복소수 변수의 로그. 정의 및 속성. 복소 로그 함수와 리만 표면

정의 및 속성

복소수 지수는 0 값을 취하지 않기 때문에 복소수 0에는 로그가 없습니다. 0이 아닌 texvc 실증적인 형태로 표현될 수 있습니다:

표현식을 구문 분석할 수 없습니다(실행 파일 texvc찾을 수 없습니다. 수학/README - 설정 도움말을 참조하세요.): z=r \cdot e^(i (\varphi + 2 \pi k))\;\;,어디 표현식을 구문 분석할 수 없습니다(실행 파일 texvc찾을 수 없습니다. 설정 도움말은 math/README를 참조하세요.): k- 임의의 정수

그 다음에 표현식을 구문 분석할 수 없습니다(실행 파일 texvc찾을 수 없습니다. 설정 도움말은 math/README를 참조하세요.): \mathrm(Ln)\,z다음 공식으로 구합니다.

표현식을 구문 분석할 수 없습니다(실행 파일 texvc찾을 수 없습니다. 수학/README - 설정 도움말을 참조하세요.): \mathrm(Ln)\,z = \ln r + i \left(\varphi + 2 \pi k \right)

여기 표현식을 구문 분석할 수 없습니다(실행 파일 texvc찾을 수 없습니다. 설정 도움말은 math/README를 참조하세요.): \ln\,r= \ln\,|z|- 실제 로그. 다음은 다음과 같습니다.

값 중 하나만이 간격에 허수 부분을 가지고 있다는 것이 공식에서 분명합니다. 표현식을 구문 분석할 수 없습니다(실행 파일 texvc . 이 값은 주요 중요성복소 자연 로그. 해당(이미 모호하지 않은) 함수가 호출됩니다. 본점대수로 표시됩니다. 표현식을 구문 분석할 수 없습니다(실행 파일 texvc찾을 수 없습니다. 설정 도움말은 math/README를 참조하세요.): \ln\,z. 때로는 통해 표현식을 구문 분석할 수 없습니다(실행 파일 texvc찾을 수 없습니다. 설정 도움말은 math/README를 참조하세요.): \ln\, z또한 주 가지에 있지 않은 로그 값을 나타냅니다. 만약에 표현식을 구문 분석할 수 없습니다(실행 파일 texvc찾을 수 없습니다. 설정 도움말은 math/README를 참조하세요.): z가 실수인 경우 로그의 주요 값은 일반적인 실수 로그와 일치합니다.

위의 공식에서 로그의 실수 부분은 인수의 구성 요소를 통해 다음과 같이 결정됩니다.

표현식을 구문 분석할 수 없습니다(실행 파일 texvc찾을 수 없습니다. 설정에 대한 도움말은 수학/README를 참조하세요.): \operatorname(Re)(\ln(x+iy)) = \frac(1)(2) \ln(x^2+y^2)

그림은 구성요소의 함수인 실수부가 중앙에서 대칭이고 원점까지의 거리에만 의존한다는 것을 보여줍니다. 이는 수직축을 중심으로 실수 로그의 그래프를 회전시켜 얻습니다. 0에 가까워질수록 함수는 다음과 같은 경향이 있습니다. 표현식을 구문 분석할 수 없습니다(실행 파일 texvc찾을 수 없습니다. 수학/README - 설정 도움말을 참조하세요.): -\infty.

음수의 로그는 다음 공식으로 구합니다.

표현식을 구문 분석할 수 없습니다(실행 파일 texvc찾을 수 없습니다. 설정 도움말은 math/README를 참조하세요.): \mathrm(Ln) (-x) = \ln x + i \pi (2 k + 1) \qquad (x>0,\ k = 0, \pm 1 ,\ 오후 2\점)

복소수 로그 값의 예

로그의 주요 값을 제시하겠습니다 ( 표현식을 구문 분석할 수 없습니다(실행 파일 texvc찾을 수 없습니다. 설정 도움말은 math/README를 참조하세요.): \ln) 및 그 일반 표현( 표현식을 구문 분석할 수 없습니다(실행 파일 texvc찾을 수 없습니다. 설정 도움말은 math/README를 참조하세요.): \mathrm(Ln)) 일부 인수의 경우:

표현식을 구문 분석할 수 없습니다(실행 파일 texvc찾을 수 없습니다. 설정 도움말은 math/README를 참조하세요.): \ln (1) = 0;\; \mathrm(Ln) (1) = 2k\pi i 표현식을 구문 분석할 수 없습니다(실행 파일 texvc찾을 수 없습니다. 설정 도움말은 math/README를 참조하세요.): \ln (-1) = i \pi;\; \mathrm(Ln) (-1) = (2k+1)i \pi 표현식을 구문 분석할 수 없습니다(실행 파일 texvc찾을 수 없습니다. 수학/README - 설정 도움말을 참조하세요.): \ln (i) = i \frac(\pi) (2);\; \mathrm(Ln) (i) = i \frac(4k+1)(2) \pi

복소수 로그를 변환할 때는 다중 값이라는 점을 고려하여 주의해야 합니다. 따라서 모든 표현식의 로그가 동일하다고 해서 이러한 표현식이 동일함을 의미하지는 않습니다. 예 잘못된추리:

표현식을 구문 분석할 수 없습니다(실행 파일 texvc찾을 수 없습니다. 수학/README - 설정 도움말을 참조하세요.): i\pi = \ln(-1) = \ln((-i)^2) = 2\ln(-i) = 2(-i\pi/2 ) = -i\pi- 명백한 실수입니다.

왼쪽에는 로그의 주요 값이 있고 오른쪽에는 기본 분기의 값( 표현식을 구문 분석할 수 없습니다(실행 파일 texvc찾을 수 없습니다. 수학/README를 참조하세요 - 설정에 대한 도움말.): k=-1). 오류의 원인은 속성의 부주의한 사용입니다. 표현식을 구문 분석할 수 없습니다(실행 파일 texvc찾을 수 없습니다. 설정 도움말은 math/README를 참조하세요.): \log_a((b^p)) = p~\log_a b, 이는 일반적으로 복잡한 경우 주요 값뿐만 아니라 로그 값의 전체 무한 집합을 의미합니다.

복소 로그 함수와 리만 표면

단순한 연결성으로 인해 로그의 리만 표면은 점이 없는 복소 평면을 보편적으로 덮습니다. 표현식을 구문 분석할 수 없습니다(실행 파일 texvc .

분석 지속

복소수의 로그는 전체 복소 평면에 대한 실수 로그의 분석적 연속으로 정의될 수도 있습니다. 곡선을 보자 표현식을 구문 분석할 수 없습니다(실행 파일 texvc 1에서 시작하고 0을 통과하지 않으며 실제 축의 음수 부분을 교차하지 않습니다. 그런 다음 끝점에서 로그의 주요 값 표현식을 구문 분석할 수 없습니다(실행 파일 texvc찾을 수 없습니다. 설정 도움말은 math/README를 참조하세요.): w구부러진 표현식을 구문 분석할 수 없습니다(실행 파일 texvc찾을 수 없습니다. 설정 도움말은 math/README를 참조하세요.): \Gamma다음 공식으로 결정될 수 있습니다.

표현식을 구문 분석할 수 없습니다(실행 파일 texvc찾을 수 없습니다. 설정에 대한 도움말은 math/README를 참조하세요.): \ln z = \int\limits_\Gamma (du \over u)

만약에 표현식을 구문 분석할 수 없습니다(실행 파일 texvc찾을 수 없습니다. 설정 도움말은 math/README를 참조하세요.): \Gamma- 간단한 곡선(자기 교차점 없음), 그 위에 놓인 숫자의 경우 로그 항등식을 두려움 없이 사용할 수 있습니다. 예:

표현식을 구문 분석할 수 없습니다(실행 파일 texvc찾을 수 없습니다. 설정에 대한 도움말은 math/README를 참조하세요.): \ln (wz) = \ln w + \ln z, ~\forall z,w\in\Gamma\colon zw\in \Gamma

로그 함수의 주요 분기는 허수 부분이 갑자기 다음과 같이 변경되는 실수 축의 음수 부분을 제외하고 전체 복소 평면에서 연속적이고 미분 가능합니다. 표현식을 구문 분석할 수 없습니다(실행 파일 texvc찾을 수 없습니다. 수학/README - 설정 도움말을 참조하세요.): 2\pi. 그러나 이 사실은 주요 값의 허수 부분을 간격으로 인위적으로 제한한 결과입니다. 표현식을 구문 분석할 수 없습니다(실행 파일 texvc찾을 수 없습니다. 설정 도움말은 math/README를 참조하세요.): (-\pi, \pi]. 함수의 모든 분기를 고려하면 함수가 정의되지 않은 0을 제외한 모든 지점에서 연속성이 발생합니다. 곡선을 해결하면 표현식을 구문 분석할 수 없습니다(실행 파일 texvc찾을 수 없습니다. 설정 도움말은 math/README를 참조하세요.): \Gamma실제 축의 음수 부분을 교차하면 첫 번째 교차점은 주 값 분기의 결과를 인접한 분기로 전송하고 각 후속 교차점은 로그 함수의 분기를 따라 유사한 이동을 유발합니다(그림 참조).

분석 연속 공식에서 로그의 모든 분기에 대한 결과는 다음과 같습니다.

표현식을 구문 분석할 수 없습니다(실행 파일 texvc찾을 수 없습니다. 설정 도움말은 math/README를 참조하세요.): \frac(d)(dz) \ln z = (1\over z)

모든 서클에 대해 표현식을 구문 분석할 수 없습니다(실행 파일 texvc찾을 수 없습니다. 설정 도움말은 수학/README를 참조하세요.): S, 요점을 다루고 있다 표현식을 구문 분석할 수 없습니다(실행 파일 texvc찾을 수 없습니다. 설정 도움말은 math/README를 참조하세요.): 0 :

표현식을 구문 분석할 수 없습니다(실행 파일 texvc찾을 수 없습니다. 설정에 대한 도움말은 math/README를 참조하세요.): \oint\limits_S (dz \over z) = 2\pi i

적분은 양의 방향(시계 반대 방향)으로 이루어집니다. 이 동일성은 잔기 이론의 기초가 됩니다.

실제 사례에 대해 알려진 계열을 사용하여 복소 로그의 분석적 연속을 정의할 수도 있습니다.

그러나 이러한 계열의 형태에 따르면 계열의 합은 0과 같습니다. 즉 계열은 복소 로그의 다중값 함수의 주요 분기에만 관련됩니다. 두 계열의 수렴 반경은 1입니다.

역삼각함수 및 쌍곡선 함수와의 연결

표현식을 구문 분석할 수 없습니다(실행 파일 texvc찾을 수 없습니다. 설정 도움말은 math/README를 참조하세요.): \operatorname(Arcsin) z = -i \operatorname(Ln) (i z + \sqrt(1-z^2)) 표현식을 구문 분석할 수 없습니다(실행 파일 texvc찾을 수 없습니다. 설정 도움말은 math/README를 참조하세요.): \operatorname(Arccos) z = -i \operatorname(Ln) (z + i\sqrt(1-z^2)) 표현식을 구문 분석할 수 없습니다(실행 파일 texvc찾을 수 없습니다. 수학/README를 참조하세요 - 설정 도움말.): \operatorname(Arctg) z = -\frac(i)(2) \ln \frac(1+z i)(1-z i) + k \pi \; (z \ne \pm i) 표현식을 구문 분석할 수 없습니다(실행 파일 texvc찾을 수 없습니다. 수학/README를 참조하세요 - 설정 도움말.): \operatorname(Arcctg) z = -\frac(i)(2) \ln \frac(z i-1)(z i+1) + k \pi \; (z \ne \pm i) 표현식을 구문 분석할 수 없습니다(실행 파일 texvc찾을 수 없습니다. 설정 도움말은 math/README를 참조하세요.): \operatorname(Arsh)z = \operatorname(Ln)(z+\sqrt(z^2+1))- 역쌍곡선 사인 표현식을 구문 분석할 수 없습니다(실행 파일 texvc찾을 수 없습니다. 수학/README를 참조하세요 - 설정 도움말.): \operatorname(Arch)z=\operatorname(Ln) \left(z+\sqrt(z^(2)-1) \right)- 역쌍곡선 코사인 표현식을 구문 분석할 수 없습니다(실행 파일 texvc찾을 수 없습니다. 설정 도움말은 math/README를 참조하세요.): \operatorname(Arth)z=\frac(1)(2)\operatorname(Ln)\left(\frac(1+z)(1-z)\right)- 역쌍곡탄젠트 표현식을 구문 분석할 수 없습니다(실행 파일 texvc찾을 수 없습니다. 설정 도움말은 math/README를 참조하세요.): \operatorname(Arcth)z=\frac(1)(2)\operatorname(Ln)\left(\frac(z+1)(z-1)\right)- 역쌍곡선 코탄젠트

역사적 스케치

로그를 복소수로 확장하려는 첫 번째 시도는 17~18세기 초 라이프니츠(Leibniz)와 요한 베르누이(Johann Bernoulli)에 의해 이루어졌지만, 로그의 개념 자체가 아직 명확하게 정의되지 않았기 때문에 전체적인 이론을 만드는 데 실패했습니다. 이 문제에 대한 논의는 처음에는 라이프니츠와 베르누이 사이에 일어났고, 18세기 중반에는 달랑베르와 오일러 사이에 일어났다. Bernoulli와 D'Alembert는 그것이 결정되어야 한다고 믿었습니다. 표현식을 구문 분석할 수 없습니다(실행 파일 texvc찾을 수 없습니다. 설정 도움말은 math/README를 참조하세요.): \log(-x) = \log(x), 라이프니츠는 음수의 로그가 허수임을 증명했습니다. 음수 및 로그의 완전한 이론 복소수 1747~1751년 오일러(Euler)가 출판한 이 책은 본질적으로 현대의 책과 다르지 않습니다. 논쟁은 계속되었지만(D'Alembert는 자신의 관점을 옹호하고 그의 백과사전과 다른 작품에서 이를 자세히 주장했습니다), Euler의 접근 방식은 18세기 말에 보편적인 인정을 받았습니다.

"복소 로그" 기사에 대한 리뷰 작성

문학

로그 이론

• 콘 G., 콘 T.. -M .: Nauka, 1973.-720p.
• Sveshnikov A.G., Tikhonov A.N.복소변수의 함수이론. -M .: Nauka, 1967. - 304 p.
• Fikhtengolts G. M.미분 및 적분 미적분학 과정. -에드. 6번째. -M .: Nauka, 1966.-680p.

로그의 역사

• 18세기 수학 // / A. P. Yushkevich 편집, 3권. - M .: 과학, 1972. - T. III.
• Kolmogorov A. N., Yushkevich A. P. (eds.). 19세기 수학. 기하학. 분석 기능 이론. - M .: 과학, 1981. - T. II.

노트

1. 로그 함수. // . - M.: 소련 백과사전, 1982. - T. 3.
2. , 2권, 520-522페이지.
3. , 와 함께. 623..
4. , 와 함께. 92-94..
5. , 와 함께. 45-46, 99-100..
6. Boltyansky V.G., Efremovich V.A.. - M.: Nauka, 1982. - P. 112. - (Kvant Library, 21호).
7. , 제2권, 522-526페이지.
8. , 와 함께. 624..
9. , 와 함께. 325-328..
10. 리브니코프 K.A.수학의 역사. 두 권으로. -M .: 출판사. 모스크바 주립대학교, 1963. - T. II. - 27, 230~231쪽..
11. , 와 함께. 122-123..
12. 클라인 F.. - M .: 과학, 1987. - T. II. 기하학. -159-161 페이지. - 416초.

복소 로그를 특성화하는 발췌문

우리를 사로잡은 거친 공포 속에서 우리는 빨리 다른 "층"으로 갈 수 있을 거라고 생각도 하지 못한 채 넓은 계곡을 총알처럼 달려갔습니다... 우리는 그것에 대해 생각할 시간이 없었습니다. 우리는 너무 무서웠습니다.
그 생물은 우리 바로 위로 날아가서 이빨이 있는 부리를 큰 소리로 찰칵 소리를 냈고, 우리는 가능한 한 빨리 달려가서 사악하고 끈적끈적한 물보라를 옆으로 튀기고, 갑자기 뭔가 다른 것이 이 소름 끼치는 "기적의 새"의 관심을 끌기를 정신적으로 기도했습니다... 그것은 그녀가 훨씬 더 빨랐고 우리는 그녀에게서 벗어날 기회가 전혀 없었다고 느꼈습니다. 운 좋게도 근처에는 나무 한 그루도 자라지 않았고, 덤불이나 숨을 수있는 돌도 없었고, 멀리서 불길한 검은 바위 만 볼 수있었습니다.
- 거기! – 스텔라가 같은 바위를 손가락으로 가리키며 소리쳤습니다.
그런데 갑자기, 뜻밖에도, 우리 바로 앞에 어딘가에서 생명체가 나타났습니다. 그 광경은 말 그대로 우리의 혈관을 얼어붙게 만들었습니다... 그것은 마치 "허공에서 튀어나온 것처럼" 보였고 정말 끔찍했습니다... 거대한 검은 시체는 길고 거친 털로 완전히 뒤덮여 배불뚝이 곰처럼 보였습니다. 이 "곰"만이 3층 집만큼 키가 컸습니다... 괴물의 울퉁불퉁한 머리에는 두 개의 거대한 곡선으로 "관"이 있었습니다. 뿔, 그리고 으스스한 입은 칼처럼 날카로운 한 쌍의 믿을 수 없을 정도로 긴 송곳니로 장식되어 있었는데, 그것을 보는 것만으로도 우리의 다리는 겁에 질려 무너졌습니다... 그리고 믿을 수 없을 정도로 우리를 놀라게 한 괴물은 쉽게 뛰어 올랐습니다. .. 거대한 송곳니 중 하나에 날아다니는 "진흙"을 집어들었습니다... 우리는 충격에 얼어붙었습니다.
- 뛰자!!! – 스텔라가 비명을 질렀어요. - '바쁜' 동안 달리자!..
그리고 우리는 뒤도 돌아보지 않고 다시 달려갈 준비가 되어 있었는데, 갑자기 우리 등 뒤에서 가느다란 목소리가 들렸습니다.
- 얘들아, 잠깐만!!! 도망갈 필요 없어요!.. 딘이 당신을 구했어요. 그는 적이 아닙니다!
우리는 급히 돌아섰습니다. 작고 매우 아름다운 검은 눈의 소녀가 우리 뒤에 서 있었습니다... 그리고 그녀에게 다가온 괴물을 침착하게 쓰다듬고 있었습니다!.. 우리의 눈은 놀라서 커졌습니다... 믿을 수 없었습니다! 확실히 - 놀라운 날이었습니다!... 소녀는 우리를 바라보며 환영하는 미소를 지었고 우리 옆에 서 있는 털복숭이 괴물을 전혀 두려워하지 않았습니다.
- 그를 두려워하지 마세요. 그는 매우 친절합니다. 우리는 오바라가 당신을 쫓는 것을 보고 도와주기로 결정했습니다. 딘은 훌륭했고 시간에 맞춰 도착했어요. 정말요?
미세한 지진이 나는 듯한 "좋다"는 가르랑거리는 소리가 나더니 고개를 숙이고 소녀의 얼굴을 핥았다.
– 오와라는 누구이며 왜 우리를 공격했나요? – 내가 물었다.
"그녀는 모든 사람을 공격합니다. 그녀는 포식자입니다." 그리고 매우 위험해요.” 소녀는 침착하게 대답했다. – 여기서 뭐 하시는지 물어봐도 될까요? 너 여기 출신 아니지?
- 아니, 여기서는 안돼. 우리는 단지 걷고 있었습니다. 하지만 당신에게도 같은 질문이 있습니다. 여기서 무엇을 하고 있나요?
“엄마를 만나러 갈 거예요…” 어린 소녀는 슬퍼졌습니다. "우리는 함께 죽었는데, 그녀는 무슨 이유에서인지 여기까지 오게 됐어요." 그리고 지금 나는 여기에 살고 있지만 그녀는 결코 동의하지 않을 것이기 때문에 그녀에게 이것을 말하지 않습니다. 그 사람은 내가 온다고 생각하는 것 같아...
- 그냥 오는 게 낫지 않아? 여기 너무 끔찍해요!.. – 스텔라는 어깨를 으쓱했습니다.
"그녀를 여기에 혼자 둘 수는 없어요. 그녀에게 아무 일도 일어나지 않도록 지켜보고 있어요." 그리고 여기 딘이 나와 함께 있어요... 그는 나를 도와줍니다.
믿을 수가 없었어요... 이 작고 용감한 소녀는 어떤 면에서 매우 "죄가 있는" 어머니를 보호하면서 이 차갑고 끔찍하고 낯선 세상에서 살기 위해 자발적으로 자신의 아름답고 친절한 "바닥"을 떠났습니다! 나는 감히 그런 위업을 수행할 만큼 용감하고 이타적인 사람들(심지어 어른들도!)이 많지 않을 것이라고 생각합니다... 그리고 나는 즉시 생각했습니다. 아마도 그녀는 자신이 어떤 운명을 맞이하게 될지 이해하지 못했을 것입니다. ?!
– 비밀이 아니라면 여기 온 지 얼마나 됐나요?
"최근에..." 검은 눈의 아기는 손가락으로 곱슬곱슬한 머리카락의 검은 가닥을 잡아당기며 슬프게 대답했습니다. - 내가 이 일에 빠졌어 아름다운 세상돌아가셨을 때!.. 너무 친절하고 밝으셨어요!.. 그런데 엄마가 옆에 없는 걸 보고 달려가서 엄마를 찾으러 갔어요. 처음에는 너무 무서웠어요! 어떤 이유에서인지 그녀는 어디에도 없었는데... 그리고 나는 이 끔찍한 세계에 빠졌고... 그리고 그녀를 찾았다. 여기가 너무 무서웠어... 너무 외로웠어... 엄마는 나한테 나가라고 했고, 심지어 혼나기도 했어. 하지만 나는 그녀를 떠날 수 없습니다... 이제 나에게는 친구, 나의 좋은 학장이 있고 이미 어떻게든 여기에 존재할 수 있습니다.
그녀의 "좋은 친구"가 다시 으르렁거렸고, 이로 인해 스텔라와 나에게는 엄청난 "하부 아스트랄" 소름이 돋았습니다... 정신을 차린 후, 나는 조금 진정하려고 노력하고 이 털복숭이 기적을 자세히 살펴보기 시작했습니다... 그리고 그는, 자신이 주목받는 것을 느끼자마자 그는 송곳니가 난 입을 끔찍하게 드러냈다... 나는 뒤로 물러섰다.
- 아, 두려워하지 마세요, 제발! “그 사람이 당신을 보고 웃고 있어요.” 소녀가 “안심했어요.”
응... 그런 미소를 지으면 빨리 달리는 법을 배울 수 있을 거야... - 속으로 생각했어요.
- 어떻게 그 사람과 친구가 됐나요? – 스텔라가 물었다.
-처음 여기에 왔을 땐 정말 무서웠어요. 특히 오늘 당신 같은 몬스터들이 공격해올 땐 더욱 그랬어요. 그러던 어느 날, 내가 거의 죽을 뻔했을 때, 딘은 소름끼치게 날아다니는 수많은 "새들"로부터 나를 구해주었습니다. 저도 처음에는 무서웠는데 나중에 보니 그 사람이 얼마나 순진한 마음을 가지고 있는지 알았어요... 가장 친한 친구! 나는 지구에 살면서도 이런 적이 없었습니다.
- 어떻게 그렇게 빨리 익숙해졌나요? 그의 외모는 그다지 익숙하지 않습니다 ...
– 그리고 여기서 나는 어떤 이유로 지구에서는 눈치 채지 못했던 매우 간단한 진실을 이해했습니다. 사람이나 생물이 좋은 마음을 가지고 있다면 외모는 중요하지 않습니다... 어머니는 매우 아름다웠지만 때때로 매우 화가났습니다. 도. 그리고 그녀의 모든 아름다움은 어딘가에서 사라졌습니다... 그리고 딘은 무섭지만 항상 매우 친절하고 항상 나를 보호합니다. 나는 그의 친절함을 느끼고 아무것도 두려워하지 않습니다. 하지만 외모는 익숙해지겠죠...
– 당신은 지구상의 사람들이 사는 것보다 훨씬 더 오랜 시간 동안 여기에 있을 것이라는 것을 알고 있습니까? 정말 여기에 머물고 싶나요?..
“엄마가 여기 계시니까 내가 도와줘야 해요.” 그리고 그녀가 다시 지구에 살기 위해 “떠날” 때, 나도 떠날 것이다... 더 많은 선함이 있는 곳으로. 이 끔찍한 세상에서 사람들은 마치 전혀 살지 않는 것처럼 매우 이상합니다. 왜 그런 겁니까? 이것에 대해 아는 것이 있나요?
– 어머니가 다시 살기 위해 떠날 것이라고 누가 말했습니까? – 스텔라가 관심을 갖게 되었습니다.
- 딘, 물론이죠. 그는 많은 것을 알고 있고 이곳에서 아주 오랫동안 살았습니다. 그는 또한 우리(어머니와 나)가 다시 살면 우리 가족이 달라질 것이라고 말했습니다. 그러면 더 이상 이 엄마가 없을 텐데... 그래서 지금은 엄마와 함께 있고 싶어요.
- 그 사람하고는 어떻게 얘기해요, 학장님? – 스텔라가 물었다. – 그리고 우리에게 당신의 이름을 알려주고 싶지 않은 이유는 무엇입니까?
하지만 그건 사실이에요. 우리는 아직 그녀의 이름을 몰랐어요! 그리고 그들은 그녀가 어디서 왔는지도 몰랐습니다...
– 제 이름은 마리아였어요. 그런데 그게 여기서 정말 중요한가요?
- 물론이죠! – 스텔라가 웃었다. - 어떻게 당신과 소통할 수 있나요? 당신이 떠날 때 그들은 당신에게 새 이름을 줄 것이지만 당신이 여기에 있는 동안 당신은 이전 이름으로 살아야 할 것입니다. 여기 다른 누구하고도 얘기해 봤어, 마리아? – 스텔라가 습관적으로 주제에서 주제로 건너뛰며 물었습니다.
"네, 얘기했어요..." 어린 소녀는 머뭇거리며 말했습니다. "근데 여기 사람들이 너무 이상해요." 그리고 너무 불행해요... 그들은 왜 그렇게 불행할까요?
– 여기 보이는 것이 행복에 도움이 됩니까? – 나는 그녀의 질문에 놀랐다. – 지역의 “현실” 자체도 미리 희망을 죽인다!.. 여기서 어떻게 행복할 수 있는가?
- 모르겠어요. 엄마와 함께 있으면 여기서도 행복할 수 있을 것 같아... 사실 여기는 너무 무섭고 엄마는 여기를 정말 좋아하지 않으셔... 내가 같이 있기로 동의했다고 말했을 때 그녀, 그녀는 나에게 소리를 지르며 내가 그녀의 "뇌없는 불행"이라고 말했습니다... 하지만 나는 기분이 상하지 않습니다... 그녀가 단지 겁이 난다는 것을 압니다. 나처럼...
– 어쩌면 그녀는 단지 당신의 “극단적인” 결정으로부터 당신을 보호하고 싶었고, 단지 당신이 “바닥”으로 돌아가기를 바랐을 뿐일까요? – 스텔라가 기분 상하지 않도록 조심스럽게 물었다.
- 아뇨, ​​물론이죠... 하지만 좋은 말씀 감사드립니다. 엄마는 지구에서도 저를 좋지 않은 이름으로 자주 불렀습니다... 하지만 이것이 분노에서 나온 것이 아니라는 것을 알고 있습니다. 그녀는 단지 내가 태어난 것을 좋아하지 않았고, 내가 그녀의 인생을 망쳤다고 자주 말했습니다. 하지만 그건 내 잘못이 아니었지, 그렇지? 나는 항상 그녀를 행복하게 해주려고 노력했지만 어떤 이유에서인지 성공하지 못했습니다. 그리고 아버지도 없었습니다. – 마리아는 매우 슬펐고, 금방이라도 울 것 같은 목소리가 떨리고 있었습니다.
스텔라와 나는 서로를 바라보았고 비슷한 생각이 그녀를 방문했다고 거의 확신했습니다... 나는 이미 자신의 아이를 걱정하는 대신에 신경 쓰지 않는 이 버릇없고 이기적인 "어머니"를 정말 좋아하지 않았습니다. 나는 그의 영웅적인 희생을 전혀 이해하지 못했고, 게다가 그녀에게 고통스러운 상처를 주기도 했습니다.
"하지만 딘은 내가 괜찮고, 내가 그를 매우 행복하게 해준다고 하더군요!" – 어린 소녀는 더 쾌활하게 옹알이를 했습니다. “그리고 그 사람은 나와 친구가 되고 싶어 해요.” 그리고 여기서 만난 다른 사람들은 매우 차갑고 무관심하며 때로는 사악하기까지 합니다... 특히 몬스터가 붙어 있는 사람들은...
“괴물들, 뭐?..” 우리는 이해하지 못했습니다.
- 글쎄요, 그들 뒤에는 끔찍한 괴물들이 앉아 그들이 무엇을 해야 하는지 알려주고 있어요. 그리고 말을 안 들으면 몬스터들이 엄청 비웃어요... 말을 걸어보려고 했는데, 이 몬스터들이 말을 안 하더군요.
우리는 이 "설명"에서 전혀 아무것도 이해하지 못했지만 일부 아스트랄 존재가 사람들을 고문하고 있다는 바로 그 사실은 우리에 의해 "탐구"될 수 없었기 때문에 즉시 그녀에게 이 놀라운 현상을 어떻게 볼 수 있는지 물었습니다.
- 아, 네, 어디든 있어요! 특히 '검은 산'에서는요. 저기, 나무 뒤에 그가 있습니다. 우리도 같이 갈래요?
-물론 우리는 너무 행복할 것입니다! – 기뻐하는 스텔라가 즉시 대답했습니다.
솔직히 말해서, 나는 특히 혼자서 "소름끼치고 이해할 수 없는" 다른 사람과 데이트할 것이라는 전망에도 별로 웃지 않았습니다. 하지만 관심이 두려움을 이겼고, 물론 우리는 조금 겁이 났음에도 불구하고 갔을 것입니다... 하지만 딘과 같은 수비수가 우리와 함께 걸어가자 즉시 더 재미있어졌습니다...
그리고 잠시 후, 진짜 지옥이 우리 눈앞에 펼쳐졌고, 경이로움으로 활짝 열렸습니다... 그 비전은 "미친" 예술가인 보쉬(또는 번역하는 언어에 따라 보스크)의 그림을 연상시켰습니다. 한때 그의 예술 세계로 전 세계를 놀라게 한 사람... 물론 그는 미친 것이 아니라 어떤 이유로 낮은 아스트랄 만 볼 수 있었던 단순한 선견자였습니다. 하지만 우리는 그에게 마땅한 몫을 주어야 합니다. 그는 그를 훌륭하게 묘사했습니다... 나는 아버지의 서재에 있던 책에서 그의 그림을 보았고, 그의 그림 대부분이 담고 있는 으스스한 느낌을 아직도 기억하고 있습니다...
“정말 끔찍하군요!” 충격을 받은 스텔라가 속삭였습니다.
누군가는 아마도 우리가 여기 "바닥"에서 이미 많은 것을 보았다고 말할 수 있을 것입니다... 하지만 우리조차도 가장 끔찍한 악몽 속에서 이것을 상상할 수 없었습니다!... "검은 바위" 뒤에는 상상할 수 없는 무언가가 완전히 열렸습니다. .. 그것은 바위에 새겨진 거대하고 평평한 "가마솥"처럼 보였고 그 바닥에는 진홍색 "용암"이 거품이 일었습니다... 이상하게 번쩍이는 붉은 거품과 함께 뜨거운 공기가 모든 곳에서 "폭발"하여 뜨거운 증기가 터졌습니다. 그리고 그 순간 땅에 큰 방울이 떨어지거나 그 아래에 떨어진 사람들에게 떨어졌습니다... 가슴 아픈 비명 소리가 들렸지만 가장 역겨운 생물이 같은 사람들의 등에 앉아 있었기 때문에 즉시 조용해졌습니다. 만족스러운 표정은 희생자들의 고통에 조금도 관심을 기울이지 않고 희생자를 "통제"했습니다... 사람들의 맨발 아래에서는 뜨거운 돌이 붉게 변했고, 진홍빛 땅은 열로 터져 거품이 나고 "녹았습니다"... 뜨거운 물이 튀었습니다. 거대한 균열 사이로 증기가 터져 나와 고통에 흐느끼는 인간의 발을 태워 높은 곳으로 옮겨져 가벼운 연기와 함께 증발했습니다. 그리고 "구덩이"의 한가운데에는 밝고 붉은 색의 넓은 불 같은 강이 흐르고, 때때로 똑같은 역겨운 괴물들이 예기치 않게 고통받는 하나 또는 다른 개체를 던졌는데, 떨어지면 주황색 불꽃이 잠깐 튀었지만 잠시 동안 푹신한 흰 구름으로 변해 사라졌습니다. ..영원히... 그곳은 진짜 지옥이었고, 스텔라와 나는 그곳에서 한시라도 빨리 "사라지고" 싶었습니다...
“우리는 무엇을 할 건가요?” 스텔라가 조용하고 공포에 질린 목소리로 속삭였습니다. - 거기로 내려가시겠어요? 그들을 돕기 위해 우리가 할 수 있는 일이 있나요? 얼마나 많은지 보세요!..
우리는 열에 말린 흑갈색 절벽 위에 서서 아래로 펼쳐지는 공포로 가득 찬 고통, 절망, 폭력의 "으깬" 것을 지켜보았고, 우리는 너무 유치할 정도로 무력감을 느꼈기 때문에 이번에는 나의 호전적인 스텔라조차도 그녀의 주름진 "날개"를 단연코 접었습니다. .” “그리고 첫 번째 부름에 그녀의 사랑스럽고 믿음직한 윗층 “층”으로 달려갈 준비가 되어 있었습니다...

Wikipedia의 자료 - 무료 백과사전

정의 및 속성

복소수 지수는 0 값을 취하지 않기 때문에 복소수 0에는 로그가 없습니다. 0이 아닌 $지$실증적인 형태로 표현될 수 있습니다:

$z=r\; \backslash cdot\; e^(i\; (\backslash varphi\; +\; 2\; \backslash pi\; k))\backslash ;\backslash ;,$어디 $케이$- 임의의 정수

그 다음에 $\backslash mathrm(Ln)\backslash ,z$다음 공식으로 구합니다.

$\backslash mathrm(Ln)\backslash ,z\; =\; \backslash ln\; r\; +\; i\; \backslash left(\backslash varphi\; +\; 2\; \backslash pi\; k\; \backslash right)$

여기 $\backslash ln\backslash ,r=\; \backslash ln\backslash ,|z|$- 실제 로그. 다음은 다음과 같습니다.

$\backslash mathrm(Ln)\; (-x)\; =\; \backslash ln\; x\; +\; i\; \backslash pi\; (2\; k\; +\; 1)\; \backslash qquad\; (x>0,\backslash \; k\; =\; 0,\; \backslash pm\; 1,\; \backslash pm\; 2\; \backslash dots)$

복소수 로그 값의 예

로그의 주요 값을 제시하겠습니다 ( $\backslash ln$) 및 그 일반 표현( $\backslash mathrm(Ln)$) 일부 인수의 경우:

$\backslash ln\; (1)\; =\; 0;\backslash ;\; \backslash mathrm(Ln)\; (1)\; =\; 2k\backslash pi\; i$ $\backslash ln\; (-1)\; =\; i\; \backslash pi;\backslash ;\; \backslash mathrm(Ln)\; (-1)\; =\; (2k+1)i\; \backslash pi$ $\backslash ln\; (i)\; =\; i\; \backslash frac(\backslash pi)\; (2);\backslash ;\; \backslash mathrm(Ln)\; (i)\; =\; i\; \backslash frac(4k+1)(2)\; \backslash pi$

복소수 로그를 변환할 때는 다중 값이라는 점을 고려하여 주의해야 합니다. 따라서 모든 표현식의 로그가 동일하다고 해서 이러한 표현식이 동일함을 의미하지는 않습니다. 예 잘못된추리:

$i\backslash pi\; =\; \backslash ln(-1)\; =\; \backslash ln((-i)^2)\; =\; 2\backslash ln(-i)\; =\; 2(-i\backslash pi/2)\; =\; -i\backslash pi$- 명백한 실수입니다.

왼쪽에는 로그의 주요 값이 있고 오른쪽에는 기본 분기의 값( $k=-1$). 오류의 원인은 속성의 부주의한 사용입니다. $\backslash log\_a((b^p))\; =\; p~\backslash log\_a\; b$, 이는 일반적으로 복잡한 경우 주요 값뿐만 아니라 로그 값의 전체 무한 집합을 의미합니다.

복소 로그 함수와 리만 표면

단순한 연결성으로 인해 로그의 리만 표면은 점이 없는 복소 평면을 보편적으로 덮습니다. $0$.

분석 지속

복소수의 로그는 전체 복소 평면에 대한 실수 로그의 분석적 연속으로 정의될 수도 있습니다. 곡선을 보자 $\backslash 감마$ 1에서 시작하고 0을 통과하지 않으며 실제 축의 음수 부분을 교차하지 않습니다. 그런 다음 끝점에서 로그의 주요 값 $승$구부러진 $\backslash 감마$다음 공식으로 결정될 수 있습니다.

$\backslash ln\; z\; =\; \backslash int\backslash limits\_\backslash Gamma\; (du\; \backslash over\; u)$

만약에 $\backslash 감마$- 간단한 곡선(자기 교차점 없음), 그 위에 놓인 숫자의 경우 로그 항등식을 두려움 없이 사용할 수 있습니다. 예:

$\backslash ln\; (wz)\; =\; \backslash ln\; w\; +\; \backslash ln\; z,\; ~\backslash forall\; z,w\backslash in\backslash Gamma\backslash colon\; zw\backslash in\; \backslash Gamma$

로그 함수의 주요 분기는 허수 부분이 갑자기 다음과 같이 변경되는 실수 축의 음수 부분을 제외하고 전체 복소 평면에서 연속적이고 미분 가능합니다. $2\backslash 파이$. 그러나 이 사실은 주요 값의 허수 부분을 간격으로 인위적으로 제한한 결과입니다. $(-\backslash 파이,\; \backslash 파이]$. 함수의 모든 분기를 고려하면 함수가 정의되지 않은 0을 제외한 모든 지점에서 연속성이 발생합니다. 곡선을 해결하면 $\backslash 감마$실제 축의 음수 부분을 교차하면 첫 번째 교차점은 주 값 분기의 결과를 인접한 분기로 전송하고 각 후속 교차점은 로그 함수의 분기를 따라 유사한 이동을 유발합니다(그림 참조).

분석 연속 공식에서 로그의 모든 분기에 대한 결과는 다음과 같습니다.

$\backslash frac(d)(dz)\; \backslash ln\; z\; =\; (1\backslash over\; z)$

모든 서클에 대해 $에스$, 요점을 다루고 있다 $0$:

$\backslash oint\backslash limits\_S\; (dz\; \backslash over\; z)\; =\; 2\backslash pi\; i$

적분은 양의 방향(시계 반대 방향)으로 이루어집니다. 이 동일성은 잔기 이론의 기초가 됩니다.

실제 사례에 대해 알려진 계열을 사용하여 복소 로그의 분석적 연속을 정의할 수도 있습니다.

{{{2}}}

(1행)

{{{2}}}

(2행)

그러나 이러한 계열의 형태에 따르면 계열의 합은 0과 같습니다. 즉 계열은 복소 로그의 다중값 함수의 주요 분기에만 관련됩니다. 두 계열의 수렴 반경은 1입니다.

역삼각함수 및 쌍곡선 함수와의 연결

$\backslash operatorname(Arcsin)\; z\; =\; -i\; \backslash operatorname(Ln)\; (i\; z\; +\; \backslash sqrt(1-z^2))$ $\backslash operatorname(Arccos)\; z\; =\; -i\; \backslash operatorname(Ln)\; (z\; +\; i\backslash sqrt(1-z^2))$ $\backslash operatorname(Arctg)\; z\; =\; -\backslash frac(i)(2)\; \backslash ln\; \backslash frac(1+z\; i)(1-z\; i)\; +\; k\; \backslash pi\; \backslash ;\; (z\; \backslash ne\; \backslash pm\; i)$ $\backslash operatorname(Arcctg)\; z\; =\; -\backslash frac(i)(2)\; \backslash ln\; \backslash frac(z\; i-1)(z\; i+1)\; +\; k\; \backslash pi\; \backslash ;\; (z\; \backslash ne\; \backslash pm\; i)$ $\backslash operatorname(Arsh)z\; =\; \backslash operatorname(Ln)(z+\backslash sqrt(z^2+1))$- 역쌍곡선 사인 $\backslash operatorname(Arch)z=\backslash operatorname(Ln)\; \backslash left(z+\backslash sqrt(z^(2)-1)\; \backslash right)$- 역쌍곡선 코사인 $\backslash operatorname(Arth)z=\backslash frac(1)(2)\backslash operatorname(Ln)\backslash left(\backslash frac(1+z)(1-z)\backslash right)$- 역쌍곡탄젠트 $\backslash operatorname(Arcth)z=\backslash frac(1)(2)\backslash operatorname(Ln)\backslash left(\backslash frac(z+1)(z-1)\backslash right)$- 역쌍곡선 코탄젠트

역사적 스케치

로그를 복소수로 확장하려는 첫 번째 시도는 17~18세기 초 라이프니츠(Leibniz)와 요한 베르누이(Johann Bernoulli)에 의해 이루어졌지만, 로그의 개념 자체가 아직 명확하게 정의되지 않았기 때문에 전체적인 이론을 만드는 데 실패했습니다. 이 문제에 대한 논의는 처음에는 라이프니츠와 베르누이 사이에 일어났고, 18세기 중반에는 달랑베르와 오일러 사이에 일어났다. Bernoulli와 D'Alembert는 그것이 결정되어야 한다고 믿었습니다. $\backslash log(-x)\; =\; \backslash log(x)$, 라이프니츠는 음수의 로그가 허수임을 증명했습니다. 음수와 복소수의 로그에 대한 완전한 이론은 1747-1751년에 오일러에 의해 출판되었으며 본질적으로 현대 이론과 다르지 않습니다. 논쟁은 계속되었지만(D'Alembert는 자신의 관점을 옹호하고 그의 백과사전과 다른 작품에서 이를 자세히 주장했습니다), Euler의 접근 방식은 18세기 말에 보편적인 인정을 받았습니다.

"복소 로그" 기사에 대한 리뷰 작성

문학

로그 이론

• 콘 G., 콘 T.. -M .: Nauka, 1973.-720p.
• Sveshnikov A.G., Tikhonov A.N.복소변수의 함수이론. -M .: Nauka, 1967. - 304 p.
• Fikhtengolts G. M.미분 및 적분 미적분학 과정. -에드. 6번째. -M .: Nauka, 1966.-680p.

로그의 역사

• 18세기 수학 // / A. P. Yushkevich 편집, 3권. - M .: 과학, 1972. - T. III.
• Kolmogorov A. N., Yushkevich A. P. (eds.). 19세기 수학. 기하학. 분석 기능 이론. - M .: 과학, 1981. - T. II.

노트

1. 로그 함수. // . - M.: 소련 백과사전, 1982. - T. 3.
2. , 2권, 520-522페이지.
3. , 와 함께. 623..
4. , 와 함께. 92-94..
5. , 와 함께. 45-46, 99-100..
6. Boltyansky V.G., Efremovich V.A.. - M.: Nauka, 1982. - P. 112. - (Kvant Library, 21호).
7. , 제2권, 522-526페이지.
8. , 와 함께. 624..
9. , 와 함께. 325-328..
10. 리브니코프 K.A.수학의 역사. 두 권으로. -M .: 출판사. 모스크바 주립대학교, 1963. - T. II. - 27, 230~231쪽..
11. , 와 함께. 122-123..
12. 클라인 F.. - M .: 과학, 1987. - T. II. 기하학. -159-161 페이지. - 416초.

복소 로그를 특성화하는 발췌문

이 강하고 이상한 남자는 이 어둡고 우아하며 사랑이 많은 소녀가 그에게 가하는 저항할 수 없는 영향을 받고 있다는 것이 분명했습니다.
Rostov는 Dolokhov와 Sonya 사이에 새로운 것을 발견했습니다. 그러나 그는 이것이 어떤 종류의 새로운 관계인지 스스로 정의하지 않았습니다. “그들은 모두 그곳의 누군가와 사랑에 빠졌어요.” 그는 소냐와 나타샤에 대해 생각했습니다. 그러나 그는 이전처럼 Sonya와 Dolokhov를 편안하게 여기지 않았고 집에 있는 횟수도 줄어들었습니다.
1806년 가을부터 모든 것이 다시 작년보다 훨씬 더 열렬하게 나폴레옹과의 전쟁에 대해 이야기하기 시작했습니다. 신병이 임명되었을 뿐만 아니라 천 명 중 전사가 9명 더 임명되었습니다. 모든 곳에서 그들은 혐오감으로 보나파르트를 저주했고 모스크바에서는 다가오는 전쟁에 대해서만 이야기했습니다. 로스토프 가족의 경우 이러한 전쟁 준비의 모든 관심은 Nikolushka가 모스크바에 머무르는 데 결코 동의하지 않고 휴일 이후 연대에 함께 가기 위해 Denisov의 휴가가 끝날 때까지 기다리고 있다는 사실에만 있습니다. 다가오는 출발은 그가 즐거운 시간을 보내는 것을 방해하지 않았을 뿐만 아니라 그렇게 하도록 격려했습니다. 그는 대부분의 시간을 집 밖에서 저녁 식사, 저녁 및 무도회에서 보냈습니다.

11
크리스마스 셋째 날, 니콜라이는 집에서 식사를 했는데 최근에는 그런 일이 거의 일어나지 않았습니다. 그와 Denisov는 Epiphany 이후 연대로 떠났기 때문에 공식적으로 작별 만찬이었습니다. Dolokhov와 Denisov를 포함하여 약 20명이 점심을 먹고 있었습니다.
로스토프의 집에서는 사랑의 분위기, 사랑의 분위기가 이번 휴일만큼 강렬하게 느껴지지 않았습니다. “행복의 순간을 포착하고, 사랑하도록 강요하고, 사랑에 빠지세요! 세상에는 이것 하나만이 진짜이고 나머지는 모두 말도 안 되는 일이다. 그리고 그게 우리가 여기서 하는 전부다”고 분위기는 말했다. 언제나 그렇듯이 니콜라이는 두 쌍의 말을 고문하고 그가 있어야 할 곳과 부름을 받은 모든 장소를 방문할 시간이 없었기 때문에 점심 직전에 집에 도착했습니다. 그는 집에 들어가자마자 집 안의 긴장되고 사랑스러운 분위기를 알아차리고 느꼈지만, 또한 일부 사회 구성원들 사이에 이상한 혼란이 만연하고 있음도 알아차렸습니다. Sonya, Dolokhov, 오래된 백작 부인 및 작은 나타샤가 특히 흥분했습니다. Nikolai는 저녁 식사 전에 Sonya와 Dolokhov 사이에 어떤 일이 일어날 것이라는 것을 깨달았고, 그의 특유의 마음의 민감함으로 저녁 식사 중에 두 사람을 다루는 데 매우 온유하고 조심스러웠습니다. 공휴일 셋째 날 저녁에는 요겔(댄스 교사)이 공휴일에 모든 학생과 여학생을 위해 무도회를 주도록 되어 있었습니다.
- Nikolenka, Yogel에 가실 건가요? 제발 가세요." 나타샤가 그에게 말했습니다. "그가 특별히 당신에게 물었고 Vasily Dmitrich(데니소프였습니다)가 갑니다."
"아테나 씨의 명령에 따라 어디로 가든지!" 농담으로 로스토프의 집에서 기사 나타샤의 기슭에 자리를 잡은 데니소프는 "pas de chale(숄과 함께 춤을 추다)은 춤출 준비가 되어 있습니다."라고 말했습니다.
- 시간이 있으면! "저는 아르하로프 부부에게 약속했어요. 그들의 저녁이니까요." 니콜라이가 말했습니다.
"그리고 당신은?..." 그는 돌로호프를 향해 돌아섰다. 그리고 방금 내가 이것을 물었고, 나는 이것을 물어서는 안 된다는 것을 깨달았습니다.
"예, 아마도..." 돌로호프는 소냐를 바라보며 차갑고 화를 내며 대답했고, 클럽 만찬에서 피에르를 보았던 것과 똑같은 표정으로 눈살을 찌푸린 채 다시 니콜라이를 바라보았습니다.
Nikolai는 "뭔가가 있습니다"라고 생각했고 Dolokhov가 저녁 식사 직후 떠났다는 사실로 인해 이러한 가정이 더욱 확증되었습니다. 그는 나타샤에게 전화를 걸어 그게 뭐냐고 물었습니다.
"나는 당신을 찾고 있었어요." 나타샤가 그에게 달려가며 말했습니다. "내가 말했잖아요, 당신은 아직도 믿고 싶지 않다고요." 그녀가 의기양양하게 말했다. "그가 소냐에게 청혼했어요."
이 기간 동안 니콜라이가 소냐에게 아무리 작은 일을 했어도 이 말을 들었을 때 그에게서 뭔가 떠오르는 것 같았습니다. 돌로호프는 괜찮은 사람이었고 어떤 면에서는 지참금 없는 고아 소냐와 아주 잘 어울리는 인물이었습니다. 늙은 백작부인과 세상의 관점에서 보면 그를 거부하는 것은 불가능했다. 그러므로 니콜라이가 이 말을 들었을 때 처음 느낀 감정은 소냐에 대한 분노였습니다. 그는 이렇게 말할 준비를 하고 있었습니다. “물론 우리는 어린 시절의 약속을 잊어버리고 그 제안을 받아들여야 합니다.” 하지만 그 사람은 아직 그런 말을 할 시간이 없었어요...
- 당신은 상상할 수있다! 그녀는 거절했습니다. 완전히 거절했습니다! – 나타샤가 말했습니다. “그녀는 다른 사람을 사랑한다고 했어요.” 그녀는 잠시 침묵한 뒤 덧붙였다.
"그렇습니다. 내 소냐는 그렇지 않으면 할 수 없었습니다!" 니콜라이는 생각했다.
“어머니가 아무리 부탁해도 거절하셨고, 그 말씀을 바꾸지 않으실 거라는 것도 알아요…
- 그리고 엄마가 물었어요! – 니콜라이가 비난하듯 말했습니다.
"그렇습니다." 나타샤가 말했습니다. - 알다시피, Nikolenka, 화내지 마세요. 하지만 나는 당신이 그녀와 결혼하지 않을 것이라는 것을 알고 있습니다. 나도 알아, 신은 왜 결혼하지 않을지 알고 있어.
"글쎄, 당신은 그걸 모르는군요." 니콜라이가 말했습니다. – 하지만 그 사람과 얘기를 좀 해야 해요. 이 소냐는 정말 아름답습니다! – 그는 웃으며 덧붙였다.
- 정말 사랑스러워요! 내가 보내드릴게요. -그리고 동생에게 키스하는 나타샤는 도망갔습니다.
1분 후 소냐가 들어왔는데, 겁에 질려 혼란스럽고 죄책감을 느꼈습니다. 니콜라이는 그녀에게 다가가 손에 키스했습니다. 이번 방문에서 두 사람이 직접 대면하고 사랑에 대해 이야기한 것은 이번이 처음이었습니다.
“소피,” 그는 처음에는 소심하게 말하다가 점점 더 대담하게 말했습니다. “화려하고 수익성 있는 경기를 거부하고 싶다면; 하지만 그 사람은 훌륭하고 고귀한 사람이에요. 그는 내 친구예요…
소냐가 그를 방해했습니다.
“이미 거절했어요.” 그녀가 성급하게 말했다.
- 거절하면 나한테 손해가 될까봐...
소냐가 다시 그를 방해했다. 그녀는 겁에 질린 눈빛으로 그를 바라보았다.
“니콜라스, 그런 말은 하지 마세요.” 그녀가 말했다.
- 아니, 그래야 해요. 아마도 이것은 내 측의 자만심[오만]일지도 모르지만, 말하는 것이 더 낫습니다. 당신이 나를 거절한다면 나는 당신에게 모든 진실을 말해야 합니다. 나는 누구보다 당신을 사랑한다고 생각합니다 ...
"저는 그것만으로도 충분해요." 소냐가 얼굴을 붉히며 말했습니다.
-아니요, 하지만 나는 천 번이나 사랑에 빠졌고 앞으로도 사랑에 빠질 것입니다. 비록 당신만큼 누구에 대한 우정, 신뢰, 사랑의 느낌은 없지만 말입니다. 그렇다면 나는 젊다. 엄마는 이것을 원하지 않습니다. 글쎄, 나는 아무것도 약속하지 않는다는 것뿐입니다. 그리고 돌로호프의 제안에 대해 생각해 보시길 바랍니다”라고 친구의 성을 발음하는 데 어려움을 겪었다.
- 그런 말은 하지 마세요. 난 아무것도 바라지 않아. 나는 당신을 형제처럼 사랑하고 항상 당신을 사랑할 것이며 더 이상 필요하지 않습니다.
"당신은 천사입니다. 나는 당신에게 합당하지 않습니다. 그러나 나는 당신을 속이는 것이 두렵습니다." – 니콜라이가 다시 그녀의 손에 키스했습니다.

Yogel은 모스크바에서 가장 재미있는 공을 가졌습니다. 어머니들은 새로 배운 걸음걸이를 수행하는 청소년기(소녀들)를 보면서 이렇게 말했습니다. 이것은 떨어질 때까지 춤을 추는 청소년들과 청소년들, [소녀와 소년들]이 말한 것입니다. 그들에게 굴복하고 그들에게서 최고의 즐거움을 찾으려는 생각으로 이 무도회에 온 이 어른들의 소녀들과 청년들. 같은 해에 이 무도회에서는 두 번의 결혼이 이루어졌습니다. Gorchakovs의 두 예쁜 공주는 구혼자를 찾아 결혼했으며 더욱이 그들은이 공을 영광으로 시작했습니다. 이 무도회에서 특별한 점은 주인과 여주인이 없다는 점이었습니다. 마치 날아다니는 깃털처럼 예술의 규칙에 따라 이리저리 돌아다니는 선량한 요겔이 있었고, 그는 모든 손님들로부터 수업 티켓을 받았습니다. 처음으로 긴 드레스를 입는 13, 14세 소녀처럼 춤추고 즐기고 싶은 사람들만이 이 무도회에 가고 싶어한다는 것이었습니다. 아주 드문 예외를 제외하면 모두가 예뻤거나 예뻤습니다. 모두가 열정적으로 미소를 지었고 눈이 너무 빛났습니다. 때로는 최고의 학생들도 파스 드 샬레(pas de chale)를 추었는데, 그 중 최고는 우아함으로 구별되는 나타샤(Natasha)였습니다. 하지만 이 마지막 무도회에서는 이제 막 유행하기 시작한 에코세즈, 앙글레즈, 마주르카만이 춤을 췄습니다. 홀은 Yogel에 의해 Bezukhov의 집으로 옮겨졌고 모두가 말했듯이 공은 큰 성공을 거두었습니다. 예쁜 소녀들이 많았고 로스토프 여성들이 최고였습니다. 두 사람 모두 특히 행복하고 쾌활했습니다. 그날 저녁, Dolokhov의 제안, Nikolai와의 거부 및 설명을 자랑스러워하는 Sonya는 여전히 집에서 돌고 있었고 소녀가 머리띠를 끝내는 것을 허용하지 않았으며 이제 그녀는 성급한 기쁨으로 끝까지 빛나고있었습니다.
실제 무도회에서 처음으로 긴 드레스를 입었다는 사실에 못지않게 자랑스러운 나타샤는 더욱 행복해했습니다. 둘 다 분홍색 리본이 달린 흰색 모슬린 드레스를 입고 있었습니다.
나타샤는 무도회에 들어간 순간부터 사랑에 빠졌습니다. 그녀는 특정 사람을 사랑하지 않았지만 모든 사람을 사랑했습니다. 그녀가 바라보는 순간 그녀가 바라보는 것은 그녀가 사랑에 빠진 것이었다.
- 오, 정말 좋아요! – 그녀는 계속해서 소냐에게 달려가며 말했습니다.
Nikolai와 Denisov는 홀을 돌아 다니며 무용수들을 다정하고 애용하는 마음으로 바라보았습니다.
"그녀는 얼마나 사랑스러울까요?" Denisov가 말했습니다.
- WHO?
"Athena Natasha"라고 Denisov가 대답했습니다.
“그리고 그녀가 춤추는 모습은 정말 대단해요!” 잠시 침묵이 흐른 뒤 그는 다시 말했다.
- 누구 말하는 거야?
"당신의 여동생에 대해서요." Denisov가 화가 나서 소리쳤습니다.
로스토프는 웃었다.
– 몽 쉐르 콩트; vous etes l"un de mes meilleurs ecoliers, il faut que vous dansiez"라고 어린 Jogel이 Nikolai에게 다가가며 말했습니다. "Voyez Combien de jolies Demoiselles." [친애하는 백작님, 당신은 저의 최고의 학생 중 한 명입니다. 춤을 춰야 합니다. 여자들이 얼마나 예쁜지 보세요!] – 그는 역시 그의 전 제자였던 데니소프에게도 같은 요청을 했습니다.
"Non, mon cher, je fe"ai tapisse"ie, [아니요, 자기야, 난 벽 옆에 앉을 거야." Denisov가 말했습니다. “내가 당신의 수업을 얼마나 잘못 사용했는지 기억하지 않습니까?”
- 안 돼! - 조겔이 급히 그를 위로하며 말했습니다. – 당신은 단지 부주의했을 뿐이지만 당신에게는 능력이 있었습니다. 그렇습니다. 능력이 있었습니다.
새로 소개된 마주르카가 연주되었습니다. Nikolai는 Yogel을 거부할 수 없었고 Sonya를 초대했습니다. Denisov는 노부인 옆에 앉아 팔꿈치를 세이버에 기대고 비트를 찍으며 유쾌하게 말하고 춤추는 젊은이를 바라보며 노부인을 웃게 만들었습니다. 첫 번째 커플의 요겔은 그의 자랑이자 최고의 학생인 나타샤와 함께 춤을 췄습니다. 신발을 신은 채 부드럽게 발을 움직이며 요겔은 소심하지만 부지런히 발걸음을 옮기는 나타샤와 함께 홀을 가장 먼저 날아갔습니다. Denisov는 그녀에게서 눈을 떼지 않고 세이버로 비트를 두 드렸고, 자신이 춤을 추지 않았기 때문에가 아니라 원하지 않았기 때문에 춤을 추지 않았다는 표현을 분명히 밝혔습니다. 그림 한가운데서 그는 지나가던 로스토프에게 전화를 걸었다.
“전혀 같지 않다”고 그는 말했다. - 이게 폴란드 마주르카인가요? 그리고 그녀는 춤을 아주 훌륭하게 춥니다. - 데니소프가 폴란드 마주르카 춤 실력으로 폴란드에서도 유명하다는 것을 알고 니콜라이는 나타샤에게 달려갔습니다.
- 가서 Denisov를 선택하세요. 여기 그는 춤을 추고 있습니다! 기적! -그가 말했다.
나타샤의 차례가 다시 왔을 때, 그녀는 일어 서서 재빨리 활로 신발을 만지작 거리며 소심하게 복도를 가로 질러 데니 소프가 앉아있는 모퉁이로 달려갔습니다. 그녀는 모두가 그녀를 바라보며 기다리고 있는 것을 보았습니다. 니콜라이는 데니소프와 나타샤가 웃으며 다투고 있는 것을 보았고, 데니소프는 거절하면서도 즐겁게 웃고 있는 것을 보았습니다. 그는 달려갔다.
"제발, 바실리 드미트리히." 나타샤가 말했다. "가자, 제발."
"그래, 바로 그거야, 가테나." 데니소프가 말했다.
"그만하면 됐어, 바샤." 니콜라이가 말했다.
"마치 고양이 Vaska를 설득하려는 것 같아요." Denisov가 농담으로 말했습니다.
"저녁 내내 노래를 불러줄게요." 나타샤가 말했습니다.
- 마법사는 나에게 무엇이든 할 것입니다! -Denisov는 그의 세이버를 말하고 풀었습니다. 그는 의자 뒤에서 나와 여자의 손을 단단히 잡고 고개를 들고 발을 내려 놓고 재치를 기다렸습니다. 말을 타고 mazurka에서만 Denisov의 키가 작아 보이지 않았으며 그는 자신이 느꼈던 것과 동일한 청년처럼 보였습니다. 비트를 기다린 그는 옆에서 그의 부인을 의기 양양하고 장난스럽게 바라보다가 갑자기 한쪽 발을 두드리며 공처럼 탄력있게 바닥에서 튀어 나와 원을 그리며 날아가서 그의 부인을 끌고갔습니다. 그는 한쪽 다리로 조용히 복도를 반쯤 날아 갔는데, 앞에 서있는 의자를 보지 못하고 똑바로 달려가는 것 같았습니다. 그러나 갑자기 박차를 찰칵하고 다리를 벌리고 발 뒤꿈치에 멈춰서 잠시 서서 박차 소리와 함께 발을 한곳에 두드리고 빠르게 돌아 서서 오른발을 왼발로 딸깍 소리를 내며 다시 원을 그리며 날아갔습니다. 나타샤는 그가 무엇을 하려는지 짐작했고, 어떻게 해야 할지 모른 채 그를 따라가며 그에게 항복했습니다. 이제 그는 그녀를 돌았고, 이제는 오른쪽으로, 때로는 왼손으로, 이제는 무릎을 꿇고 그녀를 자기 주위로 돌았고, 다시 벌떡 일어나 마치 모든 방을 가로질러 달려가려는 것처럼 매우 빠른 속도로 앞으로 달렸습니다. 숨도 쉬지 않고; 그러다가 갑자기 그는 다시 멈춰서 다시 예상치 못한 새로운 무릎을 만들었습니다. 그가 그녀의 집 앞에서 부인을 활발하게 회전시키고 박차를 가하고 그녀 앞에 절했을 때 나타샤는 그를 위해 인사조차 하지 않았습니다. 그녀는 그를 알아보지 못한 듯 웃으며 당황한 표정으로 그를 바라보았다. - 이게 뭔가요? - 그녀가 말했다.
Yogel이 이 mazurka를 진짜로 인식하지 못했음에도 불구하고 모든 사람들은 Denisov의 기술에 기뻐했고 끊임없이 그를 선택하기 시작했으며 노인들은 웃으며 폴란드와 좋았던 옛날에 대해 이야기하기 시작했습니다. 마주르카에서 얼굴을 내뿜고 손수건으로 몸을 닦은 데니소프는 나타샤 옆에 앉았고 공 전체에서 그녀의 곁을 떠나지 않았습니다.

공식의 증명 .

=

= =

사인과 코사인은 다음의 배수인 각도를 더하는 것에 의존하지 않기 때문입니다.

그리고 이 평등은 이미 명백합니다. 삼각법 형태복소수.

따라서 로그는 0을 제외한 평면의 모든 점에 대해 존재합니다. 실수 양수의 경우 인수는 0이므로 이 무한한 점 집합은 다음 형식을 갖습니다. 즉, 값 중 하나인 at 은 실제 축에 속합니다. 음수의 로그를 계산하면 , 즉 점 집합이 위쪽으로 이동하고 그 중 어느 것도 실제 축에 속하지 않습니다.

원래 숫자의 인수가 0인 경우에만 로그 값 중 하나가 실수 축에 해당한다는 공식을 보면 분명합니다. 그리고 이것은 오른쪽 반축에 해당하므로 학교 수학 과정에서는 양수의 로그만 고려되었습니다. 음수와 허수의 로그도 존재하지만 실수 축에 단일 값이 없습니다.

다음 그림은 양수의 로그 값이 모두 평면에서 어디에 위치하는지 보여줍니다. 그 중 하나는 실제 축에 있고 나머지는 , 등의 위와 아래에 있습니다. 음수 또는 복소수의 경우 인수는 0이 아니므로 이 일련의 점은 수직으로 이동되어 실제 축에 점이 없습니다.

예.계산하다.

해결책. 숫자(2와 같음)와 인수 180 0의 모듈러스를 정의해 보겠습니다. 그러면 = .

부록 1. 증거를 위한 질문(티켓용).

제1강

1. 부분적분의 공식을 증명하라.

2번 강의

1. r = LCM (r 1 ,...,r k)인 대체 가 유리 분수의 적분으로 적분을 감소시킨다는 것을 증명하십시오.

2. 대체가 양식의 적분을 감소시킨다는 것을 증명하십시오. 유리 분수의 적분에.

3. 사인과 코사인을 변환하는 공식 도출

보편적인 삼각법 대체의 경우.

4. 함수가 코사인에 대해 홀수인 경우 대체를 통해 적분을 유리수로 줄인다는 것을 증명하십시오.

5. 다음의 경우에 이를 증명하십시오.

치환: 적분을 유리수로 줄입니다.

6. 형식의 적분에 대해 증명하십시오.

7. 공식을 증명하세요

8. 형식의 적분에 대해 증명하십시오. 대체는 유리 분수에 대한 적분을 생성합니다.

9. 형식의 적분에 대해 증명하십시오. 교체는 적분을 유리수로 줄입니다.

제3강

1. 기능을 증명하십시오. 는 함수의 역도함수입니다.

2. 뉴턴-라이프니츠 공식을 증명하십시오: .

3. 명시적으로 주어진 곡선의 길이에 대한 공식을 증명하십시오.

.

4. 극좌표로 주어진 곡선의 길이에 대한 공식을 증명하십시오.

4강

정리를 증명하십시오 : 수렴, 수렴.

5번 강의

1. 명시적으로 주어진 표면의 면적에 대한 공식을 도출(증명)합니다. .

2. 극좌표로의 전환을 위한 공식 도출.

3. 극좌표의 야코비안 행렬식 유도.

4. 원통형 좌표로의 전환을 위한 공식 도출.

5. 원통형 좌표계의 야코비안 행렬식 유도.

6. 구면 좌표로의 전환을 위한 공식 도출:

.

제6강

1. 대체가 동질 방정식을 분리 가능한 변수가 있는 방정식으로 감소시킨다는 것을 증명하십시오.

2. 출금 일반적인 형태선형 균질 방정식의 해법.

3. 라그랑주 방법을 사용하여 선형 불균일 방정식에 대한 해의 일반 형식을 도출합니다.

4. 대입으로 베르누이 방정식이 선형 방정식으로 축소됨을 증명하십시오.

강의 번호 7.

1. 대체가 방정식의 차수를 k만큼 감소시킨다는 것을 증명하십시오.

2. 대체가 방정식의 차수를 1만큼 감소시킨다는 것을 증명하십시오. .

3. 정리를 증명하십시오. 이 함수는 선형 동차 미분 방정식의 해이며 특성근을 갖습니다.

4. 선형 균질 diff에 대한 해의 선형 조합이라는 정리를 증명하십시오. 방정식은 또한 그 해이기도 합니다.

5. 해 부과에 대한 정리를 증명하십시오. 가 우변의 선형 불균일 미분 방정식에 대한 해이고, 가 동일한 미분 방정식의 우변에 대한 해인 경우, 합은 다음과 같습니다. 방정식의 우변에 대한 해법입니다.

강의 번호 8.

1. 함수 시스템이 선형 종속이라는 정리를 증명하십시오.

2. n차 선형 동차 미분 방정식에 대해 n개의 선형 독립 해가 있다는 정리를 증명하십시오.

3. 0이 다중성의 근인 경우 이 근에 해당하는 해 시스템은 다음과 같은 형식을 갖는다는 것을 증명하십시오.

강의 번호 9.

1. 복소수를 곱할 때 모듈이 곱해지고 인수가 더해지는 것을 지수 형식을 사용하여 증명합니다.

2. n차에 대한 무아브르 공식 증명

3. 차수 n 복소수의 근에 대한 공식을 증명하십시오.

4. 증명하세요 그리고

사인과 코사인의 일반화입니다. 을 위한 실수이 공식을 사용하면 사인(코사인)을 얻을 수 있습니다.

5. 복소수의 로그 공식을 증명하십시오.

부록 2.

이론 지식에 대한 부전공 및 구두 질문(콜로키움용).

제1강

1. 역도함수와 부정적분은 무엇이며, 어떻게 다릅니까?

2. 왜 역도함수인지 설명하시오.

3. 부분별 적분 공식을 작성합니다.

4. 적분 형태에서는 어떤 대체가 필요하며 어떻게 근을 제거합니까?

5. 모든 근이 다르고 실수인 경우 유리 분수의 피적분 함수를 가장 간단한 것으로 분해하는 유형을 적어보세요.

6. 모든 근이 실수이고 다중도 k의 배수근이 하나 있는 경우 유리 분수의 피적분 함수를 가장 간단한 것으로 분해하는 유형을 적습니다.

강의 2번.

1. 분모가 음의 판별식으로 2도 인수를 갖는 경우 유리 분수를 가장 간단한 분수로 분해하는 방법은 무엇인지 쓰십시오.

2. 적분을 유리분수로 줄이는 대체는 무엇입니까?

3. 보편적인 삼각법 대체란 무엇입니까?

4. 적분 기호 아래의 함수가 사인(코사인)에 대해 홀수인 경우 어떤 대체가 이루어지나요?

5. 피적분자에 , 또는 식이 포함된 경우 대체되는 내용은 무엇입니까?

강의 번호 3.

1. 정적분의 정의.

2. 정적분의 기본 속성 중 일부를 나열하십시오.

3. 뉴턴-라이프니츠 공식을 작성하세요.

4. 회전체의 부피 공식을 작성하십시오.

5. 명시적으로 주어진 곡선의 길이에 대한 공식을 작성하십시오.

6. 매개변수로 정의된 곡선의 길이에 대한 공식을 작성합니다.

강의 번호 4.

1. 부적절한 적분의 정의(극한 사용).

2. 1종 가적분과 2종 가적분의 차이점은 무엇입니까?

3. 1종과 2종의 수렴적분의 간단한 예를 들어보세요.

4. 적분(T1)은 어떤 값으로 수렴됩니까?

5. 수렴은 역도함수(T2)의 유한한계와 어떤 관련이 있습니까?

6. 융합에 필요한 기준과 그 공식화는 무엇인가?

7. 최종 형태의 비교 테스트

8. 극단적인 형태의 비교 기호.

9. 다중 적분의 정의.

강의 번호 5.

1. 통합 순서를 변경하여 간단한 예를 들어 보여줍니다.

2. 표면적 공식을 쓰세요.

3. 극좌표란 무엇이며, 전이 공식을 작성하세요.

4. 극좌표계의 야코비 행렬은 무엇입니까?

5. 원통형 좌표와 구형 좌표는 무엇이며 차이점은 무엇입니까?

6. 원통형(구형) 좌표계의 야코비안(Jacobian)이란 무엇입니까?

강의 번호 6.

1. 1차 미분방정식이란 무엇인가(일반관).

2. 도함수에 대해 해결된 1차 미분방정식은 무엇입니까? 몇 가지 예를 들어보세요.

3. 분리변수가 있는 방정식은 무엇입니까?

4. 코시 조건의 일반적인 해, 특수 해는 무엇입니까?

5. 동차방정식이란 무엇이며, 일반적인 방법그의 결정.

6. 선형방정식은 무엇이고, 이를 풀기 위한 알고리즘은 무엇이며, 라그랑주법은 무엇입니까?

7. 이를 해결하기 위한 알고리즘인 베르누이 방정식은 무엇인가?

강의 번호 7.

1. 형식의 방정식에 어떤 대체가 필요합니까?

2. 다음 형식의 방정식에 어떤 대체가 필요합니까? .

3. 그것이 어떻게 형태로 표현될 수 있는지 예를 들어 보여주세요.

4. n차 선형미분방정식은 무엇입니까?

5. 특성다항식, 특성방정식이란 무엇인가?

6. 함수가 선형 균질 미분 방정식의 해가 되는 r에 대한 정리를 공식화합니다.

7. 선형 균질 방정식에 대한 해의 선형 조합도 해라는 정리를 공식화합니다.

8. 솔루션 부과 및 그 결과에 대한 정리를 공식화합니다.

9. 선형 종속 함수 시스템과 선형 독립 함수 시스템이 무엇인지 몇 가지 예를 들어보십시오.

10. n 함수 시스템의 Wronski 행렬식은 무엇입니까? LZS 및 LNS 시스템에 대한 Wronski 행렬식의 예를 들어보십시오.

강의 번호 8.

1. 시스템 함수가 선형 종속인 경우 Wronski 행렬식은 어떤 속성을 갖습니까?

2. n차 선형 동차 미분방정식에 대해 선형독립 해가 몇 개 존재합니까?

3. FSR의 정의 ( 기본 시스템해) n차 선형 균질 방정식의 해입니다.

4. FSR에는 몇 가지 기능이 포함되어 있나요?

5. n=2에 대해 라그랑주 방법으로 구하기 위한 연립방정식의 형태를 적어보세요.

6. 다음과 같은 경우의 특정 솔루션 유형을 적어주세요.

7. 무엇입니까? 선형 시스템미분 방정식, 몇 가지 예를 작성해 보세요.

8. 미분 방정식의 자율 시스템이란 무엇입니까?

9. 미분 방정식 시스템의 물리적 의미.

10. 이 시스템의 주 행렬의 고유값과 고유벡터가 알려진 경우 방정식 시스템의 FSR이 어떤 기능으로 구성되어 있는지 적어보세요.

강의 번호 9.

1. 허수단위란 무엇인가?

2. 공액수란 무엇이며, 여기에 원래 수를 곱하면 어떻게 됩니까?

3. 복소수의 삼각함수, 지수함수 형태는 무엇입니까?

4. 오일러의 공식을 작성하세요.

5. 복소수의 인수인 모듈러스(modulus)는 무엇입니까?

6. 곱셈(나눗셈) 중에 모듈과 인수는 어떻게 되나요?

7. n차에 대한 무아브르의 공식을 쓰세요.

8. n차 근에 대한 공식을 작성합니다.

9. 복잡한 논증에 대한 일반화된 사인 및 코사인 공식을 작성합니다.

10. 복소수의 로그 공식을 작성하세요.

부록 3. 강의의 문제점.

제1강

예. . 예. .

예. . 예. .

예. 예. .

예. . 예. .

2번 강의

예. . 예. .

예. . 예. .

예. . 예.. , 여기서, 번호 .

예.기하급수적으로 나눕니다.

예. Moivre의 공식을 사용하여 구합니다.

예. 루트의 모든 값을 찾으십시오.

계획:

소개

• 1 실수 로그
  • 1.1 속성
  • 1.2 로그 함수
  • 1.3 자연로그
  • 1.4 십진 로그
• 2 복소수 로그
  • 2.1 정의 및 속성
  • 2.2 예
  • 2.3 분석 지속
  • 2.4 리만 표면
• 3 역사적 스케치
  • 3.1 실수 로그
  • 3.2 복소수 로그
• 4 로그 테이블
• 5개의 응용
문학
노트

소개

쌀. 1. 로그함수 그래프

숫자의 로그 비기반으로 ㅏ (그리스어에서 λόγος - '말', '태도' 그리고 ἀριθμός - "숫자")는 베이스를 올려야 하는 힘의 지표로 정의됩니다. ㅏ번호를 얻으려고 비. 명칭: . 정의에 따르면 레코드와 동등합니다.

예를 들어, 왜냐하면.

1. 실수 로그

실수 로그의 로그 ㅏ 비. 알려진 바와 같이, 지수 함수 와이 = ㅏ 엑스 단조롭고 각 값은 한 번만 사용되며 값의 범위에는 모든 양의 실수가 포함됩니다. 양수의 실수 로그 값은 항상 존재하며 고유하게 결정됩니다.

가장 널리 사용되는 로그 유형은 다음과 같습니다.

1.1. 속성

증거

그것을 증명해 봅시다.

(조건 bc > 0이므로). ■

증거

그것을 증명해보자

(조건에 따라 ■

증거

우리는 그것을 증명하기 위해 신원을 사용합니다. 항등식의 양변을 밑수 c에 로그로 나타내자. 우리는 다음을 얻습니다:

증거

그것을 증명해 봅시다.

(왜냐하면 비 피> 조건에 따라 0). ■

증거

그것을 증명해보자

증거

밑면에 대한 왼쪽과 오른쪽의 로그 씨 :

왼쪽: 오른쪽:

표현의 평등은 명백합니다. 로그가 동일하므로 로그 함수의 단조성으로 인해 표현식 자체가 동일합니다. ■

1.2. 로그 함수

로그 숫자를 변수로 간주하면 다음을 얻습니다. 로그 함수 와이=로그 ㅏ 엑스 (그림 1 참조). 에 정의되어 있습니다. 값 범위: .

기능은 엄격하게 증가하고 있습니다. ㅏ> 1이고 0에서 엄격하게 감소합니다.< ㅏ < 1 . График любой логарифмической функции проходит через точку (1;0) . Функция непрерывна и неограниченно дифференцируема всюду в своей области определения.

똑바로 엑스= 0은 왼쪽 수직 점근선입니다. 왜냐하면 에서 ㅏ> 1 및 0< ㅏ < 1 .

로그 함수의 미분은 다음과 같습니다.

증거

I. 증명해보자

아이덴티티를 적어보자 이자형에 엑스 = 엑스 그리고 왼쪽과 오른쪽을 구별하세요.

우리는 그것을 얻었고, 그 결과는 다음과 같습니다

II. 그것을 증명해보자

로그 함수는 양의 실수의 곱셈 그룹과 모든 실수의 덧셈 그룹 간의 동형을 수행합니다.

1.3. 자연로그

십진 로그와의 관계: .

위에서 설명한 것처럼 자연 로그의 미분은 다음과 같은 간단한 공식을 갖습니다.

이러한 이유로 자연로그는 주로 수학 연구에 사용됩니다. 미분 방정식을 풀 때, 공부할 때 자주 나타납니다. 통계적 의존성(예를 들어 소수의 분포) 등

자연 로그의 부정 적분은 부분 적분을 통해 쉽게 찾을 수 있습니다.

Taylor 급수 전개는 다음과 같이 표현될 수 있습니다.
평등이 참일 때

(1)

특히,

이 급수는 더 빠르게 수렴하며, 또한 공식의 왼쪽은 이제 모든 양수의 로그를 표현할 수 있습니다.

1.4. 십진 로그

쌀. 2a. 로그 스케일

쌀. 2b. 기호가 있는 로그 눈금

밑이 10인 로그(기호: lg ㅏ) 계산기가 발명되기 전에는 계산에 널리 사용되었습니다. 균등하지 않은 십진 로그 척도는 일반적으로 계산자에 적용됩니다. 유사한 척도가 많은 과학 분야에서 사용됩니다. 예를 들면 다음과 같습니다.

• 물리학 - 소리의 강도(데시벨).
• 천문학 - 별의 밝기 척도.
• 화학 - 수소 이온 활성(pH).
• 지진학 - 리히터 규모.
• 음악 이론 - 음표의 주파수와 관련된 음표의 척도입니다.
• 역사는 로그적인 시간 척도이다.

로그 척도는 또한 거듭제곱 관계의 지수와 지수의 계수를 식별하는 데 널리 사용됩니다. 이 경우 하나 또는 두 개의 축을 따라 로그 눈금으로 구성된 그래프는 연구하기 더 쉬운 직선 형태를 취합니다.

2. 복소대수

2.1. 정의 및 속성

복소수의 경우 로그는 실수와 동일한 방식으로 정의됩니다. 실제로 자연 복소 로그는 거의 독점적으로 사용되며, 이를 모든 복소수의 집합으로 표시하고 정의합니다. 지그렇게 이자형 지 = 승 . 모든 에 대해 복소 로그가 존재하며 실수 부분은 고유하게 결정되는 반면 허수 부분은 무한한 수의 값을 갖습니다. 이러한 이유로 다중 값 함수라고 합니다. 상상해보면 승실증적인 형태로:

,

그런 다음 로그는 다음 공식으로 구됩니다.

여기에 실제 로그가 있습니다. 아르 자형 = | 승 | , 케이- 임의의 정수. 때 얻은 값 케이= 0, 호출됨 주요 중요성복소 자연 로그; 간격 (− π,π]에서 인수 값을 취하는 것이 관례입니다. 해당 (이미 단일 값) 함수가 호출됩니다. 본점로그이며 로 표시됩니다. 때로는 주 가지에 없는 로그 값을 나타내기도 합니다.

공식에서 다음과 같습니다.

• 로그의 실수 부분은 다음 공식에 의해 결정됩니다.

• 음수의 로그는 다음 공식으로 구합니다.

복소 삼각 함수는 지수(오일러의 공식)와 관련되어 있으므로 지수의 역함수인 복소 로그는 역삼각 함수와 관련됩니다. 그러한 연결의 예:

2.2. 예

일부 인수에 대한 로그의 주요 값을 제공하겠습니다.

복소수 로그를 변환할 때는 다중 값이라는 점을 고려하여 주의해야 합니다. 따라서 모든 표현식의 로그가 동일하다고 해서 이러한 표현식이 동일함을 의미하지는 않습니다. 잘못된 추론의 예:

나π = ln(− 1) = ln((− 나) 2) = 2ln(− 나) = 2(− 나π / 2) = - 나π - 순전히 터무니없는 일입니다.

왼쪽에는 로그의 주요 값이 있고 오른쪽에는 기본 분기의 값( 케이= − 1). 오류의 원인은 일반적으로 복잡한 경우 주요 값뿐만 아니라 로그 값의 전체 무한 세트를 의미하는 속성을 부주의하게 사용했기 때문입니다.

2.3. 분석 지속

쌀. 3. 복소대수(허수부)

복소수의 로그는 전체 복소 평면에 대한 실수 로그의 분석적 확장으로 정의될 수도 있습니다. 곡선 Γ가 1에서 시작하고 0을 통과하지 않고 실수 축의 음수 부분과 교차하지 않도록 합니다. 그런 다음 끝점에서 로그의 주요 값 승곡선 Γ는 다음 공식으로 결정될 수 있습니다.

Γ가 단순한 곡선(자기교차점 없음)인 경우, 그 위에 있는 숫자에 대해 로그 항등식을 두려움 없이 적용할 수 있습니다. 예를 들어

곡선 Γ가 실수 축의 음수 부분과 교차하도록 허용되면 첫 번째 교차점은 주요 값 분기의 결과를 인접한 분기로 전송하고 각 후속 교차점은 로그 함수의 분기를 따라 유사한 이동을 유발합니다( 그림 참조).

분석 연속 공식에서 로그의 모든 지점에서 다음이 따릅니다.

모든 서클에 대해 에스, 취재 포인트 0:

적분은 양의 방향(시계 반대 방향)으로 이루어집니다. 이 동일성은 잔기 이론의 기초가 됩니다.

복소수 인수의 경우에 일반화된 위 계열(1)을 사용하여 복소수 로그의 분석적 연속을 정의할 수도 있습니다. 그러나 확장 유형에 따르면 1에서는 0과 같습니다. 즉, 계열은 복소 로그의 다중 값 함수의 주요 분기에만 관련됩니다.

2.4. 리만 표면

포괄적인 로그 함수- 리만 표면의 예; 그 가상 부분(그림 3)은 나선형으로 꼬인 무한한 수의 가지로 구성됩니다. 이 표면은 단순히 연결되어 있습니다. 그것의 유일한 0(1차)은 다음에서 얻어집니다. 지= 1, 특이점: 지= 0 및 (무한 차수의 분기점).

로그의 리만 곡면은 점 0이 없는 복소 평면에 대한 보편적인 커버링입니다.

3. 역사적 스케치

3.1. 실수 로그

복잡한 계산에 대한 필요성은 16세기에 급속도로 커졌으며, 많은 어려움은 여러 자리 수의 곱셈과 나눗셈, 근을 구하는 것과 관련이 있었습니다. 세기 말에 여러 수학자들이 거의 동시에 노동 집약적인 곱셈을 간단한 덧셈으로 대체하고 특수 테이블을 사용하여 기하 수열과 산술 수열을 비교하고 기하 수열을 원래의 수열로 사용하는 아이디어를 내놓았습니다. 그런 다음 나눗셈은 측정할 수 없을 정도로 간단하고 보다 안정적인 뺄셈으로 자동 대체되며 차수의 근을 추출합니다. N근호 표현의 로그를 다음과 같이 나누는 것으로 귀결됩니다. N. 그는 자신의 책에서 이 아이디어를 처음으로 발표했습니다. 산술 통합"그러나 그의 아이디어를 구현하기 위해 진지한 노력을 기울이지 않은 Michael Stiefel.

1614년 스코틀랜드 아마추어 수학자 존 네이피어(John Napier)는 다음과 같은 책을 발표했습니다. 라틴어"라는 제목의 에세이 놀라운 로그 테이블에 대한 설명"(위도. Mirifici Logarithmorum Canonis 설명 ). 그것은 있었다 간단한 설명로그와 그 속성, 사인, 코사인, 탄젠트 로그의 8자리 표(1" 단위). 로그네이피어가 제안한 는 과학 분야에서 자리를 잡았습니다. 네이피어는 그의 다른 책에서 로그 이론을 설명했습니다. 놀라운 로그 테이블 만들기"(위도. Mirifici Logarithmorum Canonis Constructio ), 그의 아들이 1619년에 사후에 출판했습니다.

함수의 개념은 아직 존재하지 않았으며 네이피어는 로그를 운동학적으로 정의하여 균일한 모션과 로그적으로 느린 모션을 비교했습니다. 예를 들어, 그는 사인의 로그를 다음과 같이 정의했습니다.

주어진 사인의 로그는 전체 사인이 기하학적으로 감소하기 시작하는 것과 동일한 비율로 항상 산술적으로 증가하는 숫자입니다.

현대 표기법에서 네이피어의 운동학 모델은 미분 방정식으로 표현될 수 있습니다. dx/x = -dy/M여기서 M은 값이 필요한 자릿수를 갖는 정수가 되도록 보장하기 위해 도입된 배율 인수입니다(소수점은 아직 널리 사용되지 않았습니다). 네이피어는 M = 10000000을 취했습니다.

엄밀히 말하면 네이피어는 현재 로그라고 불리는 잘못된 함수를 표로 작성했습니다. LogNap(x) 함수를 표시하면 다음과 같이 자연 로그와 관련됩니다.

분명히 LogNap(M) = 0, 즉 "완전 사인"의 로그는 0입니다. 이것이 Napier가 정의를 통해 달성한 것입니다. .

네이피어 로그의 주요 속성: 양이 기하학적 수열을 형성하면 해당 로그는 산술 수열을 형성합니다. 그러나 네퍼 함수의 로그 규칙은 현대 로그의 규칙과 달랐습니다.

예를 들어, LogNap(ab) = LogNap(a) + LogNap(b) - LogNap(1).

불행하게도 네이피어 테이블의 모든 값은 여섯 번째 자리 이후에 계산 오류가 포함되어 있었습니다. 그러나 이것이 새로운 계산 방법이 널리 인기를 얻는 것을 막지는 못했으며, 케플러를 포함한 많은 유럽 수학자들이 로그표를 작성하기 시작했습니다. 불과 5년 후인 1619년, 런던의 수학 교사 존 스피델(John Spidell)은 존 스파이델) Napier의 테이블을 재발행하여 효과적으로 자연 로그 테이블이 되도록 변환했습니다(Spidell은 정수로 스케일링을 유지했지만). 자연로그(natural logarithm)라는 용어는 이탈리아 수학자 피에트로 멘골리(Pietro Mengoli)에 의해 제안되었습니다. 피에트로 멘골리)) 16세기 중반.

1620년대에 Edmund Wingate와 William Oughtred는 엔지니어에게 없어서는 안 될 도구인 휴대용 계산기가 출현하기 전 최초의 계산자를 발명했습니다.

대수화에 대한 현대적인 이해는 권력을 세우는 역연산으로서 처음에는 월리스(Wallis)와 요한 베르누이(Johann Bernoulli)에게서 나타났고, 마침내 18세기에 오일러(Euler)에 의해 합법화되었습니다. "무한 분석 입문"(1748)이라는 책에서 오일러는 지수 함수와 로그 함수 모두에 대한 현대적인 정의를 제시하고 다음과 같이 확장했습니다. 파워 시리즈, 특히 자연 로그의 역할에 주목했습니다.

오일러는 또한 로그 함수를 복소 영역으로 확장한 것으로 알려져 있습니다.

3.2. 복소수 로그

로그를 복소수로 확장하려는 첫 번째 시도는 17~18세기 전환기에 라이프니츠(Leibniz)와 요한 베르누이(Johann Bernoulli)에 의해 이루어졌지만, 로그의 개념 자체가 아직 명확하게 정의되지 않았기 때문에 전체적인 이론을 만드는 데 실패했습니다. 이 문제에 대한 논의는 먼저 라이프니츠와 베르누이 사이에, 그리고 18세기 중반 달랑베르와 오일러 사이에 이루어졌습니다. Bernoulli와 d'Alembert는 그것이 결정되어야 한다고 믿었습니다. 로그(-x) = 로그(x). 음수와 복소수의 로그에 대한 완전한 이론은 1747-1751년에 오일러에 의해 출판되었으며 본질적으로 현대 이론과 다르지 않습니다.

논쟁은 계속되었지만(D'Alembert는 자신의 관점을 옹호하고 그의 백과사전과 다른 저서의 기사에서 자세히 주장했습니다), Euler의 관점은 빠르게 보편적인 인정을 받았습니다.

4. 로그 테이블

로그 테이블

로그의 속성에 따르면 여러 자리 숫자의 노동 집약적 곱셈 대신 (테이블에서) 로그를 찾아서 추가한 다음 동일한 테이블을 사용하여 강화를 수행하는 것으로 충분합니다. 로그 결과의 값입니다. 나눗셈은 로그를 뺀다는 점에서만 다릅니다. 라플라스는 로그의 발명이 계산 과정의 속도를 크게 높여 “천문학자의 수명을 연장”했다고 말했습니다.

숫자의 소수점을 이동할 때 N숫자, 이 숫자의 십진수 로그 값은 다음으로 변경됩니다. N. 예를 들어 log8314.63 = log8.31463 + 3입니다. 1에서 10까지의 숫자에 대한 십진 로그 테이블을 컴파일하는 것으로 충분합니다.

최초의 로그 표는 John Napier(1614)에 의해 출판되었으며 로그만 포함되어 있었습니다. 삼각함수, 그리고 오류가 있습니다. 그와는 별도로 케플러의 친구인 Joost Burgi가 그의 표를 출판했습니다(1620). 1617년에 옥스포드 수학 교수인 헨리 브릭스(Henry Briggs)는 이미 1부터 1000까지의 숫자 자체에 8자리(이후 14자리)의 십진 로그가 포함된 표를 발표했습니다. 그러나 Briggs의 테이블에도 오류가 있었습니다. Vega 테이블(1783)을 기반으로 한 오류 없는 최초의 판은 1857년 베를린(Bremiwer 테이블)에서야 나타났습니다.

러시아에서는 L. F. Magnitsky의 참여로 첫 번째 로그 표가 1703년에 출판되었습니다. 소련에서는 여러 로그표 모음이 출판되었습니다.

• 브래디스 V.M. 4자리 수학 테이블. 44판, M., 1973.

Bradis 테이블(1921)은 다음과 같이 사용되었습니다. 교육 기관큰 정확성이 필요하지 않은 엔지니어링 계산에도 사용됩니다. 여기에는 숫자와 삼각 함수의 십진 로그 가수, 자연 로그 및 기타 유용한 계산 도구가 포함되어 있습니다.

• 베가 G. 7자리 로그 표, 4판, M., 1971.

정확한 계산을 위한 전문 컬렉션입니다.

• 삼각량의 자연값, 로그 및 숫자 로그의 5자리 표, 6판, M.: Nauka, 1972.
• 자연 로그 표, 2판, 2권, M.: Nauka, 1971.

요즘에는 계산기가 보급되면서 로그표를 사용할 필요성이 사라졌습니다.

M, 특징(복잡한 분석).

실수 로그

실수 로그의 로그 ㅏ 비 style="max-width: 98%; height: auto; width: auto;" 로 이해됩니다. src="/pictures/wiki/files/55/7cd1159e49fee8eff61027c9cde84a53.png" border="0">.

가장 널리 사용되는 로그 유형은 다음과 같습니다.

로그 숫자를 변수로 간주하면 다음을 얻습니다. 로그 함수, 예를 들어: . 이 함수는 수직선 오른쪽에 정의되어 있습니다. 엑스> 0이면 연속적이고 미분 가능합니다(그림 1 참조).

속성

자연로그

평등이 참일 때

(1)

특히,

이 급수는 더 빠르게 수렴하며, 또한 공식의 왼쪽은 이제 모든 양수의 로그를 표현할 수 있습니다.

십진 로그와의 관계: .

십진 로그

쌀. 2. 로그 스케일

밑이 10인 로그(기호: lg ㅏ) 계산기가 발명되기 전에는 계산에 널리 사용되었습니다. 소수 로그의 균등하지 않은 척도는 일반적으로 계산자에도 표시됩니다. 유사한 척도가 다양한 과학 분야에서 널리 사용됩니다. 예를 들면 다음과 같습니다.

• 화학 - 수소 이온의 활동 ().
• 음악 이론 - 음표의 주파수와 관련된 음표의 척도입니다.

로그 척도는 또한 거듭제곱 관계의 지수와 지수의 계수를 식별하는 데 널리 사용됩니다. 이 경우 하나 또는 두 개의 축을 따라 로그 눈금으로 구성된 그래프는 연구하기 더 쉬운 직선 형태를 취합니다.

복소수 로그

다중값 함수

리만 표면

복소 로그 함수는 리만 곡면의 예입니다. 그 가상 부분(그림 3)은 나선형처럼 꼬인 무한한 수의 가지로 구성됩니다. 이 표면은 단순히 연결되어 있습니다. 그것의 유일한 0(1차)은 다음에서 얻어집니다. 지= 1, 특이점: 지= 0 및 (무한 차수의 분기점).

로그의 리만 곡면은 점 0이 없는 복소 평면에 대한 보편적인 커버링입니다.

역사적 스케치

실수 로그

복잡한 계산에 대한 필요성은 16세기에 급격히 증가했으며, 많은 어려움은 여러 자리 수의 곱셈과 나눗셈과 관련되었습니다. 세기 말에 여러 수학자들이 거의 동시에 노동 집약적인 곱셈을 간단한 덧셈으로 대체하고 특수 테이블을 사용하여 기하 수열과 산술 수열을 비교하고 기하 수열을 원래의 수열로 사용하는 아이디어를 내놓았습니다. 그런 다음 나눗셈은 엄청나게 간단하고 더 안정적인 뺄셈으로 자동 대체됩니다. 그는 자신의 책에서 이 아이디어를 처음으로 발표했습니다. 산술 통합"그러나 그의 아이디어를 구현하기 위해 진지한 노력을 기울이지 않은 Michael Stiefel.

1620년대에 Edmund Wingate와 William Oughtred는 엔지니어에게 없어서는 안될 도구인 휴대용 계산기가 출현하기 전 최초의 계산자를 발명했습니다.

대수를 거듭제곱하는 역연산으로서의 로그에 대한 현대적인 이해는 월리스(Wallis)와 요한 베르누이(Johann Bernoulli)와 함께 처음으로 나타났고, 마침내 18세기 오일러(Euler)에 의해 합법화되었습니다. "무한 분석 입문"()이라는 책에서 오일러는 지수 함수와 로그 함수 모두에 대한 현대적인 정의를 제공하고 이를 멱급수로 확장했으며 특히 자연 로그의 역할에 주목했습니다.

오일러는 또한 로그 함수를 복소 영역으로 확장한 것으로 알려져 있습니다.

복소수 로그

로그를 복소수로 확장하려는 첫 번째 시도는 17~18세기 전환기에 라이프니츠(Leibniz)와 요한 베르누이(Johann Bernoulli)에 의해 이루어졌지만, 로그의 개념 자체가 아직 명확하게 정의되지 않았기 때문에 전체적인 이론을 만드는 데 실패했습니다. 이 문제에 대한 논의는 먼저 라이프니츠와 베르누이 사이에, 그리고 18세기 중반 달랑베르와 오일러 사이에 이루어졌습니다. Bernoulli와 d'Alembert는 그것이 결정되어야 한다고 믿었습니다. 로그(-x) = 로그(x). 음수와 복소수의 로그에 대한 완전한 이론은 1747-1751년에 오일러에 의해 출판되었으며 본질적으로 현대 이론과 다르지 않습니다.

논쟁은 계속되었지만(D'Alembert는 자신의 관점을 옹호하고 그의 백과사전과 다른 저서의 기사에서 자세히 주장했습니다), Euler의 관점은 빠르게 보편적인 인정을 받았습니다.

로그 테이블

로그 테이블

로그의 속성에 따르면 여러 자리 숫자의 노동 집약적 곱셈 대신 (테이블에서) 로그를 찾아서 추가한 다음 동일한 테이블을 사용하여 강화를 수행하는 것으로 충분합니다. 로그 결과의 값입니다. 나눗셈은 로그를 뺀다는 점에서만 다릅니다. 라플라스는 로그의 발명이 계산 과정의 속도를 크게 높여 “천문학자의 수명을 연장”했다고 말했습니다.

숫자의 소수점을 이동할 때 N숫자, 이 숫자의 십진수 로그 값은 다음으로 변경됩니다. N. 예를 들어 log8314.63 = log8.31463 + 3입니다. 1에서 10까지의 숫자에 대한 십진 로그 테이블을 컴파일하는 것으로 충분합니다.

로그의 첫 번째 테이블은 John Napier()에 의해 출판되었으며 삼각 함수의 로그와 오류만 포함되어 있습니다. 그와 별도로 Kepler의 친구인 Joost Bürgi가 그의 표를 출판했습니다. 1617년에 옥스포드 수학 교수인 헨리 브릭스(Henry Briggs)는 이미 1부터 1000까지의 숫자 자체에 8자리(이후 14자리)의 십진 로그가 포함된 표를 발표했습니다. 그러나 Briggs의 테이블에도 오류가 있었습니다. Vega 테이블()을 기반으로 한 최초의 오류 없는 버전은 1857년 베를린(Bremiwer 테이블)에서만 나타났습니다.

러시아에서는 L. F. Magnitsky의 참여로 첫 번째 로그 표가 1703년에 출판되었습니다. 소련에서는 여러 로그표 모음이 출판되었습니다.

• 브래디스 V.M.네 자리 수학 테이블. 44판, M., 1973.