멱급수 합의 역도함수입니다. 파워 시리즈. 아벨의 정리, 수렴 반경 및 간격. 멱급수의 합의 연속성. 멱급수의 차별화와 통합. 멱급수의 속성

POWER 시리즈 아벨의 정리. 멱급수의 수렴 구간과 반경 멱급수의 균일한 수렴과 합의 연속성 멱급수의 적분 멱급수의 미분 테일러 급수 테일러 급수의 함수 분해 조건 기본 기능기본 기본 함수의 멱급수 확장(Maclaurin 급수) 표입니다.

아벨의 정리. 멱급수의 수렴 구간과 반경 멱급수는 계수가 상수인 형태(o 또는 유형 (2))의 함수형 계열입니다. 형식 대체 x - x에 의한 급수(2)입니다.<>x에서는 계열 (1)로 축소됩니다. 멱급수(1)는 항상 x = 0 지점에서 수렴하고, 급수(2)는 x0 지점에서 수렴하며, 이들 지점에서의 합은 Ω와 같습니다. 예. 행은 행으로 놓여 있습니다. 멱급수의 수렴영역의 형태를 알아봅시다. 정리 1(아벨). 만약 거듭제곱 계열이 에서 수렴한다면, 그것은 모든 x에 대해 절대적으로 수렴합니다. 즉, 거듭제곱 계열이 x = xi에서 발산한다면 그것은 거듭제곱 계열이 수렴되는 임의의 x에서 발산합니다. 숫자 계열은 POWER 계열 아벨의 정리를 수렴합니다. 멱급수의 수렴 구간과 반경 멱급수의 균일한 수렴과 그 합의 연속성 멱급수의 적분 멱급수의 미분 테일러 급수 기본 함수의 테일러 급수에서 함수의 분해 가능성을 위한 조건 제곱의 확장 표 기본 기본 함수의 계열(Maclaurin 계열)입니다. a는 모든 n에 대해 M과 같은 숫자가 있음을 의미합니다. 여기서 시리즈를 고려하고 공통 항을 추정합니다. 우리는 whered= 을 가지고 있습니다. 그러나 이 급수는 분모 q를 갖는 기하학적 수열의 항으로 구성됩니다. 여기서 이는 수렴한다는 의미입니다. 비교 기준에 따라 2행 |с„:гп| 임의의 점 x에 수렴합니다. 결과적으로, 멱급수는 절대적으로 수렴합니다. 이제 멱급수는 발산 구간과 수렴 구간을 분리하는 점 O)가 됩니다. 다음 정리가 성립합니다. 정리 2. 거듭제곱 계열이 x Φ 0 점에서 수렴한다고 가정합니다. 그런 다음 이 계열은 수직선의 모든 점에서 절대적으로 수렴하거나, 계열이 분기점에서 절대적으로 수렴하고 발산하는 숫자 R > O가 있습니다. 절대. 수렴하고 발산한다 d Fig. 1 정의. 거듭제곱 계열의 수렴 간격은 간격 (-R, R)입니다. 여기서 R > 0이므로 각 점 x € (-R, R)에서 계열은 절대적으로 수렴하고 점 x에서는 |i| > R 시리즈는 다양합니다. 숫자 R을 멱급수의 수렴 반경이라고 합니다. 논평. 수렴 구간(-R, R)의 끝 부분에 대해서는 다음 세 가지 경우가 가능합니다. i) 멱급수는 x = -R 지점과 x = R 지점에서 모두 수렴하고, 2) 멱급수는 발산합니다. 두 지점 모두에서 3) 전력 계열은 수렴 구간의 한쪽 끝에서 수렴하고 다른 쪽 끝에서 발산합니다. 논평. ho Φ 0 가 급수와 동일한 수렴 반경을 갖는 거듭제곱 급수 공식 (3)을 증명하기 위해 다음과 같이 구성된 급수를 고려하십시오. 절대값 이 시리즈의 항. D'Alembert의 테스트를 이 시리즈에 적용하면 시리즈 (4)가 if로 수렴하고 if로 발산한다는 것을 알 수 있습니다. 멱급수는 모든 x에 대해 절대적으로 수렴하여 발산합니다. 수렴 반경을 결정함으로써 유한 극한이 있는 경우 공식을 사용하여 멱급수의 수렴 반경도 구할 수 있음을 알 수 있으며, 공식 (5)는 Cauchy 기준을 사용하여 쉽게 얻을 수 있습니다. 거듭제곱 계열이 x = 0 지점에서만 수렴하는 경우 수렴 반경은 R = 0이라고 말합니다(예를 들어 lim L^D = oo 또는 거듭제곱 계열이 x = 0의 모든 지점에서 수렴하는 경우). 실수 축, 그러면 R = + oo라고 가정합니다(예를 들어 lim n^p = 0 또는 멱급수의 수렴 영역은 간격(또는 세그먼트 [ 또는 절반 중 하나일 수 있음) -간격(x0 - R, x0 + D) 또는 [. R = + oo인 경우 계열의 수렴 영역은 전체 수치 축, 즉 간격(-oo, +oo)이 됩니다. 멱급수의 수렴 영역을 계산하려면 먼저 수렴 반경 R을 계산하고(예를 들어 위 공식 중 하나를 사용하여) 점 O)의 수렴 간격을 찾아야 합니다. 이는 발산 간격과 간격을 구분합니다. 다음 정리가 성립합니다. 정리 2. 멱급수를 x Ф 0 점에서 수렴한다고 하면 이 급수는 수직선의 모든 점에서 절대적으로 수렴하거나, 급수가 수렴하는 R > O 숫자가 있습니다. 절대적으로 에서 발산하고 |에서 발산합니다. 절대. 수렴하다 발산하다 정의. 거듭제곱 계열의 수렴 간격은 간격 (-R, R)입니다. 여기서 R > 0이므로 각 점 x € (-R, R)에서 계열은 절대적으로 수렴하고 점 x에서는 |i| > R 시리즈는 다양합니다. 숫자 R을 멱급수의 수렴 반경이라고 합니다. 논평. 수렴 구간(-R, R)의 끝 부분에 대해서는 다음 세 가지 경우가 가능합니다. i) 멱급수는 x = -R 지점과 x = R 지점에서 모두 수렴하고, 2) 멱급수는 발산합니다. 두 지점 모두에서 3) 전력 계열은 수렴 구간의 한쪽 끝에서 수렴하고 다른 쪽 끝에서 발산합니다. 논평. hof 0이 급수와 동일한 수렴 반경을 갖는 거듭제곱 급수 공식 (3)을 증명하기 위해 이 급수 항의 절대값으로 구성된 급수를 고려하고 이 급수에 D'Alembert 테스트를 적용하면, 이면 급수(4)는 수렴하고, 이면 발산할 것입니다. 즉, 거듭제곱 급수는 모든 x에 대해 절대적으로 수렴하여 \에 대해 발산합니다. 수렴 반경을 정의함으로써 R = £, 즉 POWER SERIES Abel의 정리를 얻습니다. 멱급수의 수렴 구간과 반경 멱급수의 균일한 수렴과 그 합의 연속성 멱급수의 적분 멱급수의 미분 테일러 급수 기본 함수의 테일러 급수에서 함수의 분해 가능성을 위한 조건 제곱의 확장 표 기본 기본 함수의 계열(Maclaurin 계열)입니다. 유한한계가 있는 경우에는 공식을 이용하여 멱급수의 수렴반경을 구할 수 있으며, 식 (5)는 Cauchy test를 이용하여 쉽게 구할 수 있다. 거듭제곱 계열이 x = 0 점에서만 수렴하는 경우 수렴 반경은 R = 0이라고 말합니다(예를 들어 lim b^D = oo 또는 경우 가능함). 거듭제곱 계열이 모든 점에서 수렴하는 경우 실수 축의 경우 R = +oo라고 가정합니다(예를 들어 멱급수의 수렴 영역이 간격(또는 세그먼트 ] 또는 절반 간격(x0 - R,x0 + D) 또는 [. R = +oo인 경우 계열의 수렴 영역은 전체 수치 축, 즉 간격(-oo, +oo)이 됩니다. 거듭제곱의 수렴 영역을 찾으려면 계열의 경우 먼저 수렴 반경 R을 계산하고(예: 위 공식 중 하나를 사용하여) 계열이 절대적으로 수렴하는 수렴 구간을 찾은 다음 수렴 구간의 끝에서 계열의 수렴을 조사해야 합니다. - 점 x = xo - R, x = xq + R에서. 예 1. 거듭제곱 계열 M의 수렴 영역 찾기 1) 이 계열의 수렴 반경 R을 찾으려면 공식을 적용하는 것이 편리합니다. 3).그래서 어떻게든 우리는 계열이 구간에서 절대적으로 수렴하게 될 것입니다. 2) 수렴 구간의 끝에서 계열(6)의 수렴을 연구해 보겠습니다. x = -1이라고 하면 발산이 분명한 숫자 계열을 얻습니다(수렴에 필요한 기준이 충족되지 않음: . x - 1의 경우 존재하지 않는 숫자 계열을 얻습니다. 이는 이 계열이 발산함을 의미합니다. 따라서, 계열 (6)의 수렴 영역은 간격입니다. 예 2. 계열 M의 수렴 영역 찾기 1) 식 (3)을 사용하여 수렴 반경을 찾습니다. 우리는 급수(7)이 간격에 절대적으로 수렴하며, 여기서 발산하는 수치 급수(고조파 급수)를 얻을 수 있습니다. x = 0에서 조건부 수렴하는 숫자 계열을 갖게 됩니다. 따라서 계열 (7)은 영역에서 수렴합니다. 예 3. 계열의 수렴 간격 찾기 = 이후 수렴 반경을 찾기 위해 공식을 적용합니다. 이는 이 계열이 x의 모든 값에 대해 수렴한다는 것을 의미합니다. 수렴 영역은 구간입니다. 예 4. 계열의 수렴 구간을 찾은 후 다음을 얻습니다. 등식 R = 0은 계열(8)이 한 점에서만 수렴한다는 것을 의미합니다. 즉, 주어진 멱급수의 수렴영역은 §2 하나의 점으로 구성된다. 멱급수의 균일한 수렴과 그 합의 연속성 정리 1. 멱급수는 급수의 수렴 간격에 포함된 모든 세그먼트에 절대적이고 균일하게 수렴합니다. 그런 다음 조건을 만족하는 모든 w에 대해, 그리고 모든 n에 대해 =입니다. 가질 것이다. 그러나 숫자 계열이 수렴하므로 Weierstrass의 기준에 따르면 이 거듭제곱 계열은 세그먼트에서 절대적으로 균일하게 수렴합니다. 정리 2. 거듭제곱 계열의 합은 수렴 구간의 각 점 x에서 연속입니다. (4) 수렴 구간(-D, R)의 모든 점 x는 주어진 계열이 균일하게 수렴하는 특정 세그먼트에 포함될 수 있습니다. 급수의 항이 연속적이므로 그 합 S(x)는 구간 [-a, a]에서 연속이므로 점 x에서 연속이 됩니다. 멱급수는 수렴 구간(-R, R ), R > O에서 항별로 적분할 수 있으며, 항별 적분으로 얻은 계열의 수렴 반경도 다음과 같습니다. R과 동일합니다. 특히 구간 (-R, R)의 모든 x에 대해 다음 공식이 유지됩니다. 수렴 구간 (-D, R)의 모든 점 x는 일부 세그먼트 [-a, a]에 포함될 수 있습니다. 여기서 이 부분에서 이 급수는 균일하게 수렴할 것이며 급수의 항은 연속적이기 때문에 예를 들어 0에서 x까지의 범위에서 항별로 적분할 수 있습니다. 그런 다음 XVIII장의 정리 4에 따라 다음과 같이 정리합니다. 결과 시리즈 POWER SERIES 아벨의 정리의 수렴 반경 R"을 찾습니다. 멱급수의 수렴 구간과 반경 멱급수의 균일한 수렴과 그 합의 연속성 멱급수의 적분 멱급수의 미분 테일러 급수 기본 함수의 테일러 급수에서 함수의 분해 가능성을 위한 조건 제곱의 확장 표 기본 기본 함수의 계열(Maclaurin 계열)입니다. ~에 추가 조건 유한 극한 R. Ime의 존재 따라서, 멱급수의 수렴 반경은 적분 중에 변하지 않습니다. 논평. 정리의 진술은 R = +oo에 대해 유효합니다. §4. 멱급수의 미분 정리 4(멱급수의 용어별 미분에 관한). 멱급수는 수렴 간격의 임의의 지점 x에서 항별로 미분될 수 있습니다. 4 R을 계열의 수렴 반경으로 하고 R"를 계열의 수렴 반경으로 설정합니다. (유한 또는 무한)이 있다고 가정합니다. 극한 우리가 가지고 있는 급수의 반지름 B를 구해 봅시다. 따라서 급수 (1)과 (2)의 수렴 반경은 같습니다. 급수 (2)의 합을 급수 (1)과 ( 2) 임의의 세그먼트 [-a, a|에 균일하게 수렴합니다. 여기서, 급수(2)의 모든 항은 연속적이고 해당 급수(1)의 항의 파생물입니다. 따라서 XVIII장의 정리 5에 따르면 , 등식은 구간 [-a, a)에서 유지됩니다. a의 임의성으로 인해 마지막 등식은 구간 Sledspie에서도 유지됩니다. 거듭제곱 정의. 함수 /(x)는 거듭제곱 급수로 확장됩니다. ]G) 이 구간에서 표시된 계열이 수렴하고 그 합이 /(x)와 같은 경우 구간의 SpXn: 먼저 함수 /(x)가 정리 형식의 거듭제곱 시리즈에서 두 개의 서로 다른 확장을 가질 수 없다는 것을 증명해 보겠습니다. 5. 구간 (-R, R)의 함수 f(x)가 멱급수(1)로 확장되면 이 확장은 고유합니다. 즉, 계열(1)의 계수는 해당 합에서 고유하게 결정됩니다. 간격의 함수를 수렴하는 거듭제곱 급수로 확장하면 이 급수를 항으로 n번 미분하면 x = 0일 때 다음을 얻습니다. 따라서 식(2)에 의한 거듭제곱(1)의 계수는 고유하게 결정됩니다. 논평. 함수 /(x)가 차이 x-zq의 거듭제곱으로 확장되는 경우 이 계열의 계수 c′는 공식에 의해 결정됩니다. 함수가 모든 차수의 파생물을 가지도록 하세요. 즉, 는 점 w에서 무한히 미분가능하다. 공식 (3)을 사용하여 계수를 계산하여 이 함수에 대한 정식 거듭제곱 시리즈를 구성해 보겠습니다. §5. 정의. 점 x0에 대한 함수 /(x)의 테일러 급수는 다음 형식의 거듭제곱 급수라고 합니다. (여기서는 이 급수의 계수를... 함수의 테일러 계수라고 합니다. xo = 0인 경우, Taylor 급수는 Maclaurin 급수라고 합니다. 다음 명제는 정리 5. 정리 b에서 따릅니다. 간격에서 함수 /(x)가 거듭제곱 급수로 확장되면 이 급수는 함수 /(x)의 Taylor 급수입니다. 예 1. 함수를 고려하고 그 도함수 찾기 z O에 대해 이 함수는 일반적인 규칙에 따라 발견되는 모든 차수의 도함수를 가지며 일반적으로 Pjn (i)는 다음과 관련하여 3n차 다항식입니다. 제이. 이제 2 = 0 지점에서 이 함수도 임의의 차수의 도함수를 가지며, 모두 0과 같다는 것을 보여드리겠습니다. 도함수의 정의에 기초하여 우리는 (극한을 계산할 때 Hapital 규칙을 적용했습니다). 유사한 방식으로, 주어진 함수는 숫자 축의 모든 차수의 도함수를 갖는다는 것을 증명할 수 있습니다. 점 z0 = 우리가 가지고 있는 것과 관련하여 원래 함수의 형식적인 테일러 급수를 구성해 보겠습니다. 이 계열의 합은 0과 동일하지만 함수 f(x) 자체는 0과 동일하지 않다는 것이 분명합니다. ^ 이 예는 복잡한 분석(분석성)을 논의할 때 기억할 가치가 있습니다. 겉보기에 완전히 괜찮은 함수는 허수 축의 문제로 인해 실수 축에서 변덕스러운 특성을 나타냅니다. 주어진 무한 미분 가능 함수에 대한 예에서 공식적으로 구성된 계열은 수렴하지만 그 합은 x Φ 0에 대한 이 함수의 값과 일치하지 않습니다. 이와 관련하여 자연스러운 질문이 발생합니다. 함수 f( x) 구간(xo - R, xo + R)을 만족하여 이에 수렴하는 Taylor 계열로 확장될 수 있습니까? 테일러 급수에서 함수의 분해 가능성을 위한 조건 단순화를 위해 우리는 형식의 거듭제곱 급수, 즉 매클로린 급수를 고려해 보겠습니다. 정리 7. 함수 f(x)가 구간 (-R, R)에서 거듭제곱 급수로 확장되기 위해서는 이 구간에서 함수 f(x)가 모든 차수의 도함수를 갖는 것이 필요하고 충분합니다. Taylor 공식에서 잔차 항 Rn(x)는 모든 m 필요성에 대해 0이 되는 경향이 있습니다. 구간을 가정합니다(함수 f(x)는 거듭제곱 급수로 확장됩니다. 즉, 급수(2)가 수렴하고 그 합은 f(x)와 같습니다. 그런 다음 정리 4와 그 결과에 따라 함수 f(x) 모든 차수의 구간 (-R , R) 도함수 /(n^(x)에 있습니다. 정리 5(공식 (2))에 따라 급수 (2)의 계수는 다음과 같은 형식을 갖습니다. 즉, 다음과 같은 등식을 쓸 수 있습니다. 간격 (-R, R)에 대한 이 급수의 수렴은 나머지 0이 모든 x에 대해 oo로 0이 되는 경향이 있습니다. 충분함: 간격 (-R, R)의 함수 f(r)가 모든 차수의 도함수를 가지며 Taylor 공식은 임의의 x €(-Δ, R)에 대해 oo에서 나머지 항 Rn(x) 0입니다. 이후 n -» oo이므로 Taylor 계열의 n번째 부분 합은 대괄호로 작성되므로 공식(4) 이는 함수 f(x)의 테일러 급수가 구간 (-Δ , R)에 수렴하고 그 합이 함수 f(x)라는 것을 의미합니다. 함수를 거듭제곱 급수로 확장하기 위한 충분한 조건은 다음과 같은 경우에 편리합니다. 실용적인 응용 프로그램 , 다음 정리로 설명됩니다. 정리 8. 구간 (-R, R)의 함수 f(x)가 거듭제곱 급수로 확장되기 위해서는 함수 f(x)가 이 구간에서 모든 차수의 도함수를 갖고, What과 같은 상수 M > O가 존재합니다. 함수 f(x)가 구간 (-D, R)에서 모든 차수의 도함수를 갖는다고 가정합니다. 그런 다음 공식적으로 Taylor 계열을 작성할 수 있으며, 그것이 함수 f(x)로 수렴된다는 것을 증명해 보겠습니다. 이를 위해서는 Taylor 공식(1)의 나머지 항이 모든 x €(-Δ, R)에 대해 n oo로 0이 되는 경향이 있음을 보여주는 것으로 충분합니다. 실제로 그것을 고려하면). 수열은 D'Alembert의 기준, 즉 수렴의 필수 기준에 따라 수렴됩니다. 불평등 (3)으로부터 우리는 § b로부터 M의 기능을 얻습니다. 기본 함수의 테일러 급수 기본 기본 함수의 급수 확장을 고려해 보겠습니다. 6 이 함수는 구간(- 임의의 숫자)에 대한 모든 차수의 도함수를 갖습니다. 따라서 지수 함수 ex는 임의의 구간(-a, a)에서 Taylor 계열로 확장될 수 있으므로 전체 Ox 축에서 확장될 수 있습니다. , 그러면 우리는 급수를 얻습니다. 확장 (1)에서 x를 -a*로 대체하면 다음을 얻습니다. 이 함수는 임의의 차수의 도함수를 가지며, 따라서 정리 8에 의해 함수 sin x는 이에 수렴하는 테일러 급수로 확장됩니다. 간격 (-oo, +oo)에서 이 급수는 다음과 같은 형식을 갖기 때문에: 급수의 수렴 반경 우리는 유사하게 다음을 얻습니다 - 임의의 실수 이 함수는 관계와 조건을 만족합니다 우리는 합이 5인 거듭제곱 급수를 찾을 것입니다 (x)는 관계식 (4)와 조건 5(0) = 1을 만족합니다. 여기에서 관계식 (5)와 (6)을 공식 (4)에 대입하면 다음과 같이 됩니다. x 등식의 왼쪽과 오른쪽에서 우리는 멱급수 아벨의 정리를 찾는 곳에서 얻습니다. 멱급수의 수렴 간격과 반경 멱급수의 균일한 수렴과 그 합의 연속성 멱급수의 적분 멱급수의 미분 Taylor 시리즈 기본 함수의 Taylor 시리즈에서 함수의 분해 가능성에 대한 조건 기본 기본 함수의 거듭제곱 시리즈(Maclaurin 시리즈)의 확장 표입니다. 이러한 계수 값을 관계식 (5)에 대입하면 계열을 얻습니다. a가 자연수가 아닌 경우 계열 (7)의 수렴 반경을 찾습니다. 그래서 급수 (7)은 에서 수렴합니다. e.구간에서 (-1,1) 구간에서 급수 (7)의 합 5(g)가 (1 + g)°와 같음을 증명해 보겠습니다. 이를 위해 다음 관계를 고려하십시오. 5(x)가 관계를 만족하므로(그런 다음 함수 Φ(x)의 도함수에 대해 다음을 얻습니다. for. 그것은 다음과 같습니다. 특히, x = 0에 대해 우리는 다음을 갖습니다. 따라서 결과 계열을 이항이라고 하며 해당 계수를 이항 계수라고 합니다. 논평. -의 경우 자연수(o = z"), 함수 (1 + z)a는 다항식이 됩니다. n급이고 모든 n > a에 대해 Dn(x) = 0입니다. 두 가지 확장을 더 살펴보겠습니다. a = -1에 대해 우리는 갖게 됩니다. 마지막 등식에서 w를 -z로 대체하면 이 함수를 w의 거듭제곱으로 Taylor 급수로 확장합니다. 우리는 o 내에 평등(9)을 통합합니다. 평등(11)은 유효합니다. 간격에. x를 -z로 대체하면 급수를 얻습니다. x = 1에 대해서도 등식(11)이 참임을 증명할 수 있습니다. 기본 기본 함수의 거듭제곱 급수 확장 표(Maclaurin 급수). 이 표를 사용하면 다음 이상의 멱급수 확장을 얻을 수 있습니다. 복잡한 기능. 이것이 어떻게 이루어지는지 예시를 통해 보여드리겠습니다. 예 1. 4의 함수를 xq = 2 지점 부근의 거듭제곱, 즉 차이 z -2의 거듭제곱으로 확장합니다. 우리가 가지고 있는 함수에 대해 계열 (10)을 사용할 수 있도록 이 함수를 변환해 보겠습니다. 식(10)의 x를 ^로 대체합니다. I I 이 확장은 등가 부등식 중 하나라도 충족될 때 유효합니다.예 2. 공식(10)을 사용하여 x의 거듭제곱으로 함수를 확장합니다. 4 분모를 인수로 확장하여 이 유리함수를 두 개의 단순 분수의 차이로 제시합니다. 간단한 변환 후 우리는 1을 얻습니다. 등식(13)의 오른쪽에 있는 각 항에 공식(10)을 적용하여 결과적으로 거듭제곱 계열을 얻습니다. 계열(14)은 \에 수렴하고 계열(15)은 2에 수렴합니다. 두 계열 모두 (14)와 (15)는 \에 대해 동시에 수렴됩니다. 급수 (14)와 (15)는 (-1,1) 구간에서 수렴하므로 항별로 뺄 수 있습니다. 결과적으로 우리는 수렴 반경이 R = 1인 원하는 전력 계열을 얻습니다. 이 계열은 예 3에서 절대적으로 수렴합니다. 점 xo = 0 근처에서 테일러 계열로 확장합니다. 아크신 함수엑스. 4 함수(공식 (8))에 x를 -x2로 대체하여 적용하는 것으로 알려져 있습니다. 결과적으로 우리는 마지막 등식의 양쪽을 0에서 x까지 통합합니다(항별 통합은 적법함). , 멱급수는 간격 (-1,1)에 있는 점 0과 x의 끝점을 가진 모든 세그먼트에서 균일하게 수렴하므로, 우리는 마침내 다음을 얻습니다. 비고: 멱급수 확장을 사용하여 계산할 수 있습니다. 기본함수를 통해 최종형태로 표현될 수 없는 적분 몇 가지 예를 들어보자 예 4. 적분(적분사인) 계산, ^함수에 대한 역도함수는 기본함수로 표현되지 않는 것으로 알려져 있다. 등식 (16)에서 t ∅ O에 대해 급수 (16)을 t로 나누는 것이 적법하다는 점에 유의하십시오. t = O에 대해 가정하면 등식 (17)도 유지됩니다. 관계는 - = 1입니다. 따라서 계열 (17)은 모든 값에 대해 수렴합니다. 이를 항별로 통합하면 결과 계열은 부호가 교대로 나타나므로 합을 부분 합으로 대체할 때 오류가 쉽게 평가됩니다. 예제 5. 적분 계산 여기서 피적분 e에 대한 역도함수도 기본 함수가 아닙니다. 적분을 계산하기 위해 우리는 공식을 대체합니다. 우리는 0에서 x까지의 범위에서 이 등식의 양쪽을 통합합니다. 이 계열은 임의의 r(수렴 반경 R = +oo)에 대해 수렴하고 연습에 대한 부호로 교대로 나타납니다. 거듭제곱 계열의 수렴 영역 찾기: 다음 함수를 Macloreia 계열로 확장하고 얻은 계열의 수렴 영역을 나타냅니다. 테이블을 사용하세요. 표를 사용하여 주어진 함수를 x - x0 거듭제곱의 Taylor 계열로 확장하고 결과 계열의 수렴 간격을 나타냅니다.

행.

기본 정의.

정의. 항의 합은 무한하다 번호 순서~라고 불리는 숫자 시리즈.

이 경우 시리즈의 구성원 번호를 호출하고 너– 시리즈의 공통 구성원.

정의. 금액, n = 1, 2, …호출된다 개인(부분) 금액열.

따라서 계열의 부분합의 수열을 고려하는 것이 가능합니다. S1, S2, …, Sn, …

정의. 시리즈라고 합니다 수렴하는, 부분합의 수열이 수렴하는 경우. 수렴 계열의 합부분합 수열의 극한입니다.

정의. 급수의 부분합의 수열이 발산하는 경우, 즉 한계가 없거나 무한한 한계가 있는 경우 시리즈를 호출합니다. 다른금액이 할당되지 않습니다.

행 속성.

1) 계열의 유한 개수의 항을 변경, 폐기 또는 추가해도 계열의 수렴 또는 발산을 위반하지 않습니다.

2) 두 개의 계열과 를 고려합니다. 여기서 C는 상수입니다.

정리. 계열이 수렴하고 그 합이 S와 같으면 계열도 수렴하고 그 합은 CS와 같습니다. (C#0)

3) 두 개의 행을 고려하고 . 양또는 차이점이러한 계열을 계열이라고 하며, 동일한 숫자를 가진 원래 요소를 더하거나 빼서 요소를 얻습니다.

정리. 계열과 수렴하고 그 합이 각각 S와 s와 같으면 계열도 수렴하고 그 합은 S + s와 같습니다.

두 수렴 계열의 차이도 수렴 계열이 됩니다.

수렴 계열과 발산 계열의 합은 발산 계열입니다.

두 발산 계열의 합에 대해 일반적인 설명을 하는 것은 불가능합니다.

급수를 공부할 때 주로 수렴을 연구하는 것과 급수의 합을 구하는 두 가지 문제를 해결합니다.

코시 기준.

(계열의 수렴을 위한 필요충분조건)

수열이 수렴되기 위해서는 n > N 및 p > 0(p가 정수인 경우)에 대해 부등식이 유지되는 숫자 N이 존재하는 것이 필요하고 충분합니다.

증거. (필요성)

Let , 그런 다음 임의의 숫자에 대해 불평등이 발생하는 숫자 N이 있습니다.

n>N일 때 실행됩니다. n>N 및 임의의 정수 p>0에 대해 부등식도 유지됩니다. 두 불평등을 모두 고려하면 다음을 얻습니다.

필요성이 입증되었습니다. 우리는 충분성 증명을 고려하지 않을 것입니다.

계열에 대한 코시 기준(Cauchy criterion)을 공식화해 보겠습니다.

급수가 수렴하려면 n>N이고 p>0인 경우 부등식이 유지되는 숫자 N이 존재하는 것이 필요하고 충분합니다.

그러나 실제로 Cauchy 기준을 직접 사용하는 것은 그리 편리하지 않습니다. 따라서 일반적으로 더 간단한 수렴 테스트가 사용됩니다.

1) 행의 경우 수렴하면 공통 용어가 필요합니다. 너 0이 되는 경향이 있었습니다. 그러나 이 조건만으로는 충분하지 않습니다. 공통항이 0이 되는 경향이 없으면 급수는 확실히 발산한다고 말할 수 있습니다. 예를 들어, 소위 고조파 급수(harmonic series)는 공통항이 0이 되는 경향이 있지만 발산합니다.

예.계열의 수렴을 조사합니다.

찾아봅시다. 수렴에 필요한 기준이 충족되지 않아 계열이 갈라진다는 뜻입니다.

2) 급수가 수렴하면 부분합의 수열은 제한됩니다.

그러나 이 표시만으로는 충분하지 않습니다.

예를 들어, 1-1+1-1+1-1+ … +(-1) n+1 +… 계열은 발산합니다. 부분합의 순서는 다음과 같은 사실로 인해 달라집니다.

그러나 부분합의 순서는 제한되어 있습니다. 언제든지 N.

음수가 아닌 용어가 포함된 계열입니다.

상수 부호 계열을 연구할 때 우리는 음수가 아닌 항이 있는 계열만 고려하도록 제한하겠습니다. 단순히 이 계열에 –1을 곱하면 음수 항이 있는 계열이 생성될 수 있습니다.

정리. 음이 아닌 항을 갖는 계열이 수렴하려면 계열의 부분 합이 유계되는 것이 필요하고 충분합니다..

음수가 아닌 용어와 계열을 비교하기 위한 기호입니다.

두 행을 지정하자 그리고 에 u n , v n ³ 0.

정리. 만약에 너£ vn언제든지 N, 그런 다음 시리즈의 수렴에서 시리즈가 수렴됩니다. , 그리고 시리즈의 발산으로부터 시리즈가 다양해요.

증거. 다음으로 나타내자 Sn그리고 sn계열의 부분합 그리고 . 왜냐하면 정리의 조건에 따라 급수는 수렴하고 부분합은 제한됩니다. 즉 모두들 앞에서 N sn< M, где М – некоторое число. Но т.к. 너£ vn, 저것 Sn£ sn그런 다음 계열의 부분합 또한 제한적이며 수렴에는 충분합니다.

예.

왜냐하면 , 고조파 계열이 발산한 다음 계열이 발산합니다.

예.계열의 수렴을 조사합니다.

왜냐하면 , 그리고 계열은 수렴하고(기하학적 수열이 감소하는 것처럼), 계열도 수렴합니다.

다음 수렴 기호도 사용됩니다.

정리. h가 0이 아닌 숫자인 극한이 있는 경우 계열은 수렴 측면에서 동일하게 동작합니다.

달랑베르 징후.

(Jean Leron d'Alembert (1717 - 1783) - 프랑스 수학자)

양수 용어가 포함된 시리즈에 대해 다음과 같은 숫자가 있는 경우 q<1, что для всех достаточно больших n выполняется неравенство

그런 다음 충분히 큰 n에 대해 조건이 충족되면 계열이 수렴됩니다.

그런 다음 시리즈가 분기됩니다.

D'Alembert의 제한 기호.

D'Alembert의 제한 기준은 위의 D'Alembert 기준의 결과입니다.

< 1 ряд сходится, а при r >1 – 갈라진다. r = 1이면 수렴 문제에 답할 수 없습니다.

예.계열의 수렴을 결정합니다.

결론: 시리즈가 수렴됩니다.

예.계열의 수렴 결정

결론: 시리즈가 수렴됩니다.

코시 징후. (급수 기호)

음수가 아닌 용어가 있는 계열의 경우 그러한 숫자 q가 있는 경우<1, что для всех достаточно больших n выполняется неравенство

그런 다음 불평등이 충분히 크면 계열이 수렴됩니다.

그런 다음 시리즈가 분기됩니다.

결과. 제한이 있는 경우 r에 대해<1 ряд сходится, а при r>행 1이 분기됩니다.

예.계열의 수렴을 결정합니다.

결론: 시리즈가 수렴됩니다.

예.계열의 수렴을 결정합니다.

저것들. Cauchy 테스트는 계열의 수렴 문제에 대한 답을 제공하지 않습니다. 필요한 수렴 조건이 충족되는지 확인해 보겠습니다. 위에서 언급했듯이 급수가 수렴하면 급수의 공통항은 0이 되는 경향이 있습니다.

따라서 수렴의 필요조건이 만족되지 않으며, 이는 급수가 발산한다는 것을 의미합니다.

적분 코시 테스트.

j(x)가 구간에 따라 감소하는 연속 양수 함수인 경우그러면 적분은 수렴이라는 의미에서 동일하게 동작합니다.

교대 시리즈.

교대로 행.

교대 계열은 다음과 같이 작성할 수 있습니다.

라이프니츠의 징후.

교대 계열에 대한 u i의 절대값이 감소하고 공통 항이 0이 되는 경향이 있으면 계열이 수렴됩니다.

계열의 절대 및 조건부 수렴.

임의의 부호를 사용하여 몇 가지 교대 계열을 고려해 보겠습니다.

및 계열 구성원의 절대값으로 구성된 계열(1):

정리. 급수(2)의 수렴은 급수(1)의 수렴으로 이어집니다.

증거. 계열 (2)는 음수가 아닌 항을 포함하는 계열입니다. 계열 (2)가 수렴하면 e>0에 대한 Cauchy 기준에 따라 n>N 및 모든 정수 p>0에 대해 다음 불평등이 참이 되는 숫자 N이 있습니다.

절대값의 속성에 따르면:

즉, Cauchy 기준에 따르면 급수(2)의 수렴에서 급수(1)의 수렴이 이어집니다.

정의. 시리즈라고 합니다 절대적으로 수렴, 계열이 수렴하는 경우.

일련의 상수 부호에 대해 수렴과 절대 수렴의 개념이 일치한다는 것은 명백합니다.

정의. 시리즈라고 합니다 조건부 수렴, 수렴하고 계열이 발산하는 경우.

교대 계열에 대한 D'Alembert와 Cauchy의 검정.

교대로 시리즈를 보자.

달랑베르 징후. 제한이 있는 경우 r에 대해<1 ряд будет абсолютно сходящимся, а при r>

코시 징후. 제한이 있는 경우 r에 대해<1 ряд будет абсолютно сходящимся, а при r>1행은 발산됩니다. r=1일 때, 테스트는 계열의 수렴에 대한 답을 제공하지 않습니다.

절대적으로 수렴하는 계열의 속성.

1) 정리. 급수의 절대 수렴을 위해서는 음이 아닌 항을 갖는 두 수렴하는 급수의 차이로 표현될 수 있는 것이 필요하고 충분합니다..

결과. 조건부 수렴 계열은 음이 아닌 항이 0이 되는 경향이 있는 두 발산 계열의 차이입니다.

2) 수렴 계열에서 순서를 변경하지 않는 계열 항의 그룹화는 계열의 수렴과 크기를 유지합니다.

3) 만약 급수가 절대적으로 수렴한다면, 그로부터 항의 순열을 통해 얻은 급수 역시 절대적으로 수렴하며 동일한 합을 갖습니다.

조건부 수렴 계열의 항을 재배열하면 임의의 미리 정해진 합을 갖는 조건부 수렴 계열은 물론 발산 계열도 얻을 수 있습니다.

4) 정리. 절대적으로 수렴하는 계열의 구성원을 그룹화하는 경우(이 경우 그룹 수는 유한하거나 무한할 수 있고 그룹의 구성원 수는 유한하거나 무한할 수 있음) 수렴 계열이 얻어지며, 합계는 다음과 같습니다. 그 중 원래 계열의 합과 같습니다..

5) 급수와 수렴이 절대적으로 같고 그 합이 각각 같은 경우 에스 s, 그러면 어떤 순서로든 취해진 유형의 모든 제품으로 구성된 계열도 절대적으로 수렴하고 그 합은 다음과 같습니다. S×s- 곱해진 계열의 합의 곱입니다.

조건부 수렴 계열을 곱하면 결과적으로 발산 계열을 얻을 수 있습니다.

기능적 순서.

정의. 시리즈의 구성원이 숫자가 아닌 기능인 경우 엑스, 그런 다음 시리즈가 호출됩니다. 기능의.

함수 계열의 수렴에 대한 연구는 수치 계열에 대한 연구보다 더 복잡합니다. 동일한 기능 계열은 동일한 변수 값을 사용할 수 있습니다. 엑스수렴하고 다른 사람들과 발산합니다. 따라서 함수 계열의 수렴 문제는 변수의 값을 결정하는 것으로 귀결됩니다. 엑스, 시리즈가 수렴됩니다.

그러한 값의 집합을 다음과 같이 부릅니다. 융합의 영역.

계열의 수렴 영역에 포함된 각 기능의 극한은 특정 숫자이므로 기능 시퀀스의 극한은 특정 기능이 됩니다.

정의. 하위 시퀀스( fn(x)} 수렴기능하다 에프엑스(f(x))임의의 숫자 e>0 및 임의의 점에 대해 세그먼트에서 엑스고려중인 세그먼트에는 불평등이 발생하는 숫자 N = N(e, x)가 있습니다.

n > N 일 때 충족됩니다.

선택한 값 e>0의 경우 세그먼트의 각 점은 고유한 번호를 가지므로 세그먼트의 모든 점에 해당하는 숫자는 무한합니다. 이 모든 숫자 중 가장 큰 숫자를 선택하면 이 숫자는 세그먼트의 모든 지점에 적합합니다. 모든 지점에 공통적으로 적용됩니다.

정의. 하위 시퀀스( fn(x)} 균일하게 수렴기능하다 에프엑스(f(x))세그먼트에서 임의의 숫자 e>0에 대해 숫자 N = N(e)가 있으면 불평등이 발생합니다.

세그먼트의 모든 지점에 대해 n>N에 대해 충족됩니다.

예.순서를 고려하세요

이 수열은 전체 수직선에서 다음 함수로 수렴됩니다. 에프(엑스)=0, 왜냐하면

이 시퀀스의 그래프를 작성해 보겠습니다.

보시다시피 숫자가 늘어나면서 N시퀀스 그래프가 축에 접근함 엑스.

기능성 시리즈.

정의.비공개(일부) 금액함수형 계열을 함수라고 합니다.

정의. 기능적 시리즈라고합니다. 수렴하는지점에서 ( x=x0), 부분합의 시퀀스가 ​​이 지점에 수렴하는 경우. 수열의 극한이 호출됩니다. 양한 지점의 행 x 0.

정의. 모든 값의 집합 엑스, 시리즈가 수렴되는 것을 융합의 영역열.

정의. 시리즈라고 합니다 균일하게 수렴이 계열의 부분합 시퀀스가 ​​이 구간에서 균일하게 수렴하는 경우 구간에서.

정리. (계열의 균일한 수렴에 대한 코시 기준)

급수가 균일하게 수렴하려면 임의의 수 e>0에 대해 n>N 및 임의의 정수 p>0에 대해 부등식이 되는 수 N(e)가 존재하는 것이 필요하고 충분합니다.

간격의 모든 x에 대해 유지됩니다.

정리. (균일 수렴에 대한 Weierstrass 테스트)

(Karl Theodor Wilhelm Weierstrass (1815 – 1897) – 독일 수학자)

계열은 균일하게 수렴하며, 더욱이 동일한 간격에 있는 구성원의 계수가 수렴의 해당 항을 초과하지 않는 경우 절대적으로 일정 간격으로 수렴합니다. 숫자 시리즈긍정적인 용어로:

저것들. 불평등이 있습니다.

그들은 또한 이 경우에 기능성 시리즈가 있다고 말합니다. 전공이다숫자 시리즈.

2) 시리즈의 기간별 적분에 관한 정리.

구간에서 균일하게 수렴하는 연속 항을 갖는 계열은 이 구간에서 항별로 통합될 수 있습니다. 즉, 세그먼트에 대한 항의 적분으로 구성된 계열은 이 세그먼트에 대한 계열의 합의 적분으로 수렴됩니다..

3) 계열의 항별 차별화에 관한 정리.

세그먼트에 수렴하는 계열의 항이 연속 도함수를 갖는 연속 함수이고 이러한 도함수로 구성된 계열이 이 세그먼트에 균일하게 수렴하면 이 계열은 균일하게 수렴하며 항별로 차별화될 수 있습니다.

계열의 합이 변수의 일부 함수라는 사실을 기반으로 합니다. 엑스에서는 함수를 계열(함수를 계열로 확장) 형태로 표현하는 연산을 수행할 수 있는데, 이는 적분, 미분, 함수를 이용한 연산에 널리 사용됩니다.

(닐스 헨리크 아벨(1802 – 1829) – 노르웨이 수학자)

정리. 거듭제곱 계열이 x = x 1에서 수렴하면 수렴하며 더욱이 모든 사람에게 절대적으로 적용됩니다.

증거. 정리의 조건에 따르면 급수의 항은 제한되어 있으므로

어디 케이- 어떤 상수. 다음 부등식은 참입니다:

이 불평등으로부터 다음이 분명해집니다. 엑스 우리 계열의 항의 수치 값은 기하학적 수열을 형성하는 위에 쓰여진 부등식의 오른쪽에 있는 계열의 해당 항보다 작습니다(적어도 그 이상은 아닙니다). 정리에 따르면, 이 수열의 분모는 1보다 작으므로, 이 수열은 수렴하는 급수입니다.

따라서 비교 기준에 따라 계열이 수렴한다는 결론을 내립니다.

의미 구조의 요소

문장의 의미구조.

(이 질문은 독립적인 학습을 위한 것입니다!)

이러한 유형의 분석은 문장의 의미론적 구성을 형식적 구성과 연관시킵니다. 이 방향은 문장의 의미 구조 개념을 제시합니다 (주로 N.Yu. Shvedova).

구조 다이어그램에는 구성 요소의 형식적 의미, 어휘 내용의 규칙 및 구성 요소 간 관계(비단일 구성 요소 체계에서)에 의해 생성되는 고유한 의미가 있습니다.

하나 또는 다른 패턴에 따라 구성된 특정 문장의 언어적 의미는 이 패턴의 의미론과 해당 구성 요소의 위치를 ​​​​취한 단어의 어휘 의미론의 상호 작용에 의해 형성됩니다. 학생이 씁니다. 아이는 MSS의 일반적인 의미("주어와 그 서술 속성 사이의 관계 - 동작 또는 절차적 상태")에 기뻐합니다. 첫 번째 경우 의미는 "주어와 그의 특정 동작 사이의 관계"입니다. 사례 - "피험자와 그의 감정 상태 사이의 관계" .

(계열의 계수)와 (계열의 중심)이 상수인 형태의 함수 계열을 변수라고 합니다. 파워 시리즈.멱급수의 수렴 영역(중심 포함)을 계산하는 방법을 배우면 원래 급수의 수렴 영역을 쉽게 찾을 수 있다는 것이 분명합니다. 따라서 앞으로는 달리 명시하지 않는 한 멱급수를 고려하겠습니다. 형태의.

아벨의 정리.거듭제곱 계열이 한 점에서 수렴하면 절대적으로 그리고 간격 내에서 수렴하며, 어떤 세그먼트에서든 지정된 계열은 균일하게 수렴합니다.

증거.급수는 수렴하므로 그 공통항은 유계가 있습니다. 즉 그런 상수가 있습니다

지금 그대로 두십시오. 그러면 우리는

기하수열은 ()로 수렴하므로 첫 번째 비교 정리에 의해 급수도 수렴하며 정리의 첫 번째 부분이 증명됩니다.

증명된 것에 따르면, 급수는 수렴하고 급수로 주요화되므로(참조) Weierstrass의 정리에 의해 마지막 급수는 균일하게 수렴합니다. 이 정리는 완전히 입증되었습니다.

아벨의 정리에 따르면 계열이 한 지점에서 갈라지는 순간(또는 그러한 순간이 전혀 오지 않는 순간)이 올 때까지 간격을 확장할 수 있습니다. 그러면 표시된 구간은 계열의 수렴 영역이 됩니다. 따라서 모든 전력 계열은 수렴 영역으로 임의의 집합이 아니라 정확히 구간을 갖습니다. 수렴구간을 좀 더 정확하게 정의해 보겠습니다.

정의 2.번호가 불려요 수렴 반경계열, 간격 내에서 이 계열이 수렴하는 경우 전적으로, 세그먼트 외부에서는 분기됩니다. 이 경우 간격을 호출합니다. 수렴 간격열.

표시된 거듭제곱 계열은 해당 점에서만 수렴하고 그 점에서 모두 수렴합니다. 다음 예는 이러한 경우가 제외되지 않음을 보여줍니다. 유한 수렴 반경이 0이 아닌 계열의 예는 기하학적 수열일 수 있습니다. 또한 수렴 구간의 경계에서 멱급수는 수렴할 수도 있고 발산할 수도 있다는 점에 유의하세요. 예를 들어, 계열은 한 점에서 조건적으로 수렴하고 한 점에서 발산합니다.

균일하게 수렴하는 함수 계열(정리 1-3)의 특성으로부터 다음과 같은 거듭제곱 계열의 특성이 쉽게 도출됩니다.

정리 4.멱급수의 수렴 반경을 라 하겠습니다. 그러면 다음 진술이 유지됩니다.

1. 주어진 멱급수의 합은 수렴구간에서 연속이다.

2. 가 멱급수의 수렴 반경인 경우 도함수 계열은 동일한 수렴 반경을 갖게 됩니다. 따라서 멱급수는 원하는 만큼 여러 번 미분할 수 있습니다(즉, 그 합은 다음에서 무한히 미분 가능합니다). 수렴 간격), 동등성이 유지됩니다.

3. 멱급수는 수렴 구간 내에 있는 모든 세그먼트에 통합될 수 있습니다. 즉,

증거, 예를 들어 첫 번째 속성은 다음과 같습니다. 수렴 간격의 임의의 지점을 보자 . 이 점을 대칭 선분으로 둘러싸자 아벨의 정리에 따르면 급수는 선분에서 균일하게 수렴하므로 그 합은 표시된 선분에서 연속이고 따라서 특히 한 점에서 연속입니다. 속성 1이 입증되었습니다. 우리 정리의 나머지 속성도 비슷하게 증명되었습니다.

이제 계수로부터 멱급수의 수렴 반경을 계산해 보겠습니다.

정리 4 . 다음 조건 중 하나 이상을 충족하십시오.

a) (유한 또는 무한) 한계가 있습니다

b) (유한 또는 무한) 한계가 있습니다(그러한 숫자가 있다고 가정합니다).

그런 다음 숫자는 계열의 수렴 반경입니다.

증거사례 a)에 대해 해보겠습니다. Cauchy 테스트를 모듈러 계열에 적용해 보겠습니다. 지정된 테스트에 따르면 계열은 다음과 같은 숫자인 경우 절대적으로 수렴합니다. 만약 즉, 그렇다면 표시된 계열이 분기됩니다. 따라서 계열의 수렴 반경입니다. 정리가 입증되었습니다.

참고 1.정리 1-4는 공식을 형식의 거듭제곱 급수로 변경하지 않고도 실질적으로 전환할 수 있습니다(이 경우 수렴 영역이 구간이라는 약간의 수정 포함).

예시 1.계열의 수렴 영역을 찾습니다( 작업 10, T.R.,쿠즈네초프 L.A.)

해결책. a) Cauchy의 정리: 주어진 계열의 수렴 반경과 유사한 것을 적용해 보겠습니다. 이는 계열이 해당 영역에서 절대적으로 수렴함을 의미합니다.

구간의 끝에서 계열의 수렴을 연구해 보겠습니다. 우리는

다르기 때문에

다르기 때문에

결과적으로 원래 계열의 수렴 영역은 간격입니다.

함수 급수$\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) (x)=u_(1) (x)+u_(2) (x)+u_(3) (x ) +...$, 그 구성원은 하나의 독립 변수 x의 함수입니다. $S_(n) (x)=u_(1) (x)+u_(2) (x)+...+u_(n) (x)$ 계열의 처음 n 항의 합은 부분 방정식입니다. 이 기능 계열의 합입니다. 일반 용어 $u_(n) (x)$는 일부 도메인에서 정의된 x의 함수입니다. $x=x_(0) $ 지점에서 함수 계열을 고려해 보겠습니다. 해당 숫자 계열 $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) (x_(0))$이 수렴하면, 즉 이 계열의 부분합에는 제한이 있습니다.$\mathop(\lim )\limits_(n\to \infty ) S_(n) (x_(0))=S(x_(0))$(여기서 $S( x_(0) )

정의 2

융합영역함수 계열의 $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) (x)$는 함수 계열이 수렴하는 x의 모든 값의 집합입니다. 모든 수렴점으로 구성된 수렴영역은 $D(x)$로 표시됩니다. $D(x)\subset $R에 주목하세요.

$x\in D(x)$에 대해 숫자 계열로 수렴하고 그 합이 $S(x)$ 함수인 경우 함수 계열은 $D(x)$ 도메인에서 수렴합니다. 이것은 소위 수열 $\left\(S()_(n) (x)\right\)$의 극한 함수입니다: $\mathop(\lim )\limits_(n\to \infty ) S_( n) (x) =S(x)$.

함수 계열 $D(x)$의 수렴 영역을 찾는 방법은 무엇입니까? d'Alembert 기호와 유사한 기호를 사용할 수 있습니다. $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) (x)$에 대해 $u_(n+1) (x)$를 구성하고 고정 x에 대한 극한을 고려합니다. \mathop(\ lim )\limits_(n\to \infty ) \left|\frac(u_(n+1) (x))(u_(n) (x)) \right|=\left|l(x )\오른쪽|$. 그러면 $D(x)$는 부등식 $\left|l(x)\right|

실시예 1

$\sum \limits _(n=1)^(\infty )\, \frac(x^(n) )(n) \, $ 급수의 수렴 영역을 구합니다.

해결책. $u_(n) (x)=\frac(x^(n) )(n) $, $u_(n+1) (x)=\frac(x^(n+1) )(n +1) $. 극한 $\mathop(\lim )\limits_(n\to \infty ) \left|\frac(u_(n+1) (x))(u_(n) (x)) \right| =\ mathop(\lim )\limits_(n\to \infty ) \left|\frac(x^(n+1) \cdot n)(x^(n) \cdot (n+1)) \right| =\ left|x\right|$이면 계열의 수렴 영역은 부등식 $\left|x\right|

$x=1$, $u_(n) (1)=\frac(1)(n) $이면 발산 계열 $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\, \frac (1)(n) \, $;

$x=-1$, $u_(n) (-1)=\frac((-1)^(n) )(n) $이면 계열 $\sum \limits _(n=1)^ ( \infty )\frac((-1)^(n) )(n) \, \, $는 조건부로 수렴합니다(라이프니츠 기준 사용).

따라서 급수 $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\, \frac(x^(n) )(n) \, $의 수렴 영역 $D(x)$는 다음을 갖습니다. 형식:$- 1\le x

멱급수의 속성

수렴 간격이 $(-R;\, R)$인 전력 계열 $\sum \limits _(n=0)^(\infty )a_(n) x^(n) $를 고려하면 다음의 합이 됩니다. 멱급수 $ S(x)$는 모든 $x\in (-R;R)$에 대해 정의되며 $S(x)=\sum \limits _(n=0)^(\infty 등식을 쓸 수 있습니다. )a_(n) x^(n)$.

속성 1. 멱급수 $\sum \limits _(n=0)^(\infty )a_(n) x^(n) $는 모든 구간 $\, \, \subset \, (-R;R)$에서 절대적으로 수렴합니다. , 수렴 구간에 있고, 거듭제곱 급수 $S(x)$의 합은 모든 $x\in $에 대한 연속 함수입니다.

속성 2. 세그먼트가 $\, \, \subset \, (-R;R)$이면 멱급수는 a에서 b까지 항으로 적분될 수 있습니다. 즉, 만약에

$S(x)=\sum \limits _(n=0)^(\infty )a_(n) x^(n) =a_(0) +a_(1) x+a_(2) x^(2 ) +...$, 그런 다음

$\int \한계 _(a)^(b)S(x)\, (\rm d)x =\sum \한계 _(n=0)^(\infty )\int \한계 _(a)^ (b)a_(n) x^(n) \, (\rm d)x=\int \limits _(a)^(b)a_(0) (\rm d)x +\int \limits _( a)^(b)a_(1) x\, (\rm d)x +...+\int \limits _(a)^(b)a_(n) x^(n) \, (\rm d)x +...$.

이 경우 수렴 반경은 변경되지 않습니다.

여기서 $a"_(n) =\frac(a_(n) )(n+1) $는 통합 계열의 계수입니다.

속성 3. 멱급수의 합은 수렴 구간 내에서 임의 차수의 도함수를 갖는 함수입니다. 멱급수 합의 도함수는 주어진 멱급수에서 적절한 횟수만큼 항별 미분을 하여 얻은 급수의 합이 되며, 그러한 급수의 수렴반경은 다음과 같다. 오리지널 시리즈.

$S(x)=a_(0) +a_(1) x+a_(2) x^(2) +...+a_(n) x^(n) +...=\sum \limits인 경우 _(n=0)^(\infty )\, a_(n) \cdot x^(n) $,then $S"(x)=a_(1) +2a_(2) x+...+na_( n) x^(n-1) +...=\sum \limits _(n=1)^(\infty )\, n\cdot a_(n) \cdot x^(n-1) $,$ S""(x)=2a_(2) +6a_(3) x+...+n(n-1)a_(n) x^(n-2) +...=\sum \limits _(n =2)^(\infty )\, n\cdot (n-1)\cdot a_(n) \cdot x^(n-2) $, ... 등

예

계열 $\sum \limits _(n=1)^(\infty )n!\; x^(n) $는 $x=0$ 점에서만 수렴하고, 계열은 다른 모든 점에서 발산합니다. $V:\왼쪽\(0\오른쪽\).$

계열 $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\frac(x^(n) )(n $ сходится во всех точках оси, $V=R$.!}

급수 $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\frac((-1)^(n) x^(n) )(n) $는 $V=(-1, \, 1]$.

$\sum \limits _(n=1)^(\infty )\frac(1)(n+\cos x) $ 계열은 $V=$$\emptyset$ 축의 모든 지점에서 발산합니다.

정의. 형태의 기능적 시리즈

어디 ...는 거듭제곱 시리즈라고 불리는 실수입니다.

계열의 절대 수렴 영역은 간격입니다. , 여기서 숫자는 아르 자형– 수렴 반경.

멱급수에 수렴 반경이 있도록 하세요. R> 0. 그렇다면 다음 진술은 참입니다:

1. 계열의 합은 다음의 연속 함수입니다. 엑스전체 수렴 간격에 걸쳐.

2. 계열은 다음이 있는 모든 세그먼트에서 균일하게 수렴합니다. .

3. 계열은 구간 내에 있는 모든 세그먼트에 대해 항별로 통합될 수 있습니다.

4. 계열은 언제든지 용어별로 구별될 수 있습니다. 원하는 만큼 여러 번.

노트:

1. 멱급수를 항별로 적분하거나 미분하면 수렴반경은 그대로 유지하면서 새로운 멱급수를 얻습니다.

2. 멱급수의 수렴 반경은 다음 공식 중 하나를 사용하여 찾을 수 있습니다.

, (10)

(11)

지정된 한계가 존재하는 경우 계열의 계수입니다.

문제 17.31

계열의 합 구하기 .

해결책:

방법 I. 계열의 수렴 간격을 구해 보겠습니다.

, , .

유리분수를 단순화하자 , .

그러면 계열은 두 계열의 차이로 표현될 수 있습니다.

각각의 수렴은 동일하게 유지됩니다(직접 확인하세요). 그러므로 평등이 일어난다. 계열의 합을 각각 과 로 표시하고 필요한 합계를 , 로 표시하겠습니다.

첫 번째 행의 합을 구해 보겠습니다.

수렴 간격 내에서 계열을 항으로 미분하면 다음을 얻습니다. 는 분모를 갖는 기하학적 수열입니다.

진행이 수렴할 때, , , 합계는 다음과 같습니다. ; . 이제 수렴 구간 내부에 있는 세그먼트를 통합하면 다음을 얻습니다.

.

두 번째 행의 합을 구해 보겠습니다.

변환을 해보자:

괄호 안에 계열의 합을 표시하고 간격을 미분해 보겠습니다.

– 이것도 기하학적 수열이다.

, , ;

.

따라서 원래 시리즈의 합은 다음과 같습니다.

또는
을 위한 .

II 방법. 이 시리즈의 수렴 간격과 관련된 첫 번째 방법의 세부 사항을 반복하지 않고 문제 해결을 위한 두 번째 옵션을 제안합니다. 계열의 합을 다음과 같이 표시해 보겠습니다. .

이 계열을 곱하면 다음과 같습니다. . 결과 계열을 두 번 차별화해 보겠습니다.

,

분모를 사용하여 기하학적 진행을 나타냅니다. , 그 다음에 . 세그먼트를 통합해 보겠습니다.

부분별로 통합하면 다음을 얻습니다.

을 위한 .

문제 18.31

계열의 합 구하기 .

해결책:

이 계열은 해당 간격으로 수렴됩니다(직접 확인하세요). 세 가지 시리즈의 합으로 표현하여 다시 작성해 보겠습니다.

이는 각 계열이 동일한 수렴 영역-구간을 갖기 때문에 가능합니다. 세 계열의 합을 각각 , , 로 표시하고 필요한 합을 로 표시하겠습니다.

분모를 갖는 기하학적 수열 항의 합으로

변환을 해보자:

계열의 합으로 표시하겠습니다.

수렴 간격 내부의 세그먼트에서 이 계열 항을 항별로 통합하면 다음을 얻습니다.

찾으려면 분수를 구별해야 합니다.

.

따라서, .

이제 다음을 찾아봅시다:

괄호 안에 넣어봅시다:

괄호 안의 계열의 합으로 표시하겠습니다. 그 다음에

이 괄호 안에는 합계를 구하는 계열이 있습니다. . 우리는 다음을 얻습니다: .

하지만 , . 그런 다음 원래 시리즈의 합

그래서, 을 위한 .

테일러 시리즈

정의. 열

이 함수에 대해 Taylor Power Series라고 합니다.

고려 중인 점에서 모든 차수에 대한 도함수가 있고 해당 점의 나머지 항이 0이 되는 경향이 있는 경우 함수는 테일러 급수로 확장될 수 있습니다. Taylor 시리즈는 Maclaurin 시리즈라고도 합니다.

정리

함수가 거듭제곱 급수로 확장되면 이 급수는 고유하며 Taylor 급수입니다.

메모. 함수의 연속적인 도함수와 해당 지점의 값을 찾아 테일러 급수를 작성할 수 있습니다. 그러나 나머지 항에 대한 연구는 큰 어려움을 안겨준다. 따라서 그들은 종종 다른 방향으로 이동합니다. 예를 들어 표시된 것처럼 덧셈, 뺄셈, 계열의 곱셈 및 통합 및 미분에 대한 정리와 함께 기본 기본 기능을 거듭 제곱 계열로 기성 확장을 사용합니다. 문제 17.31과 18.31에서.

문제 19.31

기능 확장 Taylor 시리즈의 힘.

해결책:

엑스 0 = 0. 메모를 활용해 보겠습니다. 왜냐하면

결정되지 않은 계수 방법을 적용하면 함수가 단순화됩니다.

.

분모가 있는 기하학적 수열 항의 합은 다음과 같습니다. . 우리의 경우 . – 이 시리즈의 수렴 반경. 용어

행을 추가하면 다음을 얻습니다. 또는 , 일반적인 수렴 영역은 어디입니까? 전적으로 계열의 수렴 영역에 있습니다.

0.001의 정확도로 이 적분을 계산하려면 결과 계열(0.0005)에서 해당 항 중 두 개를 가져와야 합니다.<0,001) (см. задачу 9.31).

따라서,

자가 테스트 질문

숫자 시리즈

1. 수렴 및 발산 계열의 정의를 제공합니다.

2. 계열의 수렴에 필요한 기준을 공식화합니다.

3. 긍정적인 용어를 사용하여 계열의 수렴에 대한 충분한 징후를 공식화합니다. 긍정적인 용어와 계열을 비교합니다. d'Alembert 징후; 급진적 코시 테스트, 통합 코시 테스트.

4. 절대적으로 수렴하는 계열의 정의를 제시하십시오. 절대적으로 수렴하는 계열의 특성을 설명합니다.

5. 라이프니츠의 기준을 공식화하십시오.

기능성 시리즈

6. 기능 계열의 수렴 영역을 정의합니다.

7. 어느 계열을 균일 수렴이라고 부르나요?

8. Weierstrass 테스트를 공식화합니다.

9. 테일러 급수의 함수 분해 조건.

10. 멱급수의 적분과 미분에 관한 정리를 공식화합니다.

11. 급수를 사용하여 정적분의 근사 계산 방법을 설명하십시오.

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교육용 에디션

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교육 및 방법론 매뉴얼

편집자 T.D. 바실리예바

기술 편집자 T.P. 프로쿠디나

오룔 주립 기술 대학

2000년 1월 5일자 라이센스 ID 번호 00670

2004년 8월 26일 출판을 위해 서명되었습니다. 형식 60 x 84 1/16.

오프셋 인쇄. 학술 에디션. 엘. 1.9. 가정 어구 오븐 엘. 2.4. 발행부수 500부.

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