번호 순서.
어떻게 ?

이 강의에서 우리는 Vkontakte라는 대규모 커뮤니티 구성원의 삶에서 흥미로운 것들을 많이 배울 것입니다 숫자 순서. 고려 중인 주제는 수학적 분석 과정뿐만 아니라 기본 사항도 다루고 있습니다. 이산 수학. 또한 특히 연구 중에 타워의 다른 섹션을 마스터하는 데 자료가 필요합니다. 숫자 시리즈그리고 기능성 시리즈. 이것이 중요하다고 진부하게 말할 수 있고, 간단하다고 격려적으로 말할 수 있고, 더 많은 일상적인 문구를 말할 수 있지만, 오늘은 학교에서 처음으로 비정상적으로 게으른 주이므로 첫 번째 문단을 쓰는 것이 몹시 마음이 아픕니다 =) 나는 이미 파일을 마음속에 저장하고 잠들 준비를 하고 있는데 문득... 진심 어린 고백이 생각나 머리가 환해졌고, 그 생각은 믿을 수 없을 만큼 영혼을 가벼워지게 했고 계속해서 키보드를 두드리게 만들었습니다. .

여름의 추억에서 벗어나 매혹적이고 긍정적인 새로운 세계를 들여다보자. 소셜 네트워크:

숫자 순서의 개념

먼저 단어 자체에 대해 생각해 봅시다. 시퀀스란 무엇입니까? 순서는 어떤 것이 어떤 것 뒤에 오는 것입니다. 예를 들어 일련의 작업, 일련의 계절 등이 있습니다. 또는 누군가가 누군가 뒤에 있을 때. 예를 들어, 줄을 서 있는 일련의 사람들, 물웅덩이로 가는 길에 있는 일련의 코끼리.

시퀀스의 특징을 즉시 명확히하겠습니다. 첫째로, 시퀀스 멤버위치해있습니다 엄격하게 특정 순서로. 따라서 대기열에 있는 두 사람이 서로 바뀌면 이는 이미 다른후속. 둘째, 여러분 시퀀스 멤버일련번호를 할당할 수 있습니다.

숫자도 마찬가지다. 허락하다 각자에게자연적 가치 어떤 규칙에 따르면준수 실수. 그런 다음 숫자 순서가 제공된다고 말합니다.

예, 수학 문제와는 달리 생활 상황시퀀스에는 거의 항상 다음이 포함됩니다. 무한히 많은숫자.

여기서:
~라고 불리는 첫 번째 멤버시퀀스;
– 두 번째 멤버시퀀스;
– 세 번째 멤버시퀀스;
…
– n번째또는 일반 회원시퀀스;
…

실제로는 일반적으로 순서가 지정됩니다. 공통 용어 공식, 예를 들어:
– 양의 짝수의 순서:

따라서 레코드는 시퀀스의 모든 구성원을 고유하게 결정합니다. 이는 자연 값에 따른 규칙(공식)입니다. 숫자가 대응됩니다. 따라서 시퀀스는 흔히 공통 용어로 간략하게 표시되며 "x" 대신 다른 라틴 문자를 사용할 수 있습니다. 예를 들면 다음과 같습니다.

양의 홀수의 순서:

또 다른 일반적인 순서:

많은 사람들이 알고 있듯이 "en" 변수는 일종의 카운터 역할을 합니다.

사실 우리는 중학교 때 숫자 순서를 다루었습니다. 기억하자 산술 진행. 정의를 다시 쓰지 않겠습니다. 구체적인 예. 첫 번째 항을 이라고 하자. 그리고 – 단계산술 진행. 그 다음에:
– 이 진행의 두 번째 용어;
– 이 진행의 세 번째 용어;
- 넷째;
- 다섯 번째;
…
그리고 당연히 n번째 항이 주어집니다. 반복되는공식

메모 : 반복 공식에서 각 후속 항은 이전 항 또는 전체 이전 항 집합의 항으로 표현됩니다.

결과 공식은 실제로 거의 사용되지 않습니다. 예를 들어 를 얻으려면 이전 용어를 모두 거쳐야 합니다. 그리고 수학에서는 산술 수열의 n번째 항에 대한 보다 편리한 표현이 도출되었습니다. . 우리의 경우:

공식에 자연수를 대입하고 위에서 구성한 공식이 올바른지 확인하세요. 번호 순서.

비슷한 계산을 할 수 있습니다 기하학적 진행, n번째 항은 공식으로 제공됩니다. 여기서 는 첫 번째 항이고 – 분모진행. 수학 과제에서 첫 번째 항은 종종 1과 같습니다.

진행은 순서를 정한다 ;
진행 순서를 설정합니다.
진행 순서를 정한다 ;
진행 순서를 정한다 .

-1의 홀수 거듭제곱은 -1과 같고, 짝수 거듭제곱은 -1과 같다는 것을 모두가 알기를 바랍니다.

진행이라고 합니다 무한히 감소, if (마지막 두 경우).

목록에 두 명의 새로운 친구를 추가해 보겠습니다. 그 중 한 명은 방금 모니터 매트릭스를 두드렸습니다.

수학 전문 용어로 시퀀스를 "깜빡이"라고 합니다.

따라서, 시퀀스 멤버가 반복될 수 있음. 따라서 고려된 예에서 시퀀스는 두 개의 무한히 교대하는 숫자로 구성됩니다.

시퀀스가 동일한 숫자로 구성되는 경우가 발생합니까? 틀림없이. 예를 들어, "3"을 무한대로 설정합니다. 미학자의 경우 공식에 "en"이 여전히 공식적으로 나타나는 경우가 있습니다.

간단한 친구를 초대하여 춤을 추자:

"en"이 무한대로 증가하면 어떻게 되나요? 당연히 시퀀스의 멤버는 다음과 같습니다. 무한히 가까운 0에 접근합니다. 이는 이 시퀀스의 한계이며 다음과 같이 작성됩니다.

시퀀스의 극한이 0이면 호출됩니다. 극소의.

수학적 분석 이론에서는 다음과 같이 주어진다. 시퀀스 제한의 엄격한 정의소위 엡실론 이웃을 통해. 다음 기사에서는 이 정의에 대해 다룰 예정이지만 지금은 그 의미를 살펴보겠습니다.

수직선에 수열의 항과 영(극한)을 기준으로 대칭인 이웃을 그려 보겠습니다.


이제 손바닥 가장자리로 파란색 부분을 집고 축소하기 시작하여 한계(빨간색 점) 쪽으로 당깁니다. 사전 선택된 이웃에 대해 숫자는 시퀀스의 한계입니다. (원하는만큼 작음)그 안에 있을 거야 무한히 많은시퀀스의 멤버 및 그 외부 - 만 결정적인회원 수(또는 전혀 없음). 즉, 엡실론 근방은 미시적일 수도 있고 더 작을 수도 있지만 조만간 시퀀스의 "무한 꼬리"가 나타나야 합니다. 충분히해당 지역에 들어가세요.

시퀀스도 매우 작습니다. 멤버가 앞뒤로 점프하지 않고 오른쪽에서만 한계에 접근한다는 차이점이 있습니다.

당연히 극한은 다른 유한수와 같을 수 있습니다. 이는 기본 예입니다.

여기서 분수는 0이 되는 경향이 있으므로 한계는 "2"와 같습니다.

순서대로라면 유한한 한계가 있다, 그런 다음 호출됩니다. 수렴하는(특히, 극소의에 ). 그렇지 않으면 - 다른, 이 경우 두 가지 옵션이 가능합니다. 즉, 한계가 전혀 존재하지 않거나 무한합니다. 후자의 경우 시퀀스가 ​​호출됩니다. 무한히 큰. 첫 번째 단락의 예를 살펴보겠습니다.

시퀀스 ~이다 무한히 큰, 회원들은 자신있게 "플러스 무한대"를 향해 나아갑니다.

첫 번째 항과 단계의 산술 수열도 무한히 큽니다.

그건 그렇고, 단계가 0인 경우를 제외하고 모든 산술 진행도 분기됩니다. 그러한 수열의 극한은 존재하며 첫 번째 항과 일치합니다.

시퀀스의 운명은 비슷합니다.

이름에서 알 수 있듯이 무한히 감소하는 기하학적 수열은 무한히 작은:

기하수열의 분모가 이면 수열은 무한히 큽니다.

예를 들어, 멤버들이 "플러스 무한대" 또는 "마이너스 무한대"로 지칠 줄 모르고 점프하기 때문에 제한이 전혀 존재하지 않습니다. 그리고 상식과 Matan의 정리는 무언가가 어딘가에서 노력하고 있다면 이곳이 유일하게 소중한 장소임을 시사합니다.

약간의 폭로 후에 그런데 "번쩍이는 빛"이 통제할 수 없는 던지기에 대한 책임이 있다는 것이 분명해졌습니다. 그런데 이는 저절로 갈라집니다.
실제로 시퀀스의 경우 숫자 -1만 고정하는 -neighborhood를 선택하는 것은 쉽습니다. 결과적으로 무한한 수의 시퀀스 멤버("플러스 1")가 이 이웃 외부에 남아 있게 됩니다. 그러나 정의에 따르면 특정 순간(자연수)부터 수열의 "무한 꼬리"는 다음과 같아야 합니다. 충분히당신의 한계 근처로 들어가십시오. 결론: 하늘이 한계입니다.

팩토리얼은 무한히 큰순서:

게다가 비약적으로 성장하고 있으니 100자리(자리)가 넘는 숫자네요! 왜 정확히 70입니까? 그것에 대해 내 엔지니어링 마이크로 계산기는 자비를 구합니다.

컨트롤 샷을 사용하면 모든 것이 조금 더 복잡해지며 전투 사례를 분석할 강의의 실제 부분에 이르렀습니다.

하지만 이제는 최소한 두 가지 기본 교훈 수준에서 기능의 한계를 해결할 수 있어야 합니다. 제한. 솔루션의 예그리고 놀라운 한계. 많은 해결 방법이 비슷하기 때문입니다. 하지만 먼저 수열의 극한과 함수의 극한 사이의 근본적인 차이점을 분석해 보겠습니다.

시퀀스의 한계 내에서 "동적" 변수 "en"은 다음과 같은 경향이 있습니다. 플러스 무한대까지만– 자연수가 증가하는 방향으로 .
함수의 한계 내에서 "x"는 "더하기/빼기 무한대" 또는 임의의 실수 등 어디로든 지시될 수 있습니다.

후속 이산적인(불연속), 즉 개별 격리된 구성원으로 구성됩니다. 하나, 둘, 셋, 넷, 다섯, 토끼는 산책을 나갔습니다. 함수의 인수는 연속성을 특징으로 합니다. 즉, "X"는 사건 없이 원활하게 하나 또는 다른 값으로 경향이 있습니다. 그리고 그에 따라 함수값도 지속적으로 한계에 접근하게 됩니다.

때문에 이산성시퀀스 내에는 계승, "깜박이는 불빛", 진행 등과 같은 고유한 특징이 있습니다. 이제 시퀀스에 특정한 한계를 분석해 보겠습니다.

진행부터 시작해 보겠습니다.

실시예 1

수열의 극한 찾기

해결책: 무한히 감소하는 기하학적 수열과 비슷한 것인데, 정말 그럴까요? 명확성을 위해 처음 몇 가지 용어를 적어 보겠습니다.

그 이후로 우리는 그것에 대해 이야기하고 있습니다 양무한히 감소하는 기하학적 진행의 용어로, 공식으로 계산됩니다.

우리는 결정을 내립니다:

우리는 무한히 감소하는 기하학적 수열의 합에 대한 공식을 사용합니다: . 이 경우: – 첫 번째 항, – 진행의 분모.

실시예 2

수열의 처음 네 항을 쓰고 극한을 구하세요.

이는 다음에 대한 예입니다. 독립적인 결정. 분자의 불확실성을 제거하려면 산술 수열의 첫 번째 항의 합에 대한 공식을 적용해야 합니다.
, 여기서 는 첫 번째이고 a는 진행의 n번째 항입니다.

시퀀스 내에서 "en"은 항상 "+무한대" 경향이 있기 때문에 불확실성이 가장 인기 있는 것 중 하나라는 것은 놀라운 일이 아닙니다.
그리고 많은 예제는 함수 제한과 정확히 같은 방식으로 해결됩니다.!

아니면 좀 더 복잡한 것일 수도 있습니다. ? 기사의 예 3번을 확인하세요. 한계를 해결하는 방법.

공식적인 관점에서 차이점은 여기에서는 "x", 여기서는 "en"이라는 한 글자에만 있습니다.
기법은 동일합니다. 분자와 분모를 "en"으로 최대 단위로 나누어야 합니다.

또한 시퀀스 내의 불확실성은 매우 일반적입니다. 같은 기사의 예제 11-13에서 한계를 해결하는 방법을 배울 수 있습니다.

한계를 이해하려면 단원의 예 7을 참조하세요. 놀라운 한계(두 번째 주목할만한 한계는 개별적인 경우에도 유효합니다). 솔루션은 다시 한 글자 차이가 있는 카본 카피와 같을 것입니다.

다음 네 가지 예(3-6번)도 "양면"이지만 실제로는 어떤 이유로 기능 제한보다 시퀀스 제한의 특징이 더 많습니다.

실시예 3

수열의 극한 찾기

해결책: 먼저 전체 솔루션을 설명한 다음 단계별 설명을 따르세요.

(1) 분자에서는 공식을 두 번 사용합니다.

(2) 분자에 비슷한 용어를 제시합니다.

(3) 불확실성을 없애기 위해 분자와 분모를 (“en”의 최고 차수)로 나눕니다.

보시다시피 복잡한 것은 없습니다.

실시예 4

수열의 극한 찾기

스스로 해결해 볼 수 있는 예시입니다. 약식 곱셈 공식돕기 위해.

초 이내 지시적인시퀀스는 분자와 분모를 나누는 유사한 방법을 사용합니다.

실시예 5

수열의 극한 찾기

해결책동일한 구성표에 따라 정리하겠습니다.

그런데 기능에 대해서도 비슷한 정리가 적용됩니다. 제한된 기능극소 함수에 - 극소 함수가 있습니다.

실시예 9

수열의 극한 찾기

오늘 수업에서 우리가 살펴볼 엄격한 순서그리고 함수의 한계에 대한 엄격한 정의, 또한 이론적 성격의 관련 문제를 해결하는 방법을 배웁니다. 이 기사는 주로 수학적 분석 이론을 공부하기 시작했지만 고등 수학의 이 부분을 이해하는 데 어려움을 겪은 자연 과학 및 공학 전문 분야의 1학년 학생들을 대상으로 작성되었습니다. 또한이 자료는 고등학생이 쉽게 접근 할 수 있습니다.

사이트가 존재하는 수년 동안 저는 대략 다음과 같은 내용의 편지를 12통 받았습니다: "수학적 분석을 잘 이해하지 못합니다. 어떻게 해야 합니까?", "수학을 전혀 이해하지 못합니다. 공부를 그만둘까 생각 중이야.” 등등. 그리고 실제로 첫 번째 세션이 끝난 후 학생 그룹을 종종 얕보는 사람은 바로 마탄입니다. 왜 이런가요? 주제가 상상할 수 없을 정도로 복잡하기 때문에? 별말씀을요! 수학적 분석이론은 특이할 정도로 어렵지 않다. 그리고 당신은 그녀를 있는 그대로 받아들이고 사랑해야 합니다 =)

가장 어려운 경우부터 시작해 보겠습니다. 가장 먼저이자 가장 중요한 것은 공부를 포기할 필요가 없다는 것입니다. 올바르게 이해하십시오. 언제든지 그만둘 수 있습니다.-) 물론, 1~2년 후에 선택한 전문 분야로 인해 몸이 아프다면 예, 그것에 대해 생각해야 합니다. (화내지 마세요!)활동 변화에 대해. 그러나 지금은 계속할 가치가 있습니다. 그리고 "나는 아무것도 이해하지 못합니다"라는 문구를 잊어 버리십시오. 당신이 아무것도 이해하지 못하는 일은 일어나지 않습니다.

이론이 나쁘다면 어떻게 해야 할까요? 그런데 이것은 수학적 분석에만 적용되는 것이 아닙니다. 이론이 나쁘다면 먼저 실천에 진지하게 집중해야 합니다. 이 경우 두 가지 전략적 작업이 한 번에 해결됩니다.

– 첫째, 이론적 지식의 상당 부분이 실습을 통해 나타났습니다. 그래서 많은 사람들이 이론을 이해합니다... – 맞습니다! 아니요, 아니요, 당신은 그것에 대해 생각하고 있지 않습니다 =)

– 둘째, 실용적인 기술이 시험을 통과하도록 “끌어당길” 가능성이 높습니다. 설사... 하지만 너무 흥분하지는 마세요! 모든 것이 현실이며 상당히 짧은 시간 안에 모든 것이 "상승"될 수 있습니다. 수학적 분석은 고등 수학에서 제가 가장 좋아하는 부분이므로 도움의 손길을 드릴 수밖에 없습니다.

1학기 초에는 일반적으로 시퀀스 제한과 기능 제한을 다룹니다. 이것이 무엇인지 이해하지 못하거나 해결 방법을 모르시나요? 기사부터 시작하세요 기능 제한, 개념 자체를 "손으로"검토하고 가장 간단한 예를 분석합니다. 다음으로, 시퀀스 내에서, 나는 실제로 이미 엄격한 정의를 공식화했습니다.

불평등 기호와 모듈러스 외에 어떤 기호를 알고 있나요?

– 긴 수직 막대는 다음과 같습니다. "그렇게", "그렇게", "그렇게" 또는 "그렇게", 우리의 경우에는 분명히 숫자에 대해 이야기하고 있습니다. 따라서 "그러한";

– 보다 큰 모든 "en"에 대해;

– 모듈러스 기호는 거리를 의미합니다., 즉. 이 항목은 값 사이의 거리가 엡실론보다 작음을 알려줍니다.

글쎄요, 엄청 어렵나요? =)

연습을 마스터한 후 다음 단락에서 뵙기를 기대합니다.

그리고 실제로 조금 생각해 봅시다. 시퀀스의 엄격한 정의를 공식화하는 방법은 무엇입니까? ...세상에서 가장 먼저 떠오르는 것은 실용적인 수업: "수열의 극한은 수열의 구성원이 무한히 가까워지는 수입니다."

알았어, 적어보자 후속 :

그 점을 이해하는 것은 어렵지 않습니다. 후속 숫자 -1에 무한히 접근하고, 짝수 항 – "하나".

아니면 두 가지 제한이 있습니까? 그런데 왜 어떤 시퀀스에도 10개나 20개가 있을 수 없나요? 이 방법으로 멀리 갈 수 있습니다. 이와 관련하여 다음과 같이 가정하는 것이 논리적입니다. 시퀀스에 제한이 있으면 고유한 것입니다..

메모 : 시퀀스에는 제한이 없지만 두 개의 하위 시퀀스가 ​​구별될 수 있으며(위 참조) 각 하위 시퀀스에는 고유한 제한이 있습니다.

따라서 위의 정의는 지지될 수 없는 것으로 판명된다. 예, 다음과 같은 경우에 작동합니다. (실제 예제에 대한 간단한 설명에서는 올바르게 사용하지 않았습니다), 그러나 이제 우리는 엄격한 정의를 찾아야 합니다.

두 번째 시도: "시퀀스의 한계는 시퀀스의 모든 구성원이 접근하는 숫자입니다. 결정적인수량." 이것은 진실에 더 가깝지만 여전히 완전히 정확하지는 않습니다. 예를 들어, 시퀀스 항의 절반은 전혀 0에 접근하지 않습니다. 단순히 0과 동일합니다 =) 그런데 "번쩍이는 빛"은 일반적으로 두 개의 고정 값을 사용합니다.

공식을 명확히하는 것은 어렵지 않지만 또 다른 질문이 생깁니다. 정의를 수학 기호로 작성하는 방법은 무엇입니까? 과학계는 상황이 해결될 때까지 오랫동안 이 문제로 어려움을 겪었습니다. 유명한 거장, 이는 본질적으로 고전적인 수학적 분석을 엄격하게 공식화했습니다. 코시는 수술을 제안했다 주위 , 이는 이론을 크게 발전시켰습니다.

어떤 점과 그 점을 고려하십시오. 임의의-주위:

"엡실론"의 값은 항상 양수이며, 더욱이 우리는 그것을 스스로 선택할 권리가 있습니다. 이 동네에 회원이 많다고 가정해보자. (반드시 전부는 아님)어떤 순서. 예를 들어 10번째 학기가 동네에 있다는 사실을 어떻게 기록하나요? 오른쪽에 있게 해주세요. 그런 다음 점 사이의 거리가 "엡실론"보다 작아야 합니다. 그러나 "x/10"이 "a"점의 왼쪽에 있으면 차이가 음수이므로 기호를 추가해야 합니다. 기준 치수: .

정의: 다음과 같은 경우 숫자를 수열의 극한이라고 합니다. 어떠한 것도그 주변 (미리 선택됨)그런 자연수가 있다 모두더 높은 숫자를 가진 시퀀스의 멤버는 이웃 내부에 있게 됩니다.

또는 짧게 말하면: 만약

즉, 우리가 취하는 "엡실론" 값이 아무리 작더라도 조만간 시퀀스의 "무한 꼬리"가 완전히 이 근처에 있게 될 것입니다.

예를 들어 시퀀스의 "무한 꼬리" 지점의 임의의 작은 이웃에 완전히 들어갈 것입니다. 따라서 이 값은 정의에 따른 시퀀스의 한계입니다. 한계가 0인 시퀀스를 호출한다는 점을 상기시켜 드리겠습니다. 극소의.

시퀀스의 경우 더 이상 "끝없는 꼬리"라고 말할 수 없다는 점에 유의해야 합니다. 들어올 것이다"-홀수를 가진 멤버는 실제로 0과 같고 "아무데도 가지 마십시오"=) 이것이 정의에 "나타날 것"이라는 동사가 사용되는 이유입니다. 그리고 물론 이와 같은 시퀀스의 구성원도 "아무데도 가지 않습니다." 그건 그렇고, 숫자가 한계인지 확인하십시오.

이제 시퀀스에 제한이 없음을 보여 드리겠습니다. 예를 들어 점의 이웃을 생각해 보십시오. 그 이후에는 모든 용어가 주어진 이웃에 속하게 되는 그러한 숫자가 없다는 것이 절대적으로 분명합니다. 홀수 용어는 항상 "마이너스 1"로 "점프 아웃"됩니다. 비슷한 이유로 지점에는 제한이 없습니다.

연습을 통해 자료를 통합해 보겠습니다.

실시예 1

수열의 극한이 0임을 증명하십시오. 시퀀스의 모든 멤버가 점의 임의의 작은 이웃 내부에 있음을 보장하는 숫자를 지정합니다.

메모 : 많은 시퀀스의 경우 필요한 자연수는 값에 따라 달라집니다. 따라서 표기법은 입니다.

해결책: 고려하다 임의의 있어요번호 - 더 높은 번호를 가진 모든 구성원이 이 동네 내에 있게 됩니다.

필요한 숫자가 존재함을 나타내기 위해 를 통해 표현합니다.

"en" 값에 대해서는 모듈러스 기호를 제거할 수 있습니다.

우리는 수업 시간에 반복했던 불평등이 있는 "학교" 행동을 사용합니다. 선형 부등식그리고 기능 영역. 이 경우 중요한 상황은 "epsilon"과 "en"이 양수라는 것입니다.

왼쪽은 자연수에 대해 이야기하고 오른쪽은 일반적으로 분수이므로 반올림해야 합니다.

메모 : 때로는 안전을 확보하기 위해 오른쪽에 유닛을 추가하는 경우도 있지만 실제로는 과잉입니다. 상대적으로 말하자면, 반올림하여 결과를 약화시키면 가장 가까운 적합한 숫자("3")가 여전히 원래의 부등식을 충족합니다.

이제 불평등을 살펴보고 처음에 고려했던 내용을 기억해 보겠습니다. 임의의-이웃, 즉 "엡실론"은 다음과 같을 수 있습니다. 누구나양수.

결론: 임의의 작은 점 이웃에 대해 값이 발견되었습니다. . 따라서 숫자는 정의에 따라 수열의 극한입니다. Q.E.D.

그런데 얻은 결과에서 자연스러운 패턴이 명확하게 보입니다. 이웃이 작을수록 숫자가 커지고 그 이후에는 시퀀스의 모든 구성원이 이 이웃에 있게 됩니다. 그러나 "엡실론"이 아무리 작더라도 내부와 외부에는 항상 "무한 꼬리"가 있습니다. 결정적인회원 수.

당신의 인상은 어떻습니까? =) 좀 이상하다는 데 동의합니다. 하지만 엄밀히 말하면!모든 것을 다시 읽고 다시 생각해보세요.

유사한 예를 살펴보고 다른 기술 기술에 대해 알아 보겠습니다.

실시예 2

해결책: 수열의 정의에 따라 다음을 증명하는 것이 필요합니다. (크게 말해!!!).

고려해 봅시다 임의의- 주변 포인트를 확인하고, 존재합니까?자연수 – 모든 더 큰 숫자에 대해 다음 불평등이 유지됩니다.

그러한 존재를 나타내기 위해서는 “en”을 “epsilon”으로 표현해야 합니다. 모듈러스 기호 아래의 표현식을 단순화합니다.

모듈은 빼기 기호를 제거합니다.

모든 "en"의 분모는 양수이므로 막대를 제거할 수 있습니다.

혼합:

이제 추출해야 합니다. 제곱근, 그러나 문제는 일부 "엡실론"의 경우 오른쪽이 음수라는 것입니다. 이 문제를 방지하려면 강화하자모듈러스에 따른 불평등:

왜 이것이 가능합니까? 상대적으로 말하면, 조건도 만족될 것입니다. 모듈은 다음을 수행할 수 있습니다. 그냥 늘리세요원하는 번호인데 우리에게도 딱 맞을 것 같아요! 대략적으로 말하자면, 100번째가 적합하다면 200번째도 적합합니다! 정의에 따르면 다음을 표시해야 합니다. 숫자가 존재한다는 사실(적어도 일부), 그 이후에는 시퀀스의 모든 구성원이 -neighborhood에 있게 됩니다. 그런데 이것이 우리가 오른쪽이 위로 올라가는 마지막 반올림을 두려워하지 않는 이유입니다.

루트 추출:

결과를 반올림합니다.

결론: 왜냐하면 "엡실론" 값이 임의로 선택된 다음 해당 지점의 임의로 작은 이웃에 대해 값이 발견되었습니다. , 모든 더 큰 숫자에 대해 불평등이 유지됩니다. . 따라서, 우선순위. Q.E.D.

나는 충고한다 특히불평등의 강화와 약화를 이해하는 것은 수학적 분석에서 일반적이고 매우 일반적인 기술입니다. 모니터링해야 할 유일한 것은 특정 작업의 정확성입니다. 예를 들어 불평등 어떤 상황에서도 그것은 불가능하다 늦추다, 예를 들어 하나를 빼면 다음과 같습니다.

다시 말하지만, 조건에 따라 숫자가 정확히 맞으면 이전 숫자가 더 이상 맞지 않을 수 있습니다.

독립 솔루션에 대한 다음 예는 다음과 같습니다.

실시예 3

수열의 정의를 이용하여 다음을 증명하세요.

수업이 끝나면 간단한 해결책과 답변을 제공합니다.

순서대로라면 무한히 큰, 극한의 정의는 비슷한 방식으로 공식화됩니다. 점이 있으면 수열의 극한이라고 합니다. 당신이 원하는만큼 큰숫자, 모든 더 큰 숫자에 대해 불평등이 충족되는 숫자가 있습니다. 번호가 불려요 "플러스 무한대" 지점 부근:

즉, 뭐든지 큰 중요성무슨 일이 있어도 수열의 "무한한 꼬리"는 확실히 점의 -근처로 들어가고 왼쪽에는 유한한 수의 항만 남게 됩니다.

표준 예:

단축 표기법: , if

이 경우 정의를 직접 적어보세요. 올바른 버전은 강의 끝에 있습니다.

실용적인 예를 숙지하고 수열의 극한 정의를 파악한 후에는 미적분학 및/또는 강의 노트에 관한 문헌을 참조할 수 있습니다. Bohan 1권을 다운로드하는 것이 좋습니다. (간단 - 통신 학생용)그리고 피히텐홀츠 (자세하고 자세하게). 다른 저자들 중에서 저는 기술 대학을 대상으로 하는 과정을 진행하는 Piskunov를 추천합니다.

수열의 한계, 증명, 결과와 관련된 정리를 성실하게 연구하십시오. 처음에는 이론이 "흐릿하게" 보일 수 있지만 이는 정상입니다. 익숙해지기만 하면 됩니다. 그리고 많은 사람들이 그것을 맛보게 될 것입니다!

함수의 극한에 대한 엄격한 정의

같은 것부터 시작해 보겠습니다. 이 개념을 어떻게 공식화할까요? 함수의 극한에 대한 언어적 정의는 훨씬 더 간단하게 공식화됩니다. "x"가 다음과 같은 경향이 있는 경우 숫자는 함수의 극한입니다. (왼쪽, 오른쪽 모두), 해당 함수 값은 다음과 같은 경향이 있습니다. (그림 참조). 모든 것이 정상적인 것 같지만 단어는 단어이고 의미는 의미이며 아이콘은 아이콘이며 엄격한 수학적 표기법이 충분하지 않습니다. 두 번째 단락에서는 이 문제를 해결하는 두 가지 접근 방식에 대해 알아 보겠습니다.

가능한 점을 제외하고 특정 간격으로 함수를 정의하십시오. 교육 문헌에서는 일반적으로 그곳의 기능이 인정됩니다. 아니다한정된:

이 선택은 강조한다 함수 극한의 본질: "엑스" 무한히 가까운접근하고 함수의 해당 값은 다음과 같습니다. 무한히 가까운에게 . 즉, 극한의 개념은 점에 대한 “정확한 접근”을 의미하는 것이 아니라, 즉 무한히 가까운 근사, 해당 지점에서 함수가 정의되었는지 여부는 중요하지 않습니다.

함수의 극한에 대한 첫 번째 정의는 당연히 두 개의 수열을 사용하여 공식화됩니다. 첫째, 개념은 관련되어 있고, 둘째, 함수의 극한은 일반적으로 수열의 극한 이후에 연구됩니다.

순서를 고려하세요 포인트들 (그림에는 없음), 간격에 속하며 와는 다르다, 어느 수렴에게 . 그런 다음 해당 함수 값도 숫자 시퀀스를 형성하며 그 멤버는 세로축에 위치합니다.

하이네에 따른 기능의 한계 어떠한 것도일련의 점 (에 속하고 다른)가 점으로 수렴하면 함수 값의 해당 시퀀스가 ​​로 수렴됩니다.

에두아르트 하이네(Eduard Heine)는 독일의 수학자이다. ...그리고 그렇게 생각할 필요도 없습니다. 유럽에는 게이가 단 한 명뿐입니다 - Gay-Lussac =)

한계의 두 번째 정의가 만들어졌습니다... 예, 예, 당신 말이 맞습니다. 하지만 먼저 디자인을 이해해 봅시다. 임의의 지점 이웃을 고려하십시오. (“검은색” 동네). 이전 단락에 따르면 항목은 다음을 의미합니다. 어떤 가치함수는 "epsilon" 근처에 있습니다.

이제 우리는 주어진 -neighborhood에 해당하는 -neighborhood를 찾습니다. (생각 속으로 검은 점선을 왼쪽에서 오른쪽으로 그리고 위에서 아래로 그립니다). 값이 선택되었습니다. 더 작은 세그먼트의 길이를 따라, 이 경우에는 더 짧은 왼쪽 세그먼트의 길이를 따라. 또한 다음 정의에서 "라즈베리"-점의 이웃도 줄일 수 있습니다. 존재 자체가 중요하다이 동네. 마찬가지로 이 표기법은 일부 값이 "델타" 인근에 있음을 의미합니다.

코시 기능 제한: 숫자는 다음과 같은 경우 한 지점에서 함수의 극한이라고 합니다. 어떠한 것도 미리 선택된이웃 (원하는만큼 작음), 존재한다- 포인트 인근, 그런, 즉: 유일한 가치 (에 속하는)이 영역에는 다음이 포함됩니다. (빨간색 화살표)– 따라서 즉시 해당 함수 값이 -neighborhood에 들어가는 것이 보장됩니다. (파란색 화살표).

명확성을 위해 약간 즉흥적으로 만들었으므로 과도하게 사용하지 마십시오 =)

짧은 항목: , 경우

정의의 본질은 무엇입니까? 비유적으로 말하자면, -neighborhood를 무한히 줄임으로써 우리는 함수 값을 한계까지 "동반"하여 다른 곳에 접근할 수 있는 대안을 남기지 않습니다. 매우 이례적이지만 다시 한번 엄격합니다! 아이디어를 완전히 이해하려면 문구를 다시 읽어보세요.

! 주목: 공식화만 필요한 경우 하이네의 정의아니면 그냥 코시 정의제발 잊지 마세요 중요한예비 의견: "가능한 점을 제외하고 특정 간격으로 정의되는 함수를 고려하십시오.". 나는 이것을 맨 처음에 한 번만 언급했고 매번 반복하지는 않았습니다.

해당하는 수학적 분석 정리에 따르면 Heine과 Cauchy 정의는 동일하지만 두 번째 옵션이 가장 유명합니다. (그래도 그럴 거야!), '언어 제한'이라고도 합니다.

실시예 4

극한의 정의를 사용하여 다음을 증명하십시오.

해결책: 해당 점을 제외한 수직선 전체에 함수가 정의됩니다. 정의를 사용하여 특정 지점에 극한이 존재함을 증명합니다.

메모 : "델타" 이웃의 값은 "엡실론"에 따라 달라지므로 지정됩니다.

고려해 봅시다 임의의-주위. 작업은 이 값을 사용하여 다음을 확인하는 것입니다. 존재합니까?-주위, 그런, 이는 불평등으로부터 불평등이 따른다 .

이라고 가정하면 마지막 부등식을 변환합니다.
(이차 삼항식을 전개했습니다)

번호 순서 제한숫자 공간의 요소 시퀀스의 한계입니다. 숫자 공간은 거리가 요소 간 차이의 계수로 정의되는 미터법 공간입니다. 그러므로 그 번호를 이렇게 부른다. 시퀀스의 한계, 어떤 경우든 불평등에 따라 숫자가 있는 경우 .

실수 수열의 극한 개념은 매우 간단하게 공식화되며, 복소수수열의 극한의 존재는 복소수의 실수부와 허수부에 대응하는 수열의 극한이 존재하는 것과 동일합니다.

(수열의) 극한은 수학적 분석의 기본 개념 중 하나입니다. 각 실수는 원하는 값에 대한 일련의 근사치의 극한으로 표시될 수 있습니다. 숫자 체계는 이러한 일련의 개선을 제공합니다. 무리수는 주기적인 근사 시퀀스로 설명되는 반면, 무리수는 비주기적인 근사 시퀀스로 설명됩니다.

안에 수치적 방법, 유한한 수의 부호를 가진 숫자 표현이 사용되는 경우 근사 시스템의 선택이 특별한 역할을 합니다. 근사 시스템의 품질 기준은 수렴 속도입니다. 이런 점에서는 연속된 분수의 형태로 숫자를 표현하는 것이 효과적인 것으로 나타났다.

정의

번호가 불려요 숫자 순서의 한계, 시퀀스가 ​​무한대인 경우, 즉 특정 요소부터 시작하는 모든 요소의 절대값이 미리 결정된 양수보다 작습니다.

수열에 실수 형태의 극한이 있는 경우 이를 호출합니다. 수렴하는 이 번호로. 그렇지 않으면 시퀀스가 ​​호출됩니다. 다른 . 게다가 무제한이라면 그 한계는 무한대와 같다고 가정됩니다.

또한, 특정 숫자부터 시작하여 무한한 수열의 모든 요소가 양수 부호를 갖는 경우 해당 수열의 극한은 다음과 같습니다. 플러스 무한대 .

특정 숫자부터 시작하여 무한한 시퀀스의 요소에 음수 부호가 있는 경우 해당 시퀀스의 극한은 다음과 같다고 말합니다. 마이너스 무한대 .

이 정의에는 치명적인 결함이 있습니다. 극한이 무엇인지 설명하지만 극한을 계산하는 방법이나 극한의 존재에 대한 정보를 제공하지 않습니다. 이 모든 것은 아래에 증명된 극한의 속성으로부터 추론됩니다.

한계가 있는 수열의 주요 정리와 특성에 대한 공식이 제공됩니다. 시퀀스의 정의와 해당 한계를 포함합니다. 수열을 사용한 산술 연산, 부등식과 관련된 속성, 수렴 기준, 무한소 및 무한대 수열의 속성을 고려합니다.

콘텐츠

수열의 유한한계의 속성

기본 속성

점 a는 이 점의 이웃 외부에 다음이 있는 경우에만 수열의 극한입니다. 유한한 수의 요소시퀀스 또는 빈 세트.

숫자 a가 수열의 극한이 아닌 경우, 그 너머에 있는 점 a의 이웃이 있습니다. 무한한 수의 시퀀스 요소.

수열의 극한에 대한 고유성 정리. 시퀀스에 제한이 있으면 고유한 것입니다.

수열에 유한한 한계가 있는 경우 제한된.

시퀀스의 각 요소가 같은 숫자와 같다 C : 그러면 이 시퀀스에는 제한이 있습니다. 숫자와 같다씨.

순서대로라면 처음 m개의 요소를 추가, 삭제 또는 변경합니다., 이는 수렴에 영향을 미치지 않습니다.

기본 속성 증명페이지에 나와있습니다
시퀀스의 유한한계의 기본 속성 >>>.

한계가 있는 산술 연산

시퀀스와 의 유한한계가 있다고 가정합니다. 그리고 C를 상수, 즉 주어진 숫자로 둡니다. 그 다음에
;
;
;
, 만약에 .
몫의 경우 모든 n에 대해 다음과 같이 가정됩니다.

그렇다면.

산술 속성 증명페이지에 나와있습니다
시퀀스의 유한 극한의 산술 속성 >>>.

불평등과 관련된 속성

특정 숫자부터 시작하는 수열의 요소가 부등식 을 충족하면 이 수열의 극한 a도 부등식 을 충족합니다.

특정 숫자부터 시작하는 수열의 요소가 닫힌 구간(세그먼트)에 속하면 극한 a도 이 구간에 속합니다.

특정 숫자부터 시작하는 시퀀스의 요소와 및 요소가 부등식을 만족하는 경우 , 그러면 .

그리고 어떤 숫자부터 시작하면 , 그러면 .
특히, 어떤 숫자에서 시작하는 경우,
그렇다면 ;
그렇다면 .

그렇다면.

순리에 맡기다. 만약 < b , 그러면 이런 게 있어요 자연수 N, 이는 모든 n에 대해 > 엔불평등이 유지됩니다.

부등식과 관련된 속성 증명페이지에 나와있습니다
불평등과 관련된 시퀀스 한계의 속성 >>>.

무한히 크고 극미한 시퀀스

극미량 시퀀스

무한소 시퀀스는 극한이 0인 시퀀스입니다.
.

합과 차유한한 수의 극소 수열은 극소 수열입니다.

제한된 시퀀스의 곱무한소에서 무한소 수열입니다.

유한수의 곱무한소 시퀀스는 무한소 시퀀스입니다.

수열이 극한 a를 갖기 위해서는 가 극미량 수열인 것이 필요하고 충분합니다.

무한 시퀀스의 속성 증명페이지에 나와있습니다
극소수 시퀀스 - 정의 및 속성 >>>.

무한히 큰 시퀀스

무한히 큰 수열은 무한히 큰 한계를 갖는 수열입니다. 즉, 임의의 양수에 대해 모든 자연수에 대해 불평등이 유지되는 자연수 N이 있는 경우
.
이 경우 그들은 다음과 같이 씁니다.
.
또는 .
그들은 그것이 무한대인 경향이 있다고 말합니다.

어떤 숫자 N부터 시작하면
.
그렇다면
.

수열이 무한히 크면 어떤 숫자 N부터 시작하여 무한히 작은 수열이 정의됩니다. 가 0이 아닌 요소를 가진 무한소 시퀀스인 경우 시퀀스는 무한히 큽니다.

수열이 무한히 크고 수열이 제한되어 있는 경우
.

시퀀스 요소의 절대 값이 아래에서 양수()로 제한되고 0이 아닌 요소가 있는 무한소인 경우
.

세부사항 예제가 포함된 무한히 큰 시퀀스 정의페이지에 나와있습니다
무한히 큰 시퀀스의 정의 >>>.
무한히 큰 시퀀스의 속성 증명페이지에 나와있습니다
무한히 큰 시퀀스의 속성 >>> .

시퀀스 수렴 기준

단조로운 시퀀스

엄격하게 증가하는 수열은 모든 요소가 다음 부등식을 만족하는 수열입니다.
.

유사한 부등식은 다른 단조 수열을 정의합니다.

엄밀히 말하면 내림차순:
.
비감소 시퀀스:
.
비증가 시퀀스:
.

따라서 엄격하게 증가하는 수열도 감소하지 않는 수열입니다. 엄격하게 감소하는 수열도 증가하지 않습니다.

단조 수열은 감소하지 않거나 증가하지 않는 수열입니다.

단조 수열은 적어도 한 쪽에서 값으로 제한됩니다. 감소하지 않는 시퀀스는 아래로 제한됩니다: . 비증가 시퀀스는 위에서부터 제한됩니다: .

바이어슈트라스의 정리. 감소하지 않는(증가하지 않는) 수열이 유한 극한을 갖기 위해서는 위에서(아래에서) 경계를 갖는 것이 필요하고 충분합니다. 여기서 M은 어떤 숫자입니다.

감소하지 않는(증가하지 않는) 수열은 아래(위로부터)로 제한되므로 Weierstrass의 정리는 다음과 같이 다시 표현할 수 있습니다.

단조 수열이 유한한 한계를 갖기 위해서는 경계가 있는 것이 필요하고 충분합니다.

단조 무한 시퀀스감소하지 않고 증가하지 않는 시퀀스와 동일한 무한 제한이 있습니다.

Weierstrass의 정리 증명페이지에 주어진
단조 수열의 한계에 관한 Weierstrass의 정리 >>>.

시퀀스 수렴에 대한 코시 기준

코시 상태
일관성은 만족합니다 코시 상태, 조건을 만족하는 모든 자연수 n과 m에 대해 부등식이 성립하는 자연수가 있는 경우
.

기본 수열은 다음을 만족하는 수열입니다. 코시 상태.

시퀀스 수렴에 대한 코시 기준. 수열이 유한 극한을 갖기 위해서는 코시 조건을 만족하는 것이 필요하고 충분합니다.

코시 수렴 기준의 증명페이지에 주어진
시퀀스의 수렴에 대한 코시 기준 >>>.

하위 시퀀스

볼차노-바이어슈트라스 정리. 모든 경계 수열에서 수렴 부분 수열을 추출할 수 있습니다. 그리고 무한한 시퀀스에서 - 또는 로 수렴하는 무한히 큰 하위 시퀀스입니다.

Bolzano-Weierstrass 정리의 증명페이지에 주어진
볼차노-바이어슈트라스 정리 >>> .

하위 수열과 부분 극한의 정의, 정리, 속성은 해당 페이지에서 논의됩니다.
시퀀스의 하위 시퀀스 및 부분 제한 >>>.

참고자료:
센티미터. 니콜스키. 수학적 분석 과정. 1권. 모스크바, 1983년.
L.D. Kudryavtsev. 수학적 분석 과정. 1권. 모스크바, 2003.
V.A. 조리치. 수학적 분석. 1부. 모스크바, 1997.
V.A. 일린, E.G. 포즈냐크. 수학적 분석의 기초. 1부. 모스크바, 2005.

또한보십시오:

수열의 유한 극한의 정의가 제공됩니다. 관련 속성과 동등한 정의에 대해 논의합니다. 점 a가 수열의 한계가 아니라는 정의가 제공됩니다. 정의를 사용하여 극한의 존재가 증명되는 예가 고려됩니다.

콘텐츠

또한보십시오: 시퀀스 제한 - 기본 정리 및 속성
불평등의 주요 유형과 그 속성

여기서 우리는 수열의 유한 극한의 정의를 살펴보겠습니다. 무한대로 수렴하는 수열의 경우는 "무한히 큰 수열의 정의" 페이지에서 논의됩니다.

수열의 극한은 임의의 양수 ε에 대해 숫자 a입니다. > 0 모든 자연수 n > N ε에 대해 불평등이 발생하도록 ε에 의존하는 자연수 N ε이 있습니다.
| xn-a|< ε .
여기서 xn은 숫자 n을 갖는 수열의 요소입니다. 시퀀스 제한다음과 같이 표시됩니다:
.
또는 .

불평등을 변형해 보겠습니다.
;
;
.

ε - 점 a의 이웃은 열린 구간(a - ε, a + ε)입니다. 수렴 수열은 극한이 있는 수열입니다. 순서도 있다고 하네요 수렴에. 발산수열은 제한이 없는 수열이다.

정의에 따르면 수열에 극한 a가 있으면 점 a의 어떤 ε-이웃을 선택하더라도 그 한계를 넘어서는 수열의 요소는 유한한 수만 있을 수 있거나 전혀 없을 수 있습니다(빈 세트). 그리고 모든 ε-이웃에는 무한한 수의 요소가 포함되어 있습니다. 사실, 특정 숫자 ε을 부여하면 숫자 ε을 갖게 됩니다. 따라서 숫자가 있는 수열의 모든 요소는 정의에 따라 점 a의 ε - 인근에 위치합니다. 첫 번째 요소는 어디에나 위치할 수 있습니다. 즉, ε-이웃 외부에는 요소, 즉 유한한 수보다 더 많은 것이 있을 수 없습니다.

또한 차이가 단조롭게 0이 되는 경향이 있을 필요는 없습니다. 즉, 항상 감소해야 합니다. 이는 비단조적으로 0이 되는 경향이 있습니다. 즉, 로컬 최대값을 가지며 증가하거나 감소할 수 있습니다. 그러나 n이 증가함에 따라 이러한 최대값은 0이 되는 경향이 있습니다(아마도 단조롭지 않을 수도 있음).

존재와 보편성의 논리적 기호를 사용하여 극한의 정의는 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
(1) .

a가 극한이 아닌지 확인

이제 숫자 a가 수열의 극한이 아니라는 반대 진술을 고려하십시오.

번호 a 순서의 한계는 아니다, 임의의 자연수 n에 대해 그러한 자연수 m이 존재하는 경우 > 엔, 무엇
.

논리 기호를 사용하여 이 문장을 작성해 보겠습니다.
(2) .

다음과 같은 진술 숫자 a는 수열의 한계가 아닙니다, 즉
당신은 그러한 ε - 점 a의 이웃을 선택할 수 있으며, 그 외부에는 시퀀스의 무한한 수의 요소가 있을 것입니다.

예를 살펴 보겠습니다.. 공통 요소가 있는 시퀀스를 지정해 보겠습니다.
(3)
점의 모든 이웃에는 무한한 수의 요소가 포함됩니다. 그러나 이 점은 수열의 한계가 아닙니다. 점의 이웃에는 무한한 수의 요소가 포함되어 있기 때문입니다. ε - ε =인 점의 이웃을 살펴보겠습니다. 1 . 이 간격이 됩니다 (-1, +1) . n이 짝수인 첫 번째 요소를 제외한 모든 요소는 이 간격에 속합니다. 그러나 홀수 n을 갖는 모든 요소는 부등식 x n을 만족하므로 이 구간 밖에 있습니다. > 2 . 홀수 요소의 수는 무한하므로 선택한 이웃 외부에는 무한한 수의 요소가 있습니다. 그러므로 요점은 수열의 한계가 아니다.

이제 우리는 진술 (2)를 엄격히 준수하여 이것을 보여줄 것입니다. 점은 수열 (3)의 한계가 아닙니다. 임의의 자연 n에 대해 부등식이 성립하는 홀수 n이 존재하기 때문입니다.
.

또한 어떤 점 a도 이 수열의 극한이 될 수 없다는 것도 보여질 수 있습니다. 우리는 항상 점 0이나 점 2를 포함하지 않는 점 a의 ε - 이웃을 선택할 수 있습니다. 그리고 선택한 이웃 외부에는 무한한 수의 시퀀스 요소가 있습니다.

시퀀스 제한의 동등한 정의

ε - 이웃의 개념을 확장하면 수열의 극한에 대한 동등한 정의를 제공할 수 있습니다. ε-이웃 대신에 점 a의 이웃이 포함되어 있으면 동등한 정의를 얻을 수 있습니다. 점의 이웃은 해당 점을 포함하는 열린 구간입니다. 수학적으로 지점 근처는 다음과 같이 정의됩니다: , 여기서 ε 1 그리고 ε 2 - 임의의 양수.

그러면 극한의 동등한 정의는 다음과 같습니다.

수열의 극한은 수열의 어떤 이웃에 대해 수열의 모든 요소가 이 이웃에 속하도록 하는 자연수 N이 있는 경우 수 a입니다.

이 정의는 확장된 형태로 표시될 수도 있습니다.

수열의 극한은 임의의 양수에 대해 수 a이고, 모든 자연수에 대해 불평등이 유지되는 에 의존하는 자연수 N이 있는 경우입니다.
.

정의의 동등성 증명

위에 제시된 수열의 극한에 대한 두 가지 정의가 동일하다는 것을 증명해 보겠습니다.

수 a를 첫 번째 정의에 따른 수열의 극한으로 둡니다. 이는 임의의 양수 ε에 대해 다음 부등식이 충족되는 함수가 있음을 의미합니다.
(4) 에 .

두 번째 정의에 따라 숫자 a가 수열의 극한임을 보여드리겠습니다. 즉, 우리는 임의의 양수 ε에 대해 그러한 함수가 있다는 것을 보여줄 필요가 있습니다. 1 그리고 ε 2 다음 부등식이 충족됩니다.
(5) 에 .

두 개의 양수를 봅시다: ε 1 그리고 ε 2 . 그리고 ε을 그 중 가장 작은 것으로 둡니다. 그 다음에 ; ; . (5)에서 이것을 사용해 봅시다:
.
그러나 부등식은 에 대해 만족됩니다. 그러면 부등식 (5)도 에 대해 만족됩니다.

즉, 우리는 임의의 양수 ε에 대해 부등식(5)이 충족되는 함수를 찾았습니다. 1 그리고 ε 2 .
첫 번째 부분이 입증되었습니다.

이제 숫자 a를 두 번째 정의에 따른 수열의 극한으로 둡니다. 이는 임의의 양수 ε에 대해 다음과 같은 함수가 있음을 의미합니다. 1 그리고 ε 2 다음 부등식이 충족됩니다.
(5) 에 .

숫자 a가 첫 번째 정의에 의한 수열의 극한임을 보여드리겠습니다. 이렇게 하려면 . 그러면 다음과 같은 부등식이 성립합니다.
.
이는 의 첫 번째 정의에 해당합니다.
정의의 동등성이 입증되었습니다.

예

실시예 1

그것을 증명하십시오.

(1) .
우리의 경우에는 ;
.

.
부등식의 성질을 이용해보자. 그렇다면 만약 그리고 , 그렇다면
.

.
그 다음에
에 .
이는 숫자가 주어진 시퀀스의 한계임을 의미합니다.
.

실시예 2

수열의 극한 정의를 사용하여 다음을 증명하십시오.
.

수열의 극한에 대한 정의를 적어 보겠습니다.
(1) .
우리의 경우 ;
.

양수를 입력하고 :
.
부등식의 성질을 이용해보자. 그렇다면 만약 그리고 , 그렇다면
.

즉, 양수에 대해 다음과 같거나 큰 자연수를 취할 수 있습니다.
.
그 다음에
에 .
.

실시예 3

.

, 이라는 표기법을 소개합니다.
차이점을 변형해 보겠습니다.
.
자연 n의 경우 = 1, 2, 3, ... 우리는:
.

수열의 극한에 대한 정의를 적어 보겠습니다.
(1) .
양수를 입력하고 :
.
그렇다면 만약 그리고 , 그렇다면
.

즉, 양수에 대해 다음과 같거나 큰 자연수를 취할 수 있습니다.
.
여기서
에 .
이는 숫자가 시퀀스의 한계임을 의미합니다.
.

실시예 4

수열의 극한 정의를 사용하여 다음을 증명하십시오.
.

수열의 극한에 대한 정의를 적어 보겠습니다.
(1) .
우리의 경우 ;
.

양수를 입력하고 :
.
그렇다면 만약 그리고 , 그렇다면
.

즉, 양수에 대해 다음과 같거나 큰 자연수를 취할 수 있습니다.
.
그 다음에
에 .
이는 숫자가 시퀀스의 한계임을 의미합니다.
.

참고자료:
L.D. Kudryavtsev. 수학적 분석 과정. 1권. 모스크바, 2003.
센티미터. 니콜스키. 수학적 분석 과정. 1권. 모스크바, 1983년.

또한보십시오: