출력을 사용하여 기본 함수 n x를 파생합니다. 미분 찾기: 알고리즘과 솔루션의 예. 로그 함수의 파생

수학의 물리적 문제나 예를 해결하는 것은 도함수와 이를 계산하는 방법에 대한 지식 없이는 완전히 불가능합니다. 미분은 수학적 분석에서 가장 중요한 개념 중 하나입니다. 우리는 오늘의 기사를 이 근본적인 주제에 전념하기로 결정했습니다. 도함수란 무엇이며, 물리적, 기하학적 의미는 무엇이며, 함수의 도함수를 계산하는 방법은 무엇입니까? 이 모든 질문은 하나로 결합될 수 있습니다: 파생 상품을 이해하는 방법은 무엇입니까?

도함수의 기하학적, 물리적 의미

기능이 있다고 하자 에프엑스(f(x)) , 특정 간격으로 지정 (a, b) . 점 x와 x0은 이 구간에 속합니다. x가 변경되면 함수 자체가 변경됩니다. 인수 변경 - 값의 차이 x-x0 . 이 차이는 다음과 같이 쓰여진다. 델타 x 인수 증가라고 합니다. 함수의 변경 또는 증가는 두 지점에서 함수 값의 차이입니다. 파생상품의 정의:

한 지점에서 함수의 도함수는 인수가 0이 되는 경향이 있을 때 인수의 증가에 대한 주어진 지점에서 함수의 증가 비율의 한계입니다.

그렇지 않으면 다음과 같이 작성할 수 있습니다.

그러한 한계를 찾는 이유는 무엇입니까? 그리고 그 내용은 다음과 같습니다.

한 점에서 함수의 도함수는 OX 축 사이 각도의 탄젠트와 주어진 점에서 함수 그래프의 탄젠트와 같습니다.

파생어의 물리적 의미: 시간에 대한 경로의 미분은 직선 운동의 속도와 같습니다.

사실 학창 시절부터 속도는 특정한 길이라는 것을 모두가 알고 있습니다. x=f(t) 그리고 시간 티 . 특정 기간 동안의 평균 속도:

순간의 이동 속도를 알아보려면 t0 한도를 계산해야 합니다.

규칙 1: 상수를 설정하세요

상수는 도함수 기호에서 제외될 수 있습니다. 게다가 이것은 반드시 이루어져야 합니다. 수학의 예를 풀 때 원칙적으로 다음을 따르십시오. 표현식을 단순화할 수 있다면 단순화하세요. .

예. 미분을 계산해 봅시다:

규칙 2: 함수 합의 도함수

두 함수의 합의 미분은 이러한 함수의 미분의 합과 같습니다. 함수의 차의 미분에 대해서도 마찬가지이다.

우리는 이 정리에 대한 증거를 제시하지 않고 실제적인 예를 고려해 보겠습니다.

함수의 도함수를 구합니다:

규칙 3: 함수 곱의 도함수

두 개의 미분 가능한 함수의 곱의 미분은 다음 공식으로 계산됩니다.

예: 함수의 도함수 찾기:

해결책:

여기서는 복잡한 함수의 미분 계산에 관해 이야기하는 것이 중요합니다. 복소 함수의 도함수는 중간 인수에 대한 이 함수의 도함수와 독립 변수에 대한 중간 인수의 도함수를 곱한 것과 같습니다.

위의 예에서 우리는 다음과 같은 표현을 발견했습니다.

이 경우 중간 인수는 8x의 5승입니다. 이러한 식의 도함수를 계산하기 위해 먼저 중간 인수에 대한 외부 함수의 도함수를 계산한 다음 독립 변수에 대한 중간 인수 자체의 도함수를 곱합니다.

규칙 4: 두 함수의 몫의 도함수

두 함수의 몫의 도함수를 결정하는 공식:

우리는 인형 파생상품에 대해 처음부터 이야기하려고 했습니다. 이 주제는 보기만큼 간단하지 않으므로 주의하세요. 예제에는 종종 함정이 있으므로 도함수를 계산할 때 주의하세요.

이 주제와 기타 주제에 관해 궁금한 점이 있으면 학생 서비스에 문의하세요. 짧은 시간 안에, 이전에 미분 계산을 해본 적이 없더라도 가장 어려운 테스트를 해결하고 작업을 이해할 수 있도록 도와드립니다.

표의 첫 번째 공식을 도출할 때 한 지점에서 미분 함수의 정의부터 진행하겠습니다. 어디로 가보자 엑스- 어느 실수, 그건, 엑스– 함수 정의 영역의 임의의 숫자. 다음에서 인수 증분에 대한 함수 증분 비율의 한계를 적어 보겠습니다.

극한 기호 하에서는 분자가 무한소 값을 포함하지 않고 정확히 0이기 때문에 0을 0으로 나눈 불확실성이 아닌 표현식이 얻어집니다. 즉, 상수 함수의 증가는 항상 0입니다.

따라서, 상수 함수의 미분전체 정의 영역에서 0과 같습니다..

거듭제곱 함수의 파생입니다.

거듭제곱 함수의 미분 공식은 다음과 같습니다. , 여기서 지수는 피– 임의의 실수.

먼저 자연 지수의 공식을 증명해 보겠습니다. p = 1, 2, 3, …

우리는 미분의 정의를 사용할 것입니다. 인수 증가에 대한 거듭제곱 함수 증가 비율의 극한을 적어 보겠습니다.

분자의 표현을 단순화하기 위해 뉴턴 이항식을 사용합니다.

따라서,

이는 자연 지수에 대한 거듭제곱 함수의 미분 공식을 증명합니다.

지수 함수의 파생물입니다.

우리는 정의에 기초하여 파생 공식의 파생을 제시합니다.

우리는 불확실성에 도달했습니다. 이를 확장하기 위해 새로운 변수를 도입합니다. 그 다음에 . 마지막 전환에서는 새로운 로그 밑으로 전환하는 공식을 사용했습니다.

원래 한계로 대체해 보겠습니다.

두 번째 놀라운 극한을 떠올려 보면 지수 함수의 미분 공식에 도달하게 됩니다.

로그 함수의 파생입니다.

모든 로그 함수의 미분 공식을 증명해 보겠습니다. 엑스정의 영역과 기본의 모든 유효한 값에서 ㅏ로그 파생상품의 정의에 따르면 다음과 같습니다.

아시다시피, 증명 중에 로그의 속성을 사용하여 변환이 수행되었습니다. 평등 두 번째 놀라운 한계로 인해 사실입니다.

삼각 함수의 파생물.

삼각 함수의 도함수에 대한 공식을 도출하려면 몇 가지 삼각법 공식과 첫 번째 놀라운 한계를 기억해야 합니다.

사인 함수에 대한 미분의 정의에 따라 우리는 .

사인 공식의 차이를 사용해 보겠습니다.

첫 번째 놀라운 한계를 살펴보겠습니다.

따라서 함수의 도함수는 죄 x있다 왜냐하면 x.

코사인의 미분 공식은 정확히 같은 방식으로 증명됩니다.

따라서 함수의 도함수는 왜냐하면 x있다 -죄 x.

입증된 미분 규칙(분수의 도함수)을 사용하여 탄젠트 및 코탄젠트의 도함수 표에 대한 공식을 유도할 것입니다.

쌍곡선 함수의 파생물.

미분 규칙과 도함수 표의 지수 함수 도함수 공식을 통해 쌍곡선 사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트의 도함수에 대한 공식을 유도할 수 있습니다.

역함수를 파생합니다.

표현 중 혼란을 피하기 위해 미분을 수행하는 함수의 인수, 즉 함수의 미분을 아래 첨자로 표시하겠습니다. 에프엑스(f(x))에 의해 엑스.

이제 공식화하자 역함수의 미분을 찾는 규칙.

기능을 보자 y = f(x)그리고 x = g(와이)상호 역수로, 간격과 각각 정의됩니다. 한 지점에서 함수의 0이 아닌 유한 파생물이 있는 경우 에프엑스(f(x)), 그 지점에서 역함수의 유한 파생물이 있습니다. g(y), 그리고 . 다른 게시물에서 .

이 규칙은 어떤 경우에도 다시 공식화될 수 있습니다. 엑스간격으로부터 우리는 다음을 얻습니다. .

이 공식의 유효성을 확인해 보겠습니다.

자연로그의 역함수를 찾아봅시다 (여기 와이함수이고, 엑스- 논쟁). 이 방정식을 풀면 엑스, 우리는 (여기 엑스함수이고, 와이– 그녀의 주장). 그건, 그리고 상호 역함수.

파생 상품 표에서 우리는 다음을 볼 수 있습니다. 그리고 .

역함수의 도함수를 찾는 공식이 동일한 결과를 가져오는지 확인하겠습니다.

보시다시피, 파생상품 테이블과 동일한 결과를 얻었습니다.

이제 우리는 역미분 공식을 증명할 수 있는 지식을 얻었습니다. 삼각함수.

아크사인의 미분부터 시작하겠습니다.

. 그런 다음 역함수의 미분 공식을 사용하여 다음을 얻습니다.

남은 것은 변환을 수행하는 것뿐입니다.

아크사인 범위는 간격이므로 , 저것 (기본 기본 기능, 해당 속성 및 그래프에 대한 섹션을 참조하세요). 따라서 우리는 그것을 고려하지 않습니다.

따라서, . 아크사인 파생물의 정의 영역은 간격입니다. (-1; 1) .

아크 코사인의 경우 모든 작업이 정확히 동일한 방식으로 수행됩니다.

아크탄젠트의 미분을 구해 봅시다.

역함수는 다음과 같습니다. .

결과 표현을 단순화하기 위해 아크탄젠트를 아크코사인으로 표현해 보겠습니다.

허락하다 arctgx = z, 그 다음에

따라서,

아크 코탄젠트의 미분도 비슷한 방식으로 구합니다.

도함수를 구하는 작업을 미분이라고 합니다.

도함수를 인수 증분에 대한 증분 비율의 극한으로 정의하여 가장 단순한(매우 단순하지 않은) 함수의 도함수를 찾는 문제를 해결한 결과, 도함수 표와 정확하게 정의된 미분 규칙이 나타났습니다. . 파생 상품을 찾는 분야에서 처음으로 작업한 사람은 Isaac Newton(1643-1727)과 Gottfried Wilhelm Leibniz(1646-1716)입니다.

따라서 우리 시대에는 함수의 도함수를 찾으려면 위에서 언급한 함수 증가 대 인수 증가 비율의 한계를 계산할 필요가 없으며 다음 표만 사용하면 됩니다. 파생 상품과 차별화의 규칙. 다음 알고리즘은 도함수를 찾는 데 적합합니다.

파생상품을 찾으려면, 프라임 기호 아래에 표현식이 필요합니다 간단한 기능을 구성 요소로 분해어떤 행동을 할지 결정하고 (곱, 합계, 몫)이러한 기능은 관련되어 있습니다. 추가 파생상품 기본 기능우리는 파생 상품 표에서 찾을 수 있으며 곱, 합계 및 몫의 파생 상품에 대한 공식은 미분 규칙에 있습니다. 도함수 테이블과 미분 규칙은 처음 두 예제 다음에 제공됩니다.

예시 1.함수의 도함수 찾기

해결책. 미분의 규칙으로부터 우리는 함수 합의 도함수가 함수 도함수의 합이라는 것을 알 수 있습니다.

도함수 표에서 우리는 "x"의 도함수는 1과 같고 사인의 도함수는 코사인과 같다는 것을 알 수 있습니다. 이 값을 파생 상품의 합으로 대체하고 문제 조건에 따라 필요한 파생 상품을 찾습니다.

예시 2.함수의 도함수 찾기

해결책. 우리는 두 번째 항이 일정한 인수를 갖는 합의 도함수로 미분합니다. 이는 도함수의 부호에서 제거될 수 있습니다.

무언가가 어디서 왔는지에 대한 의문이 계속 발생하는 경우 일반적으로 미분 표와 가장 간단한 미분 규칙을 숙지한 후에 문제가 해결됩니다. 우리는 지금 그들에게 나아가고 있습니다.

단순 함수의 미분 표

1. 상수(숫자)의 파생물입니다. 함수 표현식에 있는 임의의 숫자(1, 2, 5, 200...)입니다. 항상 0과 같습니다. 매우 자주 요구되기 때문에 기억하는 것이 매우 중요합니다.
2. 독립변수의 파생물. 대부분 "X"입니다. 항상 1과 같습니다. 오랫동안 기억하는 것도 중요합니다
3. 학위 파생 상품. 문제를 풀 때는 비제곱근을 거듭제곱으로 변환해야 합니다.
4. 변수의 거듭제곱 -1 미분
5. 파생상품 제곱근
6. 사인의 미분
7. 코사인의 미분
8. 탄젠트의 미분
9. 코탄젠트의 미분
10. 아크사인의 미분
11. 아크코사인의 미분
12. 아크탄젠트의 미분
13. 아크코탄젠트의 미분
14. 자연로그의 미분
15. 로그 함수의 파생
16. 지수의 미분
17. 지수 함수의 파생

차별화 규칙

1. 합이나 차이의 파생
2. 제품의 파생물
2a. 상수 인자를 곱한 표현식의 파생
3. 몫의 미분
4. 복잡한 함수의 파생

규칙 1.기능의 경우

어떤 점에서 함수가 미분 가능하면 같은 점에서 함수가 미분 가능합니다.

그리고

저것들. 함수의 대수적 합의 미분은 이러한 함수의 미분의 대수적 합과 같습니다.

결과. 두 개의 미분 가능한 함수가 상수항만큼 다른 경우, 그 도함수는 동일합니다., 즉.

규칙 2.기능의 경우

어느 시점에서 미분 가능하면 그 제품도 같은 시점에서 미분 가능합니다.

그리고

저것들. 두 함수의 곱의 도함수는 각 함수의 곱과 다른 함수의 도함수의 합과 같습니다.

결과 1. 상수 인자는 도함수의 부호에서 빼낼 수 있습니다.:

결과 2. 여러 미분 가능한 함수의 곱의 도함수는 각 요소와 다른 모든 요소의 도함수 곱의 합과 같습니다.

예를 들어 세 개의 승수의 경우:

규칙 3.기능의 경우

어느 시점에서는 구별 가능 그리고 , 그러면 이 시점에서 그들의 몫도 미분 가능합니다.u/v 및

저것들. 두 함수의 몫의 도함수는 분수와 같으며, 그 분자는 분모의 곱과 분자의 도함수, 분자와 분모의 도함수의 차이이고 분모는 다음의 제곱입니다. 이전 분자.

다른 페이지의 내용을 찾을 수 있는 곳

실제 문제에서 곱의 도함수와 몫을 찾을 때 항상 여러 미분 규칙을 동시에 적용해야 하므로 이 기사에는 이러한 도함수에 대한 더 많은 예가 있습니다."제품의 파생물과 기능의 몫".

논평.상수(즉, 숫자)를 합계의 항과 상수 요소로 혼동해서는 안 됩니다! 항의 경우 그 미분은 0과 같고 상수 요소의 경우 미분의 부호에서 제거됩니다. 이것 전형적인 실수이는 도함수를 공부하는 초기 단계에서 발생하지만 일반 학생이 여러 개의 1부 및 2부 예제를 풀면서 더 이상 이런 실수를 저지르지 않습니다.

그리고 곱이나 몫을 구별할 때 용어가 있는 경우 유"V, 어느 유- 예를 들어 2 또는 5와 같은 숫자, 즉 상수인 경우 이 숫자의 미분은 0과 같으므로 전체 항은 0과 같습니다(이 경우는 예 10에서 논의됨).

또 다른 일반적인 실수는 복잡한 함수의 도함수를 간단한 함수의 도함수로 기계적으로 해결하는 것입니다. 그렇기 때문에 복잡한 함수의 파생물별도의 기사가 제공됩니다. 하지만 먼저 간단한 함수의 파생어를 찾는 방법을 배웁니다.

그 과정에서 표현을 바꾸지 않고는 할 수 없습니다. 이렇게 하려면 새 창에서 설명서를 열어야 할 수도 있습니다. 힘과 뿌리가 있는 행동그리고 분수 연산 .

거듭제곱과 근이 있는 분수의 도함수에 대한 해를 찾고 있다면, 즉 함수가 다음과 같을 때입니다. , 그런 다음 "제곱과 근이 있는 분수의 합 도함수" 수업을 따르세요.

다음과 같은 작업이 있는 경우 , 그런 다음 "단순 삼각 함수의 파생" 수업을 듣게 됩니다.

단계별 예 - 파생 상품을 찾는 방법

예시 3.함수의 도함수 찾기

해결책. 우리는 함수 표현식의 일부를 정의합니다. 전체 표현식은 곱을 나타내고 그 요소는 합계이며 두 번째 용어 중 하나는 상수 요소를 포함합니다. 우리는 곱 차별화 규칙을 적용합니다. 두 함수의 곱의 도함수는 각 함수의 곱을 다른 함수의 도함수로 합한 것과 같습니다.

다음으로, 합의 미분 규칙을 적용합니다. 함수의 대수적 합의 도함수는 이러한 함수의 도함수의 대수적 합과 같습니다. 우리의 경우 각 합계에서 두 번째 항에는 빼기 기호가 있습니다. 각 합계에서 우리는 미분 값이 1인 독립 변수와 미분 값이 0인 상수(숫자)를 모두 볼 수 있습니다. 따라서 "X"는 1이 되고, -5는 0이 됩니다. 두 번째 표현식에서는 "x"에 2를 곱하므로 "x"의 도함수와 동일한 단위를 2에 곱합니다. 우리는 다음과 같은 파생 값을 얻습니다.

우리는 발견된 도함수를 곱의 합으로 대체하고 문제 조건에 필요한 전체 함수의 도함수를 얻습니다.

그리고 미분문제의 해법은 에서 확인하실 수 있습니다.

예시 4.함수의 도함수 찾기

해결책. 우리는 몫의 도함수를 찾아야 합니다. 우리는 몫을 구별하기 위한 공식을 적용합니다. 두 함수의 몫의 도함수는 분수와 같으며, 그 분자는 분모의 곱과 분자의 도함수와 분자의 도함수의 차이입니다. 분모는 이전 분자의 제곱이 됩니다. 우리는 다음을 얻습니다:

우리는 이미 예제 2에서 분자에 있는 인수의 도함수를 찾았습니다. 또한 현재 예제에서 분자의 두 번째 인수인 곱이 빼기 기호와 함께 사용된다는 점을 잊지 마십시오.

예를 들어, 근과 거듭제곱이 연속적으로 쌓여 있는 함수의 도함수를 찾아야 하는 문제에 대한 해결책을 찾고 있다면 다음과 같습니다. , 그럼 수업에 오신 것을 환영합니다 "제곱과 근이 있는 분수의 합의 미분" .

사인, 코사인, 탄젠트 및 기타 삼각 함수의 미분, 즉 함수가 다음과 같은 경우에 대해 더 자세히 알아야 하는 경우 , 그럼 당신을 위한 교훈 "간단한 삼각 함수의 파생" .

실시예 5.함수의 도함수 찾기

해결책. 이 함수에서 우리는 요소 중 하나가 독립 변수의 제곱근인 제품을 볼 수 있으며, 그 파생 상품은 파생 상품 표에서 우리에게 익숙합니다. 곱을 구별하는 규칙과 제곱근 도함수의 표 값을 사용하여 다음을 얻습니다.

미분 문제에 대한 해결책은 다음에서 확인할 수 있습니다. 온라인 파생상품 계산기 .

실시예 6.함수의 도함수 찾기

해결책. 이 함수에서 우리는 배당금이 독립 변수의 제곱근인 몫을 볼 수 있습니다. 예제 4에서 반복하고 적용한 몫의 미분 규칙과 제곱근 도함수의 표 값을 사용하여 다음을 얻습니다.

분자에서 분수를 제거하려면 분자와 분모에 를 곱하세요.

공식 3과 5를 직접 증명해 보세요.

차별화의 기본 규칙

극한을 사용하여 도함수를 구하는 일반적인 방법을 사용하면 가장 간단한 미분 공식을 얻을 수 있습니다. 허락하다 u=u(x),v=v(x)– 변수의 두 가지 미분 함수 엑스.

공식 1과 2를 직접 증명해 보세요.

공식 3의 증명.

허락하다 y = u(x) + v(x).인수 값의 경우 엑스+Δ 엑스우리는 와이(엑스+Δ 엑스)=유(엑스+Δ 엑스) + V(엑스+Δ 엑스).

Δ 와이=와이(엑스+Δ 엑스) – 와이(엑스) = 너(엑스+Δ 엑스) + v(x+Δ 엑스) – 너(엑스) – v(x) = Δ 유 +Δ V.

따라서,

공식 4 증명.

허락하다 y=u(x)·v(x).그 다음에 와이(엑스+Δ 엑스)=유(엑스+Δ 엑스)· V(엑스+Δ 엑스) 그렇기 때문에

Δ 와이=유(엑스+Δ 엑스)· V(엑스+Δ 엑스) – 유(엑스)· V(엑스).

각 기능은 다음과 같습니다. 유그리고 V시점에서 구별 가능 엑스, 그러면 이 시점에서 연속적입니다. 즉, 유(엑스+Δ 엑스)→유(x), v(엑스+Δ 엑스)→v(x), Δ에서 엑스→0.

그러므로 우리는 쓸 수 있다

이 속성을 기반으로 여러 함수의 곱을 차별화하는 규칙을 얻을 수 있습니다.

예를 들어, y=u·v·w.그 다음에,

와이 " = 유 "·( V w) + 유·( V·w) " = 유 "· V·w + 유·( V"·ㅇ+ V·w") = 유 "· V·w + 유· V"·ㅇ+ u·v·ㅇ".

공식 5의 증명.

허락하다 . 그 다음에

증명에서 우리는 다음과 같은 사실을 사용했습니다. v(x+Δ 엑스)→v(x)Δ에서 엑스→0.

예.

복소함수의 미분에 관한 정리

허락하다 y = f(u),ㅏ 유= 유(엑스). 우리는 기능을 얻습니다 와이주장에 따라 엑스: y = f(u(x)).마지막 함수를 함수의 함수라고 합니다. 복잡한 기능.

기능 정의 영역 y = f(u(x))함수 정의의 전체 영역 중 하나입니다. 유=유(엑스) 또는 값이 결정되는 부분 유, 함수 정의 영역을 벗어나지 않음 와이= 부).

함수 간 작업은 한 번이 아니라 여러 번 수행할 수 있습니다.

복소함수를 미분하는 규칙을 세워보자.

정리.기능의 경우 유= 유(엑스) 어느 시점에는 x 0미분하고 이 시점의 값을 취합니다. 당신 0 = 유(x 0) 및 기능 y=f(유)그 시점에있다 당신 0유도체 와이" 당신 = 에프 "(당신 0), 그런 다음 복잡한 기능 y = f(u(x))지정된 지점에서 x 0또한 다음과 같은 파생 상품이 있습니다. 와이" x = 에프 "(당신 0)· 유 "(x 0), 대신에 유표현은 대체되어야합니다 유= 유(엑스).

따라서 복소 함수의 도함수는 중간 인수에 대해 주어진 함수의 도함수의 곱과 같습니다. 유에 관한 중간 논증의 파생물 엑스.

증거. 고정된 값의 경우 엑스 0 우리는 가질 것이다 유 0 =유(엑스 0), ~에 0 =f(유 0 ). 새 인수 값의 경우 x 0+Δ 엑스:

Δ 유= 유(x 0 + Δ 엑스) – 유(엑스 0), Δ 와이=에프(당신 0+Δ 유) – 에프(당신 0).

왜냐하면 유– 한 점에서 미분 가능 x 0, 저것 유– 이 시점에서 계속됩니다. 따라서 Δ에서 엑스→0 Δ 유→0. Δ에 대해서도 마찬가지로 유→0 Δ 와이→0.

조건별 . 이 관계로부터 극한의 정의를 사용하여 다음을 얻습니다. 유→0)

여기서 Δ에서 α→0 유→0, 결과적으로 Δ에서 엑스→0.

이 평등을 다음과 같이 다시 작성해 보겠습니다.

Δ 와이=와이" uΔ 유+α·Δ 유.

결과 동등성은 Δ에도 유효합니다. 유임의의 α에 대해 =0입니다. 항등식 0=0으로 바뀌기 때문입니다. Δ에서 유=0 α=0이라고 가정합니다. 결과 평등의 모든 항을 Δ로 나누자 엑스

.

조건별 . 따라서 Δ에서 한계에 도달 엑스→0, 우리는 얻는다 와이" x = 와이"너·너"x. 정리가 입증되었습니다.

그래서 차별화를 하자면 복잡한 기능 y = f(u(x)),"외부" 함수의 파생물을 가져와야 합니다. 에프, 인수를 단순히 변수로 처리하고 독립 변수에 대한 "내부" 함수의 도함수를 곱합니다.

기능의 경우 y=f(x)형태로 표현될 수 있다 y=f(u), u=u(v), v=v(x),그런 다음 미분 y " x를 찾는 것은 이전 정리를 순차적으로 적용하여 수행됩니다.

입증된 규칙에 따르면, 우리는 와이" x = 와이" 너 유"x. 동일한 정리를 적용하면 유"x 우리는 얻습니다. 즉

와이" x = 와이"x 유" V V" x = 에프"유( 유)· 유" V ( V)· V" x ( 엑스).

예.

역함수의 개념

예부터 시작해 보겠습니다. 기능을 고려하십시오 y= x 3. 우리는 평등을 고려할 것입니다 와이= x 3방정식 상대로서 엑스. 각 값에 대한 방정식은 다음과 같습니다. ~에단일 값을 정의합니다. 엑스: . 기하학적으로 이는 모든 직선이 축에 평행 황소함수 그래프와 교차 y= x 3한 지점에서만. 그러므로 우리는 고려할 수 있습니다 엑스의 함수로 와이. 함수를 함수의 역함수라고 합니다 y= x 3.

일반적인 경우로 넘어가기 전에 정의를 소개합니다.

기능 y = f(x)~라고 불리는 증가특정 세그먼트에서 인수의 값이 더 큰 경우 엑스이 세그먼트에서 더 큰 함수 값에 해당합니다. 만약에 엑스 2 >엑스 1, 그럼 에프(엑스 2 ) > 에프(x) 1 ).

함수도 비슷하게 호출됩니다. 감소하는, 인수의 더 작은 값이 함수의 더 큰 값에 해당하는 경우, 즉 만약에 엑스 2 < 엑스 1, 그럼 에프(엑스 2 ) > 에프(x) 1 ).

그럼, 증가하거나 감소하는 함수를 봅시다. y=f(x), 일정 간격으로 정의됨 [ ㅏ; 비]. 명확성을 위해 우리는 증가하는 함수를 고려할 것입니다(감소하는 함수의 경우 모든 것이 유사합니다).

두 가지 다른 값을 고려하십시오. 엑스 1과 엑스 2. 허락하다 와이 1 =f(x 1 ), 예 2 =f(x 2 ). 증가하는 함수의 정의로부터 다음과 같은 결과가 나옵니다. 엑스 1 <엑스 2, 그럼 ~에 1 <~에 2. 따라서 두 개의 서로 다른 값 엑스 1과 엑스 2는 두 개의 서로 다른 함수 값에 해당합니다. ~에 1과 ~에 2. 그 반대도 마찬가지입니다. 만약에 ~에 1 <~에 2, 그러면 증가하는 함수의 정의로부터 다음과 같습니다. 엑스 1 <엑스 2. 저것들. 다시 두 개의 다른 값 ~에 1과 ~에 2는 두 개의 서로 다른 값에 해당합니다. 엑스 1과 엑스 2. 따라서 값 사이에는 엑스및 해당 값 와이일대일 대응이 확립됩니다. 즉, 방정식 y=f(x)각각 와이(함수 범위에서 가져옴 y=f(x))단일 값을 정의합니다. 엑스, 그리고 우리는 이렇게 말할 수 있습니다 엑스인수 함수가 있습니다 와이: x= g(와이).

이 함수는 뒤집다기능을 위해 y=f(x). 분명히 그 기능은 y=f(x)은 함수의 반대이다 x=g(y).

역함수는 다음과 같습니다. x=g(y)방정식을 풀어서 찾은 y=f(x)비교적 엑스.

예.기능을 부여하자 와이= 전자 x . 이 함수는 –무한대에서 증가합니다.< 엑스 <+∞. Она имеет обратную функцию 엑스= 로그 와이. 역함수의 영역 0< 와이 < + ∞.

몇 가지 의견을 제시해 보겠습니다.

참고 1.증가(또는 감소) 함수인 경우 y=f(x)간격 [ ㅏ; 비], 그리고 f(a)=c, f(b)=d이면 역함수가 정의되고 간격 [ 씨; 디].

노트 2.기능의 경우 y=f(x)특정 간격에서 증가하거나 감소하지 않으면 여러 역함수를 가질 수 있습니다.

예.기능 y=x2–무한대에서 정의됨<엑스<+∞. Она не является ни возрастающей, ни убывающей и не имеет обратной функции. Однако, если мы рассмотриминтервал 0≤엑스<+∞, то здесь функция является возрастающей и обратной для нее будет . На интервале – ∞ <엑스≤ 0 함수 – 감소하고 그 반대입니다.

노트 3.기능의 경우 y=f(x)그리고 x=g(y)서로 반대인 경우 변수 간의 동일한 관계를 나타냅니다. 엑스그리고 와이. 그러므로 둘의 그래프는 같은 곡선이다. 그러나 역함수의 논증을 다시 다음과 같이 나타내면 엑스, 그리고 함수를 통해 와이동일한 좌표계에 플롯하면 두 개의 다른 그래프가 표시됩니다. 그래프가 첫 번째 좌표 각도의 이등분선을 기준으로 대칭임을 쉽게 알 수 있습니다.

미분 역함수에 관한 정리

함수의 도함수를 찾을 수 있는 정리를 증명해 보겠습니다. y=f(x), 역함수의 미분을 알고 있습니다.

정리.기능을 위한 경우 y=f(x)역함수가 있다 x=g(y), 어느 시점에서 ~에 0에는 파생 상품이 있습니다. g "(v 0), 0이 아닌 경우 해당 지점에서 x 0=g(x 0) 기능 y=f(x)파생상품이 있어요 에프 "(x 0), 같음, 즉 공식이 맞습니다.

증거. 왜냐하면 x=g(y)시점에서 구별 가능 와이 0, 저것 x=g(y)이 시점에서 연속이므로 함수는 y=f(x)한 지점에서 연속 x 0=g(와이 0). 따라서 Δ에서 엑스→0 Δ 와이→0.

그걸 보여주자 .

허락하다 . 그러면 한계의 성질에 의해 . 이 평등을 Δ의 극한까지 전달합시다. 와이→0. 그러면 Δ 엑스→0 및 α(Δx)→0, 즉 .

따라서,

,

Q.E.D.

이 수식은 다음과 같은 형식으로 작성할 수 있습니다.

예제를 사용하여 이 정리의 적용을 살펴보겠습니다.

미분 계산은 통합 상태 시험(Unified State Examination) 작업에서 흔히 볼 수 있습니다. 이 페이지에는 파생상품을 찾는 공식 목록이 포함되어 있습니다.

차별화 규칙

1. (k⋅ f(x))′=k⋅ f ′(x).
2. (f(x)+g(x))′=f′(x)+g′(x).
3. (f(x)⋅ g(x))′=f′(x)⋅ g(x)+f(x)⋅ g′(x).
4. 복잡한 함수의 파생물입니다. y=F(u), u=u(x)이면 함수 y=f(x)=F(u(x))를 x의 복소 함수라고 합니다. y′(x)=Fu′⋅ ux′와 같습니다.
5. 암시적 함수의 파생물입니다. 함수 y=f(x)는 F(x,f(x))=0인 경우 관계 F(x,y)=0으로 정의된 암시적 함수라고 합니다.
6. 역함수를 파생합니다. g(f(x))=x이면 함수 g(x)를 함수 y=f(x)의 역함수라고 합니다.
7. 매개변수적으로 정의된 함수의 파생물입니다. x와 y를 변수 t의 함수로 지정합니다: x=x(t), y=y(t). 그들은 y=y(x)가 x∈ (a;b) 구간에서 매개변수적으로 정의된 함수라고 말합니다. 만약 이 구간에서 방정식 x=x(t)가 t=t(x)로 표현될 수 있고 함수 y=y(t(x))=y(x).
8. 거듭제곱 지수 함수의 파생입니다. 자연로그의 밑수에 로그를 취하여 구합니다.

이 테이블은 여러 번 필요할 수 있으므로 링크를 저장하는 것이 좋습니다.