심슨의 수치 적분 방법. Simpson의 공식을 사용하여 정적분을 계산하는 방법은 무엇입니까? 포물선법을 사용한 정적분의 근사 계산 예

심슨 방법의 핵심은 2차 p2(x)의 보간 다항식으로 세그먼트의 피적분 함수를 근사화하는 것입니다. 즉, 포물선으로 세그먼트의 함수 그래프를 근사화합니다. 피적분함수를 보간하는 데 세 개의 점이 사용됩니다.

임의의 적분을 생각해 봅시다. 대신 통합 세그먼트의 경계가 [-1,1]이 되도록 변수 변경을 사용해 보겠습니다. 이렇게 하려면 변수 z를 도입합니다.

세 개의 등거리 노드 점 z = -1, z = 0, z = +1을 노드로 사용하여 피적분 함수를 보간하는 문제를 고려해 보겠습니다(단계는 1, 적분 세그먼트의 길이는 2). 보간 노드에서 피적분 함수의 해당 값을 표시해 보겠습니다.

세 점 (-1, f-1), (0, f0) 및 (1, f-+1)을 통과하는 다항식의 계수를 찾는 방정식 시스템은 다음과 같은 형식을 취합니다.

계수는 쉽게 얻을 수 있습니다.

이제 보간 다항식의 적분 값을 계산해 보겠습니다.

변수를 역으로 변경하면 원래 적분으로 돌아갑니다. 다음 사항을 고려해보자:

해당

해당

해당

임의의 적분 구간에 대한 Simpson의 공식을 얻습니다.

결과 값은 x 축, 직선 x = x0, x = x2 및 점을 통과하는 포물선으로 둘러싸인 곡선 사다리꼴의 영역과 일치합니다.

필요한 경우 원래 통합 세그먼트를 N 개의 이중 세그먼트로 나눌 수 있으며 각 세그먼트에는 Simpson 공식이 적용됩니다. 보간 단계는 다음과 같습니다.

통합의 첫 번째 세그먼트의 경우 보간 노드는 점 a, a+h, a+2h가 되고 두 번째 a+2h, a+3h, a+4h는 세 번째 a+4h, a+5h, a가 됩니다. +6시간 등 적분의 대략적인 값은 N 영역을 합산하여 얻습니다.

적분 수치법 심슨

이 합계에는 동일한 용어가 포함됩니다(인덱스 값이 짝수인 내부 노드의 경우 - 2i). 따라서 이 합계의 항을 다음과 같이 재배열할 수 있습니다.

우리가 얻는 것을 고려하면:

이제 Simpson의 공식을 사용하여 적분 오류를 추정해 보겠습니다. 구간의 함수에는 연속 도함수가 있다고 가정합니다. 차이를 만들어 봅시다:

이 차이에 평균값 정리를 연속적으로 적용하고 R(h)를 미분하면 Simpson 방법의 오류를 얻습니다.

이 방법의 오류는 적분 단계의 길이에 따라 4승에 비례하여 감소합니다. 즉, 간격 수가 두 배로 늘어나면 오류는 16배로 감소합니다.

장점과 단점

Simpson 및 Newton-Cotes 공식은 연속적으로 미분 가능한 함수에 대해 충분한 횟수의 정적분을 계산하는 데 유용한 도구입니다. 따라서 4차 도함수가 너무 크지 않다면 Simpson의 방법을 사용하면 상당히 높은 정확도를 얻을 수 있습니다. 동시에 대수적 정확도 순서는 3이고 Simpson의 공식은 3도 이하의 다항식에 대해 정확합니다.

또한 Newton-Cotes 방법, 특히 Simpson 방법은 피적분 함수의 평활도에 대한 선험적 정보가 없는 경우에 가장 효과적입니다. 피적분 함수가 표에 주어졌을 때.

작품의 텍스트는 이미지와 수식 없이 게시됩니다.
풀 버전작품은 "작업 파일" 탭에서 PDF 형식으로 보실 수 있습니다.

소개

이미 10학년 때 나는 이 과목을 수강해야 할지 생각하기 시작했습니다. 프로필 통합 상태 시험수학. 결정 통합 상태 시험 과제, 저는 11학년 프로그램의 과제이지만 다면체의 부피와 회전체를 찾는 과제를 발견했습니다. 이 문제에 관심을 갖게 되면서 신체의 기하학적 모양이 다양하기 때문에 면적과 부피를 찾는 공식이 엄청나게 많다는 것을 알게 되었습니다(각 그림과 신체마다 고유한 공식이 있음). 기하학의 공식을 살펴보면서 도형의 면적과 부피와 관련된 수많은 공식이 있다는 것을 확신하게 되었습니다. 평면도형의 면적에 대한 공식은 12개가 넘고 공간체의 부피에 대한 공식은 10개가 넘습니다.

그리고 나는 궁금했다 질문: 기하학적인 도형과 물체의 넓이와 부피를 구하는 보편적인 공식이 있나요?

제가 생각하는 이번 프로젝트의 주제는 관련 있는학생뿐만 아니라 어른들 사이에서도 학교 커리큘럼은 시간이 지남에 따라 잊혀지고 있으며 볼륨을 찾기 위해 기억하기 어려운 다른 수많은 공식을 모두 결합한 공식이 있다는 것을 아는 사람은 거의 없습니다.

문제

평면 도형의 면적과 공간체의 부피에 대한 수많은 공식을 대체할 수 있는 보편적인 공식을 기하학 교육에 도입할 필요가 있습니다.

가설

18세기 영국의 수학자 토머스 심슨(Thomas Simpson)은 하부, 상부, 중간 밑면의 면적을 계산하여 평면도형의 특정 면적과 공간체의 부피를 구하는 공식을 도출했습니다.

나는 이 보편적 공식이 명명된 모든 공식을 대체하고 기억하기 쉽게 만들 것이라고 가정합니다.

작업의 목표:심슨의 보편적 공식은 학교 기하학 과정에서 공부한 모든 면적 및 부피 공식을 대체할 수 있으며 실습뿐만 아니라 통합 상태 시험을 포함한 시험에서도 사용할 수 있음을 증명합니다.

직무 목표:

기하 입체의 주요 특징인 프리즘, 피라미드, 원뿔, 원통, 공을 연구합니다.

이 주제에 관해 이용 가능한 문헌을 연구하십시오.

만능 공식을 이용하여 모든 도형과 신체의 면적과 부피 공식을 도출합니다.

결과 공식을 교과서에 제안된 공식과 비교하십시오.

고등학생들에게 이 공식을 익히고, 시험 준비 시 이 공식을 사용하는 것이 편리한지 설문지를 통해 알아보세요.

내 작업의 실질적인 의미:이 작업의 결과는 학교 실습, 즉 기하학 및 대수 수업에 사용될 수 있습니다. , 통합 국가 시험을 준비하고 합격할 때.

제1장 간략한 특성기하학적 몸체의 속성

학교 기하학 과정은 면적 측정과 입체 측정으로 구분됩니다. 7학년부터 9학년까지 면적을 구하는 공식(부록 1-2)을 포함하여 평면에 있는 도형의 특성을 공부했습니다.

10학년 과정에서 저는 공간 속 인물의 특성을 연구하는 기하학-입체학 섹션을 공부하기 시작했습니다. 나는 작품을 쓸 때 기하학적인 몸체와 그 표면을 고려했습니다. 체적 기하체는 다면체와 회전체로 ​​구분됩니다.

다면체- 다각형으로 구성되고 특정 기하학적 몸체를 경계로 하는 표면입니다.

회전체- 축을 중심으로 회전하여 얻은 기하학적 몸체. 회전체: 원통, 원뿔, 공.

다면체는 볼록하거나 볼록하지 않을 수 있습니다. 볼록 다면체 - 각 면의 평면 한쪽에 위치합니다. 볼록하지 않은 다면체 - 적어도 한 면의 평면 양쪽에 위치합니다.

피라미드

평행 육면체

2장. 심슨의 공식

토마스 심슨(1710년 8월 20일 - 1761년 5월 14일) - 영국 수학자. 1746년에 심슨은 런던 왕립학회 회원으로 선출되었고, 그 이전에는 1717년 런던에서 설립된 수학학회 회원으로 선출되었습니다. 1758년에 그는 스웨덴 왕립과학원의 외국인 회원으로 선출되었습니다. 울위치 왕립 육군사관학교의 교수로 임명된 심슨은 초등 수학 교과서를 편찬했습니다. 기하학의 특수학과에서는 기본 기하학, 정다면체, 표면 측정, 물체의 부피 및 혼합 문제를 사용하여 해결되는 최대 및 최소 수량에 대한 문제가 고려됩니다.

훌륭한 공식이 존재합니다. 또한 원통형, 원뿔형, 절두원추형의 부피를 계산하는 데 적합할 뿐만 아니라 모든 종류의 프리즘, 원뿔형, 절두형 피라미드, 구형의 경우에도 적합하며 면적을 계산하는 데도 적합합니다. 비행기 수치. 다음은 수학에서 심슨의 공식으로 알려진 공식입니다.

여기서 b 1은 하단베이스의 면적 (길이)입니다.

b 2 - 중간 베이스의 면적(길이)

b 3 - 상부 베이스의 면적(길이)

2.1 평면 도형의 면적에 대한 공식을 도출하기 위해 심슨 공식을 적용합니다.

우리의 보편적인 공식은 b 1 = b 2 = b 3 이고, 그러면 다음을 얻습니다:

답: S= hb 1

결론. 실제로 평행사변형의 넓이는 밑변과 높이의 곱과 같습니다.

보편적인 공식.

ABCD는 사다리꼴이므로 b 2 가 중심선입니다.

그러면 우리는 다음을 얻습니다:

결론. 실제로 사다리꼴의 면적은 두 밑면과 높이의 곱의 절반과 같습니다.

삼각형, 직사각형, 정사각형 및 마름모의 면적에 대한 공식에 대해 유사한 증명(부록 3-4)을 수행한 결과 Simpson의 범용 공식이 다음과 같은 평면 도형의 면적을 계산하는 데 적합하다는 결론에 도달했습니다. 사다리꼴, 삼각형, 정사각형, 마름모, 직사각형.

2.2. 공간체의 부피에 대한 공식을 유도하기 위해 심슨 공식을 적용합니다.

b 1 =b 2 =b 3이므로 다음을 얻습니다.

답: V=b 1시간

저자가 기하학 교과서에서 제안한 증명. 부록 6의 L.S. Atanasyan.

결론. 실제로 프리즘의 부피는 밑면의 면적과 높이의 곱과 같습니다. 실린더 부피에 대한 공식 유도 증명도 유사하게 수행됩니다(부록 5).

풀이: b 1 =0, a이므로 다음을 얻습니다.

저자가 기하학 교과서에서 제안한 증명. 부록 9의 L.S. Atanasyan.

결론. 실제로 원뿔의 부피는 밑면 면적과 높이의 곱의 1/3과 같습니다. 피라미드 부피 공식 도출 증명도 비슷한 방식으로 수행됩니다 (부록 5 )

그러면 우리는 다음을 얻습니다:

결론. 도출된 공식은 교과서에서 제안한 공식과 완전히 일치합니다.

문제 6. 공의 양.

주어진 것: 공

b 3 - 상부 베이스의 면적

찾기: Vball.

(그림 11. 공)

이후b 1 =b 3 =0, h=2R

그러면 우리는 다음을 얻습니다:

저자가 기하학 교과서에서 제안한 증명. 부록 10의 L.S.Atanasyan

결론: 11학년 때 공부한 모든 공간체의 부피에 대한 공식도 심슨의 만능 공식을 이용하면 쉽게 도출됩니다.

2.3 공식의 실제 적용

내 연구의 다음 단계는 실제 사용(부록 11-12 참조)

결론. 두 가지 방법으로 찾은 각 기하학적 몸체 모델의 부피는 동일한 것으로 나타났습니다. 심슨의 공식은 피라미드, 원기둥, 구, 정육면체, 원뿔과 같은 물체에 보편적입니다.

나는 나무 줄기가 어떤 종류의 기하학적 몸체로 보이는지 자문하지 않고도 나무 줄기의 부피를 대략적으로 계산할 수 있는 공식을 가지고 있습니다: 원통형, 원뿔형, 절두 원뿔형. 다양한 종류의 나무의 밀도를 알면 나무의 서있는 무게를 계산할 수 있습니다. 나는 트렁크의 부피를 원통의 부피로 계산하여 이 문제를 해결했습니다. 밑면의 직경은 길이 중간에 있는 트렁크의 직경과 같습니다. 그러나 이 경우 결과는 다음과 같습니다. 때로는 12% 정도 과소평가되기도 합니다. 큰 실수 없이, 서있는 나무의 부피를 가슴 높이의 나무 지름과 같은 지름을 가진 같은 높이의 원통 부피의 절반으로 취할 수 있습니다.

이전에 알려진 공식을 사용하여 계산한 후 서있는 나무 줄기의 부피를 계산했습니다(부록 13 참조).

결론. 전체 연구를 통해 우리는 나무 줄기의 부피를 대략적으로 계산할 수 있는 공식을 가지고 있으며 다양한 종류의 나무의 밀도를 알면 나무의 서있는 무게를 결정할 수 있다는 결론을 내릴 수 있습니다.

제3장 학생에게 질문하기

3.1 연구 및 조사

나는 11학년 학생들을 대상으로 연구를 실시했습니다(부록 13 참조).

연구 목적: 학생들이 10분 안에 반복 없이 재현할 수 있는 공식의 수를 결정하는 것입니다. "잔여" 공식의 양.

결과는 다음과 같았다(부록 14 참조).

재현되는 공식의 개수는 최대 41개, 최소 5개입니다. 시간 제한 없이 공식의 개수가 500개에 달할 수 있다는 점을 고려하면, 학생들이 학교에서 공부한 수많은 공식을 기억하지 못한다는 결론에 도달했습니다. 재현된 공식은 연구된 전체 공식 수의 8.2%만을 차지합니다. 대부분의 경우 학생들은 대수학 공식(삼각법 공식, 로그 공식, 약식 곱셈 공식, 이차 방정식의 근 공식, 도함수)을 재현했습니다. 기하학(평평한 도형의 면적, 일부 공간 체적에 대한 공식); 물리학의 여러 공식(운동 에너지, 중력, 마찰력 및 MKT의 공식) 컴퓨터 과학에서 () 그것은 당연했습니다. 왜냐하면 수학에는 다른 어떤 과학보다 더 많은 공식이 있습니다.

얻은 결과를 본 후 결과가 이렇게 낮은 이유를 파악하기로 결정했습니다. 나는 11학년 학생들을 대상으로 다음 질문에 답하도록 요청하는 설문조사(부록 14-15 참조)를 실시했습니다.

설문조사 질문.

학교 졸업생이 얼마나 많은 공식을 알아야 한다고 생각합니까?

가) 암기

나) 이해

나) 연관방법

라) 기타

그 결과는 다음과 같았다(부록 15 참조).

질문 1. 60~250개의 공식

질문 2. 받은 응답을 통해 우리는 11학년 학생들이 공식을 암기할 때 공식을 이해하려고 노력하거나 암기 학습을 사용한다는 결론을 내릴 수 있습니다.

질문 3.에 대한 학생들의 의견 이 문제동의하지 않았지만 다이어그램에서는 대부분이 "예"라고 대답한 것으로 나타났습니다. 학생들은 외워야 할 공식의 수가 평균 학생의 기억 수준에 해당한다고 믿습니다.

질문 4.거의 모든 11학년 학생들은 많은 공식 대신 단 하나의 공식, 즉 보편적인 공식을 사용하고 싶어합니다.

3.2 테스트

이제 나는 심슨의 공식이 정말 보편적이고 삶에 적용될 수 있다는 것을 알고 있습니다. 하지만 정말 필요한가요? 이 질문에 답하기 위해 저는 11학년 수업 시간에 공식을 제시한 후 테스트를 실시했고(부록 16-17 참조) 다음과 같은 결과를 받았습니다.

테스트 번호 1

23%는 모든 공식을 기억하는 것이 어렵다고 인정했습니다.

17%는 심슨의 공식을 포함한 모든 공식을 배우는 것이 어렵지 않다고 답했습니다.

60%의 학생들이 심슨의 공식을 일부 기하학체에 적용했으며, 이는 문제 해결에 도움이 되었습니다.

테스트 번호 2

100%는 Simpson 공식이 기억하기 쉽다고 주장합니다.

0%는 기억하는데 어려움이 있다고 인정했습니다.

테스트 번호 3

76%는 앞으로 이 공식을 사용할 예정입니다.

24%는 필요하지 않다고 인정했습니다.

테스트 번호 4

82%는 심슨의 공식이 학교 커리큘럼에 포함되어야 한다고 믿습니다.

0%는 공식이 학교 커리큘럼에 포함되어서는 안 된다고 생각합니다.

18%는 공식이 학교 커리큘럼에 포함되어야 하지만 전문 수업에만 포함되어야 한다고 말합니다.

테스트 번호 5

35%는 한 번에 여러 기하학적 몸체의 부피를 결정하는 하나의 공식을 기억하는 것이 훨씬 쉽다고 믿습니다.

59%는 어떤 조건이 주어질지 모르기 때문에 심슨의 공식을 포함한 모든 공식을 기억해야 한다고 믿습니다.

6%는 학교 커리큘럼에 포함된 공식만 기억하는 것으로 충분하다고 생각합니다.

이 공식은 통합 상태 시험을 포함하여 문제를 해결하는 데에도 사용할 수 있습니다. . 11학년 때 주어진 문제 중 학생들이 어려움 없이 풀었던 문제의 예를 제시하겠습니다.

문제 1밑면 반지름이 4cm인 원통에 높이 18cm의 정육각형 프리즘이 새겨져 있습니다. 프리즘의 부피를 구하세요.

문제 2높이 24cm, 밑변 5cm의 정사각형 피라미드가 원통에 새겨져 있습니다. 실린더의 부피를 구합니다.

결론:

결론

학교에 다니는 동안 학생들은 다양한 과목에서 수많은 공식을 알아야 합니다. 제가 실시한 설문조사에 따르면 모든 학생들이 이 공식을 모두 기억할 수 있는 것은 아닙니다. 나는 문제에 직면했습니다. 기하학 교육에 평면 도형의 영역과 공간 체적에 대한 많은 수의 공식, 즉 많은 사람들에게 적합한 공식을 대체할 수 있는 보편적인 공식을 도입해야 합니다. 목적과 다양한 기능을 수행합니다.

영국 수학자 토머스 심슨의 공식을 제안했습니다.

도형 면적과 신체 부피에 대한 공식을 하나의 공식으로 바꿀 수 있습니다.

저는 목표를 세웠습니다. 심슨의 보편적 공식이 학교 기하학 과정에서 공부한 면적과 부피에 대한 모든 공식을 대체할 수 있다는 것을 증명하는 것입니다. 나는 여러 작업에서 이 목표를 드러냈다.

작업의 결과, 나는 심슨의 공식을 사용하면 정적분을 사용하지 않고도 물체의 부피에 대한 정리를 쉽고 빠르게 증명할 수 있다는 것을 확신하게 되었습니다.

공식을 암기하고 도출하는 작업을 용이하게 하기 위해 "도형의 영역"이라는 주제를 공부하기 전에 교사가 학생들에게 심슨의 공식을 소개하고 공부 중인 공식을 독립적으로 도출하도록 초대할 것을 제안합니다. 교과서에 제시된 증명은 교사가 수업을 위한 추가 자료나 숙제로 사용할 수 있습니다.

이제 숲 속을 걷다 보면 나무의 부피를 결정하는 데 관심이 생길 것입니다. 포함된 목재의 입방미터 수를 계산하고 동시에 무게를 측정합니다. 예를 들어 이러한 트렁크를 하나의 카트로 운반할 수 있는지 알아보세요.

나는 나무 줄기가 어떤 종류의 기하학적 몸체로 보이는지 자문하지 않고도 나무 줄기의 부피를 대략적으로 계산할 수 있는 공식을 가지고 있습니다: 원통형, 원뿔형, 절두 원뿔형.

나는 내 일이 유용하다고 생각한다. 왜냐하면... 나는 학교에서 공부하는 영역과 분량에 대한 모든 공식을 도출했습니다.

설문 조사 결과에 따르면 심슨 공식은 기억하기 매우 간단하며 학교 커리큘럼에 포함되어야 한다고 확신했습니다.

이 공식은 통합 상태 시험을 포함한 시험에도 사용할 수 있습니다.

사용된 문헌 목록:

Ya.I.Perelman. 재미있는 대수학. 흥미로운 기하학. - M., "AST", 1999.

CD 롬. 훌륭한 백과사전시릴과 메토디우스, 2002.

L.S. Atanasyan 외 기하학 10-11. 일반 교육 기관 교과서, - M., “계몽”, 2002.

https://ru.wikipedia.org/wiki

https://studfiles.net/preview/5433881/page:10/

https://studopedia.ru/6_126004_formula-simpsona.html

https://vuzlit.ru/940376/vyvod_formuly_simpsona

부록 1

기하학적 몸체의 속성에 대한 간략한 특성

삼각형

부록 2

직사각형

부록 3

b 3 =0, 위쪽 밑변이 점이기 때문입니다.

b 2는 삼각형의 중간선이므로 다음을 얻습니다.

결론. 실제로 삼각형의 면적은 밑변과 높이의 곱의 절반과 같습니다.

해결책: - 보편적인 공식.

ABCD는 정사각형이므로 b 1 =b 2 =b 3 =h이므로 다음을 얻습니다.

부록 4

결론. 실제로 정사각형의 면적은 그 변의 제곱과 같습니다.

해결책: - 보편적인 공식.

ABCD는 직사각형이므로 b 1 =b 2 =b 3이면 다음을 얻습니다.

답: S=hb 1.

결론. 실제로 직사각형의 면적은 인접한 두 변과 같습니다.

해결책: - 보편적인 공식.

b 1 =b 2 =b 3, 그러면 우리는 다음을 얻습니다:

부록 5

문제 2. 실린더의 부피.

주어진 것: 실린더

b 1 - 하단 베이스 영역:

b 2 - 중간 부분의 영역:

b 3 - 상부 베이스의 영역.

찾기: V실린더

(그림 22. 실린더)

왜냐하면 b 1 =b 2 =b 3, 그러면 우리는 다음을 얻습니다:

답: V=b 1시간

저자가 기하학 교과서에서 제안한 증명. 부록 7의 L.S. Atanasyan.

결론. 실제로 원통의 부피는 밑면의 면적과 높이의 곱과 같습니다.

풀이: b 3 =0, a이므로 다음을 얻습니다.

답변: 저자가 기하학 교과서에서 제안한 증명. 부록 8의 L.S. Atanasyan.

부록 6

부록 7.

부록 8

부록 9.

부록 10

부록 11

작업 번호 1.일반적인 공식을 사용하여 큐브 모델의 부피를 계산합니다. 이를 위해 큐브 모델의 가장자리를 측정합니다: a = 10.5 cm V = a 3 = 1157.625 cm 3

작업 번호 2.일반적인 공식을 사용하여 정육각형 피라미드 모델의 부피를 계산합니다. 이를 위해 모델의 높이 h = 17.2cm, 베이스 측면 a = 6.5cm를 측정합니다.

작업 번호 3.일반적인 공식을 사용하여 실린더 모델의 부피를 계산합니다. 이를 위해 모델의 높이 h = 20.4cm와 밑면의 반경 R = 14cm를 측정합니다.

부록 12

	S = π *R 2 = 3.14* 14 2 cm 2 를 계산합니다. V =S*h = 3.14*196*20.4 = 12554.976cm 3 Simpson의 공식을 사용하여 모델의 부피를 계산합니다. V = h/6(S하부 베이스 + S상부 베이스 + 4S 중간부):
상부, 하부 베이스 및 중간 부분의 면적은 서로 동일합니다. S = π *R 2 = 3.14 * 14 2 = 615.44 cm 2, h = 20.4 cm. V =20.4/6*(20.4+20.4)=12554.976cm 3
작업 번호 4.일반적인 공식을 사용하여 원뿔 모델의 부피를 계산합니다. 이를 위해 모델의 높이 h = 21cm와 밑면의 반경 R = 6cm를 측정합니다.
작업 번호 5.일반적인 공식을 사용하여 공 모델의 부피를 계산합니다. 이를 위해 공의 반경 R = 7cm를 측정합니다.

부록 13

자작 나무 계산:

아스펜 계산.

소나무 계산.

부록 14

연구 결과 ""잔여"공식의 양 결정"

다이어그램 1. "잔차" 공식 수 결정.

다이어그램 2. 수식이 표시된 주제.

부록 15

공식을 외울 때 어떤 방법을 사용하시나요?

가) 암기

나) 이해

나) 연관방법

라) 기타

그림 3. 공식을 암기하는 방법

외워야 할 공식의 개수가 일반 학생의 기억 수준에 해당한다고 생각하시나요?

다이어그램 4. 평균 학생의 기억 수준에 대한 공식 수의 대응

많은 공식을 더 잘 외우려면 하나의 보편적인 공식을 사용해야 한다고 생각하시나요?

도표 5. 보편적 공식 사용의 필요성

부록 16

부록 17

문제는 다음에 대해 발생합니다. 수치 계산정적분은 구적법(quadrature)이라는 공식을 사용하여 해결됩니다.

수치 적분을 위한 가장 간단한 공식을 떠올려 보겠습니다.

대략적인 수치를 계산해 보겠습니다. 점을 나누어 적분 구간 [a, b]를 n개의 동일한 부분으로 나눕니다.
, 직교 공식의 노드라고 합니다. 노드의 값을 알려주세요.
:

크기

적분 간격 또는 단계라고 합니다. 실제로 계산에서 숫자 i는 작게 선택되며 일반적으로 10-20을 넘지 않습니다.

피적분 함수는 보간 다항식으로 대체됩니다.

이는 고려 중인 구간의 함수 f(x)를 대략적으로 나타냅니다.

a) 보간 다항식에서 첫 번째 항만 하나만 유지하자.

결과 이차 공식

직사각형 공식이라고 합니다.

b) 보간 다항식의 처음 두 항을 유지하겠습니다.

(2)

공식 (2)를 사다리꼴 공식이라고 합니다.

c) 적분구간
이를 2n개의 짝수로 나누면 적분 단계 h는 다음과 같습니다. . 간격에
길이가 2h인 경우 피적분 함수를 2차 보간 다항식으로 대체합니다. 즉, 다항식의 처음 세 항을 유지합니다.

결과로 나온 구적 공식을 심슨 공식(Simpson's Formula)이라고 합니다.

(3)

식 (1), (2), (3)은 단순한 기하학적 의미를 갖고 있습니다. 직사각형의 공식에서 구간의 적분 함수 f(x)는
가로좌표 축에 평행한 직선 세그먼트 y = yk로 대체되고 사다리꼴 공식에서는 직선 세그먼트로 대체됩니다.
직사각형과 직선 사다리꼴의 면적을 각각 계산한 후 합산합니다. 심슨의 공식에서 구간의 함수 f(x)는
길이 2h는 정사각형 삼항식(포물선)으로 대체됩니다.
곡선 포물선 사다리꼴의 면적을 계산한 다음 면적을 합산합니다.

결론

작업이 끝나면 위에서 논의한 방법 적용의 여러 기능에 주목하고 싶습니다. 정적분의 근사해를 구하는 각 방법에는 고유한 장점과 단점이 있으며, 현재 작업에 따라 특정 방법을 사용해야 합니다.

변수 교체 방법계산하는 주요 방법 중 하나입니다. 정적분. 다른 방법으로 통합하는 경우에도 중간 계산에서 변수를 변경해야 하는 경우가 많습니다. 적분의 성공 여부는 주어진 적분을 단순화하는 성공적인 변수 변경을 선택할 수 있는지 여부에 크게 좌우됩니다.

본질적으로 적분 방법에 대한 연구는 이 유형 또는 해당 유형의 피적분 함수에 대해 어떤 종류의 변수 대체가 필요한지 알아내는 것으로 귀결됩니다.

따라서, 유리 분수의 적분다항식과 여러 개의 간단한 분수를 적분하는 것으로 줄어듭니다.

모든 유리 함수의 적분은 최종 형식의 기본 함수를 통해 표현될 수 있습니다. 즉:

로그를 통해 - 유형 1의 단순 분수의 경우;

유리 함수를 통해 - 유형 2의 단순 분수의 경우

로그와 아크탄젠트를 통해 - 유형 3의 단순 분수의 경우

유리 함수와 아크탄젠트를 통해 - 유형 4의 단순 분수의 경우. 보편적인 삼각법 치환은 항상 피적분 함수를 합리화하지만 종종 매우 번거로운 유리 분수로 이어지며, 특히 분모의 근을 찾는 것이 거의 불가능합니다. 따라서 가능할 때마다 부분 치환이 사용되며, 이는 피적분 함수를 합리화하고 덜 복잡한 분수로 이어집니다.

뉴턴-라이프니츠 공식명확한 적분을 찾는 일반적인 접근법입니다.

정적분을 계산하는 기술은 모든 기술 및 방법과 실질적으로 다르지 않습니다.

똑같이 적용해보세요 대체 방법(변수 변경), 부분 적분 방법, 삼각함수, 비합리적 및 초월 함수에 대한 역도함수를 찾는 동일한 기술입니다. 유일한 특징은 이러한 기술을 사용할 때 피적분 함수뿐만 아니라 적분의 한계까지 변환을 확장해야 한다는 것입니다. 통합 변수를 교체할 때 이에 따라 통합 한계를 변경하는 것을 잊지 마십시오.

제대로 정리로부터 함수의 연속성을 위한 조건함수의 통합을 위한 충분조건이다. 그러나 이는 정적분이 연속 함수에 대해서만 존재한다는 의미는 아닙니다. 통합 가능한 기능의 클래스는 훨씬 더 넓습니다. 예를 들어, 유한한 수의 불연속점을 갖는 함수의 정적분이 있습니다.

뉴턴-라이프니츠 공식을 사용하여 연속 함수의 정적분을 계산하는 것은 항상 존재하지만 항상 기본 함수이거나 다음의 값을 얻을 수 있도록 테이블이 컴파일된 함수는 아닌 역도함수를 찾는 것으로 귀결됩니다. 적분. 수많은 응용 분야에서 적분 가능 함수는 표에 지정되어 있으며 뉴턴-라이프니츠 공식은 직접 적용할 수 없습니다.

가장 정확한 결과를 얻으려면 이상적입니다. 심슨 방법.

위에서 연구한 내용을 통해 적분은 물리학, 기하학, 수학 및 기타 과학과 같은 과학에서 사용된다는 결론을 내릴 수 있습니다. 적분을 사용하여 힘의 작용을 계산하고 질량 중심의 좌표와 재료 지점이 이동한 경로를 찾습니다. 기하학에서는 몸체의 부피를 계산하고 곡선의 호 길이를 찾는 데 사용됩니다.

고등수학과

작성자: Matveev F.I.

확인자: Burlova L.V.

울란우데.2002

1. 수치적 적분법

2. 심슨의 공식 유도

3.기하학적 일러스트레이션

4. 통합 단계 선택

5.예시

1. 수치적 적분법

수치 적분 문제는 적분을 계산하는 것입니다.

일련의 피적분 값을 통해.

수치 적분 문제는 표에 명시된 함수, 적분이 적용되지 않는 함수에 대해 해결되어야 합니다. 기본 기능, 등. 하나의 변수의 기능만을 고려해 봅시다.

적분이 필요한 함수 대신 보간 다항식을 적분합니다. 피적분함수를 보간 다항식으로 대체하는 방법을 사용하면 다항식의 매개변수를 사용하여 결과의 ​​정확도를 추정하거나 주어진 정확도를 기반으로 이러한 매개변수를 선택할 수 있습니다.

수치해석법은 피적분함수의 근사법에 따라 조건부로 그룹화될 수 있습니다.

Newton-Cotes 방법은 함수 근사를 기반으로 합니다.

학위 다항식. 이 클래스의 알고리즘은 다항식의 차수만 다릅니다. 일반적으로 근사 다항식의 노드는 등가 관계입니다.

스플라인 통합 방법은 함수 근사를 기반으로 합니다.

스플라인 조각별 다항식.

대수적 정확도가 가장 높은 방법(가우스 방법)은 주어진(선택한) 노드 수에 대해 최소 적분 오류를 제공하는 특별히 선택된 동일하지 않은 노드를 사용합니다.

몬테카를로 방법은 다중 적분을 계산할 때 가장 자주 사용됩니다. 노드는 무작위로 선택되며 답은 확률적입니다.

총 오류 잘림 오류

반올림 오류

선택한 방법에 관계없이 수치 적분 과정에서는 적분의 대략적인 값을 계산하고 오류를 추정하는 것이 필요합니다. n-수가 증가할수록 오류는 감소합니다.

세그먼트 파티션

. 그러나 이로 인해 반올림 오류가 증가합니다.

부분 세그먼트에서 계산된 적분 값을 합산합니다.

잘림 오류는 피적분 함수의 속성과 길이에 따라 달라집니다.

부분 세그먼트.

2. 심슨의 공식 유도

각 세그먼트 쌍에 대해

2차 다항식을 구성한 다음 이를 적분하고 적분의 덧셈 속성을 사용하면 심슨의 공식을 얻습니다. 세그먼트의 피적분 함수를 고려해 봅시다. 이 피적분 함수를 다음 점과 일치하는 2차 라그랑주 보간 다항식으로 대체하겠습니다.

통합하자

:

심슨의 공식이라고 합니다.

적분에 대해 얻은 결과

값은 축, 직선 및 점을 통과하는 포물선으로 둘러싸인 곡선 사다리꼴의 영역과 일치합니다.

이제 Simpson의 공식을 사용하여 적분 오류를 추정해 보겠습니다. 우리는

세그먼트에 연속 파생 상품이 있습니다. 차이점을 보완해 봅시다

평균값 정리는 이미 이 두 적분 각각에 적용될 수 있습니다.

는 연속이고 함수는 첫 번째 적분 구간에서 음수가 아니고 두 번째 적분 구간에서는 양수가 아닙니다(즉, 각 구간에서 부호가 변경되지 않음). 그 이유는 다음과 같습니다.

(우리는 평균값 정리를 사용했습니다. 왜냐하면

- 연속 함수; ).

차별화

두 번하고 평균값 정리를 적용하면 다음에 대한 또 다른 표현식을 얻을 수 있습니다.

두 추정치 모두에서

따라서 심슨의 공식은 3차 이하의 다항식에 대해 정확합니다. 예를 들어 Simpson의 공식을 다음과 같은 형식으로 작성해 보겠습니다.

세그먼트의 경우

통합이 너무 크면 동일한 부분으로 나누어집니다( 가정). 그 후 Simpson의 공식이 인접한 세그먼트 , ,...의 각 쌍에 적용됩니다. 즉:

심슨의 공식을 일반적인 형태로 작성해 봅시다.

이 방법은 점을 통과하는 포물선으로 부분 세그먼트의 피적분 함수를 근사화하는 것을 제안합니다.
(xj, f(xj)), 어디 제이 = 나-1; 나-0.5; 나즉, 2차 라그랑주 보간 다항식으로 피적분 함수를 근사화합니다.

통합을 수행한 후 다음을 얻습니다.

그게 바로 그거야 심슨의 공식 또는 포물선 공식. 세그먼트에서
[에, 비] 심슨의 공식은 다음과 같은 형식을 취합니다.

Simpson 방법의 그래픽 표현이 그림 1에 나와 있습니다. 2.4.

쌀. 10.4.심슨 방법

변수를 다시 지정하여 식(2.16)에서 분수 인덱스를 제거해 보겠습니다.

그러면 심슨의 공식은 다음과 같은 형식을 취합니다.

식 (2.18)의 오류는 다음 식으로 추정됩니다.

어디 h·n = b-a, . 따라서 Simpson 공식의 오류는 다음에 비례합니다. 영형(시간 4).

논평.심슨의 공식에서 통합 세그먼트는 반드시 다음과 같이 나누어진다는 점에 유의해야 합니다. 심지어간격의 수.

10.5. 방법에 따른 정적분 계산
몬테카를로

앞에서 설명한 방법을 호출합니다. 결정론적인 즉, 우연의 요소가 없습니다.

몬테카를로 방법(MMK)는 모델링을 사용하여 수학적 문제를 해결하기 위한 수치적 방법입니다. 무작위 변수. MMC를 사용하면 확률적 프로세스로 인해 발생하는 수학적 문제를 성공적으로 해결할 수 있습니다. 또한 확률과 관련되지 않은 문제를 해결할 때 이러한 문제를 해결할 수 있는 확률 모델(및 둘 이상)을 인위적으로 생각해 낼 수 있습니다. 정적분의 계산을 고려해보세요

직사각형 공식을 사용하여 이 적분을 계산할 때 간격 [ 에, 비]로 분할 N동일한 간격, 그 중간에 피적분 값이 계산되었습니다. 임의의 노드에서 함수 값을 계산하면 보다 정확한 결과를 얻을 수 있습니다.

여기서 γi는 구간에 걸쳐 균일하게 분포된 난수입니다.
. MMC 적분을 계산할 때의 오류는 ~ 로, 이는 이전에 연구된 결정론적 방법의 오류보다 훨씬 큽니다.

그림에서. 그림 2.5는 무작위 노드 (2.21) 및 (2.22)를 사용하여 단일 적분을 계산하기 위한 몬테카를로 방법의 그래픽 구현을 보여줍니다.

(2.23)

쌀. 10.6.몬테카를로법에 의한 적분(두 번째 경우)

그림에서 볼 수 있듯이. 2.6에서 적분 곡선은 단위 정사각형에 있으며, 구간에 걸쳐 균일하게 분포된 난수 쌍을 얻을 수 있다면 결과 값(γ 1, γ 2)은 점의 좌표로 해석될 수 있습니다. 단위 광장에서. 그런 다음 이러한 숫자 쌍을 상당히 많이 얻으면 대략 다음과 같이 가정할 수 있습니다.
. 여기 에스는 곡선 아래에 있는 점 쌍의 수입니다. N– 숫자 쌍의 총 개수입니다.

예제 2.1.다음 적분을 계산합니다.

다양한 방법을 사용하여 문제를 해결했습니다. 얻은 결과는 표에 요약되어 있습니다. 2.1.

표 2.1

논평.테이블 적분을 선택함으로써 각 방법의 오류를 비교하고 파티션 수가 계산 정확도에 미치는 영향을 확인할 수 있었습니다.

11 비선형의 근사해
그리고 초월 방정식