방정식과 부등식을 해결하기 위한 그래픽 방법의 장점. 개요: 방정식의 그래픽 솔루션. 두 개의 변수가 있는 부등식 집합 시스템

기능을 그래픽으로 표현하면 다음과 같습니다. 약하나의 미지수로 불평등을 풀고 하나와 두 개의 미지수로 불평등 시스템을 해결합니다. 미지의 부등식을 그래픽적으로 해결하려면, 모든 구성원을 하나의 부분으로 전송해야 합니다. 다음으로 이어진다:

에프(엑스) > 0 ,

함수 y = f를 플로팅합니다.(엑스). 그 후 구성된 그래프를 사용하여 다음을 찾을 수 있습니다. 함수 0, 축을 분할합니다. 엑스여러 간격 동안. 이제 이를 바탕으로 간격을 결정합니다. 엑스, 그 안에서 함수 기호는 부등호에 해당합니다. 예를 들어 함수의 0은 다음과 같습니다. ㅏ그리고 비(그림 30). 그러면 그래프를 보면 다음과 같은 간격이 있다는 것이 분명해집니다. 에프(엑스) > 0: 엑스 < ㅏ그리고 엑스> 비(굵은 화살표로 강조 표시되어 있습니다). 여기서 > 기호는 조건부라는 것이 분명합니다. 대신에 다른 것이 있을 수 있습니다:< , .

하나의 미지수가 있는 부등식 시스템을 그래픽적으로 풀려면 각 항목의 모든 항을 한 부분으로 옮겨야 합니다. 불평등을 다음과 같은 형식으로 가져옵니다.

그리고 함수 y = f를 플로팅합니다.(엑스), 와이 = g(엑스) , ... , 와이 = 시간(엑스). 이러한 각 불평등은 위에서 설명한 그래픽 방법으로 해결됩니다. 이 후에는 찾아야합니다. 솔루션의 교차점모든 불평등, 즉 그들의 공통점.

예 불평등 시스템을 그래픽으로 해결합니다.

해결책 먼저, 함수를 그려보겠습니다. 와이 = - 2 / 3 엑스+ 2 및

와이 = 엑스 2 -1 (그림 31):

첫 번째 부등식의 해는 구간입니다. 엑스> 3, 그림 31에서 검은색 화살표로 표시됨; 두 번째 부등식의 해는 두 개의 구간으로 구성됩니다. 엑스 < -1 и 엑스> 1, 그림 31에 회색 화살표로 표시됨.

그래프는 이 두 해의 교차점이 다음 구간임을 보여줍니다. 엑스> 3. 이것이 주어진 불평등 체계에 대한 해결책입니다.

두 개의 미지수가 있는 두 부등식 시스템을 그래픽적으로 풀려면 다음을 수행해야 합니다.

1) 각각에서 모든 용어를 하나의 부분으로 옮깁니다. 가져오다

형태의 불평등:

2) 암시적으로 지정된 함수의 그래프 작성: f(엑스, 와이) = 0 및 g(엑스, 와이) = 0;

3) 각 그래프는 좌표 평면을 두 부분으로 나눕니다.

그 중 하나는 불평등 공정하고 또 다른 것은 아닙니다.해결하다

이러한 각 불평등을 그래픽으로 확인하는 것으로 충분합니다.

모든 내부의 임의의 한 지점에서 불평등의 타당성

비행기의 일부; 이 시점에서 불평등이 발생하면

좌표 평면의 이 부분은 솔루션입니다. 그렇지 않은 경우

해는 평면의 반대쪽 부분이다;

4) 주어진 불평등 시스템에 대한 해결책은 교차점입니다

(일반 영역) 좌표 평면의 일부.

예 불평등 시스템을 해결합니다.

해결책: 먼저 그래프를 작성합니다. 선형 함수: 5엑스 - 7와이= -11 및

2엑스 + 3와이= 10(그림 32). 그들 각각에 대해 우리는 반 평면을 찾습니다.

해당 주어진 불평등

공정한. 우리는 공정성을 확인하는 것만으로도 충분하다는 것을 알고 있습니다.

지역 내 임의의 한 지점에서의 불평등 이것에

이를 수행하는 가장 쉬운 방법은 좌표의 원점을 사용하는 것입니다. 영형 (0, 0).

대신 좌표를 불평등으로 대체 엑스그리고 와이,

우리는 다음을 얻습니다: 5 0 - 7 0 = 0 > -11, 따라서 더 낮은

반 평면(노란색)은 첫 번째 문제에 대한 솔루션입니다.

불평등; 2 0 + 3 0 = 0< 10, поэтому второе неравенство

해당 솔루션에는 아래쪽 절반 평면(파란색)도 있습니다.

그림 물감). 이 반면의 교차점(청록색 영역)

우리의 불평등 시스템에 대한 해결책입니다.

10학년 학생 Yuri Kotovchikhin

학생들은 이르면 6학년부터 모듈을 사용하여 방정식을 공부하기 시작합니다. 하위 모듈 식의 상수 부호 간격에 대한 모듈 확장을 사용하는 표준 솔루션 방법을 배웁니다. 제가 이 특정 주제를 선택한 이유는 모듈의 문제가 학생들에게 큰 어려움을 야기하기 때문에 더 깊이 있고 철저한 연구가 필요하다고 믿기 때문입니다. 학교 커리큘럼에는 모듈이 포함된 과제가 있으며 시험에서는 더욱 복잡해지기 때문에 이러한 과제에 직면할 수 있도록 준비해야 합니다.

다운로드:

시사:

시립 교육 기관

중등학교 5호

주제에 대한 연구 작업:

« 모듈러스를 포함하는 방정식 및 부등식의 대수적 및 그래픽 솔루션»

나는 작업을 완료했습니다:

10학년 학생

코토브치킨 유리

감독자:

수학 교사

샨타 N.P.

우류핀스크

1.소개.................................................................................3

2. 개념과 정의................................................................5

3. 정리의 증명................................................................................6

4. 모듈이 포함된 방정식을 푸는 방법..........7

4.1 숫자 a와 b, 해당 모듈과 사각형 사이의 종속성을 사용하는 해법 ..............................................................................................12

4.2.방정식을 풀기 위해 모듈의 기하학적 해석을 사용...........................................................................................14

4.3.절대값의 부호를 포함하는 가장 간단한 함수의 그래프.

………………………………………………………………………15

4.4.모듈이 포함된 비표준 방정식 풀기....16

5. 결론..........................................................................17

6. 사용된 문헌 목록..........................................................18

작업 목적: 학생들은 6학년부터 모듈을 사용하여 방정식을 공부하기 시작합니다. 하위 모듈 표현식의 상수 부호 간격에 대한 모듈 확장을 사용하는 표준 솔루션 방법을 배웁니다. 제가 이 특정 주제를 선택한 이유는 모듈의 문제가 학생들에게 큰 어려움을 야기하기 때문에 더 깊이 있고 철저한 연구가 필요하다고 믿기 때문입니다. 학교 커리큘럼에는 모듈이 포함된 과제가 있으며 시험에서는 더욱 복잡해지기 때문에 이러한 과제에 직면할 수 있도록 준비해야 합니다.

1. 소개:

"모듈"이라는 단어는 "측정"을 의미하는 라틴어 "모듈러스"에서 유래되었습니다. 이것은 많은 의미를 가지며 수학뿐만 아니라 건축, 물리학, 기술, 프로그래밍 및 기타 정밀 과학에서도 사용되는 다의미적 단어(동음이의어)입니다.

건축에서 이는 주어진 건축 구조에 대해 확립된 초기 측정 단위이며 구성 요소의 여러 비율을 표현하는 데 사용됩니다.

기술에서는 기술의 여러 분야에서 사용되는 용어로 보편적인 의미는 없으며 결합계수(engagement modulus), 탄성계수(elastic modulus) 등 다양한 계수와 양을 지정하는 역할을 한다.

벌크 모듈러스(물리학)는 재료의 수직 응력과 상대 신장률의 비율입니다.

2. 개념과 정의

실수 A의 계수(절대값)는 |A|로 표시됩니다.

이 주제를 깊이 연구하려면 필요한 가장 간단한 정의를 알아야 합니다.

방정식은 변수를 포함하는 등식입니다.

모듈러스가 있는 방정식은 절대값 기호(모듈러스 기호 아래) 아래에 변수를 포함하는 방정식입니다.

방정식을 푼다는 것은 방정식의 근을 모두 찾거나 근이 없음을 증명하는 것을 의미합니다.

3.정리의 증명

정리 1. 절대값실수의 는 두 숫자 a 또는 -a 중 더 큰 숫자와 같습니다.

증거

1. 숫자 a가 양수이면 -a는 음수입니다. 즉, -a

예를 들어 숫자 5는 양수, -5는 음수, -5는

이 경우에는 |a| =a, 즉 |a| 두 숫자 a와 - a 중 더 큰 숫자와 일치합니다.

2. a가 음수이면 -a는 양수이고 a는

결과. |-a| = |아|.

사실, 와 는 둘 다 숫자 -a와 a 중 더 큰 숫자와 같습니다. 이는 서로 같다는 것을 의미합니다.

정리 2. 실수 a의 절대값은 산술과 같습니다. 제곱근 A에서 2 .

실제로 숫자의 모듈러스 정의에 따라 lАl>0이 됩니다. 반면에 A>0의 경우 |a| = √A 2

만약 2

이 정리를 사용하면 일부 문제를 해결할 때 |a|를 대체할 수 있습니다. ~에

기하학적으로 |a| 숫자 a를 나타내는 점에서 원점까지의 좌표선 상의 거리를 의미합니다.

그렇다면 좌표선에 0에서 등거리에 있는 두 점 a와 -a가 있으며 그 모듈은 동일합니다.

a = 0이면 좌표선 |a| 점 0으로 표시

4. 계수가 포함된 방정식을 푸는 방법.

절대값의 부호가 포함된 방정식을 풀기 위해 숫자의 모듈러스 정의와 숫자의 절대값 속성에 의존합니다. 우리는 몇 가지 예를 해결할 것입니다 다른 방법들모듈러스가 포함된 방정식을 푸는 데 어떤 방법이 더 쉬운지 살펴보겠습니다.

예 1. 방정식 |x + 2|를 분석적이고 그래픽적으로 풀어보겠습니다. = 1.

해결책

분석 솔루션

첫 번째 방법

모듈의 정의를 기반으로 추론해 보겠습니다. 모듈러스 아래의 표현식이 음수가 아닌 경우(예: x + 2 ≥0), 모듈러스 기호 아래에서 더하기 기호가 표시되고 방정식은 x + 2 = 1 형식을 취합니다. 모듈러스 기호 아래의 표현식 값이 음수이면 정의에 따라 다음과 같습니다. 또는 x + 2=-1

따라서 x + 2 = 1 또는 x + 2 = -1을 얻습니다. 결과 방정식을 풀면 다음을 알 수 있습니다. X+2=1 또는 X+2+-1

X=-1 X=3

답: -3;-1.

이제 우리는 결론을 내릴 수 있습니다. 어떤 표현식의 모듈러스가 양의 실수 a와 같으면 모듈러스 아래의 표현식은 a 또는 -a입니다.

그래픽 솔루션

모듈이 포함된 방정식을 푸는 방법 중 하나는 그래픽 방법입니다. 이 방법의 핵심은 이러한 함수의 그래프를 작성하는 것입니다. 그래프가 교차하는 경우 이 그래프의 교차점이 방정식의 근이 됩니다. 그래프가 교차하지 않으면 방정식에 근이 없다고 결론을 내릴 수 있습니다. 이 방법은 모듈러스가 포함된 방정식을 풀 때 다른 방법보다 덜 자주 사용됩니다. 왜냐하면 첫째, 시간이 많이 걸리고 항상 합리적인 것은 아니며, 둘째, 그래프를 그릴 때 얻은 결과가 항상 정확하지는 않기 때문입니다.

모듈러스가 포함된 방정식을 푸는 또 다른 방법은 수직선을 간격으로 분할하는 것입니다. 이 경우 모듈러스의 정의에 따라 이러한 간격의 절대값 부호를 제거할 수 있도록 수직선을 분할해야 합니다. 그런 다음 각 구간에 대해 이 방정식을 풀고 결과 근에 대한 결론을 도출해야 합니다(구간을 만족하는지 여부). 공백을 충족하는 루트가 최종 답변을 제공합니다.

두 번째 방법

모듈이 0과 같은 x 값을 설정해 보겠습니다. |X+2|=0, X=2

우리는 방정식을 푸는 두 개의 간격을 얻습니다.

우리는 두 가지 혼합 시스템을 얻습니다.

(1) X+2 0

X-2=1 X+2=1

각 시스템을 해결해 보겠습니다.

X=-3 X=-1

답: -3;-1.

그래픽 솔루션

y= |X+2|, y= 1.

그래픽 솔루션

방정식을 그래픽으로 풀려면 함수 그래프를 작성하고

함수 그래프를 작성하려면 함수 그래프를 작성해 보겠습니다. 이는 OX 축과 OY 축을 점에서 교차하는 함수입니다.

함수 그래프의 교차점의 가로좌표는 방정식에 대한 해를 제공합니다.

함수 y=1의 직선 그래프가 함수 y=|x + 2|의 그래프와 교차합니다. 좌표가 (-3; 1) 및 (-1; 1)인 점에서 방정식의 해는 점의 가로좌표가 됩니다.

x=-3, x=-1

답: -3;-1

예 2. 방정식 1 + |x|를 분석적이고 그래픽적으로 풀어보세요. = 0.5.

해결책:

분석 솔루션

방정식을 변형해 보겠습니다. 1 + |x| = 0.5

|x| =0.5-1

|x|=-0.5

정의에 따라 모듈러스는 항상 음수가 아니기 때문에 이 경우 방정식에는 해가 없다는 것이 분명합니다.

답변: 해결책이 없습니다.

그래픽 솔루션

방정식을 변형해 보겠습니다: : 1 + |x| = 0.5

|x| =0.5-1

|x|=-0.5

함수의 그래프는 광선(첫 번째 및 두 번째 좌표 각도의 이등분선)입니다. 함수의 그래프는 직선이다. 축에 평행 OX이고 OY 축의 -0.5 지점을 통과합니다.

그래프가 교차하지 않습니다. 이는 방정식에 해가 없음을 의미합니다.

답변: 해결책이 없습니다.

예 3. 방정식 |-x + 2|를 분석적이고 그래픽적으로 풀어보세요. = 2x + 1.

해결책:

분석 솔루션

첫 번째 방법

먼저 변수에 허용되는 값의 범위를 설정해야 합니다. 자연스러운 질문이 생깁니다. 이전 예에서는 왜 이렇게 할 필요가 없었는데 지금은 그렇게 되었습니까?

사실 이 예에서 방정식의 왼쪽에는 일부 표현의 모듈러스가 있고 오른쪽에는 숫자가 아니라 변수가 있는 표현식이 있습니다. 이 예를 다음과 구별하는 것이 중요한 상황입니다. 이전 것들.

왼쪽에는 모듈러스가 있고 오른쪽에는 변수를 포함하는 표현식이 있으므로 이 표현식은 음수가 아니어야 합니다. 즉, 유효한 범위는

모듈러스 값

이제 우리는 평등의 오른쪽에 양수가 있었던 예 1과 같은 방식으로 추론할 수 있습니다. 우리는 두 가지 혼합 시스템을 얻습니다.

(1) -X+2≥0 및 (2) -X+2

X+2=2X+1; X-2=2X+1

각 시스템을 해결해 보겠습니다.

(1)은 구간에 포함되며 방정식의 근입니다.

X≤2

X=⅓

(2) X>2

X=-3

X = -3은 구간에 포함되지 않으며 방정식의 근이 아닙니다.

답: ⅓.

4.1 숫자 a와 b, 해당 모듈 및 이 숫자의 제곱 사이의 종속성을 사용하는 솔루션.

위에 제시한 방법 외에도 숫자와 주어진 숫자의 모듈 사이뿐만 아니라 사각형과 주어진 숫자의 모듈 사이에도 일정한 동등성이 있습니다.

|a|=|b| a=b 또는 a=-b

A2=b2 a=b 또는 a=-b

여기에서 우리는 차례로 다음을 얻습니다.

|a|=|b| a 2 =b 2

예 4. 방정식 |x + 1|=|2x - 5| 두 가지 다른 방법으로.

1. 관계식 (1)을 고려하여 다음을 얻습니다.

X + 1=2x - 5 또는 x + 1=-2x + 5

x - 2x=-5 - 1 x + 2x=5 - 1

X=-6|(:1) 3x=4

X=6 x=11/3

첫 번째 방정식의 근 x=6, 두 번째 방정식의 근 x=11/3

따라서 원래 방정식 x의 근은 1 =6, x 2 =11/3

2. 관계식 (2)에 의해 우리는 다음을 얻습니다.

(x + 1)2=(2x - 5)2, 또는 x2 + 2x + 1=4x2 - 20x + 25

X2 - 4x2 +2x+1 + 20x - 25=0

3x2 + 22x - 24=0|(:-1)

3x2 - 22x + 24=0

D/4=121-3 24=121 - 72=49>0 ==>방정식에는 2개의 서로 다른 근이 있습니다.

x 1 =(11 - 7)/3=11/3

x 2 =(11 + 7)/3=6

해법에서 알 수 있듯이 이 방정식의 근은 숫자 11/3과 6이기도 합니다.

답: x 1 =6, x 2 =11/3

예 5. 방정식 풀기 (2x + 3) 2 =(x - 1) 2 .

관계식 (2)를 고려하면 |2x + 3|=|x - 1|을 얻습니다. 이로부터 이전 예의 예에 따라(그리고 관계식 (1)에 따라):

2x + 3=x - 1 또는 2x + 3=-x + 1

2x - x=-1 - 3 2x+ x=1 - 3

X=-4 x=-0,(6)

따라서 방정식의 근은 x1 = -4, x2 = -0입니다. (6)

답: x1=-4, x2 =0,(6)

예 6. 방정식 |x - 6|=|x2 - 5x + 9|

관계를 사용하여 다음을 얻습니다.

x - 6=x2 - 5x + 9 또는 x - 6 = -(x2 - 5x + 9)

X2 + 5x + x - 6 - 9=0 |(-1) x - 6=-x2 + 5x - 9

x2 - 6x + 15=0 x2 - 4x + 3=0

D=36 - 4 15=36 - 60= -24 D=16 - 4 3=4 >0==>2 r.k.

==> 뿌리가 없습니다.

X 1 =(4- 2) /2=1

X 2 =(4 + 2) /2=3

확인: |1 - 6|=|12 - 5 1 + 9| |3 - 6|=|32 - 5 3 + 9|

5 = 5(I) 3 = |9 - 15 + 9|

3 = 3(나)

답: x 1 =1; x 2 =3

4.2.방정식을 풀기 위해 모듈의 기하학적 해석을 사용합니다.

양 사이의 차이 계수의 기하학적 의미는 양 사이의 거리입니다. 예를 들어, |x - a |라는 표현식의 기하학적 의미는 다음과 같습니다. - 세그먼트의 길이 좌표축, 점을 가로좌표 a와 x로 연결합니다. 대수 문제를 기하학적 언어로 번역하면 번거로운 해결책을 피할 수 있는 경우가 많습니다.

실시예 7. 방정식 |x - 1|을 풀어봅시다. + |x - 2|=1 계수의 기하학적 해석을 사용합니다.

우리는 다음과 같이 추론할 것입니다: 모듈의 기하학적 해석을 기반으로 방정식의 왼쪽은 일부 가로좌표 점 x에서 가로좌표 1과 2가 있는 두 고정 점까지의 거리의 합입니다. 그러면 가로좌표가 있는 모든 점은 분명합니다. 세그먼트에는 필수 속성이 있고 이 세그먼트 외부에 있는 포인트가 있습니다. 따라서 답은 방정식에 대한 해의 집합이 세그먼트입니다.

답변:

실시예8. 방정식 |x - 1|을 풀어봅시다. - |x - 2|=1 1 모듈러스의 기하학적 해석을 사용합니다.

이전 예와 비슷하게 추론하고 가로 좌표 1과 2가 있는 점까지의 거리 차이는 숫자 2의 오른쪽에 있는 좌표축에 위치한 점에 대해서만 1과 같다는 것을 알 수 있습니다. 따라서 이 방정식은 점 1과 2 사이에 포함된 세그먼트가 아니며 점 2에서 나와 OX 축의 양의 방향으로 향하는 광선이 아닙니다.

답: ∪ [ x 2 , + ) 또는 다른 표기법으로 x ≤ x 1 , x ≥ x 2 ;

2차 부등식 a x 2 + b x + c 풀기< 0 является (x 1 , x 2) или в другой записи x 1 < x < x 2 ;

2차 부등식 a x 2 + b x + c ≤ 0에 대한 해는 [ x 1 , x 2 ] 또는 다른 표기법으로 x 1 ≤ x ≤ x 2 입니다.

여기서 x 1과 x 2는 이차 삼항식 a x 2 + b x + c의 근이고 x 1입니다.< x 2 .

이 그림에서 포물선은 한 지점에서만 O x 축과 접촉하며, 이는 다음과 같이 지정됩니다. x 0 에이 > 0. D=0, 그러므로 이차 삼항식은 하나의 근을 가집니다. x 0.

포물선은 좌표축의 접선점을 제외하고 완전히 O x 축 위에 위치합니다. 간격을 색칠해 봅시다 (− , x 0) , ( x 0 , ) .

결과를 적어보자. ~에 에이 > 0그리고 D=0:

• 이차 부등식 풀기 a x 2 + b x + c > 0(− , x 0) ∪ (x 0 , + ) 또는 다른 표기법입니다. x ≠ x 0;
• 이차 부등식 풀기 a x 2 + b x + c ≥ 0~이다 (− ∞ , + ∞) 또는 다른 표기법으로 x ∈ R;
• 이차 부등식 a x 2 + b x + c< 0 해가 없습니다(포물선이 축 아래에 위치하는 간격이 없습니다). 황소);
• 이차 부등식 a x 2 + b x + c ≤ 0독특한 솔루션을 가지고 있습니다 엑스 = 엑스 0(연락처에 따라 제공됨)

어디 x 0- 제곱 삼항식의 근 a x 2 + b x + c.

포물선의 가지가 위쪽을 향하고 축에 닿지 않는 세 번째 경우를 생각해 봅시다. 황소. 포물선의 가지는 위쪽을 향하고 있습니다. 이는 다음을 의미합니다. 에이 > 0. 제곱 삼항식에는 실수근이 없습니다. 왜냐하면 디< 0 .

그래프에는 포물선이 x축 아래에 위치하는 간격이 없습니다. 그림의 색상을 선택할 때 이를 고려할 것입니다.

언제인지 밝혀졌습니다. 에이 > 0그리고 디< 0 이차 부등식 풀기 a x 2 + b x + c > 0그리고 a x 2 + b x + c ≥ 0모두의 집합이다 실수, 그리고 불평등 a x 2 + b x + c< 0 그리고 a x 2 + b x + c ≤ 0해결책이 없습니다.

포물선의 가지가 아래쪽을 향할 때 고려해야 할 세 가지 옵션이 남아 있습니다. 이 세 가지 옵션에 대해 자세히 설명할 필요는 없습니다. 불평등의 양쪽에 − 1을 곱하면 x 2에 대해 양의 계수를 갖는 등가 불평등을 얻게 되기 때문입니다.

기사의 이전 섹션을 고려하면 그래픽 방법을 사용하여 불평등을 해결하는 알고리즘에 대한 인식이 준비되었습니다. 계산을 수행하려면 매번 좌표선 O x와 이차 함수에 해당하는 포물선을 나타내는 그림을 사용해야 합니다. y = a x 2 + b x + c. 대부분의 경우 O y 축은 계산에 필요하지 않고 도면에만 과부하가 걸리기 때문에 표시하지 않습니다.

포물선을 구성하려면 다음 두 가지를 알아야 합니다.

정의 2

• 계수 a의 값에 의해 결정되는 가지의 방향;
• 이차 삼항식의 판별식 값에 의해 결정되는 포물선과 가로축의 교차점 존재 a · x 2 + b · x + c .

엄격하지 않은 부등식을 풀 때는 일반적인 방식으로 교차점과 접선점을 표시하고, 엄격한 부등식을 풀 때는 공백을 표시합니다.

도면이 완성되면 솔루션의 다음 단계로 넘어갈 수 있습니다. 여기에는 포물선이 O x 축 위 또는 아래에 위치하는 간격을 결정하는 작업이 포함됩니다. 간격과 교차점은 2차 부등식의 해입니다. 교차점이나 접선이 없고 간격도 없으면 문제 조건에 지정된 불평등에는 해결책이 없는 것으로 간주됩니다.

이제 위의 알고리즘을 사용하여 여러 이차 부등식을 풀어보겠습니다.

실시예 1

부등식 2 x 2 + 5 1 3 x - 2를 그래픽으로 풀어야 합니다.

해결책

2차 함수 y = 2 · x 2 + 5 1 3 · x - 2 의 그래프를 그려보겠습니다. 계수 x 2동등하기 때문에 긍정적이다 2 . 이는 포물선의 가지가 위쪽을 향한다는 것을 의미합니다.

포물선이 가로축과 공통점을 가지고 있는지 알아보기 위해 2차 삼항식 2 x 2 + 5 1 3 x - 2의 판별식을 계산해 보겠습니다. 우리는 다음을 얻습니다:

D = 5 1 3 2 - 4 2 (- 2) = 400 9

보시다시피 D는 0보다 크므로 두 개의 교차점이 있습니다. x 1 = - 5 1 3 - 400 9 2 2 및 x 2 = - 5 1 3 + 400 9 2 2, 즉 x 1 = - 3그리고 x 2 = 1 3.

우리는 엄격하지 않은 부등식을 해결하므로 그래프에 일반적인 점을 표시합니다. 포물선을 그려 봅시다. 보시다시피 그림은 우리가 고려한 첫 번째 템플릿과 모양이 동일합니다.

우리의 불평등에는 ≤ 부호가 있습니다. 따라서 그래프에서 포물선이 O x 축 아래에 있는 간격을 강조 표시하고 교차점을 추가해야 합니다.

우리에게 필요한 간격은 3, 1 3입니다. 여기에 교차점을 추가하고 숫자 세그먼트 - 3, 1 3을 얻습니다. 이것이 우리 문제에 대한 해결책입니다. 답은 이중 부등식으로 작성할 수 있습니다: − 3 ≤ x ≤ 1 3 .

답변:− 3 , 1 3 또는 − 3 ≤ x ≤ 1 3 .

실시예 2

− x 2 + 16 x − 63< 0 그래픽 방법.

해결책

변수의 제곱은 음의 수치 계수를 가지므로 포물선의 가지가 아래쪽을 향하게 됩니다. 판별식의 네 번째 부분을 계산해 봅시다. D " = 8 2 − (− 1) · (− 63) = 64 − 63 = 1. 이 결과는 두 개의 교차점이 있음을 알려줍니다.

이차 삼항식의 근을 계산해 보겠습니다. x 1 = - 8 + 1 - 1 및 x 2 = - 8 - 1 - 1, x 1 = 7 및 x 2 = 9.

포물선은 x축과 점에서 교차하는 것으로 나타났습니다. 7 그리고 9 . 우리는 엄격한 부등식을 가지고 작업하고 있으므로 그래프에서 이러한 점을 빈 것으로 표시해 보겠습니다. 그런 다음 표시된 지점에서 O x 축과 교차하는 포물선을 그립니다.

우리는 포물선이 O x 축 아래에 위치하는 간격에 관심이 있습니다. 이 간격을 파란색으로 표시해 보겠습니다.

우리는 답을 얻습니다: 부등식에 대한 해는 간격 (− , 7) , (9, + ) 입니다.

답변:(− , 7) ∪ (9 , + ) 또는 다른 표기법으로 x< 7 , x > 9 .

2차 삼항식의 판별식이 0인 경우, 접선점의 가로좌표를 답에 포함할지 여부를 신중하게 고려할 필요가 있습니다. 올바른 결정을 내리려면 부등호를 고려해야 합니다. 엄격한 부등식에서는 x축의 접선 지점이 부등식의 해가 아니지만, 비엄격 부등식에서는 해가 됩니다.

실시예 3

2차 부등식 풀기 10 x 2 − 14 x + 4, 9 ≤ 0그래픽 방법.

해결책

이 경우 포물선의 가지는 위쪽을 향하게 됩니다. 점 0, 7에서 O x 축과 접촉할 것입니다.

함수를 그려보자 y = 10 x 2 − 14 x + 4, 9. 계수가 다음과 같기 때문에 가지가 위쪽으로 향합니다. x 2양수이고 x축 지점에서 x축에 닿습니다. 0 , 7 , 왜냐하면 D " = (− 7) 2 − 10 4, 9 = 0, 여기서 x 0 = 7 10 또는 0 , 7 .

점을 찍고 포물선을 그려 봅시다.

우리는 부호 ≤를 사용하여 엄격하지 않은 부등식을 해결합니다. 따라서. 우리는 포물선이 x축 아래에 위치하는 간격과 접선점에 관심이 있습니다. 그림에는 우리의 조건을 만족하는 간격이 없습니다. 접점 0, 7만 있습니다. 이것이 우리가 찾고 있는 솔루션입니다.

답변:부등식에는 해 0, 7이 하나만 있습니다.

실시예 4

2차 부등식 풀기 – x 2 + 8 x – 16< 0 .

해결책

포물선의 가지는 아래쪽을 향합니다. 판별자는 0입니다. 교차점 x 0 = 4.

x축에 접선점을 표시하고 포물선을 그립니다.

우리는 심각한 불평등을 겪고 있습니다. 결과적으로 우리는 포물선이 O x 축 아래에 위치하는 간격에 관심이 있습니다. 파란색으로 표시해 봅시다.

가로좌표 4가 있는 점은 해가 아닙니다. 왜냐하면 이 점의 포물선이 O x 축 아래에 위치하지 않기 때문입니다. 결과적으로 우리는 두 개의 구간 (− , 4) , (4 , + )을 얻습니다.

답변: (− 무한대, 4) ∪ (4, + 무한) 또는 다른 표기법으로 x ≠ 4.

항상 그런 것은 아니지만 판별 값이 음수이면 불평등에 대한 해결책이 없습니다. 해가 모든 실수의 집합인 경우가 있습니다.

실시예 5

2차 부등식 3 x 2 + 1 > 0을 그래픽으로 풉니다.

해결책

계수 a는 양수입니다. 판별자는 음수입니다. 포물선의 가지가 위쪽을 향하게 됩니다. 포물선과 O x 축의 교차점이 없습니다. 그림을 살펴보겠습니다.

우리는 > 기호가 있는 엄격한 불평등을 바탕으로 작업합니다. 이는 포물선이 x축 위에 위치하는 간격에 관심이 있음을 의미합니다. 답이 모든 실수의 집합인 경우가 바로 그렇습니다.

답변:(− , + ) 또는 x ∈ R.

실시예 6

불평등 해소방안 찾아야 − 2 x 2 − 7 x − 12 ≥ 0그래픽적으로.

해결책

포물선의 가지는 아래쪽을 향합니다. 판별식이 음수이므로 공통점포물선이나 x축이 없습니다. 그림을 살펴보겠습니다.

우리는 부호 ≥를 사용하여 엄격하지 않은 부등식으로 작업하고 있으므로 포물선이 x축 위에 위치하는 간격에 관심이 있습니다. 그래프로 판단하면 그러한 격차는 없습니다. 이는 문제 조건에 주어진 불평등에는 해결책이 없다는 것을 의미합니다.

답변:해결책이 없습니다.

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