세트 작업. 다수. 세트 유형. A에 대한 가장 간단한 작업은 b에 속합니다.

수학적 분석

세트는 모든 성격의 객체 모음입니다. 집합은 대문자로 표시되고, 집합의 요소는 소문자로 표시됩니다. 집합의 요소는 중괄호로 묶입니다.

요소라면 엑스세트에 속해요 엑스, 그런 다음 쓰세요 엑스∈엑스 (∈ - 속함).
세트 A가 세트 B의 일부인 경우 다음을 작성하십시오. A ⊂ B (⊂ - 포함).

집합은 열거형과 정의 속성을 사용하는 두 가지 방법 중 하나로 정의할 수 있습니다.

예를 들어, 다음 세트는 열거형으로 지정됩니다.

§ A=(1,2,3,5,7) - 숫자 집합

§ Х=(x 1 ,x 2 ,...,x n ) - 일부 요소 x 1 ,x 2 ,...,x n 집합

§ N=(1,2,...,n) - 설정 자연수

§ Z=(0,±1,±2,...,±n) - 정수 집합

집합 (-무한대;+무한대)이 호출됩니다. 수직선, 모든 숫자는 이 선의 한 점입니다. a를 수직선 상의 임의의 점으로 하고 δ를 양수로 놓습니다. 간격(a-δ; a+δ)은 다음과 같습니다. 점 a의 δ-이웃.

임의의 x ∈ X에 대해 부등식 x≤с (x≥c)가 유지되는 숫자 c가 있는 경우 집합 X는 위에서(아래에서) 제한됩니다. 이 경우 숫자 c를 호출합니다. 상단(하단) 가장자리집합 X. 위쪽과 아래쪽 모두에 경계가 있는 집합을 호출합니다. 제한된. 세트의 위쪽(아래쪽) 면 중 가장 작은(가장 큰) 면을 호출합니다. 정확한 상단(하단) 가장자리이 무리 중.

둘 세트 A와 B는 동일합니다.(A=B) 동일한 요소로 구성된 경우.
예를 들어 A=(1,2,3,4), B=(3,1,4,2)이면 A=B입니다.

유니온별(합계)집합 A와 B는 요소가 이 집합 중 적어도 하나에 속하는 집합 A ∪ B입니다.
예를 들어 A=(1,2,4), B=(3,4,5,6)이면 A ∪ B = (1,2,3,4,5,6)입니다.

교차점별(제품)집합 A와 B를 집합 A ∩ B라고 하며, 그 원소들은 집합 A와 집합 B에 모두 속합니다.
예를 들어, A=(1,2,4), B=(3,4,5,2)이면 A ∩ B = (2,4)입니다.

차이로집합 A와 B를 집합 AB라고 하며, 그 원소들은 집합 A에 속하지만 집합 B에는 속하지 않습니다.
예를 들어 A=(1,2,3,4), B=(3,4,5)이면 AB = (1,2)입니다.

대칭적 차이집합 A와 B를 집합 A Δ B라고 하며, 이는 집합 AB와 BA의 차이의 합집합, 즉 A Δ B = (AB) ∪ (BA)입니다.
예를 들어 A=(1,2,3,4), B=(3,4,5,6)이면 A Δ B = (1,2) ∪ (5,6) = (1,2, 5,6)

2. 수학적 귀납법(예). 베르누이 부등식.

3. 집합의 공리 실수: 덧셈연산, 곱셈연산, 순서관계.
4. 실수 집합의 공리: 아르키메데스의 공리, 데데킨트의 공리.

아르키메데스 공리

원래 세그먼트에 대해 공식화된 공리로, 주어진 두 세그먼트 중 작은 세그먼트를 충분한 횟수만큼 따로 보관하면 항상 큰 세그먼트보다 큰 세그먼트를 얻을 수 있다고 명시되어 있습니다. A.a와 유사합니다. 면적, 부피, 양수 등에 대해 공식화됩니다. 일반적으로 주어진 수량에 대해 A. a.는 이 수량의 두 값에 대해 유지되며 , 항상 정수를 찾는 것이 가능합니다 티,무엇 ; 이것이 산술과 기하학의 순차 분할 과정의 기초입니다(참조. 유클리드 알고리즘). A.a의 의미 19세기 이후에 분명해졌다. 이 공리가 불공평한 것과 관련하여 수량의 존재가 발견되었습니다. 비아르키메데스 수량

데데킨트의 공리

연속성 공리 중 하나입니다(연속성 공리 참조). 예. 상태: 선의 모든 포인트가 비어 있지 않은 두 개의 클래스로 나뉘고 첫 번째 클래스의 모든 포인트가 두 번째 클래스의 모든 포인트의 왼쪽에 위치하면 첫 번째 클래스의 가장 오른쪽 포인트가 있거나 두 번째의 가장 왼쪽 지점

5. 실수의 계수와 그 속성.

절대값 (또는 기준 치수 ) 실수 엑스관계식으로 정의된 음수가 아닌 숫자입니다.
모듈 속성 . 1. . 2. . 3. 불평등과 동등함. 4. 두 실수의 합의 계수는 다음 숫자의 계수의 합보다 작거나 같습니다.

이 속성은 유한한 수의 항에 대해 적용됩니다.

5. 두 실수 사이의 차이 계수는 다음 숫자의 계수 차이보다 크거나 같습니다.
. 6. 숫자 곱의 계수는 다음 숫자의 계수의 곱과 같습니다.
. 이 속성은 유한 개수의 요인에 대해 적용됩니다. 7. 두 숫자의 몫의 계수(제수가 0과 다른 경우)는 다음 숫자의 계수의 몫과 같습니다.

6. 숫자 세트의 경계. 숫자 세트의 정확한 상한 및 하한.
7. 실수 논증의 실수 함수: 기본 함수, 정의 및 그래프 영역, 복소수 및 비기본 함수.
8. 기능을 지정하는 방법, 산술 연산기능 이상.
9. 실수 인수 함수의 간단한 분류.
10. 수열의 한계와 기하학적 의미.
11. 수렴 수열의 속성: 정리 1. 극한의 고유성(증명 포함). 정리 2.
12. 무한히 큰 수열: 정의. 그들 사이의 연결.
13. 무한소 수열에 대한 정리. 결과. 예.
14. 극한정리 숫자 순서. 결과.
15. 수치 시퀀스의 한계 계산: 형식의 불확실성을 공개하는 규칙, . 결론. 예.
16. 불평등의 극한으로의 통과: 정리 1. (극한의 부호 보존에 관한) 정리 2(불평등의 한계까지 통과). 정리 3(압축된 시퀀스에 대한) Weierstrass의 정리.
17. e번(증거 포함). 자연 로그.
18. 세트의 포인트 제한.
19. Cauchy와 그 기하학적 의미에 따른 점에서의 함수 극한의 정의.
20. 하이네에 따른 지점에서 기능의 한계 결정. 함수의 극한에 관한 기본 정리. 한 점에서 함수의 극한 계산: 형식의 불확실성을 공개하는 규칙 예.
21. 세트에 대한 기능의 한계. 일방적인 통로. 노트.
22. 첫 번째 놀라운 한계(증거 포함). 결과.
23. 두 번째 놀라운 한계. 노트. 지수 및 로그 함수. 제한 기호 아래의 변수를 대체합니다. 예.
24. 함수의 연속성과 중단점. 연속 함수의 속성.
25. 단순 함수의 파생어: 함수 파생어의 정의, 함수 파생어의 기하학적 의미. 곡선에 대한 접선 및 법선 방정식.
26. 기능 차별화를 위한 기본 규칙. 파생상품 기본 기능. 예.
27. 파생상품 복잡한 기능. 로그 미분. 지수 함수의 파생물입니다.
28. 함수의 미분과 그 기하학적, 기계적 의미. 결론.
29. 함수의 미분을 찾는 기본 규칙. 복잡한 함수의 미분. 1차 미분 형태의 불변성. .
30. 고차 함수의 미분과 미분. 2차 도함수의 기계적, 기하학적 의미. 라이프니츠의 공식.
31. 기본 미분 정리: 페르마의 정리, 역할의 정리 및 기하학적 의미.
32. 기본 미분 정리: 라그랑주의 정리, 코시 정리 및 기하학적 의미.
33. 도함수 적용: 유형 불확실성 공개 및 유형 불확실성 공개를 위한 L'Hopital의 규칙. 예.
34. 함수와 부정적분의 역도함수. 부정 적분의 속성. 기본 적분 표.
35. 기능 통합 방법: 직접 통합; 변수 교체 방법; 부분별 통합 방법.
36. 정적분의 정의와 속성.
37. 정적분의 계산. 뉴턴-라이프니츠 공식. 통합 방법 정적분: 변수의 변경, 부분별 통합방법.
38. 숫자 시리즈. 융합과 발산 숫자 시리즈. 계열의 수렴에 필요한 신호입니다.
39. 수열의 수렴을 위한 충분한 기준: 비교 기준, 한계 비교 기준.
40. 수열의 수렴을 위한 충분한 기준: Cauchy의 급진적 테스트, D'Alembert의 테스트.

한 무리의 ㅏ그리고 그것을 포함하는 세트 ㅏ다음과 같이 표시됩니다 ( ㅏ세트의 요소입니다 ㅏ; 또는 ㅏ속한다 ㅏ, 또는 ㅏ포함 ㅏ). 만약에 ㅏ ㅏ, 그런 다음 그들은 다음과 같이 씁니다 ( ㅏ포함되지 않음 ㅏ, ㅏ포함되어 있지 않다 ㅏㅏ, 비, 씨

연산 집합.

유니버설 세트

유니버설 세트

벤 다이어그램. 대수학의 항등식과 그 증명을 설정합니다.

벤다이어그램은 여러 세트의 가능한 모든 교차점을 도식적으로 표현한 것으로 세트 간의 수학적, 집합 이론 또는 논리적 관계를 보여줍니다.

신원 및 그 증거.

임의 집합 A, B, C의 경우 다음 관계가 성립합니다.

1. 교환성:

2. 연관성

3. 교차점에 대한 조합의 분포

삼'. 합집합에 대한 교차점의 분포

4. 공집합과 보편집합의 작용법칙

5. 멱등성의 법칙

6. 드 모르간의 법칙

7. 흡수의 법칙

,

8. 접착의 법칙

,

9. 포레츠키의 법칙

,

10. 이중 보수 법칙

다음의 정체를 증명하세요. .

이 항등식을 분석적으로 증명해 보겠습니다(집합 대수의 등가성을 사용하여).

형식적 언어의 개념

공식 언어 -표현을 구성하고 이해하기 위한 정확한 규칙이 특징인 언어입니다. 이는 명확한 규칙에 따라 구축되어 연구 중인 주제 영역(모델링된 개체)의 속성과 관계를 일관되고 정확하며 간결하게 표시합니다.

형식언어는 소프트웨어를 만드는 기초이다.

FL은 문자 a1, a2, ...., a100의 초기 문자 세트를 사용하여 형성되며 문자 영광의 도움으로 형성됩니다. 공식 언어의 단어는 순서가 지정된 문자 집합입니다(도마뱀 - 30자).

단어의 연산 *에 대해서는 결합법칙이 유효합니다.

반군 및 반고리 이론은 물리적 표현 이론의 기초입니다.

동어반복

동어반복은 항상 참인 동일하게 참인 진술입니다.

가장 간단한 동어반복은 표현( ㅏ아니면 아니오 ㅏ), 제외된 중간의 법칙을 나타냅니다. ㅏ false 또는 true일 수 있는 표현식은 대체될 ​​수 있습니다. 예를 들어 불이 켜져 있든 안 켜져 있든, 두 번 두 번은 5와 같거나 같지 않습니다.. 등가 연산자를 통해 표현된 수학적 논리의 법칙도 동어반복입니다.

하나의 변수에 대한 표현 형식이나 술어의 개념입니다. 술어의 예.

술어 –변화하는 변수에 따른 진술.

한 곳의 술어 –각 변수 값에 0 또는 1이라는 단일 값이 할당되는 매핑입니다. 예:

접속사두 술어 A(x) 및 B(x)를 새 술어라고 합니다. , 각 술어가 "true" 값을 취하는 x T 값에 대해서만 "true" 값을 취하고 다른 모든 경우에는 "false" 값을 취합니다. 술어 A(x) B(x), x X의 진리 집합 T는 술어 A(x) – T1 및 B(x) – T2의 진리 집합의 교차점입니다. T= T1 ∩T2. 예: A(x): "x는 짝수입니다.", B(x): "x는 3의 배수입니다." A(x) B(x) – “x는 짝수이고 x는 3의 배수입니다.” 저것들. "x는 6으로 나누어진다"라는 술어.

부정술어 A(x)는 술어 A(x)가 "false" 값을 갖는 x T의 모든 값에 대해 "true" 값을 취하고 A(x)인 경우 "false" 값을 취하는 새로운 술어입니다. )는 "true" 값을 취합니다. 술어 x X의 진리 집합은 집합 X의 집합 T에 대한 T"의 보수입니다.

'소크라테스는 사람이다', '플라톤은 사람이다'라는 진술을 살펴보자. 이 두 진술은 모두 '인간 존재'의 특성을 표현합니다. 따라서 우리는 '사람이 된다'라는 술어를 고려하여 소크라테스와 플라톤에게도 적용된다고 말할 수 있습니다.

25 정의 영역과 술어의 진리 영역

술어 P(x)가 정의된 집합 M을 술어 정의 영역이라고 합니다.

술어가 "true" 값을 취하는 모든 요소 x Î M의 집합을 술어의 진리 집합 P(x)라고 합니다. 즉, 술어 P(x)의 진리 집합은 집합 1p = ( x| x Î M, P(x) = 1).

P(x): "x 2 + 1> 0, xО R"; 술어 M = R의 정의 영역과 진리 영역도 R입니다. 부등식은 모든 실수에 적용됩니다. 따라서 주어진 술어에 대해 M = I p. 이러한 술어를 동일하게 참이라고 합니다.

B(x): “x 2 + 1< 0, xÎ R»; область истинности I p =Æ, т.к. не существует действительных чисел, для которых выполняется неравенство. Такие предикаты называются тождественно ложными.

수량자. 이중 술어. 방정식, 항등식 및 불평등의 정의.

수량자- 술어의 진리 영역을 제한하고 진술을 생성하는 논리 연산의 일반적인 이름입니다. 가장 자주 언급되는 내용:

· 범용 수량자(지정: 읽기: "모든 사람을 위해...", "모든 사람을 위해..." 또는 "모든...", "모든...", "모든..."을 위해).

· 존재 수량자(지정: , 읽기: "존재합니다..." 또는 "발견될 것입니다...").

술어 "를 표시합시다. 엑스 5로 나누어진다." 일반 수량자를 사용하여 공식적으로 다음 명령문을 작성할 수 있습니다(물론 거짓).

1. 자연수는 5의 배수이다.

2. 모든 자연수는 5의 배수이다.

3. 모든 자연수는 5의 배수이다.

다음과 같은 방법으로:

.

다음(이미 참) 명령문은 존재 수량자를 사용합니다.

1. 5의 배수인 자연수가 있다.

2. 5의 배수인 자연수를 찾으세요.

3. 적어도 하나의 자연수는 5로 나누어집니다.

공식적인 표기법은 다음과 같습니다.

.

· 진술은 변수의 값의 범위가 술어의 진리 범위에 포함된다는 것을 의미한다.

(“(x)의 모든 값에 대해 이 진술은 참입니다.”)

· 진술은 술어의 진리 영역이 비어 있지 않음을 의미합니다.

(“이 진술이 참인 (x)가 있습니다”).

수량자에 대한 연산

수량자 부정의 규칙- 수량자를 포함하는 문장의 부정을 구성하는 데 사용되며 다음과 같은 형식을 갖습니다.

이중 술어 –각 변수 쌍에 단일 값(0 또는 1)이 제공되는 매핑입니다.

술어는 두 자리 술어, 주제 영역은 임의의 실수 집합이 될 수 있습니다. 그 진술은 참이고 그 진술은 거짓이다. 변수 중 하나 대신 숫자를 대체하면 한 위치의 술어를 얻게 됩니다.

그래프 교차점

G1(V1,E1) 및 G'2(V2',E2')를 임의 그래프로 둡니다. 그래프 G1과 G'2의 교차점 G1∩G'2는 정점 세트 V1∩V'2와 모서리 세트 E = E1∩E'2가 있는 그래프입니다.

속성

· 집합의 교집합은 다음과 같습니다. 이진 연산임의의 부울 2에 대해 엑스;

교환적:

교차로 동작 설정 전이적(연관성):

· 만능세트 엑스집합 교차 연산의 중립 요소입니다.

· 따라서 집합의 교집합 연산과 함께 불리언은 아벨 그룹입니다.

· 집합의 교집합 연산은 멱등성을 갖습니다.

· 빈 세트인 경우

그래프의 뼈대와 핵심.

뼈대 그래프는 트리의 하위 그래프입니다.

쿠스토프 –그래프에 뼈대를 추가합니다.

세트의 개념. 세트 작업. 유니버설 세트.

한 무리의(N-natural, Z-integer, Q-rational, R-real) – 정의할 수 없는 개념으로, 하나의 전체로 간주되는 개체의 집합입니다. 집합의 개념은 기본 개념으로 간주됩니다. 즉, 다른 개념으로 축소될 수 없습니다. 주어진 세트를 구성하는 객체를 해당 세트의 요소라고 합니다. 단순 집합에는 단일 요소가 없습니다. 요소 간의 기본 관계 ㅏ그리고 그것을 포함하는 세트 ㅏ다음과 같이 표시됩니다 ( ㅏ세트의 요소입니다 ㅏ; 또는 ㅏ속한다 ㅏ, 또는 ㅏ포함 ㅏ). 만약에 ㅏ세트의 요소가 아닙니다. ㅏ, 그런 다음 그들은 다음과 같이 씁니다 ( ㅏ포함되지 않음 ㅏ, ㅏ포함되어 있지 않다 ㅏ). 세트는 모든 요소를 ​​지정하여 지정할 수 있으며 이 경우 중괄호가 사용됩니다. 그래서 ( ㅏ, 비, 씨)은 세 가지 요소의 집합을 나타냅니다. 작성되지 않은 요소가 타원으로 대체되는 무한 세트의 경우에도 유사한 표기법이 사용됩니다. 따라서 자연수의 집합은 (1, 2, 3, ...), 짝수의 집합은 (2, 4, 6, ...)으로 표시하며 첫 번째 경우의 줄임표는 모든 자연수를 의미합니다. , 그리고 두 번째 - 심지어

"빈 집합"은 단일 요소를 포함하지 않는 집합으로 표시됩니다.

할당 방법: 표, 목록 요소, 그래픽, 반복, 공식.

연산 집합.

집합의 교집합은 두 집합에 모두 속하는 요소로 구성된 집합입니다.

집합의 교집합의 경우 다음이 참입니다.

X∩Y=Y∩X - 교환법칙

· (X∩Y)∩Z = X∩(Y∩Z) = X∩Y∩Z - 결합 법칙

집합의 합집합은 집합 중 적어도 하나에 속하는 요소로 구성된 집합입니다.

결합된 세트의 경우 다음이 적용됩니다.

XUY = YUX - 교환법칙

· (XUY) UZ = XU (YUZ) = XUYUZ - 결합 법칙,

유니버설 세트

유니버설 세트- 생각할 수 있는 모든 객체를 포함하는 집합입니다. 유니버설 세트는 독특합니다.

보편적 집합은 다른 집합으로 구성될 수 있는 모든 요소를 ​​포함하는 집합입니다. 유니버설 세트의 모든 요소를 ​​완전히 포함합니다. .

어떤 고려 사항에서 특정 고정 집합의 하위 집합만 관련된 경우 이 가장 큰 집합은 보편적인 집합으로 간주됩니다.

유니버설 세트에는 흥미로운 재산, 이는 일반 대수학에서는 비유가 없습니다. 즉, 임의의 집합 X에 대해 관계 XU(union)I = I가 유지됩니다.

보편적인 집합은 일반적으로 직사각형의 점 집합으로 그래픽으로 표시되며 개별 집합은 이 직사각형 내의 별도 영역으로 표시됩니다. 보편적 집합을 나타내는 직사각형 내의 영역으로 집합을 표현하는 것을 오일러-벤 다이어그램이라고 합니다.

집합, 집합에 대한 연산

정의 1:아래에 많은공통 속성을 가진 집합의 일부 객체(요소)의 모음으로 이해됩니다. 세트는 라틴 대문자로, 요소는 소문자로 지정됩니다.

https://pandia.ru/text/80/218/images/image002_346.gif" align="left" width="172" height="101 src=">

정의 3:집합의 교차점 ㅏ그리고 비집합은 집합에 속하는 요소들로만 구성된 집합입니다. ㅏ, 그리고 많은 비.

https://pandia.ru/text/80/218/images/image004_243.gif" width="477" height="27">

자연수 집합은 덧셈과 곱셈이라는 두 가지 연산으로 닫혀 있습니다.

자연수의 덧셈과 곱셈의 기본 법칙

덧셈의 ​​교환법칙 ㅏ+ 비= 비+ ㅏ곱셈의 교환법칙 ab= 바덧셈의 ​​결합 법칙(결합) (ㅏ+ 비)+ 씨= ㅏ+(비+ 씨) 곱셈의 결합 법칙(결합) (ab) 씨= ㅏ(기원전) 덧셈에 대한 곱셈의 분포 법칙 (ㅏ+ 비) 씨= 교류+ 기원전 정수 집합 Z. 정수의 나눗셈. 분열의 징후

정의 10:자연수, 그 반대 및 (0)을 호출합니다. 전체숫자

지= N+(- N)+{0}

자연수의 덧셈과 곱셈에 관한 모든 법칙은 정수에 유효합니다.

정수의 가분성

정수 ㅏ정수로 나눌 수 있음 비(전체적으로) 그런 것이 존재한다면 https://pandia.ru/text/80/218/images/image009_152.gif" width="137" height="23">

정수의 가분성 속성

가분성은 반사적입니다. 가분성 관계는 전이적입니다. 모든 정수는 항상 1로 나눌 수 있으며 이 숫자와 같습니다.

분열의 징후.

모든 짝수는 2로 나누어집니다. 자릿수의 합이 3과 9로 나누어지는 숫자는 3과 9로 나누어집니다. ( 예: 숫자 1377은 1+3+7+7=18의 합이 3과 9로 나누어지기 때문에 3과 9로 나누어집니다.마지막 두 자리에 적힌 숫자가 4로 나누어지면 그 숫자만 4로 나누어집니다. ( 예: 숫자 23864는 숫자 64가 4로 나누어지기 때문에 4로 나누어집니다.마지막 세 자리가 8로 나누어지는 숫자만 8로 나누어집니다. ( 예: 숫자 864는 8로 나누어지기 때문에 숫자 23864는 8로 나누어집니다.숫자 0이나 5로 끝나는 숫자만 5로 나누어집니다. 숫자 0으로 끝나는 숫자만 10으로 나누어집니다.

나머지가 있는 나눗셈

정수 나누기 ㅏ https://pandia.ru/text/80/218/images/image019_89.gif" width="79" height="27">에서.

정의 11:정수 디~라고 불리는 최대 공약수정수 ㅏ1 , ㅏ2 ,…, 안, 만약에 디는 이 숫자들의 공약수이고, 디숫자의 공약수로 나눌 수 있음 ㅏ1 , ㅏ2 ,…, 안.

글쿨(-135, 180)을 찾으세요.

답: GCD=45.

NOC(a1,a2,…,an)또는

정의 10:정수 중~라고 불리는 공배수숫자 ㅏ1 , ㅏ2 ,…, 안(정수) 0과 같지 않은 경우 중이 숫자들 각각으로 나누어 ㅏ1 , ㅏ2 ,…, 안.

정의 11:정수 중~라고 불리는 최소공배수(LCM)정수 ㅏ1 , ㅏ2 ,…, 안, 만약에 중는 이 숫자들의 공배수이고, 이 숫자들의 공배수는 다음과 같이 나눌 수 있습니다. 중.

https://pandia.ru/text/80/218/images/image021_88.gif" width="612" height="144">

숫자 1은 소수도 합성수도 아닙니다.

GCD를 찾는 알고리즘( 유클리드 알고리즘): 0이 아닌 마지막 나머지는 주어진 숫자의 gcd입니다.

GCD 찾기(7560;825)

답: GCD=15.

정수 ㅏ1 , ㅏ2 ,…, 안 gcd = 1이면 상대적으로 소수라고 합니다.

https://pandia.ru/text/80/218/images/image023_87.gif" width="161" height="33">, 여기서 파이– 소수, .

논평:임의의 숫자 n을 소인수로 분해하는 것을 숫자 n의 표준 표기법이라고 합니다.

GCD를 찾는 규칙:

숫자를 소인수로 나눕니다. 가장 작은 지수를 갖는 모든 소인수의 곱을 구성합니다. 일자리를 찾으세요.

답: GCD=4.

NOC를 찾는 규칙:

숫자를 소인수로 나눕니다. 한 숫자의 모든 소인수와 다른 숫자의 누락된 인자의 곱을 구성합니다. 이 작품을 찾아보세요. 유리수와 그에 대한 연산

정의 12:군중 아래서 합리적인숫자 ( 큐) https://pandia.ru/text/80/218/images/image026_72.gif" width="84" height="21 src="> 형식의 일반적인 환원 불가능한 분수 집합을 이해합니다.

한 무리의 큐네 가지 산술 연산 모두에서 닫힙니다.

분수의 주요 속성:분수의 분자와 분모에 0이 아닌 동일한 숫자를 곱하거나 나누어도 분수는 변하지 않습니다.

형태의 일반적인 분수를 소수라고 합니다.

정리 1 . 기약 분수는 분모를 소인수로 인수분해할 때 숫자 2와 5 또는 그 거듭제곱만 포함하거나 분모가 1인 경우에만 최종 소수로 변환될 수 있습니다.

https://pandia.ru/text/80/218/images/image030_62.gif" width="612" height="228">

정의 13:소수를 분수라고 합니다. 무한 주기, 소수점 이하의 숫자 또는 숫자 그룹이 순차적으로 반복되는 경우.

1,0(77); 1,0(27).

정리 2 . 무한 주기 분수는 일부를 나타냅니다. 유리수그 반대.

무한 주기 분수를 일반 분수로 표현하는 규칙 :

두 번째 마침표 앞의 숫자에서 첫 번째 마침표 앞의 숫자를 빼고 그 차이를 분자로 하고, 분모에는 마침표의 수만큼 9를, 숫자의 수만큼 0을 씁니다. 소수점과 첫 번째 마침표 사이.

답변: https://pandia.ru/text/80/218/images/image032_56.gif" width="131" height="41">.

아르 자형= 큐+불합리한 숫자.

집합의 개념은 수학의 공리적 개념을 가리킨다.

정의. 집합은 모든 요소에 공통적인 속성이나 특성을 갖는 요소의 집합, 그룹, 컬렉션입니다.

명칭: A, B.

정의. 두 세트 A와 B는 동일한 요소로 구성되는 경우에만 동일합니다. A = B.

a ∈ A(a ∉ A) 표기는 a가 집합 A의 요소가 아니라는 의미입니다.

정의. 원소가 없는 집합을 빈집합이라고 하며 ∅로 표시합니다.

일반적으로 특정 경우 고려 중인 모든 집합의 요소는 충분히 넓은 집합 U에서 가져옵니다. 유니버설 세트.

세트의 힘|M|으로 표시됨 .
논평 : 유한 집합의 경우 집합의 카디널리티는 요소 수입니다.

정의. 만약 |A| = |비| , 그런 다음 세트가 호출됩니다. 똑같이 강력하다.

집합 연산을 설명하는 데 자주 사용됩니다. 오일러-벤 다이어그램. 다이어그램의 구성은 보편적 집합 U를 나타내는 큰 직사각형을 그리는 것으로 구성되며 그 안에 집합을 나타내는 원이 있습니다.

다음 작업은 세트에 정의됩니다.

조합 A∪B: = (x/x∈A∨x∈B)

교차점 A∩B: = (x/x∈A&x∈B)

차이 A\B: = (x/x∈A&x∈B)

보수 A U\A: = (x/x U & x ∉ A)

과제 1.1. 주어진 값: a)A,B⊆Z, A = (1;3;4;5;9), B = (2;4;5;10). b)A,B⊆R, A = [-3;3), B = (2;10].

해결책.

a) A∩B = (4;5), A∪B = (1;2;3;4;5;9;10), A\B = (1;3;9), B\A = (2 ;10), B = Z \ B;

b) A∩B = (2;3), A∪B = [-3,10], A\B = [-3,2], B\A = ,B Z\B = (-무한대,2]∪ (10,+무한대).

1) 주어진 경우: a) A, B ⊆ Z, A = (1;2;5;7;9;11), B = (1;4;6;7).

b) A, B ⊆ R, A = [-3; 7), B = [-4; 4].

찾기: A∩B, A∪B, A\B, B\A, B .

2) 주어진 경우: a) A, B ⊆ Z, A = (3;6;7;10), B = (2;3;10;12).

b) A, B ⊆ R, A = .

찾기: A∩B, A∪B, A\B, B\A, B .

3) 주어진 경우: a) A, B ⊆ Z, A = (1;2;5;7;9;11), B = (1;4;6;7).

b) A, B ⊆ R, A = .

4) 주어진 경우: a) A, B ⊆ Z, A = (0;4;6;7), B = (-3;3;7).

b) A,B ⊆ R, A = [-15;0], B = [-2;1].

찾기: A∩B, A∪B, A\B, B\A, A .

5) 주어진 경우: a) A, B ⊆ Z, A = (0;9), B = (-6;0;3;9).

b) A, B ⊆ R, A = [-10; 5), B = [-1; 6].

찾기: A ∩ B, A ∪ B, A\B, B\A, B.

6) 주어진 경우: a)A, B ⊆ Z, A = (0;6;9), B = (-6;0;3;7).

b) A, B ⊆ R, A = [-8;3), B = .

찾기: A ∩ B, A ∪ B, A\B, B\A, B.

7) 주어진 경우: a)A, B ⊆ Z, A = (-1;0;2;10), B = (-1;2;9;10).

b) A, B ⊆ R, A = [-10;9), B = [-5;15].

찾기: A∩B, A∪B, A\B, B\A, B .

8) 주어진 경우: a) A,B ⊆ Z, A = (1;2;9;37), B = (-1;1;9;11;15).

b) A, B ⊆ R, A = [-8;1), B = [-5;7].

찾기: A ∩ B, A ∪ B, A\B, B\A, B.

9) 주어진 경우: a) A, B ⊆ Z, A = (-1;0;9;17), B = (-1;1;9;10;25).

b) A, B ⊆ R, A = [-4;9), B = [-5;7].

찾기: A∩B, A∪B, A\B, B\A, B .

10) 주어진 경우: a)A,B⊆Z, A = (1;7;9;17), B = (-2;1;9;10;25).

b) A,B⊆R, A = .

찾기: A ∩ B, A ∪ B, A\B, B\A, A.

과제 1.1.오일러-벤 다이어그램을 사용하여 항등식을 증명하십시오.

A\ (B\C) = (A\B) ∪ (A ∩ C).

해결책.

벤다이어그램을 만들어 봅시다.

평등의 왼쪽은 그림 a)에 표시되고 오른쪽은 그림 b)에 표시됩니다. 다이어그램에서 이 관계의 왼쪽과 오른쪽이 동일하다는 것이 분명합니다.

독립적으로 해결해야 할 문제

항등식을 증명하기 위해 오일러-벤 다이어그램을 사용:

1) A\(B ∪ C) = (A\B) ∩ (A\C);

2) A ∪ (B\C) = (A ∩ B)\C;

3) A ∪ (B \ C) = (A ∩ B) \ (A ∩ C);

4) (A\B)\C = (A\B)\(B\C);

5) (A\B)\C = (A\B) ∪ (A∩C);

6) A∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C);

7) (A ∩ B) \ (A ∩ C) = (A ∩ B) \ C;

8) A∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C);

9) (A ∪ B)\C = (A\C) ∪ (B\C)

10) A∪ (A ∩ B) = A ∪ B

문제 1.3. 문학 수업 중에 교사는 학급의 학생 40명 중 A, B, C 책을 읽은 사람이 누구인지 알아보기로 결정했습니다. 설문 조사 결과는 다음과 같습니다. A 책은 25명의 학생이 읽었고; B권은 22명의 학생이 읽었습니다. C권은 22명의 학생이 읽었습니다. 책 A 또는 B는 33명의 학생이 읽었습니다. 책 A 또는 C는 32명의 학생이 읽었습니다. 책 B나 C는 31명의 학생이 읽었습니다. 모든 책은 10명의 학생이 읽었습니다. 결정: 1) 책 A만 읽는 학생은 몇 명입니까?

2) B권만 읽는 학생은 몇 명입니까?

3) C권만 읽는 학생은 몇 명입니까?

4) 한 권의 책만 읽는 학생은 몇 명입니까?

5) 적어도 한 권의 책을 읽는 학생은 몇 명입니까?

6) 책 한 권도 읽지 않은 학생은 몇 명입니까?

해결책.

U를 학급의 학생 집합이라고 가정합니다. 그 다음에

|유| = 40, |A| = 25, |B| = 22, |C| = 22, |A ∪ B| = 33, |A ∪ C| = 32, |B ∪ C| = 31, |A ∩ B ∩ C| = 10

문제를 설명해 보겠습니다.

적어도 한 권 이상의 책을 읽은 학생 집합을 7개의 하위 집합 k 1 , k 2 , k 3 , k 4 , k 5 , k 6 , k 7 로 나누겠습니다.

k 1은 책 A만 읽는 학생의 집합입니다.

k 3은 B책만 읽는 학생의 집합입니다.

k 7 - 책 C만 읽는 학생 세트;

k 2 는 책 A와 B를 읽고 책 C를 읽지 않은 학생의 집합입니다.

k 4 - 책 A와 C를 읽고 책 B는 읽지 않은 학생 집합입니다.

k 6 - 책 B와 C를 읽고 책 A는 읽지 않은 학생들의 집합입니다.

k 5 - 책 A, B, C를 읽는 학생들의 집합입니다.

이러한 각 하위 집합의 카디널리티를 계산해 보겠습니다.

|k 2 | = |A ∩ B|-|A ∩ B ∩ C|; |k 4 | = |A ∩ C|-|A ∩ B ∩ C|;

|k 6 | = |B ∩ C| - |A ∩ B ∩ C|; |k 5 | = |A ∩ B ∩ C|.

그런 다음 |k 1 | = |A| - |k 2 | - |k 4 | - |k 5 |, |k 3 | = |비| - |k 2 | - |k 6 | - |k 5 |, |k 7 | = |C| - |k 6 | - |k | - |k 5 |.

|A ∩ B|, |A ∩ C|, |B ∩ C|를 구해 보겠습니다.

|A ∩ B| = | 에이| +| 비| - |A ∩ B| = 25 + 22 - 33 = 14,

|A ∩ C| = |A| + |씨| - |A ∩ C| = 25 + 22 - 32 = 15,

|B ∩ C| = |비| + |씨| - |B ∩ C| = 22 + 22 - 31 = 13.

그러면 k 1 = 25-4-5-10 = 6; k 3 = 22-4-3-10 = 5; k 7 = 22-5-3-10 = 4;

|A ∪ B ∪ C| = |A ∪ B| + |씨| - |(A ∪ B) ∪ C| .

그림에서 |C| - |(A ∪ B) ∪ C| = |k 7 | = 4이면 |A ∪ B ∪ C| = 33+4 = 37 – 최소한 한 권의 책을 읽은 학생 수.

한 학급에 40명의 학생이 있으므로 3명의 학생은 책을 한 권도 읽지 않았습니다.

답변:

1. 6명의 학생은 A권만 읽었습니다.
2. 5명의 학생은 B책만 읽었습니다.
3. 4명의 학생은 C책만 읽었습니다.
4. 15명의 학생이 각각 한 권의 책만 읽었습니다.
5. 37명의 학생이 A, B, C 중 한 권 이상의 책을 읽었습니다.
6. 3명의 학생은 책을 한 권도 읽지 않았습니다.

독립적으로 해결해야 할 문제

1) 주중에는 영화관에서 A, B, C 영화를 상영했습니다. 40명의 학생 각각은 세 편의 영화를 모두 보거나 세 편의 영화 중 한 편을 보았습니다. 영화 ㅏ 13명의 학생들을 보았습니다. 영화 비 16명의 학생들을 보았습니다. 영화 씨 19명의 학생들을 보았습니다. 단 하나의 영화만 본 학생은 몇 명입니까?

2) 국제회의에는 120명이 참가하였다. 이 중 60명은 러시아어, 48명은 영어, 32명은 독일어, 21명은 러시아어와 영어, 19명은 영어와 독일어, 15명은 러시아어와 독일어, 10명은 세 가지 언어를 모두 사용합니다. 이러한 언어를 구사하지 못하는 컨퍼런스 참가자는 몇 명입니까?

3) 20명으로 구성된 학교 팀이 스포츠 대회에 참가하며 각 팀은 다음 중 하나 이상의 스포츠 카테고리를 가지고 있습니다. 세 가지 유형스포츠: 육상, 수영, 체조. 그 중 육상 12명, 체조 10명, 수영 5명이 순위를 매긴 것으로 알려졌다. 육상과 수영에 2명이, 육상과 체조에 4명이, 수영과 체조에 2명이 있을 경우, 모든 스포츠에서 순위를 매긴 이 팀의 학생 수를 결정합니다.

4) 학생 100명을 대상으로 한 설문조사에서 다양한 과목을 공부하는 학생 수에 대해 다음과 같은 결과가 나왔습니다. 외국어: 스페인어 – 28; 독일어 – 30; 프랑스어 – 42; 스페인어와 독일어 – 8; 스페인어와 프랑스어 – 10; 독일어와 프랑스어 – 5; 세 가지 언어 모두 – 3. 공부하는 학생 수 독일 사람만약 그들이 프랑스어를 공부한다면? 5) 100명의 학생을 대상으로 한 설문 조사에서 다양한 외국어를 공부하는 학생 수에 대한 다음 데이터가 밝혀졌습니다. 독일어만 - 18명; 독일어는 되지만 스페인어는 아님 – 23; 독일어와 프랑스어 – 8; 독일어 – 26; 프랑스어 – 48; 프랑스어와 스페인어 – 8; 언어 없음 – 24. 독일어와 독일어를 공부하는 학생 수는 몇 명입니까? 스페인의?

6) 학생 100명을 대상으로 한 설문 조사 보고서에 따르면 다양한 언어를 공부하는 학생 수는 다음과 같습니다. 세 가지 언어 모두 - 5명; 독일어 및 스페인어 – 10; 프랑스어와 스페인어 – 8; 독일어 및 프랑스어 – 20; 스페인어 – 30; 독일어 – 23; 프랑스어 - 50. 이 보고서를 제출한 조사관은 해고되었습니다. 왜?

7) 국제회의에는 100여명이 참석하였다. 이 중 42개가 자신의 프랑스 국민, 28 – 영어, 30 – 독일어, 10 – 프랑스어 및 영어, 8 – 영어 및 독일어, 5 – 프랑스어 및 독일어, 3명은 세 가지 언어를 모두 사용합니다. 이러한 언어를 구사하지 못하는 컨퍼런스 참가자는 몇 명입니까?

8) 본 대학에서 컴퓨터공학을 전공하는 1학년 학생들은 추가 학과목을 수강할 수 있습니다. 올해에는 그 중 25명이 회계학을, 27명은 경영학을, 12명은 관광학을 선택했습니다. 또한, 회계 및 비즈니스 과정을 수강하는 학생은 20명, 회계 및 관광을 전공하는 학생은 5명, 관광 및 비즈니스를 전공하는 학생은 3명이었습니다. 한 번에 3개 추가 과목을 감히 수강한 학생은 한 명도 없었던 것으로 알려졌습니다. 최소 1개 이상의 추가 과목을 수강한 학생은 몇 명입니까?
9) 지원자를 대상으로 한 수학올림피아드에는 40명의 학생이 참가하였습니다. 그들은 하나의 대수 문제, 하나의 기하학 문제, 하나의 삼각법 문제를 풀어 달라는 요청을 받았습니다. 이 문제는 대수학 20명, 기하학 18명, 삼각법 18명이 해결했습니다. 대수학과 기하학 문제는 7명이, 대수학과 삼각법 문제는 8명이, 기하학과 삼각법 문제는 9명이 풀었습니다. 단 한 문제도 3명이 해결하지 못했습니다. 두 가지 문제만 푼 학생은 몇 명입니까?

10) 그 수업에는 40명의 학생이 있습니다. 이 중 19명은 러시아어에서 C학점을 받았고, 17명은 수학에서, 22명은 물리학에서 학점을 받았습니다. 4명의 학생은 단 하나의 러시아어에서 C학점을 받았고, 4명은 수학에서만, 11명은 물리학에서만 C학점을 받았습니다. 5명의 학생이 러시아어, 수학, 물리학에서 C학점을 받았습니다. 7명이 수학과 물리학에서 C학점을 받았습니다. 3개 과목 중 2개 과목에서 C등급을 받은 학생은 몇 명입니까?