역행렬 기준. 역행렬 및 행렬 순위. 매트릭스 순위 계산

주어진 것의 역행렬.

모든 행렬에 역행렬이 있는 것은 아닙니다.

정리 1. 역행렬의 가장 간단한 속성.

1°. 모든 행렬은 최대 하나의 역행렬을 가질 수 있습니다.

2°. 이자형 –1 = 이자형.

3°. ( ㅏ –1) –1 = ㅏ.

4°. ( AB) –1 = 비 –1 ㅏ –1 .

특이 및 비특이 정사각형 행렬.

정리 2. 행렬 가역성 기준.

행렬이 비특이인 경우에만 역행렬이 가능합니다.

기본정리 1. 행렬의 모든 행(열) 기본 변환은 왼쪽(오른쪽)의 이 행렬에 해당 기본 행렬을 곱하여 구현할 수 있습니다.

기본정리 2. 행렬이 비특이 행렬이 되려면 행 방향 기본 변환만 사용하여 단위 행렬로 축소할 수 있으면 충분합니다.

기본정리 3. 행렬의 행(열)이 ㅏ (비)은 선형 종속적이며 씨 = AB, 그러면 똑같습니다 선형 의존성행렬의 행(열)에 대해 수행됩니다. 와 함께.

역행렬을 계산하는 실용적인 방법:

ㅏ|이자형 ... 이자형|ㅏ –1 .

행렬 방정식.

특수 형식의 하나의 행렬 방정식 형태로 SLE를 기록합니다. 매트릭스 형태의 크레이머 타워.

순열 및 대체

재배치. 순열을 기록합니다. 순열 수 N강요. 반전. 짝수 및 홀수 순열. 조옮김.

정리. 전치의 속성.

1°. 여러 전치를 사용하여 임의의 순열에서 다른 순열로 이동할 수 있습니다.

2°. 모든 전치는 순열의 패리티를 변경합니다.

대체. Sn. 교체 기록. 대체의 패리티. 대체 패리티 결정의 정확성. 와일드카드. (–1) s (p) .

행렬식의 정의

행렬식의 정의.

2차 및 3차 행렬의 행렬식, 상부(하부) 삼각 행렬의 행렬식, 측면 대각선 아래(위)의 모든 요소가 0인 행렬의 행렬식을 계산하는 예입니다.

행렬식의 속성

정리. 행렬식의 속성.

1°. 데트 ㅏ= 데트 ㅏ.

2°.det = det + det .

3°. det = l×det .

4°. det = –det .

5°. 행렬의 행 중 하나가 0이면 행렬의 행렬식은 0과 같습니다.

6°. 행렬의 두 행이 동일하면 행렬의 행렬식은 0입니다.

7°. 행렬의 두 행이 비례하는 경우 행렬의 행렬식은 0입니다.

8°. 행렬의 행 중 하나에 숫자를 곱하고 다른 행에 추가하면 행렬식은 변경되지 않습니다.

9°. 특이 행렬의 행렬식은 0과 같습니다.

10°. 비특이행렬의 행렬식은 0이 아닙니다.

메모. 1°~4°의 속성은 정의에 의해 증명되고, 나머지 속성은 1°~4°의 속성을 사용하여 파생됩니다.

추론 1. 행렬의 비축퇴성에 대한 기준.

정사각 행렬은 행렬식이 0이 아닌 경우에만 비특이입니다.

추론 2. 다음으로 구성된 동차 선형 방정식 시스템 N방정식 N미지수는 시스템 행렬의 행렬식이 0인 경우에만 0이 아닌 해를 갖습니다.

미성년자 및 대수적 보완. 행과 열의 행렬식 분해

미성년자 미이정사각형 행렬. 대수적 보완 아이이요소 에이 ij정사각형 행렬.

정리분해에 대해서.

데트 ㅏ = 에이케이 1 에이케이 1 +에이케이 2 에이케이 2 + ... +A kn A kn, 데트 ㅏ = ㅏ 1케이 ㅏ 1케이 +ㅏ 2케이 ㅏ 2케이 + ... +ㅋㅋㅋ ㅋㅋㅋ

어떠한 것도 케이 =

증명의 단계

1. 행렬의 경우 앤 = 엔 엔, 정의상 det.

2. 행렬의 경우 나는 = 전자, 부호를 고려하여 사례 1로 축소 나는그리고 불변성 미이.

3. 대리별 일반사례 나는합계로 N벡터를 사용하고 사례 2로 축소합니다.

행렬식의 또 다른 속성

11°. 에이케이 1 에이피 1 +에이케이 2 에이피 2 + ... +A kn A pn,ㅏ 1 케이 A 1 피+ㅏ 2 케이 A 2 피+ ... +nk np, 만약에 케이 ¹ 피.

비특이행렬는 행렬식이 0이 아닌 n차 정사각 행렬입니다. 그렇지 않으면 행렬이 호출됩니다. 퇴화하다.

정리 (역행렬 존재의 고유성): 행렬에 역행렬이 있으면 해당 행렬은 고유합니다.

증거.

에 대한 행렬과 에 대한 행렬이 있다고 가정합니다.

그렇다면 그렇습니다. 등식의 양쪽에 행렬을 곱해 봅시다. , 어디서 그리고 .

이는 이것이 입증되어야 함을 의미합니다.

12. 행렬 방정식, 역행렬을 사용한 해법.

행렬 방정식은 다음과 같습니다.

AX = B, HA = B, AXB = C,

여기서 A, B, C는 지정된 행렬이고 X는 원하는 행렬입니다.

행렬 방정식은 방정식에 역행렬을 곱하여 해결됩니다.

예를 들어 방정식에서 행렬을 찾으려면 이 방정식에 왼쪽의 를 곱해야 합니다.

따라서 방정식의 해를 구하려면 역행렬을 구하고 방정식 우변의 행렬을 곱하면 됩니다.

13. 선형 방정식의 이차 시스템. 크레이머의 법칙.

n개의 미지수를 갖는 m개의 선형 방정식 시스템(또는, 선형 시스템) 선형 대수학에서 다음 형식의 방정식 시스템입니다.

Cramer의 방법(Cramer의 규칙)은 주 행렬의 0이 아닌 행렬식을 사용하여 선형 대수 방정식의 2차 시스템을 해결하는 방법입니다(이러한 방정식에는 고유한 솔루션이 있습니다). 이 방법을 발명한 Gabriel Cramer(1704-1752)의 이름을 따서 명명되었습니다.

n개의 미지수가 있는 n개의 선형 방정식 시스템의 경우(임의 필드에서)

시스템 행렬 Δ의 행렬식이 0과 다르면 해는 다음과 같은 형식으로 작성됩니다.

(시스템 매트릭스의 i번째 열은 자유항 열로 대체됩니다).

다른 형식으로 Cramer의 법칙은 다음과 같이 공식화됩니다. 모든 계수 c 1, c 2, ..., c n에 대해 다음 등식이 성립합니다.

선형 방정식 시스템:

각각 숫자 a²0역수가 있습니다 a -1그렇게 일이 a×a -1 =1. 정사각 행렬에도 비슷한 개념이 도입되었습니다.

정의. 조건을 만족하는 동일한 차수의 정사각 행렬 X와 A가 있는 경우:

여기서 E는 행렬 A와 동일한 차수의 단위 행렬이고 행렬 X는 다음과 같이 호출됩니다. 뒤집다행렬 A에 A -1로 표시됩니다.

정의에 따르면 정사각 행렬에만 역행렬이 있습니다. 이 경우 역행렬도 같은 차수의 제곱입니다.

그러나 모든 정사각 행렬이 역행렬을 갖는 것은 아닙니다. 조건이라면 a²0숫자의 존재에 필요하고 충분합니다. a -1, 행렬 A -1이 존재하는 경우 이러한 조건은 요구사항 DA입니다. ¹0.

정의. 정사각형 행렬 N-번째 순서가 호출됩니다. 비퇴화(비단수), 행렬식이 DA인 경우 ¹0.

DA=인 경우 0 , 행렬 A가 호출됩니다. 퇴화 (특수).

정리(역행렬이 존재하기 위한 필요충분조건)정사각 행렬인 경우 특별하지 않은(즉, 행렬식은 0이 아닙니다.) 그러면 다음이 존재합니다. 유일한 사람역행렬.

증거.

나. 필요성.행렬 A가 역 A -1을 갖는다고 가정합니다. 즉, AA -1 = A -1 A=E. 에 의해 속성 3행렬식( § 11) D(AA -1)= D(A -1) D(A)= D(E)=1, 즉 D.A. ¹0 그리고 DA -1 ¹0.

나 나. 적절.정사각 행렬 A를 비특이 행렬(non-singular)로 둡니다. 즉, D.A. ¹0 . 전치된 행렬 A T를 작성해 보겠습니다.

이 행렬에서 각 요소를 대수적 보수로 대체하고 행렬을 얻습니다.

행렬 A*는 다음과 같습니다. 부속된행렬을 행렬 A로.

AA * (및 A * A) 제품을 찾아 보겠습니다.

어디 대각선요소 = DA,

DA.(공식 11.1 §열하나)

그리고 다른 모든 사람들 대각선을 벗어난행렬 AA *의 요소는 0과 같습니다. 속성 10 §11,예를 들어:

등. 따라서,

AA * = 또는 AA * = DA= DA×E.

마찬가지로 A*A=DA×E임을 증명하였다.

얻은 두 평등을 DA로 나누면 다음과 같은 결과를 얻습니다. 이는 역행렬의 정의에 따라 역행렬의 존재를 의미합니다.

왜냐하면 AA -1 =A -1 A=E.

역행렬의 존재가 증명되었습니다. 유일성을 증명해보자. 행렬 A에 대해 또 다른 역행렬 F가 있다고 가정하면 AF = E 및 FA = E입니다. 첫 번째 등식의 양쪽에 왼쪽의 A -1을 곱하고 두 번째 등식에 오른쪽의 A -1을 곱하면 다음을 얻습니다. A -1 AF = A - 1 E 및 FA A -1 = E A -1, 여기서 EF = A -1 E 및 FE = E A -1. 따라서 F = A -1입니다. 독창성이 입증되었습니다.

예.행렬 A = 가 주어지면 A -1 을 찾습니다.

역행렬 계산 알고리즘:

역행렬의 속성.

1) (A -1) -1 = A;

2) (AB)-1 = B-1 A-1

3) (A T) -1 = (A -1) T .

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행렬을 고려해 봅시다

또한 행렬 A와 B의 요소가 주어지며 X 1, X 2, X 3은 알려져 있지 않습니다.

그런 다음 방정식 A × X = B가 호출됩니다. 가장 간단한 행렬 방정식.

이를 해결하려면, 즉 미지수 X의 행렬 요소를 찾기 위해 다음과 같이 진행합니다.

1. 방정식의 양변에 행렬 A의 역수인 행렬 A -1을 곱합니다. , 왼쪽:

A -1 (A × X) = A -1 × B

2. 행렬 곱셈의 속성을 사용하여 다음과 같이 씁니다.

(A -1 × A) X = A -1 × B

3. 역행렬의 정의로부터

(A -1 × A = E) E × X = A -1 × B가 됩니다.

4. 단위 행렬(E × X = X)의 속성을 사용하여 최종적으로 X = A -1 × B를 얻습니다.

논평. 행렬 방정식의 형식이 X × C = D이면 다음을 구합니다. 알 수 없는 행렬 X 방정식에 C -1을 곱해야 합니다. 오른쪽에.

예. 행렬 방정식 풀기

해결책. 표기법을 소개해보자

차원 A와 B를 고려한 행렬 곱셈의 정의에서 미지의 행렬 X는 다음과 같은 형식을 갖습니다.

우리가 도입한 표기법을 고려하면

A × X = B 여기서 X = A -1 × B

역행렬을 구성하는 알고리즘을 사용하여 A -1을 구해 봅시다.

제품을 계산해 봅시다

그런 다음 X에 대해 우리는 다음을 얻습니다.

X = x 1 = 3, x 2 = 2인 경우

매트릭스 순위

크기가 (m x n)인 행렬 A를 생각해 보세요.

행렬 A의 k차 마이너는 k차의 행렬식이며, 그 요소는 K행과 K열의 교차점에 있는 행렬 A의 요소입니다. 당연히 k￡min(m,n)이다.

정의. 행렬 A의 순위 r(A)는 이 행렬의 0이 아닌 마이너의 최고 차수입니다.

정의.차수가 순위와 동일한 행렬의 0이 아닌 마이너 행렬을 호출합니다. 기본 부전공.

정의하다 e. 동일한 순위를 갖는 행렬을 호출합니다. 동등한.

매트릭스 순위 계산

정의. 매트릭스가 호출됩니다. 계단식, 각 행의 0이 아닌 첫 번째 요소가 기본 행에 0을 포함하는 경우.

정리. 사다리꼴 행렬의 순위는 0이 아닌 행의 수와 같습니다.

따라서 행렬을 사다리꼴 형태로 변환하면 순위를 쉽게 결정할 수 있습니다. 이 작업은 다음을 사용하여 수행됩니다. 기본 행렬 변환, 순위는 변경되지 않습니다.

— 행렬 행의 모든 ​​요소에 숫자 l 1 0을 곱합니다.

- 행을 열로 바꾸거나 그 반대로 바꿉니다.

- 평행한 행의 재배열;

- 0행을 지운다.

- 특정 계열의 요소에 평행 계열의 해당 요소를 추가하고 실수를 곱합니다.

예.

정리(역행렬의 존재에 대한 필요충분조건).

행렬 순위 계산

A =

해결책. 행렬을 사다리꼴 형태로 변환해 보겠습니다. 이렇게 하려면 두 번째 줄을 세 번째 줄에 추가하고 (-3)을 곱합니다.

아~

네 번째 줄에 세 번째 줄을 추가해 보겠습니다.

결과 등가 행렬에서 0이 아닌 행의 개수는 3개이므로 r(A) = 3입니다.

n개의 미지수를 갖는 n개의 선형 방정식 시스템.

문제 해결 방법

n개의 미지수를 갖는 n개의 선형 방정식 시스템을 생각해 보세요.

A 11 x 1 + a 12 x 2 + ... + a 1 n x n = b 1

a 21 x 1 + a 22 x 2 + ... + a 2 n x n = b 2 (1)

……………………………….

n 1 x 1 + n 2 x 2 + … + n n x n = b n

정의:시스템 (1)의 해는 시스템의 각 방정식을 진정한 평등으로 바꾸는 숫자 집합(x 1, x 2, ..., x n)입니다.

미지수에 대한 계수로 구성된 행렬 A는 다음과 같습니다. 시스템의 주요 매트릭스 (1).

A=

행렬 A의 요소와 시스템 (1)의 자유항 열로 구성된 행렬 B를 다음과 같이 부릅니다. 확장된 매트릭스.

비 =

매트릭스 방식

행렬을 고려해 봅시다

X = — 미지수의 행렬;

С =는 시스템 (1)의 자유항 행렬입니다.

그러면 행렬 곱셈의 법칙에 따라 시스템 (1)은 다음과 같은 행렬방정식으로 표현될 수 있다.

A × X = C (2)

방정식 (2)에 대한 해법은 위에 명시되어 있습니다. 즉, X = A -1 × C입니다. 여기서 A -1은 시스템 (1)의 주 행렬에 대한 역행렬입니다.

크레이머 방식

n개의 미지수(주 결정자가 0이 아닌)를 갖는 n개의 선형 방정식 시스템은 항상 해를 가지며, 더욱이 다음 공식에 따라 구해지는 고유한 해를 갖습니다.

여기서 D = det A는 시스템 (1)의 주 행렬 A의 행렬식입니다. 이는 주 행렬이라고 하며, Dх i는 i번째 열을 자유 항의 열로 대체하여 행렬식 D에서 얻습니다. 즉,

Dx1 = ;

Dx2 = ; … ;

예.

Cramer의 방법을 사용하여 연립방정식 풀기

2x1 + 3x2 + 4x3 = 15

엑스 1 + 엑스 2 + 5x 3 = 16

3x1 - 2x2 + x3 = 1

해결책.

시스템의 주요 행렬의 행렬식을 계산해 보겠습니다.

D = det A = = 44 1 0

보조 행렬식을 계산해 봅시다

Dx3 = = 132.

Cramer의 공식을 사용하면 미지수를 찾을 수 있습니다.

; ; .

따라서 x 1 = 0; x 2 = 1; x 3 = 3.

가우스법

가우스 방법의 본질은 시스템 방정식에서 미지수를 순차적으로 제거하는 것입니다. 시스템의 주 대각선 아래에 0이 있을 때 시스템의 주 행렬을 삼각형 형태로 축소합니다. 이는 행에 대한 기본 행렬 변환을 사용하여 달성됩니다. 이러한 변환의 결과로 시스템의 등가성은 위반되지 않으며 삼각형 모양을 얻습니다. 마지막 방정식에는 미지수 1개, 끝에서 두 번째 2개 등이 포함됩니다. 마지막 방정식에서 n번째 미지수를 표현하고 역동작을 사용하여 일련의 연속적인 치환을 사용하여 모든 미지수의 값을 얻습니다.

예. 가우스 방법을 사용하여 연립방정식 풀기

3x1 + 2x2 + x3 = 17

2x1 - x2 + 2x3 = 8

엑스 1 + 4x 2 - 3x 3 = 9

해결책. 시스템의 확장 행렬을 작성하고 여기에 포함된 행렬 A를 삼각형 형태로 줄여보겠습니다.

행렬의 첫 번째 행과 세 번째 행을 바꾸자. 이는 시스템의 첫 번째와 세 번째 방정식을 재배열하는 것과 같습니다. 이렇게 하면 후속 계산에서 분수 표현식이 나타나는 것을 피할 수 있습니다.

비~

결과 행렬의 첫 번째 행에 (-2)와 (-3)을 순차적으로 곱하고 이를 각각 두 번째와 세 번째 행에 추가하면 B는 다음과 같은 형식을 갖습니다.

두 번째 행을 곱하고 이를 세 번째 행에 추가하면 행렬 A는 삼각형 형태를 취하게 됩니다. 그러나 계산을 단순화하기 위해 다음을 수행할 수 있습니다. 세 번째 줄에 (-1)을 곱하고 두 번째 줄에 추가합니다. 그러면 우리는 다음을 얻습니다:

비~

비~

결과 행렬 B로부터 다음과 같은 방정식 시스템을 복원해 보겠습니다.

엑스 1 + 4x 2 - 3x 3 = 9

x 2 - 2x 3 = 0

— 10x 3 = -10

우리가 찾은 마지막 방정식에서 발견된 값 x 3 = 1을 x 2 = 2x 3 = 2 × 1 = 2인 시스템의 두 번째 방정식으로 대체합니다.

x 1에 대한 첫 번째 방정식에 x 3 = 1과 x 2 = 2를 대입하면 x 1 = 9 - 4x 2 + 3x 3 = 9 - 4 × 2 + 3 × 1 = 4가 됩니다.

따라서 x 1 = 4, x 2 = 2, x 3 = 1입니다.

논평.방정식 시스템의 해의 정확성을 확인하려면 발견된 미지수 값을 이 시스템의 각 방정식에 대체해야 합니다. 또한 모든 방정식이 항등식으로 바뀌면 시스템이 올바르게 해결됩니다.

시험:

3 × 4 + 2 × 2 + 1 = 17 정답

2 × 4 – 2 + 2 × 1 = 8 정답

4 + 4 × 2 – 3 × 1 = 9 정답

따라서 시스템이 올바르게 해결되었습니다.

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가장 간단한 행렬 방정식

사용된 모든 연산이 가능한 크기의 행렬은 어디에 있으며, 이러한 행렬 방정식의 왼쪽과 오른쪽은 동일한 크기의 행렬입니다.

방정식 (1)-(3)의 해는 X에 대한 비축퇴 행렬의 경우 역행렬을 사용하여 가능합니다. 일반적인 경우 행렬 X는 요소별로 작성되며 방정식에 지정된 동작은 다음과 같습니다. 매트릭스에서 수행됩니다. 결과적으로 선형 방정식 시스템이 얻어집니다. 시스템을 푼 후 행렬 X의 요소를 찾습니다.

역행렬 방법

이는 시스템 A의 정사각 비특이 행렬의 경우 선형 방정식 시스템에 대한 해입니다. 이는 행렬 방정식 AX=B에서 구됩니다.

A -1 (AX)=A -1 V, (A -1 A)X=A -1 V, EX= A -1 V, X= A -1 V.

크레이머의 공식

정리.Δ하자 — 는 시스템 A 행렬의 행렬식이고, Δj는 행렬 A에서 자유 항의 j번째 열을 대체하여 얻은 행렬의 행렬식입니다. 그러면 Δ≠이면 0, 시스템은 다음 공식에 의해 결정되는 고유한 솔루션을 갖습니다.

- 크레이머의 공식.

DZ 1.2.23, 2.27, 2.51,2.55, 2.62; DZ 2.2.19, 2.26, 2.40,2.65

주제 4. 복소수와 다항식

복소수와 그에 대한 연산

정의.

1. 우리는 a + bi 형식의 기호를 호출하는 데 동의합니다. 여기서 a와 b는 임의의 실수, 복소수입니다.

2. 우리는 a = a 1이고 복소수 a + bi 및 a 1 + b 1 i가 같다고 간주하는 데 동의합니다.

b = b 1 .

3. 우리는 실수 a와 동일한 a + 0i 형식의 복소수를 고려하는 데 동의합니다.

4. 두 복소수 a + bi와 a 1 + b 1 i의 합을 복소수 (a + a 1) + (b + b 1)i라고 합니다.

역행렬. 매트릭스 순위.

두 복소수의 곱은 복소수 aa 1 – bb 1 + (a b 1 +a 1 b)i입니다.

0 + 형식의 복소수 바이순전히 허수라고 하며 일반적으로 다음과 같이 작성됩니다. 바이; 숫자 0 +1 나 = 나~라고 불리는 허수 단위.

정의 3에 따르면 모든 실수는 ㅏ"동등한" 복소수에 해당합니다. a+0i그 반대로 - 임의의 복소수로 a+0i"동등한" 실수에 해당합니다. ㅏ즉, 이 숫자들 사이에는 일대일 대응이 있습니다. 복소수의 합과 곱을 생각해보면 1 + 0i 및 2 + 0i규칙 4와 5에 따르면 다음을 얻습니다.

(a 1 + 0i) + (a 2 + 0i) = (a 1 + a 2) + 0i,

(a 1 + 0i) (a 2 + 0i) = (a 1 a 2 – 0) + (a 1 0+a 2 0) i = a 1 a 2 + 0i.

우리는 이러한 복소수의 합(또는 곱)이 해당 실수의 합(또는 곱)과 "동일한" 실수에 해당한다는 것을 알 수 있습니다. 그래서, 사이의 대응 복소수친절한 a+0i그리고 실수 ㅏ실행의 결과로 산술 연산해당 구성 요소에 대해 해당 결과가 얻어집니다. 작업을 수행할 때 유지되는 일대일 대응을 호출합니다. 동형.이를 통해 번호를 식별할 수 있습니다. a+0i실수로 ㅏ모든 실수를 복소수의 특별한 경우로 간주합니다.

결과. 숫자 제곱 나- 1과 같습니다.

나는 2 = 나는 나는 = (0 +1i)(0 +1i) = (0 – 1) + (0 1 + 1 0)i =— 1.

정리.복소수의 덧셈과 곱셈에는 기본 연산 법칙이 그대로 적용됩니다.

정의:

1. 실수 a는 복소수 z = a + bi의 실수부라고 합니다. Rez=a

2. 숫자 b를 복소수 z의 허수부라고 하고, 숫자 b를 z의 허수부 계수라고 합니다. 임즈=b.

3. 숫자 a + bi와 a - bi를 공액이라고 합니다.

공액수 z = a + bi기호로 표시

= a - bi.

예. z =3 + 나는,= 3 - 나.

정리.두 켤레 복소수의 합과 곱은 실수입니다.

증거. 우리는

복소수 집합에서는 덧셈과 곱셈의 역이 수행될 수 있습니다.

빼기.허락하다 z 1 = a 1 + b 1 나는그리고 z 2 = a 2 + b 2 나는복소수입니다. 차이점 z 1 – z 2숫자가 있어요 z = x + y, 조건을 만족함 z 1 = z 2 + z또는

a 1 + b 1 i = (a 2 + x) + (b 2 + y)i.

결정을 위해 엑스그리고 와이우리는 방정식 시스템을 얻습니다 2 + x = 1그리고 b 2 + y = b 1, 고유한 솔루션이 있습니다.

x = 1 - 2, y = b1 - b2,

z = (a 1 + b 1 i) – (a 2 + b 2 i) = a 1 – a 2 + (b 1 – b 2) i.

뺄셈은 뺄셈과 반대되는 수의 덧셈으로 대체될 수 있습니다.

z = (a 1 + b 1 i) – (a 2 + b 2 i) = (a 1 + b 1 i) + (- a 2 – b 2 i).

분할.

숫자의 몫 z 1그리고 z 2≠ 0은 숫자입니다. z = x + y, 조건을 만족함 지 1 = 지 2 지또는

a 1 + b 1 i = (a 2 + b 2 i) (x + yi),

따라서,

a 1 + b 1 i = a 2 x - b 2 y+ (b 2 x + a 2 y)i,

여기서 우리는 방정식 시스템을 얻습니다.

a 2 x - b 2 y = a 1 ,

b 2 x + a 2 y = b 1 .

해결방안은

따라서,

실제로, 몫을 찾으려면 피제수와 제수에 제수에 대한 켤레 수를 곱합니다.

예를 들어,

특히, 주어진 숫자의 역수 지, 다음과 같은 형태로 표현될 수 있다

메모.복소수 집합에서는 유효하게 유지됩니다. 정리: 곱이 0이면 요소 중 하나 이상이 0입니다.

사실 만약에 지 1 지 2 =0그리고 만약에 z 1 ≠ 0에 를 곱하면 다음과 같습니다.

Q.E.D.

복소수에 대한 산술 연산을 수행할 때는 다음 사항을 따라야 합니다. 일반 규칙: 작업은 대수 표현식에 대한 일반적인 작업 규칙에 따라 수행된 다음 i 2를 다음으로 대체합니다.-1.

정리.각 구성요소가 공액수로 대체되면 작업 결과도 공액수로 대체됩니다.

그 증거는 직접 검증에 있습니다. 예를 들어, 각 용어가 z 1 = a 1 + b 1 나는그리고 z 2 = a 2 + b 2 나는공액 수로 바꾸면 합의 공액을 얻습니다. z 1 + z 2 .

그러므로,

마찬가지로 우리가 가지고 있는 제품의 경우:

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더보기:

행렬방정식

카탈린 데이비드

AX = B, 여기서 행렬 A는 가역적입니다.

행렬 곱셈이 항상 교환 가능한 것은 아니므로 방정식의 양쪽에 왼쪽부터 $ A^(-1) $를 곱합니다.

$A^(-1)\cdot|A\cdot X = B$

$A^(-1)\cdot A\cdot X = A^(-1)\cdot B$

$I_(n)\cdot X = A^(-1)\cdot B$

$\color(빨간색)(X =A^(-1)\cdot B)$

실시예 50
방정식을 풀어보세요
$\begin(pmatrix) 1 & 3\\ 2 & 5 \end(pmatrix)\cdot X \begin(pmatrix) 3 & 5\\ 2 & 1 \end(pmatrix)$

정리 2. 역행렬의 존재 기준.

우리는 왼쪽부터 역행렬을 곱합니다.
$\begin(pmatrix) 1 & 3\\ 2 & 5\\ \end(pmatrix)^(-1)\cdot \begin(pmatrix) 1 & 3\\ 2 & 5 \end(pmatrix)\cdot X= \begin(pmatrix) 1 & 3\\ 2 & 5 \end(pmatrix)^(-1)\cdot \begin(pmatrix) 3 & 5\\ 2 & 1 \end(pmatrix)$

$I_(2)\cdot X = \begin(pmatrix) 1 & 3\\ 2 & 5 \end(pmatrix)^(-1)\cdot \begin(pmatrix) 3 & 5\\ 2 & 1 \end( p매트릭스)$

$X=\begin(pmatrix) 1 & 3\\ 2 & 5 \end(pmatrix)^(-1)\cdot \begin(pmatrix) 3 & 5\\ 2 & 1 \end(pmatrix)$

$\begin(pmatrix) 1 & 3\\ 2 & 5 \end(pmatrix)^(-1)= \begin(pmatrix) -5 & 3\\ 2 & -1 \end(pmatrix)\rightarrow X= \ 시작(pmatrix) -5 & 3\\ 2 & -1 \end(pmatrix)\cdot \begin(pmatrix) 3 & 5\\ 2 & 1 \end(pmatrix)= \begin(pmatrix) -9 & -22 \\ 4 & 9 \end(pmatrix)$

XA = B, 여기서 행렬 A는 가역적입니다.

행렬 곱셈이 항상 교환 가능한 것은 아니므로 오른쪽 방정식의 양쪽에 $ A^(-1) $를 곱합니다.

$X\cdot A = B |\cdot A^(-1)$

$X\cdot A\cdot A^(-1) = B\cdot A^(-1)$

$X \cdot I_(n) =B\cdot A^(-1)$

방정식의 해는 다음과 같은 일반 형식을 갖습니다.
$\color(빨간색)(X =B\cdot A^(-1))$

실시예 51
방정식을 풀어보세요
$X \begin(pmatrix) 1 & 3\\ 2 & 5\\ \end(pmatrix)= \begin(pmatrix) 3 & 5\\ 2 & 1\\ \end(pmatrix)$

첫 번째 행렬이 역행렬인지 확인해보자.
$\left|A\right|=5-6=-1\neq 0$ 따라서 행렬은 가역적입니다.

오른쪽에 역행렬을 곱합니다.
$X \begin(pmatrix) 1 & 3\\ 2 & 5 \end(pmatrix)\cdot \begin(pmatrix) 1 & 3\\ 2 & 5 \end(pmatrix)^(-1)= \begin(pmatrix ) 3 & 5\\ 2 & 1 \end(pmatrix)\cdot \begin(pmatrix) 1 & 3\\ 2 & 5 \end(pmatrix)^(-1)$

$X\cdot I_(2)= \begin(pmatrix) 3 & 5\\ 2 & 1 \end(pmatrix)\cdot \begin(pmatrix) 1 & 3\\ 2 & 5 \end(pmatrix)^(- 1)$

$X=\begin(pmatrix) 3 & 5\\ 2 & 1 \end(pmatrix)\cdot \begin(pmatrix) 1 & 3\\ 2 & 5 \end(pmatrix)^(-1)$

$\begin(pmatrix) 1 & 3\\ 2 & 5 \end(pmatrix)^(-1)= \begin(pmatrix) -5 & 3\\ 2 & -1 \end(pmatrix)\rightarrow X= \ 시작(pmatrix) 3 & 5\\ 2 & 1 \end(pmatrix) \cdot \begin(pmatrix) -5 & 3\\ 2 & -1 \end(pmatrix)= \begin(pmatrix) -5 & 4\ \ -8 & 5 \end(pmatrix)$

행렬행렬 곱셈결정자행렬 순위역행렬방정식 시스템행렬용 계산기

국제 놀라움, 놀라움; 기쁨, 희망; 갑작스러움, 공포; 슬픔, 절망. 오, 정말 좋아요! 아, 그랬더라면! 오, 당신이 나를 얼마나 겁주었나요! 아, 그리고 손을 흔들어 보세요. 아, 아, 그런데 도움이 될 게 없어요. 아, 판사님, 판사님: 스커트 네 개, 주머니 여덟 개.

| 때로는 ah가 명사로 바뀌기도 합니다. , 남편. 아, 아, 그리고 여자의 한숨. 헐떡거림, 놀라움, 기쁨에 대해 무엇이 있었습니까? Ahti, ahhli 나에게는 슬픔과 슬픔의 느낌표입니다. 아아; 너무 신난다. 내 동료들이 모두 감옥에 있다. 나에게도 무슨 일이 생길까? Ohti-axmul은 어떻게 든 결혼합니까? 나에게는 그렇게 덥지도 않고, 놀랍지도 않고, 너무 좋지도 않다. 나에게 Ahkhanki는 말하자면 자신이나 다른 사람에 대한 연민을 표현합니다. 아, 어린아이들처럼 이건 일종의 인사말이군요. 헐떡거리고, 헐떡거리고, 헐떡이고, 경이롭다. 뭔가를 기뻐하고, 슬퍼하고, 신음하고, 아 소리를 지르세요! 집에 혼자 있었으면 좋겠어요. 삼촌은 숨을 헐떡이며 자신을 바라보며 자신의 사업에 대해 자신을 돌볼 것입니다. 나는 숨이 막혔고, 무서웠고, 놀랐다. 우리도 숨을 헐떡이며 슬픔을 보았습니다. 독신 남자는 때때로 신음할 것이고, 결혼한 남자는 헐떡거릴 것이다.

역행렬

이런 젠장. 이 사실을 알았을 때 우리는 숨이 막혔습니다. 가자, 가자. 나는 이러한 기적에 놀랐다. 그들은 헐떡거렸다, 아니면 뭐? 좀 더 응원해주세요. 한 사람은 헐떡거리고, 다른 사람은 헐떡거린다. 왜 흥분했나요? 당신은 무의식적으로 신음 소리를 낼 것입니다. 당신은 헐떡거리고, 또 헐떡이고, 쓸데없는 비명을 조롱합니다. 나는 하루 종일 신음하며 보냈다. 그 여자는 헐떡거리며 왔지만, 헐떡거릴 수밖에 없었다. 다른 사람의 기쁨이나 슬픔을 보러 왔는데 나 자신의 불행이 일어났습니다. 아아 수요일. 기쁨, 놀라움, 슬픔, 절망의 과도한 표현: 헐떡거리는 남편. ahalschnitsa 아니오. 헐떡거렸다. 모든 것에 놀라고 다른 사람의 것을 엄청나게 칭찬하는 사람은 누구나 부러워합니다. 각 아찰러에는 7개의 아찰러가 있습니다. 각 바카르에는 7개의 아할이 있습니다. 아코바 하부 Akhtitelny Penz. 유쾌하고, 믿을 수 없을 만큼 아름답고, 아름다워서 감탄과 찬사를 불러일으킵니다. 끔찍한 손수건. 아와? 아내 , 아치.-온. 구멍, 틈; 구멍, 피부 상처, 부주의한 총격, 주사 또는 타격으로 인한 손상. Akhovnya? 아내 akhova, akhova 또는 akhvod 피부로 인해 피부가 손상되었습니다. 와, 와?, 주사, 찌르기, 상처로 피부를 망치세요. 끔찍한 토요일, 결제할 때, 잘못한 사람이 돈을 달라고 헐떡이는 때.

기본정리: 모든 매트릭스의 경우 ㅏ적절한 크기의 단위 행렬에 의한 곱은 행렬과 같습니다. ㅏ: AE=EA=A.

행렬안에~라고 불리는 뒤집다 매트릭스로 ㅏ, 만약에 AB=BA=E. 역행렬에서 행렬로 ㅏ로 표시 A-1 .

역행렬은 정방행렬에만 존재합니다.

정리: 정사각형 행렬 ㅏ이 행렬의 행렬식이 0이 아닌 경우(|A|≠0)에만 역행렬이 있습니다.

역행렬 A -1을 찾는 알고리즘:

(2차 및 3차 행렬의 경우)

“수영을 배우고 싶으면 과감하게 물에 들어가고, 배우고 싶으면 물에 들어가라. 문제를 해결하기 위해, 저것 문제를 해결하다.»
D. 폴리아(1887-1985)

(수학자. 수학의 대중화에 큰 공헌을 했다. 문제 해결 방법과 문제 해결 방법을 가르치는 방법에 관한 책을 여러 권 집필했다.)

역행렬 · 행렬 B는 등식이 참인 경우 행렬의 역행렬이라고 합니다. 지정: − 정사각형만행렬은 역행렬을 가질 수 있습니다. - 모든 광장은 아니지만행렬에는 역행렬이 있습니다. 속성: 1. ; 2. ; 3. , 여기서 행렬은 정사각형이고 동일한 차원입니다. 일반적으로 말하면, 비정방 행렬의 경우 곱이 정사각 행렬이 될 수 있다면 역행렬의 존재도 가능합니다. , 3속성을 위반했지만. 역행렬을 찾으려면 기본 행 변환 방법을 사용할 수 있습니다. 1. 원래 행렬의 오른쪽에 적절한 차원의 단위 행렬을 할당하여 확장 행렬을 구성합니다. . 2. 행렬 행의 기본 변환 G다음과 같은 형태로 이어집니다: . − 필요한 행렬 랭크 · k차 행렬의 마이너 행렬은 임의의 k 행과 k 열의 교차점에 위치한 원래 행렬의 요소로 구성된 행렬식입니다. ( ). 논평. 행렬의 각 요소는 1차 마이너입니다. 정리.행렬에서 k차의 모든 마이너가 0이면 더 높은 차수의 모든 마이너는 0과 같습니다. 마이너(행렬식)를 확장해 보겠습니다. k+1) 첫 번째 줄의 요소를 통한 순서: . 대수적 보완은 본질적으로 미성년자입니다 케이-정리의 조건에 따라 0과 같은 순서입니다. 따라서, . · 순서 행렬에서 순서의 마이너는 0이 아닌 경우 기본이라고 하며, 순서 이상의 모든 마이너는 0과 같거나 전혀 존재하지 않습니다. 숫자 중 작은 숫자 또는 와 일치합니다.기본 마이너 스탠드가 있는 행렬의 열과 행을 기본이라고 합니다. 행렬에는 동일한 차수를 갖는 여러 개의 서로 다른 기본 마이너가 있을 수 있습니다. · 행렬의 기저 마이너의 차수를 행렬의 순위라고 합니다.그리고 다음으로 표시: , . . 예를 들어. 1. , . 2. . 행렬 안에 1차 마이너인 0이 아닌 단일 요소를 포함합니다. 모든 고차 행렬식은 0번째 행을 포함하므로 0과 같습니다. 따라서 . 역행렬 4. 선형 방정식 시스템. 기본 개념.선형 대수 방정식 시스템( 선형 시스템, 약어도 사용됩니다. 슬라우, SLU) - 방정식 시스템, 각 방정식은 1차 선형 대수 방정식입니다. 일반 형태선형 대수 방정식 시스템: 여기에 방정식의 수와 변수의 수, 결정해야 할 미지수, 계수 및 자유 항이 있습니다. 알려져 있는 것으로 추정됩니다. 시스템이 호출됩니다. 동종의, 모든 자유항이 0()인 경우, 그렇지 않은 경우 - 이질적인. 선형 대수 방정식 시스템에 대한 해법은 시스템에 대한 해당 대체가 모든 방정식을 항등식으로 바꾸는 숫자 집합입니다. 시스템에 하나 이상의 솔루션이 있으면 일관성이 있다고 하고, 솔루션이 없으면 일관성이 없다고 합니다. 변수 값 중 하나 이상이 일치하지 않으면 솔루션이 다른 것으로 간주됩니다. 단일 해를 갖는 결합 시스템을 한정적이라고 하며, 두 개 이상의 해가 있는 경우 이를 부족 결정이라고 합니다. 행렬 형식 선형 대수 방정식 시스템은 다음과 같이 행렬 형식으로 표현될 수 있습니다. 또는: . 여기에 시스템의 행렬이 있고, 는 미지수의 열이고, 는 자유 항의 열입니다. 자유 항의 열이 행렬 오른쪽에 추가되면 결과 행렬을 확장 행렬이라고 합니다. 크로네커-카펠리 정리 크로네커-카펠리 정리행렬 표현의 속성을 통해 선형 대수 방정식 시스템의 호환성을 위한 필요 충분 조건을 설정합니다. 시스템은 해당 행렬의 순위가 확장된 행렬의 순위와 일치하는 경우에만 호환됩니다. 선형 방정식 시스템을 해결하는 방법. 행렬 방법 (임의의 필드에 대해) 미지수를 갖는 선형 방정식 시스템을 다음과 같이 가정합니다. 이를 행렬 형식으로 다시 작성해 보겠습니다. 우리는 공식을 사용하여 시스템에 대한 해를 찾을 것입니다.우리는 공식을 사용하여 역행렬을 찾을 것입니다: , 여기서 는 행렬의 해당 요소에 대한 대수적 보수의 전치된 행렬입니다. 그렇다면 역행렬이 존재하지 않으며 행렬 방법을 사용하여 시스템을 풀 수 없습니다. 이 경우 시스템은 가우스 방법으로 해결됩니다. Cramer의 방법 Cramer의 방법(Cramer의 법칙) - 여러 방정식을 사용하여 SLAE를 해결하는 방법 숫자와 같다행렬의 0이 아닌 주요 행렬식을 갖는 미지수. 미지수가 있는 선형 방정식 시스템의 경우 행렬의 i번째 열을 자유 항의 열로 대체합니다. b 예: 실수 계수를 갖는 선형 방정식 시스템: 예선: 행렬식에서 해당 미지수에 대한 계수 열은 시스템의 자유항 열로 대체됩니다. 해결책: 5. 가우스 방법해법 알고리즘: 1. 확장 행렬을 작성합니다. 2. 기본 변환을 통해 이를 단계적 형태로 줄입니다. 3. 이동을 역으로 수행합니다. 이 동안 기본 항은 자유 항으로 표현됩니다. 증가된 행렬은 행렬에 더미 항의 열을 추가하여 얻습니다. 다음과 같은 기본 변환이 있습니다. 1. 행렬의 행을 재배열할 수 있습니다. 2. 행렬에 비례(특별한 경우, 동일한) 행이 있거나 나타난 경우, 이 행 중 하나만 제외하고 모든 행을 행렬에서 제거해야 합니다. 3. 변환 중에 행렬에 0 행이 나타나면 이 행도 삭제해야 합니다. 4. 행렬 행은 임의의 숫자로 곱(나누)될 수 있습니다. 0이 아닌. 5. 행렬 행에 0이 아닌 숫자를 곱한 다른 행을 추가할 수 있습니다. 기본 변환은 방정식 시스템의 해를 변경하지 않습니다. 역방향: 일반적으로 시스템의 변환된 행렬에서 0이 아닌 행의 첫 번째 위치에 있는 변수는 기본 변수로 간주됩니다. "단계"에. 다음으로 기본항을 자유항으로 표현한다. 우리는 "아래에서 위로" 이동하면서 동시에 기본 항을 표현하고 결과를 더 높은 방정식으로 대체합니다. 예: 기본 변수는 항상 행렬의 단계에 엄격하게 "위치"합니다. 이 예에서는 기본 변수가 있고 Free 변수는 모두 단계를 받지 못한 나머지 변수입니다. 우리의 경우에는 두 가지가 있습니다: – 자유 변수. 이제 당신은 모든 것이 필요합니다 기본 변수통해서만 표현하다 자유 변수. 가우스 알고리즘의 반대는 전통적으로 상향식으로 작동합니다.

4.1 역행렬과 행렬 순위

정사각형 행렬 ㅏ주문하다N~라고 불리는 비퇴화(또는 특별하지 않은), 만약에데트 ㅏ≠ 0. 그렇지 않으면 행렬 ㅏ – 퇴화하다(또는 특별한). 행렬ㅏ ~이다 뒤집다정사각형 비특이 행렬의 경우 ㅏ, 만약에 ㅏ AA 이자형 , 어디 이자형- 단위 행렬의 순서N:

.

정리 4.1. (역행렬이 존재하기 위한 필요충분조건) 역행렬 ㅏ 원래 행렬이 존재하는 경우에만 존재합니다. ㅏ비퇴화.

증거 . 필요성. 매트릭스를 보자ㅏ반전이 있다 ㅏ , 즉. ㅏ AA 이자형 . 10개의 행렬식의 속성에 따라 우리는디(ㅏ ㅏ ) =디(ㅏ ) 디(ㅏ) 디(이자형) = 1이므로디(ㅏ ) 0.

적절. 허락하다 디(ㅏ ) 0. 정사각 행렬을 고려해보세요 N-번째 주문, 라고 불리는부속된. 해당 요소는 행렬 요소의 대수적 보완입니다., 행렬로 전치됨 ㅏ:

.

그것을 보여주는 것은 쉽습니다.

.

행렬을 역행렬로 취하면 다음과 같습니다.ㅏ , 제품ㅏ ㅏ 그리고 A.A. 단위 행렬과 같음이자형 N-번째 주문: ㅏ ㅏ A.A. 이자형 .

계급행렬 ㅏ (표시계급 ㅏ또는 아르 자형(ㅏ))는 이에 의해 생성된 0이 아닌 마이너(결정자)의 최대 차수입니다. 차수가 순위와 동일한 행렬의 0이 아닌 마이너 행렬을 호출합니다. 기본 부전공. 기본 부전공 구성에 관련된 행과 열도 기본이 됩니다. 행렬은 여러 개의 기본 마이너를 가질 수 있지만 모든 차수는 동일하며 행렬의 순위와 같습니다.

다음과 같은 경우 행렬의 순위가 변경되지 않습니다.

1) 행렬의 행과 열을 교환합니다.

2) 두 개의 열(행)을 재정렬합니다.

3) 모든 요소가 0인 열(행)을 제거합니다.

4) 나머지 열(행)의 선형 조합인 열(행)을 제거합니다.

5) 임의의 열(행)에 0이 아닌 숫자를 곱합니다.

6) 임의의 열(행)에 이 행렬의 나머지 열(행)의 임의의 선형 조합을 추가합니다.

변환 2) - 6)이 호출됩니다. 초등학교. 두 행렬은 다음과 같습니다. 동등한, 하나가 기본 변환을 사용하여 다른 것으로부터 얻어지고 다음과 같이 표시되는 경우 ㅏ~안에.

행렬 순위에는 다음 관계가 적용됩니다.

1) 아르 자형(ㅏ+ 안에 ) 아르 자형(ㅏ) + 아르 자형(비),