축에서 벡터의 투영을 찾습니다. 좌표축에 벡터를 투영합니다. 정의에 따른 투영 유형 벡터 투영

l축을 공간, 즉 유향 직선에 부여한다고 하자.

l 축에 대한 점 M의 투영은 점에서 축으로 낮아진 수직 MM 1의 밑면 M 1입니다.

점 M 1은 l 축과 축에 수직인 점 M을 통과하는 평면의 교차점입니다(그림 7 참조).

점 M이 l 축에 있는 경우 점 M을 축에 투영하는 것은 M1과 일치합니다.

AB를 임의의 벡터(AB1 0)로 설정합니다. 벡터 AB의 시작 A와 끝 B의 l 축에 대한 투영을 각각 A 1 및 b 1로 표시하고 벡터 A 1 B 1을 고려해 보겠습니다.

l 축에 대한 벡터 AB의 투영은 양수 |A 1 B 1 | , 벡터 A 1 B 1 과 l 축의 방향이 동일하고 음수가 |A 1 B 1 | , 벡터 A 1 B 1 과 l 축의 방향이 반대인 경우(그림 8 참조). 점 a 1과 b 1이 일치하면 (A 1 B 1 = 0) 벡터 AB의 투영은 0과 같습니다.

l 축에 대한 벡터 AB의 투영은 다음과 같이 표시됩니다. 엘 AB. AB=0 또는 AB^l이면 pr l AB=0입니다.

벡터 a와 l 축 사이의 각도 j(또는 두 벡터 사이의 각도)는 그림 9에 표시됩니다. 분명히 0£j£p는

투영의 몇 가지 기본 속성을 살펴보겠습니다.

속성 1. l 축에 대한 벡터 a의 투영은 벡터 a의 모듈러스와 벡터와 축 사이의 각도 j의 코사인을 곱한 것과 같습니다. 즉, pr l a =|a | 왜냐하면 j.

결과 5.1. 축에 대한 벡터의 투영은 벡터가 축과 예각(둔각)을 형성하는 경우 양수(음수)이고 이 각도가 올바른 경우 0과 같습니다.

결과 5.2. 동일한 축에 대한 동일한 벡터의 투영은 서로 동일합니다.

속성 2. 여러 벡터의 합을 동일한 축에 투영하는 것은 이 축에 투영하는 합과 같습니다.

속성 3. 벡터 a에 숫자 A를 곱하면 축에 대한 투영에도 이 숫자가 곱해집니다.

따라서 벡터에 대한 선형 연산은 이러한 벡터의 투영에 대해 대응하는 선형 연산으로 이어집니다.

5.4. 좌표축의 단위 벡터로 벡터를 분해합니다.
벡터 모듈. 방향 코사인.

우주에서 생각해 보자 직사각형 시스템옥시즈 좌표. 각각 i, j, k로 표시된 좌표축 Ox, Oy 및 Oz에서 단위 벡터(orts)를 선택하겠습니다(그림 12 참조).

임의의 공간 벡터 a를 선택하고 그 원점을 좌표의 원점과 정렬해 보겠습니다. a = OM.

좌표축에 대한 벡터 a의 투영을 찾아보겠습니다. 벡터 OM의 끝을 통해 좌표 평면에 평행한 평면을 그려 보겠습니다. 이 평면과 축의 교차점을 각각 M 1, M 2 및 M3으로 표시합니다. 대각선 중 하나가 벡터 OM인 직육면체를 얻습니다. 그런 다음 pr x a=|OM 1 |, np y a = |OM 2 |, pr z a=|OM3|. 여러 벡터의 합을 정의하면 a = OM 1 + M 1 N + NM이 됩니다.

그리고 M 1 N=OM 2, NM = OM3이므로

a=OM 1 + OM 2 + OM 3(5.1)

벡터 a=OM의 Ox, Oy 및 Oz 축에 대한 투영을 각각 x, a y 및 a z로 표시하겠습니다. 즉, |OM 1 | = x,|OM 2 | = a y, |OM 3 | = a z . 그런 다음 등식 (5.1)과 (5.2)로부터 우리는 다음을 얻습니다.

a=a x i+a y j+a z k (5.3)

이 공식은 벡터 미적분학의 기본 공식이며 좌표축의 단위 벡터에서 벡터의 분해라고 합니다. 숫자 a x, a y, a z를 벡터 a의 좌표라고 합니다. 즉, 벡터의 좌표는 해당 좌표축에 대한 투영입니다.

벡터 상등(5.3)은 종종 기호 형식(a = (a x ;a y ;a z))으로 작성됩니다.

등식 b = (b x; b y; b z)는 b = b x i + b y j + b z k를 의미합니다. 벡터 a의 투영을 알면 벡터의 모듈러스에 대한 표현식을 쉽게 찾을 수 있습니다. 직육면체의 대각선 길이에 관한 정리를 바탕으로 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

즉, 벡터의 모듈러스는 동일합니다. 제곱근좌표축에 대한 투영의 제곱의 합에서.

축 Ox, Oy 및 Oz를 갖는 벡터 a의 각도가 각각 a, b, g와 같다고 가정합니다. 축에 대한 벡터 투영의 속성에 따라 우리는

아니면 뭐가 똑같나요?

숫자를 벡터 a의 방향 코사인이라고 합니다.

식 (5.5)를 평등 (5.4)으로 대체하면 다음을 얻습니다.

우리는 관계를 얻음으로써 감소합니다.

즉, 0이 아닌 벡터의 방향 코사인의 제곱의 합은 1과 같습니다.

단위 벡터 e의 좌표가 숫자라는 것을 쉽게 알 수 있습니다.

따라서 벡터의 좌표를 지정하면 항상 크기와 방향을 결정할 수 있습니다. 벡터 그 자체.

정의 1. 평면에서 점 A를 l 축에 평행하게 투영하는 점은 점입니다. l 축과 설계 방향을 지정하는 벡터에 평행한 점 A를 통해 그려진 직선의 교차점입니다.

정의 2. l 축(벡터에 대한)에 대한 벡터의 평행 투영은 기저에 대한 벡터의 좌표입니다. 축 l, 여기서 점 과 는 점 A와 B를 l 축에 평행하게 투영한 것입니다(그림 1).

정의에 따르면 우리는

정의 3. 만약 l 축 기준 데카르트(Cartesian), 즉 벡터를 l 축으로 투영하는 것입니다. 직교라고 합니다(그림 2).

공간에서는 축에 대한 벡터 투영의 정의 2가 그대로 유지되며 투영 방향만 두 개의 비공선형 벡터에 의해 지정됩니다(그림 3).

축에 대한 벡터 투영의 정의에 따르면 벡터의 각 좌표는 해당 기본 벡터에 의해 정의된 축에 대한 이 벡터의 투영입니다. 이 경우 설계 방향은 설계가 공간에서 수행(고려)되는 경우 두 개의 다른 기저 벡터로 지정되고, 설계가 평면에서 고려되는 경우 다른 기저 벡터로 지정됩니다(그림 4).

정리 1. l 축에 대한 벡터의 직교 투영은 벡터의 계수와 l 축의 양의 방향 사이의 각도의 코사인의 곱과 같습니다.

반대편에는

우리가 찾는 것에서

AC를 평등 (2)로 대체하면 다음을 얻습니다.

숫자부터 엑스고려중인 두 경우 모두 동일한 부호 ((그림 5, a) ; (그림 5, b), 평등 (4)에서 다음과 같습니다.

논평. 다음에서는 축에 대한 벡터의 직교 투영만 고려하므로 "ort"(직교)라는 단어는 표기법에서 생략됩니다.

나중에 문제를 해결하는 데 사용되는 여러 공식을 제시해 보겠습니다.

a) 벡터를 축에 투영합니다.

그렇다면 공식 (5)에 따른 벡터에 대한 직교 투영은 다음과 같은 형식을 갖습니다.

c) 점에서 평면까지의 거리.

b는 법선 벡터를 갖는 주어진 평면이고, M은 주어진 점이며,

d는 점 M에서 평면 b까지의 거리입니다(그림 6).

N이 평면 b의 임의의 점이고, 가 축에 대한 점 M과 N의 투영이면,

G) 교차하는 선 사이의 거리입니다.

a와 b에 교차선이 주어지고, 이들에 수직인 벡터이고, A와 B가 각각 선 a와 b의 임의의 점이라고 가정하고(그림 7) 점 A와 B를 투영한다고 가정합니다.

e) 점에서 선까지의 거리.

허락하다 엘- 방향 벡터 M을 갖는 주어진 직선, M - 주어진 점,

N - 라인에 투영 엘, 그런 다음 - 필요한 거리입니다 (그림 8).

A가 직선 위의 임의의 점인 경우 엘, 그런 다음 정삼각형 MNA, 빗변 MA 및 다리를 찾을 수 있습니다. 수단,

f) 직선과 평면 사이의 각도.

이 선의 방향 벡터를 이라고 하자 엘, - 법선 벡터주어진 평면 b의 - 직선의 투영 엘평면 b로(그림 9).

알려진 바와 같이, 직선 사이의 각도 μ 엘평면 b에 대한 투영을 선과 평면 사이의 각도라고 합니다. 우리는

벡터 좌표 방법을 사용하여 미터법 문제를 해결하는 예를 들어 보겠습니다.

두 개의 벡터를 놓고 공간에 주어집니다. 임의의 시점에서 연기하자 영형벡터와 . 각도벡터 사이의 각도를 가장 작은 각도라고 합니다. 지정 .

축을 고려해보세요 엘그 위에 단위 벡터(즉, 길이가 1인 벡터)를 플로팅합니다.

벡터와 축 사이의 각도에서 엘벡터와 사이의 각도를 이해합니다.

그러니 보자 엘는 축이고 벡터입니다.

다음으로 나타내자 A 1그리고 비 1축에 투영 엘각각 포인트 ㅏ그리고 비. 그런 척하자 A 1좌표가 있다 x 1, ㅏ 비 1– 좌표 x 2축에 엘.

그 다음에 투사축당 벡터 엘차이라고 불리는 x 1 – x 2이 축에 대한 벡터의 끝과 시작 투영 좌표 사이.

벡터를 축에 투영 엘우리는 을 표시할 것입니다.

벡터와 축 사이의 각도가 엘그럼 매워요 x 2> x 1및 투영 x 2 – x 1> 0; 이 각도가 둔각이라면 x 2< x 1및 투영 x 2 – x 1< 0. Наконец, если вектор перпендикулярен оси 엘, 저것 x 2= x 1그리고 x 2– x 1=0.

따라서 벡터를 축에 투영하면 엘세그먼트의 길이입니다 가 1 비 1, 특정 기호로 촬영되었습니다. 따라서 축에 대한 벡터의 투영은 숫자 또는 스칼라입니다.

한 벡터를 다른 벡터로 투영하는 것도 비슷하게 결정됩니다. 이 경우 두 번째 벡터가 있는 선에 대한 이 벡터의 끝의 투영이 발견됩니다.

몇 가지 기본 사항을 살펴 보겠습니다. 투영의 속성.

선형 종속 및 선형 독립 벡터 시스템

여러 벡터를 고려해 봅시다.

선형 조합이 벡터 중 는 형식의 모든 벡터입니다. 여기서 숫자는 입니다. 숫자를 선형 결합 계수라고 합니다. 그들은 또한 이 경우에는 이러한 벡터를 통해 선형적으로 표현된다고 말합니다. 선형 동작을 사용하여 그들로부터 얻습니다.

예를 들어 세 개의 벡터가 주어지면 다음 벡터를 선형 결합으로 간주할 수 있습니다.

어떤 벡터가 어떤 벡터들의 선형결합으로 표현된다면, 이를 다음과 같다고 합니다. 배치이 벡터를 따라.

벡터는 다음과 같습니다. 선형 종속, 숫자가 있고 모두 0이 아닌 경우 . 이러한 벡터 중 하나가 다른 벡터에 대해 선형으로 표현되면 주어진 벡터는 선형 종속적이라는 것이 분명합니다.

그렇지 않으면, 즉 비율이 언제 경우에만 수행 , 이러한 벡터를 호출합니다. 선형독립.

정리 1.두 벡터가 동일선상에 있는 경우에만 선형 종속입니다.

증거:

다음 정리도 비슷하게 증명할 수 있습니다.

정리 2.세 벡터는 동일 평면에 있는 경우에만 선형 종속입니다.

증거.

기초

기초 0이 아닌 선형 독립 벡터의 모음입니다. 우리는 기초의 요소를 로 표시할 것입니다.

이전 단락에서 우리는 평면 위의 두 비공선형 벡터가 선형독립이라는 것을 보았습니다. 따라서 이전 단락의 정리 1에 따르면 평면의 기저는 이 평면에 있는 두 개의 비공선형 벡터입니다.

마찬가지로, 동일 평면이 아닌 세 벡터는 모두 공간에서 선형 독립입니다. 결과적으로, 우리는 동일 평면이 아닌 세 개의 벡터를 공간의 기저라고 부릅니다.

다음 진술은 사실입니다.

정리.공간에 기초를 두십시오. 그러면 모든 벡터는 선형 조합으로 표현될 수 있습니다. , 어디 엑스, 와이, 지- 몇 가지 숫자. 이것이 유일한 분해입니다.

증거.

따라서 기저를 사용하면 각 벡터가 세 개의 숫자(이 벡터를 기저 벡터로 확장하는 계수)와 고유하게 연관될 수 있습니다. 그 반대도 마찬가지입니다. 세 개의 숫자마다 x, y, z기저를 사용하여 선형 조합을 만들면 벡터를 비교할 수 있습니다 .

만약 기초와 , 숫자 x, y, z호출된다 좌표주어진 기준으로 벡터. 벡터 좌표는 으로 표시됩니다.

직교좌표계

공간에 포인트를 주자 영형그리고 3개의 비동일면 벡터.

직교 좌표계공간(평면)에서는 점과 기초의 집합입니다. 한 점과 이 점에서 나오는 세 개의 비공동선 벡터(2개의 비공선형 벡터)로 구성된 집합입니다.

점 영형원산지라고함; 기본 벡터 방향으로 좌표 원점을 통과하는 직선을 좌표축(가로좌표, 세로좌표 및 적용축)이라고 합니다. 좌표축을 통과하는 평면을 좌표 평면이라고 합니다.

선택한 좌표계에서 임의의 점을 고려하십시오. 중. 점좌표의 개념을 소개해보자 중. 원점과 점을 연결하는 벡터 중. ~라고 불리는 반경 벡터포인트들 중.

선택한 기준의 벡터는 세 개의 숫자(좌표)와 연관될 수 있습니다. .

점의 반경 벡터의 좌표 중. 호출된다 점 M의 좌표. 고려중인 좌표계에서. 남(x,y,z). 첫 번째 좌표를 가로좌표, 두 번째 좌표를 세로좌표, 세 번째 좌표를 아플리케이트라고 합니다.

평면의 데카르트 좌표도 비슷하게 결정됩니다. 여기서 점에는 가로좌표와 세로좌표라는 두 개의 좌표만 있습니다.

주어진 좌표계에서 각 점에는 특정 좌표가 있다는 것을 쉽게 알 수 있습니다. 반면에, 세 개의 숫자 각각에는 이러한 숫자를 좌표로 갖는 고유한 점이 있습니다.

선택한 좌표계에서 기초로 사용된 벡터가 단위 길이를 갖고 쌍별로 수직인 경우 좌표계를 호출합니다. 데카르트 직사각형.

그것을 보여주는 것은 쉽습니다.

벡터의 방향 코사인은 방향을 완전히 결정하지만 길이에 대해서는 아무 것도 말하지 않습니다.

움직임에 대한 벡터 설명은 하나의 그림에서 항상 다양한 벡터를 묘사하고 눈앞에서 움직임의 시각적 "그림"을 얻을 수 있기 때문에 유용합니다. 그러나 벡터 작업을 수행하기 위해 매번 눈금자와 각도기를 사용하는 것은 매우 노동 집약적입니다. 따라서 이러한 작업은 양수 및 음수 작업, 즉 벡터 투영으로 축소됩니다.

벡터를 축에 투영투영된 벡터의 모듈러스와 벡터 방향과 선택한 좌표축 사이의 각도 코사인의 곱과 동일한 스칼라 수량이라고 합니다.

왼쪽 그림은 모듈이 50km이고 방향이 형성되는 변위 벡터를 보여줍니다. 둔각 X축 방향으로 150° 정의를 사용하여 X축에 대한 변위 투영을 찾습니다.

sx = s cos(α) = 50km cos(150°) = –43km

축 사이의 각도가 90°이므로 이동 방향이 Y축 방향과 60°의 예각을 이루는 것으로 계산하기 쉽습니다. 정의를 사용하여 Y축에서 변위 투영을 찾습니다.

sy = s cos(β) = 50km cos(60°) = +25km

보시다시피, 벡터 방향이 축 방향과 예각을 형성하면 투영은 양수입니다. 벡터 방향이 축 방향과 둔각을 형성하면 투영은 음수입니다.

오른쪽 그림은 모듈이 5m/s이고 방향이 X축 방향과 30°의 각도를 이루는 속도 벡터를 보여줍니다.

υx = υ · cos(α) = 5 m/s · cos( 30°) = +4.3 m/s
υy = υ · cos(β) = 5 m/s · cos( 120°) = –2.5 m/s

투영된 벡터가 선택한 축에 평행하거나 수직인 경우 축에서 벡터 투영을 찾는 것이 훨씬 쉽습니다. 평행성의 경우 두 가지 옵션이 가능하다는 점에 유의하십시오. 벡터는 축과 같은 방향이고 벡터는 축의 반대이며, 수직성의 경우에는 하나의 옵션만 있습니다.

축에 수직인 벡터의 투영은 항상 0입니다(왼쪽 그림의 sy 및 y, 오른쪽 그림의 sx 및 υx 참조). 실제로 축에 수직인 벡터의 경우 벡터와 축 사이의 각도는 90°이므로 코사인은 0입니다. 이는 투영이 0임을 의미합니다.

축과 같은 방향의 벡터 투영은 양수이고 절대값과 같습니다(예: sx = +s(왼쪽 그림 참조)). 실제로 축과 같은 방향인 벡터의 경우 축과 축 사이의 각도는 0이고 코사인은 "+1"입니다. 즉, 투영은 벡터의 길이와 같습니다. sx = x – xo = + s .

축 반대쪽 벡터의 투영은 음수이며 빼기 기호가 있는 모듈과 동일합니다(예: sy = –s(오른쪽 그림 참조)). 실제로 축 반대쪽 벡터의 경우 벡터와 축 사이의 각도는 180°이고 코사인은 "-1"입니다. 즉, 투영은 음수 기호로 취한 벡터의 길이와 같습니다. sy = y – 요 = –s .

두 도면의 오른쪽은 벡터가 좌표축 중 하나에 평행하고 다른 좌표축에 수직인 다른 경우를 보여줍니다. 이러한 경우에도 이전 단락에 명시된 규칙을 준수하는지 직접 확인하시기 바랍니다.

닫힌 힘 다각형을 구성하여 수렴하는 힘의 평형 문제를 해결하려면 성가신 구성이 필요합니다. 이러한 문제를 해결하기 위한 보편적인 방법은 주어진 힘의 좌표축에 대한 투영을 결정하고 이러한 투영을 사용하여 작업하는 것입니다. 축은 특정 방향이 지정된 직선입니다.

축에 대한 벡터의 투영은 스칼라 양이며, 이는 벡터의 시작과 끝에서 수직선에 의해 잘려진 축의 세그먼트에 의해 결정됩니다.

투영의 시작부터 끝까지의 방향이 축의 양의 방향과 일치하는 경우 벡터 투영은 양의 것으로 간주됩니다. 투영의 시작부터 끝까지의 방향이 축의 양의 방향과 반대인 경우 벡터 투영은 음의 것으로 간주됩니다.

따라서 좌표축에 대한 힘의 투영은 힘 계수와 힘 벡터와 축의 양의 방향 사이의 각도 코사인의 곱과 같습니다.

힘을 축에 투영하는 여러 가지 사례를 고려해 보겠습니다.

힘 벡터 에프(그림 15)는 x축의 양의 방향과 예각을 이룹니다.