역삼각함수. Arcsin 함수 그래프 x 2 그래프

정의 및 표기법

아크사인(y = 아크신 x)는 사인의 역함수입니다(x = 죄악 -1 ≤ x ≤ 1그리고 값 세트 -π /2 ≤ y ≤ π/2.
죄(아크신 x) = x ;
아크사인(사인 x) = x .

아크사인은 때때로 다음과 같이 표시됩니다.
.

아크사인 함수 그래프

함수 그래프 y = 아크신 x

아크사인 그래프는 가로축과 세로축이 바뀌면 사인 그래프에서 얻어집니다. 모호함을 없애기 위해 값의 범위는 함수가 단조로운 간격으로 제한됩니다. 이 정의를 아크사인의 주요 값이라고 합니다.

아크코사인, 아크코스

정의 및 표기법

아크코사인(y = 아르코스엑스)는 코사인의 역함수입니다(x = 아늑한). 범위가 있습니다 -1 ≤ x ≤ 1그리고 많은 의미 0 ≤ y ≤ π.
cos(아르코스 x) = x ;
아크코스(cos x) = x .

아크코사인은 때때로 다음과 같이 표시됩니다.
.

아크코사인 함수 그래프

함수 그래프 y = 아르코스엑스

아크코사인 그래프는 가로축과 세로축을 바꾸면 코사인 그래프에서 구해집니다. 모호함을 없애기 위해 값의 범위는 함수가 단조로운 간격으로 제한됩니다. 이 정의를 아크코사인의 주요값이라고 합니다.

동등

아크사인 함수는 이상합니다.
아크사인(-x) = 아크사인(-사인 아크사인 x) = 아크신(사인(-아크신 x)) = - 아크신 x

아크 코사인 함수는 짝수 또는 홀수가 아닙니다.
아크코스(-x) = 아크코스(-cos 아크코스 x) = arccos(cos(π-arccos x)) = π - 아크코사인 x ≠ ± 아크코사인 x

속성 - 극값, 증가, 감소

함수 아크사인과 아크코사인은 정의 영역에서 연속입니다(연속성 증명 참조). 아크사인과 아크코사인의 주요 특성이 표에 나와 있습니다.

	와이 = 아크신 x	와이 = 아르코스엑스
범위와 연속성	- 1 ≤ x ≤ 1	- 1 ≤ x ≤ 1
값의 범위
상승 하강	단조롭게 증가	단조롭게 감소
최고
최소
0, y = 0	x = 0	x = 1
세로축으로 점을 가로채고, x = 0	와이 = 0	y = π/ 2

아크사인 및 아크코사인 표

이 표에는 인수의 특정 값에 대한 아크사인 및 아크코사인 값이 각도 및 라디안으로 표시됩니다.

엑스	아크신 x		아르코스엑스
	빗발	기쁜.	빗발	기쁜.
- 1	- 90°	-	180°	π
-	- 60°	-	150°
-	- 45°	-	135°
-	- 30°	-	120°
0	0°	0	90°
	30°		60°
	45°		45°
	60°		30°
1	90°		0°	0

≈ 0,7071067811865476
≈ 0,8660254037844386

방식

또한보십시오: 역삼각함수 공식 도출

합과 차이 공식

또는

에 그리고

에 그리고

~에

~에

로그, 복소수를 통한 표현

또한보십시오: 수식 도출

쌍곡선 함수를 통한 표현

파생상품

;
.
아크사인 및 아크코사인 파생 상품의 파생 참조 > > >

고차 파생 상품:
,
의 다항식은 어디에 있습니까? 이는 다음 공식에 의해 결정됩니다.
;
;
.

아크사인 및 아크코사인의 고차 도함수 유도 > > >를 참조하세요.

적분

우리는 대체 x =를 만듭니다. 죄 t. -π/를 고려하여 부분별로 적분합니다. 2 ≤ 티 ≤ π/2, 비용 t ≥ 0:
.

아크사인을 통해 아크코사인을 표현해 보겠습니다.
.

시리즈 확장

언제 |x|< 1 다음과 같은 분해가 발생합니다.
;
.

역함수

아크사인과 아크코사인의 역수는 각각 사인과 코사인입니다.

다음 수식전체 정의 영역에 걸쳐 유효합니다.
죄(아크신 x) = x
cos(아르코스 x) = x .

다음 공식은 아크사인 및 아크코사인 값 집합에만 유효합니다.
아크사인(사인 x) = x~에
아크코스(cos x) = x에 .

참고자료:
안에. 브론스타인, K.A. Semendyaev, 엔지니어 및 대학생을 위한 수학 핸드북, "Lan", 2009.

또한보십시오:

기능 그래픽

사인 함수

- 한 무리의 아르 자형모든 실수.

다중 함수 값— 세그먼트 [-1; 1], 즉 사인 함수 - 제한된.

이상한 기능:모든 x ∈에 대해 sin(−x)=−sin x 아르 자형.

이 기능은 주기적입니다.

sin(x+2π k) = sin x, 여기서 k ∈ 지모든 x ∈에 대해 아르 자형.

죄 x = 0 x = π·k, k ∈의 경우 지.

죄 x > 0(양수) 모든 x ∈ (2π·k , π+2π·k ), k ∈ 지.

죄 x< 0 (음수) 모든 x ∈ (π+2π·k , 2π+2π·k ), k ∈ 지.

코사인 함수

기능 영역- 한 무리의 아르 자형모든 실수.

다중 함수 값— 세그먼트 [-1; 1], 즉 코사인 함수 - 제한된.

심지어 기능: cos(−x)=cos x 모든 x ∈에 대해 아르 자형.

이 기능은 주기적입니다.가장 작은 양의 주기가 2π인 경우:

cos(x+2π 케이) = cos x, 여기서 케이 ∈ 지모든 x ∈에 대해 아르 자형.

왜냐하면 x = 0~에
왜냐하면 x > 0모든
왜냐하면 x< 0 모든
기능 증가간격에 따라 -1에서 1까지:
기능이 떨어지네요간격에 따라 -1에서 1까지:
함수 sin x = 1의 가장 큰 값포인트:
함수 sin x = −1의 가장 작은 값포인트:

탄젠트 함수

다중 함수 값— 전체 수직선, 즉 탄젠트 - 함수 제한 없는.

이상한 기능: tg(−x)=−tg x
함수의 그래프는 OY축을 기준으로 대칭입니다.

이 기능은 주기적입니다.가장 작은 양의 기간 π를 갖는 것, 즉 tg(x+π 케이) = 황갈색 x, 케이 ∈ 지정의 영역의 모든 x에 대해.

코탄젠트 함수

다중 함수 값— 전체 수직선, 즉 코탄젠트 - 함수 제한 없는.

이상한 기능:정의 영역의 모든 x에 대해 ctg(−x)=−ctg x.
함수의 그래프는 OY축을 기준으로 대칭입니다.

이 기능은 주기적입니다.가장 작은 양의 기간 π를 갖는 것, 즉 cotg(x+π 케이)=ctg x, 케이 ∈ 지정의 영역의 모든 x에 대해.

아크사인 함수

기능 영역— 세그먼트 [-1; 1]

다중 함수 값- 세그먼트 -π /2 arcsin x π /2, 즉 아크사인 - 함수 제한된.

이상한 기능:모든 x ∈에 대한 arcsin(−x)=−arcsin x 아르 자형.
함수의 그래프는 원점을 기준으로 대칭입니다.

전체 정의 영역에 걸쳐.

아크코사인 함수

기능 영역— 세그먼트 [-1; 1]

다중 함수 값— 세그먼트 0 arccos x π, 즉 아크코사인 - 함수 제한된.

기능이 늘어나고 있어요전체 정의 영역에 걸쳐.

아크탄젠트 함수

기능 영역- 한 무리의 아르 자형모든 실수.

다중 함수 값— 세그먼트 0 π, 즉 아크탄젠트 - 함수 제한된.

이상한 기능:모든 x ∈에 대해 arctg(−x)=−arctg x 아르 자형.
함수의 그래프는 원점을 기준으로 대칭입니다.

기능이 늘어나고 있어요전체 정의 영역에 걸쳐.

아크 탄젠트 기능

기능 영역- 한 무리의 아르 자형모든 실수.

다중 함수 값— 세그먼트 0 π, 즉 역탄젠트 - 함수 제한된.

함수는 짝수도 홀수도 아닙니다.
함수의 그래프는 원점이나 Oy 축을 기준으로 비대칭입니다.

기능이 떨어지네요전체 정의 영역에 걸쳐.

역삼각함수와 관련된 문제는 학교 기말고사나 일부 대학의 입시에서 자주 출제됩니다. 이 주제에 대한 자세한 연구는 선택 수업이나 선택 과목에서만 이루어질 수 있습니다. 제안된 과정은 각 학생의 능력을 최대한 개발하고 수학적 준비를 향상시키도록 고안되었습니다.

이 과정은 10시간 동안 진행됩니다:

1. arcsin x, arccos x, arctg x, arcctg x 기능을 수행합니다(4시간).

2.역삼각함수 연산(4시간)

3. 삼각함수에 대한 역삼각연산 (2시간)

1과(2시간) 주제: 함수 y = arcsin x, y = arccos x, y = arctan x, y = arcctg x.

목표: 이 문제를 완전히 다루었습니다.

1.함수 y = arcsin x.

a) 세그먼트의 함수 y = sin x에 대해 역(단일 값) 함수가 있는데, 이를 아크사인이라고 부르고 다음과 같이 표시하기로 동의했습니다. y = arcsin x. 역함수의 그래프는 I - III 좌표 각도의 이등분선을 기준으로 주 함수의 그래프와 대칭입니다.

함수 y = arcsin x의 속성.

1) 정의 영역: 세그먼트 [-1; 1];

2)변경 영역: 세그먼트;

3)함수 y = arcsin x 홀수: arcsin (-x) = - arcsin x;

4) 함수 y = arcsin x는 단조 증가합니다.

5) 그래프는 원점에서 Ox, Oy 축과 교차합니다.

예 1. a = arcsin을 구합니다. 이 예는 다음과 같이 자세히 공식화될 수 있습니다. from 범위에 있고 사인이 다음과 같은 인수 a를 찾습니다.

해결책. 사인이 와 같은 수많은 인수가 있습니다. 예를 들면 다음과 같습니다. 등. 그러나 우리는 세그먼트에 있는 주장에만 관심이 있습니다. 이것이 주장일 것입니다. 그래서, .

예 2. 찾기 .해결책.예제 1과 같은 방식으로 논쟁하면, .

b) 구강 운동. 찾기: arcsin 1, arcsin (-1), arcsin, arcsin(), arcsin, arcsin(), arcsin, arcsin(), arcsin 0. 답 예: , 왜냐하면 . 표현이 이해가 됩니까? ; 아크신 1.5; ?

c) 오름차순으로 정렬합니다: arcsin, arcsin (-0.3), arcsin 0.9.

II. 함수 y = arccos x, y = arctg x, y = arcctg x (유사).

2과 (2시간) 주제: 역삼각함수와 그래프.

목적: 이 단원에서는 D(y), E(y) 및 필요한 변환을 사용하여 역삼각 함수 그래프를 구성하고 삼각 함수 값을 결정하는 기술을 개발하는 것이 필요합니다.

이 단원에서는 정의 영역, y = arcsin, y = arccos (x-2), y = arctg (tg x), y = arccos 유형의 함수 값 영역 찾기를 포함하는 연습을 완료합니다.

다음 함수의 그래프를 구성해야 합니다. a) y = arcsin 2x; b) y = 2 아크사인 2x; c) y = 아크사인;

d) y = 아크사인; e) y = 아크사인; e) y = 아크사인; g) y = | 아크신 | .

예. y = arccos를 그려봅시다.

숙제에 다음 연습을 포함할 수 있습니다. 함수 그래프 작성: y = arccos, y = 2 arcctg x, y = arccos | 엑스 | .

역함수 그래프

제3과(2시간) 주제:
역삼각함수에 대한 연산.

목표: 역삼각함수에 대한 기본 관계를 도입하여 수학적 지식을 확장합니다(수학 교육에 대한 요구 사항이 증가하는 전문 분야에 입학하는 사람들에게 중요함).

수업 자료.

역삼각 함수에 대한 몇 가지 간단한 삼각 연산: 죄(아크신 x) = x, i xi ? 1; cos(arсcos x) = x, i xi? 1; tg(arctg x)= x , xIR; CTG (arcctg x) = x , x I R.

수업 과정.

a) tg(1.5 + arctg 5) = - ctg(arctg 5) = .

ctg(arctg x) = ; tg(arcctg x) = .

b) cos(+ 아크신 0.6) = - cos(아르크신 0.6). arcsin 0.6 = a, sin a = 0.6이라고 가정합니다.

cos(아크신 x) = ; 죄(아르코스 x) = .

참고: a = arcsin x 가 만족하기 때문에 루트 앞에 "+" 기호를 사용합니다.

c) sin(1.5 + arcsin) 답: ;

d) ctg ( + arctg 3) 답: ;

e) tg( – arcctg 4) 답: .

e) cos(0.5 + arccos). 답변: .

계산하다:

a) 죄 (2 아크탄 5) .

arctan 5 = a라고 하고 sin 2 a = 또는 죄 (2 아크탄 5) = ;

b) cos ( + 2 arcsin 0.8) 답: 0.28.

c) arctg + arctg.

a = arctg, b = arctg,

그러면 tg(a + b) = .

d) 죄(아르크신 + 아크신).

e) 모든 x I [-1; 1] 참 아크사인 x + 아크코사인 x = .

증거:

아크신 x = – 아크코스 x

죄(arcsin x) = 죄( – arccos x)

x = cos(아르코스 x)

스스로 해결하려면: sin(arccos), cos(arcsin), cos(arcsin()), sin(arctg(-3)), tg(arccos), ctg(arccos).

가정용 솔루션의 경우: 1) sin(arcsin 0.6 + arctan 0); 2) 아크신 + 아크신; 3) ctg( – arccos 0.6); 4) cos(2 arcctg 5); 5) 죄(1.5 – 아크신 0.8); 6) arctg 0.5 – arctg 3.

4과 (2시간) 주제: 역삼각함수 연산.

목표: 이 수업에서는 더 복잡한 표현을 변환하는 데 비율을 사용하는 방법을 보여줍니다.

수업 자료.

구두로:

a) 죄(arccos 0.6), cos(arcsin 0.8);

b) tg(arcсtg 5), ctg(arcсtg 5);

c) sin(arctg -3), cos(arcсtg());

d) tg(arccos), ctg(arccos()).

서면:

1) cos(아르크신 + 아크신 + 아크신).

2) cos(arccos 5–arccos 0.8) = cos(arccos 5) cos(arccos 0.8) + sin(arccos 5) sin(arccos 0.8) =

3) tg(-아크신 0.6) = - tg(아크신 0.6) =

독립적인 작업은 자료의 숙달 수준을 식별하는 데 도움이 됩니다.

1) tg(arctg 2 – arctg)

2) cos( - arctan2)

3) 아크신 + 아크코스

1) cos(아르크신 + 아크신)

2) 죄(1.5 - 아크탄 3)

3) arcctg3 – arctg 2

숙제를 위해 다음을 제안할 수 있습니다.

1) ctg(arctg + arctg + arctg); 2) sin 2(arctg 2 – arcctg()); 3) sin(2 arctg + tan( arcsin )); 4) 죄(2 arctg); 5) tg((아르크신))

5과 (2시간) 주제: 삼각 함수에 대한 역삼각 연산.

목표: 삼각 함수에 대한 역삼각 연산에 대한 학생들의 이해를 형성하고 연구 중인 이론의 이해력을 높이는 데 중점을 둡니다.

이 주제를 공부할 때 기억해야 할 이론적 자료의 양은 제한되어 있다고 가정합니다.

수업 자료:

y = arcsin (sin x) 함수를 연구하고 해당 그래프를 그려서 새로운 내용을 학습할 수 있습니다.

3. 각각의 xIR은 yI와 연관되어 있습니다. 즉,<= y <= такое, что sin y = sin x.

4. 함수는 홀수입니다. sin(-x) = - sin x; 아크사인(사인(-x)) = - 아크사인(사인 x).

6. y = arcsin(sin x)을 그래프로 나타내십시오.

가) 0<= x <= имеем y = arcsin(sin x) = x, ибо sin y = sin x и <= y <= .

비)<= x <= получим y = arcsin (sin x) = arcsin ( - x) = - x, ибо

죄 y = 죄 ( – x) = 죄 x , 0<= - x <= .

그래서,

에 y = arcsin (sin x)를 구축한 후 [- ; 0], 이 함수의 이상한 점을 고려하면 다음과 같습니다. 주기성을 사용하여 전체 수직선을 따라 계속합니다.

그런 다음 몇 가지 관계를 적어보세요. 아크신(sin a) = a if<= a <= ; arccos (cos ㅏ ) = 0인 경우<= a <= ; arctg (tg a) = 만약< a < ; arcctg (ctg a) = a , если 0 < a < .

그리고 다음 연습을 수행하십시오.a) arccos(sin 2).답변: 2 - ; b) 아크사인(cos 0.6) 답: - 0.1; c) arctg(tg 2) 답: 2 - ;

d) arcctg(tg 0.6). 답: 0.9; e) arccos (cos (-2)) 답: 2 - ; e) 아크신(sin(-0.6)). 답: - 0.6; g) arctg(tg2) = arctg(tg(2 - )). 답: 2 - ; h) аrcctg(tg 0.6). 답: - 0.6; - 아크탄 x; e) 아르코스 + 아르코스