Excel에서 파생상품을 찾아보세요. 하나의 변수에 대한 함수의 미분을 수치적으로 계산합니다. 함수의 국소 극값 계산

많은 공학적 문제를 해결하려면 도함수 계산이 필요한 경우가 많습니다. 과정을 설명하는 공식이 있으면 어려움이 없습니다. 학교에서 배운 것처럼 공식을 사용하여 파생 상품을 계산하고 다양한 지점에서 파생 상품의 값을 찾으면 그게 전부입니다. 아마도 유일한 어려움은 파생 상품을 계산하는 방법을 기억하는 것입니다. 하지만 데이터 행이 수백 또는 수천 개만 있고 수식이 없다면 어떻게 될까요? 대부분의 경우 이것이 실제로 실제로 일어나는 일입니다. 저는 두 가지 방법을 제안합니다.

첫 번째는 표준을 사용하여 점 집합을 근사화한다는 것입니다. 엑셀 기능즉, 포인트에 가장 잘 맞는 함수를 선택합니다(Excel에서는 다음과 같습니다). 선형 함수, 로그, 지수, 다항식 및 거듭제곱). 두 번째 방법은 수치 미분법으로, 이를 위해서는 공식을 입력하는 능력만 있으면 됩니다.

일반적으로 파생 상품이 무엇인지 기억해 봅시다.

점 x에서 함수 f(x)의 도함수는 후자가 0이 되는 경향이 있을 때 인수의 증분 Δx에 대한 점 x에서의 함수의 증분 Δf 비율의 한계입니다.

따라서 우리는 이 지식을 사용할 것입니다. 우리는 도함수를 계산하기 위해 인수 증분의 매우 작은 값을 취합니다. Δx.

필요한 지점(그리고 우리 지점은 변형 정도 ε의 다른 값임)에서 도함수의 대략적인 값을 찾기 위해 다음을 수행할 수 있습니다. 도함수의 정의를 다시 살펴보고 인수 Δε의 작은 증분(즉, 테스트 중에 기록된 변형 정도의 작은 증분)을 사용할 때 점 x에서 실제 도함수의 값을 대체할 수 있는지 살펴보겠습니다. 0 (f'(x 0)=dy/dx (x 0))을 Δy/Δx=(f (x 0 + Δx) – f (x 0))/Δx 비율로 변환합니다.

그래서 이런 일이 일어납니다:

f'(x 0) ≒(f (x 0 + Δx) – f (x 0))/Δx (1)

각 점에서 이 도함수를 계산하기 위해 두 개의 이웃 점을 사용하여 계산을 수행합니다. 첫 번째 점은 수평 축을 따라 좌표 ε 0을 갖고 두 번째 점은 x 0 + Δx 좌표를 사용합니다. 하나는 우리가 계산하는 미분이고 오른쪽은 하나입니다. 이렇게 계산된 미분은 다음과 같습니다. 단계적으로 오른쪽(앞으로)으로 미분한 차이Δ 엑스.

우리는 다른 두 개의 인접한 점, 즉 x 0 - Δx 및 x 0, 즉 우리가 관심을 갖는 점과 왼쪽에 있는 점을 취하여 그 반대를 수행할 수 있습니다. 우리는 계산 공식을 얻습니다. 단계를 사용하여 왼쪽(뒤로)의 차이 미분 -Δ 엑스.

f'(x 0) ≒(f (x 0) – f (x 0 – Δx))/Δx (2)

이전 수식은 "왼쪽"과 "오른쪽"이었지만 다음을 계산할 수 있는 또 다른 수식이 있습니다. 중심차분미분 2 Δx 간격으로 수치 차별화에 가장 자주 사용됩니다.

f'(x 0) ≒(f (x 0 + Δx) – f (x 0 – Δx))/2Δx (3)

공식을 확인하려면 알려진 함수 y=x 3 을 사용한 간단한 예를 고려해 보세요. x와 y라는 두 개의 열이 있는 Excel에서 테이블을 작성한 다음 사용 가능한 점을 사용하여 그래프를 작성해 보겠습니다.

함수 y=x 3의 미분은 y=3x 2이며, 그 그래프는 다음과 같습니다. 포물선은 공식을 사용하여 얻어야 합니다.

점 x에서 중심차분 도함수 값을 계산해 봅시다. 이를 위해. 표의 두 번째 행 셀에 공식 (3)을 입력합니다. 다음 공식엑셀에서:

이제 기존 x 값과 중앙 차분 도함수에서 얻은 값을 사용하여 그래프를 작성합니다.

그리고 여기 우리의 작은 빨간 포물선이 있습니다! 그래서 공식이 작동합니다!

이제 기사 시작 부분에서 이야기했던 특정 엔지니어링 문제, 즉 변형이 증가함에 따라 dσ/dε의 변화를 찾는 문제로 넘어갈 수 있습니다. 응력-변형 곡선 σ=f(ε)의 1차 도함수를 외국 문헌에서는 "변형 경화율"이라고 하고, 우리 문헌에서는 "경화 계수"라고 합니다. 따라서 테스트 결과 두 개의 열로 구성된 데이터 배열이 있습니다. 하나는 변형률 값 ε, 다른 하나는 응력 값 σ(MPa)입니다. 20°C에서 강철 1035 또는 40G(강 유사 표 참조)의 냉간 변형을 가정해 보겠습니다.

씨	망	피	에스	시	N
0.36	0.69	0.025	0.032	0.27	0.004

다음은 "진응력 - 실제 변형률" 좌표 σ-ε의 곡선입니다.

이전 예제와 동일한 방식으로 진행하여 다음 곡선을 얻습니다.

이는 변형 중 경화 속도의 변화입니다. 그것으로 무엇을 해야할지 별도의 질문입니다.

수치적 근사 방법을 통해 주어진 지점에서 함수의 도함수를 유한 차분 공식을 사용하여 계산할 수 있는 것으로 알려져 있습니다. 유한 차분으로 작성된 점 x k에서 한 변수의 함수의 도함수를 계산하는 표현식은 다음과 같습니다.

여기서 Δх는 매우 작은 유한 값입니다.

Δх의 충분히 작은 값의 경우 허용 가능한 정확도로 한 지점에서 함수의 미분 값을 얻는 것이 가능합니다. MS Excel에서 미분을 계산하기 위해 위 공식을 사용합니다. 예제를 이용하여 도함수를 계산하는 기술을 살펴보겠습니다..

예제 1.18 x=3 점에서 함수 y = 2x 3 + x 2 의 도함수를 구합니다. x=3 지점에서 축소된 함수의 도함수가 계산됩니다. 분석 방법, 은 60과 같습니다. 수치 방법을 사용하여 계산하여 얻은 결과를 확인하려면 이 값이 필요합니다.

테이블 프로세서에서 미분을 계산하는 문제는 두 가지 방법으로 해결할 수 있습니다.

첫 번째 방법 솔루션

주어진 함수 관계의 우변에 대한 수식을 그림과 같이 워크시트의 셀(예: B2 셀)에 입력하고 x 값이 위치할 셀(예: A2)을 참조합니다.

2*A2 ^ 3+A2 ^ 2.

충분히 작은 크기의 x = 3 점 근처를 설정해 보겠습니다. 예를 들어 왼쪽 값은 x k = 2.9999999, 오른쪽 값은 x k +1 = 3.00000001 이고 이 값을 셀에 입력합니다. 각각 A2와 A3입니다. 셀 C2에 도함수 =(B3-B2)/(A3-A2)를 계산하는 공식을 입력합니다.

계산 결과 x=3 지점에서 주어진 함수의 도함수의 대략적인 값(값은 60)이 셀 C2에 표시되며 이는 분석적으로 얻은 결과에 해당합니다(그림 1.24). .

두 번째 방법 솔루션

주어진 인수 값 3을 워크시트의 A2 셀에 입력하고, B2 셀에는 상당히 작은 인수 증분(1E - 9)을 표시하고, C2 셀에는 다음을 계산하는 수식을 입력합니다. 유도체

=(2*(A2+B2) ^ 3+(A2+B2) ^ 2-(2*A2 ^ 3+A2 ^ 2))/B2.

키를 누른 후 계산 결과는 60.0000입니다.

보시다시피 얻은 결과는 첫 번째 방법과 동일합니다. 주어진 인수 값에 대한 함수의 미분 값 테이블을 작성해야 하는 경우 주어진 두 번째 방법이 더 바람직합니다.

함수의 국소 극값 계산

함수 Y=f(x)는 이 지점에서 함수의 도함수가 0과 같을 경우 값 x = x k에서 극값을 갖는다는 것을 기억하세요.

함수 f(x)가 구간 [a, b]에서 연속이고 이 구간 내에 극값이 있는 경우 Excel 추가 기능인 해 찾기를 사용하여 찾을 수 있습니다.

예제를 사용하여 함수의 극값을 찾는 순서를 고려해 보겠습니다.

예제 1.19연속 함수 y = x 2 + x + 2가 제공됩니다. 세그먼트 [-2; 2].

해결책

워크시트의 A3 셀에 해당 세그먼트에 속하는 숫자를 입력하세요. 이 셀에는 x 값이 포함됩니다.

셀 B3에 주어진 기능적 의존성을 결정하는 수식을 입력합니다. 이 수식의 변수 x 대신 A3 셀에 대한 참조(=A3^2+A3+2)가 있어야 합니다.

솔루션에 대한 서비스/검색 메뉴 명령을 실행해 보겠습니다.

열리는 솔루션 검색 대화 상자에서 대상 셀 설정 필드에 수식(B3)이 포함된 셀의 주소를 지정하고 최소값 스위치를 설정한 다음 셀 변경 필드에 수식을 포함하는 셀의 주소를 지정합니다. 변수 x-A3을 포함합니다.

해당 필드에 A3 > = - 2 및 A3라는 두 가지 제한 사항을 추가해 보겠습니다.<=2 (рис. 1.25).

옵션 버튼을 클릭하면 열리는 대화 상자에서 솔루션 검색 매개변수가 상대 계산 오류와 최대 반복 횟수를 설정합니다.

실행 버튼을 클릭하세요. 셀 A3에서는 함수의 인수 x 값이 계산되어 최소값을 취하고 셀 B3에서는 함수의 최소값을 사용합니다.

셀 A3의 계산 결과, 함수가 가장 작은 값인 -0.5를 취하고 셀 B3에서 최소값이 1.75인 독립 변수의 값을 얻습니다.

주어진 함수의 그래프를 그려서 방정식의 해가 발견되고 올바른지 확인해 봅시다.

메모.특별한 경우, 고려된 기술을 사용하여 국소 극값을 찾을 때 극값이 아닌 단순히 인수의 주어진 변화 범위에서 함수의 최소 또는 최대인 값을 얻는 것이 가능합니다.

따라서 추가적인 검증이 필요합니다. 발견된 지점에서 함수의 미분을 계산합니다.

주어진 점에서 함수의 도함수를 수치적으로 계산하는 위의 기술을 사용하여 발견된 점 x = -0.5가 함수 y = x 2 + x + 2의 극점인지 확인합니다. 해법은 다음과 같습니다. 수치.

보시다시피, 찾은 지점의 도함수는 0과 같으므로 함수의 찾은 값은 극값입니다.

예 1.20[-1; 범위에서 인수 값을 찾아야합니다. 1], 이에 대해 함수 y = x 2 + x + 2는 극값을 갖습니다.

해결책

주어진 함수를 0.2 단위로 표로 작성합니다.

위의 도함수 계산 방법 중 두 번째 방법을 사용하여 함수 y = f(x + dx)의 값을 계산합니다.

인수의 각 테이블 값에 대한 미분 값을 계산해 보겠습니다.

얻은 함수 파생 ​​값을 점에서 분석하면 인수 값 간격(-0.6;-0.4)에서 파생 값의 부호가 변경되므로 이 간격에 극점이 있음을 알 수 있습니다. 또한 도함수의 부호가 마이너스에서 플러스로 변경되므로 극단점이 함수의 최소값이라는 점에 유의하세요.

도구 사용 매개변수 선택또는 찾다방정식 Y(x) = 0을 풀기 위한 해

x에 대해 원래 함수가 추가 값(-0.5)을 취하는 인수의 정확한 값을 계산합니다(그림 1.26).

연구중인 함수의 도함수 결과 값 가리키다 x = -0.5는 0이므로 이 시점에서 함수는 극값을 갖습니다.

예 3: 자동 필터를 사용하여 성이 C로 시작하는 그룹 번호 5433에서 공부하는 학생을 선택합니다.

시퀀싱

1. 데이터베이스(그림 30)를 시트 3에 복사합니다.

2. 성.

3. 목록에서 항목을 선택하세요.텍스트 필터 → 맞춤 필터. 나타나는 창에서 맞춤 자동 필터로 시작하는 선택 기준을 선택하고 반대편 필드에 원하는 문자를 입력합니다(레이아웃이 러시아어인지 확인). 확인을 클릭하세요.

4. 열의 드롭다운 목록 열기그룹번호

5. 원하는 번호를 선택하세요.

고급 필터를 사용하여 데이터베이스 레코드 필터링

고급 필터사용자 정의 자동 필터에 비해 더 복잡한 기준을 사용하여 문자열을 검색할 수 있습니다. 고급 필터는 다양한 기준을 사용하여 데이터를 필터링합니다.

고급 필터를 사용하면 조건이 설정된 컬럼의 이름이 소스 테이블 아래에 복사됩니다. 선택 기준은 열 이름 아래에 입력됩니다. 필터를 적용한 후에는 지정된 기준에 맞는 행만 화면에 표시될 수 있으며, 필터링된 데이터는 다른 시트나 동일한 워크시트의 다른 영역에 복사될 수 있습니다.

예 4: 그룹 번호 5433에서 평균 점수가 4.5 이상인 모든 학생을 선택합니다.

시퀀싱

1. 데이터베이스(그림 30)를 시트 4에 복사합니다.

2. 열 이름 복사그룹 번호 및 평균 점수

원래 테이블 아래 영역으로 이동합니다. 열 이름 아래에 필요한 선택 기준을 입력합니다(그림 32).

쌀. 32. 고급 필터가 포함된 Excel 창

2. 정렬 도구 모음의 데이터 탭에서

필터를 선택하고 고급을 선택하세요. 데이터 범위가 표시된 대화 상자가 나타납니다 (그림 33).

쌀. 33. 고급 필터 창

입력 필드에서 원래 범위소스 데이터베이스를 포함하는 간격을 지정합니다. 우리의 경우 A1에서 I9까지의 셀 범위가 강조 표시됩니다.

입력 필드에서 조건의 범위필수 기준(C12:D13)이 포함된 워크시트의 셀 범위가 강조 표시됩니다.

입력 필드에서 결과를 범위에 넣습니다. 기준을 만족하는 라인이 복사되는 간격을 나타냅니다.

테리엄. 우리의 경우 기준 영역 아래의 셀이 표시됩니다(예: A16). 이 필드는 라디오 버튼을 선택한 경우에만 사용할 수 있습니다. 결과를 다른 위치에 복사.

체크박스 고유한 항목만반복되지 않는 줄만 표시하도록 설계되었습니다.

필터링 기준을 만족하는 결과 테이블은 그림 1과 같다. 34.

쌀. 34. 필터링 결과가 표시된 Excel 창

1. 자신만의 데이터베이스를 생성하세요. 레코드 개수는 15개 이상, 열 개수는 6개 이상이어야 합니다. 예를 들어, 데이터베이스클라이언트 목록(그림 35)

2. 데이터베이스에 세 개의 자동 필터를 적용합니다(별도의 시트에). 기준 수는 2개 이상이어야 합니다.

3. 데이터베이스 레코드에 세 가지 고급 필터를 적용합니다. 각 필터에는 최소한 두 가지 기준이 포함되어야 합니다. 원본 표 아래 한 시트에 모든 고급 필터를 배치합니다.

쌀. 35. 데이터베이스 클라이언트 목록이 포함된 Excel 창

실험실 작업 번호 5

수치미분과 단순함수분석

작업 목적: 함수를 극한까지 조사하고 임계점을 결정하는 방법을 배웁니다.

수학 과정에서 우리는 일반적으로 미분 공식이 다음과 같다는 것을 알고 있습니다.

f "(x)= 임
Δx0

여기서 Δx는 인수의 증분입니다. x는 0에 가까워지는 숫자입니다. 도함수를 사용하면 함수의 임계점(최소값, 최대값 또는 변곡점)을 결정할 수 있습니다. 어떤 x 값에서 함수의 도함수 값이 0과 같다면 이 x 값에서 함수는 임계점을 갖습니다.

예 1: 함수 f x = x 2 + 2x 3은 x 5;5 구간에 제공됩니다. 함수 f(x) 의 동작을 조사합니다.

시퀀싱

1. Δx = 0.00001로 둡니다. A1 셀에 šDx=Ÿ를 입력합니다(그림 36). 문자 D를 선택하고 선택한 문자를 마우스 오른쪽 버튼으로 클릭한 다음 셀 서식을 선택합니다. 글꼴 탭에서 기호 글꼴을 선택합니다. 문자 D는 그리스 문자 ѓў로 변경됩니다. 셀 정렬은 오른쪽으로 수행할 수 있습니다. B1 셀에 0.00001 값을 입력합니다.

2. A2~F2 셀에 그림과 같이 테이블 헤더를 생성합니다. 36.

3. 세 번째 행부터 시작하는 A열에는 x 값이 포함됩니다. A3부터 A13까지의 셀에 -5부터 5까지의 값을 입력합니다.

4. B3 셀에 =A3^2+2*A3-3 수식을 쓰고 이를 최종 값 x(13번째 줄까지)까지 늘립니다.

5. 함수의 도함수를 결정하고 주어진 구간에서 그 값을 계산하려면 중간체를 만드는 것이 필요합니다

정확한 계산. C3 셀에 인수 x와 해당 증분량 Δx의 합계를 구하는 수식을 입력합니다. 수식은 =A3+$B$1과 같습니다. 해당 값을 인수 x 의 최종 값으로 확장합니다.

쌀. 36. 함수의 동작을 연구하는 Excel 창

6. 셀 D3에 =C3^2+2*C3-3이라는 수식을 작성합니다. 이 공식은 인수 x Δx로부터 함수 f의 값을 계산합니다. 결과 값을 인수의 최종 값으로 확장합니다.

7. 셀 E3에 f x 값이 B3에 있고 f x + Δx 값이 D3에 있다는 점을 고려하여 미분 공식 (1)을 작성합니다.

수식은 =(D3-B3)/$B$1과 같습니다.

8. 주어진 간격(증가, 감소 또는 임계점 있음)에서 함수의 동작을 결정합니다. 이렇게 하려면 F3 셀에 수식을 독립적으로 작성하여 함수의 동작을 결정해야 합니다. 수식에는 세 가지 조건이 포함됩니다.

		f"(엑스)< 0	– 기능이 감소합니다.
		f"(x) > 0	– 기능이 증가합니다.
		f" (x)= 0	– 중요한 점이 있습니다*.

9. f x 및 f"(x) 값을 기반으로 그래프를 그립니다. 그래프(그림 37)는 함수의 도함수 값이 0이면 이 시점에서 함수가 임계점을 가짐을 보여줍니다. .

* 계산 오류가 너무 커서 f"(x)의 값이 0이 아닐 수도 있습니다. 하지만 이 상황을 설명하는 것은 여전히 ​​필요합니다.

쌀. 37. 함수의 동작을 연구하기 위한 다이어그램

독립적인 작업을 위한 작업

함수 f(x)는 구간 x에 제공됩니다. 함수 f(x) 의 동작을 조사합니다. 그래프를 작성하세요.

			2x2						X[4;4]
								X[5;5]
			2x+2
	에프(엑스)= x3		3x2		2 , x [ 2 ;4 ]
	에프(엑스)=엑스					X[2;3]
				x 2 + 7

실험실 작업 번호 6

함수 그래프에 대한 접선 구성

작업 목적: x 0 지점에서 함수 그래프에 대한 접선 방정식의 값 계산을 마스터합니다.

한 점에서 함수 y = f(x)의 그래프에 대한 접선 방정식

예제 1: 함수 y = x 2 + 2x 3은 구간 x [ 5; 5 ] . x 0 = 1 지점에서 이 함수의 그래프에 대한 접선을 구성합니다.

시퀀싱:

1. 이 기능을 수치적으로 차별화합니다(실험실 작업 번호 5 참조). 소스 데이터 테이블은 그림 1에 나와 있습니다. 38.

쌀. 38. 초기 데이터 표

2. 표에서 x, x 0, f(x 0) 및 f"(x 0)의 위치를 ​​결정합니다. 분명히 x는 다음의 값이 됩니다.

A 열, 세 번째 줄부터 시작합니다(그림 38). x 0 = 1이면 셀 A9는 x 0으로 작동합니다. 따라서 x 0 지점의 함수 f 값은 셀 B9에 있고 f"(x 0)의 값은

– 셀 E9에 있습니다.

3. F열에서는 함수 f(x)의 그래프에 대한 접선 방정식이 계산됩니다. 방정식 (1)을 계산할 때 x 0, f(x 0) 및 f"(x 0)의 값이 변경되지 않는 것이 필요합니다. 따라서 서면에서

A9, B9 및 E9 셀의 주소를 지정하려면 이러한 셀에 대한 절대 참조를 사용해야 합니다. 셀은 š$Ÿ 기호를 사용하여 고정됩니다. 셀은 다음과 같습니다: $A$9 , $B$9 및 $E$9 .

쌀. 39. 함수 f(x)의 그래프와 x=1 지점에서 그래프에 대한 접선

독립적인 작업을 위한 작업

함수 f(x)는 구간 x에서 정의됩니다. 탄젠트 방정식을 계산합니다. 주어진 점에서 함수 그래프에 대한 접선을 구성합니다.

			2x2						X [ 4 ;4 ] , x0 = 1
								X [ 5 ;5 ] , x0
			2x+2
	에프(엑스)= x3		3x2		2 , x [ 2 ;4 ] , x0 = 0
	에프(엑스)=엑스					X [ 2 ;3 ] , x0
				x 2 + 7

1. Vedeneeva, E. A. 함수 및 수식 Excel 2007. 사용자 라이브러리 / E. A. Vedeneeva. – 상트페테르부르크: Peter, 2008. – 384p.

2. Sviridova, M. Yu. Excel 스프레드시트 / M. Yu. – M.: 학계, 2008. – 144p.

3. Serogodsky, V.V. 그래프, 계산 및 데이터 분석

V Excel 2007 / V. V. Serogodsky, R. G. Prokdi, D. A. Kozlov, A. Yu. – M.: 과학과 기술, 2009. – 336p.

셀, 행 및 열 필드 요소의 서식을 지정하는 것 외에도 여러 Excel 워크시트를 사용하는 것이 유용한 경우가 많습니다. 책의 정보를 체계화하고 검색하려면 의미 내용을 반영하여 시트 이름에 적절한 이름을 지정하는 것이 편리합니다. 예를 들어, "초기 데이터", "계산 결과", "그래프" 등을 사용하면 편리합니다. 상황에 맞는 메뉴. 시트 탭을 마우스 오른쪽 버튼으로 클릭하고 시트 이름 바꾸기를 클릭합니다. .

하나 이상의 새 시트를 추가하려면 삽입 메뉴에서 시트 명령을 선택합니다. 한 번에 여러 장을 삽입하려면 을 길게 눌러 필요한 매수의 탭을 선택해야 합니다. , 삽입 메뉴에서 시트 명령을 실행합니다. 시트를 제거하는 반대 작업도 유사하게 수행됩니다. 을 통해 상황에 맞는 메뉴, 여기서 삭제 명령이 선택됩니다.

시트 이동에 유용한 작업은 마우스 왼쪽 버튼으로 시트 탭을 잡고 원하는 위치로 이동하는 것입니다. 누르면 을 클릭하면 시트 사본이 이동되고 시트 이름에 숫자 2가 추가됩니다.

작업 7. 전체 셀 B2의 형식을 다음으로 변경합니다: 글꼴 – Arial 11; 위치 - 중앙, 하단 가장자리를 따라; 한 줄에 한 단어씩; 숫자 형식 - "0.00"; 셀 테두리 – 이중선

2.3. 내장된 기능

Excel에는 계산과 데이터 처리를 단순화하는 150개 이상의 기본 제공 함수가 포함되어 있습니다. 함수가 포함된 셀 내용의 예: =B2+SIN(C7). 여기서 B2와 C7은 숫자가 포함된 셀의 주소이고 SIN()은 함수의 이름입니다. 가장 많이 사용되는 Excel 함수:

SQRT(25) = 5 – 숫자(25)의 제곱근을 계산합니다. RADIANS(30) = 0.5 – 30도를 라디안으로 변환합니다. INTEGER(8,7) = 8 – 가장 가까운 낮은 정수로 반올림합니다. REMAINDER(-3,2 ) = 1 – 숫자 (-3)을 다음과 같이 나눌 때 나머지가 남습니다.

제수(2). 결과에는 제수 기호가 표시됩니다. IF(E4>0.2;"추가";"오류")– 셀 E4의 숫자가 0.2보다 작은 경우,

그러면 Excel에서는 "extra"(true)를 반환하고, 그렇지 않으면 "error"(false)를 반환합니다.

수식에서 함수는 서로 중첩될 수 있지만 8회를 초과할 수 없습니다.

함수를 사용할 때 가장 중요한 것은 함수 자체와 인수를 정의하는 것입니다. 인수는 일반적으로 정보가 기록되는 셀의 주소를 지정합니다.

원하는 셀에 텍스트(아이콘, 숫자 등)를 입력하여 기능을 정의하거나 기능 마법사. 여기에서는 검색의 용이성을 위해 모든 기능을 수학, 통계, 논리 등의 범주로 나눕니다. 각 카테고리 내에서는 알파벳순으로 정렬됩니다.

기능 마법사 메뉴 명령으로 호출됨삽입, 기능

또는 아이콘(f x )을 누르세요. 나타나는 함수 마법사의 첫 번째 창(그림 4)에서 특정 함수의 범주와 이름을 결정하고 . 두 번째 창(그림 5)에서는 다음을 정의해야 합니다. 함수 인수. 이렇게 하려면 첫 번째 셀 범위(1번) 오른쪽에 있는 버튼을 클릭하여 창을 "닫습니다". 계산을 수행할 셀을 선택합니다. 그런 다음 선택한 셀이 첫 번째 범위의 창에 입력됩니다. 다시 오른쪽 키를 누르세요. 인수가 여러 셀 범위인 경우 작업을 반복합니다. 그런 다음 작업을 완료하려면 . 원본 셀에는 계산 결과가 포함됩니다.

쌀. 4. 기능 마법사 창 보기

쌀. 5. 선택한 함수의 인수를 지정하는 창

작업 8. 일련의 숫자의 평균값 찾기: 2.5; 2.9; 1.8; 3.4; 6.1;

1,0; 4,4.

해결책 . C2:C8과 같이 셀에 숫자를 입력합니다. =AVERAGE(C2:C8) 함수를 쓰는 C9 셀을 선택하고 , C9에서는 표시된 숫자의 평균값인 3.15를 얻습니다.

작업 9. 조건부 논리 IF 함수를 사용하여 홀수 이름을 "가을"로, 짝수 이름을 "봄"으로 바꾸는 수식을 만듭니다.

해결책 . 초기 데이터(예: A와 같은 짝수)를 입력하기 위한 열을 선택합니다. 셀 B3에 수식을 씁니다. =IF(REM(A3,2)=0,"가중치","축"). B 열을 따라 B3 셀을 복사하면 A 열에 쓰여진 숫자의 분석 결과를 얻습니다. 문제 해결 결과는 그림 1에 제시되어 있다. 6.

쌀. 6. 9번 문제에 대한 해결책

문제 10. 함수 값 계산 y = x3 + sinx – 4ex(x = 1.58).

해결책 . A2 – x, B2 – y 셀에 데이터를 배치하겠습니다. 문제에 대한 해결책은 그림 7의 왼쪽에 숫자 형식으로, 오른쪽에 수식 형식으로 표시됩니다. 이 문제를 해결할 때 인수를 입력하기 위해 SIN 및 지수 함수를 호출하는 데 주의해야 합니다(그림 8 참조).

그림 7. 10번 문제에 대한 해결책

그림 8. 함수 인수 SIN 및 EXP 입력 창

문제 11. Excel에서 문제의 수학적 모델을 만들어 함수 y= 1/ ((x- 3) · (x+ 4))를 계산합니다. 값 x= 3 및 y= -4는 "정의되지 않음", 숫자 값을 표시합니다. ​기능의 – 다른 경우에는 .

문제 12. Excel에서 문제의 수학적 모델을 만듭니다: 12.1. 근이 있는 계산의 경우

a) √ x3 y2 z / √ x z ; b) (z·√z)2; c) 3 √ x2 · 3 √ x ; d) √ 5 x5 3-1 / √ 20 x 3-1

12.2. 기하학적 계산의 경우 a) x가 다리이고 y가 빗변인 경우 직각삼각형의 각도를 결정합니다.

b) 다음 공식을 사용하여 직교 XYZ 좌표계에서 두 점 사이의 거리를 결정합니다.

d = (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 + (z2 − z1 )2

c) 공식을 사용하여 점 (x 0 ,y 0 )에서 직선 a x + b y + c = 0까지의 거리를 결정합니다.

d = a x0 +b y0 +c / √ (a2 +b2 )

d) 공식을 사용하여 꼭지점 좌표로부터 삼각형의 면적을 결정합니다.

S = 1 2 [ (x1 − x3 )(y2 − y3 ) − (x2 − x3 )(y1 − y3 )]

3. 수식과 함수를 사용하여 문제 해결

실제로 Excel 수식과 함수를 사용하여 성공적으로 해결할 수 있는 문제가 많이 있습니다. 실제로 스프레드시트를 사용하여 가장 자주 해결되는 문제인 선형 방정식 및 해당 시스템, 도함수 수치 계산 및 정적분을 고려해 보겠습니다.

함수 y = f(x)의 도함수는 인수의 해당 증분 Δx에 대한 함수 증분 Δy의 비율입니다.

Δx→ 0

y = f(x + x) − f(x)

문제 .13. x=3 점에서 함수 y = 2x 3 + x 2 의 도함수를 구합니다.

해결책. 분석적 방법으로 계산한 미분은 60입니다. 공식 (1)을 사용하여 Excel에서 미분을 계산합니다. 이를 위해 우리는 다음과 같은 일련의 작업을 수행합니다.

· 열을 지정해 봅시다: X – 함수 인수, Y – 함수 값, Y ` – 함수 파생(그림 9).

· 점 근처에서 함수를 도표화합니다. x = 3이고 작은 단계(예: 0.001)를 사용하면 X 열에 결과를 입력합니다.

쌀. 9. 함수의 미분 계산 표

· B2 셀에 =2*A2^3+A2^2 함수를 계산하는 수식을 입력합니다.

· 수식을 라인에 복사해 봅시다 7, 인수 탭 정지에서 함수 값을 얻습니다.

· C2 셀에 도함수 =(B3-B2)/ (A3-A2) 계산 공식을 입력합니다.

· 수식을 라인에 복사해 봅시다 6, 우리는 인수의 표 작성 지점에서 파생 상품의 값을 얻습니다.

값 x = 3의 경우 함수의 미분은 값 60.019와 같으며 이는 분석적으로 계산된 값에 가깝습니다.

사다리꼴 방법. 사다리꼴법에서는 적분 영역을 일정 단계의 세그먼트로 나누고, 각 세그먼트의 함수 그래프 아래 면적을 사다리꼴의 면적과 동일하게 간주합니다. 그러면 계산 공식은 다음과 같은 형식을 취합니다.

S N = ∫ f (u) du ∫ h N ∑ − 1 [ f (a + h i) + f (a + h (i + 1)) ] (2),
	2 나는 = 0

여기서 h= (b- a)/ N – 파티션 단계; N – 분할 지점 수.

정확도를 높이기 위해 분할 지점 수를 두 배로 늘리고 적분을 다시 계산합니다. 필요한 정확도가 달성되면 초기 간격의 조각화가 중지됩니다.

일체형으로 다음 작업을 수행합니다.

– N= 5를 선택합니다. 셀 F2에서 h-파티션 단계를 계산합니다(그림 10).

쌀. 10. 정적분의 계산

· 첫 번째 열에서는그리고 우리는 간격 i의 수를 적습니다.

· 셀 B2에 공식 =3*(2+F2*A2)^2를 써서 공식 (2)의 첫 번째 항을 계산합니다.

· C2 셀에 =3*(2+F2*(A2+1))^2 수식을 작성하여 두 번째 항을 계산합니다.

· 수식을 사용하여 셀을 "늘리기"열 아래로 4행;

· C7 셀에 수식을 작성하고 항의 합을 계산합니다.

· C8 셀에 공식을 작성하고 원하는 정적분 값 19.02(분석적으로 얻은 SN 값)를 SN으로 계산합니다.

19).

일. 15. 정적분을 계산합니다.

1. Y = ∫ 2 x d x	2. Y = ∫ 2 x3 dx
	−1

2π

Y = ∫ 2sin(x )dx

Y = ∫ x2dx

−2

Y = ∫

Y = ∫

3x − 2

(2x + 1) 3

x+3

Y = ∫코사인

Y = ∫

x 2 + 4

3.2. 선형 방정식 풀기

선형 방정식 Excel에서 함수를 사용하여 해결할 수 있습니다. 매개변수 선택.매개변수를 선택하면 해당 셀에 따른 수식이 지정된 값을 반환할 때까지 영향을 주는 셀(매개변수)의 값이 변경됩니다.

미지수가 하나인 선형 방정식을 푸는 간단한 예를 사용하여 매개변수를 찾는 절차를 고려해 보겠습니다.

문제 16. 방정식 10 x - 10 / x = 15 을 풉니다.

해결책. 매개 변수 x의 원하는 값에 대해 셀 A3을 선택합니다. 이 셀에 함수 정의 영역에 있는 숫자를 입력해 보겠습니다(이 예에서는 이 숫자가 0이 될 수 없습니다). 3이 되도록 하세요. 이 값은 초기값으로 사용됩니다. 예를 들어 B3 셀에 위의 방정식에 따라 =10*A3-10/A3 수식을 입력합니다. 이 공식을 사용한 일련의 계산 결과, 원하는 매개변수 값이 선택됩니다. 이제 도구 메뉴에서 명령을 선택합니다. 매개변수 선택,매개변수 검색 기능을 시작하겠습니다(그림 11, a). 검색 매개변수를 입력해 보겠습니다.

· 현장에서 셀로 설정수식이 포함된 $B$3 셀에 대한 절대 참조를 입력해 보겠습니다.

· 값 필드에 원하는 결과 15를 입력합니다.

· 현장에서 셀 값 변경선택한 값이 포함된 셀 A3에 대한 링크를 입력하고 .

기능이 완료되면 매개변수 선택화면에 창이 나타납니다 매개변수 선택 결과, 검색 결과가 표시됩니다. 발견된 매개변수 2.000025는 예약된 셀 A3에 표시됩니다.

우리의 예에서 방정식에는 두 개의 해가 있지만 하나의 매개변수만 선택되었다는 사실에 주의하십시오. 이는 필수 값이 반환될 때까지 매개변수만 수정되기 때문에 발생합니다. 이렇게 찾은 첫 번째 인수는 검색 결과로 우리에게 반환됩니다. 만약에

예제에서 초기 값을 -3으로 지정하면 방정식의 두 번째 해인 -0.5를 찾을 수 있습니다.

그림 11. 방정식의 해법: a - 데이터 입력, b - 해법 결과

	문제 17. 방정식 풀기
	5x/ 9- 8= 747x/ 12		(2x+ 2)/ 0.5= 6x
	0.5 (2x- 1)+x/ 3= 1/6		7(4x-6)+ 3(7-8x)= 1
	선형 시스템	방정식		다양한 방법으로 해결 가능

방법: 행렬을 사용한 방정식의 대체, 덧셈 및 뺄셈. 행렬을 사용하여 표준 선형 방정식 시스템(3)을 푸는 방법을 고려해 보겠습니다.

a1 x + a2 y + b1 = 0

a3 x + a4 y + b2 =0

행렬 표현의 선형 방정식 시스템은 다음 형식으로 작성되는 것으로 알려져 있습니다.

여기서 A는 계수 행렬이고, X는 벡터(미지수 열)입니다.

B는 자유항의 열 벡터입니다. 그러한 시스템에 대한 솔루션

형식으로 작성

X = A-1B,

여기서 A -1은 A의 역행렬입니다. 이는 X에 대한 행렬 방정식을 풀 때 단위 행렬 E가 유지되어야 한다는 사실에서 비롯됩니다. 방정식 AX = B의 왼쪽 양쪽에 A -1을 곱하면 선형 방정식 시스템에 대한 해를 얻습니다.

문제 18. 선형 연립방정식 풀기

해결책. 주어진 선형 방정식 시스템의 경우 해당 행렬과 열 벡터의 값은 다음과 같은 형식을 갖습니다.

문제를 해결하려면 다음 단계를 수행해 보겠습니다.

· A2:B3에 행렬 A의 요소를 씁니다.

· 예를 들어, 셀 블록을 선택해 보겠습니다. C2:C3에 행렬 B의 요소를 씁니다.

· 예를 들어, 셀 블록을 선택해 보겠습니다. D2:D3은 방정식 시스템을 푼 결과를 배치합니다.

· D2 셀에 = MULP(MOBR(A2:B3),C2:C3) 수식을 입력합니다.

수학 함수 섹션의 Excel 라이브러리에는 행렬에 대한 연산을 수행하는 함수가 포함되어 있습니다. 특히 다음과 같은 기능이 있습니다.

이러한 함수의 매개변수는 행렬 값이나 범위 이름 및 표현식을 포함하는 배열에 대한 주소 링크일 수 있습니다.

예를 들어 MOBR(A1: B2) 또는 MOPR(matrix_1)입니다.

· 키 조합을 눌러 배열에 대한 작업이 수행되고 있음을 Excel에 알려 봅시다 + + , 셀 D2 및 D3에서 결과는 x = 2.16667입니다. y= - 1.33333.

4. 최적화 문제 해결

많은 예측, 설계 및 제조 문제가 광범위한 최적화 문제로 축소될 수 있습니다. 이러한 작업은 예를 들어 다음과 같습니다. 해당 상품 생산을 위한 원자재를 제한하여 상품 생산량을 극대화합니다. 최저 비용으로 최상의 결과를 달성하기 위해 인력을 구성합니다. 물품 운송 비용 최소화; 합금의 특정 품질 달성; 최대 부피를 달성하기 위한 재료 비용을 고려하여 특정 용기의 크기를 결정합니다. 다양한

확률 변수와 관련된 문제, 최적의 자원 할당 및 최적 설계의 기타 문제.

이러한 유형의 문제는 도구 메뉴에 있는 솔루션 검색 도구를 사용하여 EXCEL에서 해결할 수 있습니다. 이러한 문제의 공식화는 여러 가지 미지수와 해법에 대한 일련의 제한 사항이 포함된 방정식 시스템이 될 수 있습니다. 따라서 문제 해결은 적절한 모델을 구축하는 것부터 시작되어야 합니다. 예제를 사용하여 이러한 명령에 대해 알아 보겠습니다.

문제 20. 두 가지 유형의 렌즈 A와 B를 생산하기로 결정했다고 가정합니다. 유형 A의 렌즈는 3개의 렌즈 구성 요소로 구성되고 유형 B는 4개의 렌즈 구성 요소로 구성됩니다. 일주일에 최대 1,800개의 렌즈를 생산할 수 있습니다. A형 렌즈를 조립하는 데는 15분, B형 렌즈를 조립하는 데 30분이 소요됩니다. 직원 4명의 주당 근무 시간은 160시간입니다. 최대 이익을 얻으려면 렌즈 A와 B를 몇 개 생산해야합니까? 유형 A 렌즈의 가격이 3500 루블이고 유형 B의 가격이 4800 루블입니다.

해결책. 이 문제를 해결하기 위해서는 그림 1과 같이 표를 구성하고 작성해야 한다. 12:

· 셀 이름 바꾸기 x의 B2는 A 유형의 렌즈 수입니다.

· 마찬가지로 셀 B3의 이름을 y로 바꾸겠습니다.

타겟 기능 이익 = 3500*x+4800*y B5 셀에 입력하세요. · 포장 비용은 =3*x+4*y와 같습니다. 셀 B7에 입력합니다.

· 시간 비용은 =0.25*x+0.5*y와 같습니다. 셀 B8에 입력합니다.

	이름
	완전한 세트
	시간별 비용

그림 12. 소스 데이터로 테이블 채우기

· 셀 B5를 선택하고 데이터 메뉴를 선택한 후 솔루션 검색 명령을 활성화합니다. 그림 13에 따라 이 창의 셀을 채워 보겠습니다.

· 클릭<Выполнить >; 올바르게 수행되면 해결 방법은 다음과 같습니다.

함수의 도함수를 계산할 때 Excel이 어떻게 도움이 되나요? 함수가 방정식으로 지정된 경우 분석 미분 및 공식 획득 후 Excel은 사용자가 관심을 갖는 모든 인수 값에 대한 미분 값을 빠르게 계산하는 데 도움이 됩니다.

실제 측정을 통해 함수를 얻고 표 형식 값으로 지정하는 경우 Excel은 수치 미분과 후속 처리 및 결과 분석을 수행할 때 이 경우 더 중요한 지원을 제공할 수 있습니다.

실제로 수치 미분 방법으로 미분을 계산하는 문제는 역학(사용 가능한 경로 및 시간 측정을 사용하여 물체의 속도 및 가속도를 결정할 때)과 열 공학(시간에 따른 열 전달을 계산할 때) 모두에서 발생할 수 있습니다. . 이는 예를 들어 드릴이 통과하는 토양층의 밀도를 분석하기 위해 우물을 드릴링할 때, 여러 탄도 문제를 해결할 때 필요할 수도 있습니다.

처짐을 사용하여 유효 하중 값을 찾고자 하는 경우 복잡한 하중을 받는 빔을 계산하는 "역" 문제에서도 유사한 상황이 발생합니다.

기사의 두 번째 부분에서는 "실시간" 예제를 사용하여 유한 차분 표현을 사용한 수치 미분의 대략적인 공식을 사용하여 미분 계산을 고려하고 다음 질문을 이해합니다. 가능합니까?유한 차분 도함수 근사법 사용 보의 처짐을 기준으로 단면에 작용하는 하중을 결정합니까?

최소 이론.

도함수는 시간이나 공간의 과정을 설명하는 함수의 변화율을 결정합니다.

변수의 변화가 0이 되는 경향이 있을 때 변수의 변화에 ​​대한 함수의 한 지점에서의 변화 비율의 극한을 연속 함수의 도함수라고 합니다.

y'(x)=lim(Δy /Δx)~에 Δx →0

한 점에서 함수 도함수의 기하학적 의미는 이 점에서 함수 그래프에 대한 접선의 x축에 대한 경사각의 접선입니다.

tg(α)=Δy/Δx

함수가 이산형(표 형식)인 경우 유한 차분을 사용하여 한 점에서의 도함수의 대략적인 값을 구합니다.

y' (x ) i ≒(Δy /Δx )나=(y i +1 -y i -1 )/(x i +1 -x i -1 )

차이는 0이나 무한대에 가까워지는 양과 달리 구체적이고 측정 가능한 유한한 값을 갖기 때문에 유한이라고 합니다.

아래 표에는 표 형식 함수의 수치적 차별화에 유용한 여러 공식이 나와 있습니다.

중심차 공식은 더 정확한 결과를 제공하는 경향이 있지만 값 범위의 가장자리에는 적용할 수 없는 경우가 많습니다. 이러한 경우에는 왼쪽 및 오른쪽 유한 차분에 의한 근사가 유용합니다.

알려진 처짐을 사용하여 빔 단면의 모멘트를 계산하는 예를 사용한 2차 미분 계산.

주어진:

두 쌍의 강철(St3) 30M I빔으로 구성된 가장자리에 힌지 지지대가 있는 8m 길이의 빔은 1m 간격의 도리 7개로 지지됩니다. 장비가 장착된 플랫폼이 빔 중앙 부분에 부착됩니다. 아마도 도리를 통해 빔으로 전달되는 코팅의 힘은 모든 지점에서 동일하며 다음과 같습니다. F 1. 매달린 플랫폼에는 무게가 있습니다. 2*F 2두 지점에서 빔에 부착됩니다.

하중이 가해지기 전에는 완전히 직선이었고, 하중을 가한 후에는 탄성 변형 영역에 있다고 가정합니다.

아래 그림은 문제의 계산 도표와 도표의 일반적인 모습을 보여줍니다.

다음 스크린샷은 소스 데이터를 보여줍니다.

계산된 초기 데이터:

3. I빔 30M의 선형 중량:

γ =50.2kg/m

빔 섹션은 두 개의 I-빔으로 구성됩니다.

n =2

빔 비중:

q =γ *n *g =50.2*2*9.81/1000=0.985 N/mm

5. 30M I빔 단면의 관성 모멘트:

나는 x1 =95,000,000mm 4

합성보 단면의 관성 모멘트:

I x =I x 1 *n =95,000,000*2=190,000,000mm 4

10. 빔은 중앙을 기준으로 대칭적으로 하중을 받기 때문에 두 지지점의 반응은 동일하며 각각 전체 하중의 절반과 같습니다.

R =(q *z 최대 +8*F 1 +2*F 2 )/2=(0.985*8000+8*9000+2*50000)/2=85 440 N

계산에는 빔 자체의 무게가 고려됩니다!

일:

굽힘 모멘트 값 찾기 M xi재료의 강도에 대한 공식과 계산된 편향선의 수치 미분 방법을 분석적으로 사용하여 빔 단면에서. 얻은 결과를 비교하고 분석하십시오.

해결책:

가장 먼저 할 일은 전단력의 Excel 계산을 수행하는 것입니다. Qy, 굽힘 모멘트 Mx, 회전 각도 Ux빔과 편향축 Vx단계가 있는 모든 섹션의 재료 강도에 대한 고전적인 공식에 따라 시간. (단, 원칙적으로 앞으로는 힘과 각도의 값이 필요하지 않을 것입니다.)

계산 결과는 셀 I5-L54에 있습니다. 아래 스크린샷은 표의 절반을 보여줍니다. 두 번째 부분의 값은 제시된 값과 동일하거나 유사하기 때문입니다.

계산에 사용된 공식을 볼 수 있습니다.

따라서 우리는 모멘트와 처짐의 정확한 값을 알고 있습니다.

이론상으로 우리는 다음을 알고 있습니다.

회전 각도는 편향의 1차 미분입니다. 유 =V'.

모멘트는 편향의 2차 미분입니다. 남 =V''.

힘은 편향의 3차 미분입니다. Q =V'''.

정확한 처짐 값 열이 분석 계산이 아니라 실제 빔에 대한 측정을 통해 얻어졌으며 더 이상 다른 데이터가 없다고 가정해 보겠습니다. 기사 이전 섹션의 표에서 공식 (6)을 사용하여 정확한 처짐 값의 2차 미분을 계산하고, 수치 미분 방법을 사용하여 모멘트 값을 구해 보겠습니다.

M xi =V y '' ≒((V i +1 -2*V i +V i -1 )/h 2)*E *I x

M5-M54 셀에서 계산 결과를 볼 수 있습니다.

빔 자체의 무게를 고려하여 강도 재료의 분석 공식을 사용하여 계산된 모멘트의 정확한 값은 미분 계산을 위한 대략적인 공식을 사용하여 찾은 값과 약간 다릅니다. 모멘트는 N5-N54 셀의 백분율로 계산된 상대 오류로 판단하여 매우 정확하게 결정됩니다.

ε =(M x -V y '' )/M x *100%

작업이 해결되었습니다. 중심유한차를 이용한 근사식을 이용하여 2차 미분계산을 수행하였고 우수한 결과를 얻었다.

앎 정확한처짐값, 수치미분법을 이용하여 단면에 작용하는 모멘트를 높은 정확도로 찾아내고 빔의 하중 정도를 판단할 수 있습니다!

하지만...

아아, 실제로는 그렇게 생각해서는 안됩니다 얻기 쉬운복잡하게 하중을 받는 빔의 편향에 필요한 고정밀 측정 결과!

사실 편향 측정은 ~1 µm의 정확도로 수행되어야 하며 측정 단계를 최대한 줄이려고 노력해야 합니다. 시간, "0을 향해 방향을 지정"하지만 이는 실수를 피하는 데 도움이 되지 않을 수 있습니다.

종종 처짐 측정 시 상당한 오류가 발생하여 측정 단계를 줄이면 터무니없는 결과가 나올 수 있습니다. 치명적인 오류를 피하기 위해 수치 미분을 수행할 때는 매우 주의해야 합니다.

오늘날 고속, 안정성 및 최대 1미크론의 측정 정확도를 제공하고 소프트웨어에서 노이즈를 필터링하며 소프트웨어에서 다른 많은 작업을 수행할 수 있는 레이저 간섭계 장치가 있지만 가격은 300,000달러가 넘습니다.

예제에서 편향의 정확한 값을 소수점 이하 두 자리, 즉 100분의 1밀리미터로 반올림하고 도함수 계산을 위해 동일한 공식을 사용하여 섹션의 모멘트를 다시 계산하면 어떤 일이 발생하는지 살펴보겠습니다.

이전에 최대 오류가 0.7%를 초과하지 않았다면 이제는(단면에서) 나=4)는 23%를 초과하지만 가장 위험한 구간( ε 21=1,813%).

유한 차분을 사용하여 도함수를 계산하는 고려된 수치적 방법 외에도 다른 방법, 즉 거듭제곱 다항식을 사용한 측정을 사용하고 분석적으로 도함수를 찾은 다음 다른 방법으로 얻은 결과를 비교할 수 있습니다(그리고 종종 필요합니다). 그러나 근사 거듭제곱 다항식의 미분은 궁극적으로 근사의 정확성 정도에 크게 좌우되는 근사 방법이기도 함을 이해해야 합니다.

초기 데이터(측정 결과)는 대부분의 경우 계산에 사용되기 전에 처리되어 논리적 순서를 벗어난 값을 제거해야 합니다.

수치적 방법을 사용한 도함수 계산은 항상 매우 주의 깊게 이루어져야 합니다!

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