정의 위에 제한된 함수입니다. 제한된 기능. 숫자 시퀀스. 정의 및 예

참고: 모든 정의에는 함수 정의역의 일부인 숫자 집합 X가 포함됩니다. X와 D(f). 실제로는 X가 숫자 간격(세그먼트, 간격, 광선 등)인 경우가 가장 많습니다.

정의 1.

함수 y = f(x)는 집합 X의 임의의 두 점 x 1과 x 2에 대해 x 1이 되는 경우 D(f)로 집합 X에서 증가한다고 합니다.< х 2 , выполняется неравенство f(х 1 < f(х 2).

정의 2.

함수 y = f(x)는 세트 X의 임의의 두 점 x 1 및 x 2에 대해 x 1이 되는 경우 세트 X에서 D(f)로 감소한다고 합니다.< х 2 , функции выполняется неравенство f(x 1) >에프(x2).

실제로는 다음 공식을 사용하는 것이 더 편리합니다. 인수의 더 큰 값이 함수의 더 큰 값에 해당하면 함수가 증가합니다. 인수의 더 큰 값이 함수의 더 작은 값에 해당하면 함수가 감소합니다.

7학년과 8학년에서는 함수 증가 또는 감소 개념에 대해 다음과 같은 기하학적 해석을 사용했습니다. 함수 증가 그래프를 따라 왼쪽에서 오른쪽으로 이동하면 언덕을 오르는 것처럼 보입니다(그림 55). 감소하는 함수 그래프를 따라 왼쪽에서 오른쪽으로 이동하면 마치 언덕을 내려가는 것과 같습니다(그림 56).
일반적으로 "증가함수"와 "감소함수"라는 용어는 단조함수라는 일반명으로 결합되며, 증가 또는 감소에 대한 함수에 대한 연구를 단조함수에 대한 연구라고 합니다.

한 가지 상황을 더 살펴보겠습니다. 함수가 자연 정의 영역에서 증가(또는 감소)하면 일반적으로 숫자 집합 X를 나타내지 않고 함수가 증가(또는 감소)한다고 말합니다.

예시 1.

함수의 단조성을 검사합니다.

ㅏ) y = x 3 + 2; b) y = 5 - 2x.

해결책:

a) 인수 x 1과 x 2의 임의의 값을 취하고 x 1을<х 2 . Тогда, по свойствам числовых неравенств (мы с вами изучали их в курсе алгебры 8-го класса), будем иметь:

마지막 부등식은 f(x 1)을 의미합니다.< f(х 2). Итак, из х 1 < х 2 следует f{х 1) < f(х 2), а это означает, что заданная функция возрастает (на всей числовой прямой).

그래서 x 1에서< х 2 следует f(х 1) >f(x 2)는 주어진 함수가 (전체 수직선에서) 감소한다는 것을 의미합니다.

정의 3.

함수 y - f(x)는 집합 X에 있는 함수의 모든 값이 특정 숫자보다 큰 경우(즉, 어떤 값 x œ X에 대해 부등식 f( x) >m)이 되는 숫자 m.

정의 4.

함수 y = f(x)는 함수의 모든 값이 특정 숫자보다 작은 경우(즉, 다음과 같은 숫자 M이 있는 경우) D(f)로 집합 X에서 위에서부터 유계라고 합니다. 임의의 값 x − X에 대해 부등식 f(x)는 다음을 유지합니다.< М).

집합 X가 지정되지 않으면 전체 정의 영역에서 아래 또는 위로부터 제한된 함수에 대해 이야기하고 있는 것으로 이해됩니다.

함수가 아래와 위 모두에 경계가 있는 경우 이를 경계라고 합니다.

함수의 경계는 그래프에서 쉽게 읽을 수 있습니다. 함수가 아래에서 경계를 이루고 있으면 해당 그래프는 특정 수평선 y = m 위에 완전히 위치합니다(그림 57). 함수가 위에서 경계를 이루고 있다면 해당 그래프는 완전히 수평선 y = M 아래에 위치합니다(그림 58).

예시 2.함수의 경계성 검사
해결책.한편으로 불평등은 매우 명백합니다(정의에 따르면). 제곱근이는 함수가 아래로부터 제한된다는 의미입니다. 반면에 우리는 그러므로
이는 함수가 상한에 있음을 의미합니다. 이제 주어진 함수의 그래프를 살펴보십시오(이전 단락의 그림 52). 위와 아래 모두 함수의 한계를 그래프에서 아주 쉽게 읽을 수 있습니다.

정의 5.

숫자 m은 다음과 같은 경우 집합 X C D(f)에서 함수 y = f(x)의 가장 작은 값이라고 합니다.

1) X에는 f(x 0) = m인 x 0 점이 있습니다.

2) X의 모든 x에 대해 불평등 m>f(x 0)이 유지됩니다.

정의 6.

숫자 M은 다음과 같은 경우 집합 X C D(f)에 대한 함수 y = f(x)의 가장 큰 값이라고 합니다.
1) X에는 f(x 0) = M인 x 0 점이 있습니다.
2) X의 모든 x에 대해 불평등
7학년과 8학년 모두에서 함수의 가장 작은 값을 기호 y로 표시하고 가장 큰 값을 기호 y로 표시했습니다.

집합 X가 지정되지 않으면 전체 정의 영역에서 함수의 가장 작거나 가장 큰 값을 찾는 것에 대해 이야기하고 있다고 가정합니다.

다음과 같은 유용한 설명은 매우 분명합니다.

1) 함수에 Y가 있으면 아래로 제한됩니다.
2) 함수에 Y가 있으면 위에 제한됩니다.
3) 함수가 아래에 제한되지 않으면 Y는 존재하지 않습니다.
4) 함수가 위에 제한되지 않으면 Y는 존재하지 않습니다.

예시 3.

함수의 최소값과 최대값 찾기
해결책.

특히 함수 그래프(그림 52)를 사용하면 = 0(함수는 x = -3 및 x = 3 지점에서 이 값에 도달함), a = 3(함수는 x에서 이 값에 도달함)이 매우 분명합니다. = 0.
7학년과 8학년에서 우리는 함수의 두 가지 속성을 더 언급했습니다. 첫 번째는 함수의 볼록성(convexity) 속성이라고 합니다. 그래프의 임의의 두 점(X의 가로좌표 포함)을 직선 세그먼트와 연결하여 그래프의 해당 부분이 그려진 세그먼트 아래에 있는 경우 함수는 구간 X에서 아래쪽으로 볼록한 것으로 간주됩니다(그림 .59). 연속성 함수 그래프의 두 점(X의 가로좌표 포함)을 직선 세그먼트와 연결하여 그래프의 해당 부분이 그려진 세그먼트 위에 있는 경우 함수는 구간 X에서 위쪽으로 볼록합니다( 그림 60).

두 번째 속성인 X 구간에서 함수의 연속성은 구간 X에서 함수의 그래프가 연속적이라는 것을 의미합니다. 펑크 나 점프가 없습니다.

논평.

실제로 수학에서는 모든 것이 "정확히 반대"입니다. 함수 그래프는 함수의 연속성이 입증된 경우에만 (펑크나 점프 없이) 실선으로 표시됩니다. 그러나 기능의 연속성에 대한 매우 복잡하고 미묘한 공식적인 정의는 아직 우리의 능력 범위 내에 있지 않습니다. 함수의 볼록성에 대해서도 마찬가지입니다. 함수의 이 두 가지 속성을 논의할 때 우리는 계속해서 시각적이고 직관적인 개념에 의존할 것입니다.

이제 우리가 알고 있는 지식을 검토해 보겠습니다. 7학년과 8학년 때 공부했던 함수를 기억하면서 그래프가 어떻게 생겼는지 명확히 하고 함수의 속성을 특정 순서에 따라 나열해 보겠습니다. 예를 들어 정의 영역; 단조; 한정; , ; 연속성; 범위; 볼록한.

이후에 함수의 새로운 속성이 나타나고 그에 따라 속성 목록이 변경됩니다.

1. 상수 함수 y = C

함수 y=C의 그래프가 그림 1에 나와 있습니다. 61 - x축에 평행한 직선. 이는 속성을 나열할 필요가 없을 정도로 흥미롭지 않은 기능입니다.

함수 y = kx + m의 그래프는 직선입니다 (그림 62, 63).

함수 y = kx + m의 속성:

1)
2) k > 0이면 증가하고(그림 62), k이면 감소합니다.< 0 (рис. 63);

4) 가장 큰 것도 없고 가장 큰 것도 없다 가장 낮은 값;
5) 기능이 연속적입니다.
6)
7) 볼록성에 대해 이야기하는 것은 의미가 없습니다.

함수 y = kx 2의 그래프는 원점에 정점이 있고 k > O(그림 64)인 경우 가지가 위쪽을 향하고 k인 경우 아래쪽을 향하는 포물선입니다.< 0 (рис. 65). Прямая х = 0 (ось у) является осью параболы.

함수 y - kx 2의 속성:

k> 0인 경우(그림 64):

1) D(f) = (-oo,+oo);


4) = 존재하지 않습니다.
5) 연속적;
6) E(f) = 함수는 감소하고 간격에 따라 광선에서 감소합니다.
7) 위쪽으로 볼록합니다.

함수 y = f(x)의 그래프는 점별로 그려집니다. (x; f(x)) 형식의 점을 더 많이 취할수록 그래프에 대한 아이디어가 더 정확해집니다. 이러한 점을 많이 취하면 그래프의 더 완전한 그림을 얻을 수 있습니다. 이 경우 직관은 그래프가 실선(이 경우 포물선 형태)으로 표시되어야 함을 알려줍니다. 그런 다음 그래프를 읽으면서 함수의 연속성, 아래쪽 또는 위쪽의 볼록성, 함수 값의 범위에 대한 결론을 도출합니다. 나열된 7가지 속성 중 1), 2), 3), 4) 속성만이 "합법적"이라는 점을 이해해야 합니다. 정확한 정의를 참조하여 해당 속성을 정당화할 수 있다는 의미에서 "합법적"입니다. 우리는 나머지 속성에 대해 시각적이고 직관적인 아이디어만 가지고 있습니다. 그건 그렇고, 이것에는 아무런 문제가 없습니다. 수학 발전의 역사에서 인류는 종종 오랫동안 사용되는 것으로 알려져 있습니다. 다양한 속성정확한 정의를 모르는 특정 개체. 그런 다음 그러한 정의가 공식화될 수 있게 되었을 때 모든 것이 제자리를 잡았습니다.

함수의 그래프는 쌍곡선이고, 좌표축은 쌍곡선의 점근선 역할을 합니다(그림 66, 67).

1) D(f) = (-00,0)1U (0,+oo);
2) k > 0이면 개방 광선(-oo, 0)과 개방 광선(0, +oo)에서 함수가 감소합니다(그림 66). 만약에< 0, то функция возрастает на (-оо, 0) и на (0, +оо) (рис. 67);
3) 아래 또는 위로부터 제한되지 않습니다.
4) 가장 작은 값도 가장 큰 값도 없습니다.
5) 이 기능은 열린 광선(-oo, 0)과 열린 광선(0, +oo)에서 연속적입니다.
6) E(f) = (-oo,0)U(0,+oo);
7) k > 0이면 함수는 x에서 위쪽으로 볼록합니다.< 0, т.е. на открытом луче (-оо, 0), и выпукла вниз при х >0, 즉 오픈빔(0, +oo)에서(그림 66). 만약에< 0, то функция выпукла вверх при х >O 및 x에서 아래쪽으로 볼록함< О (рис. 67).
함수의 그래프는 포물선의 가지입니다(그림 68). 기능 속성:
1) D(f) = 광선(세트 A)에서 증가한 다음 위와 아래 모두 경계가 지정됩니다.

실제로, 그것이 위에서부터 제한되어 있음을 보여주기 위해 우리는 술어를 고려해야 합니다.

그리고 구간 [–2;1]에서 취해진 모든 x에 대해 참이 되는 그러한 M이 (존재) 있음을 보여주십시오.

그러한 M을 찾는 것은 어렵지 않습니다. M = 7이라고 가정할 수 있습니다. 존재 수량자는 적어도 하나의 M 값을 찾는 것과 관련됩니다. 이러한 M의 존재는 간격 [–2;1]의 함수가 위에서 제한된다는 사실을 확인합니다.

그것이 아래로부터 제한된다는 것을 증명하려면, 술어를 고려해야 합니다.

주어진 술어의 진실성을 보장하는 M 값은 예를 들어 M = -100입니다.

함수는 모듈러스에서도 제한된다는 것이 입증될 수 있습니다. 세그먼트 [–2;1]의 모든 x에 대해 함수 값은 의 값과 일치하므로 M을 취할 수 있습니다. 예를 들어 이전 값 M = 7입니다.

동일한 기능이 간격에 따라 무제한이라는 것을 보여드리겠습니다.

그러한 x가 존재한다는 것을 보여주기 위해 다음 진술을 고려하십시오.

인수의 양수 값 중에서 필요한 x 값을 찾으면 다음을 얻습니다.

이는 우리가 어떤 양의 M을 취하더라도 불평등의 충족을 보장하는 x 값을 의미합니다.

는 관계로부터 얻어집니다.

실수 축 전체에 대한 함수를 고려하면 절대값에 제한이 없음을 알 수 있습니다.

실제로 불평등으로부터

즉, 양의 M이 아무리 크더라도 불평등이 충족되도록 보장합니다.

극한의 기능.

이 기능은 해당 시점에 있습니다. 와 함께 지역 최대값(최소값), 이 지점 근처에 다음이 있는 경우 엑스¹ 와 함께 이 동네에는 불평등이 존재해요

특히 극점은 구간의 내부 지점일 수 있으며 그 지점의 f(x)는 반드시 정의되어야 합니다. 극한값이 없는 경우가 그림 1에 나와 있습니다. 8.8.

함수가 일정 간격으로 증가(감소)하고 일정 간격으로 감소(증가)하면 그 점은 와 함께 로컬 최대(최소) 지점입니다.

해당 점에 함수 f(x)의 최대값이 없음 와 함께 다음과 같이 공식화할 수 있습니다.

_______________________

f(x)는 점 c에서 최대값을 갖습니다.

이는 점 c가 지역 최대점이 아닌 경우 점 c를 내부로 포함하는 이웃이 무엇이든 c와 같지 않은 값 x가 적어도 하나 있을 것임을 의미합니다. 따라서 c 지점에 최대값이 없으면 이 지점에는 극값이 전혀 없거나 최소점이 될 수 있습니다(그림 8.9).

극값의 개념은 가까운 지점과 관련하여 모든 지점에서 함수의 값을 비교 평가합니다. 특정 간격의 모든 지점에 대해 유사한 함수 값 비교를 수행할 수 있습니다.

집합에 있는 함수의 MAXIMUM(SMALLEST) 값은 이 집합의 한 지점에 있는 값입니다. 함수의 가장 큰 값은 세그먼트의 내부 지점에서 달성되고 가장 작은 값은 – 왼쪽 끝에.

간격에 지정된 함수의 가장 큰(최소) 값을 결정하려면 모든 최대값(최소값) 중에서 가장 큰(최소) 숫자와 허용되는 값을 선택해야 합니다. 간격이 끝나면. 이는 함수의 가장 큰(가장 작은) 값이 됩니다. 이 규칙은 나중에 명확해질 것입니다.

열린 구간에서 함수의 최대값과 최소값을 찾는 문제는 항상 해결하기 쉬운 것은 아닙니다. 예를 들어, 함수

간격(그림 8.11)에는 해당 항목이 없습니다.

예를 들어, 이 기능이 가장 큰 의미를 갖지 않는지 확인해 보겠습니다. 실제로 함수의 단조성을 고려하면 x 값을 1의 왼쪽에 아무리 가깝게 설정하더라도 함수 값이 일치하는 다른 x가 있을 것이라고 주장할 수 있습니다. 주어진 고정점에서의 값보다 크지만 여전히 1보다 작습니다.

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여러분, 우리는 계속해서 수치함수를 공부하고 있습니다. 오늘은 함수 속성과 같은 주제에 중점을 둘 것입니다. 함수에는 많은 속성이 있습니다. 우리가 최근에 연구한 속성을 기억해 보세요. 맞습니다. 정의의 영역과 가치의 영역이 핵심 속성 중 하나입니다. 이를 절대 잊지 말고 함수에는 항상 이러한 속성이 있다는 것을 기억하세요.

이 섹션에서는 함수의 일부 속성을 정의합니다. 문제를 해결할 때 결정하는 순서를 따르는 것이 좋습니다.

증가 및 감소 기능

우리가 정의할 첫 번째 속성은 증가 및 감소 함수입니다.

임의의 x1 및 x2에 대해 x1이 다음과 같은 경우 함수는 집합 X⊂D(f)에서 증가한다고 합니다.< x2 - выполняется неравенство f(x1) < f(x2). То есть большему значению аргумента, соответствует большее значение функции.
어떤 x1과 x2에 대해 x1이 다음과 같은 경우 함수는 집합 X⊂D(f)에서 감소한다고 합니다.< x2 - выполняется неравенство f(x1)>f(x2). 즉, 인수의 값이 클수록 함수의 값이 작아집니다.

함수의 "증가"와 "감소"의 개념은 함수의 그래프를 주의 깊게 살펴보면 매우 이해하기 쉽습니다. 증가하는 기능의 경우: 우리는 언덕 위로 올라가는 것처럼 보이고, 감소하는 기능의 경우 그에 따라 내려가는 것 같습니다. 일반 형태증가 및 감소 함수는 아래 그래프에 나와 있습니다.

증가 및 감소 함수를 일반적으로 단조성이라고 합니다.즉, 우리의 임무는 함수의 감소 및 증가 간격을 찾는 것입니다. 일반적인 경우 이는 다음과 같이 공식화됩니다: 단조성 구간을 찾거나 단조성에 대한 함수를 검사합니다.

$y=3x+2$ 함수의 단조성을 조사합니다.
해결 방법: x1과 x2에 대한 함수를 확인하고 x1을 보자.< x2.
$f(x1)=3x1+2$
$f(x2)=3x2+2$
이후 x1< x2, то f(x1) < f(x2), т. е. большему значению аргумента, соответствует большее значение функции.

제한된 기능

임의의 хϵХ에 대해 부등식 f(x)가 유지되는 숫자 a가 존재하는 경우 함수 $y=f(x)$는 집합 X⊂D(f)에서 아래로부터 유계라고 합니다.< a.

임의의 хϵХ에 대해 부등식 f(x)가 유지되는 숫자 a가 있는 경우 함수 $y=f(x)$는 집합 X⊂D(f)에서 위에서부터 유계라고 합니다.< a.

간격 X가 지정되지 않으면 함수는 전체 정의 영역에 걸쳐 제한되는 것으로 간주됩니다. 위와 아래 모두에 제한된 함수를 제한된 함수라고 합니다.

함수의 한계는 그래프를 통해 쉽게 읽을 수 있습니다. 어느 정도 직선을 그릴 수 있다
$у=а$, 그리고 함수가 이 줄보다 높으면 아래에서 경계가 지정됩니다. 아래라면 그에 따라 위입니다. 아래는 아래에 제한된 함수의 그래프입니다. 여러분, 제한된 함수의 그래프를 직접 그려보세요.

$y=\sqrt(16-x^2)$ 함수의 경계성을 조사합니다.
해결 방법: 특정 숫자의 제곱근은 0보다 크거나 같습니다. 분명히 우리 함수는 0보다 크거나 같습니다. 즉, 아래로부터 경계가 지정됩니다.
음수가 아닌 숫자에서만 제곱근을 추출한 다음 $16-x^2≥0$을 추출할 수 있습니다.
불평등에 대한 해결책은 간격 [-4;4]입니다. 이 세그먼트에서는 $16-x^2≤16$ 또는 $\sqrt(16-x^2)≤4$이지만 이는 위에서 경계를 의미합니다.
답변: 우리 함수는 $y=0$ 및 $y=4$ 두 개의 직선으로 제한됩니다.

최고 및 최저 값

집합 X⊂D(f)에서 함수 y= f(x)의 가장 작은 값은 다음과 같은 숫자 m입니다.

b) 모든 хϵХ에 대해 $f(x)≥f(x0)$가 유지됩니다.

집합 X⊂D(f)에서 함수 y=f(x)의 가장 큰 값은 다음과 같은 숫자 m입니다.
a) $f(x0)=m$과 같은 x0이 있습니다.
b) 모든 хϵХ에 대해 $f(x)≤f(x0)$가 유지됩니다.

가장 큰 값과 가장 작은 값은 일반적으로 y max로 표시됩니다. 그리고 당신 이름 .

경계성의 개념과 함수의 가장 큰 값과 가장 작은 값은 밀접하게 관련되어 있습니다. 다음 진술은 사실입니다.
a) 함수에 최소값이 있는 경우 그 값은 아래로 제한됩니다.
b) 함수가 가장 큰 값을 가지면 그 값은 위쪽으로 제한됩니다.
c) 함수가 위에 제한되지 않으면 가장 큰 값이 존재하지 않습니다.
d) 함수가 아래에 제한되지 않으면 가장 작은 값이 존재하지 않습니다.

$y=\sqrt(9-4x^2+16x)$ 함수의 최대값과 최소값을 구합니다.
풀이: $f(x)=y=\sqrt(9-4x^2+16x)=\sqrt(9-(x-4)^2+16)=\sqrt(25-(x-4)^2 ) 5달러 이하.
$х=4$ $f(4)=5$의 경우 다른 모든 값의 경우 함수는 더 작은 값을 취하거나 존재하지 않습니다. 즉, 이것이 함수의 가장 큰 값입니다.
정의에 따르면 $9-4x^2+16x≥0$입니다. 이차 삼항식 $(2x+1)(2x-9)≥0$의 근을 찾아봅시다. $x=-0.5$ 및 $x=4.5$에서 함수는 사라지고 다른 모든 지점에서는 0보다 큽니다. 그러면 정의에 따라 함수의 가장 작은 값은 0과 같습니다.
답: y 최대. =5 및 y 이름. =0.

여러분, 우리는 함수의 볼록성 개념도 공부했습니다. 일부 문제를 해결할 때 이 속성이 필요할 수 있습니다. 이 속성은 그래프를 사용하여 쉽게 결정됩니다.

원래 함수 그래프의 두 점을 연결하고 함수의 그래프가 두 점을 연결한 선 아래에 있으면 함수는 아래쪽으로 볼록합니다.

원래 함수 그래프의 두 점을 연결하고 함수의 그래프가 두 점을 연결한 선 위에 있으면 함수는 위쪽으로 볼록합니다.

예를 들어 위의 함수 그래프와 같이 함수 그래프에 중단이 없으면 함수는 연속입니다.

함수의 속성을 찾아야 하는 경우 속성을 검색하는 순서는 다음과 같습니다.
a) 정의 영역.
b) 단조로움.
c) 제한.
d) 가장 큰 값과 가장 작은 값입니다.
d) 연속성.
e) 값의 범위.

$y=-2x+5$ 함수의 속성을 찾습니다.
해결책.
a) 정의 영역 D(y)=(-무한대;+무한대).
b) 단조로움. x1과 x2 값이 있는지 확인하고 x1을 보자.< x2.
$f(x1)=-2x1+2$.
$f(x2)=-2x2+2$.
x1 이후< x2, то f(x1) < f(x2), то есть большему значению аргумента, соответствует меньшее значение функции. Функция убывает.
c) 제한. 분명히 기능은 제한되지 않습니다.
d) 가장 큰 값과 가장 작은 값입니다. 함수에는 제한이 없으므로 최대값이나 최소값이 없습니다.
d) 연속성. 우리 함수의 그래프에는 중단이 없으며 함수는 연속적입니다.
e) 값의 범위. E(y)=(-무한대;+무한대).

독립해를 위한 함수의 성질에 관한 문제

함수 속성 찾기:
a) $y=2x+7$,
b) $y=3x^2$,
c) $y=\frac(4)(x)$.

1) 기능 영역 및 기능 범위.

함수의 정의역은 유효한 모든 인수 값의 집합입니다. 엑스(변하기 쉬운 엑스), 이에 대한 함수는 y = f(x)단호한. 함수의 범위는 모든 실수 값의 집합입니다. 와이, 함수가 허용합니다.

초등수학에서는 실수 집합에 대해서만 함수를 연구합니다.

2) 기능 0.

함수 0은 함수 값이 0인 인수의 값입니다.

3) 함수의 상수부호 간격.

함수의 상수 부호 간격은 함수 값이 양수이거나 음수인 인수 값의 집합입니다.

4) 함수의 단조성.

(특정 간격에서) 증가 함수는 이 간격에서 인수의 더 큰 값이 함수의 더 큰 값에 해당하는 함수입니다.

(특정 간격에서) 감소 함수는 이 간격에서 인수의 큰 값이 함수의 작은 값에 해당하는 함수입니다.

5) 짝수(홀수) 함수.

짝수 함수(even function)는 정의 영역이 원점과 임의의 함수에 대해 대칭인 함수입니다. 엑스정의의 영역에서 평등 에프(-엑스) = 에프(엑스). 짝수 함수의 그래프는 세로 좌표를 기준으로 대칭입니다.

홀수 함수(odd function)는 정의 영역이 원점과 임의의 함수에 대해 대칭인 함수입니다. 엑스정의의 영역에서 평등은 사실이다 에프(-엑스) = - 에프(엑스). 홀수 함수의 그래프는 원점을 기준으로 대칭입니다.

6) 제한적이고 무제한적인 기능.

|f(x)|와 같은 양수 M이 있는 경우 함수를 유계라고 합니다. x의 모든 값에 대해 ≤ M입니다. 그러한 숫자가 존재하지 않으면 기능은 무제한입니다.

7) 함수의 주기성.

함수 정의 영역의 모든 x에 대해 다음이 유지되는 0이 아닌 숫자 T가 있는 경우 함수 f(x)는 주기적입니다: f(x+T) = f(x). 이 가장 작은 숫자를 함수의 주기라고 합니다. 모두 삼각함수주기적이다. (삼각법 공식).

19. 기본 기본 기능, 해당 속성 및 그래프. 경제학에서의 기능의 응용.

기본 기본 기능. 속성 및 그래프

1. 선형 함수.

선형 함수 는 형식의 함수라고 하며, 여기서 x는 변수이고 a와 b는 실수입니다.

숫자 ㅏ선의 기울기라고 하며, 이는 x축의 양의 방향에 대한 이 선의 경사각의 접선과 같습니다. 선형함수의 그래프는 직선이다. 이는 두 가지 점으로 정의됩니다.

선형 함수의 속성

1. 정의 영역 - 모든 실수의 집합: D(y)=R

2. 값의 집합은 모든 실수의 집합이다: E(y)=R

3. 또는 일 때 함수는 0 값을 취합니다.

4. 함수는 전체 정의 영역에 걸쳐 증가(감소)합니다.

5. 선형 함수는 전체 정의 영역에 걸쳐 연속적이며 미분 가능하고 .

2. 이차 함수.

x가 변수이고 계수 a, b, c가 실수인 형태의 함수를 다음과 같이 호출합니다. 이차

승산 에이, 비, 씨좌표평면에서 그래프의 위치를 ​​결정

계수 a는 가지의 방향을 결정합니다. 이차 함수의 그래프는 포물선입니다. 포물선 꼭지점의 좌표는 다음 공식을 사용하여 구합니다.

기능 속성:

2. 간격 중 하나에 대한 값 집합: 또는.

3. 이 함수는 다음과 같은 경우 0 값을 취합니다. , 판별식은 다음 공식으로 계산됩니다.

4. 함수는 전체 정의 영역에 걸쳐 연속적이며 함수의 도함수는 와 같습니다.

단조함수의 한계에 관한 정리. 정리의 증명은 두 가지 방법을 사용하여 제공됩니다. 순증가, 비감소, 순감소, 비증가 함수에 대한 정의도 나와 있습니다. 단조 함수의 정의.

콘텐츠

기능은 위에서 제한되지 않습니다

1.1. 숫자 b를 유한하다고 가정합니다: .
1.1.2. 함수가 위에 제한되지 않도록 하세요.

.

에 .

을 나타내자. 그렇다면 누구에게나 그렇죠.
에 .
이는 점 b의 왼쪽 극한이 다음과 같다는 것을 의미합니다("끝점에서 함수의 일측 무한 극한 정의" 참조).

b 초기 플러스 무한대

기능은 위에서부터 제한됩니다.

1. 간격에 따라 기능이 감소하지 않도록 하십시오.
1.2.1. 함수를 위에서 숫자 M: for 으로 제한합니다.
이 경우에는 한계가 있음을 증명해 보겠습니다.

함수가 위에 제한되어 있으므로 유한한 상한이 있습니다.
.
정확한 상한의 정의에 따르면 다음 조건이 충족됩니다.
;
긍정적인 것에 대해서는 논쟁이 있습니다.
.

함수가 감소하지 않으므로 . 그런 다음 . 또는
에 .

그래서 우리는 누구에게나 숫자가 있다는 것을 알았습니다.
에 .
"무한대에서의 단측 극한의 정의").

기능은 위에서 제한되지 않습니다

1. 간격에 따라 기능이 감소하지 않도록 하십시오.
1.2. 숫자 b를 더하기 무한대와 동일하게 만듭니다.
1.2.2. 함수가 위에 제한되지 않도록 하세요.
이 경우에는 한계가 있음을 증명해 보겠습니다.

함수는 위에서 제한되지 않으므로 숫자 M에 대해 다음과 같은 인수가 있습니다.
.

함수가 감소하지 않으므로 . 그런 다음 .

따라서 모든 항목에는 숫자가 있으므로
에 .
이는 극한이 다음과 같다는 것을 의미합니다("무한대에서 단측 무한 극한의 정의" 참조).

기능이 늘어나지 않네요

이제 함수가 증가하지 않는 경우를 고려하십시오. 위와 같이 각 옵션을 개별적으로 고려할 수 있습니다. 그러나 우리는 그것들을 즉시 다룰 것입니다. 이를 위해 우리는 . 이 경우에는 한계가 있음을 증명해 보겠습니다.

함수 값 집합의 유한 극한을 고려합니다.
.
여기서 B는 유한수이거나 무한대의 점이 될 수 있습니다. 정확한 하한의 정의에 따르면 다음 조건이 충족됩니다.
;
B 지점 근처에는 다음과 같은 주장이 있습니다.
.
정리의 조건에 따르면, . 그렇기 때문에 .

함수가 증가하지 않으므로 . 그때부터
에 .
또는
에 .
다음으로, 부등식은 점 b의 왼쪽 구멍이 뚫린 이웃을 정의한다는 점에 주목합니다.

그래서 우리는 점의 모든 이웃에 대해 점 b의 왼쪽에 구멍이 뚫린 이웃이 있다는 것을 발견했습니다.
에 .
이는 b 지점의 왼쪽 극한이 다음과 같다는 것을 의미합니다.

(코시(Cauchy)에 따른 함수 극한의 보편적인 정의를 참조하세요.)

지점 a의 한계

이제 점 a에 극한이 있음을 보여주고 그 값을 구하겠습니다.

기능을 고려해 봅시다. 정리의 조건에 따르면 함수는 에 대해 단조적입니다. 변수 x를 - x로 바꾸겠습니다(또는 대체를 수행한 다음 변수 t를 x로 바꾸십시오). 그러면 함수는 에 대해 단조롭습니다. 불평등에 다음을 곱함 -1 그리고 그 순서를 바꾸면 함수가 에 대해 단조롭다는 결론에 도달합니다.

마찬가지로, 감소하지 않으면 증가하지 않는다는 것도 쉽게 알 수 있습니다. 그렇다면 위에서 증명한 바에 따르면 한계가 있다.
.
증가하지 않으면 감소하지 않습니다. 이런 경우에는 한계가 있습니다
.

이제 에 함수의 한계가 있다면 에도 함수의 한계가 있고 이러한 한계는 동일하다는 것을 보여주는 것이 남아 있습니다.
.

표기법을 소개하겠습니다.
(1) .
f를 g로 표현해 보겠습니다.
.
임의의 양수를 취해보자. 점 A에 엡실론 근방이 있다고 가정합니다. 엡실론 이웃은 A의 유한 값과 무한 값 모두에 대해 정의됩니다("점의 이웃" 참조). 극한(1)이 있으므로 극한의 정의에 따르면 모든 것에 대해 다음과 같이 존재합니다.
에 .

a를 유한수라고 하자. 부등식을 사용하여 점 -a의 왼쪽 구멍이 뚫린 이웃을 표현해 보겠습니다.
에 .
x를 -x로 바꾸고 다음 사항을 고려해 보겠습니다.
에 .
마지막 두 부등식은 점 a의 구멍이 뚫린 오른쪽 이웃을 정의합니다. 그 다음에
에 .

a를 무한한 수라고 하자. 우리는 추론을 반복합니다.
에 ;
에 ;
에 ;
에 .

그래서 우리는 누구에게나 그런 것이 있다는 것을 발견했습니다.
에 .
그것은 다음을 의미합니다
.

정리가 입증되었습니다.

또한보십시오: