3개의 미지수가 있는 3개의 선형 방정식 시스템을 생각해 보세요.

11, 12, …, 33– 미지수에 대한 계수,

b1, b2, b3- 무료 회원.

풀이 시스템(2.4)은 순서가 지정된 삼중 숫자를 찾는 것을 의미합니다. x1 =c1, x2 =c2, x3 =c3,이를 시스템의 방정식으로 대체하면 후자는 항등식으로 변합니다.

해(단일 또는 무한히 많은)를 갖는 방정식 시스템을 다음과 같이 부릅니다. 관절, 해가 없는 방정식 시스템 – 비관절.

시스템(2.4)을 해결하는 세 가지 방법을 제시하겠습니다.

크레이머의 법칙

미지수의 계수로부터 시스템의 행렬식을 구성해 봅시다

(2.5)

이면 시스템(2.4)에는 Cramer의 공식을 사용하여 찾을 수 있는 고유한 솔루션이 있습니다.

여기서 , 는 각각 첫 번째, 두 번째, 세 번째 열을 시스템 (2.4)의 자유 항 열로 대체하여 행렬식에서 얻습니다.

(2.7)

실시예 7.시스템을 해결하다

우리는 시스템의 행렬식(2.5)과 행렬식(2.6)을 계산합니다.

따라서 시스템에는 고유한 솔루션이 있습니다.

Cramer의 공식(2.6)을 사용하여 다음을 찾습니다.

미지수의 값을 시스템 방정식에 대입하여 확인할 수 있습니다.

그래서, 엑스 1 =엑스 2 =엑스 3 =1– 시스템의 솔루션.

가우스법

시스템(2.4)을 고려하십시오.

미지수를 순차적으로 제거하는 방법인 가우시안 방법은 다음과 같습니다. 시스템의 두 번째 및 세 번째 방정식에서 제외하겠습니다. x 1. 우리는 시스템을 얻습니다.

우리는 삼각형 시스템을 얻습니다. 세 번째 방정식에서 우리는 다음을 찾습니다. x 3, 이를 두 번째 방정식에 대입하면 다음과 같습니다. x 2, 첫 번째 방정식에서 우리는 다음을 찾습니다. x 1, 이를 대신하여 x 2그리고 x 3.

실시예 8.시스템을 해결하다

세 번째 방정식과 첫 번째 방정식을 재정렬하여 첫 번째 방정식의 계수가 x 1 1과 같았습니다.

제외하자 x 1두 번째와 세 번째 방정식으로부터. 이렇게 하려면 첫 번째 방정식에 (-4)를 곱하고 이를 두 번째 방정식에 추가합니다. 그런 다음 첫 번째 방정식에 (-6)을 곱하고 이를 세 번째 방정식에 추가합니다. 우리는 시스템을 얻습니다.

제외하자 x 2세 번째 방정식에서. 이렇게 하려면 두 번째 방정식에 (-13/10)을 곱하고 이를 세 번째 방정식에 추가합니다. 우리는 시스템을 얻습니다.

우리가 찾은 마지막 방정식에서 x 3= -1, 두 번째 방정식으로 대체:

10x 2 - 13(-1) = -7, -10x 2 = - 20, x 2 = 2.

대체 x 2그리고 x 3첫 번째 방정식에 우리는 다음을 얻습니다.

따라서 시스템에 대한 솔루션은 다음과 같습니다. x 1 = 1, x 2 = 2, x 3 = -1.

다음을 사용하여 시스템을 해결합니다. 역행렬

주어진 시스템: (2.8)

행렬을 만들어보자 ㅏ미지수의 계수로부터 열 행렬 엑스– 미지수, 행렬-열에서 안에– 무료 회원 중에서.

,

시스템(2.8)은 다음과 같이 행렬 형식으로 작성할 수 있습니다.

매트릭스 솔루션 엑스다음 공식으로 구합니다.

A-1– 행렬의 역행렬 ㅏ, 이는 행렬 요소의 대수적 추가로 구성됩니다. ㅏ공식 (2.3)에 따르면:

– 행렬의 행렬식 또는 행렬식 ㅏ, .

실시예 9.시스템을 해결하십시오:

행렬을 소개하겠습니다. ,

역행렬은 예 6에서 계산되었습니다. 공식(2.9)을 사용하여 시스템에 대한 해를 찾습니다.

그래서, x 1=1, x 2=1, x 3=1.

벡터 대수학의 요소

벡터- 방향성 세그먼트; 또는로 표시됩니다. ㅏ– 벡터의 시작, 안에- 끝.

길이또는 기준 치수 벡터는 으로 표시됩니다.

쌀. 21.

0xyz 좌표 공간에서 벡터는 다음과 같이 표현될 수 있습니다.

(3.1)

이 공식은 벡터를 기저로 확장벡터 , , ; , , - 직사각형 데카르트 좌표벡터(그렇지 않으면 좌표축에 벡터를 투영함).

공식 (3.1)은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

– 벡터의 좌표는 , , 입니다.

길이벡터의 (계수)는 다음 공식으로 구합니다.

. (3.2)

벡터가 원점의 좌표로 주어지면 A(x 1 ,y 1 ,z 1)그리고 끝 B(x2,y2,z2), 다음 공식을 사용하여 좌표를 찾습니다.

좌표축을 따른 벡터의 확장이 알려진 경우 벡터를 추가(빼기)하면 동일한 이름의 좌표가 추가(빼기)되고, 벡터에 숫자를 곱하면 벡터의 좌표에 이 숫자가 곱해집니다. , 즉.

(3.4)

내적벡터 및 로 표시되는 은 이러한 벡터의 길이와 벡터 사이의 각도의 코사인을 곱한 것과 같은 숫자입니다.

. (3.5)

그렇다면

. (3.6)

벡터와 동일선상의(병렬) 그런 다음

. (3.7)

벡터와 직교(수직), 그런 다음

또는 (3.8)

실시예 10.부여된 포인트 A 1(1,0,-1), A 2(2,-1,1), A 3(0,1,-2). 벡터 대수학을 사용하여 무엇을 찾을지 고려:

1) 벡터의 좌표와 .

우리는 공식 (3.3)을 사용합니다:

2) 벡터 좌표

공식 (3.4)와 (3.5)를 사용하여 우리는 다음을 얻습니다.

또는 1.2. 삼각형의 규칙에 따르면: , 벡터의 길이는 입니다. 답변:

3. 주어진 점 A(0,-2,3), B(2,1,4), C(3,4,5). 찾다:

a) 벡터의 좌표(투영) 및

b) 벡터 좌표

c) 벡터 길이

4. 주어진 벡터 찾기 스칼라 곱벡터

5. 벡터 및 가 동일선상에 있음을 증명하십시오.

6. 벡터가 직교임을 증명하십시오.

우리는 시스템의 주요 결정 요인을 구성합니다

계산해 보세요.

그런 다음 추가 결정 요인을 구성합니다.

계산해 보세요.

Cramer의 법칙에 따르면 시스템의 해는 다음 공식을 사용하여 구합니다.

;
;
,만약에

1)

계산해보자:

Cramer의 공식을 사용하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다.

답: (1; 2; 3)

2)

계산해보자:

주요 결정 요인이기 때문에
, 그리고 적어도 하나의 추가 1은 0이 아닙니다(우리의 경우
), 시스템에 해결책이 없습니다.

3)

계산해보자:

모든 행렬식이 0이기 때문에 시스템에는 다음과 같이 찾을 수 있는 무한한 수의 해가 있습니다.

시스템을 직접 해결하세요.

ㅏ)
비)

답: a) (1; 2; 5) b) ;;

주제에 대한 실습 3번:

두 벡터의 내적과 그 응용

1. 주어진 경우
그리고
, 다음 공식을 사용하여 스칼라 곱을 찾습니다.

∙

2. 그렇다면 이 두 벡터의 스칼라 곱은 다음 공식으로 구됩니다.

1. 두 개의 벡터가 주어졌을 때
그리고

우리는 다음과 같이 스칼라 곱을 찾습니다.

.

2. 두 개의 벡터가 주어집니다:

={2;3;–4}
={1; –5; 6}

스칼라 곱은 다음과 같습니다.

3.
,

3.1 직선 경로에서 일정한 힘의 작용 구하기

1) 15N의 힘의 영향으로 몸이 2m 직선으로 움직였습니다. 힘과 운동 방향 사이의 각도 =60 0. 물체를 움직이는 힘이 한 일을 계산합니다.

주어진:

해결책:

2) 주어진 :

해결책:

3) 물체가 60N의 힘을 받아 M(1; 2; 3) 지점에서 N(5; 4; 6) 지점으로 이동했습니다. 힘의 방향과 변위 벡터 사이의 각도 =45 0. 이 힘이 한 일을 계산해 보세요.

해결책: 변위 벡터 찾기

변위 벡터의 모듈 찾기:

공식에 따르면
직업을 찾을:

3.2 두 벡터의 직교성 결정

두 벡터는 다음과 같은 경우 직교합니다.
, 그건

왜냐하면

1)

– 직교하지 않음

2)

-직교

3) 벡터의 가 무엇인지 결정합니다.
그리고
서로 직교합니다.

왜냐하면
, 저것
, 수단

스스로 결정하십시오:

ㅏ)

. 스칼라 제품을 찾으십시오.

b) 힘이 생산하는 일의 양을 계산합니다.
, 직선으로 이동하는 적용 지점이 M 지점(5; -6; 1)에서 N(1; -2; 3) 지점으로 이동한 경우

c) 벡터가 직교하는지 확인
그리고

답변: a) 1 b) 16 c) 예

3.3 벡터 사이의 각도 찾기

1)

. 찾다 .

우리는 찾는다

공식으로 대체하십시오 :

.

1). 주어진 삼각형의 꼭짓점은 A(3; 2; –3), B(5; 1; –1), C(1; –2; 1)입니다. 꼭지점 A의 각도를 구합니다.

이를 공식에 대입해 보겠습니다.

스스로 결정하십시오:

주어진 삼각형의 꼭짓점은 A(3; 5; -2), B(5; 7; -1), C(4; 3; 0)입니다. 꼭지점 A의 내각을 결정합니다.

답: 90시

주제에 대한 실습 4번:

두 벡터의 벡터 곱과 그 응용.

두 벡터의 외적을 구하는 공식:

	처럼 보인다

1) 벡터 곱의 계수를 구합니다.

행렬식을 구성하고 계산해 봅시다(Sarrus의 규칙 또는 행렬식을 첫 번째 행의 요소로 확장하는 정리를 사용하여).

첫 번째 방법: Sarrus의 규칙에 따름

방법 2: 행렬식을 첫 번째 행의 요소로 확장합니다.

2) 벡터 곱의 계수를 구합니다.

4.1. 두 벡터를 기반으로 한 평행사변형의 면적 계산.

1) 벡터를 기반으로 만들어진 평행사변형의 면적을 계산합니다.

2). 벡터 곱과 모듈러스 찾기

4.2. 삼각형의 면적 계산하기

예: 주어진 삼각형의 정점은 A(1; 0; -1), B(1; 2; 0), C(3; -1; 1)입니다. 삼각형의 면적을 계산하십시오.

먼저, 같은 꼭지점에서 나오는 두 벡터의 좌표를 구해 봅시다.

벡터 제품을 찾아봅시다

4.3. 두 벡터의 공선성 결정

벡터의 경우
그리고
동일선상에 있는 경우

즉, 벡터의 좌표는 비례해야 합니다.

a) 주어진 벡터::
,
.

그들은 동일 선상에 있습니다. 왜냐하면
그리고

각 분수를 줄인 후 비율을 얻습니다.

b) 주어진 벡터:

.

그들은 동일선상에 있지 않습니다. 왜냐하면
또는

스스로 결정하십시오:

a) 벡터의 m과 n 값은 무엇입니까?
동일선상?

답변:
;

b) 벡터 곱과 그 모듈러스를 구합니다.
,
.

답변:
,
.

주제에 대한 실습 5번:

비행기의 직선

문제 번호 1. 직선과 평행한 점 A(-2; 3)를 통과하는 직선의 방정식을 구합니다.

1. 선의 기울기를 구하세요
.

각도 계수와 초기 세로 좌표가 있는 직선의 방정식입니다(
). 그렇기 때문에
.

2. 선 MN과 AC는 평행하므로 각도 계수는 동일합니다.
.

3. 직선 AC의 방정식을 찾기 위해 주어진 각도 계수를 갖는 점을 통과하는 직선의 방정식을 사용합니다.

. 대신 이 공식에서 그리고 대신 A(-2; 3) 지점의 좌표를 대체합니다. 대체하자 – 3. 대체의 결과로 우리는 다음을 얻습니다:

답변:

작업 번호 2. 직선과 평행한 점 K(1; –2)를 통과하는 직선의 방정식을 구합니다.

1. 선의 기울기를 구해보자.

이것 일반 방정식직선, 즉 일반적인 견해공식에 의해 주어진다. 방정식을 비교하면 A = 2, B = -3이라는 것을 알 수 있습니다. 방정식에 의해 주어진 직선의 기울기는 공식에 의해 구됩니다
. 이 공식에 A = 2와 B = -3을 대입하면 직선 MN의 기울기를 얻습니다. 그래서,
.

2. MN과 KS 선은 평행하므로 각도 계수는 동일합니다.
.

3. 직선 KS의 방정식을 찾기 위해 주어진 각도 계수를 가진 점을 통과하는 직선 방정식의 공식을 사용합니다.
. 대신 이 공식에서 그리고 대신에 점 K(-2; 3)의 좌표를 대체해 보겠습니다.

문제 번호 3. 선에 수직인 점 K(–1; –3)을 통과하는 선의 방정식을 구합니다.

1. 직선의 일반 방정식은 다음과 같은 일반적인 형태로 표현됩니다.

A = 3, B = 4라는 것을 알 수 있습니다.

방정식으로 주어진 직선의 기울기는 다음 공식으로 구합니다.
. 이 공식에 A = 3과 B = 4를 대입하면 직선 MN의 기울기를 얻습니다.
.

2. MN과 KD 선은 수직이므로 각도 계수는 반비례하고 부호가 반대입니다.

.

3. 직선 KD의 방정식을 찾기 위해 주어진 각도 계수로 점을 통과하는 직선 방정식의 공식을 사용합니다.

. 대신 이 공식에서 그리고 대신에 점 K(–1;–3)의 좌표를 대체해 보겠습니다. 대체하자 대체의 결과로 우리는 다음을 얻습니다:

스스로 결정하십시오:

1. 직선과 평행한 점 K(-4; 1)을 통과하는 직선의 방정식을 구합니다.
.

답변:
.

2. 직선과 평행한 점 K(5; –2)를 통과하는 직선의 방정식을 구합니다.
.

3. 직선에 수직인 점 K(-2, -6)을 통과하는 직선의 방정식을 구합니다.
.

4. 직선에 수직인 점 K(7; –2)를 통과하는 직선의 방정식을 구합니다.
.

답변:
.

5. 점 K(-6; 7)에서 직선으로 떨어진 수직선의 방정식을 구합니다.
.

문제 1

Cramer의 공식과 Gauss의 방법을 사용하여 선형 방정식 시스템을 푸는 두 가지 방법

1) Cramer 방법을 사용하여 선형 대수 방정식 Ax = B의 비균질 시스템을 해결합니다.

시스템 D의 행렬식은 0이 아닙니다. 보조 행렬식 D 1, D 2, D 3을 찾아 보겠습니다. 0이 아니면 해가 없고, 같으면 무한한 수의 해가 있습니다.

3개의 미지수가 있고 행렬식이 0이 아닌 3개의 선형 방정식 시스템은 항상 일관되며 다음 공식으로 계산되는 고유한 해를 갖습니다.

대답: 우리는 해결책을 얻었습니다:

2) 가우스 방법을 사용하여 선형 대수 방정식 Ax = B의 비균질 시스템을 해결합니다.

시스템의 확장된 행렬을 만들어 봅시다

첫 번째 줄을 가이드로 사용하고 요소 a 11 = 1을 가이드로 사용하겠습니다. 안내선을 사용하면 첫 번째 열에 0이 표시됩니다.

선형 방정식 시스템의 해 세트에 해당합니다.

대답: 우리는 해결책을 얻었습니다:

문제 2

삼각형 ABC의 꼭지점 좌표가 주어지면

찾다:

1) 변 AB의 길이

4) 중앙값 AE의 방정식;

주어진 삼각형과 좌표계의 모든 선을 구성하십시오.

A(1; -1), B(4; 3). C(5;1).

1) 점 A 사이의 거리( x 1; 1시에) 및 B( x 2; 2시에)는 공식에 의해 결정됩니다

이를 사용하여 변 AB의 길이를 구합니다.

2) 변 AB와 BC의 방정식과 각도 계수;

평면의 주어진 두 점을 지나는 직선의 방정식 A( x 1; 1시에) 및 B( x 2; 2시에) 형식을 갖습니다.

점 A와 B의 좌표를 (2)에 대입하면 변 AB의 방정식을 얻습니다.

결과 방정식을 각도 계수가 있는 직선 방정식의 형태로 변환하여 직선 AB의 각도 계수 k AB를 찾습니다. 와이 =kx - 비.

, 즉, 어디서부터

마찬가지로 직선 BC의 방정식을 얻고 각도 계수를 찾습니다.

점 B와 C의 좌표를 (2)에 대입하면 변 BC에 대한 방정식을 얻습니다.

결과 방정식을 각도 계수가 있는 직선 방정식의 형태로 변환하여 직선 BC의 BC의 각도 계수 k를 찾습니다. 와이 =kx - 비.

, 그건

3) 꼭지점 B의 내부 각도(라디안 단위, 정확도 0.01)

삼각형의 내부 각도를 찾으려면 다음 공식을 사용합니다.

이 분수의 분자에서 각도 계수 간의 차이를 계산하는 절차는 직선 AB와 BC의 상대적 위치에 따라 달라집니다.

이전에 계산된 k BC 및 k AB 값을 (3)에 대입하면 다음을 알 수 있습니다.

이제 엔지니어링 마이크로 계산기가 있는 테이블을 사용하여 B » 1.11 rad를 얻습니다.

4) 중앙값 AE의 방정식;

중앙값 AE의 방정식을 작성하려면 먼저 세그먼트 BC의 중간에 있는 점 E의 좌표를 찾습니다.

점 A와 E의 좌표를 방정식 (2)에 대체하면 중앙 방정식을 얻습니다.

5) 높이 CD의 방정식과 길이;

높이 CD에 대한 방정식을 작성하기 위해 주어진 점 M( x 0 ; 와이 0) 주어진 기울기로 케이, 이는 다음과 같은 형식을 갖습니다.

직선 AB와 CD의 수직성 조건은 k AB k CD = -1 관계로 표현됩니다. 여기서 k CD = -1/k AB = - 3/4입니다.

k 대신 (4)에 k 값 k C D = -3/4를 대입하고 대신 엑스 0 , 와이 0 점 C의 해당 좌표를 사용하여 높이 CD에 대한 방정식을 얻습니다.

높이 CD의 길이를 계산하기 위해 주어진 점 M( x 0 ; 와이 0)를 방정식 Ax+ By + C = 0을 사용하여 주어진 직선으로 변환합니다. 형식은 다음과 같습니다.

대신 (5)로 대체 x 0 ; 와이 0점 C의 좌표, A, B, C 대신 직선 AB 방정식의 계수를 얻습니다.

6) 변 AB에 평행한 점 E와 높이 CD와 교차하는 점 M을 통과하는 직선의 방정식

원하는 직선 EF가 직선 AB와 평행하므로 k EF = k AB = 4/3입니다. 대신 방정식 (4)로 대체 x 0 ; 와이 0점 E의 좌표, 그리고 k 값 대신에 k EF 직선의 방정식을 얻습니다. EF".

점 M의 좌표를 찾기 위해 선 EF와 CD의 방정식을 공동으로 풉니다.

따라서 M(5.48, 0.64)입니다.

7) 꼭지점 B를 지나는 점 E를 중심으로 하는 원의 방정식

원은 점 E(4.5; 2)에 중심을 두고 정점 B(4; 3)를 통과하므로 반지름은 다음과 같습니다.

중심이 M 0인 반경 R 원의 정식 방정식( x 0 ; 와이 0) 형식을 갖습니다.

삼각형 ABC, 높이 CD, 중앙값 AE, 직선 EF, 점 M 및 그림 1의 x0y 좌표계에 구성된 원.

문제 3

점 A(2, 5)까지의 거리가 직선까지의 거리 y = 1과 동일한 각 점에 대해 선의 방정식을 작성합니다. 결과 곡선을 좌표계에 그립니다.

해결책

M ( 엑스, y) - 원하는 곡선의 현재 지점. 수직 MB를 점 M에서 직선 y = 1(그림 2)로 떨어뜨려 보겠습니다. 그런 다음 B(x; 1)입니다. MA = MB이므로

선형 방정식 시스템은 함께 고려되는 여러 선형 방정식의 집합입니다.

시스템은 미지수가 얼마든지 있는 방정식을 얼마든지 가질 수 있습니다.

방정식 시스템에 대한 해법은 시스템의 모든 방정식을 만족시키는, 즉 이를 항등식으로 변환하는 미지의 값 집합입니다.

솔루션이 있는 시스템을 일관성이라고 하며, 그렇지 않으면 일관성이 없다고 합니다.

시스템을 해결하기 위해 다양한 방법이 사용됩니다.

허락하다
(방정식의 수는 미지수의 수와 같습니다).

크레이머 방식

3개의 미지수가 있는 3개의 선형 방정식 시스템을 풀어보세요.

(7)

알려지지 않은 것을 찾으려면
Cramer의 공식을 적용해 보겠습니다.

(8)

어디 - 미지수의 계수가 요소인 시스템의 행렬식:

.

행렬식의 첫 번째 열을 대체하여 얻습니다. 무료 회원 열:

.

비슷하게:

;
.

예시 1. Cramer의 공식을 사용하여 시스템을 해결합니다.

.

해결 방법: 공식 (8)을 사용해 보겠습니다.

;

;

;

;

답변:
.

모든 시스템에 대해 선형 방정식 미지수는 다음과 같이 기술될 수 있습니다.

매트릭스 솔루션

행렬 방법을 사용하여 3개의 미지수를 갖는 3개의 선형 방정식의 시스템 (7)을 푸는 것을 고려해 보겠습니다.

행렬 곱셈의 규칙을 사용하여 이 방정식 시스템은 다음과 같이 작성할 수 있습니다.
, 어디

.

매트릭스를 보자 비퇴화, 즉
. 왼쪽 행렬 방정식의 양변에 행렬을 곱하면
, 역행렬 , 우리는 다음을 얻습니다:
.

고려해 보면
, 우리는

(9)

예시 2.행렬 방법을 사용하여 시스템을 해결합니다.

.

해결책: 행렬을 소개하겠습니다.

- 미지수의 계수로부터;

- 무료 회원 열입니다.

그런 다음 시스템은 행렬 방정식으로 작성될 수 있습니다.
.

공식 (9)를 사용해 봅시다. 역행렬을 구해보자
공식 (6)에 따르면:

;

.

따라서,

갖다:

.

답변:
.

미지수의 순차적 제거 방법(가우스법)

사용된 방법의 주요 아이디어는 미지수를 순차적으로 제거하는 것입니다. 3개의 미지수를 갖는 3개의 방정식 시스템을 사용하여 이 방법의 의미를 설명하겠습니다.

.

가정해보자
(만약에
, 그런 다음 계수가 다음과 같은 방정식을 첫 번째 방정식으로 선택하여 방정식의 순서를 변경합니다. 0과 같지 않음).

첫 번째 단계: a) 방정식을 나눕니다.
~에
; b) 결과 방정식에 다음을 곱합니다.
그리고 에서 빼기
; c) 그런 다음 결과에 다음을 곱합니다.
그리고 에서 빼기
. 첫 번째 단계의 결과로 우리는 다음과 같은 시스템을 갖게 됩니다.

,

두 번째 단계: 방정식을 다룹니다.
그리고
방정식과 정확히 동일
.

결과적으로 원래 시스템은 소위 단계적 형식으로 변환됩니다.

변환된 시스템에서 모든 미지수는 어려움 없이 순차적으로 결정됩니다.

논평. 실제로는 방정식 시스템 자체가 아니라 계수, 미지수 및 자유항의 행렬을 단계적으로 축소하는 것이 더 편리합니다.

예시 3.가우스 방법을 사용하여 시스템을 해결합니다.

.

등가 기호 ~를 사용하여 한 행렬에서 다른 행렬로의 전환을 작성합니다.

~
~
~
~

~
.

결과 행렬을 사용하여 변환된 시스템을 작성합니다.

.

답변:
.

참고: 시스템에 고유한 솔루션이 있는 경우 단계 시스템은 삼각형 시스템, 즉 마지막 방정식에 미지수가 하나 포함되는 시스템으로 축소됩니다. 불확실한 시스템, 즉 미지수의 수가 선형 독립 방정식의 수보다 큰 경우에는 마지막 방정식에 하나 이상의 미지수가 포함되므로 삼각 시스템이 존재하지 않습니다(시스템은 다음을 갖습니다). 무한한 수의 솔루션). 시스템이 일관성이 없으면 단계적 형태로 축소한 후 적어도 하나의 형태의 가치
, 즉 모든 미지수의 계수가 0이고 우변이 0이 아닌 방정식입니다(시스템에 해가 없음). 가우스 방법은 임의의 선형 방정식 시스템에 적용 가능합니다.
그리고 ).

선형 연립방정식의 해를 구하기 위한 존재 정리

가우스 방법을 사용하여 선형 방정식 시스템을 풀 때 질문에 대한 대답은 다음과 같습니다. 이 시스템계산이 끝날 때만 주어질 수 있습니다. 그러나 해 자체를 찾지 않고 방정식 시스템의 호환성 또는 비호환성 문제를 해결하는 것이 중요한 경우가 많습니다. 이 질문에 대한 답은 다음 Kronecker-Capelli 정리에 의해 제공됩니다.

시스템을 부여하자
선형 방정식 알려지지 않은:

(10)

시스템 (10)이 일관성을 가지려면 시스템 매트릭스의 순위가 필요하고 충분합니다.

.

확장 행렬의 순위와 동일했습니다.

.

게다가 만약에
, 시스템(10)은 고유한 솔루션을 갖습니다. 만약에
, 그러면 시스템에는 무한한 수의 솔루션이 있습니다.

선형 방정식의 동차 시스템(모든 자유 항은 0과 같음)을 고려하십시오.

.

이 시스템은 해가 0이므로 항상 일관성이 있습니다.

다음 정리는 시스템이 0이 아닌 해를 갖는 조건을 제공합니다.

테레마. 균질한 선형 방정식 시스템이 영 해를 갖기 위해서는 행렬식이 필요하고 충분합니다. 0과 같았습니다:

.

따라서 만약
, 그렇다면 해결책은 유일한 것입니다. 만약에
, 그러면 0이 아닌 다른 해는 무한히 많습니다. 이 경우 3개의 미지수가 있는 3개의 선형 방정식의 동차 시스템에 대한 해를 찾는 방법 중 하나를 나타냅니다.
.

증명할 수 있는 경우
, 첫 번째와 두 번째 방정식이 불균형(선형 독립)이면 세 번째 방정식은 처음 두 방정식의 결과입니다. 세 개의 미지수가 있는 세 방정식의 동차 연립방정식의 해는 세 개의 미지수가 있는 두 방정식의 해로 축소됩니다. 임의의 값을 할당할 수 있는 소위 자유 미지수가 나타납니다.

예시 4.시스템의 모든 솔루션을 찾으십시오.

.

해결책. 이 시스템의 결정자

.

따라서 시스템에는 솔루션이 없습니다. 예를 들어 처음 두 방정식은 비례하지 않으므로 선형 독립입니다. 세 번째는 처음 두 가지의 결과입니다(첫 번째 방정식에 두 번째 방정식을 두 번 더하면 알 수 있습니다). 이를 거부하면 세 가지 미지수를 갖는 두 방정식의 시스템을 얻습니다.

.

예를 들어,
, 우리는 얻는다

.

두 개의 선형 방정식 시스템을 풀면 다음과 같이 표현됩니다. 그리고 ~을 통해 :
. 따라서 시스템에 대한 솔루션은 다음과 같이 작성할 수 있습니다.
, 어디 - 임의의 숫자.

실시예 5.시스템의 모든 솔루션을 찾으십시오.

.

해결책. 이 시스템에는 독립 방정식이 하나만 있다는 것을 쉽게 알 수 있습니다(다른 두 방정식은 이에 비례합니다). 세 개의 미지수가 있는 세 개의 방정식으로 구성된 시스템이 세 개의 미지수가 있는 하나의 방정식으로 축소되었습니다. 두 개의 자유 미지수가 나타납니다. 예를 들어 첫 번째 방정식에서 찾기
임의의 그리고 , 우리는 이 시스템에 대한 솔루션을 얻습니다. 해의 일반적인 형태는 다음과 같이 작성할 수 있습니다. 그리고 - 임의의 숫자.

자가 테스트 질문

시스템 해결을 위한 Cramer의 법칙 공식화 선형 방정식 알려지지 않은.

시스템을 해결하는 매트릭스 방법의 본질은 무엇입니까?

선형 방정식 시스템을 푸는 가우스의 방법은 무엇입니까?

크로네커-카펠리 정리를 기술하시오.

동차 선형 방정식 시스템에 대한 0이 아닌 해가 존재하기 위한 필요 충분 조건을 공식화합니다.

자가 해결의 예

시스템의 모든 솔루션을 찾으십시오.

1.
; 2.
;

3.
; 4.
;

5.
; 6.
;

7.
; 8.
;

9.
; 10.
;

11.
; 12.
;

13.
; 14.
;

15.
.

어떤 값으로 결정 그리고 방정식 시스템

a) 고유한 솔루션이 있습니다.

b) 해결책이 없습니다.

c) 무한히 많은 솔루션이 있습니다.

16.
; 17.
;

다음 동종 시스템의 모든 솔루션을 찾으십시오.

18.
; 19.
;

20.
; 21.
;

22.
; 23.
;

예시에 대한 답변

1.
; 2.
; 3. 文; 4. 文;

5.
- 임의의 숫자.

6.
, 어디 - 임의의 숫자.

7.
; 8.
; 9. 文; 10. │

11.
, 어디 - 임의의 숫자.

12. , 어디서 그리고 - 임의의 숫자.

13.
; 14.
어디 그리고 - 임의의 숫자.

15. │ 16. 가)
; 비)
; V)
.

17. 가)
; 비)
; V)
;

18.
; 19.
; 20., 어디서 - 임의의 숫자.

21. , 어디서 - 임의의 숫자.

22. , 어디서 - 임의의 숫자.

23. , 어디서 그리고 - 임의의 숫자.

3개의 미지수가 있는 3개의 선형 방정식 시스템은 다음과 같은 형식을 갖습니다.

어디 a, b, c, d, e, f, g, h, p, q, r, s – 주어진 숫자; x, y, z- 알려지지 않은. 숫자 ㅏ, 비, 씨, 이자형, 에프, g, 피, 큐, 아르 자형 – 계수 알려지지 않은 ; 디, 시간, 에스 – 무료 회원.

3개의 미지수를 갖는 1차 방정식의 정규형 .

방정식의 경우1 학위 3 알려지지 않은 엑스, 와이그리고 지, 특정 변환을 수행하면 방정식을 (정규라고 하는) 형식으로 가져옵니다. 여기서 방정식의 왼쪽에는 세 개의 항만 있습니다.엑스, 또 다른 ~에 그리고 세 번째는 지, 오른쪽에는 미지수를 포함하지 않는 용어가 하나 있습니다.

예:

방정식:

5엑스 – 3~에 – 4지 = –12.

일반적인 모습은 다음과 같습니다 :

도끼 + by + cz = d,
어디에이, 비, 씨 그리고디 일부 상대적인 숫자 .

3개의 미지수가 있는 2개와 1개의 방정식의 불확실성 .

예:

우리에게 시스템이 주어졌다고 가정해보자. 2 방정식3 알려지지 않은:

예를 들어, 알려지지 않은 것을 하나 할당해 봅시다. 지, 임의의 숫자라고 가정합니다. 1 , 이 번호를 대신 사용하세요. 지:

이것이 우리가 시스템을 얻은 방법입니다 2 방정식2 알려지지 않은. 어떤 식으로든 해결하면 찾을 수 있습니다. :
x = 2, y = 3 ;

이는 이 시스템이 3 미지수는 다음과 같이 만족됩니다.
x = 2 ; 와이 = 3; z = 1.

이제 모르는 사람에게 넘겨주자 지예를 들어 다른 의미 z = 0, 이 값을 이 방정식 시스템에 대체하면 다음과 같습니다. :

우리는 시스템을 다시 얻을 것입니다 2 방정식2 알려지지 않은. 어떤 식으로든 해결하면 찾을 수 있습니다. :

x = 20 / 11 = 1 9 / 11 ;
와이 = 2 4 / 11 .

이는 이 시스템이 다음과 같은 경우에 만족됨을 의미합니다.

x = 1 9 / 11 ;
와이 = 2 4 / 11 그리고
z = 0 .

임명한지 좀 더 (세 번째) 값을 얻으면 시스템을 다시 얻을 수 있습니다. 2 방정식2 알려지지 않은 것으로부터 우리는 새로운 가치를 발견합니다. 엑스 그리고~에. 이후지원하는 만큼 다양한 번호를 할당할 수 있습니다. 엑스 그리고~에 우리는 원하는만큼 많은 값을 얻을 수 있습니다 (취한 값에 해당 지 ).수단, 2 방정식3 미지의 문제는 수많은 솔루션을 허용합니다 ;즉, 그러한
체계 불확실한 .

만약 그렇다면 불확실성은 더 커질 것이다.1 방정식 c 3 알려지지 않은. 그러면 어떤 사람들에게는 가능할 것입니다2 미지수는 임의의 숫자를 할당합니다. 두 개의 미지수에 대해 임의로 취한 값을 이 방정식에 대체하면 세 번째 미지수를 이 방정식에서 찾을 수 있습니다.
세 가지 미지수에 대한 구체적인 수치를 찾을 수 있도록엑스, ~에그리고 지, 시스템을 지정하는 것이 필요합니다3 방정식. 이러한 시스템은 방정식을 더하거나 빼거나 대입하여 풀 수 있습니다. 다음 예를 사용하여 이러한 방법의 사용을 보여드리겠습니다(각 방정식은 이전에 정규 형식으로 축소되었습니다).

예:

대체방법 .

예를 들어 첫 번째 방정식과 같은 일부 방정식에서 우리는 미지의 것을 결정합니다. 엑스, 다른 두 미지수의 함수로 :

모든 방정식에서 엑스 같은 숫자를 의미하면 찾은 표현식을 제자리에 대체할 수 있습니다. 엑스 나머지 방정식에 :

따라서 우리는 시스템에 도달합니다. 2 방정식2 알려지지 않은~에 그리고지. 앞서 설명한 방법 중 하나를 사용하여 이 시스템을 해결한 후 다음의 수치 값을 찾습니다. ~에 그리고지 . 이 예에서는 다음 값이 됩니다. : y = 3, z = 2;이 숫자를 우리가 도출한 표현식으로 대체하면 엑스, 이것도 미지의 것을 찾아보자 :

따라서 제안된 시스템은 해결책을 가지고 있다.

x =1, y = 3, z = 2

(검증으로 확인할 수 있는 것).

덧셈이나 뺄셈의 방법 .

에서3 이 방정식 중 두 가지를 예로 들어 보겠습니다. 1 -e 및2 -e, 예를 들어 미지의 것 앞에서 계수를 균등화했습니다. 지, 우리는 덧셈이나 뺄셈을 통해 알 수 없는 것을 제외합니다. ;이것으로부터 우리는 하나의 방정식 c를 얻습니다. 2 알려지지 않은엑스 그리고~에. 그러면 다음에서 다른 두 방정식을 살펴보겠습니다. 3 데이터(예:1 -e 및3 -이자형(또는 2 -e 및3 -이자형), 그리고 같은 방식으로 우리는 그들로부터 동일한 미지의 것을 제외합니다. 지;이것으로부터 우리는 또 다른 방정식을 얻습니다. 엑스 그리고~에:

결과 두 방정식을 풀어 봅시다 :

x = 1, y = 3 .

이 숫자를 주어진 세 가지 방정식 중 하나에 삽입해 보겠습니다. 예를 들어 첫 번째 방정식에 :

3×1 – 2×3 + 5 지 = 7;
5 지 = 7 – 3 + 6 = 10;
지 = 2.

논평.

동일한 두 가지 방법으로 시스템을 가져올 수 있습니다.4 방정식 4 시스템에 알려지지 않음3 방정식 3 알 수 없음(및 이 시스템 - 시스템에2 방정식 2 알 수 없음 등). 일반적으로 시스템중방정식 중우리가 시스템으로 이어질 수 있는 미지의 정보중 –1 방정식 중 –1 알 수 없음(그리고 이 시스템에서 시스템으로중 –2 방정식 중 –2 알 수 없음 등).

방정식 시스템의 일부 특별한 경우 .

각 방정식에 모든 미지수가 포함되지 않은 경우 .

예:

이 경우 일부 방정식에서는 특정 미지수가 이미 제외되었기 때문에 시스템이 평소보다 빠르게 해결됩니다. 가능한 한 빨리 하나의 미지수가 있는 하나의 방정식에 도달하려면 어떤 미지수와 어떤 방정식을 제외해야 하는지 알아내기만 하면 됩니다. 이 예에서는 제외 지~에서1 일과3 차 방정식과V ~에서2 일과1 와, 우리가 가져갈게2 방정식엑스 그리고~에: