미소 변위에 대한 힘이 행한 일은 기본 일이라고 하며 다음 공식으로 표현됩니다.

힘 F와 적용 지점의 속도 v 사이의 각도는 어디입니까(그림 171), 또는 스칼라 곱의 형태입니다.

힘이 가해지는 지점의 반경 벡터의 미분은 어디에 있습니까?

벡터 F의 투영을 통해 이 스칼라 곱을 표현합니다. 좌표축, 우리는 기본 작업에 대한 분석 표현을 얻습니다.

여기서 X, Y, Z는 좌표축에 대한 힘의 투영이며 이 지점의 기본 이동 동안 힘 적용 지점 좌표의 무한한 변화(미분)입니다.

힘 F를 가하면 입체, 고정 축 z를 중심으로 회전한 다음

축을 중심으로 한 신체의 기본 회전 각도는 어디에 있습니까?

고정된 회전축을 가진 물체에 모멘트를 갖는 한 쌍의 힘이 가해지면 이 쌍의 기본 작업은 다음과 같이 표현됩니다.

벡터의 투영은 어디에 있습니까? 축에 대한 쌍의 순간입니다.

특히 흥미로운 점은 힘이 점 좌표의 함수인 경우입니다.

이 경우, 좌표에 대한 부분 도함수가 해당 좌표 축에 대한 힘의 투영과 동일한 좌표 함수가 있습니다.

이러한 기능을 힘 또는 전위 기능이라고 합니다. 따라서 힘 함수가 있다면,

즉, 힘의 기본 작업은 힘 함수의 전체 미분과 같습니다. 힘 기능을 갖는 힘의 작용이 나타나는 공간의 제한적이거나 무제한적인 부분을 힘 전위장이라고 합니다.

힘 함수가 일정한 값을 유지하는 힘 전위장 지점의 기하학적 위치를 등전위 표면 또는 수평 표면이라고 합니다.

최종 경로에서 힘 F의 작업 A는 기본 작업 합계의 한계로 정의되며 점에서 점 M까지의 궤적 호를 따라 취해진 곡선 적분의 형태로 표현됩니다.

곱 a가 힘 적용 지점의 호 좌표 s의 알려진 함수로 표현되면 적분 변수는 이 수량 s이고 작업 계산 공식은 다음과 같은 형식을 취합니다.

(168)

힘의 적용 지점의 위치와 M에 해당하는 호 좌표의 값은 어디에 있으며, 이 지점의 궤적에 대한 접선에 대한 힘의 투영입니다.

일정한 계수를 갖는 힘이 적용 지점을 따라 이동하는 직선과 일정한 각도를 형성하면

특별한 경우에, 점 M이 일정한 힘 F의 작용 하에서 직선으로 움직일 때, 동일한 직선을 따라 이동 방향 또는 반대 방향으로 향하면 그에 따라 다음이 성립됩니다.

점이 이동한 경로는 어디입니까?

고정된 축을 중심으로 한 강체의 회전 운동 중에 강체에 가해지는 힘의 모멘트가 몸체의 회전 각도의 함수인 경우, 즉

한 쌍의 힘의 작용은 비슷하게 결정됩니다:

최종 변위에 대한 잠재적인 함수를 갖는 힘의 작용은 경로의 최종 지점과 초기 지점에서 이 함수 값의 차이로 표현됩니다.

즉, 이 경우 힘의 작용은 점 M이 이동하는 곡선에 의존하지 않고 초기 위치와 최종 위치에만 의존합니다. 힘 전위장에서 물질 점의 운동을 연구할 때, 이는 매우 큰 중요성위치에너지라는 개념이 있다. 물질점의 위치에너지는 힘 전위장에 위치한 점이 갖는 특별한 유형의 에너지입니다. 위치 에너지 P는 적용 지점을 주어진 위치 M(x, y, z)에서 0으로 간주되는 위치로 이동할 때 전계력이 수행하는 작업과 같습니다.

위치 에너지의 최종 경로에서 힘이 한 일은 다음과 같이 표현됩니다.

여러 힘이 한 점에 작용하면 어떤 경로에서 이러한 힘의 합력이 한 일은 동일한 경로에서 구성 힘이 한 일의 합과 같습니다.

기술 단위 시스템에서 작업은 킬로그램 미터로 측정됩니다. 국제 단위계에서 작업 단위는 1줄입니다.

Power N은 작업이 수행되는 속도를 나타내며 일반적으로 시간에 대한 작업의 미분으로 정의됩니다.

즉, 힘은 평등하다 스칼라 곱힘 벡터를 속도 벡터로 변환합니다.

작업 A가 균일하게 수행되면 검정력은 다음과 같이 결정됩니다.

작업이 수행된 시간은 어디입니까?

따라서 이 특별한 경우 전력은 단위 시간당 생산된 작업량과 수치적으로 동일합니다.

고정 축을 중심으로 강체가 회전하는 동안:

는 회전축을 기준으로 몸체에 가해지는 힘의 주요 모멘트이고, 는 몸체의 각속도입니다.

단위의 기술 시스템에서 전력은 마력으로 측정됩니다.

국제 단위계에서 전력의 단위는 다음과 같습니다.

일과 전력을 계산하는 문제를 해결할 때 효율성이 자주 사용됩니다. 효율성은 원동력의 작업이나 힘에 대한 유용한 작업이나 힘의 비율입니다.

유해한 저항으로 인해.

작업량을 계산할 때 다음과 같은 경우를 구별해야 합니다.

1. 직선 운동크기와 방향의 힘 상수의 영향을 받아 이러한 유형의 문제에서는 공식 (169)와 (170)이 사용됩니다 (문제 756, 762).

2. 힘의 영향을 받는 직선 운동, 직선 궤적 방향으로의 투영은 이 선의 고정된 중심으로부터 점까지의 거리의 함수입니다(문제 번호 768). 이 유형의 문제에서 , 축이 점의 궤적을 따라 향하는 경우 공식 (167)이 사용됩니다.

3. 크기와 방향이 일정한 힘의 영향을 받는 곡선 운동: 이 경우 공식 (167)을 사용할 수 있습니다.

4. 힘의 적용 지점 좌표의 함수인 힘의 영향을 받는 곡선 운동.

여기서 작업의 정의는 공식(167)을 사용하여 곡선 적분을 계산하는 것으로 축소됩니다. 고려 중인 경우 힘 함수가 있는 경우 작업은 공식 (173) 또는 (176)에 의해 결정됩니다.

5. 일정한 토크 또는 몸체의 회전 각도에 따른 토크의 작용 하에서 강체의 회전 운동; 이 경우 공식 (171)을 사용하여 작업을 계산합니다.

운동의 성격에 따라 동력을 계산하기 위해 힘 적용 지점의 직선 또는 곡선 운동에 대한 공식(177)(문제 760, 764)을 사용하거나 강체의 회전 운동의 경우 공식(179)을 사용합니다. 신체 (문제 771, 772, 765). 평균 전력은 공식(178)을 사용하여 결정할 수 있습니다.

예 131. 트레일러가 수평 트랙을 따라 당겨지는 데 도움이 되는 일정한 힘이 로드를 따라 작용합니다(그림 172). 추력은 수평선과 각도를 형성합니다. 경로에 힘 F가 한 일을 구하십시오.

해결책. 여기서 작업은 공식 (169)에 의해 결정됩니다.

예제 132. 무게가 있는 몸체가 수평 힘을 사용하여 수평 바닥을 따라 일정 거리만큼 이동합니다. 물체 표면과 바닥 사이의 마찰 계수가 이면 마찰력이 하는 일을 구하십시오.

해결책. 쿨롱의 법칙에 따르면 마찰력은 이고, 여기서 N은 바닥면에 가해지는 물체의 수직 압력이고, 이 경우에는 입니다. 마찰력은 운동의 반대 방향으로 향하므로 이 힘이 한 일은 음수입니다.

예제 133. 물질 점을 위치 M(x, y, z)으로 이동할 때 중력에 의해 수행된 일을 구하고 위치 M에 있는 점의 위치 에너지도 계산합니다(그림 173).

해결책. z축을 수직 위쪽으로 향하게 하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다.

체중은 어디에 있습니까? 따라서 식 (162)에 따르면

(182)

즉, 중력의 작용은 물질점의 무게와 초기 및 최종 위치의 높이 차이를 곱한 것과 동일하며, 이 높이는 임의로 선택한 수평면에서 측정됩니다.

공식 (175)에 기초하여 점의 위치 에너지를 결정해 보겠습니다.

여기서 C는 임의 적분 상수입니다.

실시예 134. 하중 M이 정지된 끝까지 늘어난 막대의 탄성력에 의해 수행된 작업을 결정합니다. 이 하중이 위치에서 위치 M으로 이동할 때 변형되지 않은 막대의 길이가 다음과 같으면 계산합니다. 위치 M에 있는 지점의 위치 에너지(그림 174).

해결책. 탄성력 F를 나타내고 x축을 수직 아래쪽으로 향하게 하면 다음과 같습니다.

여기서 x는 막대의 신장이고, c는 막대의 강성입니다.

따라서,

예 135. 힘은 재료 점에 작용하며 좌표축에 대한 투영은 다음과 같이 표현됩니다.

힘이 n으로 표시되고 좌표가 cm로 표시되면 점을 한 위치에서 다른 위치로 이동할 때 이 힘이 한 일을 구하십시오.

해결책. 우선, 이 경우 힘 함수가 존재하는지 알아봅시다. 이를 위해 편도함수를 찾습니다.

여기에서 우리는 그것을 얻습니다

즉, 조건(164)이 충족되고 힘 함수가 존재합니다. 이 함수의 총 미분은 기본 작업과 같습니다. 공식을 사용하거나 값을 대체하여 기본 작업을 찾습니다.

이 표현은 실제로 총 미분입니다.

점과 M의 함수 값은 동일합니다.

따라서 필요한 작업은 다음과 같습니다.

실시예 136. 중심 힘의 작용을 결정합니다. 모듈러스는 이 힘의 중심으로부터 재료 점까지의 거리에 따라 달라집니다. 즉, (그림 175)

해결책. 이 경우 단위 힘 벡터는 다음과 같습니다.

또한 점 M이 힘의 중심에서 밀려나는지 끌어당기는지에 따라 부호가 선택됩니다.

따라서 힘 벡터 F는 다음과 같이 표현됩니다.

따라서 공식 (161)을 사용하면 다음과 같습니다.

따라서,

즉, 기본 작업은 전체 미분이므로 힘 함수가 있고,

따라서 이 경우 힘 적용 지점의 반경 벡터에 따라 힘 함수를 즉시 결정한 다음 이 지점을 한 위치에서 다른 위치로 이동할 때 힘의 작용을 계산할 수 있는 일반 공식이 있습니다.

예제 137. 스프링의 한쪽 끝은 점 O에 경첩으로 연결되어 있고 다른 쪽 끝에는 볼이 부착되어 있습니다. 늘어지지 않은 스프링의 길이는 , 강성입니다. 공은 위치에서 위치로 이동하며 스프링은 늘어나서 구부러지지 않습니다. 다음과 같은 경우 용수철의 탄성력이 한 일을 구하라.

해결책. 이 경우 스프링력의 탄성계수는 다음과 같이 표현됩니다.

기계 시스템의 운동 에너지 변화에 관한 정리

연구 질문:

1. 힘의 작용.

2. 점과 기계 시스템의 운동 에너지.

3. 점의 운동에너지 변화에 관한 정리.

4. 기계 시스템의 운동 에너지 변화에 관한 정리.

5. 잠재적인 역장과 잠재적인 에너지.

1. 힘의 작용.

힘의 기본 작업은 힘 벡터와 힘 적용 지점의 무한한 작은 변위 벡터의 스칼라 곱과 동일한 무한한 스칼라 수량입니다.

.

-반경 벡터의 증가 힘의 적용 지점, 이 지점의 궤적이 호도그래프입니다. 초등 운동
궤적을 따라 있는 지점이 일치합니다.
그들의 작은 크기 때문에. 그렇기 때문에

왜냐하면
- 점의 이동 방향에 대한 힘의 투영(곡선 궤적의 경우 - 접선 축) 그 다음 궤적에

,

즉, 접선력만이 일을 하고, 수직력이 한 일은 0입니다.

만약에
저것

만약에
저것

만약에
저것
.

벡터를 상상해 봅시다 그리고
데카르트 좌표축의 투영을 통해:

,

힘의 작용 마지막 움직임에이 운동에 대한 기본 작업의 총합과 같습니다.

.

.

힘이 일정하고 적용 지점이 선형으로 움직이는 경우

.

중력의 일

어디 시간- 힘의 적용 지점을 수직 아래쪽(높이)으로 이동합니다.

중력의 작용점을 위쪽으로 움직일 때
(점
- 하단에,
- 위에). 그래서,

.

중력이 한 일은 궤도의 모양에 의존하지 않습니다. 닫힌 경로를 따라 이동할 때(
일치하다
) 일은 0입니다.

스프링의 탄성력에 의한 작용.

스프링은 축을 따라서만 늘어납니다. 엑스

,

어디 - 스프링 변형량. 힘을 가하는 지점을 움직일 때
아래쪽 위치에서 위쪽으로 힘의 방향과 이동 방향이 일치하면
.

그러므로 탄성력의 작용은

.

고체에 가해지는 힘의 작용.

ㅏ) 내부 세력의 작업

둘을 위해 케이 - x점: , 왜냐하면
그리고 (운동학에서 입증됨) (그림 80).

고체의 모든 내부 힘의 기본 작업은 0입니다.

.

그러므로 신체의 유한한 변위에서

.

비) 외부 세력의 작업.

신체의 전진 운동.

k번째 부대의 기본 작업

모든 힘을 다해

.

병진 운동 중에 이후로

,

어디
- 외력의 주요 벡터를 이동 방향으로 투영합니다.

최종 변위에 대한 힘의 작용

.

고정된 축을 중심으로 몸체의 회전 .

초등 작업 케이 -번째 힘

어디
,
그리고
- 힘의 구성요소 자연 축을 따라

왜냐하면
,
, 그런 다음 이러한 힘의 작용으로 이동
힘의 적용점은 0이다. 그 다음에

.

초등 작업 케이 - 번째 외력 회전축에 대한 이 힘의 순간의 곱과 같습니다.
기본 회전 각도로
축을 중심으로 한 몸체.

모든 외부 힘의 기본 작업

,

어디
- 축에 대한 외력의 주요 순간.

최종 변위에 대한 힘의 작용

.

만약에
, 저것

어디
- 최종 회전 각도;
, 어디 피- 축을 중심으로 몸체가 회전하는 횟수.

힘 단위 시간당 힘이 한 일이다. 일이 균일하게 이루어지면 힘은

,

어디 ㅏ– 최종 변위에서 힘이 시간에 맞춰 수행한 일 티.

보다 일반적인 경우, 힘의 힘은 힘의 기본 일의 비율로 정의될 수 있습니다. 다초등학생까지 dt, 이 작업이 수행되었으며 이는 시간에 대한 작업의 파생물입니다. 그렇기 때문에

물체가 고정된 축을 중심으로 회전할 때

,

어디
- 신체의 회전 각속도.

일과 전력의 단위. SI 시스템에서 힘의 작용을 측정하는 단위는 다음과 같습니다. 줄 (1 제이= 1 Nm),

전력 측정 단위는 각각 다음과 같습니다. 와트 (1 여 = 1 J/s)

75 킬로그램m/초 = 1 엘. 와 함께. (마력).

1 kW= 1000 여= 1,36 엘. 와 함께.

정리: 중력에 의해 수행된 일은 궤적 유형에 의존하지 않으며 힘 계수와 적용 지점의 수직 변위의 곱과 같습니다. .

소재를 포인트로 삼으세요 중 중력의 영향을 받아 움직인다 G 일정 기간 동안 그 위치에서 이동합니다. 남 1 위치에 남 2 , 그 길을 걸어온 에스 (그림 4).
점의 궤적에 중 극미한 영역을 선택하다 DS , 이는 직선으로 간주될 수 있으며 끝에서 직선을 그립니다. 축에 평행좌표 중 하나는 수직이고 다른 하나는 수평입니다.
음영처리된 삼각형으로부터 우리는 다음을 얻습니다.

dy = ds cos α.

힘의 기본 작업 G 도중에 DS 동일하다:

dW = F ds cos α.

전체 작업중력 G 도중에 에스 동일

W = ∫ Gds cos α = ∫ Gdy = G ∫ dy = Gh.

따라서 중력에 의해 수행된 일은 힘과 적용 지점의 수직 변위의 곱과 같습니다.

정리가 입증되었습니다.

중력의 작용을 결정하는 문제를 해결하는 예

일: 동종 직사각형 배열 ABCD 대량의 중 = 4080kg에 표시된 치수가 있습니다. 쌀. 5.
가장자리 주위로 어레이를 기울이는 데 필요한 작업 결정 디 .

해결책.
분명히 필요한 작업은 어레이의 중력에 의해 수행되는 저항 작업과 동일하지만 가장자리 위로 기울일 때 어레이 무게 중심의 수직 변위는 디 중력이 한 일의 양을 결정하는 경로입니다.

먼저 배열의 중력을 결정해 보겠습니다. G = mg = 4080×9.81 = 40,000N = 40kN.

수직 이동을 결정하려면 시간 직사각형의 균질 배열의 무게 중심 (직사각형의 대각선 교차점에 위치)에서 우리는 다음을 기반으로 피타고라스 정리를 사용합니다.

KO 1 = ОD – КD = √(ОК 2 + КD 2) – КD = √(3 2 +4 2) - 4 = 1m.

중력 작용에 관한 정리를 바탕으로 우리는 대산괴를 뒤집는 데 필요한 작업을 결정합니다.

W = G×KO 1 = 40,000×1 = 40,000J = 40kJ.

문제가 해결되었습니다.

회전하는 물체에 일정한 힘을 가하여 한 일

일정한 힘의 영향을 받아 고정된 축을 중심으로 회전하는 디스크를 상상해 봅시다. 에프 (그림 6), 적용점은 디스크와 함께 이동합니다. 권력을 무너뜨리자 에프 세 개의 서로 수직인 구성요소로: F 1 – 원주 힘, F 2 - 축방향 힘, 여 3 – 방사형 힘.

디스크를 아주 작은 각도로 회전시킬 때 d∅ 힘 에프 결과 작업 정리에 기초하여 구성 요소 작업의 합과 같은 기본 작업을 수행합니다.

구성 요소의 작업은 분명합니다. F 2 그리고 여 3 이 힘의 벡터는 미소한 변위에 수직이기 때문에 0과 같습니다. DS 적용 포인트 중 , 그러므로 기본적인 힘의 작용 에프 해당 구성 요소의 작업과 동일 F 1 :

dW = F 1 ds = F 1 Rdψ.

디스크를 최종 각도로 돌릴 때 φ 힘의 일 에프 동일

W = ∫ F 1 Rdψ = F 1 R ∫ dψ = F 1 Rψ,

각도는 어디에 있나요? φ 라디안으로 표현됩니다.

구성 요소의 순간부터 F 2 그리고 여 3 축을 기준으로 지 는 0과 같으며, Variignon의 정리에 기초하여 힘의 순간은 다음과 같습니다. 에프 축을 기준으로 지 동일:

M z (F) = F 1 R.

회전축에 대해 디스크에 가해지는 힘의 순간을 토크라고 하며, 표준에 따르면 ISO, 문자로 표시 티 :

T = Mz(F), 따라서, W = Tψ .

회전체에 가해지는 일정한 힘에 의해 수행된 일은 토크와 각변위의 곱과 같습니다.

문제 해결의 예

일: 작업자가 윈치 핸들을 강제로 회전시킵니다. 에프 = 200N, 회전 반경에 수직입니다.
해당 시간 동안 소요된 작업 찾기 티 = 25초, 손잡이 길이가 길면 아르 자형 = 0.4m, 그리고 그 각속도 ω = π/3rad/s.

해결책.
먼저 각도 변위를 결정합시다. φ 윈치 핸들 25초:

Φ = Ωt = (π/3)×25 = 26.18rad.

W = TΦ = FrΦ = 200×0.4×26.18 ≒ 2100J ≒ 2.1kJ.

힘

모든 힘에 의해 수행되는 일은 서로 다른 기간, 즉 서로 다른 속도로 수행될 수 있습니다. 작업이 얼마나 빨리 완료되는지 특성화하기 위해 역학에는 개념이 있습니다. 힘 , 일반적으로 문자로 표시됩니다. 피 .

주제에 대한 실제 작업: "회전 운동 중 일과 힘"

작업의 목표: 안전한주제에 관한 자료를 공부하고 문제 해결 방법을 배웁니다.

진전:

주제에 관한 연구 자료.

간단한 이론을 적어보세요.

문제를 해결하다.

취업을 신청하세요.

보안 질문에 답하세요.

결론을 쓰세요.

간략한 이론:

회전하는 물체에 일정한 힘을 가하여 한 일

일정한 힘의 영향을 받아 고정된 축을 중심으로 회전하는 디스크를 상상해 봅시다.에프 (그림 6) , 적용점은 디스크와 함께 이동합니다. 권력을 무너뜨리자에프 세 개의 서로 수직인 구성요소로:에프 1 – 원주 힘,에프 2 - 축방향 힘,에프 3 – 방사형 힘.

디스크를 아주 작은 각도로 회전시킬 때d∅ 힘에프 결과 작업 정리에 기초하여 구성 요소 작업의 합과 같은 기본 작업을 수행합니다.

구성 요소의 작업은 분명합니다.에프 2 그리고에프 3 이 힘의 벡터는 미소한 변위에 수직이기 때문에 0과 같습니다.DS 적용 포인트중 , 그러므로 기본적인 힘의 작용에프 해당 구성 요소의 작업과 동일에프 1 :

dW = F 1 ds = F 1 Rd Φ .

디스크를 최종 각도로 돌릴 때φ 힘의 일에프 동일

W = ∫ F 1 RdΦ = F 1 R ∫ dψ = F 1 Rø ,

각도는 어디에 있나요?φ 라디안으로 표현됩니다.

구성 요소의 순간부터에프 2 그리고에프 3 축을 기준으로지 0과 같으면 다음을 기준으로 합니다. 힘의 순간에프 축을 기준으로지 동일:

중 지 (F) = F 1 아르 자형 .

회전축에 대해 디스크에 가해지는 힘의 순간을 토크라고 하며, 표준에 따르면ISO , 문자로 표시티 :

티 = 엠 지 (에프) , 따라서,W = Tψ .

회전하는 물체에 일정한 힘을 가했을 때 한 일은 토크와 각변위의 곱과 같습니다. .

문제 해결의 예

일: 작업자가 윈치 핸들을 강제로 회전시킵니다.에프 = 200N , 회전 반경에 수직입니다.
해당 시간 동안 소요된 작업 찾기티 = 25초 , 손잡이 길이가 길면아르 자형 = 0.4m , 그리고 그 각속도ω = π/3rad/s .

해결책.
먼저 각도 변위를 결정합시다.φ 윈치 핸들25초 :

Φ = Ωt = (π/3)×25 = 26.18rad.

W = TΦ = FrΦ = 200×0.4×26.18 ≒ 2100J ≒ 2.1kJ .

균일하게 회전하는 물체에 가해지는 힘의 힘은 토크와 각속도의 곱과 같습니다. .

균일하게 회전하는 몸체에 가해지는 힘으로 작업이 수행되는 경우 이 경우의 동력은 다음 공식으로 결정될 수 있습니다.

P = W/t = Tψ/t 또는P = TΩ .

옵션 1

질량이 0.5kg과 1kg인 두 개의 납구가 0.8m와 같은 길이의 두 줄에 매달려 있습니다. 공은 서로 접촉되어 있습니다. 더 작은 질량의 공을 옆으로 이동하여 코드가 α = 60° 각도로 편향된 후 놓였습니다. 충돌 후 두 공은 어느 높이까지 올라갈까요? 영향은 중심적이고 비탄력적인 것으로 간주됩니다. 충격 시 볼의 변형에 소비되는 에너지를 결정합니다.

질량이 4kg인 플라이휠이 중심을 통과하는 수평축을 중심으로 720rpm의 주파수로 자유롭게 회전합니다. 플라이휠의 질량은 반경 40cm의 림을 따라 분포된 것으로 간주할 수 있으며, 30초 후 제동 토크의 영향으로 플라이휠이 멈췄습니다. 플라이휠이 완전히 멈출 때까지 제동 토크와 회전수를 구하십시오.

질량 m = 1.0 kg인 물체가 높이 h = 20 m에서 떨어졌을 때 공기 저항을 무시하고 경로 h를 따라 중력에 의해 발생된 평균 전력과 높이 h/2에서의 순간 전력을 구합니다.

옵션 2번

플라이휠은 방정식으로 표현된 법칙에 따라 회전합니다. 여기서 A = 2 rad, B = 32 rad/s, C = -4 rad/s2입니다. 평균 전력 찾기N, 관성 모멘트 I = 100kg·m인 경우 회전하는 동안 플라이휠이 멈출 때까지 플라이휠에 작용하는 힘에 의해 전개됩니다. 2 .

질량 m인 물체가 수평 표면 위에서 반지름 r=100mm의 원으로 회전하고 있습니다. 물체가 각도 α=30으로 회전할 때 마찰력이 한 일을 구하십시오. 몸체와 표면 사이의 마찰 계수는 k=0.2입니다.

질량 m1 = 2kg인 첫 번째 공은 v1 = 3m/s의 속도로 움직입니다. 질량 m2 = 8kg인 두 번째 공은 v2 = 1m/s의 속도로 움직입니다. 속도 찾기V 1 퍼스트볼과 스피드V 2 다음과 같은 경우 임팩트 직후 두 번째 공. a) 공이 서로를 향해 움직인다. b) 첫 번째 공이 두 번째 공을 따라잡습니다. 충격은 중심적이고 절대적으로 탄력적인 것으로 간주됩니다.

nality (∂ f ∂ ф ) 2 . 이는 물체의 관성계수가 의존한다는 것을 보여줍니다.

일반화된 좌표를 선택하여 체로 계산하고 다시 계산할 수 있습니다.

비정상 홀로노믹 1도 시스템의 FE는 다음과 같은 구조를 갖습니다.

일반화된 속도 q & 에 대한 2차 다항식의 반올림, 계수

그 값은 일반적으로 q와 t에 따라 달라집니다.

2T = aq & 2 + 2a 1 q & + 2a 0 , a = a (q ,t ), a 1 = a 1 (q ,t ), a 0 = a 0 (q ,t ) (5.10)

계수 a , a 0 , a 1 의 차원은 L. 오일러의 원리에 따라 결정됩니다. 즉, 표현식의 모든 항은 동일한 차원을 가져야 합니다.

5.3. 전력 전력

물체에 힘이 가해지는 공간의 영역을 공간이라 한다. 벡터 역장. 이 영역은 3차원(예: 구형)이거나 2차원이거나 직선 또는 곡선의 세그먼트를 나타낼 수 있습니다. 일반적으로 힘은 힘이 작용하는 지점의 좌표(x, y, z)나 하나 또는 두 개의 좌표에만 의존하거나 크기와 방향이 일정하다고 믿어집니다. 힘이 지점과 시간의 속도에 따라 달라지는 경우도 허용됩니다. 힘은 좌표, 속도 및 시간의 공간 영역에서 지정됩니다. 경우가 있습니다

힘은 가속도에 따라 달라집니다.

참조 프레임의 순간 t에서 Oxyz가 호출됩니다.

전력 전력 F

힘의 내적과 동일한 스칼라

포인트의 속도에 적용

이 시스템에서 v를 강제합니다.

m/s=W)

Fvcos(F,v)

Zz, (N

에 따르면 이 정의힘과 속도 사이의 각도가 예리한 경우(이 경우 힘은 움직임을 촉진하고 운동 에너지의 증가) 힘의 거듭제곱은 양의 스칼라이고, 각도가 둔각인 경우(힘이 움직임을 늦추는 경우) 음수입니다. ). 힘이 힘 적용 지점의 속도와 수직이거나 힘 적용 지점의 속도가 없는 경우 힘의 거듭제곱은 0입니다.

두 기준 시스템의 힘은 시스템이 서로 상대적으로 움직이는 경우 다르므로 힘의 힘을 계산하는 기준 시스템을 표시해야 합니다.

움직임에 반대되는 다른 소산력뿐만 아니라 마찰력의 힘도 음수입니다.

바퀴와 도로 사이의 접착력(바퀴 미끄러짐이 없는 경우)은 힘이 적용되는 지점에 속도가 없기 때문에 0입니다.

힘이 점의 위치에만 의존하는 경우를 생각해 봅시다.

U(x, y, z)는 힘 적용 지점의 위치에 대한 함수입니다. – 데카르트(또는 일반화된) 좌표의 기능. 이 경우 힘 F(x, y, z)를 전위라고 하고 반대 부호를 갖는 "힘 함수" U를 호출합니다.

잠재력: P(x, y, z) = − U(x, y, z). 공간의 영역

신체에 작용하는 잠재적인 힘을 말한다. 잠재적 역장. 미분 기호 아래에 임의의 상수를 추가할 수 있으므로 기준 레벨을 결정하는 상수까지 힘 함수와 위치 에너지가 결정됩니다. 일반적으로 위치에너지는 다음과 같이 구해지는 함수 P(q 1,..., q n)로 정의할 수 있습니다.

거듭제곱을 다음 형식으로 변환합니다. P = − П & (q 1 ,..., q n ) 여기서 q s는 일반화된

새로운 좌표.

신체가 공간에서 임의로 움직이도록 하십시오. 극 O와 함께 속도 v O로 움직이고 각속도 Ω으로 회전합니다.

강체에 가해지는 한 쌍의 힘의 힘은 극의 속도에 의존하지 않습니다. 이는 한 쌍의 힘의 순간과 각속도의 스칼라 곱과 같습니다.

피 = M			M Ω cos(M , Ω			) = M xΩ x + M yΩ y + M zΩ z ,

여기서 M은 한 쌍의 힘의 모멘트이고, Ω는 알려진 바와 같이 극 선택에 의존하지 않는 강체의 각속도입니다. 소산력 쌍의 힘은 음수입니다. 한 쌍의 힘의 힘은 신체에 가해지는 위치에 의존하지 않습니다. 마찰 토크와 회전 각속도가 반대 방향이기 때문에 베어링의 한 쌍의 마찰력의 힘은 음수입니다.

강체에 적용되는 힘 시스템의 힘은 시스템의 주 벡터 R과 신체의 모든 극 속도의 스칼라 곱과 같으며, 힘의 주요 모멘트 M 0의 스칼라 곱이 추가됩니다. 이 극점과 몸체의 각속도:

vO+M

으악

R = ∑ Fi , M O = ∑ r i × Fi 에 대해.

5.4. 일과 위치에너지

선택한 좌표계 Oxyz(고정 또는 이동)에서 힘의 기본 작업은 힘의 스칼라 곱과 이 시스템에서 힘 적용 지점의 기본 변위와 동일한 극소량입니다.

d'A = F		d r = Xdx + Ydy + Zdz = F | 박사 | cos(F,dr), (Nm=J)

여기서 d ΄A는 미소 시간 간격에서 힘에 의해 수행된 미소 작업을 나타내고, d r은 점의 속도와 함께 방향이 지정된 기본 변위입니다. 소수는 d ΄A가 항상 일부 함수의 완전 미분이 아니라는 것을 나타냅니다.

분명히, 곱 Pdt는 기본 작업 d ΄A와 같습니다.

전력에 작은 시간 간격 Δt를 곱한 값은 이 간격 동안 힘이 작용한 일 ΔA의 대략적인 값이며, 전력은 1초 동안 힘이 작용한 것과 거의 같습니다. 유한한 시간 간격 동안 힘이 한 일을 일이라 한다. 정적분시간이 지남에 따라 권력에서 :

A12 = ∫ Pdt = ∫			v = r & = dr / dt에 대한 v dt.

이 일반 공식을 사용하여 일을 계산하려면 전력을 시간의 함수로, 힘과 속도를 시간 t의 함수로 알아야 합니다. 그러나 일부 특수한 경우(잠재력의 경우, 운동 방향이 일정한 일정한 마찰력의 경우)에는 힘이 작용하는 지점의 운동 방정식을 사용하지 않고도 일을 계산할 수 있습니다. 점의 초기 위치와 최종 위치만 알면 충분합니다.

서로 상대적으로 움직이는 두 기준 시스템과 관련하여 힘 적용 지점의 이동을 고려해 보겠습니다. 두 시스템의 지점 속도가 다르므로 힘의 힘도 달라집니다. 따라서 권력과 일의 개념은 주로 ISO 또는 PSO(관성 또는 병진 참조 시스템)와 관련된 특정 참조 시스템과 관련하여 공식화됩니다.

정의 힘 F를 전위라고 하며, 그 힘의 장(force field)은 다음과 같습니다.

잠재적 역장, 두 가지 조건이 충족되는 경우:

1) 힘은 다음 조건 중 하나를 충족합니다. 힘은 크기와 방향이 일정합니다. F = const이거나 적용 지점(세 개 모두 또는 일부)의 좌표에만 의존합니다. F = F(x, y, z).

2) 힘의 기본 작업 d' A는 일부 좌표 함수의 총 미분이거나 언제든지 힘의 거듭제곱은 일부 함수 Π(x, y, z)의 총 시간 도함수와 같습니다.

기본 작업의 표현을 변환하거나 거듭제곱의 표현에서 얻은 함수 P(x,y,z)를 다음과 같이 부릅니다.

M(x, y, z) 지점에서의 잠재적 역장의 잠재적 에너지.

따라서 벡터 역장힘 F(x, y, z)가 일치합니다.

세 변수 P(x, y, z), 두 변수 P(x,y)의 함수 또는 한 변수 P(x)의 함수로 구성된 스칼라 함수의 수학적으로 더 간단한 필드

위치에너지는 다음뿐만 아니라 다음과 같이 표현될 수 있습니다. 데카르트 시스템좌표뿐만 아니라 원통형, 구형 좌표계에서도 일반적으로 일부 일반화된 좌표의 함수입니다.

nat P(q1, q2, q3).

방정식 P(q 1, q 2, q 3) = C(여기서 C는 임의로 할당된 상수 매개변수)로 정의된 표면을 다음과 같이 부릅니다. 등전위면.

미분 부호 아래에서는 항상 상수를 더하거나 뺄 수 있으므로 공식 (5.18)의 함수 Π가 상수까지 결정됩니다. 상수는 임의로 지정됩니다. 예를 들어 0으로 설정하여 등전위면 계열의 기준 레벨을 선택합니다.

잠재적인 힘의 힘은 빼기 기호를 사용한 곱과 같습니다.

위치에너지로부터 시간에 따른 물 P = −Π & . 이 식을 정적분(5.17)에 대입해 보겠습니다. 우리는 유한한 시간 동안 수행된 힘 적용 지점의 최종 변위에 대한 잠재적인 힘의 작용에 대한 표현을 얻습니다.

A 12 = P(x 1, y 1, z 1) – P(x 2, y 2, z 2) = P1 – P2.

따라서 잠재적인 힘이 내부 뒤에서 움직일 때의 작용은 다음과 같습니다.

모든 궤적을 따라 지점 M 1 (x 1, y 1, z 1)에서 지점 M 2 (x 2, y 2, z 2)까지의 간격은 이 이동 중 잠재적 에너지 손실과 같습니다. 같음과 다름

전위장의 첫 번째 지점과 두 번째 지점에서의 위치 에너지 관계. 잠재적인 힘이 한 일은 두 점을 연결하는 궤적의 모양에 의존하지 않습니다. 특히, 닫힌 궤도에서 잠재적인 힘의 일은 0과 같고, 힘의 적용점이 등전위면 P=C1에서 표면 P=C2로 이동할 때의 일은 다음과 같습니다.

sti 상수: A12 = C1 - C2.

특수한 경우 초기점 M 1 (x 1 , y 1 , z 1 )로 전위 장의 임의의 점 M (x , y , z )를 취하고 M 2 (x 2 , y 2 , z 2 )로 우리는 이러한 점장 M(xO , yO , zO )을 취합니다. 여기서 위치 에너지는 다음과 같습니다.

우리는 다음과 같은 물리적 해석을 얻습니다. 전위 장의 임의 지점 M에서의 위치 에너지는 적용 지점을 위치 M에서 매끄럽거나 매끄럽지 않은 궤적을 따라 위치 에너지가 0과 같은 위치로 이동할 때 적용된 힘의 작업과 같습니다. 또한 위치 에너지가 0으로 간주되는 "0" 위치에서 위치 M(x,y,z)의 변위에 마이너스 기호를 사용하여 취한 힘의 작업과 같습니다.

예제 1 중력의 위치 에너지 G = − Gk, pro-를 구해 보겠습니다.

Oxyz 시스템의 수직축 Oz의 단위 벡터 k와 반대 방향입니다. 기본 방법을 사용하여 다음을 얻습니다.

d ΄A = G x dx + G y dy + G z dz = –Gdz = – d (Gz) => П = Gz.

우리가 얻는 전력법을 사용하여

P = G x x & +G y y & +G z z & = −Gz & = −(Gz ) Π = Gz .

따라서 중력의 위치 에너지는 재료 점의 무게와 옥시 평면 위의 점 M 위치의 높이의 곱과 같으며 조건 z = 0을 충족합니다. 여기서 옥시 평면이 할당됩니다.

제로 등전위 평면. 중력 위치 에너지는 옥시 평면 아래 z에 위치한 지점에서 음수입니다.< 0. На любых горизонтальных плоскостях данная потенциальная энергия одинакова во всех точках, т.е. горизонтальные плоскости являются эквипотенциальными поверхностями. Работа силы тяжести на перемещении с плоскости уровня z = z 1 на плоскость z = z 2 определяется по формуле:

A 12 = P1 – P2 = G (z 1 – z 2 ) = ± Gh at h = |z 1 –z 2 |.

이 작업은 레벨의 차이(손실)에 비례하며, 첫 번째 레벨이 두 번째 레벨보다 낮으면 음수입니다.

메모. Oz 축이 아래쪽을 향하면 반대 기호인 P = –Gz를 갖는 공식을 얻습니다.

예시 2. 스프링의 탄성력의 위치에너지. 수평 스프링의 힘 장은 수평축 Ox의 형태를 갖습니다. 축의 원점은 변형되지 않은 스프링의 자유 끝과 호환됩니다. x는 x > 0에서 스프링의 인장 변형률이거나 x에서 스프링의 압축 변형률입니다.< 0. Упругая сила пружины F = − cxi , где i - орт оси x . Она всегда направлена противоположно деформации. Методом мощности находим потенциальную энергию силы упругости

P = Fx x = − c x x = − (c x					Π = cx

용수철이 외력에 의해 매우 천천히 늘어난다고 상상해 봅시다.

0에서 값 F in = cxi까지 천천히 증가합니다. 우리는 매 순간 스프링의 탄성력이 외부 힘과 균형을 이룬다고 가정합니다.

해당 구간에 걸친 힘 F ext의 평균값은 F cр = cx / 2와 같습니다.

스프링의 탄성력은 신장에 저항하기 위해 음의 일을 하면서 스프링에 양의 전위를 저장합니다.

Π = F x = cx 2 / 2와 동일한 에너지.
변형에 대한 탄성력의 작용				X 2 − x 1은 A 12 = (x 2 2 – x 1 2 )c /2와 같습니다.
당연히 A12< 0 при x1 < x2 и A 12 >x1 > x2의 경우 0
	삼. 지구의 중력			역제곱법칙에 따르면:
F = γmm/r2,			= − γ m m r / r 3 , 여기서 r은 재료 점의 반경 벡터입니다.

지구 중심 기준 시스템, γ = 6.672 10–11 (m3 /(kg s2) - 일정 중력

goteny, r / r = e - 지구 중심에서 그려진 몸체의 반경 벡터(물질 점)의 ort, m 1 = 6 1024 (kg) - 지구의 질량, m - 몸체의 질량, γm 1 =

3986·1011 (m3/s2) - 지구 중심 중력 상수. 고려하면

항등 r r = r 2 ,

γm1m

γm1m

γm1m

γm1m

d A = -

r dr = -

dr = d (-

Π(r) = -

P(r)→0은 r → 과 같으므로 위치 에너지는

무한대에서는 0과 같습니다.

"