파생상품을 찾는 과정입니다. 함수의 미분 계산. 복잡한 함수의 파생

도함수를 구하는 작업을 미분이라고 합니다.

도함수를 인수 증분에 대한 증분 비율의 극한으로 정의하여 가장 단순한(매우 단순하지 않은) 함수의 도함수를 찾는 문제를 해결한 결과, 도함수 표와 정확하게 정의된 미분 규칙이 나타났습니다. . 파생 상품을 찾는 분야에서 처음으로 작업한 사람은 Isaac Newton(1643-1727)과 Gottfried Wilhelm Leibniz(1646-1716)입니다.

따라서 우리 시대에는 함수의 도함수를 찾으려면 위에서 언급한 함수 증가 대 인수 증가 비율의 한계를 계산할 필요가 없으며 다음 표만 사용하면 됩니다. 파생 상품과 차별화의 규칙. 다음 알고리즘은 도함수를 찾는 데 적합합니다.

파생상품을 찾으려면, 프라임 기호 아래에 표현식이 필요합니다 간단한 기능을 구성 요소로 분해어떤 행동을 할지 결정하고 (곱, 합계, 몫)이러한 기능은 관련되어 있습니다. 추가 파생상품 기본 기능우리는 파생 상품 표에서 찾을 수 있으며 곱, 합계 및 몫의 파생 상품에 대한 공식은 미분 규칙에 있습니다. 도함수 테이블과 미분 규칙은 처음 두 예제 다음에 제공됩니다.

예시 1.함수의 도함수 찾기

해결책. 미분의 규칙으로부터 우리는 함수 합의 도함수가 함수 도함수의 합이라는 것을 알 수 있습니다.

도함수 표에서 우리는 "x"의 도함수는 1과 같고 사인의 도함수는 코사인과 같다는 것을 알 수 있습니다. 이 값을 파생 상품의 합으로 대체하고 문제 조건에 따라 필요한 파생 상품을 찾습니다.

예시 2.함수의 도함수 찾기

해결책. 우리는 두 번째 항이 일정한 인수를 갖는 합의 도함수로 미분합니다. 이는 도함수의 부호에서 제거될 수 있습니다.

무언가가 어디서 왔는지에 대한 의문이 계속 발생하는 경우 일반적으로 미분 표와 가장 간단한 미분 규칙을 숙지한 후에 문제가 해결됩니다. 우리는 지금 그들에게 나아가고 있습니다.

단순 함수의 미분 표

1. 상수(숫자)의 파생물입니다. 함수 표현식에 있는 임의의 숫자(1, 2, 5, 200...)입니다. 항상 0과 같습니다. 매우 자주 요구되기 때문에 기억하는 것이 매우 중요합니다.
2. 독립변수의 파생물. 대부분 "X"입니다. 항상 1과 같습니다. 오랫동안 기억하는 것도 중요합니다
3. 학위 파생 상품. 문제를 풀 때는 비제곱근을 거듭제곱으로 변환해야 합니다.
4. 변수의 거듭제곱 -1 미분
5. 제곱근의 미분
6. 사인의 미분
7. 코사인의 미분
8. 탄젠트의 미분
9. 코탄젠트의 미분
10. 아크사인의 미분
11. 아크코사인의 파생물
12. 아크탄젠트의 미분
13. 아크코탄젠트의 미분
14. 자연로그의 미분
15. 로그 함수의 파생
16. 지수의 미분
17. 지수 함수의 파생

차별화 규칙

1. 합이나 차이의 파생
2. 제품의 파생물
2a. 상수 인자를 곱한 표현식의 파생
3. 몫의 미분
4. 복잡한 함수의 파생

규칙 1.기능의 경우

어떤 점에서 함수가 미분 가능하면 같은 점에서 함수가 미분 가능합니다.

그리고

저것들. 함수의 대수적 합의 미분은 이러한 함수의 미분의 대수적 합과 같습니다.

결과. 두 개의 미분 가능한 함수가 상수항만큼 다른 경우, 그 도함수는 동일합니다., 즉.

규칙 2.기능의 경우

어느 시점에서 미분 가능하면 그 제품도 같은 시점에서 미분 가능합니다.

그리고

저것들. 두 함수의 곱의 도함수는 각 함수의 곱과 다른 함수의 도함수의 합과 같습니다.

결과 1. 상수 인자는 도함수의 부호에서 빼낼 수 있습니다.:

결과 2. 여러 미분 가능한 함수의 곱의 도함수는 각 요소와 다른 모든 요소의 도함수 곱의 합과 같습니다.

예를 들어 세 개의 승수의 경우:

규칙 3.기능의 경우

어느 시점에서는 구별 가능 그리고 , 그러면 이 시점에서 그들의 몫도 미분 가능합니다.u/v 및

저것들. 두 함수의 몫의 도함수는 분수와 같으며, 그 분자는 분모의 곱과 분자의 도함수, 분자와 분모의 도함수의 차이이고 분모는 다음의 제곱입니다. 이전 분자.

다른 페이지의 내용을 찾을 수 있는 곳

실제 문제에서 곱의 도함수와 몫을 찾을 때 항상 여러 미분 규칙을 동시에 적용해야 하므로 이 기사에는 이러한 도함수에 대한 더 많은 예가 있습니다."제품의 파생물과 기능의 몫".

논평.상수(즉, 숫자)를 합계의 항과 상수 요소로 혼동해서는 안 됩니다! 항의 경우 그 미분은 0과 같고 상수 요소의 경우 미분의 부호에서 제거됩니다. 이것 전형적인 실수이는 도함수를 공부하는 초기 단계에서 발생하지만 일반 학생이 여러 개의 1부 및 2부 예제를 풀면서 더 이상 이런 실수를 저지르지 않습니다.

그리고 곱이나 몫을 구별할 때 용어가 있는 경우 유"V, 어느 유- 예를 들어 2 또는 5와 같은 숫자, 즉 상수인 경우 이 숫자의 미분은 0과 같으므로 전체 항은 0과 같습니다(이 경우는 예 10에서 논의됨).

또 다른 일반적인 실수는 복잡한 함수의 도함수를 간단한 함수의 도함수로 기계적으로 해결하는 것입니다. 그렇기 때문에 복잡한 함수의 파생물별도의 기사가 제공됩니다. 하지만 먼저 간단한 함수의 파생어를 찾는 방법을 배웁니다.

그 과정에서 표현을 바꾸지 않고는 할 수 없습니다. 이렇게 하려면 새 창에서 설명서를 열어야 할 수도 있습니다. 힘과 뿌리가 있는 행동그리고 분수 연산 .

거듭제곱과 근이 있는 분수의 도함수에 대한 해를 찾고 있다면, 즉 함수가 다음과 같을 때입니다. , 그런 다음 "제곱과 근이 있는 분수의 합 도함수" 수업을 따르세요.

다음과 같은 작업이 있는 경우 , 그런 다음 "단순 삼각 함수의 파생" 수업을 듣게 됩니다.

단계별 예 - 파생 상품을 찾는 방법

예시 3.함수의 도함수 찾기

해결책. 우리는 함수 표현식의 일부를 정의합니다. 전체 표현식은 곱을 나타내고 그 요소는 합계이며 두 번째 용어 중 하나는 상수 요소를 포함합니다. 우리는 곱 차별화 규칙을 적용합니다. 두 함수의 곱의 도함수는 각 함수의 곱을 다른 함수의 도함수로 합한 것과 같습니다.

다음으로, 합의 미분 규칙을 적용합니다. 함수의 대수적 합의 도함수는 이러한 함수의 도함수의 대수적 합과 같습니다. 우리의 경우 각 합계에서 두 번째 항에는 빼기 기호가 있습니다. 각 합계에서 우리는 미분 값이 1인 독립 변수와 미분 값이 0인 상수(숫자)를 모두 볼 수 있습니다. 따라서 "X"는 1이 되고, -5는 0이 됩니다. 두 번째 표현식에서는 "x"에 2를 곱하므로 "x"의 도함수와 동일한 단위를 2에 곱합니다. 우리는 다음과 같은 파생 값을 얻습니다.

우리는 발견된 도함수를 곱의 합으로 대체하고 문제 조건에 필요한 전체 함수의 도함수를 얻습니다.

그리고 미분문제의 해법은 에서 확인하실 수 있습니다.

예시 4.함수의 도함수 찾기

해결책. 우리는 몫의 도함수를 찾아야 합니다. 우리는 몫을 구별하기 위한 공식을 적용합니다. 두 함수의 몫의 도함수는 분수와 같으며, 그 분자는 분모의 곱과 분자의 도함수와 분자의 도함수의 차이입니다. 분모는 이전 분자의 제곱이 됩니다. 우리는 다음을 얻습니다:

우리는 이미 예제 2에서 분자에 있는 인수의 도함수를 찾았습니다. 또한 현재 예제에서 분자의 두 번째 인수인 곱이 빼기 기호와 함께 사용된다는 점을 잊지 마십시오.

예를 들어, 근과 거듭제곱이 연속적으로 쌓여 있는 함수의 도함수를 찾아야 하는 문제에 대한 해결책을 찾고 있다면 다음과 같습니다. , 그럼 수업에 오신 것을 환영합니다 "제곱과 근이 있는 분수의 합의 미분" .

사인, 코사인, 탄젠트 등의 도함수에 대해 더 자세히 알고 싶은 경우 삼각함수, 즉, 함수가 다음과 같을 때 , 그럼 당신을 위한 교훈 "간단한 삼각 함수의 파생" .

실시예 5.함수의 도함수 찾기

해결책. 이 함수에서 우리는 요소 중 하나가 독립 변수의 제곱근인 제품을 볼 수 있으며, 그 파생 상품은 파생 상품 표에서 우리에게 익숙합니다. 곱을 구별하는 규칙과 제곱근 도함수의 표 값을 사용하여 다음을 얻습니다.

미분 문제에 대한 해결책은 다음에서 확인할 수 있습니다. 온라인 파생상품 계산기 .

실시예 6.함수의 도함수 찾기

해결책. 이 함수에서 우리는 배당금이 독립 변수의 제곱근인 몫을 볼 수 있습니다. 예제 4에서 반복하고 적용한 몫의 미분 규칙과 제곱근 도함수의 표 값을 사용하여 다음을 얻습니다.

분자에서 분수를 제거하려면 분자와 분모에 를 곱하세요.

미분 계산- 미분학에서 가장 중요한 연산 중 하나입니다. 아래는 간단한 함수의 파생어를 찾는 표입니다. 더 복잡한 미분 규칙에 대해서는 다른 강의를 참조하세요.

• 지수 및 로그 함수의 미분 표

주어진 공식을 참조 값으로 사용하십시오. 미분 방정식과 문제를 해결하는 데 도움이 될 것입니다. 그림의 단순 함수의 도함수 표에는 도함수를 찾는 주요 사례를 사용하기 쉬운 형태로 정리한 '치트 시트'가 있고, 그 옆에는 각 경우에 대한 설명이 나와 있습니다.

단순 함수의 파생물

1. 숫자의 미분은 0입니다.
с' = 0
예:
5' = 0

설명:
도함수는 인수가 변경될 때 함수 값이 변경되는 비율을 보여줍니다. 숫자는 어떤 조건에서도 변하지 않으므로 변화율은 항상 0입니다.

2. 변수의 파생 1과 같다
x' = 1

설명:
인수(x)가 1씩 증가할 때마다 함수 값(계산 결과)도 같은 양만큼 증가합니다. 따라서 함수 y = x 값의 변화율은 인수 값의 변화율과 정확히 같습니다.

3. 변수와 요인의 미분은 이 요인과 같습니다.
сx' = с
예:
(3x)' = 3
(2x)' = 2
설명:
이 경우 함수 인수가 변경될 때마다 ( 엑스) 그 값(y)은 다음과 같이 증가합니다. 와 함께한 번. 따라서 인수의 변화율과 관련된 함수 값의 변화율은 값과 정확히 같습니다. 와 함께.

그 이유는 무엇입니까?
(cx + b)" = c
즉, 선형 함수 y=kx+b의 미분은 선(k)의 기울기와 같습니다.

4. 변수의 모듈로 파생물이 변수의 모듈러스에 대한 몫과 같습니다.
|x|"= x / |x| x ≠ 0인 경우
설명:
변수의 미분 (수식 2 참조)은 1과 같기 때문에 모듈의 미분은 원점을 교차 할 때 함수의 변화율 값이 반대 방향으로 변경된다는 점만 다릅니다 (그래프 그리기 y = |x| 함수의 값을 직접 확인하세요. 이것이 바로 x / |x| 표현식을 반환하는 값입니다. x< 0 оно равно (-1), а когда x >0 - 하나. 즉, 변수 x의 음수 값의 경우 인수가 증가할 때마다 함수 값은 정확히 동일한 값만큼 감소하고, 반대로 양수 값의 경우 증가하지만 정확히 동일한 값만큼 증가합니다. .

5. 변수를 거듭제곱으로 미분이 거듭제곱의 수와 1만큼 감소된 거듭제곱에 대한 변수의 곱과 같습니다.
(x c)"= cx c-1, x c 및 cx c-1이 정의되고 c ≠ 0인 경우
예:
(x 2)" = 2x
(x 3)" = 3x 2
공식을 기억하려면:
변수의 차수를 요인으로 아래로 이동한 다음 차수 자체를 1만큼 줄입니다. 예를 들어, x 2의 경우 2가 x보다 앞서 있었고 감소된 검정력(2-1 = 1)은 단순히 2x를 제공했습니다. x 3에서도 같은 일이 일어났습니다. 트리플을 "아래로 이동"하고 1만큼 줄인 다음 큐브 대신 정사각형, 즉 3x 2를 갖게 됩니다. 약간 "비과학적"이지만 기억하기 매우 쉽습니다.

6.분수의 미분 1/x
(1/x)" = - 1 / x 2
예:
분수는 음의 거듭제곱으로 표현될 수 있으므로
(1/x)" = (x -1)"이면 도함수 표 규칙 5의 공식을 적용할 수 있습니다.
(x -1)" = -1x -2 = - 1 / x 2

7. 분수의 미분 임의의 정도의 변수로분모에
(1 / x c)" = - c / x c+1
예:
(1 / x 2)" = - 2 / x 3

8. 루트의 파생물(아래 변수의 파생물 제곱근)
(√x)" = 1 / (2√x)또는 1/2 x -1/2
예:
(√x)" = (x 1/2)"는 규칙 5의 공식을 적용할 수 있음을 의미합니다.
(x 1/2)" = 1/2 x -1/2 = 1 / (2√x)

9. 임의의 차수의 근 아래에 있는 변수의 파생
(n √x)" = 1 / (n n √x n-1)

기사의 내용

유도체– 함수의 파생물 와이 = 에프(엑스), 특정 간격으로 제공됨( ㅏ, 비) 시점에서 엑스이 간격의 함수 증분 비율이 경향이 있는 한계라고 합니다. 에프이 시점에서 인수의 증분이 0이 되는 경향이 있을 때 해당 인수의 증분에 해당합니다.

파생 상품은 일반적으로 다음과 같이 표시됩니다.

다른 명칭도 널리 사용됩니다.

즉각적인 속도.

요점을 보자 중직선으로 움직입니다. 거리 에스이동점, 일부 초기 위치에서 계산 중 0 , 시간에 따라 다름 티, 즉. 에스시간의 기능이 있다 티: 에스= 에프(티). 어느 시점에 보자 티이동점 중멀리 떨어져 있었다 에스시작 위치에서 중 0, 그리고 다음 순간에 티+D 티자신이 어떤 위치에 있는지 발견했습니다. 중 1 - 거리에 에스+D 에스초기 위치에서 ( 사진 참조.).

따라서 일정 기간 동안 D 티거리 에스금액 D만큼 변경됨 에스. 이 경우 그들은 시간 간격 D 동안 다음과 같이 말합니다. 티크기 에스수신된 증분 D 에스.

평균 속도는 모든 경우에 지점의 이동 속도를 정확하게 특성화할 수 없습니다. 중어느 시점에 티. 예를 들어, 구간 D의 시작 부분에 있는 몸체 티매우 빠르게 이동하고 마지막에는 매우 느리게 이동하면 평균 속도가 해당 지점 이동의 표시된 특징을 반영할 수 없으며 현재 이동의 실제 속도에 대한 아이디어를 제공할 수 없습니다. 티. 평균 속도를 이용하여 실제 속도를 보다 정확하게 표현하려면 더 짧은 시간이 소요됩니다. 티. 현재 지점의 이동 속도를 가장 완벽하게 특성화합니다. 티평균 속도가 D에 도달하는 한계 티® 0. 이 한계를 현재 속도라고 합니다.

따라서 주어진 순간의 이동 속도를 경로 증분 비율 D의 한계라고 합니다. 에스시간 증분 D로 티, 시간 증가가 0이 되는 경향이 있을 때. 왜냐하면

도함수의 기하학적 의미. 함수 그래프에 접함.

접선의 구성은 미분학의 탄생을 가져온 문제 중 하나입니다. 라이프니츠(Leibniz)가 쓴 미적분학과 관련된 최초의 출판물은 다음과 같습니다. 분수나 무리수 양 모두 장애물이 되지 않는 최대값과 최소값, 탄젠트에 대한 새로운 방법과 이를 위한 특별한 유형의 미적분학.

곡선을 함수의 그래프라 하자 와이 =에프(엑스) V 직사각형 시스템좌표( 센티미터. 쌀.).

어떤 가치에서는 엑스기능 문제 와이 =에프(엑스). 이러한 값 엑스그리고 와이곡선의 점이 일치합니다. 중 0(엑스, 와이). 인수의 경우 엑스주다 증분 D 엑스, 인수의 새 값 엑스+D 엑스새로운 함수 값에 해당합니다. 와이+디 와이 = 에프(엑스 + 디 엑스). 곡선의 해당 점이 포인트가 됩니다. 중 1(엑스+D 엑스,와이+D 와이). 시컨트를 그리면 중 0중 1이고 j로 표시됨 축의 양의 방향과 횡단면이 이루는 각도 황소, 그림을 보면 즉시 알 수 있다.

지금이라면 D 엑스 0이 되는 경향이 있고 그 다음에는 포인트 중 1은 곡선을 따라 이동하여 점에 접근합니다. 중 0 및 각도 제이 D로 변경 엑스. ~에 Dx® 0 각도 j는 특정 한계 a에 가까워지고 점을 통과하는 직선 중 0이고 x축의 양의 방향인 각도 a를 갖는 구성요소가 원하는 접선이 됩니다. 기울기는 다음과 같습니다.

따라서, 에프´( 엑스) = tga

저것들. 파생 가치 에프´( 엑스) 주어진 인수 값에 대해 엑스함수 그래프의 접선에 의해 형성된 각도의 접선과 같습니다. 에프(엑스) 해당 지점에서 중 0(엑스,와이) 양의 축 방향 황소.

기능의 미분성.

정의. 기능의 경우 와이 = 에프(엑스) 해당 지점에 파생 상품이 있습니다. 엑스 = 엑스 0이면 이 시점에서 함수가 미분 가능합니다.

도함수를 갖는 함수의 연속성. 정리.

기능의 경우 와이 = 에프(엑스)는 어느 시점에서 미분가능하다 엑스 = 엑스 0이면 이 시점에서 연속이다.

따라서 함수는 불연속점에서 도함수를 가질 수 없습니다. 반대의 결론은 올바르지 않습니다. 어느 순간부터 엑스 = 엑스 0 기능 와이 = 에프(엑스)가 연속적이라고 해서 이 시점에서 미분 가능하다는 의미는 아닙니다. 예를 들어, 함수 와이 = |엑스| 모두를 위해 지속적으로 엑스(–Ґ x x = 0에는 도함수가 없습니다. 이 시점에는 그래프에 접선이 없습니다. 오른쪽 접선과 왼쪽 접선이 있지만 일치하지 않습니다.

미분 가능한 함수에 관한 몇 가지 정리. 미분의 근에 관한 정리(Rolle의 정리).기능의 경우 에프(엑스)은 세그먼트에서 연속적입니다. [ㅏ,비]는 이 세그먼트의 모든 내부 지점과 끝에서 미분 가능합니다. 엑스 = ㅏ그리고 엑스 = 비 0으로 간다( 에프(ㅏ) = 에프(비) = 0), 세그먼트 내부 [ ㅏ,비] 점이 하나 이상 있습니다. 엑스= 와 함께, ㅏ c b, 여기서 도함수는 에프ў( 엑스)는 0이 됩니다. 즉, 에프ў( 씨) = 0.

유한 증분 정리(라그랑주의 정리).기능의 경우 에프(엑스)는 구간 [ ㅏ, 비]이고 이 세그먼트의 모든 내부 지점에서 미분 가능하며, 그런 다음 세그먼트 내부에서 [ ㅏ, 비] 점이 하나 이상 있습니다. 와 함께, ㅏㄷㄷ 그거

에프(비) – 에프(ㅏ) = 에프ў( 씨)(비– ㅏ).

두 함수의 증분 비율에 관한 정리(Cauchy의 정리).만약에 에프(엑스) 그리고 g(엑스) – 세그먼트에서 연속되는 두 가지 기능 [ㅏ, 비] 이 세그먼트의 모든 내부 지점에서 미분 가능하며, gў( 엑스)은 이 세그먼트 내부 어디에서도 사라지지 않으며, 세그먼트 내부에서는 [ ㅏ, 비] 그런 점이 있어요 엑스 = 와 함께, ㅏㄷㄷ 그거

다양한 주문의 파생 상품.

기능을 보자 와이 =에프(엑스) 는 어떤 구간에서 미분가능하다 [ ㅏ, 비]. 파생 가치 에프 ў( 엑스) 일반적으로 다음 사항에 따라 달라집니다. 엑스, 즉. 유도체 에프 ў( 엑스)는 또한 다음의 함수이다. 엑스. 이 함수를 미분할 때, 우리는 소위 함수의 2차 도함수를 얻습니다. 에프(엑스), 이는 다음과 같이 표시됩니다. 에프 ўў ( 엑스).

유도체 N-기능의 순서 에프(엑스)는 도함수의 (1차) 도함수라고 합니다. N- 1- th는 기호로 표시됩니다. 와이(N) = (와이(N– 1))ў.

다양한 주문의 차등.

기능 미분 와이 = 에프(엑스), 어디 엑스– 독립변수, 예 다이 = 에프 ў( 엑스)dx, 일부 기능 엑스, 하지만 에서 엑스첫 번째 요소만 의존할 수 있습니다. 에프 ў( 엑스), 두 번째 요소( dx)는 독립변수의 증분입니다. 엑스이 변수의 값에 의존하지 않습니다. 왜냐하면 다이의 기능이 있습니다 엑스, 그러면 우리는 이 함수의 미분을 결정할 수 있습니다. 함수의 미분의 미분을 이 함수의 2차 미분 또는 2차 미분이라고 하며 다음과 같이 표시됩니다. 디 2와이:

디(dx) = 디 2와이 = 에프 ўў( 엑스)(dx) 2 .

미분 N- 1차 미분을 미분의 1차 미분이라고 합니다. N- 1- 번째 순서:

d n y = 디(디엔–1와이) = 에프(N)(엑스)dx(N).

부분 파생.

함수가 하나의 인수에 의존하지 않고 여러 인수에 의존하는 경우 x 나는(나 1부터 다양하다 N,나= 1, 2,… N),에프(엑스 1,엑스 2,… xn) 그런 다음 미분 미적분학에서는 하나의 인수만 변경될 때 여러 변수의 함수 변화율을 특성화하는 편미분 개념이 도입됩니다. 예를 들어, x 나는. 에 관한 1차 편도함수 x 나는는 일반 도함수로 정의되며, 다음을 제외한 모든 인수는 다음과 같이 가정됩니다. x 나는, 일정한 값을 유지합니다. 편미분의 경우 표기법이 도입됩니다.

이러한 방식으로 정의된 1차 편도함수(동일 인수의 함수)는 차례로 편도함수도 가질 수 있으며, 이는 2차 편도함수 등입니다. 서로 다른 주장에서 가져온 이러한 파생물을 혼합이라고 합니다. 동일한 차수의 연속 혼합 도함수는 미분 차수에 의존하지 않고 서로 동일합니다.

안나 추가이노바

문제 B9는 다음 수량 중 하나를 결정하는 데 필요한 함수 또는 도함수의 그래프를 제공합니다.

1. 어떤 지점 x 0에서의 도함수 값,
2. 최대 또는 최소 포인트(극점),
3. 함수의 증가 및 감소 간격(단조성 간격).

이 문제에 제시된 함수와 도함수는 항상 연속적이므로 풀이가 훨씬 쉬워집니다. 이 작업은 수학적 분석 섹션에 속한다는 사실에도 불구하고 여기에는 깊은 이론적 지식이 필요하지 않기 때문에 가장 약한 학생도 할 수 있습니다.

도함수, 극점 및 단조성 간격의 값을 찾으려면 간단하고 보편적인 알고리즘이 있습니다. 이에 대해서는 모두 아래에서 설명합니다.

어리석은 실수를 피하기 위해 문제 B9의 조건을 주의 깊게 읽으십시오. 때로는 꽤 긴 텍스트를 접하게 되지만 해결 과정에 영향을 미치는 중요한 조건은 거의 없습니다.

미분 값 계산. 2점 방법

문제에 x 0 지점에서 이 그래프에 접하는 함수 f(x)의 그래프가 주어지고 이 지점에서 도함수 값을 찾아야 하는 경우 다음 알고리즘이 적용됩니다.

1. 접선 그래프에서 두 개의 "적절한" 점을 찾습니다. 해당 점의 좌표는 정수여야 합니다. 이 점을 A(x 1 ; y 1) 및 B(x 2 ; y 2)로 표시하겠습니다. 좌표를 올바르게 적어주세요. 중요한 순간여기에 실수가 있으면 잘못된 답변이 됩니다.
2. 좌표를 알면 인수 Δx = x 2 − x 1 의 증분과 함수 Δy = y 2 − y 1 의 증분을 쉽게 계산할 수 있습니다.
3. 마지막으로, 도함수 D = Δy/Δx의 값을 찾습니다. 즉, 함수의 증가분을 인수의 증가분으로 나누어야 하며 이것이 답이 될 것입니다.

다시 한 번 주목하자: 점 A와 B는 자주 발생하는 것처럼 함수 f(x)의 그래프가 아니라 접선에서 정확하게 찾아야 합니다. 접선에는 반드시 최소한 두 개의 점이 포함되어야 합니다. 그렇지 않으면 문제가 올바르게 공식화되지 않습니다.

점 A(−3; 2)와 B(−1; 6)를 고려하고 증분값을 찾습니다.
Δx = x 2 − x 1 = −1 − (−3) = 2; Δy = y 2 − y 1 = 6 − 2 = 4.

도함수 값을 찾아봅시다: D = Δy/Δx = 4/2 = 2.

일. 그림은 함수 y = f(x)의 그래프와 가로좌표 x 0이 있는 점에서의 접선을 보여줍니다. x 0 지점에서 함수 f(x)의 도함수 값을 구합니다.

점 A(0; 3)와 B(3; 0)를 고려하여 증분값을 찾습니다.
Δx = x 2 − x 1 = 3 − 0 = 3; Δy = y 2 − y 1 = 0 − 3 = −3.

이제 도함수 값을 구합니다: D = Δy/Δx = −3/3 = −1.

일. 그림은 함수 y = f(x)의 그래프와 가로좌표 x 0이 있는 점에서의 접선을 보여줍니다. x 0 지점에서 함수 f(x)의 도함수 값을 구합니다.

점 A(0; 2)와 B(5; 2)를 고려하여 증분값을 찾습니다.
Δx = x 2 − x 1 = 5 − 0 = 5; Δy = y 2 − y 1 = 2 − 2 = 0.

도함수 값 D = Δy/Δx = 0/5 = 0을 찾는 것이 남아 있습니다.

마지막 예에서 규칙을 공식화할 수 있습니다. 접선이 OX 축에 평행하면 접선 지점에서 함수의 미분은 0입니다. 이 경우 아무것도 계산할 필요가 없습니다. 그래프만 보세요.

최대 및 최소 포인트 계산

때때로 문제 B9에서는 함수 그래프 대신 도함수 그래프를 제시하고 함수의 최대점 또는 최소점을 찾아야 합니다. 이 상황에서는 2점 방법은 쓸모가 없지만 더 간단한 또 ​​다른 알고리즘이 있습니다. 먼저 용어를 정의해 보겠습니다.

1. x 0 지점을 함수 f(x)의 최대 지점이라고 합니다. 이 지점 근처에서 f(x 0) ≥ f(x) 부등식이 성립하는 경우입니다.
2. x 0 지점을 함수 f(x)의 최소 지점이라고 합니다. 이 지점 근처에서 다음 부등식이 성립하면 f(x 0) ≤ f(x)입니다.

미분 그래프에서 최대점과 최소점을 찾으려면 다음 단계를 따르세요.

1. 불필요한 정보를 모두 제거하여 미분 그래프를 다시 그립니다. 실습에서 알 수 있듯이 불필요한 데이터는 결정에만 방해가 됩니다. 그러므로 우리는 좌표축미분의 0 - 그게 전부입니다.
2. 0 사이의 간격에서 미분의 부호를 알아보세요. 어떤 점 x 0에 대해 f'(x 0) ≠ 0이라고 알려진 경우 f'(x 0) ≥ 0 또는 f'(x 0) ≤ 0이라는 두 가지 옵션만 가능합니다. 미분의 부호는 다음과 같습니다. 원래 그림에서 쉽게 결정할 수 있습니다. 도함수 그래프가 OX 축 위에 있으면 f'(x) ≥ 0입니다. 반대로, 도함수 그래프가 OX 축 아래에 있으면 f'(x) ≤ 0입니다.
3. 미분의 0과 부호를 다시 확인합니다. 부호가 마이너스에서 플러스로 바뀌는 지점이 최소 지점입니다. 반대로 도함수의 부호가 플러스에서 마이너스로 바뀌면 이것이 최대점이다. 계산은 항상 왼쪽에서 오른쪽으로 이루어집니다.

이 방식은 연속 함수에만 적용됩니다. 문제 B9에는 다른 방식이 없습니다.

일. 그림은 구간 [−5; 5]. 이 세그먼트에서 함수 f(x)의 최소점을 찾습니다.

불필요한 정보는 없애고 경계만 남겨두자 [−5; 5] 및 도함수 x = −3 및 x = 2.5의 0입니다. 우리는 또한 다음과 같은 징후에 주목합니다.

분명히, x = −3 지점에서 도함수의 부호는 마이너스에서 플러스로 변경됩니다. 이것이 최소점입니다.

일. 그림은 구간 [−3; 7]. 이 세그먼트에서 함수 f(x)의 최대점을 찾습니다.

경계만 남기고 그래프를 다시 그리겠습니다 [−3; 7] 및 도함수 x = −1.7 및 x = 5의 0입니다. 결과 그래프에서 도함수의 부호를 살펴보겠습니다. 우리는:

분명히 x = 5 지점에서 도함수의 부호는 플러스에서 마이너스로 변경됩니다. 이것이 최대 포인트입니다.

일. 그림은 구간 [−6; 4]. 세그먼트 [−4; 삼].

문제의 조건에 따르면 세그먼트 [-4; 삼]. 따라서 경계만 표시하는 새 그래프를 작성합니다. [-4; 3] 그리고 그 안에 있는 도함수의 0입니다. 즉, 점 x = −3.5이고 x = 2입니다. 우리는 다음을 얻습니다.

이 그래프에는 단 하나의 최대점 x = 2가 있습니다. 이 지점에서 도함수의 부호가 플러스에서 마이너스로 변경됩니다.

정수가 아닌 좌표를 가진 점에 대한 간단한 참고 사항입니다. 예를 들어, 마지막 문제에서는 점 x = −3.5가 고려되었지만 동일한 성공으로 x = −3.4를 취할 수 있습니다. 문제가 올바르게 작성되었다면 "고정된 거주지 없음" 포인트가 문제 해결에 직접적으로 참여하지 않기 때문에 이러한 변경 사항은 답변에 영향을 주어서는 안됩니다. 물론 이 트릭은 정수 포인트에서는 작동하지 않습니다.

함수의 증가 및 감소 간격 찾기

이러한 문제에서는 최대점과 최소점과 마찬가지로 미분 그래프를 사용하여 함수 자체가 증가하거나 감소하는 영역을 찾는 것이 제안됩니다. 먼저 증가와 감소가 무엇인지 정의해 보겠습니다.

1. 이 세그먼트의 임의의 두 점 x 1 및 x 2에 대해 다음 진술이 참인 경우 함수 f(x)는 세그먼트에서 증가한다고 합니다. x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≤ f(x 2) . 즉, 인수 값이 클수록 함수 값도 커집니다.
2. 이 세그먼트의 임의의 두 점 x 1 및 x 2에 대해 다음 진술이 참인 경우 함수 f(x)는 세그먼트에서 감소한다고 합니다. x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≥ f(x 2) . 저것들. 더 큰 인수 값은 더 작은 함수 값에 해당합니다.

증가 및 감소에 대한 충분조건을 공식화해 보겠습니다.

1. 세그먼트 에서 연속 함수 f(x)가 증가하려면 세그먼트 내부의 도함수가 양수이면 충분합니다. 즉, f'(x) ≥ 0.
2. 연속 함수 f(x)가 세그먼트 에서 감소하려면 세그먼트 내부의 도함수가 음수이면 충분합니다. 즉 f'(x) ≤ 0.

증거 없이 이러한 진술을 받아들입시다. 따라서 우리는 극점 계산 알고리즘과 여러 면에서 유사한 증가 및 감소 간격을 찾는 체계를 얻습니다.

1. 불필요한 정보를 모두 제거하세요. 도함수의 원래 그래프에서 우리는 주로 함수의 0에 관심이 있으므로 0만 남겨 두겠습니다.
2. 0 사이의 간격에 미분의 부호를 표시하십시오. f'(x) ≥ 0이면 함수가 증가하고 f'(x) ≤ 0이면 함수가 감소합니다. 문제가 변수 x에 대한 제한을 설정하는 경우 이를 새 그래프에 추가로 표시합니다.
3. 이제 우리는 함수의 동작과 제약 조건을 알았으므로 문제에 필요한 수량을 계산해야 합니다.

일. 그림은 구간 [−3; 7.5]. 함수 f(x)의 감소 간격을 구합니다. 답에 이 간격에 포함된 정수의 합을 표시하십시오.

평소처럼 그래프를 다시 그리고 경계를 표시해 보겠습니다. [−3; 7.5], 도함수의 영점 x = −1.5 및 x = 5.3. 그런 다음 파생 상품의 표시를 확인합니다. 우리는:

(− 1.5) 구간에서 도함수가 음수이므로 이것이 감소함수의 구간입니다. 이 간격 안에 있는 모든 정수를 합산해야 합니다.
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.

일. 그림은 구간 [−10; 4]. 함수 f(x)의 증가 간격을 구합니다. 답에 가장 큰 것의 길이를 표시하십시오.

불필요한 정보는 없애자. 경계만 남겨두자 [-10; 4] 및 도함수의 0(이번에는 x = −8, x = −6, x = −3 및 x = 2)이 4개가 있었습니다. 도함수의 부호를 표시하고 다음 그림을 얻습니다.

우리는 함수가 증가하는 간격에 관심이 있습니다. 여기서 f'(x) ≥ 0입니다. 그래프에는 (−8; −6) 및 (−3; 2)라는 두 가지 간격이 있습니다. 길이를 계산해 봅시다:
내가 1 = - 6 - (-8) = 2;
내가 2 = 2 − (−3) = 5.

가장 큰 간격의 길이를 찾아야 하므로 값 l 2 = 5를 답으로 적습니다.

한 점 근처에서 함수를 정의하면 한 점에서 함수의 미분을 극한이라고 합니다(존재하는 경우).

한 점에서 함수의 도함수에 대한 일반적인 표기법

파생상품표

한 점에서 함수 미분의 기하학적 의미입니다.

시컨트를 고려해보세요 AB기능 그래픽 y=f(x)그래야 포인트가 ㅏ그리고 안에좌표를 가지고 있고 , 인수의 증가는 어디에 있습니까? 함수의 증분으로 표시하겠습니다. 그림의 모든 것을 표시해 보겠습니다.

에서 정삼각형 알파벳우리는 가지고 있습니다. 정의에 따르면 접선은 시컨트의 제한 위치이므로 .

한 지점에서 함수의 도함수의 정의를 생각해 봅시다: 함수의 도함수 y=f(x)한 지점에서 인수의 증가에 대한 함수의 증가 비율의 극한이라고 합니다. .

따라서 , 접선의 기울기는 어디에 있습니까?

따라서 함수의 도함수의 존재 y=f(x)한 점에서 함수 그래프에 대한 접선이 존재하는 것과 동일합니다. y=f(x)연락 지점에서, 그리고 접선의 기울기는 해당 점의 도함수 값과 같습니다., 그건 .

우리는 다음과 같이 결론을 내립니다. 한 점에서 함수 미분의 기하학적 의미이 지점에서 함수 그래프에 대한 접선이 존재한다는 사실로 구성됩니다.

20 한 점에서 함수의 미분성. 미분가능성의 필요충분조건입니다.

주어진 점에서 미분 가능한 함수의 증분은 다음과 같이 표현될 수 있습니다. 선형 함수더 높은 크기의 작은 값까지 인수를 증가시킵니다. 이는 주어진 점의 충분히 작은 이웃에 대해 함수가 선형 함수로 대체될 수 있음을 의미합니다(함수의 변화율은 변경되지 않은 것으로 간주될 수 있음). 함수 증가의 선형 부분을 미분(주어진 지점에서)이라고 합니다.

미분성의 필요조건이지만 충분조건은 아닌 것은 함수의 연속성입니다. 하나의 실수 변수로 구성된 함수의 경우 미분 가능성은 도함수의 존재와 동일합니다. 여러 실수 변수로 구성된 함수의 경우, 미분성의 필요(충분하지는 않음) 조건은 모든 변수에 대한 부분 도함수가 존재한다는 것입니다. 여러 변수의 함수가 한 점에서 미분 가능하려면 부분 도함수가 고려 중인 점 근처에 존재하고 이 점에서 연속이면 충분합니다.

21 한 점에서 함수의 미분성. 미분 가능한 함수의 연속성에 관한 정리.

정리.

함수가 주어진 점에서 미분 가능하면 함수는 해당 점에서 연속입니다.

증거.

함수 y=f(x)y=f(x)가 x0x0 지점에서 미분 가능하다고 가정하면 이 함수의 증분은 Δy=A⋅Δx+α(Δx)⋅xΔy=A⋅Δx+α(와 같습니다. Δx)⋅x.

함수 ΔxΔx의 인수 증가가 0에 가까워지는 것처럼 함수 ΔyΔy의 증가도 0에 가까워지는 경향이 있으며 이는 함수의 연속성을 의미합니다.

즉, 결국 x0x0 지점에서 미분 가능한 함수 y=f(x)y=f(x)가 이 지점에서도 연속 함수라는 것을 알게 되었습니다. Q.E.D.

따라서 주어진 점에서 함수의 연속성은 함수의 미분 가능성을 위한 필요조건이지만 충분조건은 아닙니다.

예.

함수 y=|x|y=|x| x0x0 지점에서는 연속 함수이지만 이 지점에서는 함수가 미분 가능하지 않습니다.

실제로 함수의 증분은 다음과 같습니다.

Δy=f(x0+Δx)−f(x0)=|Δx|Δy=f(x0+Δx)−f(x0)=|Δx|.

이 경우 우리는 다음을 얻습니다.

ΔyΔx=|Δx|Δx=(1,Δx>0,−1,Δx<0ΔyΔx=|Δx|Δx={1,Δx>0,−1,Δx<0.

극한 limΔx→0ΔyΔxlimΔx→0ΔyΔx가 존재하지 않습니다. 이는 점 x0x0에서 연속인 함수 y=|x|y=|x|가 이 지점에서 미분 불가능하다는 것을 의미합니다.

22 기능 차이. 미분의 기하학적 의미.

어떤 시점에서 함수의 미분 엑스함수 증분의 주요 선형 부분이라고 합니다.

기능 미분 와이 = 에프(엑스)는 파생 상품과 독립 변수의 증분의 곱과 같습니다. 엑스(논쟁).

다음과 같이 작성되었습니다.

미분의 기하학적 의미.기능 미분 와이 = 에프(엑스)는 점 M( 엑스; 와이), 변경되면 엑스(인수) 값으로(그림 참조)..

23 합과 곱의 미분성의 법칙.

미분의 두 번째 규칙을 증명하기 위해 도함수의 정의와 연속 함수의 극한 속성을 사용합니다.

비슷한 방식으로 합의 미분(차)이 증명될 수 있습니다. N함수는 합(차이)과 같습니다. N파생상품

두 함수의 곱을 미분하는 규칙을 증명해 보겠습니다.

인수 증가에 대한 함수 곱의 증가 비율의 한계를 적어 보겠습니다. 우리는 그것을 고려할 것입니다 (인수의 증가가 0이 되는 경향이 있으므로 함수의 증가도 0이 되는 경향이 있습니다).

Q.E.D.

24 미분 형식 1의 불변성.

1차 미분 형태의 불변성

만약에 엑스는 독립변수이고, 그러면 dx = 엑스 - 엑스 0(고정 증분). 이 경우 우리는

df(엑스 0) = 에프"(엑스 0)dx. (3)

만약에 엑스 = φ (티)는 미분 가능한 함수입니다. dx = φ" (티 0)dt. 따라서,

즉, 첫 번째 미분은 논증의 변화에 ​​따라 불변의 특성을 갖습니다.

25 롤의 정리.

롤의 정리 (제로 미분 정리) 다음과 같이 진술한다

증거

구간의 함수가 일정하다면 함수의 도함수는 구간의 어느 지점에서나 0과 같기 때문에 명제는 분명합니다.

그렇지 않은 경우 세그먼트 경계점의 함수 값이 동일하므로 Weierstrass의 정리에 따라 간격의 특정 지점에서 가장 큰 값 또는 최소값을 취합니다. 이 지점에서 페르마의 정리에 따르면 이 지점에서 도함수는 0 과 같습니다.

기하학적 의미

정리에 따르면 매끄러운 곡선의 양쪽 끝의 세로 좌표가 동일하면 곡선의 접선이 x축과 평행한 점이 곡선 위에 있습니다.

26 라그랑주의 정리와 그 결과.

유한 증분 공식또는 라그랑주의 평균값 정리함수가 구간에서 연속이고 구간에서 미분 가능하면 다음과 같은 점이 있습니다.

.

기하학적으로이는 다음과 같이 다시 공식화될 수 있습니다. 접선이 선분의 끝에 해당하는 그래프 점을 통과하는 현과 평행한 선분에 점이 있습니다.

기계적 해석: 초기 위치로부터 순간의 점까지의 거리를 라 하자. 그리고 순간순간 이동하는 경로가 있는데, 비율은 이 기간 동안의 평균 속도입니다. 이는 신체의 속도가 어느 순간에 결정되면 어느 순간 이 영역의 평균값과 같게 된다는 것을 의미합니다.

증거

단일 변수 함수의 경우:

기능을 소개하겠습니다. Rolle의 정리 조건이 충족됩니다. 세그먼트 끝에서 해당 값은 0과 같습니다. 언급된 정리를 사용하여 함수의 도함수가 0과 같은 지점이 있음을 알 수 있습니다.

Q.E.D.

추론 및 일반화

라그랑주의 유한 증분 정리는 미분학의 전체 시스템에서 가장 중요한 노드 정리 중 하나입니다. 이는 계산 수학에 많은 응용이 가능하며, 수학적 분석의 가장 중요한 정리도 그 결과입니다.

결과 1.도함수가 0인 구간에서 미분 가능한 함수는 상수입니다.

증거.어떤 경우에도 다음과 같은 점이 있습니다.

이는 평등이 모든 사람에게 적용된다는 것을 의미합니다.

결과 2(라그랑주 형식의 나머지 항을 갖는 테일러 공식).함수가 한 점 근처에서 한 번 미분 가능하다면 작은 함수(즉, 세그먼트가 표시된 근처에 있는 함수)의 경우 Taylor의 공식이 유효합니다.

간격의 숫자는 어디에 있습니까?

결과 3.변수 함수가 점 O 근처에서 두 번 미분 가능하고 모든 2차 혼합 도함수가 점 O에서 연속인 경우 이 점에서 다음 등식이 유지됩니다.

에 대한 증명.값을 수정하고 차이 연산자를 고려해 보겠습니다.

라그랑주의 정리에 따르면 숫자가 있습니다. , 그렇게

함수의 2차 도함수의 연속성으로 인해.

마찬가지로, 다음이 증명되었습니다. .

그러나 (직접 확인된) 이후 이러한 한계는 일치합니다.

결과 4(뉴턴-라이프니츠 공식).함수가 구간에서 미분 가능하고 그 도함수가 이 구간에서 리만 적분 가능하면 다음 공식이 유효합니다. .

증거.세그먼트의 임의의 파티션이라고 하자. 라그랑주의 정리를 적용하면 각 세그먼트에서 다음과 같은 점을 찾을 수 있습니다.

이러한 평등을 합산하면 다음과 같은 결과를 얻습니다.

왼쪽에는 적분과 주어진 표시된 분할에 대한 리만 적분 합이 있습니다. 칸막이 직경의 한계에 도달하면 뉴턴-라이프니츠 공식을 얻습니다.

결과 5(유한 증분 추정에 대한 정리).볼록하고 컴팩트한 공간 영역에서 매핑을 연속적으로 미분 가능하게 만듭니다. 그 다음에 .

27 카샤의 정리.

코시(Cauchy)의 평균값 정리.

다음과 같은 두 가지 기능이 주어집니다. 1. 및 세그먼트에서 정의되고 연속적입니다. 2. 구간의 도함수와 유한함; 3. 파생 상품은 간격 4에서 동시에 사라지지 않습니다. ; 그렇다면 다음이 참인 것이 존재합니다: . (조건 4를 제거하면 예를 들어 조건 3을 강화해야 합니다. g"(x)는 간격의 어느 곳에서도 사라지지 않아야 합니다.)

기하학적으로 이는 다음과 같이 다시 공식화될 수 있습니다. 평면의 운동 법칙이 지정된 경우(즉, 가로좌표와 세로좌표는 매개변수를 통해 결정됩니다. ), 그런 곡선의 모든 세그먼트에서 매개변수 및 로 지정됩니다. 는 에서 까지의 변위 벡터와 동일 선상에 있는 접선 벡터입니다.