1단원 산술연산의 법칙. 주제: "산술 연산의 법칙" - 문서. 다른 부호로 유리수 곱하기

물론 역사적 발전 과정에서 그들은 이러한 작업에 적용되는 법칙을 깨닫지 못한 채 오랫동안 더하고 곱했습니다. 지난 세기의 20~30년대에만 주로 프랑스와 영국 수학자들이 이러한 연산의 기본 속성을 알아냈습니다. 이 문제의 역사에 대해 더 자세히 알고 싶은 분은 아래에서 반복적으로 수행할 대규모 "수리 과학 백과사전"을 여기에서 추천할 수 있습니다.

우리의 주제로 돌아가서, 이제 덧셈이 감소되는 다섯 가지 기본 법칙을 실제로 열거하려고 합니다.

1) 항상 숫자를 나타냅니다. 즉, 덧셈 작업은 예외 없이 항상 가능합니다(양수 영역에서는 항상 가능한 것은 아닌 뺄셈과 반대).

2) 금액은 항상 고유하게 결정됩니다.

3) 조합법칙이나 결합법칙이 있으므로 괄호는 모두 생략할 수 있습니다.

4) 교환법칙 또는 교환법칙이 있습니다.

5) 단조성의 법칙은 다음과 같습니다.

이러한 속성은 숫자를 수량으로 시각적으로 표현한 경우 추가 설명 없이도 이해할 수 있습니다. 그러나 그것들은 이론의 더욱 엄격하고 논리적인 발전에 의존할 수 있도록 엄격하게 형식적으로 표현되어야 합니다.

곱셈에 관해서는 우선 방금 나열된 것과 유사한 다섯 가지 법칙이 있습니다.

1) 항상 숫자가 있습니다.

2) 제품이 명확하고,

3) 결합의 법칙:

4) 이동성의 법칙:

5) 단조성의 법칙: 만약 , then

마지막으로 덧셈과 곱셈의 관계는 제6법칙에 의해 확립됩니다.

6) 분배의 법칙 또는 분배성:

모든 계산은 전적으로 이 11가지 법칙에 기초한다는 것을 이해하기 쉽습니다. 나는 숫자 7에 12를 곱하는 것과 같은 간단한 예로 제한하겠습니다.

분배의 법칙에 따라

물론 이 짧은 토론에서 귀하는 십진법으로 계산할 때 수행하는 개별 단계를 인식하게 될 것입니다. 더 복잡한 예를 직접 알아내는 것은 여러분의 몫입니다. 여기서는 요약 결과만 표현하겠습니다. 디지털 계산은 위에 나열된 11가지 기본 조항을 다시 적용하는 것뿐만 아니라 암기한 한 자리 숫자(덧셈표와 곱셈표)에 대한 연산 결과를 적용하는 것으로 구성됩니다. .

그러면 단조로움의 법칙은 어디에 적용됩니까? 일반적이고 공식적인 계산에서는 실제로 이에 의존하지 않지만 약간 다른 종류의 문제에서는 필요한 것으로 밝혀졌습니다. 여기서는 제품의 가치와 몫을 추정하는 십진법 계산 방법을 상기시켜 드리겠습니다. 이것은 가장 실용적으로 중요한 기술이며, 불행히도 학교와 학생들 사이에서 아직 충분히 알려지지 않았지만 때때로 이미 2학년 때 그것에 대해 이야기합니다. 여기서는 단지 예로 제한하겠습니다. 567에 134를 곱해야 한다고 가정해 보겠습니다. 이 숫자에서 단위 숫자는 다음과 같이 설정됩니다. 물리적 측정-매우 부정확합니다. 이 경우 완전한 정확도로 제품을 계산하는 것은 완전히 쓸모가 없습니다. 왜냐하면 그러한 계산은 여전히 ​​우리가 관심 있는 숫자의 정확한 값을 보장하지 않기 때문입니다. 그러나 우리에게 정말로 중요한 것은 제품의 크기 순서를 아는 것, 즉 숫자가 몇 십 또는 수백 내에 있는지 결정하는 것입니다. 그러나 단조성의 법칙은 실제로 이 추정치를 직접 제공합니다. 왜냐하면 필요한 숫자가 560-130과 570-140 사이에 포함되어 있기 때문입니다. 추가 개발다시 한 번 이러한 고려 사항을 귀하에게 맡깁니다.

어쨌든 "계산 추정"에서는 단조성의 법칙을 지속적으로 사용해야 한다는 것을 알 수 있습니다.

학교 교육에서 이 모든 것을 실제로 적용하려면 덧셈과 곱셈의 모든 기본 법칙을 체계적으로 설명하는 것이 필요합니다. 교사는 결합, 정류 및 분포의 법칙에 대해서만 설명할 수 있으며 문자 그대로의 계산으로 넘어갈 때만 간단하고 명확한 수치 예를 통해 경험적으로 추론할 수 있습니다.

앞으로 우리가 숫자나 문자(상관없음)로 표현되는 숫자에 대한 작용을 연구할 때 산술에서 연구했던 작용 법칙에 많은 결론을 의존해야 할 것입니다. 이러한 법칙의 중요성 때문에 이를 행동의 기본 법칙이라고 부릅니다.

그들에게 상기시키자.

1. 덧셈의 교환법칙.

항의 순서가 바뀌어도 합은 변하지 않습니다.

이 법은 이미 평등의 형태로 § 1에 기록되어 있습니다.

여기서 a와 는 임의의 숫자입니다.

산술을 통해 우리는 교환법칙이 모든 항의 합에 적용된다는 것을 알고 있습니다.

2. 덧셈의 결합 법칙.

인접한 용어 그룹이 해당 합계로 대체되더라도 여러 용어의 합계는 변경되지 않습니다.

세 가지 용어를 합하면 다음과 같습니다.

예를 들어 금액은 두 가지 방법으로 계산할 수 있습니다.

조합 법칙은 여러 용어에 대해 유효합니다.

따라서 4개 항의 합에서 인접한 항을 원하는 대로 그룹으로 결합할 수 있으며 이러한 항은 해당 항의 합으로 대체될 수 있습니다.

예를 들어, 인접한 용어를 어떻게 그룹화하더라도 동일한 숫자 16을 얻게 됩니다.

교환법칙과 결합법칙은 암산에 자주 사용되며, 숫자를 마음속에 더하기 쉽도록 배열합니다.

마지막 두 항을 바꿔서 다음을 얻습니다.

이 순서대로 숫자를 추가하는 것이 훨씬 쉬웠습니다.

일반적으로 용어는 새로운 순서로 다시 작성되지 않지만 마음 속에서 움직입니다. 정신적으로 67과 I를 재배열하고 즉시 89와 11을 추가한 다음 67을 추가합니다.

머리 속에 숫자를 더 쉽게 추가할 수 있도록 용어의 순서를 다음과 같이 변경해 보겠습니다.

조합 법칙을 사용하여 마지막 두 용어를 괄호 안에 넣습니다.

괄호 안의 숫자를 더하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다.

3. 곱셈의 교환 법칙.

요인의 순서에 따라 제품이 변경되지 않습니다.

숫자는 어디에 있습니까?

산술을 통해 교환법칙은 여러 요소의 곱에 대해 적용되는 것으로 알려져 있습니다.

4. 곱셈의 조합 법칙.

인접한 요소 그룹이 해당 제품으로 대체되더라도 여러 요소의 곱은 변경되지 않습니다.

세 가지 요소의 곱에 대해 다음이 있습니다.

예를 들어, 5-3-4 세 요소의 곱은 다음과 같이 계산할 수 있습니다.

네 가지 요소의 곱에 대해 다음과 같은 결과가 있습니다.

예를 들어, 인접한 요소를 그룹화하면 동일한 숫자 20이 얻어집니다.

교환 및 결합 곱셈 법칙을 사용하면 계산이 크게 단순화되는 경우가 많습니다.

25에 37을 곱하는 것은 그리 쉬운 일이 아닙니다. 마지막 두 요소를 이동해 보겠습니다.

이제 곱셈을 머리 속에서 쉽게 할 수 있습니다.

주제 번호 1.

실수, 숫자 표현. 숫자 표현식 변환

I. 이론적 자료

기본 개념

· 정수

· 숫자의 10진수 표기

· 반대 숫자

· 정수

· 공통분수

유리수

· 무한소수

· 수의 주기, 주기분수

· 무리수

· 실수

산술 연산

숫자 표현

· 표현값

· 소수를 일반 분수로 변환

분수를 소수로 변환하기

주기 분수를 일반 분수로 변환

· 산술 연산의 법칙

· 분열의 징후

물건의 개수를 세거나 유사한 물건 중에서 물건의 일련번호를 나타내는 데 사용하는 숫자를 숫자라고 합니다. 자연스러운. 모든 자연수는 10을 사용하여 쓸 수 있습니다. 숫자: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. 이 숫자 표기법을 소수

예를 들어: 24; 3711; 40125.

자연수 집합은 일반적으로 다음과 같이 표시됩니다. N.

부호만 다른 두 숫자를 호출합니다. 반대숫자.

예를 들어, 숫자 7 및 – 7.

자연수, 그 반대수, 숫자 0이 집합을 구성합니다. 전체 지.

예를 들어: – 37; 0; 2541.

양식 번호, 여기서 중 -정수, N -보통수라고 불리는 자연수 분수. 모든 자연수는 분모가 1인 분수로 표현될 수 있습니다.

예를 들어: , .

정수와 분수(양수와 음수) 집합의 합집합은 집합을 구성합니다. 합리적인숫자. 일반적으로 표시됩니다. 큐.

예를 들어: ; – 17,55; .

주어진 소수를 주어보자. 오른쪽에 0을 여러 개 추가해도 해당 값은 변경되지 않습니다.

예를 들어: 3,47 = 3,470 = 3,4700 = 3,47000… .

이런 소수를 무한소수라고 합니다.

모든 공통 분수는 무한 소수 분수로 표시될 수 있습니다.

숫자에서 소수점 이하의 연속적으로 반복되는 숫자 그룹을 호출합니다. 기간, 표기법에 이러한 마침표가 있는 무한 소수를 호출합니다. 주기적. 간결함을 위해 마침표를 한 번만 작성하고 괄호로 묶는 것이 관례입니다.

예를 들어: 0,2142857142857142857… = 0,2(142857).

2,73000… = 2,73(0).

무한소수 비주기 분수를 호출합니다. 비합리적인숫자.

유리수와 무리수 집합의 합집합이 집합을 구성합니다. 유효한숫자. 일반적으로 표시됩니다. 아르 자형.

예를 들어: ; 0,(23); 41,3574…

숫자 비합리적이다.

모든 숫자에 대해 세 단계의 작업이 정의됩니다.

· 1단계 작업: 덧셈과 뺄셈;

· 2단계 작업: 곱셈과 나눗셈;

· 단계 III 동작: 지수화 및 근 추출.

숫자, 산술 기호 및 괄호로 구성된 표현식을 호출합니다. 숫자.

예를 들어: ; .

작업을 수행한 결과 얻은 숫자를 호출합니다. 표현식의 값.

숫자 표현 말이 안 돼, 0으로 나누기가 포함된 경우.

표현의 값을 구하면 3단계, 2단계의 동작, 1단계의 동작이 끝나면 순차적으로 수행된다. 이 경우 수치식에서 괄호의 위치를 ​​고려할 필요가 있다.

수치 표현을 변환하는 것은 적절한 규칙(분모가 다른 일반 분수를 더하는 규칙, 소수의 곱셈 등)을 사용하여 표현에 포함된 숫자에 대해 산술 연산을 순차적으로 수행하는 것으로 구성됩니다. 숫자 표현식을 다음으로 변환하는 작업 교과서"수치식의 값 찾기", "수치식 단순화", "계산" 등의 공식에서 찾을 수 있습니다.

일부 수치식의 값을 찾을 때 분수로 연산을 수행해야 하는 경우가 있습니다. 다른 유형: 보통, 십진, 주기적. 이 경우 일반 분수를 소수로 변환하거나 반대 작업을 수행해야 할 수도 있습니다. 주기 분수를 일반 분수로 바꾸십시오.

변환하다 십진수를 공분수로, 분수의 분자에는 소수점 뒤에 숫자를 쓰고, 분모에는 0이 있는 숫자를 쓰면 충분하며, 소수점 오른쪽의 자릿수만큼 0이 있어야 합니다.

예를 들어: ; .

변환하다 분수를 소수로, 소수를 정수로 나누는 규칙에 따라 분자를 분모로 나누어야 합니다.

예를 들어: ;

;

.

변환하다 주기 분수를 공통 분수로, 필요한:

1) 두 번째 기간 이전의 숫자에서 첫 번째 기간 이전의 숫자를 뺍니다.

2) 이 차이를 분자로 쓰십시오.

3) 마침표에 있는 숫자만큼 분모에 숫자 9를 씁니다.

4) 소수점과 마침표 첫째 자리 사이의 자릿수만큼 분모에 0을 추가합니다.

예를 들어: ; .

산술 연산의 법칙 실수

1. 여행(교환) 덧셈의 법칙: 항을 재배열해도 합계의 값은 변하지 않습니다.

2. 여행(교환) 곱셈의 법칙: 인수를 재배열해도 곱의 가치는 변하지 않습니다.

3. 접속어(연관) 덧셈의 법칙: 용어 그룹이 해당 합계로 대체되면 합계 값은 변경되지 않습니다.

4. 접속어(연관) 곱셈의 법칙: 요소 그룹이 해당 제품으로 대체되더라도 제품의 가치는 변하지 않습니다.

.

5. 분포(분배) 덧셈에 관한 곱셈의 법칙: 합계에 숫자를 곱하려면 각 수에 이 숫자를 곱하고 결과 곱을 더하면 충분합니다.

속성 6~10을 흡수 법칙 0과 1이라고 합니다.

분열의 징후

어떤 경우에는 나누지 않고 한 숫자가 다른 숫자로 나누어지는지 여부를 확인할 수 있는 속성을 호출합니다. 분열의 징후.

2로 나누어지는지 테스트합니다.숫자가 다음으로 끝나는 경우에만 숫자는 2로 나누어집니다. 심지어숫자. 즉, 0, 2, 4, 6, 8입니다.

예를 들어: 12834; –2538; 39,42.

3으로 나누어지는지 테스트. 숫자의 합이 3으로 나누어지는 경우에만 숫자는 3으로 나누어집니다.

예를 들어: 2742; –17940.

4로 나누어지는지 테스트. 최소한 세 자리 숫자를 포함하는 숫자는 주어진 숫자의 마지막 두 자리로 구성된 두 자리 숫자가 4로 나누어지는 경우에만 4로 나누어집니다.

예를 들어: 15436; –372516.

5로 나누어지는 테스트. 숫자는 마지막 숫자가 0 또는 5인 경우에만 5로 나누어집니다.

예를 들어: 754570; –4125.

9로 나누어지는 테스트. 숫자의 합이 9로 나누어지는 경우에만 숫자가 9로 나누어집니다.

예를 들어: 846; –76455.

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슬라이드 캡션:

10.22.15 멋진 작품

선분의 길이를 구하세요 AB a b A B b a B A AB= a + b AB= b + a

11 + 16 = 27(과일) 16 + 11 = 27(과일) 용어를 바꾸면 총 과일 개수가 바뀌나요? 마샤는 사과 11개와 배 16개를 모았습니다. 마샤의 바구니에는 과일이 몇 개 있었나요?

다음과 같은 말을 기록하기 위해 글자 표현을 만들어 보세요: "항을 재배열해도 합은 변하지 않습니다." a + b = b + a 덧셈의 교환법칙

(5 + 7) + 3 = 15 (장난감) 어떤 계산 방법이 더 쉽나요? 마샤는 크리스마스 트리를 장식하고 있었습니다. 그녀는 크리스마스 공 5개, 솔방울 7개, 별 3개를 걸었습니다. 마샤는 몇 개의 장난감을 끊었나요? (7 + 3) + 5 =15 (장난감)

다음과 같은 동사 표현을 기록하는 문자 표현을 만들어 보세요. “두 항의 합에 세 번째 항을 더하려면 첫 번째 항에 두 번째와 세 번째 항의 합을 더하면 됩니다.” (a + b) + c = a + (b + c) 덧셈의 결합 법칙

계산해 봅시다: 27+ 148+13 = (27+13) +148= 188 124 + 371 + 429 + 346 = = (124 + 346) + (371 + 429) = = 470 + 800 = 1270 빠르게 계산하는 방법을 배워 봅시다 !

덧셈과 곱셈에도 동일한 법칙이 적용됩니까? a b = b a (a b) c = a (b c)

b=15 a =12 c=2 V = (a b) c = a (b c) V = (12 15) 2= =12 (15 2)=360 S = a b= b a S = 12 15 = 15 12 = 180

a · b = b · a (a · b) · с = a · (b · с) 곱셈의 교환 법칙 곱셈의 결합 법칙

세어봅시다: 25 · 756 · 4 = (25 · 4) · 756= 75600 8 · (956 · 125) = = (8 · 125) · 956 = = 1000 · 956 = 956000 빨리 셈하는 법을 배우자!

수업 주제: 오늘 수업에서는 무엇을 다루나요? 공과의 주제를 공식화하십시오.

212 (1 열), 214(a,b,c), 231, 230 수업 중 숙제 212 (2 열), 214(d,e,f), 253

주제: 방법론 개발, 프레젠테이션 및 메모

5학년 수학 수업 개발 "산술 연산의 법칙"에는 수업을 위한 텍스트 파일과 프레젠테이션이 포함되어 있습니다. 이 수업에서는 교환 법칙과 결합 법칙이 반복되어 소개됩니다.

산술 연산의 법칙

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