숫자 시리즈: 기본 개념, 정의 및 예. 숫자 시리즈: 정의, 속성, 수렴의 징후, 예, 솔루션. 적분 코시 테스트

소개

방법론 매뉴얼은 기술 학교의 수학 교사와 모든 전문 분야의 2학년 학생을 대상으로 합니다.

이 논문은 계열 이론의 기본 개념을 개괄적으로 설명합니다. 이론 자료는 중등 직업 교육에 대한 국가 교육 표준의 요구 사항을 충족합니다(교육부). 러시아 연방. 엠., 2002).

전체 주제에 대한 이론적 자료의 발표에는 수많은 예와 문제에 대한 고려가 수반되며, 접근 가능하고 최대한 엄격한 언어로 진행됩니다. 매뉴얼 마지막 부분에는 학생들이 자제력 모드에서 수행할 수 있는 예시와 작업이 나와 있습니다.

본 매뉴얼은 파트타임 및 풀타임 학생을 대상으로 작성되었습니다.

기술 학교 학생의 훈련 수준과 기술 학교에서 고등 수학을 통과하기 위해 프로그램에서 할당한 극히 제한된 시간(12시간 + 4파운드)을 고려할 때, 엄격한 결론은 동화에 큰 어려움을 초래합니다. , 는 생략되어 예시만 고려하도록 제한합니다.

기본 개념

예를 들어, 다양한 함수, 미분 및 적분의 조합 형태로 수학적 용어로 제시된 문제에 대한 해결책은 "숫자로 변환"할 수 있어야 하며, 이는 가장 흔히 최종 답이 됩니다. 이를 위해 다양한 수학 분야에서 다양한 방법이 개발되었습니다.

실제 사용을 위해 충분한 정확도로 잘 제기된 문제를 해결할 수 있는 수학 분야를 계열 이론이라고 합니다.

비록 급수이론과의 연관성 밖에서 수학적 분석의 미묘한 개념이 등장하더라도, 그것은 즉시 급수에 적용되어 이러한 개념의 중요성을 검증하는 도구로 사용되었습니다. 이런 상황은 오늘날까지 계속되고 있다.

형태의 표현

여기서 ;;…;;…은 시리즈의 구성원입니다. - n번째또는 계열의 공통 용어를 무한 계열(시리즈)이라고 합니다.

시리즈의 구성원이 다음과 같은 경우:

I. 숫자 시리즈

1.1. 숫자 계열의 기본 개념.

숫자 계열은 다음 형식의 합입니다.

, (1.1)

여기서 시리즈의 구성원이라고 불리는 ,,,…,,…은 무한 시퀀스를 형성합니다. 용어는 계열의 공통 용어라고합니다.

급수의 첫 번째 항(1.1)으로 구성된 것을 이 급수의 부분합이라고 합니다.

각 행은 일련의 부분합과 연관될 수 있습니다. .

만약, 숫자가 무한히 증가한다면 N계열의 부분 합이 극한에 가까워지는 경우 계열을 수렴이라고 하며 수를 수렴 계열의 합이라고 합니다.

이 항목은 다음과 같습니다.

계열(1.1)의 부분합을 무제한으로 증가시키면 N유한 극한(또는 경향이 있음)을 가지지 않는 경우 이러한 계열을 호출합니다. 다른 .

행의 경우 수렴하는 , 충분히 큰 값 N 은 계열의 합에 대한 대략적인 표현입니다. 에스.

차이점을 시리즈의 나머지 부분이라고 합니다. 계열이 수렴하면 나머지가 0이 되는 경향이 있습니다. 즉, 그 반대로 나머지가 0이 되는 경향이 있으면 계열이 수렴합니다.

1.2. 숫자 시리즈의 예.

예 1. 일련의 형식

(1.2)

~라고 불리는 기하학적 .

기하급수는 기하수열의 항으로 형성됩니다.

첫 번째 금액이 합산된 것으로 알려져 있습니다. N회원 분명히: 이 N-계열의 번째 부분합(1.2).

가능한 경우:

시리즈(1.2)는 다음과 같은 형식을 취합니다.

,시리즈는 다양합니다.

시리즈(1.2)는 다음과 같은 형식을 취합니다.

제한이 없으며 시리즈가 다양합니다.

- 유한한 수이면 급수는 수렴합니다.

- 시리즈가 다양해요.

따라서 이 급수는 에서 수렴하고 에서 발산합니다.

예 2. 일련의 형식

(1.3)

~라고 불리는 고조파 .

이 계열의 부분합을 적어 보겠습니다.

해당 금액은 다음과 같이 제시된 금액보다 큽니다.

또는 .

그렇다면 , 또는 .

그러므로 만약 , 그렇다면 , 즉 고조파 계열이 발산합니다.

예 3. 일련의 형식

(1.4)

~라고 불리는 일반화된 고조파 .

이면 이 계열은 발산하는 조화 계열로 변합니다.

이면 이 급수의 항은 조화 급수의 해당 항보다 크므로 발산합니다. 우리가 기하 급수를 가질 때 ; 그것은 수렴한다.

따라서 일반화된 고조파 급수는 에서 수렴하고 에서 발산합니다.

1.3. 융합의 필요충분기준.

계열의 수렴에 필요한 신호입니다.

계열은 숫자가 무한정 증가함에 따라 공통항이 0이 되는 경향이 있는 경우에만 수렴할 수 있습니다.

이면 계열이 발산합니다. 이는 계열 발산의 충분한 신호입니다.

양의 항이 있는 계열의 수렴에 대한 충분한 징후입니다.

계열을 긍정적인 용어와 비교하는 표시입니다.

연구 중인 계열은 해당 항이 분명히 수렴하는 다른 계열의 해당 항을 초과하지 않으면 수렴합니다. 연구 중인 계열은 그 구성원이 명백하게 분기되는 다른 계열의 해당 구성원을 초과하는 경우 분기됩니다.

달랑베르 징후.

긍정적인 용어가 포함된 시리즈의 경우

조건이 만족되면 급수는 에서 수렴하고 에서 발산합니다.

D'Alembert의 테스트는 다음과 같은 경우 답을 제공하지 않습니다. 이 경우 시리즈를 연구하기 위해 다른 기술이 사용됩니다.

수업 과정.

주어진 공통 용어를 기반으로 시리즈를 작성하십시오.

,,,…라고 가정하면 무한한 숫자 시퀀스가 있습니다.

해당 용어를 추가하면 시리즈를 얻습니다.

동일한 작업을 수행하여 시리즈를 얻습니다.

1,2,3,... 값을 제공하고 이를 고려하여,,,..., 우리는 시리즈를 얻습니다.

찾다 N-주어진 첫 번째 멤버에 따른 시리즈의 번째 멤버:

계열 항의 분모는 처음부터 짝수입니다. 따라서, N-시리즈의 번째 항은 형식을 갖습니다.

계열 구성원의 분자는 자연 계열의 숫자를 형성하고 해당 분모는 자연 계열의 숫자를 형성하며 해당 분모는 3부터 시작하는 자연 계열의 숫자를 형성합니다. 기호는 법칙에 따라 또는 다음에 따라 번갈아 나타납니다. 법에. 수단, N-계열의 번째 항은 형식을 갖습니다. 또는 .

필요한 수렴 테스트와 비교 테스트를 사용하여 계열의 수렴을 조사합니다.

;

우리는 찾는다 .

계열의 수렴에 필요한 기준은 만족하지만, 수렴 문제를 해결하려면 수렴에 대한 충분기준 중 하나를 적용해야 합니다. 이 급수를 기하 급수와 비교해 보겠습니다.

그 이후로 수렴합니다.

두 번째부터 시작하여 이 급수의 항을 기하학적 급수의 해당 항과 비교하여 부등식을 얻습니다.

저것들. 두 번째부터 시작하는 이 급수의 항은 기하 급수의 항보다 상응하게 작으며, 이는 이 급수가 수렴한다는 것을 의미합니다.

여기서 계열의 발산에 대한 충분한 기준이 충족됩니다. 따라서 시리즈는 다양합니다.

우리는 찾는다 .

계열이 수렴하는 데 필요한 기준이 만족됩니다. 이 계열을 일반화 조화 계열과 비교해 보겠습니다.

이는 수렴하므로 주어진 급수도 수렴합니다.

d'Alembert의 검정을 사용하여 계열의 수렴을 조사합니다.

;

대신 계열의 공통 용어로 대체 N숫자 아니오 1, 우리는 . 번째 항의 비율의 극한을 찾아봅시다. N-뮤 회원:

그러므로 이 계열은 수렴한다.

이는 이 계열이 갈라진다는 것을 의미합니다.

저것들. 행이 갈라집니다.

II. 교대 시리즈

2.1 교대 계열의 개념.

숫자 시리즈

~라고 불리는 교대 기호 , 구성원 중에 양수와 음수가 모두 있는 경우.

숫자 시리즈가 호출됩니다. 신호 교환 , 인접한 두 용어에 반대 부호가 있는 경우.

여기서 모두(즉, 양수 용어와 음수 용어가 차례로 서로 이어지는 계열)입니다. 예를 들어,

;

교대 기호가 있는 계열의 경우 충분한 수렴 기호가 있습니다(1714년 라이프니츠가 I. 베르누이에게 보낸 편지에서 확립함).

2.2 라이프니츠의 검정. 계열의 절대 및 조건부 수렴.

정리(라이프니츠 테스트).

다음과 같은 경우 교대 계열이 수렴됩니다.

후속 절대값계열의 항은 단조롭게 감소합니다. 즉, ;

시리즈의 일반 용어는 0이 되는 경향이 있습니다.

이 경우 급수의 합 S는 부등식을 충족합니다.

노트.

형태의 교대 시리즈 연구

(음의 첫 번째 항 포함)은 계열을 연구하기 위해 모든 항을 곱하여 감소됩니다. .

라이프니츠 정리의 조건을 만족하는 급수를 호출합니다. 라이프니츠의 (또는 라이프니츠 시리즈).

비율을 사용하면 합계를 대체할 때 발생하는 오류를 간단하고 편리하게 추정할 수 있습니다. 에스부분합으로 주어진 계열을 계산합니다.

버려진 계열(나머지)도 교대 계열이다. , 모듈러스의 합은 이 시리즈의 첫 번째 항보다 작습니다. 즉, 오류는 버려진 항 중 첫 번째 항의 모듈러스보다 작습니다.

예. 계열의 합을 대략적으로 계산합니다.

해결책: 이 시리즈는 라이프니츠 유형입니다. 맞습니다. 당신은 쓸 수 있습니다:

5명의 멤버를 모집합니다. 교체 가능

작은 실수를 해보자

어떻게 . 그래서,.

교대 계열의 경우 수렴에 대한 다음과 같은 일반적인 충분 기준이 유지됩니다.

정리. 교대 시리즈를 제공하자

계열이 수렴하는 경우

주어진 계열의 항 모듈로 구성되면 교대 계열 자체가 수렴됩니다.

교대 기호 계열에 대한 라이프니츠 수렴 테스트는 교대 기호 계열의 수렴에 대한 충분한 기준 역할을 합니다.

교대 계열을 호출합니다. 절대적으로 수렴 , 구성원의 절대값으로 구성된 계열이 수렴하는 경우, 즉 모든 절대적으로 수렴하는 계열은 수렴합니다.

교대 계열이 수렴하지만 해당 항의 절대값으로 구성된 계열이 발산하는 경우 이 계열을 호출합니다. 조건부로 (절대적으로는 아님) 수렴.

2.3. 수업 과정.

교대 계열의 수렴(절대 또는 조건부)을 검사합니다.

그리고

따라서 라이프니츠의 기준에 따르면 급수는 수렴합니다. 이 급수가 절대적으로 수렴하는지 조건부로 수렴하는지 알아봅시다.

열 는 주어진 급수의 절대값으로 구성되어 발산하는 조화급수이다. 따라서 이 급수는 조건부로 수렴합니다.

이 계열의 항은 절대값이 단조롭게 감소합니다.

, 하지만

라이프니츠의 검정이 성립하지 않기 때문에 급수가 발산합니다.

라이프니츠의 테스트를 사용하면 다음을 얻습니다.

저것들. 시리즈는 수렴합니다.

이것은 수렴하는 형태의 기하학적 급수입니다. 그러므로 이 급수는 절대적으로 수렴한다.

라이프니츠 테스트를 사용하면

;

, 즉. 시리즈는 수렴합니다.

이 계열 항의 절대값으로 구성된 계열을 고려해 보겠습니다.

, 또는

이것은 발산하는 일반화된 고조파 급수입니다. 따라서 이 급수는 조건부로 수렴합니다.

III. 기능 범위

3.1. 기능성 시리즈의 개념.

구성원이 다음의 함수인 계열을 호출합니다. 기능의 :

특정 값을 제공하면 숫자 시리즈를 얻습니다.

이는 수렴할 수도 있고 발산할 수도 있습니다.

결과 숫자 계열이 수렴하면 점을 호출합니다. 수렴점 기능 범위; 시리즈가 분기되는 경우 - 분기점 기능 범위.

함수 계열이 수렴하는 인수의 숫자 값 집합을 융합의 영역 .

함수 계열의 수렴 영역에서 그 합은 다음과 같은 함수입니다.

이는 평등에 의해 수렴 영역에서 정의됩니다.

, 어디

계열의 부분 합입니다.

예. 계열의 수렴 영역을 찾으십시오.

해결책. 이 시리즈는 분모를 갖는 기하학적 수열의 시리즈입니다. 결과적으로, 이 급수는 에서 수렴합니다. 즉, 모두 앞에서; 시리즈의 합은 다음과 같습니다.

, 에 .

3.2. 파워 시리즈.

거듭제곱 계열은 다음 형식의 계열입니다.

숫자는 어디에 있나요? 호출된다 계열의 계수 , 이 용어는 시리즈의 공통 용어입니다.

거듭제곱 계열의 수렴 영역은 계열이 수렴하는 모든 값의 집합입니다.

번호가 불려요 수렴 반경 거듭제곱 계열은 계열이 수렴하고 더욱이 절대적으로 계열이 발산하는 경우입니다.

d'Alembert의 부호를 사용하여 수렴 반경을 찾아보겠습니다.

(의존하지 않음)

저것들. 만약에 파워 시리즈는 이 조건을 만족하는 것에 대해 수렴하고 에 대해 발산합니다.

제한이 있는 경우에는 다음과 같습니다.

그러면 계열의 수렴 반경은 이 한계와 같고 거듭제곱 계열은 에서 수렴합니다. 즉, 라는 간격으로 수렴의 간격(간격).

이면 멱급수는 한 점으로 수렴합니다.

구간의 끝에서 계열은 수렴할 수 있지만(절대적으로 또는 조건부로) 발산할 수도 있습니다.

에서 멱급수의 수렴은 수렴 테스트 중 하나를 사용하여 연구됩니다.

3.3. 수업 과정.

시리즈의 수렴 영역을 찾으십시오.

해결책. 이 계열의 수렴 반경을 찾아보겠습니다.

결과적으로 이 계열은 절대적으로 전체 수직선에 수렴합니다.

해결책. d'Alembert 기호를 사용해 봅시다. 이 시리즈에는 다음이 포함됩니다.

급수는 또는 이면 절대적으로 수렴합니다. 수렴 구간의 끝에서 계열의 동작을 연구해 보겠습니다.

시리즈가 나오면

시리즈가 나오면 - 이것도 수렴하는 라이프니츠 급수이다. 결과적으로 원래 계열의 수렴 영역은 세그먼트입니다.

해결책. 계열의 수렴 반경을 찾아보겠습니다.

결과적으로, 시리즈는 다음과 같이 수렴합니다. 에.

우리는 시리즈를 받아들인다 , 이는 라이프니츠 기준에 따라 수렴됩니다.

우리는 다양한 시리즈를 취합니다

결과적으로 원래 계열의 수렴 영역은 간격입니다.

IV. 분해 기본 기능매클로린 시리즈에서.

애플리케이션의 경우 이 기능을 거듭제곱 시리즈로 확장할 수 있는 것이 중요합니다. 함수를 멱급수의 합으로 표현합니다.

함수에 대한 테일러 급수는 다음 형식의 거듭제곱 급수입니다.

이면 Taylor 시리즈의 특별한 경우를 얻습니다.

라고 불리는 매클로린 근처 .

수렴구간 내의 멱급수는 항별로 미분하고 원하는 만큼 적분할 수 있으며, 결과로 나오는 계열은 원래 계열과 동일한 수렴구간을 갖습니다.

다항식의 덧셈과 곱셈 규칙에 따라 두 개의 멱급수를 항별로 더하고 곱할 수 있습니다. 이 경우 결과로 생성되는 새 계열의 수렴 간격은 원래 계열의 수렴 간격의 일반적인 부분과 일치합니다.

함수를 Maclaurin 계열로 확장하려면 다음이 필요합니다.

점에서 함수의 값과 그 연속적인 도함수를 계산합니다. 즉,,,...,;

함수의 값과 그 연속 도함수를 매클로린 급수 공식에 대입하여 매클로린 급수를 구성합니다.

공식을 사용하여 결과 계열의 수렴 간격을 찾습니다.

, .

예 1. 함수를 Maclaurin 계열로 확장합니다.

해결책. 왜냐하면 , 확장에서 로 바꾸면 다음과 같은 결과를 얻습니다.

예 2. 함수의 매클로린 급수 작성 .

해결책. 이후 , 다음으로 바꾸는 공식을 사용하여 다음을 얻습니다.

예 3. Maclaurin 계열의 함수를 확장합니다.

해결책. 공식을 사용해 봅시다. 왜냐하면

, 다음으로 대체하면 다음을 얻습니다.

, 또는

어디, 즉 .

V. 학생들의 자기통제를 위한 실천과제.

계열 비교 검정을 이용하여 수렴성 확립

조건부로 수렴합니다.

절대적으로 수렴합니다.

;

Ⅶ. 역사적 참고자료.

많은 문제를 해결하는 것은 함수와 적분의 값을 계산하거나 알 수 없는 함수의 도함수 또는 미분을 포함하는 미분 방정식을 푸는 것으로 귀결됩니다.

그러나 많은 경우 이러한 수학적 연산을 정확하게 실행하는 것은 매우 어렵거나 불가능한 것으로 드러납니다. 이러한 경우 계열을 사용하면 원하는 정확도로 많은 문제에 대한 대략적인 솔루션을 얻을 수 있습니다.

시리즈는 함수, 적분 및 미분 방정식의 해를 대략적으로 계산하기 위한 간단하고 고급 수학적 분석 도구입니다.

그리고 오른쪽에는 기능 행이 있습니다.

"" 기호를 등호로 대체하려면 특히 등호 오른쪽에 있는 항 수의 무한대 및 계열의 수렴 영역과 관련된 몇 가지 추가 고려 사항을 수행해야 합니다.

Taylor 공식이 Maclaurin 공식이라고 불리는 형태를 취할 때:

뉴턴의 학생인 Colin Maclaurin(1698 – 1746)은 그의 저서 “Treatise on Fluxions”(1742)에서 분석 함수를 표현하는 거듭제곱 급수는 유일한 것이며, 그러한 함수에 의해 생성되는 테일러 급수가 될 것임을 확립했습니다. . 뉴턴 이항식에서 거듭제곱의 계수는 값입니다. .

그래서 18세기에 계급이 생겨났습니다. 무한한 미분을 허용하는 함수를 표현하는 방법입니다. 그러나 급수로 표현되는 함수를 합이라고 부르지 않았으며, 당시에는 일반적으로 수치적 또는 함수적 급수의 합이 무엇인지 아직 결정되지 않았으며 이러한 개념을 도입하려는 시도만 있었습니다.

예를 들어, L. Euler(1707-1783)는 함수에 해당하는 거듭제곱 계열을 작성하여 변수에 특정 값을 부여했습니다. 결과는 숫자 시리즈였습니다. 오일러는 이 급수의 합을 해당 지점의 원래 함수 값으로 간주했습니다. 그러나 이것이 항상 사실은 아닙니다.

과학자들은 발산 계열에 합이 없다는 사실을 18세기에야 19세기에야 깨닫기 시작했습니다. 많은 사람들, 특히 L. Euler는 수렴과 발산의 개념에 대해 많은 작업을 했습니다. 오일러는 공통항이 0이 되는 경향이 있는 경우 급수를 수렴이라고 불렀습니다.

발산 급수 이론에서 오일러는 많은 중요한 결과를 얻었지만 이러한 결과는 오랫동안 적용되지 않았습니다. 1826년으로 거슬러 올라갑니다. N.G. 아벨(1802~1829)은 발산 시리즈를 '악마의 발명품'이라고 불렀다. 오일러의 결과는 19세기 말에야 입증되었습니다.

프랑스 과학자 O.L.은 수렴 급수의 합의 개념 형성에 중요한 역할을 했습니다. 코시(1789~1857); 그는 급수 이론뿐만 아니라 극한 이론, 극한 개념의 발전에 있어서 엄청난 양의 일을 했습니다. 1826년 Cauchy는 발산 계열에는 합이 없다고 말했습니다.

1768년 프랑스의 수학자이자 철학자인 J.L. D'Alembert는 이항 계열에서 이전 항에 대한 후속 항의 비율을 조사하여 이 비율이 절대값에서 1보다 작으면 계열이 수렴한다는 것을 보여주었습니다. 1821년의 코시 에 명시된 정리를 증명했습니다. 일반적인 견해이제 D'Alembert의 테스트라고 불리는 양수 계열의 수렴에 대한 테스트입니다.

교대 계열의 수렴을 연구하기 위해 라이프니츠 테스트가 사용됩니다.

G.V. 독일의 위대한 수학자이자 철학자인 라이프니츠(1646 – 1716)는 I. 뉴턴과 함께 미분 및 적분의 창시자입니다.

서지:

기본:

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추가의:

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유한한 수의 항의 합의 속성은 계열의 속성, 즉 무한한 수의 항의 합과 다릅니다. 따라서 유한한 수의 용어의 경우 순서에 관계없이 그룹화할 수 있으며 이로 인해 합계가 변경되지 않습니다. 수렴 계열(조건부 수렴, 섹션 5에서 논의됨)이 있는데, 독일 수학자 리만 리만 게오르크 프리드리히 베른하르트(1826 - 1866)가 보여준 것처럼 용어의 순서를 적절하게 변경하여 다음을 만들 수 있습니다. 계열의 합은 원하는 숫자와 동일하며 발산 계열도 가능합니다.

예제 2.1.다음 형식(1.7)의 다양한 계열을 고려하세요.

멤버를 쌍으로 그룹화하여 합이 0인 수렴 숫자 시리즈를 얻습니다.

반면에 두 번째 항부터 시작하여 항을 쌍으로 그룹화하면 수렴 계열을 얻을 수 있지만 합은 1입니다.

수렴 계열은 마치 유한 합인 것처럼 처리할 수 있는 특정 속성을 가지고 있습니다. 따라서 숫자를 곱하고 항별로 더하거나 뺄 수 있습니다. 인접한 용어를 그룹으로 결합할 수 있습니다.

정리 2.1. (계수의 수렴에 필요한 신호)

계열 (1.1)이 수렴하면 해당 공통 용어 n이 무한정 증가함에 따라 0이 되는 경향이 있습니다. 즉,

정리의 증명은 다음과 같은 사실로부터 나옵니다.

S는 급수(1.1)의 합입니다.

조건 (2.1)은 계열의 수렴을 위한 필요조건이지만 충분조건은 아닙니다. 즉, 급수의 공통항이 0이 되는 경향이 있다고 해서 급수가 수렴한다는 의미는 아닙니다. 예를 들어, 조화 급수(1.2)의 경우 아래에 표시되는 것처럼 발산합니다.

결과(계열의 발산에 대한 충분한 신호).

시리즈의 공통 용어 인 경우 0이 되는 경향이 없으면 이 계열은 발산됩니다.

예제 2.2.계열의 수렴을 조사합니다.

이 행의 경우

그러므로 이 계열은 다양하다.

위에서 고려한 발산 계열 (1.6), (1.7)도 필요한 수렴 기준이 충족되지 않기 때문에 그러한 계열입니다. 시리즈(1.6)의 경우 시리즈(1.7)에 대한 제한이 존재하지 않습니다.

속성 2.1 . 계열의 수렴 또는 발산은 유한한 수의 항을 임의로 제거하거나 추가하거나 재배열하는 경우 변경되지 않습니다(이 경우 수렴 계열의 경우 합계가 변경될 수 있음).

이 속성의 증명은 급수(1.1)과 그 나머지가 동시에 수렴하거나 발산한다는 사실에서 비롯됩니다.

속성 2.2 . 수렴하는 계열에는 숫자를 곱할 수 있습니다. 즉, 계열(1.1)이 수렴하면 S의 합이 있고 c는 특정 숫자인 경우

증명은 유한합에 대해 다음과 같은 등식이 성립한다는 사실로부터 나옵니다:

속성 2.3. 수렴 계열은 항별로 추가 및 뺄 수 있습니다. 즉, 계열이,

모이다,

그 다음에는 시리즈

수렴하고 그 합은 같습니다.즉.

증명은 유한합의 극한의 속성으로부터 나옵니다.

예제 2.3.계열의 합 계산

계열의 일반 용어를 다음 형식으로 표현해 보겠습니다.

그런 다음 원래 계열은 기하학적 수열의 두 수렴 계열의 항별 차이로 표현될 수 있습니다.

공식 (1.8)을 사용하여 해당 기하학적 수열의 합을 계산합니다.

따라서 첫 번째 행의 경우

따라서 두 번째 행의 경우

마침내 우리는

무한한 수열을 주어보자

정의 1.1. 숫자 시리즈아니면 단순히 가까운는 다음 형식의 표현식(합)이라고 합니다.

숫자가 불려요 숫자의 구성원, - 일반적인또는 n번째시리즈의 멤버.

계열(1.1)을 정의하려면 계열의 번째 항을 숫자로 계산하는 자연 인수의 기능을 지정하는 것으로 충분합니다.

시리즈 (1.1)의 용어로부터 우리는 수치를 형성합니다 부분의 순서 금액시리즈의 첫 번째 항의 합은 어디에 있습니까? N-번째 부분 금액, 즉.

…………………………….

숫자가 무제한으로 증가하는 숫자 시퀀스는 다음을 수행할 수 있습니다.

1) 유한 한도가 있습니다.

2) 유한한 한계가 없습니다(한계가 존재하지 않거나 무한대와 같습니다).

정의 1.2. 시리즈 (1.1)이 호출됩니다. 수렴,부분합(1.5)의 수열에 유한한 한계가 있는 경우, 즉

이 경우 번호는 다음과 같습니다. 양시리즈 (1.1)로 표시됩니다.

정의 1.3.시리즈 (1.1)이 호출됩니다. 다른,부분합의 수열에 유한한 한계가 없는 경우.

발산 계열에는 합계가 할당되지 않습니다.

따라서 수렴 계열(1.1)의 합을 찾는 문제는 부분합 수열의 극한을 계산하는 것과 같습니다.

숫자 계열의 기본 속성

유한한 수의 항의 합의 속성은 계열의 속성과 다릅니다. 무한한 수의 항의 합. 따라서 유한한 수의 용어의 경우 순서에 관계없이 그룹화할 수 있으며 이로 인해 합계가 변경되지 않습니다. Riemann Georg Friedrich Bernhard가 보여준 것처럼 용어의 순서를 적절하게 변경하여 수렴 계열(조건부 수렴)이 있으며 계열의 합을 임의의 숫자와 동일하게 만들 수 있으며 발산 계열도 만들 수 있습니다.

예제 2.1.형태의 다양한 계열을 고려하십시오.

멤버를 쌍으로 그룹화하여 합이 0인 수렴 숫자 시리즈를 얻습니다.

반면에 두 번째 항부터 시작하여 항을 쌍으로 그룹화하면 수렴 계열을 얻을 수 있지만 합은 1입니다.

정리 2.1.(계수의 수렴에 필요한 신호)

급수(1.1)가 수렴하면 n이 무한정 증가함에 따라 공통 항은 0이 되는 경향이 있습니다.

정리의 증명은 다음과 같은 사실로부터 나옵니다.

S는 급수(1.1)의 합입니다.

조건 (2.1)은 계열의 수렴을 위한 필요조건이지만 충분조건은 아닙니다. 즉, 급수의 공통항이 0이 되는 경향이 있다고 해서 급수가 수렴한다는 의미는 아닙니다. 그러나 예를 들어 조화 계열(1.2)의 경우 발산합니다.

결과(계열의 발산에 대한 충분한 신호).

급수의 공통항이 0이 되는 경향이 없으면 이 급수는 발산합니다.

속성 2.1.계열의 수렴 또는 발산은 유한한 수의 항을 임의로 제거하거나 추가하거나 재배열하는 경우 변경되지 않습니다(이 경우 수렴 계열의 경우 합계가 변경될 수 있음).

이 속성의 증명은 급수(1.1)과 그 나머지가 동시에 수렴하거나 발산한다는 사실에서 비롯됩니다.

속성 2.2.수렴하는 계열에는 숫자를 곱할 수 있습니다. 즉, 계열(1.1)이 수렴하면 S의 합이 있고 c는 특정 숫자인 경우

증명은 유한합에 대해 다음과 같은 등식이 성립한다는 사실로부터 나옵니다:

속성 2.3.수렴 계열은 용어별로 추가 및 뺄 수 있습니다. 행

모이다,

수렴하고 그 합은 즉

증명은 유한합의 극한의 속성으로부터 나옵니다.

비교 기호

두 개의 양의 계열이 주어지자

모든 n=1,2,…에 대해 조건이 충족됩니다.

그런 다음: 1) 계열의 수렴(3.2)에서 계열의 수렴(3.1)이 이어집니다.

2) 계열의 발산(3.1)으로부터 계열의 발산(3.2)이 따른다.

증거. 1. 급수(3.2)가 수렴하고 그 합이 B와 같다고 가정합니다. 급수(3.1)의 부분합 수열은 위에서 숫자 B로 제한되지 않습니다. 즉

그런 다음 그러한 시퀀스의 속성으로 인해 유한한 한계가 있습니다. 계열(3.1)이 수렴됩니다.

2. 급수(3.1)가 발산되도록 하세요. 그런 다음 급수(3.2)가 수렴하면 위에서 증명된 점 1에 의해 원래 급수도 수렴하게 되며 이는 우리의 조건과 모순됩니다. 결과적으로 계열(3.2)도 발산됩니다.

이 기준은 수렴이 이미 알려진 계열과 비교하여 계열의 수렴을 결정하는 데 적용하는 것이 편리합니다.

달랑베르 징후

그런 다음: 1) q에서< 1 ряд (1.1) сходится;

2) q > 1인 경우 계열(1.1)이 발산됩니다.

논평:계열(1.1)은 다음과 같은 경우에도 분기됩니다.

코시 징후

양수 급수(1.1)의 항은 한계가 있도록 합시다.

그런 다음: 1) q에서< 1 ряд (1.1) сходится;

2) q > 1인 경우 계열(1.1)이 발산됩니다.

3) q = 1인 경우 계열의 수렴(1.1)에 대해 아무 것도 말할 수 없으며 추가 연구가 필요합니다.

적분 코시-매클로린 테스트

함수 f(x)를 구간에서 연속 비-음-증가 함수로 둡니다.

그런 다음 급수와 부적절한 적분은 동시에 수렴하거나 발산합니다.

1. a 1 + a 2 + a 3 +…+an +…=가 수렴하면 첫 번째 m 항을 버림으로써 이 계열에서 얻은 계열 a m+1 +a m+2 +a m+3 +… 수렴한다. 이 결과 계열을 계열의 m번째 나머지 계열이라고 합니다. 그리고 그 반대도 마찬가지입니다. 시리즈의 m번째 나머지 부분의 수렴에서 이 시리즈의 수렴이 이어집니다. 저것들. 유한한 수의 항을 추가하거나 버려도 급수의 수렴과 발산은 위반되지 않습니다.

2 . 계열 a 1 + a 2 + a 3 +...가 수렴하고 그 합이 S와 같으면 계열 Ca 1 + Ca 2 +..., 여기서 C =도 수렴하고 그 합은 CS와 같습니다.

3. 계열 a 1 +a 2 +... 및 b 1 +b 2 +...가 수렴하고 그 합이 각각 S1 및 S2와 같으면 계열 (a 1 +b 1)+(a 2 + b 2)+(a 3 +b 3)+… 및 (a 1 -b 1)+(a 2 -b 2)+(a 3 -b 3)+… 또한 수렴합니다. 그 합은 각각 S1+S2 및 S1-S2와 같습니다.

4. ㅏ). 계열이 수렴하는 경우 n이 무한정 증가함에 따라 n번째 항은 0이 되는 경향이 있습니다(그 반대는 참이 아닙니다).

- 필요한 기호(조건)수렴 열.

비). 만약에
그러면 시리즈가 다양해집니다. 충분한 상태발산 열.

-이 유형의 계열은 속성 4에 따라서만 연구됩니다. 이것 다른행.

사인 포지티브 시리즈.

양수 부호 계열의 수렴 및 발산 징후.

양수 계열은 모든 항이 양수인 계열입니다. 우리는 긍정적인 신호가 있는 계열에 대해 이러한 수렴 및 발산의 신호를 고려할 것입니다.

1. 비교의 첫 징후.

두 개의 양수 부호 계열 a 1 + a 2 + a 3 +…+an +…=가 주어지도록 합니다. (1) иb 1 +b 2 +b 3 +…+bn +…= (2).

시리즈의 멤버라면 (1) 아니 더bn 그리고 계열 (2)가 수렴합니다., 그러면 계열 (1)도 수렴합니다.

시리즈의 멤버라면 (1) 그 이하도 아니고시리즈 (2)의 해당 구성원, 즉 그리고 n bn 그리고 행 (2)가 갈라진다이면 계열 (1)도 발산됩니다.

이 비교 기준은 불평등이 모든 n에 대해 충족되지 않고 일부에서만 시작하는 경우 유효합니다.

2. 비교의 두 번째 기호.

유한하고 0이 아닌 한계가 있는 경우
이면 두 계열이 동시에 수렴하거나 발산합니다.

- 이 유형의 행 갈라지다두 번째 비교 기준에 따라. 고조파 계열과 비교해야 합니다.

3. 달랑베르 징후.

양수 계열의 경우(a 1 + a 2 + a 3 +…+an +…= )이 존재한다
(1), q이면 계열이 수렴합니다.<1, расходится, если q>

4. 코시 징후는 급진적입니다.

양수 계열에 한계가 있는 경우
(2), 그러면 계열은 ifq로 수렴합니다.<1, расходится, если q>1. q=1이면 질문은 계속 열려 있습니다.

5. Cauchy의 테스트는 필수입니다.

부적절한 적분을 생각해 봅시다.

제한이 있는 경우
. 이는 부적절한 적분이며 다음과 같이 표시됩니다.
.

이 극한이 유한하면 부적절한 적분은 수렴한다고 합니다. 계열은 각각 수렴하거나 발산합니다.

계열을 a 1 + a 2 + a 3 +…+an +…=라고 합시다. - 긍정적인 시리즈.

n =f(x)를 표시하고 함수 f(x)를 고려해 보겠습니다. f(x)가 양의 단조 감소 연속 함수인 경우 부적절한 적분이 수렴하면 주어진 계열이 수렴합니다. 그리고 그 반대도 마찬가지입니다. 부적절한 적분이 발산하면 계열도 발산됩니다.

계열이 유한하면 수렴합니다.

행은 매우 일반적입니다.
-데리클레 시리즈. p>1이면 수렴하고, p로 발산합니다.<1. Гармонический ряд является рядом Дерихле при р=1. Сходимость и расходимость данного ряда легко доказать с помощью интегрального признака Коши.

소개

숫자 코시 달랑베르

무한합의 개념은 실제로 고대 그리스의 과학자들(Eudoxus, Euclid, Archimedes)에게 알려져 있었습니다. 무한한 합을 찾는 것은 고대 그리스 과학자들이 도형의 면적, 물체의 부피, 곡선의 길이 등을 찾기 위해 널리 사용했던 소위 소진 방법의 필수적인 부분이었습니다. 예를 들어 아르키메데스는 포물선 부분(즉, 직선과 포물선으로 둘러싸인 도형)의 면적을 계산하기 위해 분모가 1/4인 무한 기하학적 진행의 합을 찾았습니다.

수학자들은 17세기에 독립적인 개념으로 급수를 사용하기 시작했습니다. I. Newton과 G. Leibniz는 계열을 사용하여 대수 및 미분 방정식을 풀었습니다. 18~19세기의 급수 이론. J.와 I. Bernoulli, B. Taylor, C. Maclaurin, L. Euler, J. d'Alembert, J. Lagrange 등의 연구에서 발전했으며, 19세기에 엄격한 급수 이론이 만들어졌습니다. K. Gauss, B. Bolzano, O. Cauchy, P. Dirichlet, N. Abel, K. Weierstrass, B. Riemann 등의 작품에서 한계 개념을 기반으로 합니다.

이 문제를 연구하는 것의 타당성은 실제 사용을 위해 충분한 정확도로 잘 제기된 문제를 해결할 수 있게 해주는 수학 분야를 계열 이론이라고 부르기 때문입니다. 비록 급수이론과의 연관성 밖에서 수학적 분석의 미묘한 개념이 등장하더라도, 그것은 즉시 급수에 적용되어 이러한 개념의 중요성을 검증하는 도구로 사용되었습니다. 이런 상황은 오늘날까지 계속되고 있다. 따라서 수계열의 기본 개념과 계열수렴의 특징을 연구하는 것이 적절할 것으로 보인다.

1. 연혁

.1 숫자 계열의 첫 번째 언급 및 사용

산술 규칙은 우리에게 2, 3, 4 및 일반적으로 유한한 숫자 집합의 합을 결정할 수 있는 능력을 제공합니다. 항의 수가 무한하다면 어떻게 될까요? 비록 그것이 "가장 작은" 무한대라고 할지라도, 즉 용어의 수를 셀 수 있게 놔두세요.

무한한 합을 찾는 것은 고대 그리스 과학자들이 도형의 면적, 물체의 부피, 곡선의 길이 등을 찾기 위해 널리 사용했던 소위 소진 방법의 필수적인 부분이었습니다. 예를 들어 아르키메데스는 포물선 부분(즉, 직선과 포물선으로 둘러싸인 도형)의 면적을 계산하기 위해 분모가 1/4인 무한 기하학적 진행의 합을 찾았습니다.

거의 2500년 전, 그리스의 수학자이자 천문학자인 Cnidus의 Eudoxus는 면적과 부피를 찾기 위해 "고갈" 방법을 사용했습니다. 이 방법의 아이디어는 연구 중인 신체를 셀 수 있는 수의 부품으로 나누고 그 면적이나 부피가 알려진 다음 이러한 부피를 추가하는 것입니다. 이 방법은 유클리드와 아르키메데스 모두에서 사용되었습니다. 당연히 고대 수학자들의 연구에서는 이 방법에 대한 완전하고 정확한 정당화가 없었습니다. 그 전에는 눈부신 폭로와 실수, 호기심이 있었던 2천년의 긴 여정을 거쳐야 했습니다.

예를 들어, 한 중세 신학자가 전능하신 하나님의 존재를 더도 말고 덜도 말고 증명할 때 어떻게 추론했는지 살펴보겠습니다.

S를 같은 양으로 무한합으로 쓰자

S = 1010101010… (1)

“이 등식의 오른쪽에 있는 각각의 0을 합 1+(-1)로 바꾸겠습니다.

S =1+(-1)+ 1+(-1)+ 1+(-1)+… (2)

(2)의 오른쪽에 첫 번째 항만 남겨두고 괄호를 사용하여 두 번째 항을 세 번째 항과, 네 번째 항을 다섯 번째 항과 결합합니다. 그 다음에

S=1 + ((-1) +1) + ((-1) +1) +… = 1+0+0+… = 1.”

"무에서 하나를 마음대로 얻을 수 있다면 무에서 세상을 창조한다는 가정도 받아들일 수 있습니다!"

우리는 이 추론에 동의합니까? 당연히 아니지. 현대 수학의 관점에서 저자의 실수는 정의가 부여되지 않은 개념(무한한 수의 용어의 합)을 사용하여 작업을 시도하고 변환(여는 괄호, 재편성), 그 합법성은 그에 의해 정당화되지 않았습니다.

17세기와 18세기의 가장 위대한 수학자 - 아이작 뉴턴(1642-1727), 고트프리트 빌헬름 라이프니츠(1646-1716), 브룩 테일러(1685-1731) - 이것이 정확히 무엇인지에 대한 질문에 충분한 주의를 기울이지 않고 합계 계산을 널리 사용했습니다. 개념은 의미한다.), 콜린 매클로린(1698-1746), 조셉 루이스 라그랑주(1736-1813). Leonard와 Euler(1707-1783)는 행을 다루는 데 있어 탁월한 숙달로 유명했지만 동시에 자신이 사용한 기술에 대한 정당성이 부족하다는 점을 자주 인정했습니다. 수백 개의 논문에는 다음과 같은 문장이 반복적으로 포함되어 있습니다. “우리는 이 두 무한 표현이 동일하다는 것을 발견했지만 이를 증명하는 것은 불가능하다는 것이 밝혀졌습니다.” 그는 수학자들에게 "발산 급수"를 사용하지 말라고 경고했지만, 그 자신은 항상 이에 대해 신경 쓰지 않았으며 뛰어난 직관만이 그를 잘못된 결론으로부터 보호합니다. 사실, 그는 또한 "구멍"을 가지고 있습니다.

19세기 초에 "합계 계산"의 속성을 신중하게 정당화할 필요성이 분명해졌습니다. 1812년에 Carl Friedrich Gauss(1777-1865)는 급수 수렴 연구의 첫 번째 사례를 제시했고, 1821년에 우리의 좋은 친구 Augustin Louis Cauchy(1789-1857)는 급수 이론의 기본 현대 원리를 확립했습니다.

.2 숫자 계열에 대한 추가 연구. 숫자 계열 개념의 명확한 공식화

분모가 1보다 작은 무한 기하학적 수열의 합은 고대(아르키메데스)에 이미 수행되었습니다. 조화 급수의 발산은 1650년 이탈리아 과학자 Mengoli에 의해 확립되었습니다. 거듭제곱 급수는 모든 함수가 거듭제곱 급수로 표현될 수 있다고 믿었던 뉴턴(1665)에 나타났습니다. 18세기 과학자들은 계산 과정에서 끊임없이 계열을 접했지만 수렴 문제에 항상 관심을 기울이지는 않았습니다. 급수의 정확한 이론은 Gauss(1812), Bolzano(1817), 그리고 마지막으로 Cauchy의 연구에서 시작됩니다. Cauchy에서는 수렴 급수의 합의 현대적 정의가 처음으로 제시되고 주요 정리가 확립되었습니다. 1821년 코시는 19세기 전반에 수학적 분석의 구체화를 위한 새로운 아이디어를 전파하는 데 가장 중요한 "왕립 폴리테크닉 학교의 분석 과정"을 출판했습니다.

"다음은 수량의 무제한 순서입니다.

특정 법칙에 따라 서로 결과가 발생합니다...

는 처음 n 항의 합입니다. 여기서 n은 임의의 정수입니다. n 값이 지속적으로 증가함에 따라 합이 알려진 한계 S에 무기한 접근하는 경우 계열을 수렴이라고 하며 이 한계는 계열의 합입니다. 반대로, n이 무제한으로 증가해도 합이 어떤 명확한 한계에 접근하지 않으면 급수는 발산하게 되고 합이 없게 됩니다..." ["Course of Analysis at the"의 첫 번째 부분에서 O. Cauchy의 Royal Polytechnic School”(1821) ( 54권 III, p. 114-116, A.P. 번역 유슈케비치}]

.3 숫자 계열의 개념과 그것이 사용된 문제로 이어지는 문제

빠른 발을 가진 아킬레스는 움직임이 시작될 때 거북이가 자신보다 어느 정도 앞서 있었다면 결코 거북이를 따라잡지 못할 것입니다. 실제로, 초기 거리를 a로 하고 아킬레스가 거북이보다 k배 더 빨리 달린다고 가정합니다. 아킬레스가 a 거리를 지나면 거북이는 a/k로 기어가고, 아킬레스가 이 거리를 지나면 거북이는 a/로 기어갑니다. 매번 경쟁자 사이에는 0이 아닌 거리가 있습니다.

이 아포리아에는 카운트 인피니티와 동일한 난이도 외에 한 가지가 더 있습니다. 어느 시점에서 아킬레스가 거북이를 따라잡았다고 가정해 보세요. 아킬레스의 길을 적어보자

그리고 거북이의 길

아킬레스가 지나간 경로 a/의 각 부분은 거북이의 경로 a/의 부분에 해당합니다. 따라서 회의 시간에 아킬레스는 거북이만큼 길의 "많은" 구간을 통과했음이 틀림없습니다. 반면에, 거북이가 횡단하는 각 세그먼트 a/는 아킬레스 경로의 동일한 세그먼트와 연관될 수 있습니다. 그러나 또한 아킬레스는 길이 a의 세그먼트를 하나 더 실행해야 합니다. 그는 거북이보다 한 구간 더 이동해야 합니다. 마지막 세그먼트가 포함하는 세그먼트의 수가 b라면 우리는 다음을 얻습니다.

"화살". "화살". 시간과 공간이 분할할 수 없는 입자로 구성되어 있다면 날아가는 화살은 분할할 수 없는 각 순간에 동일한 위치를 차지하기 때문에 움직이지 않습니다. 정지해 있으며, 일정 기간은 그러한 분할할 수 없는 순간들의 합입니다.

이 아포리아는 무한한 수의 분할할 수 없는 입자의 합인 연속량이라는 개념에 반대됩니다.

"경기장". 동일한 질량이 경기장을 가로질러 평행한 직선을 따라 동일한 속도로 반대 방향으로 이동하게 하십시오. 행은 고정된 질량, 행은 오른쪽으로 이동하는 질량, 행은 왼쪽으로 이동하는 질량을 의미합니다(그림 1). 이제 대중을 생각해 보자. 분할할 수 없는 것처럼. 분할할 수 없는 시간의 순간, 분할할 수 없는 공간의 일부가 통과한다. 실제로, 분할할 수 없는 시간의 순간에 특정 신체가 둘 이상의 분할할 수 없는 공간 부분을 통과했다면 분할할 수 없는 시간의 순간도 분할될 수 있지만, 그렇지 않은 경우에는 분할할 수 없는 공간 부분이 분할될 수 있습니다. 이제 서로에 대한 불가분의 이동을 고려해 보겠습니다. 분할할 수 없는 두 순간에 분할할 수 없는 두 부분이 지나가고 동시에 분할할 수 없는 네 부분을 계산합니다. 분할할 수 없는 시간의 순간은 분할할 수 있는 것으로 판명될 것입니다.

이 아포리아는 약간 다른 형태로 제공될 수 있습니다. 동시에 t 시점에 해당 지점은 세그먼트의 절반과 전체 세그먼트를 통과합니다. 그러나 각각의 분할할 수 없는 시간의 순간은 이 시간 동안 횡단되는 분할할 수 없는 공간의 부분에 해당합니다. 그런 다음 특정 세그먼트 a와 세그먼트 2a에는 "동일한" 수의 포인트가 포함됩니다. 두 세그먼트의 포인트 사이에 일대일 대응이 설정될 수 있다는 의미에서 "동일"합니다. 서로 다른 길이의 세그먼트 지점 사이에 이러한 대응이 설정된 것은 이번이 처음이었습니다. 세그먼트의 측정값이 분할할 수 없는 측정값의 합으로 획득된다고 가정하면 결론은 역설적입니다.

2. 숫자 계열의 적용

.1 정의

무한한 수열을 주어보자

정의 1.1. 숫자 시리즈아니면 단순히 가까운는 다음 형식의 표현식(합)이라고 합니다.

숫자가 불려요 숫자의 구성원, - 일반적인또는 n번째시리즈의 멤버.

계열(1.1)을 정의하려면 계열의 번째 항을 숫자로 계산하는 자연 인수의 기능을 지정하는 것으로 충분합니다.

시리즈 (1.1)의 용어로부터 우리는 수치를 형성합니다 부분의 순서 금액시리즈의 첫 번째 항의 합은 어디에 있습니까? N-번째 부분 금액, 즉.

…………………………….

숫자가 무제한으로 증가하는 숫자 시퀀스는 다음을 수행할 수 있습니다.

) 유한 한도가 있습니다.

) 유한한 한계가 없습니다(한계가 존재하지 않거나 무한대와 같습니다).

정의 1.2. 시리즈 (1.1)이 호출됩니다. 수렴,부분합(1.5)의 수열에 유한한 한계가 있는 경우, 즉

이 경우 번호는 다음과 같습니다. 양시리즈 (1.1)로 표시됩니다.

정의 1.3.시리즈 (1.1)이 호출됩니다. 다른,부분합의 수열에 유한한 한계가 없는 경우.

발산 계열에는 합계가 할당되지 않습니다.

따라서 수렴 계열(1.1)의 합을 찾는 문제는 부분합 수열의 극한을 계산하는 것과 같습니다.

.2 숫자 계열의 기본 속성

예제 2.1.형태의 다양한 계열을 고려하십시오.

멤버를 쌍으로 그룹화하여 합이 0인 수렴 숫자 시리즈를 얻습니다.

반면에 두 번째 항부터 시작하여 항을 쌍으로 그룹화하면 수렴 계열을 얻을 수 있지만 합은 1입니다.

정리 2.1.(계수의 수렴에 필요한 신호)

급수(1.1)가 수렴하면 n이 무한정 증가함에 따라 공통 항은 0이 되는 경향이 있습니다.

정리의 증명은 다음과 같은 사실로부터 나옵니다.

S는 급수(1.1)의 합입니다.

결과(계열의 분기에 대한 충분한 신호입니다).

급수의 공통항이 0이 되는 경향이 없으면 이 급수는 발산합니다.

속성 2.1.계열의 수렴 또는 발산은 유한한 수의 항을 임의로 제거하거나 추가하거나 재배열하는 경우 변경되지 않습니다(이 경우 수렴 계열의 경우 합계가 변경될 수 있음).

이 속성의 증명은 급수(1.1)과 그 나머지가 동시에 수렴하거나 발산한다는 사실에서 비롯됩니다.

속성 2.2.수렴하는 계열에는 숫자를 곱할 수 있습니다. 즉, 계열(1.1)이 수렴하면 S의 합이 있고 c는 특정 숫자인 경우

증명은 유한합에 대해 다음과 같은 등식이 성립한다는 사실로부터 나옵니다:

속성 2.3.수렴 계열은 용어별로 추가 및 뺄 수 있습니다. 행

모이다,

수렴하고 그 합은 즉

증명은 유한합의 극한의 속성으로부터 나옵니다.

비교 기호

두 개의 양의 계열이 주어지자

모든 n=1,2,…에 대해 조건이 충족됩니다.

그런 다음: 1) 계열의 수렴(3.2)에서 계열의 수렴(3.1)이 이어집니다.

) 계열의 발산(3.1)에서 계열의 발산(3.2)이 이어집니다.

증거. 1. 급수(3.2)가 수렴하고 그 합이 B와 같다고 가정합니다. 급수(3.1)의 부분합 수열은 위에서 숫자 B로 제한되지 않습니다. 즉

그런 다음 그러한 시퀀스의 속성으로 인해 유한한 한계가 있습니다. 계열(3.1)이 수렴됩니다.

계열(3.1)이 발산된다고 가정합니다. 그런 다음 급수(3.2)가 수렴하면 위에서 증명된 점 1에 의해 원래 급수도 수렴하게 되며 이는 우리의 조건과 모순됩니다. 결과적으로 계열(3.2)도 발산됩니다.

이 기준은 수렴이 이미 알려진 계열과 비교하여 계열의 수렴을 결정하는 데 적용하는 것이 편리합니다.

달랑베르 징후

그런 다음: 1) q에서< 1 ряд (1.1) сходится;

) q > 1인 경우 계열(1.1)이 발산됩니다.

) q = 1인 경우 계열의 수렴(1.1)에 대해서는 아무 것도 말할 수 없으며 추가 연구가 필요합니다.

논평:계열(1.1)은 다음과 같은 경우에도 분기됩니다.

코시 징후

양수 급수(1.1)의 항은 한계가 있도록 합시다.

그런 다음: 1) q에서< 1 ряд (1.1) сходится;

) q > 1인 경우 계열(1.1)이 발산됩니다.

3) q = 1인 경우 계열의 수렴(1.1)에 대해 아무 것도 말할 수 없으며 추가 연구가 필요합니다.

적분 코시-매클로린 테스트

함수 f(x)를 구간에서 연속 비-음-증가 함수로 둡니다.

그런 다음 급수와 부적절한 적분은 동시에 수렴하거나 발산합니다.

.3 목표

숫자 계열은 수학뿐만 아니라 다른 여러 과학에서도 사용됩니다. 나는 그러한 사용에 대한 몇 가지 예를 제시하고 싶습니다.

예를 들어, 쇄설암 구조의 특성을 연구합니다. 실제로, "구조" 개념의 사용은 주로 입자의 치수 매개변수를 특성화하는 것으로 축소되었습니다. 이와 관련하여 암석학의 "구조" 개념은 결정학, 구조 지질학 및 물질 구조에 관한 기타 과학의 "구조" 개념과 일치하지 않습니다. 후자의 경우 '구조'는 암석학의 '질감' 개념과 더 일치하며 공간이 채워지는 방식을 반영합니다. "구조"가 공간적 개념이라는 것을 받아들인다면 다음 구조는 의미가 없는 것으로 간주되어야 합니다: 2차 또는 1차 구조 및 질감; 결정질, 화학적, 치환(부식, 재결정 등), 변형 구조, 방향성, 잔류 구조 등. 따라서 이러한 "구조"를 "가짜 구조"라고 합니다.

구조는 입자 크기와 양적 관계를 특징으로 하는 일련의 구조적 요소입니다.

특정 분류를 수행할 때 순서가 있는 선형 입자 매개변수

하지만 유병률의 정량적 추정은 지역(백분율) 매개변수를 통해 이루어집니다. 이 시퀀스는 길이가 상당히 길 수 있으며 빌드되지 않습니다. 일반적으로 그들은 입자 크기의 최대(최대) 및 최소(최소) 값을 명명하여 매개변수 변동의 한계에 대해서만 이야기합니다.

P4를 표현하는 방향 중 하나는 숫자 계열을 사용하는 것인데, 위의 순서와 동일하게 구성하되 (?) 대신 합계 기호(+)를 배치합니다. 모든 시퀀스의 컨볼루션은 동일한 요소를 결합하고 해당 영역을 추가하여 수행됩니다. 그런 다음 시퀀스가 있습니다.

이 표현은 크기가 같은 입자 i의 모든 단면이 차지하는 면적을 측정한다는 의미입니다.

입자의 이러한 특징을 통해 얻은 관계를 수치적으로 분석할 수 있습니다. 첫째, 매개변수는 값으로 간주될 수 있습니다. 좌표축따라서 그래프 S=f(l)을 만듭니다. 둘째, 시퀀스(RS1) 1은 예를 들어 계수의 내림차순으로 순위가 매겨져 일련의 결과를 얻을 수 있습니다.

주어진 암석단면의 구조를 지칭하는 것이 바로 이 시리즈이며, '구조'라는 개념의 정의이기도 하다. 매개변수는 구조체의 요소이고, 매개변수 k=는 구조체의 길이이다. 구성에 따르면 n=k입니다. 이러한 구조 표현을 통해 서로 다른 구조를 서로 비교할 수 있습니다.

또한 키릴 파블로비치 부투소프(Kirill Pavlovich Butusov)는 "비트파의 공명" 현상을 발견했으며, 이를 바탕으로 행성의 공전 주기가 피보나치 수열과 루카스 수열을 형성하는 "행성 주기의 법칙"을 공식화하고 이를 증명했습니다. Johann Titius의 "행성 거리 법칙"은 "박동파의 공명"(1977)의 결과입니다. 동시에 그는 태양계(1977)에서 신체의 다른 여러 매개변수 분포에서 "황금 단면"이 나타나는 것을 발견했습니다. 이와 관련하여 그는 "황금 수학"을 만들기 위해 노력하고 있습니다. 새로운 시스템천문학, 생물학, 건축, 미학, 음악 이론 등의 문제에 더 적합한 Phidias 수(1.6180339)를 기반으로 한 표기법입니다.

천문학의 역사를 통해 18세기 독일의 천문학자인 I. Titius가 이 피보나치 계열의 도움으로 태양계 행성 사이의 거리에서 패턴과 질서를 발견한 것으로 알려져 있습니다.

그러나 법칙에 모순되는 것처럼 보이는 한 가지 사례는 화성과 목성 사이에 행성이 없다는 것입니다. 하늘의 이 부분을 집중적으로 관찰한 결과 소행성대가 발견되었습니다. 이것은 19세기 초 티티우스가 죽은 후에 일어났습니다. 피보나치 수열은 널리 사용됩니다. 생명체의 건축학, 인공 구조물, 은하계의 구조를 표현하는 데 사용됩니다. 이러한 사실은 숫자 계열이 그 표현 조건으로부터 독립되어 있다는 증거이며, 이는 보편성의 표시 중 하나입니다.

암호화는 정보의 기밀성(외부인이 정보를 읽을 수 없음)과 진위성(저작자의 무결성 및 신뢰성, 저작자 거부 불가능)을 보장하는 수학적 방법의 과학입니다. 현대 암호화 시스템의 대부분은 다양한 유형의 대체 및 순열 암호를 기반으로 하는 스트림 또는 블록 알고리즘을 사용합니다. 불행하게도 스트림 암호화 시스템에 사용되는 거의 모든 알고리즘은 군사 및 정부 통신 시스템에 사용하기 위한 것이며 경우에 따라 상업 정보를 보호하기 위한 것입니다. 이로 인해 당연히 정보가 비밀이 되어 검토할 수 없게 됩니다. 유일한 표준 스트림 암호화 알고리즘은 이미 미국 표준 DES(CFB 및 OFB 모드) 및 러시아 표준 GOST 28147-89(게임 모드). 그러나 이러한 표준에서 사용되는 스트림 암호화 알고리즘은 분류됩니다.

스트림 암호 시스템 기능의 기본은 무작위 또는 의사 무작위 시퀀스 생성기입니다. 이 문제를 더 자세히 고려해 보겠습니다.

의사 난수 시퀀스

비밀 키는 Kerckhoff의 규칙에 따라 좋은 암호화 시스템의 강도는 키의 비밀성에 의해서만 결정되는 암호화 변환의 기초입니다. 그러나 실제로는 키 생성, 배포 및 저장이 비용이 많이 들기는 하지만 기술적으로 복잡한 작업인 경우는 거의 없습니다. 고전 암호학의 주요 문제 오랫동안예측할 수 없는 바이너리 시퀀스를 생성하는 것이 어려웠습니다. 긴 길이짧은 무작위 키를 사용합니다. 이 문제를 해결하기 위해 이진 의사 난수 시퀀스 생성기가 널리 사용됩니다. 이러한 발전기의 개발 및 분석에 있어 상당한 진전은 60년대 초반에야 달성되었습니다. 따라서 이 장에서는 키를 획득하고 이를 기반으로 메시지를 암호화로 변환하기 위해 암호화 시스템에서 사용하는 긴 의사 난수 시퀀스를 생성하는 규칙에 대해 설명합니다.

키에서 프로그래밍 방식으로 얻은 무작위 또는 의사 무작위 일련의 숫자는 국내 암호 전문가의 전문 용어로 감마라고 하며, y라는 이름은 그리스 알파벳 문자로, 다음을 의미하는 데 사용됩니다. 무작위 변수. 정보관 아벨의 변호사가 쓴 책 "다리 위의 낯선 사람들"에는 CIA 전문가들이 "음악 운동?"에 대해 논평한 감마라는 용어가 나와 있다는 점이 흥미롭습니다. 즉, 50년대에는 그들이 몰랐던 것입니다. 그 의미. 실제 무작위 계열의 구현을 얻고 재현하는 것은 위험하고 어렵고 비용이 많이 듭니다. 방사성 방사선, 샷 노이즈 등의 물리적 현상을 이용한 무작위성의 물리적 모델링 진공관또는 반도체 제너 다이오드의 터널 항복은 진정한 무작위 프로세스를 생성하지 않습니다. 예를 들어 러시아 암호화 장치 KRYPTON과 같이 키 생성에 성공적으로 사용된 사례가 알려져 있습니다. 따라서 물리적 프로세스 대신 컴퓨터 프로그램을 사용하여 감마를 생성합니다. 감마는 난수 생성기라고 불리지만 실제로는 속성상 무작위로 보이는 결정적 숫자 계열을 생성합니다. 그들은 형성 법칙을 알지만 초기 조건 형태의 키를 모르더라도 마치 이상적인 주사위를 던져 얻은 것처럼 숫자 계열을 무작위 숫자 계열과 구별할 수 없도록 보장해야 합니다. . 의사 난수 시퀀스 또는 감마의 암호학적으로 안전한 생성기에 대한 세 가지 주요 요구 사항을 공식화할 수 있습니다.

감마 기간은 다양한 길이의 메시지를 암호화할 수 있을 만큼 커야 합니다.

감마는 예측하기 어려워야 합니다. 이는 생성기의 유형과 감마 조각이 알려진 경우 x보다 높은 확률로 이 조각 이후의 감마의 다음 비트를 예측하는 것이 불가능하다는 것을 의미합니다. 암호 분석가가 영역의 일부를 알고 있더라도 여전히 그 앞이나 뒤의 비트를 결정할 수 없습니다.

범위 생성은 기술적, 조직적 어려움과 관련되어서는 안 됩니다.

피보나치 수열

흥미로운 수업난수 생성기는 정수 산술 분야의 많은 전문가, 특히 George Marsalia와 Arif Zeiman에 의해 반복적으로 제안되었습니다. 이 유형의 생성기는 피보나치 수열 사용을 기반으로 합니다. 이러한 수열의 전형적인 예(0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34...). 처음 두 항을 제외하고 각 후속 항은 이전 두 항의 합과 같습니다. 시퀀스에서 각 숫자의 마지막 숫자만 취하면 일련의 숫자(0, 1, 1, 2, 5, 8, 3, 1, 4, 5, 9, 4...)를 얻게 됩니다. 이 시퀀스는 처음에 큰 배열을 채우는 데 사용되며, 이 배열을 사용하면 인접하지 않고 먼 숫자가 추가되는 지연이 있는 피보나치 난수 생성기를 만들 수 있습니다. Marsalia와 Zeiman은 초기 값이 0 또는 1일 수 있는 "캐리 비트"를 피보나치 회로에 도입할 것을 제안했습니다. 이를 기반으로 구축된 "캐리 추가" 생성기는 다음을 얻습니다. 흥미로운 속성, 이를 기반으로 현재 사용되는 합동 생성기보다 주기가 훨씬 긴 시퀀스를 생성하는 것이 가능합니다. Marsalia의 비유적 표현에 따르면 이 클래스의 생성기는 무작위성의 증폭기로 간주될 수 있습니다. "수천 비트 길이의 무작위 시드를 가져와 긴 난수 시퀀스를 생성합니다." 그러나 오랜 기간 자체는 충분조건이 아니다. 척도의 약점은 감지하기 어려울 수 있으며 분석가는 정교한 시퀀스 분석 기술을 사용하여 대규모 숫자 배열에 숨겨진 특정 패턴을 강조해야 합니다.

결론

시리즈는 수학과 그 응용, 이론 연구, 문제의 대략적인 수치해법에 널리 사용됩니다. 많은 숫자를 특수 계열의 형태로 작성할 수 있으며 이를 통해 필요한 정확도로 대략적인 값을 계산하는 것이 편리합니다. 계열 확장 방법은 함수를 연구하는 데 효과적인 방법입니다. 함수의 대략적인 값을 계산하고, 적분을 계산 및 평가하고, 모든 종류의 방정식(대수, 미분, 적분)을 푸는 데 사용됩니다.

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