2013~2014학년도 2학기 강의번호 2.6 12페이지

굽힘 중 빔의 변형. 빔의 곡선 축에 대한 미분 방정식. 초기 매개변수 방법. 탄성선의 보편방정식.

6. 평면 굽힘 중 보의 변형

6.1. 기본 개념 및 정의

평면 굽힘 동안 빔의 변형을 고려해 보겠습니다. 하중의 영향을 받는 빔의 축은 힘의 작용 평면(평면)에서 구부러집니다. 엑스 0와이), 단면은 일정량만큼 회전 및 이동됩니다. 굽힘 중 빔의 곡선 축을 호출합니다. 곡선 축또는 탄력있는 라인.

굽힘 중 빔의 변형을 두 가지 매개변수로 설명합니다.

처짐(와이) – 수직 방향으로 빔 단면의 무게 중심 변위

쌀. 6.1을 축으로 합니다.

편향을 혼동하지 마십시오 와이좌표와 함께 와이빔 섹션 포인트!

빔의 가장 큰 편향을 편향 화살표( 에프= 와이 최대);

2) 단면 회전 각도() – 단면이 원래 위치(또는 탄성선의 접선과 빔의 원래 축 사이의 각도)를 기준으로 회전하는 각도입니다.

일반적으로 주어진 지점에서 빔의 편향 정도는 좌표의 함수입니다. 지 다음 방정식으로 쓸 수 있습니다.

그런 다음 보의 곡선 축에 대한 접선과 축 사이의 각도 엑스다음 표현식으로 결정됩니다.

.

각도와 변위가 작기 때문에 다음과 같이 가정할 수 있습니다.

단면의 회전 각도는 단면의 가로좌표를 따른 빔 편향의 1차 미분입니다.

6.2. 보의 곡선 축의 미분 방정식

굽힘 현상의 물리적 특성을 바탕으로 연속 빔의 곡선 축은 연속적이고 부드러운(꼬임 없이) 곡선이어야 한다고 주장할 수 있습니다. 이 경우 빔의 특정 부분의 변형은 탄성선의 곡률, 즉 빔 축의 곡률에 의해 결정됩니다.

이전에 우리는 굽힘 중에 빔의 곡률(1/ρ)을 결정하는 공식을 얻었습니다.

.

한편, 고등 수학 과정에서 평면 곡선의 곡률 방정식은 다음과 같은 것으로 알려져 있습니다.

.

이러한 표현식의 우변을 동일시하면 빔의 곡선 축에 대한 미분 방정식을 얻습니다. 이를 빔의 곡선 축에 대한 정확한 방정식이라고 합니다.

편향 좌표계에서 지0 와이 축일 때 와이 위쪽으로 향하면 순간의 부호가 의 2차 도함수의 부호를 결정합니다. 와이 에 의해 지.

이 방정식을 통합하는 것은 분명히 몇 가지 어려움을 나타냅니다. 따라서 일반적으로 단위에 비해 괄호 안의 값을 무시하고 단순화된 형태로 작성합니다.

그 다음에 보의 탄성선의 미분방정식우리는 그것을 다음과 같은 형태로 고려할 것입니다.

(6.1)

우리는 변수에 대한 두 부분을 통합하여 미분 방정식(6.1)에 대한 해를 찾습니다. 지:

(6.2)

(6.3)

적분 상수 씨 1 , 디 1은 경계 조건에서 발견됩니다. 즉, 빔을 고정하기 위한 조건이며, 빔의 각 섹션에 대해 자체 상수가 결정됩니다.

구체적인 예를 사용하여 이러한 방정식을 푸는 절차를 고려해 보겠습니다.

디 아노:

캔틸레버 빔 길이 엘전단력을 받음 에프. 빔 재료( 이자형), 단면의 모양과 치수 ( 나 엑스) 우리는 또한 알려진 것으로 간주합니다.

에 대한 한계회전 각도 변화의 법칙 ( 지) 및 처짐 와이(지) 길이에 따른 빔과 특성 섹션의 값.

해결책

a) 밀봉 반응을 결정합니다.

b) 단면법을 사용하여 내부 굽힘 모멘트를 결정합니다.

c) 빔 섹션의 회전 각도를 결정합니다.

끊임없는 씨 1 우리는 고정 조건, 즉 견고한 임베딩에서 회전 각도가 0과 같다는 것을 알았습니다.


(0) = 0  씨 1 =0.

빔의 자유 끝의 회전 각도를 찾아 보겠습니다. 지 = 엘) :

빼기 기호는 단면이 시계 방향으로 회전했음을 나타냅니다.

d) 빔의 편향을 결정합니다.

끊임없는 디 1 우리는 고정 조건, 즉 단단한 매립에서 처짐이 0과 같다는 것을 알았습니다.

y(0) = 0 + D 1  디 1 = 0

보의 자유단의 처짐을 찾아봅시다( 엑스= 엘)

.

빼기 기호는 단면이 아래쪽으로 이동했음을 나타냅니다.

빔 변위의 분석적 결정

실시예 1

작업

그림에 표시된 빔의 경우 4.20, ㅏ, 단면에서 편향을 찾아야 합니다. 와 함께, 단면의 회전 각도 안에허용 처짐이 다음과 같을 경우 해석적으로 강성 조건을 확인합니다. 엘/100. 빔은 목재로 만들어졌으며 반경 12cm의 통나무 3개로 이루어진 단면을 가지고 있습니다.(이 빔의 단면 선택에 대해서는 섹션 4.1.2, 예 1을 참조하십시오.)

해결책

분석적인 방법으로 빔의 변위를 결정하기 위해 굽힘 모멘트에 대한 표현을 기록하기 위한 Clebsch 규칙을 사용하여 곡선 축의 미분 방정식(4.16)을 작성합니다. 고려 중인 문제에서는 오른쪽(가까운 부분)에서 좌표의 원점을 선택하는 것이 더 합리적입니다. 보의 왼쪽 끝단에 도달하지 못하는 분포하중은 단면까지 연장됩니다. 와 함께(그림 4.20, V). 굽힘 모멘트의 표현은 다음과 같습니다.

.

이 식을 미분방정식(4.16)에 대입하고 두 번 적분해 보겠습니다.

;

;

.

상수를 결정하려면 와 함께그리고 디경계 조건을 적어 봅시다: 매립에서(섹션에서) ㅏ, 좌표의 원점이 위치한 곳), 빔의 회전 각도와 편향은 0과 같습니다.

그리고 .

이러한 조건을 첫 번째 섹션의 회전 각도 및 편향에 대한 표현식으로 대체하면 다음을 알 수 있습니다.

이제 지정된 동작을 정의할 수 있습니다. 단면의 회전 각도를 결정하려면 안에첫 번째 섹션(라인 번호 I까지만)의 회전 각도에 대한 표현식을 다음 값으로 대체해 보겠습니다.

부호 규칙에 따라 선택한 원점에 대한 회전 각도의 음수 부호 엑스오른쪽은 단면이 시계 방향으로 회전했음을 의미합니다.

단면에서 와 함께, 처짐을 찾고 싶은 곳, 좌표 엑스는 와 같고, 이 단면은 보의 세 번째 단면에 위치하므로 다음으로 대체합니다. 엑스= 처짐 표현에서 4m, 세 섹션 모두의 용어 사용:

kN·m 3.

발견된 처짐에 대한 마이너스 기호는 단면이 와 함께위로 이동합니다. 빔의 곡선 축에서 발견된 변위를 보여드리겠습니다. 변형 후 빔의 축을 그리기 위해 굽힘 모멘트 다이어그램을 작성합니다(그림 4.20, 비). 다이어그램의 양수 부호 중섹션에서는 이 섹션의 빔이 아래쪽으로 볼록하게 구부러져 있음을 보여줍니다(음수 부호). 중곡선 축은 위쪽으로 볼록합니다. 또한 빔의 변형된 축은 고정 조건을 충족해야 합니다. 우리의 경우 오른쪽 끝에서 빔이 단단히 조여지고 경계 조건을 작성할 때 이미 언급한 대로 꼬집음의 편향 및 회전 각도 0과 같아야 합니다. 그림에서. 4.20, G고려 중인 빔의 축은 변형 후 표시되며 이러한 조건을 충족합니다. 곡선 축은 단면에서 발견된 처짐을 보여줍니다. 와 함께및 단면 회전 각도 안에그들의 징후를 고려합니다.

결론적으로 빔의 처짐을 센티미터 단위로, 회전 각도를 라디안 단위로 계산하고 강성 조건을 확인하겠습니다. 강성을 찾아보자 EI반경 12cm의 통나무 3개로 구성된 고려된 목재 빔 단면의 관성 모멘트

센티미터 4.

목재의 탄성 계수 이자형= 10 4 MPa = 10 3 kN / cm 2. 그 다음에

단면의 빔 편향 와 함께

센티미터,

그리고 단면의 회전 각도 안에

기쁜.

분명히(그림 4.20 참조, G), 단면에서 발견된 빔의 처짐 와 함께가 최대이므로 강성 조건을 확인하기 위해 허용 처짐과 비교합니다. 빔 길이 m에 대해 조건에 ​​따른 허용 처짐 cm 따라서 최대 처짐은 다음과 같습니다. cm가 허용치 이하이고 강성조건을 만족한다.

실시예 2

작업

그림에 표시된 두 개의 콘솔이 있는 빔에서. 4.21, ㅏ단면의 회전 각도를 찾아야 합니다. ㅏ및 단면 편향 디분석적 방법을 사용합니다. 보의 단면은 I빔 No. 24이다.

해결책

좌표의 원점을 선택하자 엑스해당 지점에서 보의 왼쪽 끝 ㅏ Clebsch의 규칙을 고려하여 모든 섹션에서 굽힘 모멘트에 대한 표현식을 기록합니다.

이 식을 곡선 축의 미분 방정식(4.16)에 대입하고 두 번 적분해 보겠습니다.

임의의 상수를 찾아보자 와 함께그리고 디경계조건으로부터. 포인트에서 안에그리고 와 함께지지대가 있는 곳에서는 편향이 불가능합니다. 그렇기 때문에

우리는 두 개의 미지수를 갖는 두 방정식의 시스템을 얻었습니다. 와 함께그리고 디. 이 시스템을 해결하면 와 함께= 40kNm 2, 디= – 40kN·m 3. 임의의 상수의 기하학적 의미를 이용하여 결과를 분석해보자 와 함께그리고 디. 그림에서. 4.21, V굽힘 모멘트 및 고정 조건 다이어그램에 해당하는 빔의 곡선 축이 표시됩니다. 점 ㅏ원점에 위치한 는 위쪽으로 이동하므로 다음을 기대해야 합니다. 부호 규칙에 따라 음의 부호를 가지게 됩니다. 한 지점의 섹션 ㅏ시계방향으로 회전하므로 상수 긍정적이어야 합니다. 수신된 표지판 와 함께그리고 디수행된 분석과 모순되지 않습니다.

주제 6

굽힘 중 움직임의 결정. 강성을 위한 빔 계산

6.1. 탄력있는 라인의 개념. 편향 및 회전 각도. 탄성선의 미분 방정식. 굽힘강성상태

벤딩 빔의 성능을 판단하려면 주어진 하중으로 인해 빔 단면에서 발생하는 응력만 아는 것만으로는 충분하지 않습니다. 계산된 응력을 통해 시스템의 강도를 확인할 수 있습니다. 그러나 매우 강한 빔은 강성이 부족하여 사용하기에 부적합할 수 있습니다. 하중을 가하는 동안 빔이 강하게 구부러지면 유연한 빔이 있는 구조물을 작동하는 동안 어려움이 발생할 수 있으며, 또한 진폭이 큰 빔의 진동이 발생할 수 있으며 동시에 상당한 추가 응력이 발생할 수 있습니다.

아래에 엄격이해되어야 한다 눈에 보이는 변형 없이 외부 하중에 저항하는 구조 요소 및 기계 부품의 능력.강성 계산은 적용된 하중의 영향을 받는 빔의 탄성 컴플라이언스를 평가하고 변위가 표준에 의해 설정된 한계를 초과하지 않는 단면 치수를 선택하는 것으로 구성됩니다. 이러한 계산을 수행하려면 외부 하중의 영향을 받는 빔 단면의 변위를 계산하는 방법을 배워야 합니다.

단순 굽힘 중에 빔의 변형을 고려해 보겠습니다. 주요 관성 평면 중 하나에 위치한 하중의 영향을받는 빔 축 (그림 6.1, a) (평면 DIV_ADBLOCK65">

포인트 https://pandia.ru/text/79/355/images/image003_20.gif" width="13" height="15">.gif" width="24" height="19 src=">.gif "width="13" height="15">. 한 지점에서 곡선 빔의 축에 대한 접선을 그리면 축의 초기 위치를 기준으로 각도만큼 회전됩니다. 동시에 시간이 지나면 해당 지점의 단면이 같은 각도로 회전하므로 3개의 양이 발생합니다.- , 및 는 빔의 임의 단면의 변위 구성 요소입니다. 빔의 축에 수직인 방향으로 단면의 무게 중심이 이동하는 것을 호출합니다. 처짐. 가장 큰 편향이라고 합니다. 편향 붐문자로 지정됩니다.

각도 https://pandia.ru/text/79/355/images/image010_4.gif" width="24" height="19 src=">.

Font-weight:normal"> 그림 6.1

빔의 강성을 확인하려면 가장 큰 편향이 Font-weight:normal"> 이라는 요구 사항이 필요합니다.

숫자 https://pandia.ru/text/79/355/images/image014_4.gif" width="17" height="15 src=">는 1000과 같습니다.

이는 굽힘 처짐이 일반적으로 빔의 스팬에 비해 작다는 것을 보여줍니다. 이를 통해 몇 가지 단순화가 가능해졌습니다. 첫째, 작은 편향의 경우font-weight:normal">font-weight:normal">두 번째로 수평 이동은 https://pandia.ru/text/79/355/images /image016_5보다 훨씬 작기 때문에 무시할 수 있습니다. gif" width="45" height="15 src=">). 이와 관련하여 계산에서는 그림 6.1, b에 표시된 조건부 이동 다이어그램을 사용합니다. 이 구성표에 따르면 각 점은 수직으로 이동합니다. 빔의 세로축.

변형의 전체 그림을 결정하려면 탄성선의 방정식을 구해야 합니다.

기반을 둔 물리적 성격빔의 곡선 축에서 탄성선은 연속적이고 부드러운 곡선이어야 하며 따라서 빔의 전체 축을 따라 함수와 1차 도함수는 연속적이어야 한다고 주장할 수 있습니다. 편향 및 회전 각도는 굽힘 중 빔 섹션의 변위입니다. 빔의 특정 부분의 변형은 곡률에 의해 결정됩니다.

수직 굽힘 응력에 대한 공식을 도출할 때 곡률과 굽힘 모멘트 사이의 관계를 얻었습니다.

Font-weight:normal">고등 수학 과정에서 다음과 같은 평면 곡선의 곡률 방정식이 알려져 있습니다.

Font-weight:normal">곡률 값을 등식(6.2)으로 대체하고 좌표를 편향으로 바꾸면 빔 탄성선의 정확한 미분 방정식을 얻습니다.

Font-weight:normal">이 비선형 미분 방정식의 적분은 큰 어려움과 연관되어 있습니다. 실제로 우리는 작은 처짐을 처리해야 하고 축에 대한 접선 경사각의 접선이 작을 것이라는 점을 고려하면, 1차 미분의 제곱 https://pandia.ru/ text/79/355/images/image024_4.gif" width="101 height=48" height="48"> (6.5)

곡률의 부호가 굽힘 모멘트의 부호와 일치하지 않을 수 있기 때문에 식 (6.5)에는 두 개의 부호가 제공됩니다. 곡률의 부호는 좌표축의 방향에 따라 달라집니다. 굽힘 모멘트의 부호는 인장 섬유의 위치에 따라 선택되었습니다. 예를 들어 축이 위쪽을 향하는 경우 긍정적인 점(그림 6.2, a)는 양의 곡률에 해당하고 음의 곡률은 음의 곡률에 해당합니다.

글꼴 크기:14.0pt"> 그림 6.2

따라서 축이 위쪽을 향하는 경우 곡률의 징후와 굽힘 모멘트가 일치합니다. 따라서 미분 방정식에서 부호가 사용됩니다.“ + ” . 축이 EN-US인 경우" style="font-size: 14.0pt">“- ” .

6.2. 탄성선의 근사(주) 미분방정식을 직접 적분하는 방법

문제 해결 분석 방법, 회전 각도 및 처짐은 근사 미분 방정식(6.5)의 순차적 적분에 의해 계산됩니다. 처음으로 방정식 (6.5)을 통합하여 회전 각도에 대한 표현식을 얻습니다.

https://pandia.ru/text/79/355/images/image030_3.gif" width="12" height="23">

여기서 글꼴 계열: 기호">- 적분 상수.

두 번째 적분을 통해 처짐에 대한 표현식을 얻습니다.

글꼴 크기:14.0pt">.gif" width="17" height="17 src=">- 지속적인 통합.

(6.6)과 (6.7)에 포함된 적분을 계산하려면 먼저 굽힘 모멘트와 강성에 대한 분석식을 작성해야 합니다. 적분 상수 경계 조건에서 발견됩니다., 조건에 따라 다름보 단면의 경계 이동.

빔의 탄성선의 근사 방정식을 직접 적분하는 방법을 사용하는 몇 가지 예를 고려해 보겠습니다.

예제 6.1.그림 6.3에 표시된 보의 단면 B의 편향과 회전 각도를 결정하십시오.

글꼴 크기:14.0pt"> 그림 6.3

해결책:

; .

- 오른쪽으로.

.

"+" 기호

5. 처음으로 방정식을 적분해 봅시다. 우리는 다음을 얻습니다:

EN-US" 스타일="글꼴 크기: 14.0pt">.(ㅏ)

EN-US" 스타일="글꼴 크기: 14.0pt">.(비)

매립의 편향 및 회전 각도가 0이므로 적분 상수를 결정하기 위한 경계 조건의 형식은 다음과 같습니다.

https://pandia.ru/text/79/355/images/image042_3.gif" width="37" height="19 src=">font-size:14.0pt">수식 (a)에서 보면 분명합니다. 상수는 원점(섹션 A)에서의 회전 각도를 나타냅니다. 방정식 (a)를 설정하면 . 방정식 (b)에서 상수 글꼴 크기:14.0pt; 글꼴 계열:Symbol">-원점에서의 처짐..gif" width="43" height="19 src=">.

따라서 편향 및 회전 각도에 대해 다음 표현식을 얻습니다.

,

.

첫 번째 방정식을 대체하면 편향 화살표를 찾을 수 있습니다.

.

두 번째 방정식을 대체하면 최대 회전 각도를 찾습니다.

징후 " - " 편향 시 방향이 축의 양의 방향과 일치하지 않음을 나타냅니다. 징후“ - ” 회전 각도에 대한 표현식에서 섹션 B가 시계 반대 방향이 아닌 시계 방향으로 회전했음을 보여줍니다.

예제 6.2.두 개의 지지 빔의 편향과 지지 섹션 A와 B의 회전 각도를 결정합니다(그림 6.4).

글꼴크기:14.0pt"> 그림6.4

해결책:

1. 평형 조건에서 지지 반응을 결정합니다.

2. 빔의 왼쪽 끝에서 좌표 원점을 선택하고 이를 A점과 결합합니다. 축은 위쪽을 향하고 축은 위쪽을 향합니다.- 오른쪽으로.

3. 섹션에서 굽힘 모멘트에 대한 방정식을 만듭니다.

.

4. 빔의 강성이 일정하다고 가정하고 빔의 탄성선에 대한 대략적인 미분 방정식을 작성합니다.

.

"+" 기호 탄성선의 방정식은 축이 위쪽을 향하기 때문에 취해졌다.

5. 처음으로 방정식을 적분해 봅시다. 우리는 다음을 얻습니다:

EN-US" 스타일="글꼴 크기: 14.0pt">.(V)

다시 통합하면 단면의 처짐에 대한 방정식을 얻습니다.

EN-US" 스타일="글꼴 크기: 14.0pt">.(G)

경계 조건에서 적분 상수를 찾습니다.

https://pandia.ru/text/79/355/images/image049_2.gif" width="35" height="19 src=">font-size:14.0pt">수식 (d)에 대입하여 동일시하면 0으로의 편향, 우리는 ; https://pandia.ru/text/79/355/images/image031_4.gif" width="16" height="19">를 동일한 방정식으로 대체하면 다음과 같습니다.

발견된 적분 상수 값을 방정식 (c) 및 (d)에 대체하고 회전 각도 및 편향에 대한 방정식을 얻습니다.

;

.

https://pandia.ru/text/79/355/images/image049_2.gif" width="35" height="19 src=">를 첫 번째 방정식에 대입하면 섹션 A와 B의 회전 각도를 얻습니다. , 각각:

; .

하중의 대칭으로 인해 최대 편향은 빔의 중앙에 있을 것입니다. 두 번째 방정식에 글꼴 크기:14.0pt">를 대입합니다. .

이전 예와 마찬가지로 기호는“ - ” 편향 시 해당 방향이 EN-US style="font-size:14.0pt"">“ 축의 양의 방향과 일치하지 않음을 나타냅니다.- ” 회전 각도에 대한 표현에서 단면 A가 시계 반대 방향이 아닌 시계 방향으로 회전했음을 보여줍니다.“ + ” 회전 각도 표현에서 글꼴 크기:14.0pt">예 6.3. 그림 6.5에 표시된 보 끝 부분 B의 처짐은 보 중앙의 C 부분의 처짐보다 몇 배나 더 큽니까??

EN-US" style="font-size:14.0pt"> 그림 6.5

해결책:

예제 6.1에서 얻은 결과를 사용해 보겠습니다. 편향에 대한 최종 표현식을 작성해 보겠습니다.

그리고 이 방정식에 점 C와 B의 좌표를 대입하면 다음과 같은 결과를 얻습니다.

https://pandia.ru/text/79/355/images/image070_2.gif" width="264" height="101 src=">;

굽힘에 대한 가설. 중립층, 곡률 반경, 곡률, 변형 분포 및 로드 단면 높이에 따른 수직 응력. 막대의 평면 가로 굽힘 중 접선 응력. 굽힘 강도에 대한 빔 계산. 굽힘 동작.

정상 전압순수한 직선 굽힘으로. 수직 응력은 굽힘 모멘트에만 의존하므로 계산 공식은 순수 굽힘과 관련하여 도출될 수 있습니다. 탄성 이론 방법을 사용하면 순수 굽힘 중에 수직 응력에 대한 정확한 의존성을 얻을 수 있지만 재료 강도 방법으로 이 문제를 해결하려면 몇 가지 가정을 도입해야 합니다.

굽힘에 대한 세 가지 가설이 있습니다.

1) 편평 단면의 가설(Bernoulli 가설) - 변형 전의 편평한 단면은 변형 후에도 편평하게 유지되지만 빔 단면의 중립 축이라고 불리는 특정 선에 대해서만 회전합니다. 이 경우 중립 축의 한쪽에 있는 빔의 섬유는 늘어나고 다른 쪽에서는 압축됩니다. 중립축에 있는 섬유는 길이를 바꾸지 않습니다.

2) 수직 응력의 일정성에 대한 가설 - 중립 축으로부터 동일한 거리 y에서 작용하는 응력은 빔 폭 전체에 걸쳐 일정합니다.

3) 측면 압력이 없다는 가설 - 인접한 세로 섬유는 서로를 누르지 않습니다.

쌀. 28. 베르누이의 추측

정적 평면 굽힘 문제. 단면의 굽힘 모멘트는 중립 축을 기준으로 빔 단면의 기본 영역에서 발생하는 모든 기본 내부 수직력 σ.dA의 모멘트의 합입니다(그림 29). .

이 표현평면 굽힘 문제의 정적 측면을 나타냅니다. 그러나 단면에 대한 응력 분포 법칙이 알려져 있지 않기 때문에 수직 응력을 결정하는 데 사용할 수 없습니다.

쌀. 29. 문제의 정적인 측면

평면 굽힘 문제의 기하학적 측면. 두 개의 단면으로 길이가 dz인 빔 요소를 선택하겠습니다. 하중이 가해지면 중립 축이 구부러지고(곡률 반경 ρ) 단면은 중립 선을 기준으로 각도 dθ만큼 회전합니다. 중성층 섬유 세그먼트의 길이는 변경되지 않은 상태로 유지됩니다(그림 30, b).

쌀. 30. 문제의 기하학적 측면:
a - 빔 요소; b - 중립축의 곡률; c - 다이어그램 σ.dA; d - 다이어그램 ε

중성층으로부터 거리 y에 위치한 섬유 세그먼트의 길이를 결정합시다

dz 1 = (ρ + y)dθ .

이 경우 상대 신장은 다음과 같습니다.

의존성은 평면 굽힘 문제의 기하학적 측면을 반영하며, 선형 법칙에 따라 단면 높이에 따라 세로 섬유의 변형이 변한다는 것이 분명합니다.

빔이 구부러져도 길이가 변하지 않는 섬유 집합을 중성층이라고 합니다.

빔의 단면이 빔의 중립층과 교차하는 선을 중립 단면선이라고 합니다.

평면 굽힘 문제의 물리적 측면. 축 장력에 대한 Hooke의 법칙을 사용하여 다음을 얻습니다.

평면 굽힘 문제의 정적 측면을 반영하는 표현식에 σ 값을 대입하면 다음을 얻습니다.

값을 원래 공식에 대입하면 다음을 얻습니다.

(13)

이 표현은 평면 굽힘 문제의 물리적 측면을 반영하므로 단면 높이에 따른 수직 응력을 계산할 수 있습니다.

이 표현은 이론 및 실험 연구에서 알 수 있듯이 순수 굽힘의 경우에 대해 얻어졌지만 평면 가로 굽힘에도 사용할 수 있습니다.

중립선.중립선의 위치는 순수 굽힘 하에서 빔 단면의 수직력이 0과 같다는 조건에서 결정됩니다.

M x ≠ 0이고 I x ≠ 0이므로 적분은 0과 같아야 합니다. 이 적분은 중립축에 대한 단면의 정적 모멘트를 나타냅니다. 단면의 정적 모멘트는 중심축에 대해서만 0이므로 평면 굽힘의 중립선은 단면의 주요 관성 중심축과 일치합니다.

전단응력. 평면 가로 굽힘 중에 빔 단면에서 발생하는 접선 응력은 다음 관계식에 의해 결정됩니다.

(14)

여기서 Q는 고려 중인 보 단면의 전단력입니다. S xo - 빔의 중립 축을 기준으로 단면의 절단 부분 영역의 정적 모멘트. b는 고려 중인 레이어의 단면 너비입니다. Ix는 중립축에 대한 단면의 관성 모멘트입니다.

전단응력은 단면의 가장 바깥쪽 섬유에서 0이고 중성층의 섬유에서 최대입니다.

굽힘 강도에 대한 빔 계산. 다음 조건이 충족되면 빔의 강도가 보장됩니다.

(15)

굽힘 시 최대 수직 응력은 최대 굽힘 모멘트가 작용하는 단면, 즉 중립축에서 가장 먼 단면에서 발생합니다.

최대 전단력이 작용하는 보 단면에서 최대 전단응력이 발생함

접선 응력 τmax는 일반적으로 σmax에 비해 작으며 일반적으로 계산 시 고려되지 않습니다. 전단 응력 테스트는 짧은 빔에 대해서만 수행됩니다.

굽힘 동작. 강성 계산은 적용된 하중의 영향을 받는 빔의 탄성 컴플라이언스를 평가하고 변위가 표준에 의해 설정된 한계를 초과하지 않도록 단면 치수를 선택하는 것을 의미합니다.

굽힘강성상태

빔 축에 수직인 방향으로 단면의 무게 중심이 이동하는 것을 편향이라고 합니다. 처짐은 문자 W로 표시됩니다.

스팬이나 빔 콘솔에서 가장 큰 처짐을 편향 화살표라고 하며 문자 f로 지정합니다.

모서리 큐, 각 섹션은 원래 위치를 기준으로 회전하며 회전 각도입니다.

단면이 시계 반대 방향으로 회전하면 회전 각도는 양수로 간주됩니다.

단면의 회전 각도는 동일한 단면의 Z 좌표를 따른 처짐의 미분 값과 같습니다. 즉,

보의 탄성선 방정식

(16)

보의 탄성선의 미분 방정식을 푸는 방법에는 세 가지가 있습니다. 직접 적분법, Clebsch법, 초기 매개변수법 등이 있습니다.

직접 통합 방식. 처음으로 빔의 탄성선 방정식을 통합하여 회전 각도를 결정하는 표현식을 얻습니다.

두 번째로 적분하면 처짐을 결정하는 표현식이 발견됩니다.

적분 상수 C와 D의 값은 빔 지지대의 초기 조건으로부터 결정됩니다.

클레브쉬 방식. 방정식을 컴파일하려면 다음 기본 조건이 충족되어야 합니다.

• 모든 단면에 대한 좌표의 원점은 빔의 가장 왼쪽 끝에 위치해야 합니다.
• 브래킷을 열지 않고 빔의 탄성선의 미분 방정식의 적분을 수행합니다.
• 방정식에 외부 집중 모멘트 M을 포함하는 경우 (Z - a)를 곱해야 합니다. 여기서 a는 모멘트가 적용되는 단면의 좌표입니다.
• 분산하중이 파손될 경우 보의 끝부분까지 연장되며, 실제 하중상태를 복원하기 위해 반대방향의 "보상" 하중이 도입됩니다.

초기 매개변수 방법

회전 각도의 경우

(17)

처짐의 경우:

(18)

여기서 θ는 단면의 회전 각도입니다. w - 처짐; θo - 원점에서의 회전 각도. w0 - 원점에서의 편향; dі - 원점에서까지의 거리 i 번째 지원빔; ai는 원점에서 집중 모멘트 Mi가 적용되는 지점까지의 거리입니다. bi는 원점에서 집중된 힘 Fi의 적용 지점까지의 거리입니다. сi - 원점에서 분산 하중 구간의 시작점까지의 거리 qi; Ri 및 Мрi - 빔 지지대의 반응 및 반응 모멘트.

간단한 경우의 편향 화살표 결정

쌀. 31. 보하중의 예

Mohr의 방법에 의한 변위 계산

빔의 곡선 방정식에 대한 지식이 필요하지 않고 개별 단면의 선형 또는 각도 변위만 결정해야 하는 경우 Mohr의 방법을 사용하는 것이 가장 편리합니다. 빔과 평면 프레임의 경우 Mohr의 적분은 다음을 갖습니다. 형태:

여기서 δ는 원하는 변위(선형 또는 각도)입니다. M p, M i - 주어진 힘과 단위 힘으로부터 각각 굽힘 모멘트의 분석적 표현. EJ x는 굽힘 평면에서 빔 단면의 강성입니다. 변위를 결정할 때 시스템의 두 가지 상태를 고려해야 합니다. 1 - 외부 하중이 적용된 실제 상태; 2 - 빔이 외부 하중에서 해제되고 선형 변위가 결정된 경우 변위가 결정된 단면에 단위 힘이 가해지고 각도 변위가 결정된 경우 단일 순간이 적용되는 보조 상태 ( 그림 32).

쌀. 32. 움직임의 결정:
a - 실제 상태 b, c - 보조 상태

예를 들어 Mohr의 공식을 얻을 수 있습니다. 가능한 움직임의 원리를 사용합니다.

쌀. 33. 프레임 다이어그램:
a - 힘의 영향을 받는 경우; b - 내부 노력

원하는 변위 ΔA 방향의 지점 A에서 단위 힘이 가해지면 시스템 단면에 내부 힘 계수가 발생하는 다이어그램(그림 33a)을 고려해 보겠습니다(그림 33, b). 가능한 변위의 원리에 따라 가능한 모든 변위에 대한 이러한 내부 힘 계수의 작업은 가능한 변위 δΔA에 대한 단위 힘의 작업과 동일해야 합니다.

선택하다 가능한 움직임실제에 비례:

그리고 대체 후에 우리는 다음을 얻습니다:

그런 점을 고려하면

우리는 Mohr의 공식에 도달했습니다

(19)

이는 로드 시스템의 일반화된 변위를 결정하는 역할을 합니다.

빔이 굽힘에서만 작동하는 경우(Mx ≠ 0, Nz = Mz = My = Qx = Qy = 0) 식(1)은 다음과 같은 형식을 취합니다.

(20)

Vereshchagin의 규칙 Mohr 공식의 직접 통합을 소위 다이어그램 곱셈으로 대체할 수 있습니다. 해당 다이어그램을 곱하여 직접 적분을 대체하여 Mohr 적분을 계산하는 방법을 Vereshchagin 방법(또는 규칙)이라고 하며 다음으로 구성됩니다. 두 다이어그램 중 적어도 하나가 직선인 다이어그램을 곱하려면 다음이 필요합니다. 한 다이어그램의 면적에 먼저 무게 중심 아래에 있는 다른 다이어그램의 세로 좌표를 곱합니다(세로 좌표는 직선 다이어그램에만 사용됩니다). 복잡한 모양의 다이어그램은 직사각형, 삼각형, 2차 포물선 등 여러 가지 간단한 모양으로 나눌 수 있습니다. (그림 34).

쌀. 34. 가장 간단한 다이어그램

Vereshchagin의 규칙의 타당성.

쌀. 35. 다이어그램 곱셈 방식:
a - 임의의 다이어그램; b - 직선

굽힘 모멘트에 대한 두 가지 다이어그램이 제시되는데, 그 중 하나는 Mk가 임의의 윤곽을 갖고 다른 하나는 직선을 갖습니다(그림 35). 막대의 단면적은 일정한 것으로 간주됩니다. 이 경우

Mkdz 값은 다이어그램 Mk(음영)의 기본 면적 dΩ를 나타냅니다. 우리는 얻는다

그러나 Mi = ztg α이므로,

이 표현식은 점 O를 통과하는 y축을 기준으로 다이어그램 Mk 영역의 정적 모멘트를 나타내며 ΩkΖc와 같습니다. 여기서 Ωk는 모멘트 다이어그램의 영역입니다. Ζс - y축에서 다이어그램 M k의 무게 중심까지의 거리. 그림에서 분명합니다.

Ζ c = М i /tg α,

여기서 Mi는 다이어그램 Mk의 무게 중심 아래(점 C 아래)에 위치한 다이어그램 Mi의 세로 좌표입니다.

(21)

공식 (21)은 Mohr 적분을 계산하는 규칙을 나타냅니다. 적분은 곡선 다이어그램의 면적과 직선 다이어그램에서 가져온 세로 좌표의 곱과 동일하며 곡선 다이어그램의 무게 중심 아래에 위치합니다.

실제로 접하는 곡선 다이어그램은 직사각형, 삼각형, 대칭 이차 포물선 등 여러 가지 간단한 다이어그램으로 나눌 수 있습니다.

다이어그램을 여러 부분으로 나누면 곱할 때 모든 다이어그램이 단순한 구조를 갖도록 보장할 수 있습니다.

변위 계산의 예. Mohr-Vereshchagin 방법을 사용하여 균일하게 분포된 하중(그림 36, a)이 하중을 받는 빔의 왼쪽 지지 부분의 스팬 중간에서의 처짐과 회전 각도를 결정해야 합니다.

빔의 3가지 상태를 고려해 보겠습니다. 하중 상태(분산 하중 q의 작용 하에서)는 다이어그램 Mq(그림 36, b)에 해당하고 두 개의 단일 상태: 지점에 가해지는 힘의 작용 하에서 C(다이어그램, 그림 36, c) 및 지점 B에 적용된 모멘트(다이어그램, 그림 36, d).

스팬 중간의 빔 편향:

빔의 절반에 대해 다이어그램 곱셈이 수행된 다음 대칭으로 인해 결과 결과가 두 배가 됩니다. B 지점에서 단면의 회전 각도를 계산할 때 다이어그램 Mq의 면적에 무게 중심 (1/2, 그림 9, d) 아래에 위치한 다이어그램의 세로 좌표를 곱합니다. 다이어그램은 직선을 따라 변경됩니다.

쌀. 36. 계산 예:
a는 주어진 빔 다이어그램입니다. b - 모멘트의 로드 다이어그램;
c - 단위 힘의 단위 다이어그램; g - 한 순간부터

빔의 탄성선 - 변형 후 빔 축.

빔 편향 $y$ - 빔의 가로 방향으로 무게 중심의 병진 이동. 상향 편향은 양수, 하향으로 간주됩니다.- '넓다.

탄성선 방정식 - 의존성 $y(x)$(빔 길이에 따른 편향)의 수학적 표현.

편향 화살표 $f = (y_(\max ))$ - 길이에 따른 빔의 최대 처짐 값입니다.

단면 회전 각도 $\varphi $ - 빔이 변형되는 동안 단면이 회전하는 각도. 단면이 시계 반대 방향으로 회전하면 회전 각도는 양수로 간주되고 그 반대의 경우도 마찬가지입니다.

단면의 회전 각도는 탄성선의 경사각과 같습니다. 따라서 빔의 길이에 따라 회전 각도를 변경하는 함수는 편향 함수 $\varphi (x) = y"(x)$의 1차 도함수와 같습니다.

따라서 구부릴 때 우리는 다음을 고려합니다.두 가지 유형의 움직임- 단면의 편향 및 회전 각도.

변위 결정의 목적

로드 시스템(특히 빔)의 움직임은 강성 조건을 보장하기 위해 결정됩니다(처짐은 건축 법규에 따라 제한됩니다).

또한, 정적으로 돌출되지 않는 시스템의 강도를 계산하려면 변위 결정이 필요합니다.

보의 탄성선(곡선축)의 미분방정식

이 단계에서는 외부 하중, 고정 방법, 빔 및 재료의 치수에 대한 빔 변위의 의존성을 설정해야 합니다. 문제를 완전히 해결하려면 보의 전체 길이에 대한 편향 함수 $y(x)$를 구해야 합니다. 빔의 변위는 각 단면의 변형에 따라 달라지는 것이 분명합니다. 이전에 우리는 이 단면에 작용하는 굽힘 모멘트에 대한 빔 단면의 곡률 의존성을 얻었습니다.

$\frac(1)(\rho ) = \frac(M)((EI))$.

선의 곡률은 다음 방정식 $y(x)$에 의해 결정됩니다.

$\frac(1)(\rho ) = \frac((y))((((\left((1 + ((\left((y") \right))^2)) \right))^ (3/2))))$ ,

여기서 $y"$ 및 $y$ - 각각 좌표를 사용한 편향 함수의 1차 및 2차 도함수 엑스.

실용적인 관점에서 이 표기법은 단순화될 수 있습니다. 실제로 $y" = \varphi $- 실제 구조에서 단면의 회전 각도는 일반적으로 1도 이하로 클 수 없습니다.= 0.017rad . 그러면 $1 + (\left((y") \right)^2) = 1 + (0.017^2) = 1.000289 \about 1$, 즉 $\frac(1)(\rho ) = y " = \frac(((d^2)y))((d(x^2)))$. 그래서 우리는 얻었습니다보의 탄성선 방정식(빔의 곡선 축의 미분 방정식). 이 방정식은 오일러(Euler)에 의해 처음 얻어졌습니다.

$\frac(((d^2)y))((d(x^2))) = \frac((M(x)))((EI)).$

결과적인 차등 의존성은 다음 관계를 보여줍니다.빔의 변위와 내부 힘 사이. 전단력, 굽힘 모멘트 및 전단 하중 사이의 미분 관계를 고려하여 편향 함수의 미분 내용을 표시합니다.

$y(x)$ - 편향 기능;

$y"(x) = \varphi (x)$ - 회전 각도 기능;

$EI \cdot y"(x) = M(x)$ - 굽힘 모멘트 변경 기능;

$EI \cdot y""(x) = M"(x) = Q(x)$- 전단력 변경 기능;

$EI \cdot (y^(IV))(x) = M"(x) = q(x)$- 횡하중 변경 기능.