통합 상태 시험의 확률 이론 문제를 해결합니다. 통합 상태 시험의 확률 이론 문제 해결 확률 통합 상태 시험 프로필 이론의 시작

$A$ 사건의 확률은 동일하게 가능한 모든 결과 수에 대한 $A$에 유리한 결과 수의 비율입니다.

$P(A)=(m)/(n)$, 여기서 $n$은 가능한 결과의 총 개수이고 $m$은 $A$ 사건에 유리한 결과의 개수입니다.

사건의 확률은 $$ 세그먼트의 숫자입니다.

택시 회사에는 50달러짜리 자동차 재고가 있습니다. 그 중 $35$는 검은색이고 나머지는 노란색입니다. 노란색 자동차가 무작위 호출에 응답할 확률을 구하십시오.

노란색 자동차의 수를 구해 봅시다:

총 $50$의 자동차가 있습니다. 즉, 50분의 1이 전화에 응답합니다. 노란색 자동차는 $15$이므로 노란색 자동차가 도착할 확률은 $(15)/(50)=(3)/(10)=0.3$입니다.

답: $0.3$

반대 이벤트

주어진 테스트에서 두 가지 이벤트가 호환되지 않고 그 중 하나가 반드시 발생하는 경우 반대 이벤트라고 합니다. 반대 사건의 확률은 1이 됩니다. 사건 $A$의 반대 사건은 $((A))↖(-)$로 표시됩니다.

$P(A)+P((A))↖(-)=1$

독립 이벤트

두 사건 $A$와 $B$는 각각의 발생 확률이 다른 사건의 발생 여부에 의존하지 않는 경우 독립이라고 합니다. 그렇지 않으면 이벤트를 종속이라고 합니다.

두 개의 독립 사건 $A$와 $B$의 곱의 확률은 다음 확률의 곱과 같습니다.

$P(A·B)=P(A)·P(B)$

Ivan Ivanovich는 두 개의 다른 복권을 구입했습니다. 첫 번째 복권에 당첨될 확률은 $0.15입니다. 두 번째 복권이 당첨될 확률은 $0.12$입니다. Ivan Ivanovich는 두 추첨에 모두 참여합니다. 무승부가 서로 독립적으로 진행된다고 가정하고, 이반 이바노비치가 두 무승부 모두에서 승리할 확률을 구하십시오.

확률 $P(A)$ - 첫 번째 티켓이 승리합니다.

확률 $P(B)$ - 두 번째 티켓이 승리합니다.

$A$ 및 $B$ 이벤트는 독립적인 이벤트입니다. 즉, 두 사건이 모두 발생할 확률을 찾으려면 확률의 곱을 찾아야 합니다.

$P(A·B)=P(A)·P(B)$

$Р=0.15·0.12=0.018$

답: $0.018$

호환되지 않는 이벤트

$A$ 이벤트와 $B$ 이벤트 모두에 유리한 결과가 없으면 $A$ 및 $B$ 두 이벤트는 호환되지 않는 것으로 간주됩니다. (동시에 일어날 수 없는 사건)

두 개의 호환되지 않는 사건 $A$ 및 $B$의 합 확률은 다음 사건 확률의 합과 같습니다.

$P(A+B)=P(A)+P(B)$

대수학 시험에서 학생은 모든 시험 문제 중 하나의 문제를 얻습니다. 이것이 이차 방정식에 관한 질문일 확률은 $0.3$입니다. 이것이 무리 방정식 문제일 확률은 $0.18$입니다. 이 두 가지 주제에 동시에 관련된 질문은 없습니다. 학생이 시험에서 이 두 가지 주제 중 하나에 대한 질문을 받을 확률을 구하십시오.

학생이 "2차 방정식" 주제 또는 "무리 방정식" 주제에 대한 질문을 받게 되므로 이러한 이벤트를 호환되지 않는 이벤트라고 합니다. 주제를 동시에 찾을 수 없습니다. 두 개의 호환되지 않는 사건 $A$ 및 $B$의 합 확률은 다음 사건 확률의 합과 같습니다.

$P(A+B)=P(A)+P(B)$

$P = 0.3+0.18=0.48$

답변: $0.48$

공동 이벤트

두 사건 중 하나의 발생이 동일한 시행에서 다른 사건의 발생을 배제하지 않는 경우 두 사건을 결합이라고 합니다. 그렇지 않으면 이벤트가 호환되지 않는다고 합니다.

두 개의 결합 사건 $A$와 $B$의 합 확률은 이들 사건의 확률의 합에서 해당 곱의 확률을 뺀 것과 같습니다.

$P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A B)$

영화관에는 동일한 기계 두 대가 커피를 판매합니다. 하루가 끝날 때까지 기계에 커피가 떨어질 확률은 $0.6$입니다. 두 기계 모두 커피가 떨어질 확률은 $0.32$입니다. 하루가 끝날 때까지 적어도 하나의 기계에서 커피가 떨어질 확률을 구하십시오.

이벤트를 표시해 보겠습니다.

$A$ = 첫 번째 머신에서는 커피가 다 떨어지고,

$B$ = 두 번째 머신에 커피가 다 떨어집니다.

$A·B =$ 두 머신 모두 커피가 떨어지며,

$A + B =$ 커피는 적어도 하나의 머신에서 다 떨어질 것입니다.

조건에 따르면 $P(A) = P(B) = 0.6; P(A·B) = $0.32.

$A$와 $B$ 사건은 결합이며, 두 결합 사건의 합 확률은 이러한 사건의 확률 합계와 해당 사건의 확률을 곱한 값으로 나눈 값과 같습니다.

$P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A B) = 0.6 + 0.6 − 0.32 = 0.88$

현재까지 가져온 열린 항아리수학의 통합 상태 시험 문제(mathege.ru)는 확률의 고전적 정의인 단 하나의 공식을 기반으로 하는 솔루션입니다.

공식을 이해하는 가장 쉬운 방법은 예제를 이용하는 것입니다.
예시 1.바구니 안에 빨간색 공 9개와 파란색 공 3개가 있습니다. 공은 색상만 다릅니다. 우리는 그 중 하나를 무작위로 (보지 않고) 꺼냅니다. 이렇게 선택한 공이 파란색일 확률은 얼마입니까?

코멘트.확률 이론의 문제에서는 다른 결과, 즉 결과를 가져올 수 있는 일이 발생합니다(이 경우 공을 당기는 행위). 결과는 다양한 방식으로 볼 수 있다는 점에 유의해야 합니다. “우리는 어떤 종류의 공을 꺼냈다”는 결과도 있습니다. "우리는 파란 공을 꺼냈다" - 결과. "우리는 가능한 모든 공에서 정확히 이 공을 꺼냈습니다." - 결과에 대한 이러한 최소한의 일반화된 관점을 기본 결과라고 합니다. 확률을 계산하는 공식에서 의미하는 것은 기본 결과입니다.

해결책.이제 파란색 공을 선택할 확률을 계산해 보겠습니다.
이벤트 A: “선택한 공이 파란색으로 판명되었습니다”
가능한 모든 결과의 총 개수: 9+3=12(추출할 수 있는 모든 공의 개수)
이벤트 A에 유리한 결과 수: 3(이벤트 A가 발생한 결과 수, 즉 파란색 공의 수)
P(A)=3/12=1/4=0.25
답: 0.25

같은 문제에 대해 빨간 공을 선택할 확률을 계산해 보겠습니다.
가능한 결과의 총 수는 12로 동일하게 유지됩니다. 유리한 결과의 수: 9. 구하는 확률: 9/12=3/4=0.75

어떤 사건이 일어날 확률은 항상 0과 1 사이에 있습니다.
때때로 일상 대화에서(확률 이론에서는 아님!) 사건의 확률이 백분율로 추정됩니다. 수학 점수와 대화 점수 사이의 전환은 100%를 곱하거나 나누어 수행됩니다.
그래서,
더욱이, 일어날 수 없는 사건의 확률은 0입니다. 예를 들어, 이 예에서는 바구니에서 녹색 공을 꺼낼 확률이 됩니다. (공식으로 계산하면 유리한 결과의 개수는 0, P(A)=0/12=0 입니다)
확률 1에는 옵션 없이 반드시 발생하는 사건이 있습니다. 예를 들어, "선택한 공이 빨간색이거나 파란색일 것"이라는 확률은 우리 작업에 대한 것입니다. (우호적인 결과의 수: 12, P(A)=12/12=1)

우리는 확률의 정의를 설명하는 전형적인 예를 살펴보았습니다. 확률 이론에서 통합 상태 시험의 모든 유사한 문제는 이 공식을 사용하여 해결됩니다.
빨간색과 파란색 공 대신 사과와 배, 소년과 소녀, 배운 티켓과 배우지 않은 티켓, 일부 주제에 대한 질문이 포함된 티켓과 포함되지 않은 티켓(프로토타입), 결함이 있는 고품질 가방 또는 정원 펌프(프로토타입)가 있을 수 있습니다. ,) - 원칙은 동일하게 유지됩니다.

특정 날짜에 일부 사건이 발생할 확률을 계산해야 하는 통합 상태 시험의 확률 이론 문제 공식화에서는 약간 다릅니다. ( , ) 이전 문제와 마찬가지로 기본 결과가 무엇인지 결정한 다음 동일한 공식을 적용해야 합니다.

예시 2.회의는 3일 동안 진행됩니다. 첫 번째와 두 번째 날에는 15명의 발표자가 있고, 세 번째 날에는 20명이 발표합니다. 보고 순서가 추첨으로 결정된다면 M 교수의 보고가 세 번째 날에 나올 확률은 얼마입니까?

여기서 기본 결과는 무엇입니까? – 교수 보고서에 연설에 사용할 수 있는 모든 일련번호 중 하나를 할당합니다. 15+15+20=50명이 추첨에 참여합니다. 따라서 M 교수의 보고서는 50개 이슈 중 하나를 받을 수 있다. 이는 기본 결과가 50개만 있음을 의미합니다.
유리한 결과는 무엇입니까? - 교수가 3일차에 연설할 것으로 밝혀진 것. 즉, 마지막 20개의 숫자입니다.
공식에 따르면 확률 P(A)= 20/50=2/5=4/10=0.4
답: 0.4

여기서 제비를 뽑는 것은 사람과 질서 있는 장소 사이의 무작위적 대응을 나타냅니다. 예시 2에서는 특정 인물이 어떤 장소를 차지할 수 있는지에 대한 매칭을 고려하였다. 다른 쪽에서도 동일한 상황에 접근할 수 있습니다. 어떤 확률을 가진 사람이 특정 장소에 도달할 수 있는지(프로토타입, , , ):

예시 3.추첨에는 독일인 5명, 프랑스인 8명, 에스토니아인 3명이 포함됩니다. 첫 번째(/두 번째/7번째/마지막 – 상관없음)가 프랑스인일 확률은 얼마입니까?

기본 결과 수는 추첨을 통해 주어진 장소에 들어갈 수 있는 모든 가능한 사람의 수입니다. 5+8+3=16명.
유리한 결과 - 프랑스어. 8명.
필수 확률: 8/16=1/2=0.5
답: 0.5

프로토타입은 약간 다릅니다. 다소 창의적인 동전()과 주사위()에 대해서는 여전히 문제가 남아있습니다. 이러한 문제에 대한 해결책은 프로토타입 페이지에서 찾을 수 있습니다.

다음은 동전이나 주사위를 던지는 몇 가지 예입니다.

예시 4.동전을 던졌을 때 앞면이 나올 확률은 얼마나 됩니까?
앞면 또는 뒷면의 2가지 결과가 있습니다. (동전은 결코 가장자리에 떨어지지 않는다고 믿어집니다.) 유리한 결과는 뒷면입니다. 1.
확률 1/2=0.5
답: 0.5.

실시예 5.동전을 두 번 던지면 어떻게 될까요? 두 번 모두 앞면이 나올 확률은 얼마입니까?
가장 중요한 것은 두 개의 동전을 던질 때 어떤 기본 결과를 고려할 것인지 결정하는 것입니다. 두 개의 동전을 던진 후 다음 결과 중 하나가 발생할 수 있습니다.
1) PP – 두 번 모두 앞면이 나왔습니다.
2) PO – 첫 번째 앞면, 두 번째 앞면
3) OP – 처음에는 앞면이 나오고 두 번째에는 뒷면이 나옵니다.
4) OO – 두 번 모두 앞면이 나왔습니다.
다른 옵션은 없습니다. 이는 4개의 기본 결과가 있음을 의미합니다. 첫 번째 결과인 1만 유리한 것입니다.
확률: 1/4=0.25
답: 0.25

두 번의 동전 던지기에서 뒷면이 나올 확률은 얼마입니까?
기본 결과의 수는 4로 동일합니다. 유리한 결과는 두 번째와 세 번째인 2입니다.
한쪽 꼬리가 나올 확률: 2/4=0.5

이러한 문제에서는 다른 공식이 유용할 수 있습니다.
동전을 한 번 던지는 동안 가능한 옵션 2개의 결과가 있고, 두 번 던지면 결과는 2 2 = 2 2 = 4(예 5에서와 같이)이고, 세 번 던지면 2 2 2 = 2 3 = 8이고, 네 번 던지면 2 2 2 2 =2 4 =입니다. 16, ... N번 던지면 가능한 결과는 2·2·...·2=2 N이 됩니다.

즉, 동전을 5번 던져서 앞면이 5번 나올 확률을 알 수 있습니다.
총 기본 결과 수: 2 5 =32.
유리한 결과: 1. (RRRRRR – 5번 모두 앞면)
확률: 1/32=0.03125

주사위도 마찬가지다. 한 번 던지면 6가지 결과가 나올 수 있으므로 두 번 던지면 6 6 = 36, 세 번 던지면 6 6 6 = 216 등이 됩니다.

실시예 6.우리는 주사위를 던집니다. 짝수가 나올 확률은 얼마나 되나요?

총 결과: 면 수에 따라 6개.
호의적: 결과 3개. (2, 4, 6)
확률: 3/6=0.5

실시예 7.우리는 주사위 두 개를 던졌습니다. 합계가 10이 될 확률은 얼마입니까? (가장 가까운 소수점 이하로 반올림)

하나의 주사위에는 6가지 가능한 결과가 있습니다. 이는 위의 규칙에 따르면 두 사람의 경우 6·6=36이라는 의미입니다.
총합이 10이 되면 어떤 결과가 유리할까요?
10은 1부터 6까지 두 숫자의 합으로 분해되어야 합니다. 이는 두 가지 방법으로 수행할 수 있습니다: 10=6+4 및 10=5+5. 이는 큐브에 대해 다음 옵션이 가능함을 의미합니다.
(첫 번째는 6개, 두 번째는 4개)
(첫 번째는 4개, 두 번째는 6개)
(첫 번째에 5개, 두 번째에 5개)
총 3가지 옵션. 필수 확률: 3/36=1/12=0.08
답: 0.08

다른 유형의 B6 문제는 향후 해결 방법 기사에서 논의될 것입니다.

무작위 이벤트 – 어떤 경험의 결과로 발생할 수도 있고 발생하지 않을 수도 있는 모든 사건.

사건의 확률 아르 자형유리한 결과 수의 비율과 동일 케이가능한 결과의 수 N, 즉.

p=\frac(k)(n)

확률 이론의 덧셈과 곱셈 공식

이벤트 \bar(A) ~라고 불리는 사건 A와 반대로, 사건 A가 발생하지 않은 경우.

확률의 합 반대 사건의 수는 1과 같습니다. 즉

P(\bar(A)) + P(A) =1

• 사건의 확률은 1보다 클 수 없습니다.
• 사건의 확률이 0이면 사건은 일어나지 않습니다.
• 사건의 확률이 1이면 그 사건이 일어날 것입니다.

확률 덧셈 정리:

"양립할 수 없는 두 사건의 합의 확률은 이들 사건의 확률의 합과 같습니다."

P(A+B) = P(A) + P(B)

개연성 금액두 개의 공동 이벤트공동 발생을 고려하지 않고 이러한 사건의 확률의 합과 같습니다.

P(A+B) = P(A) + P(B) - P(AB)

확률 곱셈 정리

"두 사건이 발생할 확률은 첫 번째 사건이 발생한 조건에서 계산된 두 사건 중 하나의 확률과 다른 사건의 조건부 확률을 곱한 것과 같습니다."

P(AB)=P(A)*P(B)

이벤트 호출된다 호환되지 않는, 그들 중 하나의 출현이 다른 것의 출현을 배제하는 경우. 즉, 하나의 특정 이벤트 또는 다른 이벤트만 발생할 수 있습니다.

이벤트 호출된다 관절, 그 중 하나의 발생이 다른 것의 발생을 배제하지 않는 경우.

두 개의 무작위 이벤트 A와 B가 호출됩니다. 독립적인, 그 중 하나의 발생이 다른 발생 확률을 변경하지 않는 경우. 그렇지 않으면 사건 A와 B를 종속 사건이라고 합니다.

11학년 때 확률 이론 과정을 반복합니다. 통합 상태 시험 준비.

A + B 사건의 합 A 그리고비 사건의 발생으로 구성된 사건을 사건이라고 한다.ㅏ , 또는 이벤트안에 , 또는둘 다 이러한 이벤트.

예. 허락하다 ㅏ - 비가 온다 비 - 그럼 눈이 온다 (A + B) - 비, 눈, 또는 눈이 내리는 비, 즉 강수량;

ㅏ - 디스코에 갔다. 비 - 그럼 도서관에 가자 (A + B) -디스코에 가거나 도서관에 갔다. 즉, 집을 떠났다.

이벤트가 호출됩니다.호환되지 않는, 그들 중 하나의 출현이 다른 것의 출현을 배제하는 경우. 즉, 하나의 특정 이벤트 또는 다른 이벤트만 발생할 수 있습니다.

예를 들어, 주사위를 던질 때 짝수 점수를 얻는 이벤트와 홀수 점수를 얻는 이벤트를 구분할 수 있습니다. 이러한 이벤트는 호환되지 않습니다.

호환되지 않는 사건의 확률을 추가하는 정리

정리 . 두 가지 양립할 수 없는 사건 중 하나가 발생할 확률은 어느 것이든 상관없이 이러한 사건의 확률의 합과 같습니다.

P(A + B) = P(A) + P(B) .

예. 항아리 안에는 30개의 공이 있습니다: 빨간색 10개, 파란색 5개, 흰색 15개. 색깔 있는 공이 나올 확률을 구해 보세요.

해결책 . 색깔 있는 공의 모양은 빨간색 또는 파란색 공의 모양을 의미합니다.

빨간 공이 나타날 확률(사건 A)

P(A) = 10/30 = 1/3.

파란 공이 나타날 확률(사건 B)

P(B) = 5/30 = 1/6.

이벤트 ㅏ 그리고 안에 일관성이 없으므로(한 색상의 공의 모양은 다른 색상의 공의 모양을 배제함) 덧셈 정리가 적용 가능합니다.

공식에 따르면 원하는 확률은

P(A + B) = P(A) + P(B) = 1/3 + 1/6 = 1/2 .

예. 한 번에 주사위에서 5~6점을 얻을 확률은 1/3입니다. , 두 이벤트(5번 롤링, 6번 롤링)가 모두 일치하지 않고 하나 또는 다른 이벤트가 발생할 확률이 다음과 같이 계산되기 때문입니다. 1/6 + 1/6 =1/3.

전체 이벤트 그룹.

호환되지 않는 이벤트가 많이 발생함전체 이벤트 그룹 , 만약 결과적으로개별 테스트 이러한 이벤트 중 하나가 반드시 나타납니다.

예. 다음 세트는 주사위에 일반적입니다.

– 주사위를 던지면 1점이 나옵니다.
– ... 2점;
– ... 3점;
– ... 4점;
– ... 5점;
– ... 6점.

이벤트 호환되지 않는 (어떤 얼굴의 출현은 다른 사람의 동시 출현을 배제하기 때문에) 완전한 그룹을 형성하고 (테스트는 확실히 다음 6가지 이벤트 중 하나를 발생시키므로) .

정리 . 사건 확률의 합ㅏ 1 , ㅏ 2 , …, ㅏ N , 완전한 그룹을 형성하는 것은 1과 같습니다:

아빠 1 ) + P(A 2 ) + ... + P(A N ) = 1 .

반대 이벤트.

반대 완전한 그룹을 형성하는 고유하게 가능한 두 가지 사건을 말하십시오. 두 가지 반대 사건 중 하나가 다음으로 표시된 경우ㅏ , 다른 하나는 일반적으로 표시됩니다.

예. 주사위를 던질 때 이벤트가 발생하면 ㅏ 손실로 구성 6 , 반대 이벤트는 비드롭아웃입니다. 6 , 즉. 중퇴 1, 2, 3, 4 또는 5 .

예. 만약에 ㅏ - 숫자가 짝수이면 - 숫자가 홀수입니다. 만약에 ㅏ - 겨울, 그럼 - 겨울이 아님 (가을, 여름, 봄) 만약에 ㅏ - 시험에 합격한 후 - 시험에 합격하지 못했습니다.

정리. 반대 사건의 확률의 합은 1과 같습니다.

P(A) + P( ) = 1 또는P(A) = 1 - P( ).

예. 두 개의 주사위를 던질 때 서로 다른(동일하지 않은) 점수를 얻을 확률은 얼마입니까?

설명된 사건을 A로 표시하겠습니다. 반대 사건은 사건입니다. , 동일한 수의 포인트가 두 주사위에 떨어졌다는 사실로 구성됩니다. 이벤트 여섯 가지 기본 사건이 유리합니다: (1;1), (2;2), (3;3), (4;4), (5;5), (6;6). 이러한 각 기본 사건의 확률 . 그래서 P( ) = . 그러면 P(A) = 1 – P( )= 1 - .

종속 및 독립 이벤트. 조건부 확률.

두 가지 이벤트ㅏ 그리고안에 호출된다독립적인 , 각각의 발생 확률이 다른 사건의 출현 여부에 의존하지 않는 경우.

예. 동전은 두 번 던져집니다. 이벤트 A – “문장”은 첫 번째 던지기에서 떨어졌고, 이벤트 B – “문장”은 두 번째 던지기에서 떨어졌습니다. 사건 A와 B는 독립적이다.

이벤트 A와 B가 호출됩니다.매달린 , 그 중 하나의 발생 확률이 다른 사건의 발생 여부에 따라 달라지는 경우.

사건 A가 이미 발생했다는 가정하에 사건 B의 확률을 계산하면 이 확률을조건부 확률 사건 A와 관련된 사건 B. 명칭: P ㅏ (안에).

예. 봉투에는 상트페테르부르크가 보이는 엽서 4장과 모스크바가 보이는 엽서 3장이 들어 있었습니다. 이벤트 A를 상트페테르부르크의 풍경이 담긴 엽서 추출이라고 하고, 이벤트 B를 모스크바의 풍경이 담긴 엽서 추출이라고 가정합니다. 확률을 고려해 봅시다. 이러한 이벤트와 관련이 있습니다.

a) 먼저 상트 페테르부르크가 보이는 엽서를 꺼낸 다음 모스크바가 보이는 엽서를 꺼냈다면 P ㅏ (비) = ;

b) 먼저 모스크바가 보이는 엽서를 꺼낸 다음 상트 페테르부르크가 보이는 엽서를 꺼냈다면 P 안에 (아) = .

확률의 곱.

두 사건 A의 곱 그리고안에 이벤트를 불러AB , 이러한 이벤트의 공동 출현(조합)으로 구성됩니다.

예. 허락하다 ㅏ - 항아리에서 흰색 공을 꺼냈습니다. 비 - 항아리에서 흰색 공을 꺼낸 다음 AB - 쓰레기통에서 꺼낸 둘 흰 공; 만약에 ㅏ - 비가 온다 비 - 그럼 눈이 온다 AB - 눈이 내리는 비; ㅏ - 숫자가 짝수입니다. 비 - 배수 3 , 그 다음에 AB - 배수 6 .

독립 사건에 대한 곱셈 정리

정리 . 두 개의 독립적인 사건의 곱의 확률ㅏ 그리고안에 확률의 곱과 같습니다:

P(AB) = P(A) P(B) .

예. 주사위는 두 번 던져집니다. 첫 번째 던진 결과가 2점이고 두 번째 던진 결과가 6이 될 확률은 얼마입니까?

이벤트 A는 2점 굴림, 이벤트 B는 6점 굴림, 이벤트 C는 첫 번째 굴림에서 2점 굴림, 두 번째 굴림에서는 6점 굴림이라고 가정합니다.

사건 A와 B는 한 사건의 발생이 다른 사건의 발생에 의존하지 않기 때문에 독립적입니다. 그러면 P(A) = 그리고 P(B) = , 그러면 P(C) = P(A) P(B) = .

종속 사건에 대한 곱셈 정리.

정리 . 사건 A와 B가 종속적이면 그 곱의 확률은 다음과 같습니다.그 중 하나의 확률과 다른 하나의 조건부 확률의 곱

P(AB) = P(A) P ㅏ (비) .

예. 봉투에는 상트페테르부르크가 보이는 엽서 4장과 모스크바가 보이는 엽서 3장이 들어 있었습니다. 이벤트 A를 처음으로 상트페테르부르크의 풍경 추출이라고 하고, 이벤트 B를 처음으로 모스크바의 풍경을 추출했다고 가정합니다. 사건 C는 처음에는 상트페테르부르크의 풍경이, 그다음에는 모스크바의 풍경이 나왔다는 사실로 구성된다고 하자. 그러면 곱셈의 정의에 따라 사건 C는 A·B와 같습니다. 이 경우 사건 A와 B가 종속적이라는 것은 명백합니다. 보여드리겠습니다.

이는 종속 사건의 곱에 대한 공식에 대한 정리를 사용해야 함을 의미합니다. 즉, 피(C) = 피(아) 피 ㅏ (비) . 따라서 P(C) = .

예 . 독서실에는 6 컴퓨터 과학 교과서 중 삼 경계. 사서가 임의로 가져갔네요 둘 교과서. 확률을 구해 보세요. 둘 다 교과서는 제본될 것이다.

해결책 . 다음 이벤트를 고려하십시오.
ㅏ 1 - 처음으로 수강한 교과서;
ㅏ 2 - 두 번째 제본된 교과서를 가져왔습니다.

이벤트 A = A 1 ㅏ 2 , 수강한 교과서가 모두 제본되어 있다는 것입니다. 이벤트 ㅏ 1 그리고 ㅏ 2 사건이 발생할 확률이 다르기 때문에 종속적입니다. ㅏ 2 이벤트 발생 여부에 따라 다름 ㅏ 1 . 따라서 확률을 계산하기 위해 다음 공식을 사용합니다. 종속사건의 산물 .

사건이 발생할 확률 ㅏ 1 확률의 고전적 정의에 따르면:

피(A 1 ) = m / n = 3/6 = 0.5 .

피 A1 (ㅏ 2 ) 사건이 발생할 조건부 확률로 정의됩니다. ㅏ 2 이벤트가 제공된다면 ㅏ 1 이미 도착했습니다:

피 A1 (ㅏ 2 ) = 2/5 = 0,4 .

그런 다음 원하는 사건이 발생할 확률 ㅏ :

P(A) = 0.5 0.4 = 0.2 .

공동 사건의 확률을 추가하는 정리

두 가지 이벤트가 호출됩니다.관절 , 둘 중 하나의 출현이 동일한 재판에서 다른 하나의 출현을 배제하지 않는 경우.

예. ㅏ - 주사위를 던질 때 4개의 점이 나타나는 모습 안에 - 짝수 개의 점이 나타납니다. 이벤트 ㅏ 그리고 안에 - 공동.

정리 . 두 가지 공동 사건 중 적어도 하나가 발생할 확률ㅏ 그리고안에 공동 발생 확률 없이 이러한 사건의 확률을 합한 것과 같습니다.:

P(A + B) = P(A) + P(B) - P(AB) .

예. 두 명의 학생이 책을 읽고 있습니다. 첫 번째 학생이 확률 – 0.6으로 책을 끝냅니다. 두 번째 – 0.8. 적어도 한 명의 학생이 그 책을 읽을 확률을 구하시오.

해결책 . 각 학생이 책을 읽을 확률은 개별 학생의 결과에 좌우되지 않습니다. ㅏ (첫 번째 학생이 책을 다 읽었습니다) 그리고 비 (두 번째 학생이 책을 다 읽었습니다) 독립적이고 협동적입니다. 결합 사건의 확률을 더하는 공식을 사용하여 원하는 확률을 찾습니다.

사건의 확률 AB (두 학생 모두 책을 다 읽었습니다):

P(AB) = P(A) P(B) = 0.6 0.8 = 0.48.

그 다음에

P(A + B) = 0.6 + 0.8 - 0.48 = 0.92.

예. 쇼핑센터에서는 두 대의 동일한 기계가 커피를 판매합니다. 하루가 끝날 때까지 기계에 커피가 떨어질 확률은 0.3입니다. 두 기계 모두 커피가 떨어질 확률은 0.12입니다. 하루가 끝날 때까지 적어도 하나의 기계(즉, 둘 중 하나 또는 둘 다)에서 커피가 떨어질 확률을 찾아봅시다.

조건에 따른 첫 번째 이벤트인 "첫 번째 머신에서 커피가 떨어질" 확률과 두 번째 이벤트인 "두 번째 머신에서 커피가 떨어질" 확률은 0.3입니다. 이벤트는 협력적입니다.

조건에 따라 처음 두 사건이 동시에 발생할 확률은 0.12입니다.

이는 하루가 끝날 때까지 적어도 하나의 기계에서 커피가 떨어질 확률이 0.3 + 0.3 - 0.12 = 0.48임을 의미합니다.

예. 학교에는 1,400명의 학생이 있으며 그 중 1,200명의 학생이 스키를 알고 있으며 952명의 학생이 스케이트를 알고 있습니다. 60명의 학생들은 스키나 스케이트를 탈 줄 모릅니다. 학생이 스키와 스케이트를 탈 수 있는 확률은 얼마입니까?

이 학교의 모든 학생을 E로 표시하겠습니다. 사건 A를 학생들의 스키 능력이라 하자. 사건 B – 학생들의 스케이트 능력. 이벤트 AB – 학생들의 스키와 스케이트 능력. 이벤트 A+B – 학생들의 스키 또는 스케이트 능력. .

총 확률 공식.

사건 A가 사건 B 중 하나가 발생할 때만 발생할 수 있는 경우 1 , 안에 2 , …, 안에 N 호환되지 않는 사건의 완전한 그룹을 형성하는 경우 사건 A의 확률은 다음 공식으로 계산됩니다.

P(A) = P(B 1 ) · R 1에 (A) + P(B 2 ) · R 2시에 (A) + … + P(B N ) · R 안에 N (ㅏ).

이 공식을 총 확률 공식이라고 합니다. 3 ) = .

사건 A를 선택한 램프에 결함이 있는 것으로 판명되었다고 가정합니다. 아르 자형 1에 (ㅏ) 첫 번째 공장에서 생산된 램프 중 불량 램프를 선택한 경우를 의미합니다. , P(B 2 ) – 두 번째 공장에서 P(B 3 ) - 세 번째 공장에서. 문제 설명에서 다음과 같습니다.

아르 자형 1에 =0,034.

서지.

Tyurin Yu.N., Makarov A.A., Vysotsky I.R., Yashchenko I.V. 확률 이론 및 통계. OJSC "모스크바 교과서". 엠., 2008.

샤크마이스터 A.Kh. 조합론. 통계. 개연성. MCNMO. 엠., 2010.

세라믹 타일 공장에서는 생산된 타일의 5%에 결함이 있습니다. 제품 품질 관리 과정에서 불량 타일이 발견되는 비율은 40%에 불과합니다. 나머지 타일은 판매용으로 발송됩니다. 구입 시 무작위로 선택한 타일에 결함이 없을 확률을 구합니다. 답을 소수점 이하로 반올림하세요.

솔루션 표시

해결책

제품 품질관리 과정에서 전체 생산 타일의 5%에 해당하는 불량 타일이 40% 식별되어 판매되지 않습니다. 이는 생산된 타일의 0.4 · 5% = 2%가 판매되지 않음을 의미합니다. 생산된 나머지 타일(100% - 2% = 98%)이 판매됩니다.

생산된 타일의 100% - 95%에는 결함이 없습니다. 구매한 타일에 하자가 없을 확률은 95% : 98% 입니다. = \frac(95)(98)\약 0.97

답변

상태

배터리가 충전되지 않을 확률은 0.15입니다. 매장의 고객이 이러한 배터리 2개가 포함된 임의의 패키지를 구입합니다. 이 패키지에 들어 있는 두 배터리가 모두 충전될 확률을 구하십시오.

솔루션 표시

해결책

배터리가 충전될 확률은 1-0.15 = 0.85입니다. "두 배터리가 모두 충전되었습니다."라는 사건의 확률을 찾아보겠습니다. "첫 번째 배터리가 충전되었습니다"와 "두 번째 배터리가 충전되었습니다"라는 이벤트를 A와 B로 표시하겠습니다. P(A) = P(B) = 0.85를 얻었습니다. "두 배터리가 모두 충전되었습니다"라는 사건은 사건 A \cap B의 교차점이며 확률은 다음과 같습니다. P(A\cap B) = P(A)\cdot P(B) = 0.85\cdot 0.85 = 0,7225.

답변

출처: “수학. 2017년 통합국가시험 준비. 프로필 수준." 에드. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

상태

새로운 확률 세탁기 1년 이내에 보증 수리를 위해 제출되며 이는 0.065에 해당합니다. 어떤 도시에서는 한 해 동안 1,200대의 세탁기가 판매되었으며 그 중 72대가 보증 작업장에 인계되었습니다. "보증 수리" 이벤트 발생의 상대적 빈도가 이 도시에서의 발생 가능성과 얼마나 다른지 확인하십시오.

솔루션 표시

해결책

"세탁기는 1년 이내에 보증에 따라 수리됩니다"라는 이벤트의 빈도는 다음과 같습니다. \frac(72)(1200) = 0.06.확률과 0.065-0.06=0.005 정도 차이가 납니다.

답변

출처: “수학. 2017년 통합국가시험 준비. 프로필 수준." 에드. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

상태

펜에 결함이 있을 확률은 0.05입니다. 매장의 고객이 펜 두 개가 들어 있는 임의의 패키지를 구입합니다. 이 패키지에 들어 있는 두 펜이 모두 좋을 확률을 구하십시오.

솔루션 표시

해결책

손잡이가 작동할 확률은 1-0.05 = 0.95입니다. "두 핸들이 모두 작동합니다."라는 이벤트의 확률을 찾아보겠습니다. 이벤트 "첫 번째 핸들이 작동 중"과 "두 번째 핸들이 작동 중"을 A와 B로 표시하겠습니다. P(A) = P(B) = 0.95를 얻었습니다. "두 핸들이 모두 작동합니다"라는 이벤트는 이벤트 A\cap B의 교차점이며 확률은 다음과 같습니다. P(A\cap B) = P(A)\cdot P(B) = 0.95\cdot 0.95 = 0,9025.

답변

출처: “수학. 2017년 통합국가시험 준비. 프로필 수준." 에드. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

상태

그림은 미로를 보여줍니다. 딱정벌레는 미로의 "입구" 지점으로 기어 들어갑니다. 딱정벌레는 반대 방향으로 돌아서 기어갈 수 없기 때문에 각 갈림길에서 아직 가보지 않은 길 중 하나를 선택합니다. 추가 경로 선택이 무작위인 경우 딱정벌레가 D 출구로 나올 확률은 얼마입니까?

솔루션 표시

해결책

딱정벌레가 이동할 수 있는 방향의 교차점에 화살표를 배치해 보겠습니다(그림 참조).

각 교차로에서 우리는 가능한 두 방향 중 하나를 선택하고 교차로에 도달하면 딱정벌레가 우리가 선택한 방향으로 움직일 것이라고 가정합니다.

딱정벌레가 출구 D에 도달하려면 각 교차로에서 빨간색 실선으로 표시된 방향을 선택해야 합니다. 방향 선택은 이전 선택에 관계없이 매번 4번 이루어집니다. 매번 빨간색 실선 화살표가 선택될 확률은 다음과 같습니다. \frac12\cdot\frac12\cdot\frac12\cdot\frac12= 0,5^4= 0,0625.

답변

출처: “수학. 2017년 통합국가시험 준비. 프로필 수준." 에드. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

상태

이 섹션에는 16명의 운동선수가 있으며 그 중에는 Olya와 Masha라는 두 명의 친구가 있습니다. 운동선수는 4개의 동일한 그룹에 무작위로 할당됩니다. Olya와 Masha가 같은 그룹에 속할 확률을 찾아보세요.