다음 순열을 찾는 것입니다. 조합 공식. 배치 및 확률 이론

순열은 다음 요소들의 조합입니다. N특정 순서로 다른 요소를 취합니다. 재배열에서는 요소의 순서가 중요하며 모든 요소가 재배열에 포함되어야 합니다. N강요.

과제: 숫자 1, 2, 3의 순서에 대해 가능한 모든 순열을 찾아보세요.
다음과 같은 순열이 존재합니다:

1: 1 2 3
2: 1 3 2
3: 2 1 3
4: 2 3 1
5: 3 1 2
6: 3 2 1

반복 없는 순열

N개의 서로 다른 요소에 대한 순열 수는 다음과 같습니다. N!. 정말:

둘 중 아무거나 1순위에 놓일 수 있습니다. N요소(전체 옵션 N),
나머지 것 중 하나는 두 번째 위치에 배치될 수 있습니다. (N-1)요소(전체 옵션 N·(N-1)),
우리가 모두를 위해 이 순서를 계속한다면 N장소에서 우리는 다음을 얻습니다: N·(N-1)·(N-2)· … ·1즉, 전체적으로 N!순열.

숫자의 모든 순열을 얻는 문제를 고려하십시오. 1…N(즉, 길이의 시퀀스 N), 여기서 각 숫자는 정확히 1번 나타납니다. 순열을 얻는 순서에는 여러 가지 옵션이 있습니다. 그러나 가장 자주 해결되는 문제는 순열을 생성하는 것입니다. 사전식주문하세요(위의 예 참조). 이 경우 모든 순열은 먼저 첫 번째 숫자로 정렬된 다음 두 번째 숫자로 정렬됩니다. 오름차순으로. 첫 번째는 순열이 될 것입니다. 1 2…N, 그리고 마지막 것 - N N-1…1.

문제를 해결하기 위한 알고리즘을 생각해 봅시다. 원래의 숫자 순서가 제공됩니다. 각 후속 순열을 얻으려면 다음 단계를 수행해야 합니다.

현재 순열을 오른쪽에서 왼쪽으로 살펴보는 동시에 순열의 각 후속 요소(높은 숫자를 가진 요소)가 이전 요소(낮은 숫자를 가진 요소)보다 크지 않은지 확인해야 합니다. . 이 비율을 위반하는 즉시 정지하고 현재 숫자(위치 1)를 표시해야 합니다.
이전 단계에서 표시된 것보다 큰 첫 번째 숫자에 도달할 때까지 오른쪽에서 왼쪽으로 이동한 경로를 다시 검토합니다.
두 개의 결과 요소를 바꿉니다.
이제 위치 1의 오른쪽에 있는 배열 부분에서 모든 숫자를 오름차순으로 정렬해야 합니다. 이전에는 이미 모두 내림차순으로 작성되었으므로 하위 시퀀스의 이 부분을 간단히 뒤집으면 됩니다.

이런 식으로 우리는 다음 단계에서 초기 시퀀스로 간주될 새로운 시퀀스를 얻게 됩니다.

C++로 구현

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#포함하다
네임스페이스 std 사용;

{
int s = a[i];
a[i] = a[j];
a[j] = s;
}
bool NextSet(int *a, int n)
{
int j = n - 2;
while (j != -1 && a[j] >= a) j--;
if (j == -1)
거짓을 반환; // 더 이상 순열이 없습니다.
int k = n - 1;
while (a[j] >= a[k]) k--;
스왑(a, j, k);
int l = j + 1, r = n - 1;
동안 (나는 swap(a, l++, r--);
사실을 반환;
}
무효 인쇄(int *a, int n) // 순열 출력
{
정적 정수 번호 = 1; // 순열 수
cout.width(3);
시합<< num++ << ": " ;
for (int i = 0; i< n; i++)
시합<< a[i] << " " ;
시합<< endl;
}
정수 메인()
{
int n, *a;
시합<< "N = " ;
신 >> 엔;
a = 새로운 정수[n];
for (int i = 0; i< n; i++)
a[i] = i + 1;
인쇄(a, n);
while (NextSet(a, n))
인쇄(a, n);
cin.get(); cin.get();
0을 반환합니다.
}

실행 결과

반복이 있는 순열

순열 생성 문제는 특별한 주의를 기울일 가치가 있습니다. N시퀀스의 요소가 반복될 수 있는 경우의 요소입니다. 원래 시퀀스가 요소로 구성되어 있다고 가정해 보겠습니다. n 1, n 2 ... n k, 여기서 요소 n 1반복된다 r 1한 번, n 2반복된다 r 2횟수 등 여기서 n 1 +n 2 +...+n 케이 =N. 모든 것을 계산해 보면 n 1 +n 2 +...+n k반복이 다른 순열 요소가 있으면 전체적으로 순열의 다양한 변형이 있습니다( n 1 +n 2 +...+n k)!. 그러나 이러한 순열 중에서 모두가 다른 것은 아닙니다. 사실 모든 것은 r 1강요 n 1우리는 서로 장소를 바꿀 수 있으며 이로 인해 순열이 변경되지는 않습니다. 같은 방법으로 요소를 재배열할 수 있습니다. n 2, 엔 3등등. 그 결과 우리는 r 1!반복 요소의 다른 배열로 동일한 순열을 작성하기 위한 옵션 n 1. 따라서 어떤 순열이라도 쓸 수 있습니다. r 1 !·r 2 !·...·r k !방법. 따라서 반복을 통한 다양한 순열의 수는 다음과 같습니다.

반복이 있는 순열을 생성하려면 위에서 설명한 반복 없이 순열을 생성하는 알고리즘을 사용할 수 있습니다. 배열 a에 반복되는 요소를 도입해 보겠습니다. 다음은 반복을 통해 순열을 생성하는 프로그램 코드입니다(main() 함수 코드만 변경됨).

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#포함하다
네임스페이스 std 사용;
무효 스왑(int *a, int i, int j)
{
int s = a[i];
a[i] = a[j];
a[j] = s;
}
bool NextSet(int *a, int n)
{
int j = n - 2;
while (j != -1 && a[j] >= a) j--;
if (j == -1)
거짓을 반환; // 더 이상 순열이 없습니다.
int k = n - 1;
while (a[j] >= a[k]) k--;
스왑(a, j, k);
int l = j + 1, r = n - 1; // 나머지 시퀀스 정렬
동안 (나는 swap(a, l++, r--);
사실을 반환;
}
무효 인쇄(int *a, int n) // 순열 출력
{
정적 정수 번호 = 1; // 순열 수
cout.width(3); // 순열 수 출력 필드의 너비
시합<< num++ << ": " ;
for (int i = 0; i< n; i++)
시합<< a[i] << " " ;
시합<< endl;
}
정수 메인()
{
int n, *a;
시합<< "N = " ;
신 >> 엔;
a = 새로운 정수[n];
for (int i = 0; i< n; i++)
a[i] = i + 1;
a = 1; // 반복 요소
인쇄(a, n);
while (NextSet(a, n))
인쇄(a, n);
cin.get(); cin.get();
0을 반환합니다.
}