 사이의 각도 코사인을 곱한 것과 같은 NUMBER입니다.

이제 이것은 매우 엄격한 정의입니다.

우리는 필수 정보에 중점을 둡니다.

지정:스칼라 곱은 또는 간단히 표시됩니다.

작업 결과는 NUMBER입니다.: 벡터에 벡터를 곱하면 결과가 숫자가 됩니다. 실제로 벡터의 길이가 숫자이면 각도의 코사인도 숫자이고 그 곱은 숫자이기도 합니다.

몇 가지 준비 예:

실시예 1

해결책:우리는 공식을 사용합니다 . 이 경우:

답변:

코사인 값은 다음에서 찾을 수 있습니다. 삼각법 테이블. 인쇄해 두는 것이 좋습니다. 타워의 거의 모든 섹션에 필요하며 여러 번 필요할 것입니다.

순전히 수학적 관점에서 스칼라 곱은 무차원입니다. 즉, 이 경우 결과는 단지 숫자일 뿐이고 그게 전부입니다. 물리학 문제의 관점에서 스칼라 곱은 항상 특정 물리적 의미를 갖습니다. 즉, 결과 후에 하나 또는 다른 물리적 단위가 표시되어야 합니다. 힘의 작용을 계산하는 표준적인 예는 모든 교과서에서 찾을 수 있습니다(공식은 정확히 스칼라 곱입니다). 힘의 작용은 줄 단위로 측정되므로 답은 예를 들어 매우 구체적으로 작성됩니다.

실시예 2

찾기 이고, 벡터 사이의 각도는 와 같습니다.

이는 다음에 대한 예입니다. 독립적인 결정, 답은 수업이 끝나면 나옵니다.

벡터와 내적 값 사이의 각도

예 1에서는 스칼라 곱이 양수로 나타났고, 예 2에서는 음수로 나타났습니다. 스칼라곱의 부호가 무엇에 달려 있는지 알아봅시다. 공식을 살펴보겠습니다. . 0이 아닌 벡터의 길이는 항상 양수이므로 부호는 코사인 값에만 의존할 수 있습니다.

메모: 아래 정보를 더 잘 이해하려면 매뉴얼의 코사인 그래프를 연구하는 것이 좋습니다 함수 그래프 및 속성. 세그먼트에서 코사인이 어떻게 작동하는지 확인하세요.

이미 언급했듯이 벡터 사이의 각도는 , 다음과 같은 경우가 가능합니다.

1) 만일 모서리벡터 사이 매운: (0~90도), 그런 다음 , 그리고 내적은 양수일 것이다 공동 감독, 그 사이의 각도는 0으로 간주되고 스칼라 곱도 양수입니다. 이후 수식은 다음과 같이 단순화됩니다.

2) 경우 모서리벡터 사이 무딘: (90도에서 180도까지) 그런 다음 , 그리고 이에 따라, 내적은 음수입니다.: . 특별한 경우: 벡터가 반대 방향, 그 사이의 각도가 고려됩니다. 퍼지는: (180도). 스칼라 곱도 음수입니다. 왜냐하면

반대의 진술도 마찬가지입니다.

1) 이면 이들 벡터 사이의 각도는 예각입니다. 또는 벡터는 방향이 동일합니다.

2) 이면, 이들 벡터 사이의 각도는 둔각입니다. 또는 벡터의 방향이 반대입니다.

그러나 세 번째 경우가 특히 흥미롭습니다.

3) 만일 모서리벡터 사이 똑바로: (90도), 그런 다음 스칼라 곱은 0입니다.: . 반대의 경우도 마찬가지입니다: if , then . 이 명령문은 다음과 같이 간결하게 공식화될 수 있습니다. 두 벡터의 스칼라 곱은 벡터가 직교인 경우에만 0입니다.. 짧은 수학 표기법:

! 메모 : 반복하자 수학적 논리의 기초: 양면 논리적 결과 아이콘은 일반적으로 "if and only if", "if and only if"로 읽습니다. 보시다시피 화살표는 양방향으로 향합니다. "이것은 다음과 같고 그 반대도 마찬가지입니다. 저것이 다음입니다." 그런데 단방향 팔로우 아이콘과의 차이점은 무엇인가요? 아이콘 상태 만, "이로부터 이것이 따른다"고 그 반대가 사실이라는 것은 사실이 아닙니다. 예: , 그러나 모든 동물이 표범인 것은 아니므로 이 경우 아이콘을 사용할 수 없습니다. 동시에 아이콘 대신 할 수 있다단면 아이콘을 사용하세요. 예를 들어, 문제를 해결하는 동안 벡터가 직교한다는 결론을 얻었습니다. - 그러한 항목은 정확하고 그보다 훨씬 더 적절할 것입니다. .

세 번째 사례는 실질적인 의미가 크다., 벡터가 직교하는지 여부를 확인할 수 있기 때문입니다. 우리는 수업의 두 번째 섹션에서 이 문제를 해결할 것입니다.

내적의 속성

두 개의 벡터가 있는 상황으로 돌아가 보겠습니다. 공동 감독. 이 경우, 둘 사이의 각도는 0이고, 스칼라 곱 공식은 다음과 같은 형식을 취합니다.

벡터 자체를 곱하면 어떻게 되나요? 벡터가 자체적으로 정렬되어 있음이 분명하므로 위의 단순화된 공식을 사용합니다.

번호가 불려요 스칼라 제곱벡터이며 로 표시됩니다.

따라서, 벡터의 스칼라 제곱은 주어진 벡터 길이의 제곱과 같습니다.

이 동등성으로부터 벡터의 길이를 계산하는 공식을 얻을 수 있습니다.

지금까지는 불분명해 보이지만 수업의 목표는 모든 것을 제자리에 놓을 것입니다. 문제를 해결하려면 우리에게도 필요합니다. 내적의 속성.

임의의 벡터와 숫자의 경우 다음 속성이 true입니다.

1) - 교환 가능 또는 교환적스칼라 곱법.

2) – 배포 또는 분배적인스칼라 곱법. 간단하게 괄호를 열 수 있습니다.

3) – 연관 또는 연관스칼라 곱법. 상수는 스칼라 곱에서 파생될 수 있습니다.

종종 학생들은 모든 종류의 속성(증명도 필요함)을 불필요한 쓰레기로 인식하며, 시험 직후에만 암기하고 안전하게 잊어버리면 됩니다. 여기서 중요한 것은 요소를 재배열해도 제품이 바뀌지 않는다는 것을 모두가 1학년 때 이미 알고 있다는 것입니다. 고등 수학에서는 그러한 접근 방식으로 문제가 발생하기 쉽다는 점을 경고해야 합니다. 따라서 예를 들어 교환 속성은 다음과 같이 성립하지 않습니다. 대수 행렬. 또한 이는 사실이 아닙니다. 벡터의 벡터 곱. 따라서 할 수 있는 것과 할 수 없는 것을 이해하기 위해 최소한 고등 수학 과정에서 접하는 모든 속성을 탐구하는 것이 좋습니다.

실시예 3

.

해결책:먼저 벡터를 통해 상황을 명확히 해보겠습니다. 어쨌든 이것은 무엇입니까? 벡터의 합은 잘 정의된 벡터이며 로 표시됩니다. 벡터를 사용한 동작의 기하학적 해석은 기사에서 찾을 수 있습니다. 인형용 벡터. 벡터가 있는 동일한 파슬리는 벡터와 의 합입니다.

따라서 조건에 따라 스칼라곱을 구하는 과정이 필요하다. 이론적으로는 작업 공식을 적용해야 합니다. , 그러나 문제는 벡터의 길이와 벡터 사이의 각도를 모른다는 것입니다. 그러나 조건은 벡터에 대해 유사한 매개변수를 제공하므로 다른 경로를 택하겠습니다.

(1) 벡터의 표현식을 대체하십시오.

(2) 다항식 곱셈 규칙에 따라 괄호를 엽니 다. 저속한 혀 트위스터는 기사에서 찾을 수 있습니다. 복소수또는 분수-유리 함수 통합하기. 반복하지 않겠습니다 =) 그런데 스칼라 곱의 분배 속성을 사용하면 대괄호를 열 수 있습니다. 우리에게는 권리가 있습니다.

(3) 첫 번째 항과 마지막 항에서 벡터의 스칼라 제곱을 간결하게 작성합니다. . 두 번째 항에서는 스칼라 곱의 교환 가능성을 사용합니다.

(4) 비슷한 용어를 제시합니다.

(5) 첫 번째 항에서는 얼마 전에 언급한 스칼라 제곱 공식을 사용합니다. 따라서 마지막 항에서는 동일한 작업이 수행됩니다. 표준 공식에 따라 두 번째 항을 확장합니다. .

(6) 다음 조건으로 대체 , 최종 계산을 주의 깊게 수행하십시오.

답변:

스칼라 곱의 음수 값은 벡터 사이의 각도가 둔하다는 사실을 나타냅니다.

문제는 일반적입니다. 다음은 직접 해결하는 예입니다.

실시예 4

벡터의 스칼라 곱을 찾고 다음이 알려진 경우 .

이제 벡터 길이에 대한 새로운 공식에 대한 또 다른 일반적인 작업입니다. 여기서 표기법은 약간 겹치므로 명확성을 위해 다른 문자로 다시 작성하겠습니다.

실시예 5

다음과 같은 경우 벡터의 길이를 구합니다. .

해결책다음과 같습니다:

(1) 벡터 에 대한 표현식을 제공합니다.

(2) 길이 공식을 사용합니다: , 전체 표현식 ve는 벡터 "ve"로 작동합니다.

(3) 합의 제곱에 대해서는 학교 공식을 사용합니다. 여기에서 이것이 어떻게 흥미로운 방식으로 작동하는지 주목하세요. – 사실, 그것은 차이의 제곱이고, 실제로는 그렇습니다. 원하는 사람은 벡터를 재배열할 수 있습니다. - 용어 재배열까지 동일한 일이 발생합니다.

(4) 다음은 앞의 두 문제에서 이미 친숙한 내용입니다.

답변:

길이에 대해 이야기하고 있으므로 "단위"라는 치수를 표시하는 것을 잊지 마십시오.

실시예 6

다음과 같은 경우 벡터의 길이를 구합니다. .

이것은 스스로 해결하는 예입니다. 강의가 끝나면 전체 솔루션과 답변이 제공됩니다.

우리는 내적에서 유용한 것들을 계속해서 짜내고 있습니다. 다시 공식을 살펴보자 . 비례 법칙을 사용하여 벡터의 길이를 왼쪽의 분모로 재설정합니다.

부품을 교환해 봅시다:

이 공식의 의미는 무엇입니까? 두 벡터의 길이와 스칼라 곱을 알고 있으면 이러한 벡터 사이의 각도의 코사인과 결과적으로 각도 자체를 계산할 수 있습니다.

내적은 숫자인가요? 숫자. 벡터 길이는 숫자인가요? 숫자. 이는 분수도 숫자임을 의미합니다. 그리고 각도의 코사인이 알려진 경우: , 역함수를 사용하면 각도 자체를 쉽게 찾을 수 있습니다. .

실시예 7

벡터 사이의 각도를 구하고, 알려진 경우 .

해결책:우리는 다음 공식을 사용합니다.

계산의 마지막 단계에서는 분모의 비합리성을 제거하는 기술 기법이 사용되었습니다. 불합리성을 없애기 위해 분자와 분모에 를 곱했습니다.

그래서 만약 , 저것:

역값 삼각함수에 의해 찾을 수 있습니다 삼각법 테이블. 이것은 거의 발생하지 않습니다. 분석기하학 문제에서는 와 같은 서투른 곰과 각도의 값을 대략적으로 계산기를 사용하여 구해야 하는 경우가 훨씬 더 많습니다. 사실 우리는 그런 그림을 두 번 이상 보게 될 것입니다.

답변:

다시 말하지만, 라디안과 도 등의 치수를 표시하는 것을 잊지 마십시오. 개인적으로, 나는 분명히 "모든 질문을 해결"하기 위해 두 가지를 모두 표시하는 것을 선호합니다(물론 조건이 라디안 또는 각도로만 답변을 표시하도록 요구하지 않는 한).

이제 더 복잡한 작업에 독립적으로 대처할 수 있습니다.

예시 7*

벡터의 길이와 벡터 사이의 각도가 주어집니다. 벡터 , 사이의 각도를 구합니다.

작업은 여러 단계로 이루어지기 때문에 그리 어렵지 않습니다.
솔루션 알고리즘을 살펴보겠습니다.

1) 조건에 따라 벡터와 가 이루는 각도를 구해야 하므로 다음 공식을 이용해야 한다. .

2) 스칼라 곱을 구합니다(예제 3, 4 참조).

3) 벡터의 길이와 벡터의 길이를 구합니다(예제 5, 6 참조).

4) 솔루션의 끝은 예제 7과 일치합니다. 숫자를 알고 있습니다. 이는 각도 자체를 쉽게 찾을 수 있음을 의미합니다.

수업이 끝나면 간단한 해결책과 답변을 제공합니다.

이번 강의의 두 번째 섹션에서는 동일한 스칼라 곱에 대해 다룹니다. 좌표. 첫 번째 부분보다 훨씬 쉬울 것입니다.

벡터의 내적,
정규 직교 기준으로 좌표로 제공됨

답변:

말할 필요도 없이 좌표를 다루는 것이 훨씬 더 즐겁습니다.

실시예 14

벡터의 스칼라 곱을 구하고 다음과 같은 경우

이것은 스스로 해결하는 예입니다. 여기에서 연산의 연관성을 사용할 수 있습니다. 즉, 계산하지 않고 즉시 스칼라 곱 외부의 트리플을 가져와 마지막으로 곱합니다. 정답과 정답은 강의 마지막에 있습니다.

단락 끝에는 벡터 길이 계산에 대한 도발적인 예가 나와 있습니다.

실시예 15

벡터의 길이 찾기 , 만약에

해결책:이전 섹션의 방법이 다시 제안됩니다. 그러나 다른 방법도 있습니다.

벡터를 찾아봅시다:

그리고 사소한 공식에 따른 길이 :

내적은 여기서 전혀 관련이 없습니다!

벡터의 길이를 계산할 때도 유용하지 않습니다.
멈추다. 벡터 길이의 명백한 속성을 활용해야 하지 않나요? 벡터의 길이에 대해 무엇을 말할 수 있나요? 이 벡터벡터보다 5배 더 깁니다. 방향은 반대이지만 길이에 대해 이야기하고 있기 때문에 이것은 중요하지 않습니다. 분명히 벡터의 길이는 곱과 같습니다. 기준 치수벡터 길이당 수:
– 모듈러스 기호는 숫자의 가능한 마이너스를 "먹습니다".

따라서:

답변:

좌표로 지정된 벡터 사이의 각도 코사인 공식

이제 우리는 벡터 사이의 각도의 코사인에 대해 이전에 파생된 공식을 사용하기 위한 완전한 정보를 얻었습니다. 벡터 좌표를 통해 표현:

평면 벡터 사이의 각도 코사인그리고 , 정규 직교 기반으로 지정됩니다. 공식으로 표현:
.

공간 벡터 사이의 각도 코사인, 정규 직교 기준으로 지정됨, 공식으로 표현:

실시예 16

삼각형의 세 꼭짓점이 주어졌습니다. (정점 각도)를 찾습니다.

해결책:조건에 따라 도면이 필요하지 않지만 여전히 다음과 같습니다.

필요한 각도는 녹색 호로 표시됩니다. 각도에 대한 학교 지정을 즉시 기억해 봅시다: – 특별한 관심~에 평균문자 - 이것은 우리가 필요로 하는 각도의 꼭지점입니다. 간결하게 하기 위해 간단히 .

그림을 보면 삼각형의 각도가 벡터 사이의 각도와 일치한다는 것이 분명합니다. 즉, 다음과 같습니다. .

정신적으로 분석을 수행하는 방법을 배우는 것이 좋습니다.

벡터를 찾아봅시다:

스칼라 곱을 계산해 보겠습니다.

그리고 벡터의 길이는 다음과 같습니다.

각도의 코사인:

이것이 바로 제가 인형에게 추천하는 작업을 완료하는 순서입니다. 고급 독자는 "한 줄에" 계산을 작성할 수 있습니다.

다음은 "나쁜" 코사인 값의 예입니다. 결과 값은 최종 값이 아니므로 분모의 비합리성을 제거하는 것은 거의 의미가 없습니다.

각도 자체를 찾아 보겠습니다.

그림을 보면 그 결과가 꽤 그럴듯하다. 확인하기 위해 각도기로 각도를 측정할 수도 있습니다. 모니터 커버를 손상시키지 마세요 =)

답변:

대답에서 우리는 그것을 잊지 않습니다 삼각형의 각도에 대해 질문드립니다(벡터 사이의 각도가 아님) 정확한 답과 각도의 대략적인 값을 표시하는 것을 잊지 마십시오. , 계산기를 사용하여 찾았습니다.

이 과정을 즐긴 사람들은 각도를 계산하고 정식 평등의 타당성을 확인할 수 있습니다.

실시예 17

삼각형은 정점의 좌표로 공간에서 정의됩니다. 측면과 측면 사이의 각도를 찾으십시오.

이것은 스스로 해결하는 예입니다. 수업이 끝나면 전체 솔루션과 답변이 제공됩니다.

짧은 마지막 섹션에서는 스칼라 곱과 관련된 예측에 대해 설명합니다.

벡터에 벡터를 투영합니다. 좌표축에 벡터를 투영합니다.
벡터의 방향 코사인

벡터와 다음을 고려하십시오.

이를 위해 벡터의 시작과 끝부터 벡터를 투영해 보겠습니다. 수직벡터로(녹색 점선). 광선이 벡터에 수직으로 떨어지는 것을 상상해보십시오. 그러면 세그먼트(빨간색 선)가 벡터의 "그림자"가 됩니다. 이 경우 벡터에 대한 벡터의 투영은 세그먼트의 LENGTH입니다. 즉, 투영은 숫자입니다.

이 NUMBER는 다음과 같이 표시됩니다. , "큰 벡터"는 벡터를 나타냅니다. 어느프로젝트에서 "작은 첨자 벡터"는 벡터를 나타냅니다. 에예상되는 것.

항목 자체는 다음과 같습니다: "벡터 "a"를 벡터 "be"로 투영."

"be" 벡터가 "너무 짧으면" 어떻게 되나요? 벡터 "be"를 포함하는 직선을 그립니다. 그리고 벡터 "a"는 이미 투영될 것입니다. 벡터 "be" 방향으로, 간단히 - 벡터 "be"를 포함하는 직선으로. 벡터 "a"가 30번째 왕국에서 연기되는 경우에도 동일한 일이 일어날 것입니다. 이는 여전히 벡터 "be"를 포함하는 직선에 쉽게 투영될 것입니다.

만약 각도벡터 사이 매운(그림과 같이) 그런 다음

벡터라면 직교, 그런 다음 (투영은 치수가 0으로 간주되는 점입니다).

만약 각도벡터 사이 무딘(그림에서 벡터 화살표를 정신적으로 재정렬), 그런 다음 (동일한 길이이지만 빼기 기호로 표시).

한 지점에서 이러한 벡터를 플로팅해 보겠습니다.

분명히 벡터가 움직일 때 그 투영은 변하지 않습니다.

벡터 사이의 각도

두 개의 주어진 벡터 $\overrightarrow(a)$와 $\overrightarrow(b)$를 생각해 보세요. 임의로 선택한 점 $O$에서 $\overrightarrow(a)=\overrightarrow(OA)$ 및 $\overrightarrow(b)=\overrightarrow(OB)$ 벡터를 빼면 각도 $AOB$를 벡터 $\overrightarrow( a)$와 $\overrightarrow(b)$ 사이의 각도입니다(그림 1).

그림 1.

$\overrightarrow(a)$ 및 $\overrightarrow(b)$ 벡터가 동일한 방향이거나 그 중 하나가 0 벡터인 경우 벡터 사이의 각도는 $0^0$입니다.

표기법: $\widehat(\overrightarrow(a),\overrightarrow(b))$

벡터의 스칼라 곱 개념

수학적으로 이 정의는 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

내적은 두 가지 경우에 0이 될 수 있습니다.

벡터 중 하나가 0 벡터인 경우(그러므로 길이는 0입니다).

벡터가 서로 수직인 경우(즉, $cos(90)^0=0$).

또한 이 벡터 사이의 각도가 예각인 경우($(cos \left(\widehat(\overrightarrow(a),\overrightarrow(b))\right)\ ) >0$) 스칼라 곱은 0보다 큽니다. , 그리고 이들 벡터 사이의 각도가 둔각인 경우 0보다 작습니다($(cos \left(\widehat(\overrightarrow(a),\overrightarrow(b))\right)\ )

스칼라 곱의 개념과 관련된 것이 스칼라 제곱의 개념입니다.

정의 2

벡터 $\overrightarrow(a)$의 스칼라 제곱은 이 벡터 자체의 스칼라 곱입니다.

우리는 스칼라 제곱이 다음과 같다는 것을 알았습니다.

\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(a)=\left|\overrightarrow(a)\right|\left|\overrightarrow(a)\right|(cos 0^0\ )=\left|\overrightarrow(a )\right|\left|\overrightarrow(a)\right|=(\left|\overrightarrow(a)\right|)^2\]

벡터 좌표에서 내적 계산

정의에 따라 스칼라 곱의 값을 찾는 표준 방법 외에도 다른 방법이 있습니다.

그것을 고려해 봅시다.

벡터 $\overrightarrow(a)$ 및 $\overrightarrow(b)$가 각각 $\left(a_1,b_1\right)$ 및 $\left(a_2,b_2\right)$ 좌표를 갖는다고 가정합니다.

정리 1

벡터 $\overrightarrow(a)$와 $\overrightarrow(b)$의 스칼라 곱은 해당 좌표의 곱의 합과 같습니다.

수학적으로 이는 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=a_1a_2+b_1b_2\]

증거.

정리가 입증되었습니다.

이 정리에는 여러 가지 결과가 있습니다.

결과 1: 벡터 $\overrightarrow(a)$ 및 $\overrightarrow(b)$는 $a_1a_2+b_1b_2=0$인 경우에만 수직입니다.

결과 2: 벡터 사이의 각도의 코사인은 $cos\alpha =\frac(a_1a_2+b_1b_2)(\sqrt(a^2_1+b^2_1)\cdot \sqrt(a^2_2+b^2_2))$와 같습니다.

벡터의 스칼라 곱의 속성

세 개의 벡터와 실수 $k$에 대해 다음이 참입니다.

$(\overrightarrow(a))^2\ge 0$

이 속성은 스칼라 제곱의 정의(정의 2)를 따릅니다.

여행법:$\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=\overrightarrow(b)\overrightarrow(a)$.

이 속성은 스칼라 곱의 정의(정의 1)를 따릅니다.

분배법칙:

$\left(\overrightarrow(a)+\overrightarrow(b)\right)\overrightarrow(c)=\overrightarrow(a)\overrightarrow(c)+\overrightarrow(b)\overrightarrow(c)$. \end(열거하다)

정리 1에 따르면 다음과 같습니다.

\[\left(\overrightarrow(a)+\overrightarrow(b)\right)\overrightarrow(c)=\left(a_1+a_2\right)a_3+\left(b_1+b_2\right)b_3=a_1a_3+a_2a_3+ b_1b_3 +b_2b_3==\overrightarrow(a)\overrightarrow(c)+\overrightarrow(b)\overrightarrow(c)\]

조합법:$\left(k\overrightarrow(a)\right)\overrightarrow(b)=k(\overrightarrow(a)\overrightarrow(b))$. \end(열거하다)

정리 1에 따르면 다음과 같습니다.

\[\left(k\overrightarrow(a)\right)\overrightarrow(b)=ka_1a_2+kb_1b_2=k\left(a_1a_2+b_1b_2\right)=k(\overrightarrow(a)\overrightarrow(b))\]

벡터의 스칼라 곱을 계산하는 문제의 예

실시예 1

$\left|\overrightarrow(a)\right|=3$ 및 $\left|\overrightarrow(b)\right인 경우 벡터 $\overrightarrow(a)$ 및 $\overrightarrow(b)$의 스칼라 곱을 구합니다. |= 2$이고 그 사이의 각도는 $((30)^0,\ 45)^0,\ (90)^0,\ (135)^0$과 같습니다.

해결책.

정의 1을 사용하면 다음을 얻습니다.

$(30)^0의 경우:$

\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=6(cos \left((30)^0\right)\ )=6\cdot \frac(\sqrt(3))(2)=3\sqrt( 삼)\]

$(45)^0의 경우:$

\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=6(cos \left((45)^0\right)\ )=6\cdot \frac(\sqrt(2))(2)=3\sqrt( 2)\]

$(90)^0의 경우:$

\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=6(cos \left((90)^0\right)\ )=6\cdot 0=0\]

$(135)^0의 경우:$

\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=6(cos \left((135)^0\right)\ )=6\cdot \left(-\frac(\sqrt(2))(2)\ 오른쪽)=-3\sqrt(2)\]