이 벡터 시스템의 기초를 찾아보세요. 주어진 벡터 시스템의 기초를 찾는 방법. 벡터의 선형 의존성과 선형 독립성. 벡터의 기초. 아핀 좌표계

기초의 정의.벡터 시스템은 다음과 같은 경우 기초를 형성합니다.

1) 선형독립이다.

2) 공간의 모든 벡터는 이를 통해 선형으로 표현될 수 있습니다.

예시 1.공간 기준: .

2. 벡터 시스템에서 기초는 벡터입니다: 왜냐하면 벡터로 선형적으로 표현됩니다.

논평.주어진 벡터 시스템의 기초를 찾으려면 다음을 수행해야 합니다.

1) 벡터의 좌표를 행렬에 쓰고,

2) 기본 변환을 사용하여 행렬을 삼각형 형태로 만들고,

3) 행렬의 0이 아닌 행은 시스템의 기초,

4) 기저의 벡터 수는 행렬의 순위와 같습니다.

크로네커-카펠리 정리

크로네커-카펠리 정리는 임의의 선형 방정식 시스템과 미지수의 호환성 문제에 대한 포괄적인 답변을 제공합니다.

크로네커-카펠리 정리. 선형 대수 방정식 시스템은 시스템의 확장 행렬의 순위가 주 행렬의 순위와 동일한 경우에만 일관성이 있습니다.

선형 연립방정식의 모든 해를 찾는 알고리즘은 크로네커-카펠리 정리와 다음 정리를 따릅니다.

정리.관절 시스템의 순위인 경우 숫자와 같다알려지지 않은 경우 시스템에는 고유한 솔루션이 있습니다.

정리.결합 시스템의 순위가 미지수의 수보다 작으면 시스템에는 무한한 수의 해가 있습니다.

임의의 선형 방정식 시스템을 풀기 위한 알고리즘:

1. 시스템의 기본 행렬과 확장 행렬의 순위를 찾습니다. 동일하지 않으면() 시스템이 일관성이 없는 것입니다(해결 방법이 없음). 순위가 같으면( , 시스템은 일관성이 있습니다.

2. 조인트 시스템의 경우 순서에 따라 매트릭스의 순위가 결정되는 일부 마이너를 찾습니다(이러한 마이너를 기본이라고 함). 작곡하자 새로운 시스템미지수의 계수가 기본 마이너(이러한 미지수를 주요 미지수라고 함)에 포함된 방정식 중에서 나머지 방정식을 폐기합니다. 주요 미지수는 계수를 왼쪽에 남겨두고 나머지 미지수(자유 미지수라고 함)를 방정식의 오른쪽으로 이동합니다.

3. 주요 미지의 표현을 자유 표현으로 찾아보겠습니다. 우리는 시스템의 일반적인 솔루션을 얻습니다.

4. 자유 미지수에 임의의 값을 부여함으로써 주요 미지수의 해당 값을 얻습니다. 이러한 방식으로 우리는 원래 방정식 시스템에 대한 부분 해를 찾습니다.

선형 프로그래밍. 기본 개념

선형 프로그래밍변수와 선형 기준 사이의 선형 관계를 특징으로 하는 극한 문제를 해결하기 위한 방법을 연구하는 수학 프로그래밍의 한 분야입니다.

선형 프로그래밍 문제를 제기하기 위한 필수 조건은 자원 가용성, 수요량, 기업의 생산 능력 및 기타 생산 요소에 대한 제한입니다.

선형 계획법의 핵심은 인수와 생성자에 부과된 특정 제한 세트에서 특정 함수의 가장 큰 값 또는 가장 작은 값의 점을 찾는 것입니다. 제한 시스템 , 일반적으로 무한한 수의 솔루션이 있습니다. 각 변수 값 세트(함수 인수 에프 ) 제약 조건 시스템을 만족하는 것을 호출합니다. 유효한 계획 선형 프로그래밍 문제. 기능 에프 , 결정된 최대값 또는 최소값을 호출합니다. 목표 함수 작업. 기능의 최대 또는 최소를 달성할 수 있는 실현 가능한 계획 에프 , 라고 불리는 최적의 계획 작업.

많은 계획을 결정하는 제한 시스템은 생산 조건에 따라 결정됩니다. 선형 프로그래밍 문제( ZLP )은 실행 가능한 계획 세트 중에서 가장 수익성이 높은(최적) 계획을 선택하는 것입니다.

일반적인 공식에서 선형 계획법 문제는 다음과 같습니다.

변수가 있나요? x = (x1, x2, ...xn) 그리고 이 변수의 기능 f(x) = f(x1, x2, ...xn) , 이는 호출됩니다. 표적 기능. 작업은 다음과 같이 설정됩니다. 목적 함수의 극단(최대 또는 최소)을 찾는 것입니다. 에프엑스(f(x)) 변수가 있다면 엑스 어떤 지역에 속해 있다 G :

기능의 종류에 따라 에프엑스(f(x)) 및 지역 G 수학적 계획법의 섹션을 구별합니다: 2차 계획법, 볼록 계획법, 정수 계획법 등. 선형 프로그래밍의 특징은 다음과 같습니다.
가) 기능 에프엑스(f(x)) ~이다 선형 함수변수 x1, x2, … xn
b) 지역 G 시스템에 의해 결정됨 선의 평등 또는 불평등.

기하학에서 벡터는 벡터가 서로에게서 얻어지는 방향성 세그먼트로 이해됩니다. 병렬 전송, 동등한 것으로 간주됩니다. 모든 동일한 벡터는 동일한 벡터로 처리됩니다. 벡터의 원점은 공간이나 평면의 어느 지점에나 위치할 수 있습니다.

벡터 끝의 좌표가 공간에 주어지면: ㅏ(엑스 1 , 와이 1 , 지 1), 비(엑스 2 , 와이 2 , 지 2) 그러면

= (엑스 2 – 엑스 1 , 와이 2 – 와이 1 , 지 2 – 지 1). (1)

비슷한 공식이 비행기에도 적용됩니다. 이는 벡터를 좌표선으로 쓸 수 있음을 의미합니다. 문자열에 대한 숫자의 덧셈, 곱셈과 같은 벡터 연산은 구성 요소별로 수행됩니다. 이를 통해 벡터의 개념을 확장하여 벡터를 숫자열로 이해할 수 있습니다. 예를 들어, 선형 방정식 시스템과 값 세트를 해결합니다. 시스템 변수, 벡터로 간주될 수 있습니다.

같은 길이의 문자열에 대해서는 규칙에 따라 덧셈 연산을 수행합니다.

(a 1 , a 2 , … , a N) + (b 1 , b 2 , … , b N) = (a 1 + b 1 , a 2 + b 2 , … , a N+b N). (2)

문자열에 숫자를 곱하는 것은 규칙을 따릅니다.

l(a 1 , a 2 , … , a N) = (라 1 , 라 2 , … , 라 N). (3)

주어진 길이의 행 벡터 집합 N벡터를 더하고 숫자를 곱하는 표시된 연산을 사용하면 다음과 같은 대수 구조가 형성됩니다. n차원 선형 공간.

벡터의 선형 결합은 벡터입니다 , 여기서 λ 1 , ... , λ 중– 임의의 계수.

0이 아닌 계수가 하나 이상 있는 벡터의 선형 조합이 있는 경우 벡터 시스템을 선형 종속이라고 합니다.

와 같은 선형 조합에서 모든 계수가 0인 경우 벡터 시스템을 선형 독립이라고 합니다.

따라서 벡터 시스템의 선형 의존성 문제를 해결하는 것은 방정식을 해결하는 것으로 축소됩니다.

엑스 1 + 엑스 2 + … + xm = . (4)

이 방정식에 0이 아닌 해가 있는 경우 벡터 시스템은 선형 종속입니다. 영 해가 고유한 경우 벡터 시스템은 선형 독립입니다.

시스템 (4)를 풀기 위해 명확성을 위해 벡터를 행이 아닌 열로 작성할 수 있습니다.

그런 다음 왼쪽에서 변환을 수행하면 방정식 (4)와 동일한 선형 방정식 시스템에 도달합니다. 이 시스템의 주요 행렬은 열로 배열된 원래 벡터의 좌표로 구성됩니다. 시스템이 동질적이므로 여기서는 자유 용어 열이 필요하지 않습니다.

기초벡터 시스템(유한 또는 무한, 특히 전체 선형 공간)은 시스템의 모든 벡터를 표현할 수 있는 비어 있지 않은 선형 독립 하위 시스템입니다.

예제 1.5.2.벡터 시스템의 기초 찾기 = (1, 2, 2, 4), = (2, 3, 5, 1), = (3, 4, 8, –2), = (2, 5, 0, 3) 나머지 벡터를 기저를 통해 표현합니다.

해결책. 우리는 이러한 벡터의 좌표가 열로 배열된 행렬을 만듭니다. 이것이 시스템의 매트릭스이다 엑스 1 + 엑스 2 + 엑스 3 + 엑스 4 =. . 행렬을 단계적 형태로 축소합니다.

~ ~ ~

이 벡터 시스템의 기초는 원으로 강조 표시된 행의 선행 요소가 해당하는 벡터 , , 에 의해 형성됩니다. 벡터를 표현하기 위해 방정식을 푼다. 엑스 1 + 엑스 2 + 엑스 4 = . 이는 자유 항의 열 대신에 에 해당하는 열을 재배열하여 원본에서 얻은 행렬인 선형 방정식 시스템으로 축소됩니다. 따라서 계단형으로 축소하면 행렬에서도 위와 같은 변환이 이루어지게 됩니다. 이는 결과 행렬을 단계적 형식으로 사용하여 필요한 열 재배치를 수행할 수 있음을 의미합니다. 원이 있는 열을 세로 막대 왼쪽에 배치하고 벡터에 해당하는 열을 오른쪽에 배치합니다. 바의.

우리는 지속적으로 다음을 발견합니다.

엑스 4 = 0;

엑스 2 = 2;

엑스 1 + 4 = 3, 엑스 1 = –1;

논평. 기초를 통해 여러 벡터를 표현해야 하는 경우 각 벡터에 대해 해당 선형 방정식 시스템이 구성됩니다. 이러한 시스템은 무료 회원 열에서만 다릅니다. 더욱이, 각 시스템은 다른 시스템과 독립적으로 해결됩니다.

연습 1.4.벡터 시스템의 기저를 찾고 기저를 통해 나머지 벡터를 표현합니다.

a) = (1, 3, 2, 0), = (3, 4, 2, 1), = (1, –2, –2, 1), = (3, 5, 1, 2);

b) = (2, 1, 2, 3), = (1, 2, 2, 3), = (3, –1, 2, 2), = (4, –2, 2, 2);

c) = (1, 2, 3), = (2, 4, 3), = (3, 6, 6), = (4, –2, 1); = (2, -6, -2).

주어진 벡터 시스템에서 기본은 일반적으로 다른 방식으로 식별될 수 있지만 모든 기본은 동일한 수의 벡터를 갖습니다. 선형 공간을 기준으로 하는 벡터의 수를 공간의 차원이라고 합니다. 을 위한 N-차원 선형 공간 N– 이 공간은 표준 기반을 갖기 때문에 공간의 차원입니다. = (1, 0, ... , 0), = (0, 1, ... , 0), ... , = (0, 0 , ... , 1). 이 기초를 통해 모든 벡터 = (a 1 , a 2 , … , a N)는 다음과 같이 표현된다.

= (a 1 , 0, ... , 0) + (0, a 2 , ... , 0) + ... + (0, 0, ... , a N) =

A 1 (1, 0, … , 0) + a 2 (0, 1, … , 0) + … + a N(0, 0, … ,1) = 1 + 2 +… + 1 N .

따라서 벡터 행의 구성 요소 = (a 1 , a 2 , … , a N)는 표준 기준을 통한 확장의 계수입니다.

비행기 위의 직선

분석기하학의 임무는 기하학적 문제에 좌표법을 적용하는 것입니다. 따라서 문제는 대수적 형태로 변환되고 대수학을 통해 해결됩니다.

형태의 표현 ~라고 불리는 벡터의 선형 조합 A 1 , A 2 ,...,A n확률로 람 1, 람 2 ,..., 람 n.

벡터 시스템의 선형 의존성 결정

벡터 시스템 A 1 , A 2 ,...,A n~라고 불리는 선형 종속, 0이 아닌 숫자 집합이 있는 경우 람 1, 람 2 ,..., 람 n, 여기서 벡터의 선형 조합은 λ 1 *A 1 +λ 2 *A 2 +...+λ n *A n 0 벡터와 같음, 즉 방정식 시스템은 다음과 같습니다. 0이 아닌 솔루션이 있습니다.
숫자 세트 람 1, 람 2 ,..., 람 n 숫자 중 하나 이상이면 0이 아닙니다. 람 1, 람 2 ,..., 람 n 제로와는 다릅니다.

벡터 시스템의 선형 독립 결정

벡터 시스템 A 1 , A 2 ,...,A n~라고 불리는 선형독립, 이들 벡터의 선형 결합인 경우 λ 1 *A 1 +λ 2 *A 2 +...+λ n *A n숫자의 0 집합에 대해서만 0 벡터와 같습니다. 람 1, 람 2 ,..., 람 n , 즉 방정식 시스템은 다음과 같습니다. A 1 x 1 +A 2 x 2 +...+A n x n =Θ독특한 제로 솔루션이 있습니다.

예제 29.1

벡터 시스템이 선형 종속인지 확인

해결책:

1. 우리는 방정식 시스템을 구성합니다:

2. Gauss 방법을 사용하여 해결합니다.. 시스템의 Jordanano 변환은 표 29.1에 나와 있습니다. 계산할 때 시스템의 오른쪽은 0과 같고 조던 변환 중에 변경되지 않으므로 기록되지 않습니다.

3. 표의 마지막 세 행에서 원래 시스템과 동등한 해결된 시스템을 기록합니다.체계:

4. 우리는 시스템의 일반적인 솔루션을 얻습니다.:

5. 귀하의 재량에 따라 자유 변수 x 3 =1의 값을 설정한 후, 우리는 0이 아닌 특정 솔루션을 얻습니다. X=(-3,2,1).

답: 따라서 0이 아닌 숫자 집합(-3,2,1)의 경우 벡터의 선형 조합은 0 벡터 -3A 1 +2A 2 +1A 3 =Θ와 같습니다. 따라서, 벡터 시스템 선형 종속.

벡터 시스템의 속성

부동산 (1)
벡터 시스템이 선형 종속이면 벡터 중 적어도 하나는 다른 벡터의 관점에서 확장되고, 반대로 시스템의 벡터 중 적어도 하나가 다른 벡터의 관점에서 확장되면 벡터 시스템은 선형 종속적입니다.

부동산 (2)
벡터의 하위 시스템이 선형 종속이면 전체 시스템도 선형 종속입니다.

부동산 (3)
벡터 시스템이 선형 독립이면 해당 하위 시스템도 선형 독립입니다.

부동산 (4)
0 벡터를 포함하는 모든 벡터 시스템은 선형 종속입니다.

부동산 (5)
m차원 벡터 시스템은 벡터 개수 n이 해당 차원(n>m)보다 큰 경우 항상 선형 종속입니다.

벡터 시스템의 기초

벡터 시스템의 기초 A 1 , A 2 ,..., An 이러한 하위 시스템 B 1 , B 2 ,...,B r 이라고 합니다.(각 벡터 B 1,B 2,...,B r 은 벡터 A 1, A 2,..., An 중 하나입니다.) 이는 다음 조건을 충족합니다.
1. B 1 ,B 2 ,...,B r선형 독립 벡터 시스템;
2. 모든 벡터 AJ 시스템 A 1 , A 2 ,..., An 은 벡터 B 1 , B 2 ,..., B r 을 통해 선형으로 표현됩니다.

아르 자형- 기저에 포함된 벡터의 수.

정리 29.1 벡터 시스템의 단위 기반.

m차원 벡터 시스템이 m개의 서로 다른 단위 벡터 E 1 E 2 ,..., E m을 포함하는 경우 이는 시스템의 기초를 형성합니다.

벡터 시스템의 기초를 찾는 알고리즘

벡터 A 1 ,A 2 ,...,A n 시스템의 기초를 찾으려면 다음이 필요합니다.

• 벡터 시스템에 해당하는 동종 방정식 시스템을 만듭니다. A 1 x 1 +A 2 x 2 +...+A n x n =Θ
• 이 시스템을 가져와

대수학과 기하학에 대한 강의. 1학기.

강의 9. 기초 벡터 공간.

요약: 벡터 시스템, 벡터 시스템의 선형 결합, 벡터 시스템의 선형 결합 계수, 선, 평면 및 공간 기반, 선, 평면 및 공간에서 벡터 공간의 차원, 분해 기저를 따른 벡터, 기저를 기준으로 한 벡터의 좌표, 등식 정리 두 벡터, 좌표 표기법의 벡터를 사용한 선형 연산, 벡터의 정규 직교 삼중, 벡터의 오른쪽 및 왼쪽 삼중, 정규 직교 기저, 벡터 대수의 기본 정리.

9장. 벡터 공간의 기저와 기저에 따른 벡터의 분해.

제1항. 직선을 기준으로, 평면을 기준으로, 우주를 기준으로 합니다.

정의. 유한한 벡터 집합을 벡터 시스템이라고 합니다.

정의. 표현식
벡터 시스템의 선형 조합이라고 합니다.
, 그리고 숫자
이 선형 결합의 계수라고 합니다.

L, P, S를 각각 직선, 평면, 점의 공간이라 하고,
. 그 다음에
– 각각 직선 L, 평면 P 및 공간 S에서 방향이 지정된 세그먼트인 벡터의 벡터 공간.

0이 아닌 벡터를 호출합니다.
, 즉. 라인 L과 동일선상에 있는 0이 아닌 벡터:
그리고
.

기준지정
:
- 기초
.

정의. 벡터 공간의 기초
공간에 있는 비공선형 벡터의 순서쌍입니다.
.

, 어디
,
- 기초
.

정의. 벡터 공간의 기초
동일 평면에 있지 않은(즉, 동일한 평면에 있지 않은) 공간 벡터의 순서가 지정된 삼중입니다.
.

- 기초
.

논평. 벡터 공간의 기저에는 0 벡터가 포함될 수 없습니다.
정의에 따르면 우주에서
두 벡터 중 적어도 하나가 0이면 두 벡터는 동일 선상에 있습니다.
세 개의 벡터는 동일 평면에 있습니다. 즉, 세 벡터 중 하나 이상이 0인 경우 동일한 평면에 놓이게 됩니다.

조항 2. 벡터를 기준으로 분해합니다.

정의. 허락하다 – 임의의 벡터,
– 임의의 벡터 시스템. 평등이 유지된다면

그러면 사람들은 벡터가 주어진 벡터 시스템의 선형 조합으로 표시됩니다. 주어진 벡터 시스템인 경우
는 벡터 공간의 기초이고, 등식(1)을 벡터의 분해라고 합니다. 기준으로
. 선형 결합 계수
이 경우 벡터의 좌표라고 합니다. 기초에 비해
.

정리. (기저에 대한 벡터의 분해에 대해.)

벡터 공간의 모든 벡터는 고유한 방식으로 기본으로 확장될 수 있습니다.

증거. 1) L을 임의의 직선(또는 축)으로 두고
- 기초
. 임의의 벡터를 취해보자
. 두 벡터 모두 이후 그리고 같은 선 L에 동일 선상에 있으면
. 두 벡터의 공선성에 관한 정리를 사용해 보겠습니다. 왜냐하면
, 그러면 그러한 숫자가 (존재합니다)
, 무엇
따라서 우리는 벡터의 분해를 얻었습니다. 기준으로
벡터 공간
.

이제 그러한 분해의 고유성을 증명해 보겠습니다. 반대로 가정해보자. 벡터의 두 가지 분해가 있다고 가정합니다. 기준으로
벡터 공간
:

그리고
, 어디
. 그 다음에
분배 법칙을 사용하면 다음을 얻습니다.

왜냐하면
, 마지막 평등에서 다음이 따릅니다.
, 등.

2) 이제 P를 임의의 평면으로 두고
- 기초
. 허락하다
이 평면의 임의의 벡터. 이 평면의 한 지점에서 세 벡터를 모두 플로팅해 보겠습니다. 4개의 직선을 만들어 봅시다. 직접 만들어보자 , 벡터가 놓여 있는 곳 , 똑바로
, 벡터가 놓여 있는 곳 . 벡터의 끝을 통해 벡터에 평행한 직선을 그리세요 그리고 벡터와 평행한 선 . 이 4개의 직선은 평행사변형을 이룹니다. 아래 그림을 참조하세요. 3. 평행사변형 법칙에 따르면
, 그리고
,
,
- 기초 ,
- 기초
.

이제 이 증명의 첫 번째 부분에서 이미 입증된 내용에 따르면 다음과 같은 숫자가 있습니다.
, 무엇

그리고
. 여기에서 우리는 다음을 얻습니다:

베이시스 확장 가능성도 입증됐다.

이제 우리는 기초 측면에서 확장의 고유성을 증명합니다. 반대로 가정해보자. 벡터의 두 가지 분해가 있다고 가정합니다. 기준으로
벡터 공간
:
그리고
. 우리는 평등을 얻습니다

그거 어디서 났어?
. 만약에
, 저것
, 때문에
, 저것
확장 계수는 동일합니다.
,
. 지금 하자
. 그 다음에
, 어디
. 두 벡터의 공선성에 관한 정리에 따르면 다음과 같습니다.
. 우리는 정리의 조건에 모순되는 것을 얻었습니다. 따라서,
그리고
, 등.

3)하자
- 기초
놔줘
임의의 벡터. 다음과 같은 공사를 진행해 보겠습니다.

세 가지 기본 벡터를 모두 제쳐두자
그리고 벡터 한 점에서 6개의 평면을 구성합니다: 기저 벡터가 있는 평면
, 비행기
그리고 비행기
; 벡터의 끝을 통해 더 나아가 방금 구성한 세 개의 평면과 평행한 세 개의 평면을 그려 보겠습니다. 이 6개의 평면은 평행육면체를 조각합니다.

벡터 추가 규칙을 사용하여 동등성을 얻습니다.

. (1)

건설로
. 여기에서 두 벡터의 공선성에 관한 정리에 따르면 다음과 같은 숫자가 있습니다.
, 그렇게
. 비슷하게,
그리고
, 어디
. 이제 이러한 등식을 (1)로 대체하면 다음을 얻습니다.

베이시스 확장 가능성도 입증됐다.

그러한 분해의 고유성을 증명해 보겠습니다. 반대로 가정해보자. 벡터의 두 가지 분해가 있다고 가정합니다. 기준으로
:

그리고 . 그 다음에

조건에 따라 벡터는
따라서 동일 평면에 있지 않으므로 쌍별로 동일선상에 있지 않습니다.

두 가지 가능한 경우가 있습니다:
또는
.

가) 하자
, 평등 (3)에서 다음과 같습니다.

. (4)

평등 (4)로부터 벡터는 다음과 같습니다. 기초에 따라 확장
, 즉. 벡터 벡터 평면에 위치
따라서 벡터는
이는 조건과 모순되는 동일 평면입니다.

b) 사건이 남아있다
, 즉.
. 그런 다음 평등 (3)으로부터 우리는 다음을 얻습니다.

왜냐하면
는 평면에 있는 벡터 공간의 기초이며 우리는 이미 평면의 벡터를 기반으로 확장의 고유성을 입증했습니다. 그런 다음 등식(5)에서 다음과 같습니다.
그리고
, 등.

정리가 입증되었습니다.

결과.

1) 벡터 공간의 벡터 집합 간에는 일대일 대응이 있습니다.
그리고 실수의 집합 R.

2) 벡터 공간의 벡터 집합 간에는 일대일 대응이 있습니다.
그리고 데카르트 정사각형

3) 벡터 공간의 벡터 집합 간에는 일대일 대응이 있습니다.
및 데카르트 큐브
실수의 집합 R.

증거. 세 번째 명제를 증명해보자. 처음 두 개도 비슷한 방식으로 증명됩니다.

공간에서 선택하고 수정하기
어떤 근거
디스플레이를 준비하고
다음 규칙에 따라:

저것들. 각 벡터를 순서가 지정된 좌표 집합과 연관시키겠습니다.

고정된 기준으로 각 벡터는 단일 좌표 세트를 갖기 때문에 규칙 (6)에 의해 지정된 대응은 실제로 매핑입니다.

정리의 증명에 따르면 서로 다른 벡터는 동일한 기준에 대해 서로 다른 좌표를 갖습니다. 매핑(6)은 주입입니다.

허락하다
임의의 순서가 있는 실수 집합.

벡터를 고려해보세요
. 이 벡터는 구성에 따라 좌표를 갖습니다.
. 결과적으로 매핑(6)은 전사입니다.

단사적이기도 하고 전사적이기도 한 매핑은 전단사적입니다. 일대일 등

조사 결과가 입증되었습니다.

정리. (두 벡터의 동일성에 관하여.)

두 벡터는 동일한 기준에 대한 좌표가 동일한 경우에만 동일합니다.

증명은 이전 추론에서 바로 이어집니다.

제3항. 벡터 공간의 차원.

정의. 벡터 공간을 기반으로 하는 벡터의 수를 차원이라고 합니다.

지정:
– 벡터 공간 V의 차원.

따라서 이 정의와 이전 정의에 따르면 다음과 같습니다.

1)
- 라인 L의 벡터의 벡터 공간.

- 기초
,
,
,
– 벡터 분해
기준으로
,
– 벡터 좌표 기초에 비해
.

2)
– 평면 R 벡터의 벡터 공간.

- 기초
,
,
,
– 벡터 분해
기준으로
,
– 벡터 좌표 기초에 비해
.

3)
– 점 S의 공간에 있는 벡터의 벡터 공간.

- 기초
,
,
– 벡터 분해
기준으로
,
– 벡터 좌표 기초에 비해
.

논평. 만약에
, 저것
그리고 당신은 기초를 선택할 수 있습니다
공간
그래서
- 기초
그리고
- 기초
. 그 다음에
, 그리고
, .

따라서 선 L, 평면 P 및 공간 S의 모든 벡터는 기본에 따라 확장될 수 있습니다.
:

지정. 벡터의 동일성에 관한 정리를 통해 우리는 실수의 3배 순서가 있는 모든 벡터를 식별하고 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

기본이 되어야만 가능합니다
고정되어 엉킬 위험이 없습니다.

정의. 순서가 지정된 실수 3개의 형태로 벡터를 작성하는 것을 벡터 작성의 좌표 형식이라고 합니다.
.

4항. 좌표 표기법의 벡터를 사용한 선형 연산입니다.

허락하다
– 공간의 기초
그리고
는 임의의 벡터 중 두 개입니다. 허락하다
그리고
– 이러한 벡터를 좌표 형식으로 기록합니다. 더 나아가,
– 임의 실수. 이 표기법을 사용하면 다음 정리가 성립됩니다.

정리. (좌표 형태의 벡터를 사용한 선형 연산에 대해)

2)
.

즉, 두 벡터를 더하려면 그에 해당하는 좌표를 더해야 하고, 벡터에 숫자를 곱하려면 주어진 벡터의 각 좌표에 주어진 숫자를 곱해야 합니다.

증거. 정리의 조건에 따라 벡터를 더하고 벡터에 숫자를 곱하는 작업을 제어하는 ​​벡터 공간의 공리를 사용하면 다음을 얻습니다.

이는 다음을 의미합니다.

두 번째 평등도 비슷한 방식으로 증명됩니다.

정리가 입증되었습니다.

조항 5. 직교 벡터. 직교기저.

정의. 두 벡터 사이의 각도가 직각인 경우 두 벡터를 직교라고 합니다.
.

지정:
– 벡터 그리고 직교.

정의. 벡터의 트로이카
이들 벡터가 서로 쌍으로 직교하는 경우 직교라고 합니다. 즉,
,
.

정의. 벡터의 트로이카
직교이고 모든 벡터의 길이가 1인 경우 정규 직교라고 합니다.
.

논평. 정의에 따르면 직교하고 따라서 직교 벡터의 삼중은 동일 평면이 아닙니다.

정의. 동일 평면이 아닌 정렬된 벡터 삼중항
세 번째 벡터의 끝에서 관찰할 때 한 점에서 플롯된 것을 오른쪽(오른쪽 방향)이라고 합니다. 처음 두 벡터가 있는 평면으로 그리고 , 첫 번째 벡터의 최단 회전 두 번째로 시계 반대방향으로 발생합니다. 그렇지 않으면 세 개의 벡터를 왼쪽(왼쪽 방향)이라고 합니다.

여기서 그림 6에는 오른쪽 3개의 벡터가 표시되어 있습니다.
. 다음 그림 7은 벡터의 왼쪽 3개를 보여줍니다.
:

정의. 기초
벡터 공간
다음과 같은 경우 직교정규라고 합니다.
벡터의 정규 직교 삼중.

지정. 다음에서는 올바른 직교 기초를 사용하겠습니다.
, 다음 그림을 참조하십시오.

n차원 벡터에 관한 기사에서 우리는 n차원 벡터 집합에 의해 생성된 선형 공간의 개념에 도달했습니다. 이제 우리는 벡터 공간의 차원과 기저와 같은 똑같이 중요한 개념을 고려해야 합니다. 이는 선형 독립 벡터 시스템의 개념과 직접적인 관련이 있으므로 이 주제의 기본 사항을 상기하는 것이 좋습니다.

몇 가지 정의를 소개하겠습니다.

정의 1

벡터 공간의 차원– 해당 번호 최대 수이 공간의 선형독립 벡터입니다.

정의 2

벡터 공간 기반– 공간의 차원과 순서가 일치하고 개수가 동일한 선형 독립 벡터 집합입니다.

n 벡터의 특정 공간을 고려해 봅시다. 해당 차원은 n과 동일합니다. n 단위 벡터 시스템을 살펴보겠습니다.

e(1) = (1, 0, ... 0) e(2) = (0, 1, ..., 0) e(n) = (0, 0, ..., 1)

우리는 이러한 벡터를 행렬 A의 구성 요소로 사용합니다. 이는 n x n 차원의 단위 행렬이 됩니다. 이 행렬의 순위는 n입니다. 따라서 벡터 시스템 e(1) , e(2) , . . . , e(n)은 선형독립입니다. 이 경우 선형 독립성을 위반하지 않고 시스템에 단일 벡터를 추가하는 것은 불가능합니다.

시스템의 벡터 개수가 n개이므로 n차원 벡터의 공간 차원은 n이고, 단위 벡터는 e(1), e(2),… . . , e(n)은 지정된 공간의 기초입니다.

결과 정의로부터 우리는 다음과 같은 결론을 내릴 수 있습니다. 벡터 수가 n보다 작은 모든 n차원 벡터 시스템은 공간의 기초가 아닙니다.

첫 번째 벡터와 두 번째 벡터를 바꾸면 벡터 e (2) , e (1) , . . . , 전자(n) . 이는 또한 n차원 벡터 공간의 기초가 됩니다. 결과 시스템의 벡터를 행으로 사용하여 행렬을 만들어 보겠습니다. 행렬은 처음 두 행을 교환하여 단위 행렬에서 얻을 수 있으며 순위는 n이 됩니다. 시스템 e(2) , e(1) , . . . , e(n)은 선형 독립이며 n차원 벡터 공간의 기초입니다.

원래 시스템에서 다른 벡터를 재배열함으로써 우리는 또 다른 기초를 얻습니다.

단위가 아닌 벡터의 선형 독립 시스템을 사용할 수 있으며 이는 n차원 벡터 공간의 기초도 나타낼 것입니다.

정의 3

차원이 n인 벡터 공간은 숫자 n의 n차원 벡터의 선형 독립 시스템만큼 많은 베이스를 갖습니다.

평면은 2차원 공간입니다. 그 기초는 동일 선상에 있지 않은 두 벡터입니다. 3차원 공간의 기본은 동일 평면에 있지 않은 세 개의 벡터입니다.

구체적인 예를 사용하여 이 이론의 적용을 고려해 보겠습니다.

실시예 1

초기 데이터:벡터

a = (3 , - 2 , 1) b = (2 , 1 , 2) c = (3 , - 1 , - 2)

지정된 벡터가 3차원 벡터 공간의 기반인지 여부를 확인하는 것이 필요합니다.

해결책

문제를 해결하기 위해 우리는 선형 의존성에 대한 주어진 벡터 시스템을 연구합니다. 행이 벡터의 좌표인 행렬을 만들어 보겠습니다. 행렬의 순위를 결정해 봅시다.

A = 3 2 3 - 2 1 - 1 1 2 - 2 A = 3 - 2 1 2 1 2 3 - 1 - 2 = 3 1 (- 2) + (- 2) 2 3 + 1 2 · (- 1) - 1 · 1 · 3 - (- 2) · 2 · (- 2) - 3 · 2 · (- 1) = = - 25 ≠ 0 ⇒ R a n k (A) = 3

결과적으로 문제의 조건에 의해 지정된 벡터는 선형 독립이며 그 수는 벡터 공간의 차원과 동일합니다. 이는 벡터 공간의 기초입니다.

답변:표시된 벡터는 벡터 공간의 기초입니다.

실시예 2

초기 데이터:벡터

a = (3, - 2, 1) b = (2, 1, 2) c = (3, - 1, - 2) d = (0, 1, 2)

지정된 벡터 시스템이 3차원 공간의 기초가 될 수 있는지 여부를 결정하는 것이 필요합니다.

해결책

문제 설명에 지정된 벡터 시스템은 선형 종속적입니다. 선형 독립 벡터의 최대 개수는 3개입니다. 따라서 표시된 벡터 시스템은 3차원 벡터 공간의 기초가 될 수 없습니다. 그러나 원래 시스템의 하위 시스템 a = (3, - 2, 1), b = (2, 1, 2), c = (3, - 1, - 2)가 기본이라는 점은 주목할 가치가 있습니다.

답변:표시된 벡터 시스템은 기초가 아닙니다.

실시예 3

초기 데이터:벡터

a = (1, 2, 3, 3) b = (2, 5, 6, 8) c = (1, 3, 2, 4) d = (2, 5, 4, 7)

4차원 공간의 기초가 될 수 있을까?

해결책

주어진 벡터의 좌표를 행으로 사용하여 행렬을 만들어 봅시다

A = 1 2 3 3 2 5 6 8 1 3 2 4 2 5 4 7

Gaussian 방법을 사용하여 행렬의 순위를 결정합니다.

A = 1 2 3 3 2 5 6 8 1 3 2 4 2 5 4 7 ~ 1 2 3 3 0 1 0 2 0 1 - 1 1 0 1 - 2 1 ~ ~ 1 2 3 3 0 1 0 2 0 0 - 1 - 1 0 0 - 2 - 1 ~ 1 2 3 3 0 1 0 2 0 0 - 1 - 1 0 0 0 1 ⇒ ⇒ 순위(A) = 4

결과적으로 주어진 벡터의 시스템은 선형 독립이며 그 수는 벡터 공간의 차원과 동일합니다. 이는 4차원 벡터 공간의 기초입니다.

답변:주어진 벡터는 4차원 공간의 기초입니다.

실시예 4

초기 데이터:벡터

a (1) = (1 , 2 , - 1 , - 2) a (2) = (0 , 2 , 1 , - 3) a (3) = (1 , 0 , 0 , 5)

그것들은 4차원 공간의 기초를 형성합니까?

해결책

원래의 벡터 시스템은 선형독립이지만, 그 안에 포함된 벡터의 수는 4차원 공간의 기초가 되기에는 충분하지 않습니다.

답변:아니요, 그렇지 않습니다.

벡터를 기저로 분해

임의의 벡터 e (1) , e (2) , . . . , e(n)은 n차원 벡터 공간의 기초입니다. 여기에 특정 n차원 벡터 x →를 추가해 보겠습니다. 결과적인 벡터 시스템은 선형 종속이 됩니다. 선형 의존성의 특성은 그러한 시스템의 벡터 중 적어도 하나가 다른 벡터를 통해 선형으로 표현될 수 있음을 나타냅니다. 이 명제를 다시 공식화하면 선형 종속 시스템의 벡터 중 적어도 하나가 나머지 벡터로 확장될 수 있다고 말할 수 있습니다.

따라서 우리는 가장 중요한 정리의 공식화에 도달했습니다.

정의 4

n차원 벡터 공간의 모든 벡터는 기저로 고유하게 분해될 수 있습니다.

증거 1

이 정리를 증명해 봅시다:

n차원 벡터 공간의 기초를 설정해 봅시다 - e (1) , e (2) , . . . , 전자(n) . n차원 벡터 x →를 추가하여 시스템을 선형 종속으로 만들어 보겠습니다. 이 벡터는 원래 벡터 e로 선형적으로 표현될 수 있습니다.

x = x 1 · e (1) + x 2 · e (2) + . . . + x n · e (n) , 여기서 x 1 , x 2 , . . . , x n - 일부 숫자.

이제 우리는 그러한 분해가 독특하다는 것을 증명합니다. 이것이 사실이 아니고 또 다른 유사한 분해가 있다고 가정해 봅시다:

x = x ~ 1e(1) + x 2 ~ e(2) + . . . + x ~ n e (n) , 여기서 x ~ 1 , x ~ 2 , . . . , x ~ n - 일부 숫자.

이 평등의 왼쪽과 오른쪽에서 각각 평등의 왼쪽과 오른쪽을 뺍니다. x = x 1 · e (1) + x 2 · e (2) + . . . + x n · e(n) . 우리는 다음을 얻습니다:

0 = (x ~ 1 - x 1) · e (1) + (x ~ 2 - x 2) · e (2) + . . . (x~n-xn)e (2)

기저 벡터 시스템 e (1) , e (2) , . . . , e(n)은 선형독립입니다. 벡터 시스템의 선형 독립 정의에 따라 위의 등식은 모든 계수가 (x ~ 1 - x 1) , (x ~ 2 - x 2) , . . . , (x ~ n - x n)은 0과 같습니다. 이는 공정할 것입니다: x 1 = x ~ 1, x 2 = x ~ 2, . . . , xn = x ~ n . 그리고 이는 벡터를 기저로 분해하는 유일한 옵션임을 증명합니다.

이 경우 계수 x 1, x 2, . . . , x n 은 e (1) , e (2) , 를 기준으로 벡터 x →의 좌표라고 합니다. . . , 전자(n) .

입증된 이론은 "n차원 벡터 x = (x 1 , x 2 , ..., x n)이 주어지면"이라는 표현을 명확하게 합니다. 벡터 x → n차원 벡터 공간이 고려되고 해당 좌표는 특정 근거. n차원 공간의 다른 기반에 있는 동일한 벡터가 다른 좌표를 갖게 된다는 것도 분명합니다.

다음 예를 고려하십시오. n차원 벡터 공간의 일부 기반에서 n개의 선형 독립 벡터 시스템이 주어진다고 가정합니다.

그리고 또한 벡터 x = (x1, x2,...,xn)이 주어진다.

벡터 e 1 (1) , e 2 (2) , . . . , en (n)은 이 경우에도 이 벡터 공간의 기초입니다.

e 1 (1) , e 2 (2) , 를 기준으로 벡터 x → 좌표를 결정해야 한다고 가정합니다. . . , en (n) , x ~ 1 , x ~ 2 , 로 표시됩니다. . . , x ~ n.

벡터 x →는 다음과 같이 표현됩니다.

x = x ~ 1e (1) + x ~ 2e (2) + . . . + x ~ n e (n)

이 표현식을 좌표 형식으로 작성해 보겠습니다.

(x1, x2,...,xn) = x~1(e(1)1,e(1)2,...,e(1)n)+x~2(e(2)1, e(2) 2 , ..., e(2) n) + . . . + + x ~ n · (e (n) 1 , e (n) 2 , . . . , e (n) n) = = (x ~ 1 e 1 (1) + x ~ 2 e 1 (2) + . . . + x ~ n e 1 (n) , x ~ 1 e 2 (1) + x ~ 2 e 2 (2) + + . . + x ~ n e 2 (n) , . . . , x ~ 1 e n (1) + x ~ 2 e n (2) + ... + x ~ n e n (n))

결과적인 동일성은 n개의 알 수 없는 선형 변수 x ~ 1, x ~ 2, . . . , x ~ n:

x 1 = x ~ 1e 1 1 + x ~ 2e 1 2 + . . . + x ~ n e 1 n x 2 = x ~ 1 e 2 1 + x ~ 2 e 2 2 + . . . + x ~ n e 2 n ⋮ x n = x ~ 1 e n 1 + x ~ 2 e n 2 + . . . + x ~ n e n n

이 시스템의 매트릭스는 다음과 같은 형식을 갖습니다.

e 1 (1) e 1 (2) ⋯ e 1 (n) e 2 (1) e 2 (2) ⋯ e 2 (n) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ en (1) en (2) ⋯ en (n)

이것을 행렬 A라고 하고 그 열은 선형 독립 벡터 e 1 (1), e 2 (2), … . . , 엔 (n) . 행렬의 순위는 n이고 행렬식은 0이 아닙니다. 이는 연립방정식에 Cramer 방법이나 행렬 방법과 같은 편리한 방법으로 결정되는 고유한 솔루션이 있음을 나타냅니다. 이 방법으로 좌표 x ~ 1, x ~ 2, 를 결정할 수 있습니다. . . , x ~ n 벡터 x → 기저 e 1 (1) , e 2 (2) , . . . , 엔 (n) .

고려한 이론을 구체적인 예에 ​​적용해 보겠습니다.

실시예 6

초기 데이터:벡터는 3차원 공간을 기반으로 지정됩니다.

e (1) = (1 , - 1 , 1) e (2) = (3 , 2 , - 5) e (3) = (2 , 1 , - 3) x = (6 , 2 , - 7)

벡터 e(1), e(2), e(3)의 시스템도 주어진 공간의 기반이 된다는 사실을 확인하고, 주어진 기반에서 벡터 x의 좌표를 결정하는 것도 필요합니다.

해결책

벡터 e(1), e(2), e(3)의 시스템은 선형독립이라면 3차원 공간의 기초가 됩니다. 행이 주어진 벡터 e(1), e(2), e(3)인 행렬 A의 순위를 결정하여 이 가능성을 알아봅시다.

우리는 가우스 방법을 사용합니다:

A = 1 - 1 1 3 2 - 5 2 1 - 3 ~ 1 - 1 1 0 5 - 8 0 3 - 5 ~ 1 - 1 1 0 5 - 8 0 0 - 1 5

순위(A) = 3 . 따라서 벡터 e(1), e(2), e(3)의 시스템은 선형 독립이며 기본입니다.

벡터 x →가 기본적으로 x~1, x~2, x~3의 좌표를 갖도록 합니다. 이러한 좌표 간의 관계는 다음 방정식에 의해 결정됩니다.

x 1 = x ~ 1e 1 (1) + x ~ 2e 1 (2) + x ~ 3e 1 (3) x 2 = x ~ 1e 2 (1) + x ~ 2e 2 (2) + x ~ 3e 2 (3) x 3 = x ~ 1e 3 (1) + x ~ 2e 3 (2) + x ~ 3e 3 (3)

문제의 조건에 따라 값을 적용해 보겠습니다.

x ~ 1 + 3 x ~ 2 + 2 x ~ 3 = 6 - x ~ 1 + 2 x ~ 2 + x ~ 3 = 2 x ~ 1 - 5 x ~ 2 - 3 x 3 = - 7

Cramer의 방법을 사용하여 방정식 시스템을 풀어 보겠습니다.

Δ = 1 3 2 - 1 2 1 1 - 5 - 3 = - 1 Δ x ~ 1 = 6 3 2 2 2 1 - 7 - 5 - 3 = - 1 , x ~ 1 = Δ x ~ 1 Δ = - 1 - 1 = 1 Δ x ~ 2 = 1 6 2 - 1 2 1 1 - 7 - 3 = - 1 , x ~ 2 = Δ x ~ 2 Δ = - 1 - 1 = 1 Δ x ~ 3 = 1 3 6 - 1 2 2 1 - 5 - 7 = - 1 , x ~ 3 = Δ x ~ 3 Δ = - 1 - 1 = 1

따라서 e(1), e(2), e(3)을 기저로 하는 벡터 x →는 x~1 = 1, x~2 = 1, x~3 = 1의 좌표를 갖는다.

답변: x = (1, 1, 1)

기지 간의 관계

n차원 벡터 공간의 일부 기반에서 두 개의 선형 독립 벡터 시스템이 주어진다고 가정해 보겠습니다.

c(1) = (c1(1), c2(1),...,cn(1))c(2)=(c1(2),c2(2),...,cn(1)) (2)) ⋮ c(n) = (c1(n), e2(n),...,cn(n))

e(1) = (e1(1),e2(1),...,en(1))e(2)=(e1(2),e2(2),...,en(1)) (2)) ⋮ e(n) = (e1(n), e2(n),...,en(n))

이러한 시스템은 주어진 공간의 기반이기도 합니다.

c ~ 1 (1) , c ~ 2 (1) , . . . , c ~ n (1) - 기저 e (1) , e (2) , 에서 벡터 c (1)의 좌표입니다. . . , e (3) , 좌표 관계는 선형 방정식 시스템으로 제공됩니다.

c 1 (1) = c ~ 1 (1) e 1 (1) + c ~ 2 (1) e 1 (2) + . . . + c ~ n (1) e 1 (n) c 2 (1) = c ~ 1 (1) e 2 (1) + c ~ 2 (1) e 2 (2) + . . . + c ~ n (1) e 2 (n) ⋮ c n (1) = c ~ 1 (1) en (1) + c ~ 2 (1) en (2) + . . . + c ~ n (1) e n (n)

시스템은 다음과 같이 행렬로 표현될 수 있습니다.

(c 1 (1) , c 2 (1) , . . . , c n (1)) = (c ~ 1 (1) , c ~ 2 (1) , . . . , c ~ n (1)) e 1 (1) e 2 (1) … en (1) e 1 (2) e 2 (2) … en (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) … en (n)

비유를 통해 벡터 c(2)에 대해 동일한 항목을 만들어 보겠습니다.

(c 1 (2) , c 2 (2) , . . . , c n (2)) = (c ~ 1 (2) , c ~ 2 (2) , . . . , c ~ n (2)) e 1 (1) e 2 (1) … en (1) e 1 (2) e 2 (2) … en (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) … en (n)

(c 1 (n) , c 2 (n) , . . . , c n (n)) = (c ~ 1 (n) , c ~ 2 (n) , . . . , c ~ n (n)) e 1 (1) e 2 (1) … en (1) e 1 (2) e 2 (2) … en (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) … en (n)

행렬 등식을 하나의 표현식으로 결합해 보겠습니다.

c 1 (1) c 2 (1) ⋯ c n (1) c 1 (2) c 2 (2) ⋯ c n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c 1 (n) c 2 (n) ⋯ c n (n) = c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) c ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n) e 1 (1) e 2 (1) ⋯ en n (1) e 1 (2) e 2 (2) ⋯ en (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n ) e 2 (n) ⋯ en (n)

두 개의 서로 다른 염기의 벡터 사이의 연결을 결정합니다.

동일한 원리를 사용하여 모든 기저 벡터 e(1), e(2), . . . , e (3) 을 기초로 c (1) , c (2) , . . . , c(n) :

e 1 (1) e 2 (1) ⋯ en (1) e 1 (2) e 2 (2) ⋯ en (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) ⋯ en (n) = e ~ 1 (1) e ~ 2 (1) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n) c 1 (1) c 2 (1) ⋯ c n (1) c 1 (2) c 2 (2) ⋯ c n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c 1 (n ) c 2 (n) ⋯ c n (n)

다음과 같이 정의해 보겠습니다.

정의 5

행렬 c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) c ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n)은 기저 e (1) , e (2) , . . . , 전자 (3)

c(1) , c(2) , . . . , c(n) .

정의 6

행렬 e ~ 1 (1) e ~ 2 (1) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n)은 기저 c (1) , c (2) , . . . , c(n)

e(1) , e(2) , . . . , 전자 (3) .

이러한 평등으로부터 다음이 분명해진다.

c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) c ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n) e ~ 1 (1) e ~ 2 (1) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n) = 1 0 ⋯ 0 0 1 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 1 e ~ 1 (1) e ~ 2 ( 1 ) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n ) · c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) c ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n) = 1 0 ⋯ 0 0 1 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 1

저것들. 전이 행렬은 상호적입니다.

구체적인 예를 사용하여 이론을 살펴 보겠습니다.

실시예 7

초기 데이터:기초로부터 전이행렬을 찾는 것이 필요하다

c(1) = (1, 2, 1) c(2) = (2, 3, 3) ​​c (3) = (3, 7, 1)

e(1) = (3, 1, 4) e(2) = (5, 2, 1) e(3) = (1, 1, - 6)

또한 주어진 베이스에서 임의 벡터 x → 좌표 간의 관계를 표시해야 합니다.

해결책

1. T를 전이 행렬로 설정하면 등식은 참이 됩니다.

3 1 4 5 2 1 1 1 1 = T 1 2 1 2 3 3 3 7 1

등식의 양변에 다음을 곱합니다.

1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1

그리고 우리는 다음을 얻습니다:

T = 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1

2. 전환 행렬을 정의합니다.

T = 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 · 1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1 = = 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 · - 18 5 3 7 - 2 - 1 5 - 1 - 1 = - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

3. 벡터 x → 좌표 간의 관계를 정의해 보겠습니다.

c(1) , c(2) , . . . , c (n) 벡터 x → 좌표 x 1 , x 2 , x 3 을 가지며 다음과 같습니다.

x = (x 1 , x 2 , x 3) 1 2 1 2 3 3 3 7 1 ,

그리고 기초 e (1) , e (2) , . . . , e (3)은 x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3 좌표를 가지며 다음과 같습니다.

x = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3) 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6

왜냐하면 이러한 등식의 좌변이 동일하면 우변도 동일시할 수 있습니다.

(x 1 , x 2 , x 3) · 1 2 1 2 3 3 3 7 1 = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3) · 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6

오른쪽의 양변에 다음을 곱합니다.

1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1

그리고 우리는 다음을 얻습니다:

(x 1 , x 2 , x 3) = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3) · 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 · 1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1 ⇔ ⇔ ( x 1 , x 2 , x 3) = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3) T ⇔ ⇔ (x 1 , x 2 , x 3) = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3 ) · - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

반대편에는

(x~1, x~2, x~3) = (x1, x2, x3) · - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

마지막 등식은 두 밑수에서 벡터 x → 좌표 간의 관계를 보여줍니다.

답변:전이 행렬

27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

주어진 베이스에서 벡터 x →의 좌표는 다음 관계로 관련됩니다.

(x1, x2, x3) = (x~1, x~2, x~3) · - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

(x~1, x~2, x~3) = (x1, x2, x3) · - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8 - 1

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