함수의 속성을 탐색하고 그래프를 작성합니다. 온라인 차트. 추가 포인트 정의

함수를 연구하고 그래프를 구성할 때 기준점은 특징적인 점(불연속점, 극한점, 변곡점, 좌표축과의 교차점)입니다. 사용하여 미분학설치할 수 있습니다 형질함수의 변화: 증가 및 감소, 최대값 및 최소값, 그래프의 볼록 및 오목 방향, 점근선의 존재.

함수 그래프의 스케치는 점근선과 극점을 찾은 후 그릴 수 있고 그려야 하며, 연구가 진행됨에 따라 함수 연구 요약표를 작성하는 것이 편리합니다.

일반적으로 다음과 같은 기능 연구 방식이 사용됩니다.

1.함수의 정의 영역, 연속성 간격 및 중단점 찾기.

2.짝수 또는 홀수에 대한 함수를 조사합니다(축 또는 중앙 대칭그래픽 아트.

3.점근선(수직, 수평 또는 경사)을 찾습니다.

4.함수의 증가 및 감소 간격, 극한점을 찾아 연구합니다.

5.곡선의 볼록함과 오목함의 간격, 변곡점을 찾습니다.

6.좌표축이 있는 경우 곡선과 좌표축의 교차점을 찾습니다.

7.연구 요약표를 작성합니다.

8.위에서 설명한 사항에 따라 수행된 기능에 대한 연구를 고려하여 그래프가 구성됩니다.

예.탐색 기능

그래프를 작성합니다.

7. 모든 특징점과 그 사이의 간격을 입력하는 함수 연구를 위한 요약표를 작성해 보겠습니다. 함수의 패리티를 고려하여 다음 표를 얻습니다.

				차트 기능
[-1, 0[			증가	볼록한
				(0; 1) – 최대점
]0, 1[			내림차순	볼록한
				변곡점은 축과 함께 형성됩니다. 황소둔각

먼저 함수의 정의역을 찾아보세요.

당신은 관리 했습니까? 답변을 비교해 보겠습니다.

모든 것이 맞습니까? 잘하셨어요!

이제 함수 값의 범위를 찾아 보겠습니다.

설립하다? 비교해 봅시다:

알았어요? 잘하셨어요!

다시 그래프로 작업해 보겠습니다. 이제는 조금 더 복잡해졌습니다. 함수 정의 영역과 함수 값 범위를 모두 찾으십시오.

함수의 정의역과 범위를 모두 찾는 방법(고급)

일어난 일은 다음과 같습니다.

그래프를 이해하신 것 같습니다. 이제 공식에 따라 함수 정의 영역을 찾아보겠습니다(이 작업을 수행하는 방법을 모르는 경우 다음 섹션을 참조하세요).

당신은 관리 했습니까? 점검 해보자 답변:

1. , 근호 표현은 0보다 크거나 같아야 하기 때문입니다.
2. , 0으로 나눌 수 없고 근호 표현이 음수일 수 없기 때문입니다.
3. , 이후 각각 모두에 대해.
4. , 0으로 나눌 수 없기 때문입니다.

하지만 아직 풀리지 않은 점이 하나 더 있습니다...

나는 다시 한 번 정의를 반복하고 강조하겠습니다.

눈치채셨나요? '오직'이라는 단어는 매우, 매우 중요한 요소우리의 정의. 손가락으로 설명하려고 노력하겠습니다.

직선으로 정의된 함수가 있다고 가정해 보겠습니다. . At, 우리는 이 값을 "규칙"으로 대체하여 얻습니다. 하나의 값은 하나의 값에 해당합니다. 우리는 다양한 값의 표를 만들고 이 함수를 그래프로 표시하여 직접 확인할 수도 있습니다.

"바라보다! - 당신은 ""가 두 번 발생합니다!"라고 말합니다. 그렇다면 포물선은 함수가 아닐까요? 아니, 그렇습니다!

“ ”가 두 번 나타난다는 사실이 포물선의 모호성을 비난하는 이유는 아닙니다!

사실 계산할 때 우리는 하나의 게임을 받았습니다. 그리고 계산할 때 우리는 하나의 게임을 받았습니다. 맞습니다. 포물선은 함수입니다. 그래프를 보세요:

알았어요? 그렇지 않다면 여기 수학과는 거리가 먼 실제 사례가 있습니다!

문서를 제출하는 동안 만난 지원자 그룹이 있고, 각 지원자는 대화에서 자신이 살고 있는 곳을 다음과 같이 말했습니다.

여러 사람이 한 도시에 사는 것은 가능하지만 한 사람이 동시에 여러 도시에 사는 것은 불가능합니다. 이는 "포물선"을 논리적으로 표현한 것과 같습니다. 여러 개의 다른 X가 동일한 게임에 해당합니다.

이제 종속성이 함수가 아닌 예를 생각해 보겠습니다. 이 사람들이 자신들이 지원한 전문 분야가 무엇인지 우리에게 말했다고 가정해 보겠습니다.

여기서는 완전히 다른 상황이 발생합니다. 한 사람이 하나 또는 여러 방향에 대한 문서를 쉽게 제출할 수 있습니다. 그건 하나의 요소세트가 대응됩니다 여러 요소다수. 각기, 이것은 기능이 아닙니다.

실제로 지식을 테스트해 봅시다.

그림을 통해 무엇이 함수이고 무엇이 아닌지 결정하세요.

알았어요? 그리고 여기 있습니다 답변:

• 기능은 - B, E입니다.
• 기능은 A, B, D, D가 아닙니다.

왜냐고 물어보시죠? 예, 이유는 다음과 같습니다.

제외한 모든 사진에는 안에)그리고 이자형)하나에 여러 개가 있습니다!

이제 함수와 비함수를 쉽게 구별하고, 인수가 무엇인지, 종속 변수가 무엇인지 말하고, 인수의 허용 값 범위와 함수 정의 범위를 결정할 수 있다고 확신합니다. . 다음 섹션으로 넘어가겠습니다. 기능을 설정하는 방법은 무엇입니까?

기능을 지정하는 방법

그 단어가 무엇을 의미한다고 생각하시나요? "기능 설정"? 맞습니다. 이는 이 경우에 우리가 말하는 기능이 무엇인지 모든 사람에게 설명하는 것을 의미합니다. 그리고 모든 사람이 당신을 정확하게 이해할 수 있도록 설명하십시오. 그리고 당신의 설명을 바탕으로 사람들이 그리는 함수 그래프는 동일합니다.

어떻게 해야 합니까? 기능을 설정하는 방법은 무엇입니까?이 기사에서 이미 두 번 이상 사용된 가장 간단한 방법은 다음과 같습니다. 공식을 사용합니다.공식을 작성하고 여기에 값을 대입하여 값을 계산합니다. 그리고 기억하시겠지만, 공식은 X가 Y로 어떻게 바뀌는지 우리와 다른 사람에게 명확하게 해주는 법칙이자 규칙입니다.

일반적으로 이것이 바로 그들이 하는 일입니다. 작업에서 우리는 수식으로 지정된 기성 함수를 볼 수 있지만 모든 사람이 잊어버리는 기능을 설정하는 다른 방법이 있으므로 "함수를 어떻게 설정할 수 있습니까?"라는 질문이 있습니다. 배플. 모든 것을 순서대로 이해하고 분석 방법부터 시작하겠습니다.

함수를 지정하는 분석 방법

분석 방법은 공식을 사용하여 함수를 지정하는 것입니다. 이는 가장 보편적이고 포괄적이며 명확한 방법입니다. 공식이 있으면 함수에 대한 모든 것을 완전히 알 수 있습니다. 공식에서 값 표를 만들고, 그래프를 작성하고, 함수가 증가하는 위치와 감소하는 위치를 결정하고, 일반적으로 연구할 수 있습니다. 전부.

기능을 고려해 봅시다. 차이점이 뭐야?

"무슨 뜻이에요?" - 물어. 이제 설명하겠습니다.

표기법에서 괄호 안의 표현을 인수라고 부른다는 점을 상기시켜 드리겠습니다. 그리고 이 주장은 반드시 단순할 필요는 없지만 어떤 표현이든 될 수 있습니다. 따라서 인수(괄호 안의 표현식)가 무엇이든 표현식에 대신 작성하겠습니다.

이 예에서는 다음과 같습니다.

시험에서 보게 될 기능을 지정하는 분석 방법과 관련된 또 다른 작업을 고려해 보겠습니다.

에서 표현식의 값을 찾으세요.

처음에는 그런 표정을 보고 겁이 났을 거라 확신하지만 전혀 무서운 게 없어요!

모든 것은 이전 예와 동일합니다. 인수(괄호 안의 표현식)가 무엇이든 대신 표현식에 작성하겠습니다. 예를 들어 함수의 경우입니다.

우리의 예에서는 무엇을 해야 합니까? 대신 다음과 같이 작성해야 합니다.

결과 표현식을 줄입니다.

그게 다야!

독립적 인 일

이제 다음 표현의 의미를 직접 찾아보세요.

1. , 만약에
2. , 만약에

당신은 관리 했습니까? 답변을 비교해 보겠습니다. 우리는 함수의 형식이 다음과 같다는 사실에 익숙합니다.

예제에서도 정확히 이런 방식으로 함수를 정의하지만, 분석적으로는 예를 들어 암시적 형식으로 함수를 지정하는 것이 가능합니다.

이 기능을 직접 만들어 보세요.

당신은 관리 했습니까?

이것이 내가 만든 방법입니다.

우리는 마침내 어떤 방정식을 도출했나요?

오른쪽! 선형(Linear)은 그래프가 직선이라는 뜻입니다. 어떤 점이 우리 선에 속하는지 결정하는 표를 만들어 보겠습니다.

이것이 바로 우리가 이야기하고 있던 것입니다... 하나는 여러 개에 해당합니다.

무슨 일이 일어났는지 그려봅시다:

우리가 갖고 있는 것이 함수인가요?

그렇죠, 아니예요! 왜? 그림을 통해 이 질문에 답해 보세요. 무엇을 얻었나요?

“하나의 값이 여러 값에 대응되기 때문이죠!”

이것으로부터 우리는 어떤 결론을 내릴 수 있습니까?

맞습니다, 함수는 항상 명시적으로 표현될 수는 없으며, 함수로 "위장"된 것이 항상 함수는 아닙니다!

함수를 지정하는 테이블 형식 방법

이름에서 알 수 있듯이 이 방법은 간단한 기호입니다. 예 예. 당신과 내가 이미 만든 것과 같습니다. 예를 들어:

여기에서 즉시 패턴을 발견했습니다. Y가 X보다 3배 더 큽니다. 그리고 이제 "매우 신중하게 생각"해야 할 과제가 있습니다. 표 형식으로 제공된 함수가 함수와 동일하다고 생각하십니까?

긴 말을 하지 말고 그림을 그려보자!

그래서. 다음과 같은 방법으로 배경화면에 지정된 기능을 그립니다.

차이점이 보이나요? 표시된 포인트가 전부는 아닙니다! 자세히 살펴보세요:

지금 보셨나요? 표 형식으로 함수를 정의할 때 표에 있는 점들만 그래프에 표시하고 선(이 경우처럼)은 그 점들을 통해서만 통과합니다. 함수를 분석적으로 정의할 때 어떤 점이든 취할 수 있으며, 우리의 기능은 그 점에만 국한되지 않습니다. 이것이 특징입니다. 기억하다!

함수를 구성하는 그래픽 방법

함수를 구성하는 그래픽 방법은 그다지 편리하지 않습니다. 함수를 그리면 관심 있는 다른 사람이 특정 x 등에서 y가 무엇인지 찾을 수 있습니다. 그래픽 및 분석 방법이 가장 일반적입니다.

그러나 여기서는 우리가 맨 처음에 이야기한 내용을 기억해야 합니다. 좌표계에 그려진 모든 "물결선"이 함수는 아닙니다! 기억 나니? 혹시라도 함수가 무엇인지에 대한 정의를 여기에 복사하겠습니다.

일반적으로 사람들은 일반적으로 우리가 논의한 함수를 지정하는 세 가지 방법, 즉 분석(공식 사용), 표 및 그래픽을 정확하게 지정하며 함수가 구두로 설명될 수 있다는 사실을 완전히 잊어버립니다. 이와 같이? 예, 매우 간단합니다!

기능에 대한 구두 설명

기능을 말로 어떻게 설명하나요? 최근의 예를 들어보겠습니다. 이 함수는 "x의 모든 실수 값은 삼중 값에 해당합니다"라고 설명할 수 있습니다. 그게 다야. 복잡한 것은 없습니다. 물론 당신은 "말로 지정하는 것이 불가능할 정도로 복잡한 기능이 있습니다! "라고 반대 할 것입니다. 예, 그런 것이 있습니다. 하지만 공식으로 정의하는 것보다 말로 설명하는 것이 더 쉬운 기능이 있습니다. 예를 들어, "x의 각 자연값은 x를 구성하는 숫자 간의 차이에 해당하며 피감수는 숫자 표기에 포함된 가장 큰 숫자로 간주됩니다." 이제 함수에 대한 구두 설명이 실제로 어떻게 구현되는지 살펴보겠습니다.

주어진 숫자에서 가장 큰 숫자는 각각 피감수입니다.

주요 기능 유형

이제 가장 흥미로운 부분으로 넘어 갑시다. 귀하가 작업했거나 작업 중이며 학교 및 대학 수학 과정에서 작업하게 될 주요 기능 유형을 살펴 보겠습니다. 즉, 그에 대해 알아 보겠습니다. , 그리고 그들에게 간단한 설명. 해당 섹션에서 각 기능에 대해 자세히 알아보세요.

선형 함수

형식의 기능, 여기서 - 실수.

이 함수의 그래프는 직선이므로 선형 함수를 구성하는 것은 두 점의 좌표를 찾는 것으로 귀결됩니다.

좌표평면에서 직선의 위치는 각도계수에 따라 달라집니다.

함수의 범위(유효한 인수 값의 범위라고도 함)는 입니다.

값의 범위 - .

이차 함수

형태의 기능, 여기서

함수의 그래프는 포물선이며, 포물선의 가지가 아래쪽을 향하고 가지가 위쪽을 향할 때입니다.

이차 함수의 많은 속성은 판별식의 값에 따라 달라집니다. 판별식은 다음 공식을 사용하여 계산됩니다.

값과 계수를 기준으로 좌표 평면에서 포물선의 위치가 그림에 표시됩니다.

도메인

값의 범위는 주어진 함수의 극값(포물선의 정점)과 계수(포물선의 가지 방향)에 따라 달라집니다.

역비례

공식에 의해 주어진 함수는 다음과 같습니다.

이 숫자를 역비례계수라고 합니다. 값에 따라 쌍곡선의 가지는 서로 다른 사각형에 있습니다.

도메인 - .

값의 범위 - .

요약 및 기본 공식

1. 함수는 집합의 각 요소가 집합의 단일 요소와 연관되는 규칙입니다.

• - 이것은 함수, 즉 한 변수가 다른 변수에 대한 의존성을 나타내는 공식입니다.
• - 변수 값 또는 인수
• - 종속 수량 - 인수가 변경되면 변경됩니다. 즉, 일부에 따라 변경됩니다. 특정 공식, 한 수량의 다른 수량에 대한 의존성을 반영합니다.

2. 유효한 인수 값, 또는 함수의 영역은 함수가 의미를 갖는 가능성과 연관된 것입니다.

3. 기능 범위- 허용 가능한 값이 주어지면 이것이 필요한 값입니다.

4. 기능을 설정하는 방법에는 4가지가 있습니다.

• 분석적(공식 사용);
• 표의;
• 그래픽
• 구두 설명.

5. 주요 기능 유형:

• : , 여기서 는 실수입니다.
• : , 어디;
• : , 어디.