돕다! 그들은 그것을 내 손녀에게 주었다. 나침반을 사용하여 정삼각형을 만들어 보세요. “나침반과 자를 이용한 기하학적 구조 나침반을 이용한 삼각형 만드는 법

도형의 기하학적 구성은 학교 기하학 과정의 기본 지식 중 하나입니다. 실용적인 사용 외에도 공간 논리의 형성이 여기에서 중요합니다. 바로 공사다. 삼각형원시적인 다각형 도형처럼, 도움을 받아나침반을 자세히 조사합니다. 나침반은 원을 그리는 데만 사용되는 도구가 아닙니다. 또한 주어진 길이의 동일한 세그먼트를 따로 보관할 수 있습니다. 이것이 우리에게 도움이 될 것입니다 도움을 받아삼각형을 만들어 보세요.

필요할 것이예요

• 종이, 나침반

지침

1. 아무 종이나 가져가세요. 시트 중앙에 점을 놓습니다. 이것은 생성된 정점 A의 첫 번째 정점이 됩니다. 삼각형 .

2. 생성된 면의 원하는 면에 정확하게 해당하는 거리까지 나침반을 엽니다. 삼각형. 이 위치에 나침반의 다리를 단단히 고정하십시오.

3. 표시된 지점에 나침반 바늘을 놓습니다. 스타일러스가 있는 다리를 사용하여 측정된 반경으로 원호를 그립니다.

4. 그려진 호의 원주를 따라 아무 곳에나 점을 놓습니다. 이것은 생성된 정점 B의 두 번째 정점이 됩니다. 삼각형 .

5. 같은 방법으로 두 번째 봉우리에 다리를 놓습니다. 첫 번째 원과 교차하도록 또 다른 원을 그립니다.

6. 그려진 두 호의 교차점에는 생성된 호의 세 번째 꼭지점 C가 있습니다. 삼각형. 도면에 표시해 보세요.

7. 세 개의 정점이 모두 확보되면 직선으로 연결하여 도움을 받아평평한 표면 (자보다 낫습니다). 삼각형 ABC가 만들어졌습니다.

돕다! 그들은 그것을 내 손녀에게 주었다. 나침반을 사용하여 정삼각형을 만들어 보세요. 그리고 가장 좋은 답변을 얻었습니다

KINOholik[전문가]의 답변
먼저 미래 삼각형의 길이와 동일한 길이의 세그먼트를 구성합니다.
그런 다음 이 세그먼트의 길이만큼 나침반을 열고 세그먼트의 시작 부분에 나침반 끝을 배치하여 원을 그립니다.
세그먼트의 다른 쪽 끝에 나침반을 놓고 다른 원을 그립니다.
원은 세그먼트 위와 아래의 두 지점에서 교차합니다. 세그먼트의 끝을 이 점 중 하나와 연결하면 정삼각형(정삼각형)이 생성됩니다.

답변 그리샤 콜로소프[초보]
고마워

답변 알렉산더 지데이킨[초보]
원을 4개의 동일한 부분으로 나눕니다. 나침반 다리를 가장 낮은 지점에 놓고 같은 반경의 두 번째 원을 그립니다. 우리는 두 개의 교차점을 얻었습니다. 이것은 삼각형의 두 점입니다. 세 번째 점은 첫 번째 원의 가장 높은 점에 있습니다. 우리는 연결하고 얻습니다)
도움이 되는 그림 61

답변 할아버지07[전문가]
원을 그립니다. 원 위에 한 점을 표시합니다(A로 둡니다). 이 지점에서 양방향으로 원을 따라 2개의 반경을 측정합니다. 결과 3개의 점을 연결하세요.

답변 *주황색*[전문가]
ru.wikibooks.org/wiki/.../Construction_regular_triangle

답변 엘레나 야코블레바[전문가]
원을 그리고 같은 반지름으로 6등분(6점 배치)한 다음 3점(1점을 통과)을 직선으로 연결합니다.

답변 안티프[전문가]
1) 직선 위에서 나침반을 사용하여 임의 길이의 선분을 표시합니다.
2) 세그먼트의 한쪽 끝에서 표시된 세그먼트의 길이만큼 열린 나침반을 사용하여 호를 그립니다(충분히 길다)
3) 세그먼트의 다른 쪽 끝에서도 동일한 작업을 수행합니다.
4) 호가 교차합니다
5) 교차점을 세그먼트 끝과 연결합니다.
6) 여기에 정삼각형이 있습니다 - 맞습니다

답변 베가[전문가]
원을 그린 다음 원 위에 바늘을 놓고 선에 두 개의 노치를 만든 다음 노치에 연필을 놓을 수 있도록 나침반을 다시 배열하고 바늘을 더 움직여 다음 노치를 만드십시오. 따라서 세 개를 모두 연결하십시오. 세리프체... 정삼각형을 얻습니다. .

답변 타티아나 에고로바[전문가]
직선에서 특정 나침반 솔루션으로 선분을 표시하고 동일한 솔루션으로 양쪽 끝에서 호를 그립니다. 이 호는 교차합니다. 이것이 삼각형의 세 번째 꼭지점입니다.

답변 답변 3개[전문가]

안녕하세요! 귀하의 질문에 대한 답변이 포함된 주제 선택은 다음과 같습니다. 도움말! 그들은 그것을 내 손녀에게 주었다. 나침반을 사용하여 정삼각형을 만들어 보세요.

삼각형을 그리는 방법?

다양한 삼각형의 구성은 학교 기하학 과정의 필수 요소입니다. 많은 사람들에게 이 일은 두려움을 불러일으킵니다. 그러나 사실 모든 것이 아주 간단합니다. 다음 문서에서는 나침반과 눈금자를 사용하여 모든 유형의 삼각형을 그리는 방법을 설명합니다.

삼각형이 있다

• 변하기 쉬운;
• 이등변;
• 등변;
• 직사각형;
• 둔각;
• 예각;
• 원 안에 새겨 져 있습니다.
• 원을 중심으로 설명됩니다.

정삼각형의 구성

정삼각형은 모든 변이 동일한 삼각형입니다. 모든 유형의 삼각형 중에서 정삼각형이 가장 그리기 쉽습니다.

1. 눈금자를 사용하여 측면 중 하나를 주어진 길이로 그립니다.
2. 나침반을 사용하여 길이를 측정합니다.
3. 선분의 한쪽 끝에 나침반 점을 놓고 원을 그립니다.
4. 점을 세그먼트의 다른 쪽 끝으로 이동하고 원을 그립니다.
5. 우리는 원의 교차점 2개를 얻었습니다. 그 중 하나를 세그먼트의 가장자리에 연결하면 정삼각형이 생성됩니다.

이등변삼각형의 구성

이러한 유형의 삼각형은 밑면과 변을 사용하여 구성할 수 있습니다.

이등변삼각형은 두 변이 같은 삼각형입니다. 이러한 매개변수를 사용하여 이등변삼각형을 그리려면 다음 단계를 수행해야 합니다.

1. 눈금자를 사용하여 밑면과 길이가 같은 세그먼트를 표시합니다. AC 문자로 표시합니다.
2. 나침반을 사용하여 필요한 변의 길이를 측정합니다.
3. A 지점과 C 지점에서 반지름이 변의 길이와 같은 원을 그립니다.
4. 우리는 두 개의 교차점을 얻습니다. 그 중 하나를 점 A와 C와 연결하여 필요한 삼각형을 얻습니다.

직각삼각형 만들기

직각이 하나인 삼각형을 직각삼각형이라고 합니다. 다리와 빗변이 주어지면 직각삼각형을 그리는 것은 어렵지 않습니다. 다리와 빗변을 사용하여 구성할 수 있습니다.

각과 인접한 두 변을 사용하여 둔각삼각형 만들기

삼각형의 각 중 하나가 둔각(90도 이상)인 경우 이를 둔각이라고 합니다. 지정된 매개변수를 사용하여 둔각삼각형을 그리려면 다음을 수행해야 합니다.

1. 눈금자를 사용하여 삼각형의 한 변과 길이가 같은 부분을 표시합니다. 문자 A와 D로 표시합시다.
2. 과제에 각도가 이미 그려져 있고 동일한 각도를 그려야 하는 경우 해당 이미지에 두 개의 세그먼트를 배치합니다. 양쪽 끝은 각도의 꼭지점에 있고 길이는 표시된 측면과 같습니다. 결과 점을 연결하십시오. 원하는 삼각형이 있습니다.
3. 이를 도면으로 전송하려면 세 번째 변의 길이를 측정해야 합니다.

예각삼각형의 구성

예각 삼각형(모든 각도가 90도 미만)은 동일한 원리를 사용하여 구성됩니다.

1. 두 개의 원을 그립니다. 그 중 하나의 중심은 점 D에 있고 반경은 세 번째 변의 길이와 같고 두 번째 중심은 점 A에 있으며 반경은 작업에 표시된 변의 길이와 같습니다 .
2. 원의 교차점 중 하나를 점 A와 D와 연결합니다. 필요한 삼각형이 만들어집니다.

내접삼각형

원 안에 삼각형을 그리려면 외접원의 중심이 수직 이등분선의 교차점에 있다는 정리를 기억해야 합니다.

둔각삼각형의 경우 외접원의 중심은 삼각형 바깥쪽에 있고, 직각삼각형의 경우 외접원의 중심은 빗변의 중간점에 있습니다.

외접삼각형 그리기

외접삼각형은 중심에 원이 그려져 모든 변을 접하는 삼각형입니다. 내접원의 중심은 이등분선의 교차점에 있습니다. 이를 구축하려면 다음이 필요합니다.

돕다! 그들은 그것을 내 손녀에게 주었다. 나침반을 사용하여 정삼각형을 만들어 보세요.

1. 직선에서 특정 나침반 솔루션으로 선분을 표시하고 동일한 솔루션으로 양쪽 끝에서 호를 그립니다. 이 호는 교차합니다. 이것이 삼각형의 세 번째 꼭지점입니다.
2. 원을 그립니다. 원 위에 한 점을 표시합니다(A로 둡니다). 이 지점에서 양방향으로 원을 따라 2개의 반경을 측정합니다. 결과 3개의 점을 연결하세요.
3. 원을 그리고 같은 반지름으로 6등분(6점 배치)한 다음 3점(1점을 통과)을 직선으로 연결합니다.
4. 먼저 미래 삼각형의 길이와 동일한 길이의 세그먼트를 구성합니다.
   그런 다음 이 세그먼트의 길이만큼 나침반을 열고 세그먼트의 시작 부분에 나침반 끝을 배치하여 원을 그립니다.
   세그먼트의 다른 쪽 끝에 나침반을 놓고 다른 원을 그립니다.
   원은 세그먼트 위와 아래의 두 지점에서 교차합니다. 세그먼트의 끝을 이 점 중 하나와 연결하면 정삼각형(정삼각형)이 생성됩니다.
5. ru.wikibooks.org/wiki/.../Construction_regular_triangle
6. 원을 그린 다음 원 위에 바늘을 놓고 선에 두 개의 노치를 만든 다음 노치에 연필을 놓을 수 있도록 나침반을 다시 배열하고 바늘을 더 움직여 다음 노치를 만드십시오. 따라서 세 개를 모두 연결하십시오. 세리프체... 정삼각형을 얻습니다. .
7. 원을 4개의 동일한 부분으로 나눕니다. 나침반 다리를 가장 낮은 지점에 놓고 같은 반경의 두 번째 원을 그립니다. 우리는 두 개의 교차점을 얻었습니다. 이것은 삼각형의 두 점입니다. 세 번째 점은 첫 번째 원의 가장 높은 점에 있습니다. 우리는 연결하고 얻습니다)

   http://nacherchy.ru/postroenie_pravilnich_mnogougolnikov.html
   도움이 되는 그림 61

8. 1) 직선 위에서 나침반을 사용하여 임의 길이의 선분을 표시합니다.
   2) 세그먼트의 한쪽 끝에서 표시된 세그먼트의 길이만큼 열린 나침반을 사용하여 호를 그립니다(충분히 길다)
   3) 세그먼트의 다른 쪽 끝에서도 동일한 작업을 수행합니다.
   4) 호가 교차합니다
   5) 교차점을 세그먼트 끝과 연결합니다.
   6) 여기에 정삼각형이 있습니다 - 맞습니다

이번 단원에서는 나침반과 자를 사용하여 기하학적 개체를 구성하는 작업을 살펴보겠습니다.

다양한 실제 문제를 해결하기 위해 사람들은 많은 도구를 생각해 냈습니다.

선분의 길이를 측정하거나 주어진 길이의 선분을 그리려면 눈금자를 사용합니다. 각도에 대한 유사한 문제를 해결하기 위해 각도기가 있습니다.

정리를 증명하고 문제를 해결하는 동안, 우리는 지금까지 "삼각형의 중앙값을 구성(구성)하자..."와 같은 것에 주의를 기울이지 않았습니다.

중앙값은 꼭지점과 반대쪽 중앙을 연결하는 선분입니다. 꼭대기가 어디에 있는지 분명합니다. 반대편의 중앙은 어디인가? 눈금자가 있다면 이 문제를 해결하는 것은 확실히 어렵지 않을 것입니다. 변의 길이를 측정하고 2로 나누고 중간을 찾으십시오. 같은 방식으로 각도기를 사용하면 각도의 이등분선을 만드는 것이 어렵지 않습니다.
하지만 손에 도구가 없다면 어떨까요? 밧줄만 있다고 가정해 봅시다. 우리는 그것으로 무엇을 할 수 있나요? 선을 그리고(늘리면 직선이 됩니다) 이를 사용하여 이 선분과 동일한 세그먼트를 측정합니다. 원을 그릴 수도 있습니다(그림 1 참조). 밧줄 대신에 눈금자(구분이 없는)와 나침반을 사용하여 이러한 작업을 수행할 수 있습니다.

쌀. 1. 밧줄을 사용하여 원을 그릴 수 있습니다.

기하학에서는 나침반과 자를 사용하여 구성하는 문제에 대해 이야기합니다. 이 두 가지 도구로 해결할 수 있는 문제가 있고 그렇지 않은 문제가 있습니다. 이것이 오늘 수업에서 우리가 이야기할 내용입니다.

하지만 먼저 질문에 답해 보겠습니다. 왜 구분 없는 나침반과 통치자가 필요한가요? 눈금이 있는 자, 각도기 또는 기타 도구를 선택할 수 없는 이유는 무엇입니까? 그리고 왜 그러한 문제를 해결할 수 있어야합니까? (끔찍한 비밀을 밝힐 수 있습니다. 수학과 학생과 전문 수학자조차도 학교를 졸업 한 후에 그러한 문제를 공부하고 해결하지 않습니다.)

우리는 이미 한 가지 고려 사항을 언급했습니다. 나침반과 자(기본적으로 이 단원에서는 구분 없는자를 의미한다고 가정합니다)로 수행할 수 있는 모든 작업은 일반 로프를 사용하여 수행할 수 있습니다. 그리고 일부 상황(예: 영역 표시)에서는 이러한 기술이 유용할 수 있습니다.

그러나 더 중요한 주장은 가능한 최소한의 자원을 사용하여 해결되는 문제의 예입니다. 인생에서 우리는 종종 다음과 같은 작업에 직면합니다. 100리터의 휘발유로 최대 거리를 이동할 수 있는 엔진을 제작하거나 완료하는 데 가능한 최소한의 시간을 소비합니다. 숙제, 그러나 최소한 4개를 얻으십시오. 즉, 제한된 리소스 조건에서 최적화 문제를 해결하는 경우가 많습니다. 건설 작업에서 우리가 사용할 수 있는 도구는 제한되어 있습니다.

건설 문제를 해결하는 방법을 배우는 이유는 무엇입니까?

어떤 사람들은 제시된 주장이 설득력이 없다고 생각할 수도 있습니다. 실제로 이 주제를 연구할 필요성에 대해서는 큰 의구심이 있습니다. 하지만 이제 공식화된 질문에 답하는 데 도움이 될 수 있는 몇 가지 고려 사항을 더 살펴보겠습니다.

수학은 절대적으로 정확한 모델을 사용합니다(인생에는 이상적인 원이 없지만 수학은 그러한 원의 속성을 연구하여 이상적인 원에 가까운 실제 원을 설명하는 데 사용할 수 있습니다).

모든 측정(자, 각도기 또는 기타 장치 사용)에는 부정확성이 포함됩니다(측정 목적에 따라 결정된 정확도로 반올림). 따라서 수학의 관점에서 볼 때 세그먼트를 두 부분으로 나누고 눈금자로 측정하는 문제에 대한 해결책은 정확하지 않습니다.

수학에서는 길이가 1인 세그먼트를 길이가 0.5인 두 개의 세그먼트로 나누어야 합니다. 그러나 눈금자를 사용하여 이 세그먼트의 길이를 측정하기 시작하면 정확히 1과 같을 수 없습니다. 그리고 절반의 길이는 0.5와 다릅니다. 따라서 이상적인 추상 개체로 작업하려면 구분 없는 자, 나침반인 추상적이고 이상적인 도구를 사용해야 합니다.

그러나 이것은 수학에서 구성 문제를 연구하는 이유에 대한 설명입니다. 그런데 왜 학생들에게 필요한가요? 가장 솔직한 대답은 훈련을 위한 것 같습니다. 대체로 이러한 모든 문제는 동일한 공식을 갖습니다. 두 가지 작업이 있습니다. 주어진 객체에서 필요한 객체를 얻기 위해 어떻게 사용할 수 있습니까?

어떤 사람들에게는 그러한 문제를 해결하는 것이 흥미로워 보입니다. (가우스는 나침반과 자를 사용하여 정규 17각형을 만들어 기념비에 새기기 위해 그것을 물려주었다는 사실을 매우 자랑스러워했습니다. 그러나 이것은 아마도 그의 가장 유용하지 않은 수학적 발견일 것입니다. 실용적인 관점에서) . 그러나 이것은 더 이상 수학이 아니라 지적 게임입니다. 글자 집합으로 단어를 만드는 것, 십자말 풀이 등을 푸는 것과 같습니다.

따라서 이 수업은 수학적 문제 해결을 즐기는 사람들에게 유용할 것이며, 다른 사람들은 그러한 수학적 도구에 대한 일반적인 아이디어를 갖기 위해 구성 문제 해결의 아이디어와 원리에 익숙해져야 합니다.

따라서 기하학에서 나침반과 자는 건축을 위한 고전적인 도구로 간주됩니다. 눈금자의 길이는 무한합니다. 이는 특정 문제를 해결하기 위한 자 길이가 충분하지 않은 경우 더 긴 자이면 충분하다는 의미입니다. 즉, 통치자의 길이는 우리에게 결코 문제가 되지 않습니다.

마찬가지로 나침반 다리 사이의 거리는 문제가 되지 않습니다. 어느 거리로든 이동할 수 있습니다(충분하지 않은 경우 더 큰 나침반을 사용합니다). 종이도 마찬가지다. 무한한 종이, 무한한 평면이 무엇을 의미하는지 스스로 설명할 수 있습니다.

나침반의 기능

1. 이를 사용하여 주어진 세그먼트를 측정하고 모든 방향의 직선 점에서 동일한 세그먼트를 그릴 수 있습니다. 결과 세그먼트는 첫 번째 세그먼트와 동일합니다(그림 2 참조).
2. 임의의 점에 중심이 있고 임의의 임의의 선분과 동일한 반경을 갖는 원을 그릴 수 있습니다(그림 3 참조).

쌀. 2. 나침반을 사용하면 주어진 세그먼트를 측정하고 모든 방향의 직선 위의 한 점에서 동일한 세그먼트를 놓을 수 있습니다.

쌀. 3. 나침반을 사용하면 특정 지점에 중심이 있고 특정 세그먼트와 동일한 반경을 갖는 원을 그릴 수 있습니다.

눈금자 기능: 주어진 두 점에 자를 적용하고 이를 통과하는 직선을 그립니다. 세그먼트나 광선을 그릴 수도 있습니다. 이 경우에는 표시가 없는 자에 대해 이야기하고 있음을 기억해 보십시오(그림 4 참조).

쌀. 4. 자를 사용하여 주어진 두 점을 통과하는 직선을 그릴 수 있습니다.

기본 구성, 어려움을 일으키지는 않지만 지속적으로 필요합니다.

1. 주어진 두 점을 지나는 선을 그립니다.
2. 주어진 점을 중심으로 주어진 반지름의 원을 그립니다.
3. 주어진 점에서 직선 위에 주어진 점과 같은 선분을 그립니다.

더 흥미로운 구성으로 넘어 갑시다. 오늘 이미 언급한 작업은 세그먼트의 중간을 찾는 것입니다. 아니면 뭐가 똑같나요? 세그먼트를 이등분하기.

따라서 세그먼트를 제공하겠습니다. 우리는 그 중간에 있는 점을 얻어야 합니다(그림 5 참조). 작도 문제에서 우리는 일반적으로 선, 원 또는 원과 선의 교차점으로 점을 얻습니다.

쌀. 5. 세그먼트의 중간 지점

작업 1.중앙값을 구성합니다(분할의 중간을 찾습니다).

해결책

두 선의 교차점인 점(가운데)을 찾고 싶다고 가정해 보겠습니다(그림 6 참조).

쌀. 6. 문제 1에 대한 그림

우리는 두 직선이 교차할 때 두 쌍의 각도가 형성된다는 것을 알고 있습니다. 하지만 우리에겐 아무것도 없어요 추가적인 조건들- 중간을 찾고 있는 부분만 해당됩니다. 그러므로 직선이 왼쪽이나 오른쪽으로 기울어질 것이라고 예상하는 것은 이상할 것이다(그림 7 참조).

쌀. 7. 문제 1에 대한 그림

직선이 세그먼트에 수직인 제한적인 경우를 고려해 보겠습니다(그림 8 참조).

쌀. 8. 문제 1에 대한 그림

그러면 우리는 그것이 무엇인지 압니다. 수직이등분선세그먼트에 그리고 여기에는 중요한 속성이 있습니다. 모든 점은 세그먼트 끝에서 등거리에 있습니다.(그림 9 참조). 우리는 이 사실을 건설에 사용할 것입니다.

쌀. 9. 문제 1에 대한 그림

직선을 만들려면 두 개의 점을 찾아야 합니다(더 많은 것은 가능하지만 더 적은 것은 불가능합니다). 그리고 우리가 방금 알아낸 것처럼, 수직 이등분선의 모든 점은 및에서 등거리에 있습니다. 두 개의 등거리 점을 구성해 보겠습니다(그림 10 참조).

쌀. 10. 문제 1에 대한 그림

점과 에 중심을 두고 같은 반지름을 가진 두 개의 원을 그려 봅시다. 반경은 원이 교차할 만큼 충분히 커야 합니다(그림 11 참조)(반경은 세그먼트 길이의 절반보다 커야 함을 쉽게 알 수 있습니다. 이 조건을 정확하게 충족하려면 다음을 수행할 수 있습니다. 세그먼트의 길이와 동일한 반지름을 가진 원을 그립니다.

쌀. 11. 문제 1에 대한 그림

교차점은 두 원에 모두 속합니다. 즉, 원의 반지름과 동일한 거리에서 제거됩니다. 그러나 그들의 반경은 동일합니다.

이는 점 과 가 과 로부터 등거리에 있음을 의미합니다(그림 12 참조). 이는 수직 이등분선에 속한다는 것을 의미합니다. 남은 것은 그들을 연결하고 교차점을 찾는 것입니다. 이것이 우리가 찾고 있는 지점이다(그림 13 참조).

쌀. 12. 문제 1에 대한 그림

쌀. 13. 문제 1에 대한 그림

문제가 해결되었습니다.

작업 2.주어진 점에서 선에 수직인 선을 그립니다.

해결책

직선 위에 점을 표시합니다(그림 14 참조). 이 지점에서 이 선에 수직선을 그려야 합니다. 또는 그들이 말했듯이 주어진 지점에서 선에 대한 수직을 "복원"합니다.

쌀. 14. 문제 2에 대한 그림

문제를 이전 문제로 줄여보겠습니다. 우리는 이미 세그먼트 중앙에 수직을 구성하는 방법을 알고 있습니다. 이는 이 직선에 점이 중간점이 되는 세그먼트를 구성해야 함을 의미합니다.

중심을 에 두고 임의 반경의 원을 그립니다. 원과 직선의 두 교차점을 얻습니다 (그림 15 참조).

쌀. 15. 문제 2에 대한 그림

이제 문제는 동등한 문제, 즉 세그먼트에 대한 수직 이등분선을 구성하는 문제로 축소되었습니다. 우리는 이미 이 문제를 해결하는 방법을 알고 있습니다. 이는 원래 문제가 해결되었음을 의미합니다.

문제가 해결되었습니다.

따라서 우리는 중앙값을 구성하는 방법(분절의 중앙 찾기)과 주어진 지점에서 선에 대한 수직선을 복원하는 방법을 알고 있습니다. 높이를 구성하는 방법 또는 직선에 속하지 않는 점에서 수직선을 낮추는 방법은 무엇입니까?

작업 3.높이를 구성합니다(선에 속하지 않는 점에서 선에 수직인 선을 긋습니다).

해결책

우리가 알고 있는 도구, 즉 수직 이등분선을 만드는 방법을 다시 사용해 보겠습니다. 따라서 직선과 그 위에 있지 않은 점이 있다고 가정합니다(그림 16 참조). 한 점에서 선까지 수직선을 그리는 것이 필요합니다.

쌀. 16. 문제 3에 대한 그림

한 점에 중심이 있고 이 원이 직선과 교차하기에 충분한 반지름을 갖는 원을 그려 봅시다. 이러한 경우 일반적으로 전체 원이 그려지지 않고 원호의 일부만 그려져 교차점을 얻습니다. 우리는 또한 직선상의 점들을 얻었습니다(그림 17 참조).

쌀. 17. 문제 3에 대한 그림

왜 필요한가요? 분명히 이 두 점 모두로부터 등거리에 있습니다(거리는 원의 반지름과 같습니다)(그림 18 참조).

쌀. 18. 문제 3에 대한 그림

그러나 이는 그것이 세그먼트의 수직 이등분선에 있다는 것을 의미합니다. 그리고 다시 우리는 문제에 대한 동일한 공식을 받았습니다. 세그먼트에 대한 수직 이등분선을 구성합니다(점을 통과할 것이며 점에서 선에 수직인 하나만 그릴 수 있으므로 필요한 것이 됩니다). 그리고 우리는 그것을 만드는 방법을 알고 있습니다.

점이 수직 이등분선에 있다는 사실을 이용하여 동일한 반경을 가진 원을 구성할 수 있습니다(그림 19 참조). 아니면 반경이 다른 원 두 개를 만들 수도 있습니다. 상관없습니다. 가장 중요한 것은 우리가 이 수직 이등분선을 구성할 수 있다는 것이며 이것이 우리가 찾고 있는 것이 될 것입니다(그림 20 참조).

쌀. 19. 문제 3에 대한 그림

쌀. 20. 문제 3에 대한 그림

문제가 해결되었습니다.

이 세 가지 작업은 매우 유사했습니다. 처음에는 기존 세그먼트에 수직 이등분선을 만들었습니다. 다른 두 가지에서는 주어진 점이 수직 이등분선 위에 놓이도록 선분을 구성한 다음 다시 수직 자체를 구성했습니다. 우리는 수직 이등분선, 높이, 중앙값을 구성하는 방법을 배웠습니다. 나중에 눈에 띄는 삼각형의 네 번째 선인 이등분선을 만드는 방법에 대해 이야기하겠습니다.

우리는 주어진 선에 수직인 선을 그리는 방법을 배웠습니다. 나침반과 자를 사용하여 주어진 직선과 평행한 직선을 그리는 것이 가능합니까?

작업 4.주어진 선과 평행한 선을 만들어 보세요.

해결책

직선과 그 위에 놓여 있지 않은 점이 있다고 가정합니다(그림 21 참조). 한 점을 지나는 선과 평행한 선을 그리는 것이 필요합니다. 다음을 사용하여 문제를 이전 문제로 다시 줄여 보겠습니다. 선의 평행성의 표시: 두 선이 세 번째 선과 수직이면 평행합니다..

쌀. 21. 문제 4에 대한 그림

한 점에서 직선으로 수직선을 떨어뜨리고(우리는 이를 수행하는 방법을 알고 있습니다)(그림 22 참조), 그런 다음 점을 통해 방금 구성된 직선에 또 다른 수직선을 그립니다(우리는 이를 수행하는 방법도 알고 있습니다) ( 그림 23 참조). 결과적으로 원하는 직선(통과하고 평행한)을 얻습니다.

쌀. 22. 문제 4에 대한 그림

쌀. 23. 문제 4에 대한 그림

그러한 직선이 하나만 있을 수 있다는 사실이 우리를 보장합니다. 유클리드의 다섯 번째 공리: 직선 위에 있지 않은 점을 지나서 주어진 직선과 평행한 직선은 하나만 그릴 수 있습니다..

문제가 해결되었습니다.

이제 세그먼트 분할 문제로 돌아갈 수 있습니다. 우리는 세그먼트를 두 개의 동일한 부분으로 나누는 방법을 이미 알고 있습니다. 더 많은 부품은 어떻습니까? 이것은 네 부분으로 나누어지고, 각 부분이 다시 반으로 나누어지는 것이 분명합니다. 3이나 7이라면 어떨까요?

우리는 공부할 때 이미 이 문제를 살펴보았습니다. 탈레스의 정리. 그녀에게 상기시키자 말씨: 평행선이 각도의 한 쪽에서 같은 세그먼트를 자르면 다른 쪽에서도 같은 세그먼트가 잘립니다.. 이 정리는 세그먼트를 여러 개의 동일한 부분으로 나누는 데 사용할 수 있습니다.

작업 5.세그먼트를 7개의 동일한 부분으로 나눕니다.

해결책

세그먼트를 7개의 동일한 부분으로 나누어야 한다고 가정해 보겠습니다. 이렇게 하려면 일치하지 않는 점에서 광선을 그립니다(그림 24 참조).

쌀. 24. 문제 5에 대한 그림

동일한 거리에 점을 표시해 보겠습니다(그림 25 참조).

쌀. 25. 문제 5에 대한 그림

연결해 보겠습니다 (그림 26 참조).

쌀. 26. 문제 5에 대한 그림

나머지 6개 점을 통해 평행한 직선을 그릴 것입니다(방금 방법을 배웠습니다). 각도의 한 쪽에서 세그먼트가 동일하므로 탈레스의 정리에 따라 다른 쪽에서도 동일합니다(그림 27 참조).

쌀. 27. 문제 5에 대한 그림

문제가 해결되었습니다.

따라서 우리는 이미 다음 방법을 알고 있습니다.

1. 세그먼트에 대한 수직 이등분선을 구성합니다.
2. 수직 이등분선을 사용하여 세그먼트를 반으로 나눕니다.
3. 탈레스의 정리를 사용하여 세그먼트를 임의의 수의 동일한 부분으로 나눕니다.
4. 주어진 점을 통과하는 선에 수직을 구성합니다(그리고 점은 선 위에 있을 수도 있고 선 밖에 있을 수도 있습니다).
5. 주어진 직선 위에 있지 않은 점을 지나는 평행선을 작도합니다.

다각형의 주요 요소는 선분과 각도입니다. 우리는 이미 세그먼트에 대해 많은 것을 배웠습니다. 각도에 대해 이야기해 봅시다.

우리가 해야 할 첫 번째 작업은 주어진 각도와 동일한 각도를 구성하는 것입니다. 세그먼트의 경우 비슷한 문제가 나침반을 사용하여 직접 해결되었습니다. 코너는 조금 더 어렵습니다.

작업 6.주어진 각도와 동일한 각도를 광선에서 뺍니다.

해결책

일반적으로 우리는 임의의 위치가 아닌 특정 위치, 즉 측면 중 하나가 이미 알려져 있는 동일한 각도가 필요합니다. 이 경우 문제는 다음과 같이 공식화됩니다. 주어진 각도와 동일한 광선의 각도를 따로 설정합니다.

따라서 여기에 정점이 있는 모서리가 있습니다(그림 28 참조). 광선은 측면입니다.

쌀. 28. 문제 6에 대한 그림

정점이 있는 빔이 있습니다(그림 29 참조). 이 광선으로부터 첫 번째 각도와 동일한 각도를 따로 설정해야 합니다.

쌀. 29. 문제 6에 대한 그림

우리는 삼각형의 동일성을 증명할 때 일반적으로 동일한 각도를 만났습니다. 이 아이디어를 "역으로" 사용해 보겠습니다. 꼭지점에 각도가 있는 동일한 삼각형을 구성하고, 그 동등성으로부터 각도의 동일성을 증명할 것입니다.

한 점에서 임의의 반경을 갖는 원을 그립니다. 각도와 삼각형의 측면에 점을 얻습니다 (그림 30 참조).

쌀. 30. 문제 6에 대한 그림

와 같은 삼각형을 만들어 봅시다. 동일한 반경으로 에서 원을 그립니다. 우리는 요점을 얻습니다(그림 31 참조).

쌀. 31. 문제 6에 대한 그림

첫 번째 삼각형에서는 나침반을 사용하여 선분을 "측정"하고 이 반경을 갖는 점에서 원을 그립니다. 우리는 두 원의 교차점을 얻습니다. (그림 32 참조)

쌀. 32. 문제 6에 대한 그림

두 개의 결과 삼각형을 비교해 보겠습니다(그림 33 참조).

쌀. 33. 문제 6에 대한 그림

(두 원의 반지름은 모두 같습니다)

(점은 반지름이 와 같은 원 위에 있습니다)

삼각형은 세면이 동일하다는 것이 밝혀졌습니다 (삼각형 평등의 세 번째 기호). 이는 필요한 각도가 동일하다는 것을 의미합니다.

문제가 해결되었습니다.

왜 점을 두 개나 받았나요??

두 개의 원이 교차하는 경우 두 지점에서 교차합니다(그림 34 참조). 우리는 각도를 구성하기 위해 하나만 선택했습니다. 왜 우리는 두 번째 것을 좋아하지 않았습니까?

쌀. 34. 두 개의 원이 점에서 교차하고

사실 조건은 주어진 광선의 어느 방향에 동일한 각도가 놓여야 하는지를 말하지 않았다는 것입니다(이것은 시계 방향 또는 시계 반대 방향으로 수행될 수 있습니다). 따라서 이 조건을 만족하는 두 개의 각도를 구성하는 것이 가능하다(Fig. 35 참조). 우리는 그 중 하나를 무작위로 선택했습니다. 그러나 두 번째는 더 나쁘지 않으며 선택할 수 있습니다 (추가 조건에 따라 다름).

쌀. 35. 주어진 광선에서 시계 방향과 시계 반대 방향으로 두 개의 동일한 각도

건설 문제에 얼마나 많은 해결책이 있는지 확인하기 위해 일반적으로 연구 단계가 수행됩니다. 이에 대해서는 강의 마지막에 더 자세히 이야기하겠습니다.

중앙값을 구성하는 작업이 세그먼트를 절반으로 나누는 것으로 축소되었습니다. 이등분선을 만들려면 각도를 반으로 나누는 방법을 배워야 합니다.

작업 7.이등분선을 만듭니다(각도를 반으로 나눕니다).

해결책

한 점에 정점이 있는 각도를 생각해 봅시다(그림 36 참조). 다시 2개를 만들어보자 등삼각형동일한 각도를 얻으려면

쌀. 36. 문제 7에 대한 그림

점 에 중심을 두고 임의의 반지름을 갖는 원을 그려 보겠습니다. 우리는 각도의 측면에서 점을 얻습니다(그림 37 참조).

쌀. 37. 문제 7에 대한 그림

점에서 반경이 동일한 또 다른 원을 그립니다(동일할 수도 있고 다를 수도 있음). 원의 교차점은 점을 제공합니다(그림 38 참조). 두 가지 포인트가 있지만 원하는 것을 선택할 수 있습니다. 첫 번째 단계에서와 동일한 반경의 원을 그린 경우 두 번째 점이 일치하므로 선택의 여지가 없습니다.

쌀. 38. 문제 7에 대한 그림

우리는 그것을 얻습니다. 점들을 연결해 봅시다 (그림 39 참조).

쌀. 39. 문제 7에 대한 그림

두 개의 결과 삼각형은 동일합니다. 왜요? 스스로 대답해 보세요. 글쎄요, 그것들이 같으니 각도도 같습니다 , - 이등분선.

문제가 해결되었습니다.

세그먼트 분할과 유사하게 각도를 임의의 동일한 수의 부품으로 즉시 분할하고 싶습니다. 이번에도 각도를 , 등의 부분으로 나누는 방법이 명확해졌습니다. 나침반과 자를 사용하여 각도를 3등분으로 나눌 수 있습니까? 이에 대한 자세한 내용은 아래를 참조하세요.

각도를 세 부분으로 나누기

일반적인 경우 각도를 3등분으로 나누는 것은 나침반과 자만으로는 할 수 없다는 것이 밝혀졌습니다. "일반적으로"은(는) 무슨 뜻인가요? 예를 들어 직각과 같은 일부 특별한 경우에는 문제가 해결됩니다. 정삼각형- 빗변보다 2배 작은 각도 반대편에 있는 다리).

그러나 우리는 임의의 각도에 대해 이야기하고 있습니다(도수 측정은 사전에 알려지지 않았습니다). 이 경우 문제는 해결되지 않습니다. 이 작업은 각도 삼등분 문제. 그리고 이것은 나침반과 자로 해결할 수 없는 유일한 건축 문제가 아닙니다(참고: 각도를 세 부분으로 나누는 것은 일반적으로 원칙적으로 어렵지 않습니다. 각도기를 사용하세요).

또 다른 유명한 해결 불가능한 문제의 예는 다음과 같습니다. 원 문제를 제곱하기. 주어진 원의 면적과 같은 면적의 정사각형을 만들어야 합니다. 반지름이 1인 원을 취하면 문제는 변이 와 같은 정사각형을 만드는 것입니다. 나침반과 자를 사용해서도 해결할 수 없다는 것이 밝혀졌습니다.

이것은 현재 이 작업을 수행하는 방법을 찾지 못했다는 사실이 아니라 이것이 수행될 수 없음을 입증했다는 사실에 관한 것입니다. 즉, 그들은 아무리 나침반과 자를 사용하려고 노력해도 이러한 문제를 해결할 수 없다는 것을 증명했습니다.

이제 스스로 연습해 보세요. 세 변이 있는 삼각형을 만들어 보세요. 세 개의 세그먼트가 제공됩니다(그림 40 참조).

쌀. 40. 데이터 세그먼트

이 세 개의 선분과 변의 길이가 같은 삼각형을 만들어 보세요. 해결 방법은 아래에서 확인할 수 있습니다.

세 변을 이용하여 삼각형 만들기

일.세 변에 삼각형을 만듭니다(그림 41 참조).

쌀. 41. 문제에 대한 그림

해결책

어딘가에서 시작하려면 임의의 직선을 그리고 그 위에 삼각형의 첫 번째 변을 그려 보겠습니다(그림 42 참조). 어느 쪽을 먼저 취하는지는 중요하지 않습니다. 쪽을 먼저 취하십시오.

쌀. 42. 문제에 대한 그림

지연된 세그먼트의 끝에서 반경과 가 있는 두 개의 원을 그립니다. 원의 교차점은 세 번째 점을 제공합니다(그림 43 참조).

쌀. 43. 문제에 대한 그림

두 개의 교차점이 있습니다. 하나를 선택할 수 있습니다. 두 버전의 삼각형을 모두 만들고 직선을 기준으로 서로 대칭인 동일한 삼각형인지 확인합니다(그림 44 참조).

쌀. 44. 문제에 대한 그림

옆면 반대쪽 윗면 ㅏ표준적으로 표시됩니다. 세그먼트의 끝 부분을 직선으로 연결하십시오. 분명히 결과 삼각형의 변은 주어진 세 개의 세그먼트와 같습니다. 남은 두 정점을 식별하는 일이 남아 있습니다. 반대쪽이 상단이고, 반대쪽이 상단입니다(그림 45 참조).