완전성(연속성)의 공리. 실수의 공리 실수 집합의 공리

15. 세트 A와 B가 비어 있지 않은 경우 실수모든 불평등에 대해< b, то найдется такое действительное число с, что a < с < b.

완전성 공리는 R에서만 유효합니다.

동일하지 않은 유리수 사이에 항상 동일하지 않은 유리수를 삽입할 수 있다는 것이 증명될 수 있습니다.

위에 주어진 공리로부터 0과 1의 고유성, 차이와 몫의 존재와 고유성을 추론할 수 있습니다. 다양한 변환에 널리 사용되는 부등식의 속성에 대해 추가로 살펴보겠습니다.

1. 만약< b, с < d , то a+c < b+d.

2. 만약< b, то –a >–b .

3. a > 0이면 b< 0, то ab < 0, а если a < 0, b < 0, то ab >0. (후자는 a > 0, b > 0에도 적용됩니다.)

4. 0인 경우< a < b, 0 < c < d, то 0 < ac < bd .

5. 만약< b, c >0, 다음은 ac< bc , а если a < b, c < 0, то bc < ac .

6. 0인 경우< a < b, то .

7. 0 < 1, то – 1 < 0.

8. 임의의 양수 a와 b에 대해 na > b를 충족하는 숫자 nО N이 있습니다(공리 아르키메데스, 길이가 a, b, na인 세그먼트의 경우).

숫자 세트에는 다음 표기법이 사용됩니다.

N – 자연수의 집합;

지 – 정수 집합;

큐 – 한 무리의 유리수;

나 – 무리수 세트;

아르 자형 – 실수 집합;

R + – 실수 양수 세트;

아르 자형_ – 실수 음수 세트;

R 0 - 음수가 아닌 실수의 집합;

C는 복소수 집합입니다(이 집합의 정의와 속성은 섹션 1.1에서 논의됩니다).

실수 집합에 대한 경계의 개념을 소개하겠습니다. 향후 논의에 적극 활용하겠습니다.

그러한 실수 M이 존재한다면 집합을 LIMITED ABOVE(BOTTOM)이라고 부를 것입니다. (중 ) 모든 요소가 부등식을 만족하는지 확인합니다.

숫자 M은 집합 A의 상한(UPPER BOUND)이라고 하며, 숫자 m은 – 이 세트의 하한.

위와 아래에 유계가 있는 집합을 유계라고 합니다.

한 무리의 N 자연수는 아래로 제한되지만 위로는 제한되지 않습니다. 정수 세트 지 아래 또는 위에 제한되지 않습니다.

직경이 있는 원에 내접하는 임의의 삼각형 영역 집합을 고려하면 디 , 그러면 아래에서 0으로 제한되고 위에서부터 – 원을 포함하는 모든 다각형의 면적(특히 외접 사각형의 면적은 디 2 ).

위(아래)로 제한된 모든 집합에는 위쪽(아래쪽) 면이 무한히 많습니다. 그렇다면 모든 상한 중 가장 작은 경계와 모든 하한 중 가장 큰 경계가 있습니까?

우리가 그 번호로 전화할게 위에 유계가 있는 집합의 상한 ㅏÌ 아르 자형 , 만약에:

1. 집합의 상한 중 하나입니다. ㅏ ;

2. 집합의 상한 중 가장 작은 것 ㅏ . 즉, 실수 세트의 최고점이다 ㅏÌ 아르 자형 , 만약에:

허용되는 지정

같은 방법으로 입력하세요. – 아래에 유계가 있는 집합의 극한 ㅏ 및 해당 명칭

라틴어: 최고 - 최고, 하한 - 최저.

세트의 정확한 면은 세트에 속할 수도 있고 아닐 수도 있습니다.

정리. 위(아래)로 제한된 비어 있지 않은 실수 집합에는 상한(하한)이 있습니다.

우리는 증명 없이 이 정리를 받아들일 것입니다. 예를 들어 이면 상한은 100, 하한은 - 10, 으로 간주할 수 있습니다. 그렇다면. 두 번째 예에서는 정확한 경계가 이 세트에 속하지 않습니다.

실수 집합에서는 대수적 수와 초월적 수의 분리된 두 하위 집합을 구별할 수 있습니다.

대수는 다항식의 근이 되는 숫자입니다.

누구의 계수 – 정수.

고등 대수학에서는 다항식의 복소수 근의 집합이 유한하고 n과 같다는 것이 증명되었습니다. ( 복소수실제 내용을 일반화한 것입니다.) 대수적 숫자의 집합은 셀 수 있다 . 다음 형식의 숫자이므로 모든 유리수를 포함합니다.

방정식을 만족시키다

유리수의 근수가 아닌 대수적 숫자가 있다는 것도 입증되었습니다. 이 매우 중요한 결과는 근수에서 4차수 이상의 방정식에 대한 해를 찾으려는 결실 없는 시도를 중단시켰습니다. 이 문제를 연구한 대수학자들의 수세기에 걸친 탐구는 21세의 나이에 터무니없이 사망한 프랑스 수학자 E. Galois에 의해 요약되었습니다. 그의 과학 작품 60페이지밖에 안 되는 책이지만 수학 발전에 눈부신 공헌을 했습니다.

이 과학을 열정적이고 걷잡을 수 없이 사랑했던 청년은 두 번이나 가장 권위 있는 대학에 들어가려고 노력했습니다. 교육 기관당시 프랑스 – 폴리 테크닉 학교 – 실패했습니다. 특권층에서 공부를 시작했습니다 고등학교 – 감독과의 갈등으로 인해 퇴출당함. 루이 필립에 반대하는 발언을 한 후 정치범이 된 그는 근수 방정식의 해법에 대한 연구 원고를 감옥에서 파리 과학 아카데미로 옮겼습니다. 아카데미는 이 작품을 거부했습니다. 결투에서의 터무니없는 죽음으로 이 비범한 남자의 삶이 끝났습니다.

실수 집합과 대수 집합의 차이인 집합을 초월 숫자 집합이라고 합니다. . 분명히, 모든 초월수는 정수 계수를 갖는 다항식의 근이 될 수 없습니다.

동시에, 개별 숫자의 초월성을 증명하는 것은 엄청난 어려움을 야기했습니다.

1882년이 되어서야 쾨니히스베르크 대학의 교수인 F. 린데만(F. Lindemann)이 숫자의 초월성을 증명할 수 있었고, 이를 통해 원을 제곱하는 문제를 해결하는 것이 불가능하다는 것이 분명해졌습니다. 나침반과 자를 사용하여 주어진 원의 면적). 우리는 대수학, 해석학, 기하학의 개념이 서로 관통하고 있음을 봅니다.

실수의 공리적 도입은 유일한 것이 아닙니다. 이러한 숫자는 유리수 집합과 무리수 집합을 결합하거나 무한소수로 표시하거나 유리수 집합을 잘라서 도입할 수 있습니다.

*1) 이 자료는 책의 7장에서 발췌한 것입니다.

L.I. Lurie 고등 수학의 기초 / 지도 시간/ M.: 출판 및 무역 회사 "Dashkov and Co", - 2003, - 517 P.

학교 수학 과정에서는 측정 수행의 필요성에 따라 실수가 건설적인 방식으로 정의되었습니다. 이 정의는 엄격하지 않았으며 종종 연구자들을 막 다른 골목으로 이끌었습니다. 예를 들어, 실수의 연속성, 즉 이 세트에 공백이 있는지에 대한 질문입니다. 따라서 수학적 연구를 수행할 때 적어도 실제와 일치하는 몇 가지 직관적인 가정(공리)의 틀 내에서 연구 중인 개념을 엄격하게 정의하는 것이 필요합니다.

정의: 요소의 집합 x, y, z, …, 둘 이상의 요소로 구성,세트라고 함 아르 자형실수(이 객체에 대해 다음 연산 및 관계가 설정된 경우):

I 공리 그룹- 덧셈 연산의 공리.

풍부하게 아르 자형즉, 임의의 요소 쌍에 대해 추가 작업이 도입되었습니다. ㅏ그리고 비 양그리고 지정 ㅏ + 비
나 1. ㅏ+비=비+ㅏ, 에, 비 아르 자형 .

나 2. ㅏ+(b+c)=(a+b)+씨,ㅏ, 비, 씨 아르 자형 .

I 3. 다음과 같은 요소가 있습니다. 영 0으로 표시됩니다. ㅏ 아르 자형 조건이 충족됨 ㅏ+0=ㅏ.

나 4. 모든 요소에 대해 ㅏ 아르 자형 라는 요소가 있어요 반대그리고 -로 표시됩니다. ㅏ, 이를 위해 ㅏ+(-ㅏ)=0. 요소 ㅏ+(-비), ㅏ, 비 아르 자형 , 라고 불리는 차이점강요 ㅏ그리고 비지정되어 있으며 ㅏ - 비.

II – 공리 그룹 - 곱셈 연산의 공리. 풍부하게 아르 자형작업이 시작되었습니다 곱셈즉, 모든 요소 쌍에 대해 ㅏ그리고 비단일 요소가 정의되어 있습니다. 일하다그리고 지정 a b이므로 다음 조건이 충족됩니다.
2. 1. ab=바, 에이, 비 아르 자형 .

II 2 ㅏ(기원전)=(ab)씨, ㅏ, 비, 씨 아르 자형 .

2. 3. 이라는 요소가 있습니다. 단위 1로 표시됩니다. ㅏ 아르 자형 조건이 충족됨 ㅏ 1=ㅏ.

2 4. 누구에게나 ㅏ 0이라는 요소가 있습니다. 뒤집다또는 1/로 표시됩니다. ㅏ, 이를 위해 ㅏ=1. 요소 ㅏ , 비 0, 호출됨 사적인부서에서 ㅏ~에 비지정되어 있으며 ㅏ:비또는 또는 ㅏ/비.

2 5. 덧셈과 곱셈 연산의 관계: 모든 경우 ㅏ, 비, 씨 아르 자형 조건이 만족됩니다( ac + b)c=ac+bc.

그룹 I과 II의 공리를 충족하는 객체의 모음을 숫자 필드 또는 간단히 필드라고 합니다. 그리고 이에 대응하는 공리를 장 공리(field axiom)라고 합니다.

III - 공리의 세 번째 그룹 - 질서의 공리.요소의 경우 아르 자형순서 관계가 정의됩니다. 다음과 같습니다. 임의의 두 가지 다른 요소에 대해 ㅏ그리고 비두 관계 중 하나가 유지됩니다. ㅏ 비("라고 읽는다 ㅏ작거나 같음 비"), 또는 ㅏ 비("라고 읽는다 ㅏ그 이상 또는 같음 비"). 다음 조건이 충족된다고 가정합니다.

III 1. ㅏ ㅏ각각 ㅏ.에서 ㅏ 비, 비~해야 한다 a=b.

III 2. 전이성. 만약에 ㅏ 비그리고 비 씨, 저것 ㅏ씨.

III 3. 만약에 ㅏ 비, 그런 다음 모든 요소에 대해 씨발생하다 ㅏ+씨 비+씨.

III 4. 만약에 ㅏ 0, 비 0, 저것 ab 0 .

공리의 그룹 IV는 하나의 공리, 즉 연속성 공리로 구성됩니다.비어 있지 않은 세트의 경우 엑스그리고 와이~에서 아르 자형각 요소 쌍에 대해 엑스 엑스그리고 와이 와이불평등이 유지된다 엑스 < 와이, 요소가 있습니다 ㅏ 아르 자형, 조건을 만족함

쌀. 2

엑스 < ㅏ < 와이, 엑스 엑스, 와이 와이(그림 2). 나열된 속성은 다른 모든 속성이 이러한 속성을 따른다는 점에서 실수 집합을 완전히 정의합니다. 이 정의요소의 특정 특성까지 실수 집합을 고유하게 정의합니다. 0으로만 구성된 집합은 분명히 모든 공리를 충족하기 때문에 집합에 두 개 이상의 요소가 포함되어 있다는 점에 주의해야 합니다. 다음에서는 집합 R 번호의 요소를 호출합니다.

이제 자연수, 유리수, 무리수의 친숙한 개념을 정의해 보겠습니다. 숫자 1, 2 1+1, 3 2+1, ...을 호출합니다. 자연수, 그리고 그 세트는 표시됩니다 N . 자연수 집합의 정의에 따르면 다음과 같은 특징적인 속성을 갖습니다. 만약에

1) ㅏ N ,

3) 각 요소 x에 대해 A 포함x+ 1 ㅏ, 그 다음에=N .

실제로 조건 2)에 따르면 1이 있습니다. ㅏ, 따라서 속성 3)과 2에 따라 ㅏ, 그리고 동일한 속성에 따라 3을 얻습니다. ㅏ. 어느 때부터 자연수 N은 1에 동일한 1을 연속적으로 추가하여 얻습니다. N ㅏ, 즉. N ㅏ, 그리고 조건 1에 의해 포함되기 때문에 ㅏ N , 저것 ㅏ=N .

증명의 원리는 자연수의 이러한 성질에 바탕을 두고 있습니다. 수학적 귀납법에 의한. 진술이 많은 경우 각 진술에는 자연수(해당 번호)가 할당됩니다. N=1, 2, ..., 그리고 다음이 입증된 경우:

1) 진술 번호 1이 사실입니다.

2) 임의의 숫자로 된 진술의 유효성으로부터 N N 숫자가 있는 진술의 유효성을 따릅니다. N+1;

그러면 모든 진술의 타당성이 입증됩니다. 임의의 숫자가 포함된 모든 명령문 N N .

숫자 0, + 1, + 2, ...라고 불린다 정수, 그 세트는 표시됩니다 지 .

양식의 번호 m/n, 어디 중그리고 N전체, 그리고 N 0이 호출됩니다. 유리수. 모든 유리수의 집합은 다음과 같이 표시됩니다. 큐 .

유리수가 아닌 실수를 호출합니다. 비합리적인, 그 세트는 표시됩니다 나 .

아마도 유리수는 집합의 모든 요소를 소진시킬 수 있다는 의문이 제기됩니다. 아르 자형?이 질문에 대한 답은 연속성의 공리로 주어진다. 실제로 이 공리는 유리수에는 적용되지 않습니다. 예를 들어, 두 세트를 고려하십시오.

모든 요소와 불평등에 대해 쉽게 알 수 있습니다. 하지만 합리적인이 두 세트를 구분하는 숫자는 없습니다. 사실 이 숫자는 , 만 가능하지만 합리적이지 않습니다. 이 사실은 집합에 무리수(irrational number)가 있음을 나타냅니다. 아르 자형.

4개 빼고 산술 연산숫자를 사용하면 지수화 및 근 추출 작업을 수행할 수 있습니다. 어떤 숫자에도 ㅏ 아르 자형 자연스럽고 N도 앤제품으로 정의됩니다. N요인은 같다 ㅏ:

우선순위 ㅏ 0 1, ㅏ>0, ㅏ- n 1/ ㅏ N, ㅏ 0, N- 자연수.

예.베르누이 부등식: ( 1+x)n> 1+nx귀납법으로 증명하세요.

허락하다 ㅏ>0, N- 자연수. 숫자 비~라고 불리는 루트 n중에서 2급 ㅏ, 만약에 b n =a. 이 경우에는 이라고 쓰여 있습니다. 모든 정도의 양수근의 존재 및 고유성 N어떤 양수로부터도 아래 섹션 7.3에서 증명될 것입니다.
뿌리조차, ㅏ 0에는 두 가지 의미가 있습니다. 비 = , 케이 N , 그 다음에 -비= . 실제로, b 2천 = ㅏ그 뒤를 따른다

(-비)2천 = ((-비) 2 )케이 = (비 2)케이 = b 2천

음수가 아닌 값을 해당 값이라고 합니다. 산술 값.
만약에 아르 자형 = p/q, 어디 피그리고 큐전체, 큐 0, 즉 아르 자형는 유리수이고, 그러면 ㅏ > 0

(2.1)

따라서 학위는 아르임의의 유리수에 대해 정의됨 아르 자형. 그것의 정의로부터 그것은 합리적인 것에 대해 다음과 같습니다: 아르 자형평등이 있다

-r = 1/아르.

도 엑스(숫자 엑스~라고 불리는 멱지수) 실수의 경우 엑스유리수 지수를 사용하여 차수의 연속 전파를 사용하여 구합니다(자세한 내용은 섹션 8.2 참조). 어떤 숫자에도 ㅏ 아르 자형 음수가 아닌 숫자

~라고 불린다 절대값또는 기준 치수. 을 위한 절대값숫자 불평등이 유효합니다

|ㅏ + 비| < |ㅏ| + |비|,
||ㅏ - 비|| < |ㅏ - 비|, ㅏ, 비 아르 자형

실수의 속성 I-IV를 사용하여 증명되었습니다.

수학적 분석의 구성에서 연속성 공리의 역할

연속성 공리의 중요성은 그것 없이는 수학적 분석의 엄격한 구성이 불가능할 정도입니다. [ 출처가 지정되지 않음 1351일] 설명하기 위해 우리는 실수의 연속성을 기반으로 한 증거인 몇 가지 기본 분석 설명을 제시합니다.

· (Weierstrass의 정리).모든 유계 단조 증가 수열은 수렴합니다.

· (Bolzano-Cauchy 정리).끝 부분에서 값을 취하는 세그먼트에서 연속적인 함수 다른 표시, 세그먼트의 일부 내부 지점에서 사라집니다.

· (거듭제곱, 지수, 로그 및 모든 것의 존재 삼각함수정의의 "자연적" 영역 전반에 걸쳐).예를 들어, 모든 사람과 전체에 대해 방정식의 해가 존재한다는 것이 증명되었습니다. 이를 통해 모든 유리수에 대한 표현식의 값을 결정할 수 있습니다.

마지막으로 수직선의 연속성 덕분에 임의의 표현식에 대한 표현식의 값을 결정하는 것이 가능합니다. 마찬가지로 연속성의 속성을 사용하여 모든 에 대해 숫자의 존재가 증명됩니다.

오랜 역사적 기간 동안 수학자들은 기하학적 정당성을 언급하는 "미묘한 장소"에서 분석을 통해 정리를 증명했고, 더 자주는 명백했기 때문에 정리를 모두 건너뛰었습니다. 가장 중요한 연속성 개념이 명확한 정의 없이 사용되었습니다. 19세기 마지막 3분의 1에서야 독일의 수학자 카를 바이어스트라스(Karl Weierstrass)는 분석을 산술화하여 실수를 무한소수로 표현하는 최초의 엄격한 이론을 세웠습니다. 그는 극한의 고전적 정의를 언어로 제안했고, 이전에 '명백한' 것으로 여겨졌던 수많은 명제들을 증명함으로써 수학적 분석의 기초를 다졌다.

나중에 실수를 결정하는 다른 접근법이 제안되었습니다. 공리적 접근 방식에서는 실수의 연속성이 별도의 공리로 명시적으로 강조됩니다. 예를 들어 데데킨트 섹션을 사용하여 실수를 구성할 때 실수 이론에 대한 건설적인 접근 방식에서 연속성 속성(어떤 형태로든)이 정리로 입증됩니다.

연속성의 다른 공식과 등가 문장[편집 | 위키 텍스트 편집]

실수의 연속성을 표현하는 여러 가지 진술이 있습니다. 이들 각각의 원리는 연속성의 공리인 실수 이론을 구성하는 기초로 사용될 수 있으며, 다른 모든 원리는 이로부터 도출될 수 있습니다. 이 문제는 다음 섹션에서 더 자세히 논의됩니다.

데데킨트의 연속성[편집 | 위키 텍스트 편집]

주요 기사:유리수 분야의 절단 이론

Dedekind는 그의 작품 "연속성과 무리수"에서 실수의 연속성 문제를 고려합니다. 그 안에서 그는 유리수를 직선 위의 점과 비교합니다. 알려진 바와 같이, 시작점과 세그먼트의 측정 단위가 선에서 선택되면 유리수와 선의 점 사이에 대응 관계가 설정될 수 있습니다. 후자를 이용하면 각 유리수에 대응하는 세그먼트를 구성할 수 있고, 양수가 있는지, 음수가 있는지에 따라 오른쪽이나 왼쪽으로 놓아서 그 숫자에 해당하는 점을 얻을 수 있다. 따라서 각 유리수에 대해 선 위의 단 하나의 점에 해당합니다.

어떤 유리수에도 해당하지 않는 선 위에 무한히 많은 점이 있다는 것이 밝혀졌습니다. 예를 들어, 단위 선분 위에 구성된 정사각형의 대각선 길이를 플로팅하여 얻은 점입니다. 따라서 유리수의 영역에는 다음이 없습니다. 완전성, 또는 연속성, 이는 직선에 내재되어 있습니다.

이 연속성이 무엇으로 구성되어 있는지 알아내기 위해 데데킨트는 다음과 같이 언급합니다. 선에 특정 점이 있는 경우 선의 모든 점은 왼쪽에 있는 점과 오른쪽에 있는 점이라는 두 가지 클래스로 분류됩니다. 포인트 자체는 하위 또는 상위 클래스에 임의로 할당될 수 있습니다. 데데킨트는 연속성의 본질을 역원리에서 본다.

기하학적으로 이 원리는 명백해 보이지만 증명할 수는 없습니다. 데데킨트는 본질적으로 이 원리가 우리가 연속성이라고 부르는 직접성에 귀속되는 속성의 본질을 표현하는 가정임을 강조합니다.

데데킨트의 의미에서 수직선의 연속성의 본질을 더 잘 이해하려면 실수 집합의 임의 부분, 즉 모든 실수를 비어 있지 않은 두 클래스로 나누는 것을 고려하십시오. 한 클래스의 숫자는 두 번째 클래스의 모든 숫자 왼쪽 수직선에 놓입니다. 이러한 클래스는 그에 따라 이름이 지정됩니다. 낮추다그리고 상류층섹션. 이론적으로는 4가지 가능성이 있습니다.

1. 하위 클래스에는 최대 요소가 있고, 상위 클래스에는 최소 요소가 없습니다.

2. 하위 클래스에는 최대 요소가 없지만 상위 클래스에는 최소 요소가 있습니다.

3. 하위 클래스는 최대 요소를 가지며 상위 클래스는 최소 요소를 갖습니다.

4. 하위 클래스에는 최대 요소가 없고, 상위 클래스에는 최소 요소가 없습니다.

첫 번째와 두 번째 경우에는 각각 하단의 최대 요소 또는 상단의 최소 요소가 이 섹션을 생성합니다. 세 번째 경우에는 뛰다, 그리고 네 번째에서는 - 공간. 따라서 수직선의 연속성은 실수 집합에 점프나 틈이 없다는 것을 의미합니다. 즉 비유적으로 말하면 빈 공간이 없다는 의미입니다.

실수 집합의 섹션 개념을 도입하면 데데킨트의 연속성 원리는 다음과 같이 공식화될 수 있습니다.

데데킨트의 연속성(완전성) 원리. 실수 집합의 각 섹션에 대해 이 섹션을 생성하는 숫자가 있습니다.

논평. 두 집합을 분리하는 점의 존재에 관한 연속성 공리의 공식화는 데데킨트의 연속성 원리 공식화와 매우 유사합니다. 실제로 이러한 진술은 동일하며 본질적으로 동일한 것에 대한 다른 공식입니다. 따라서 이 두 명령문을 모두 호출합니다. 데데킨트의 실수 연속성 원리.

중첩된 세그먼트에 대한 정리(Cauchy-Cantor 원리)[편집 | 위키 텍스트 편집]

주요 기사:중첩된 세그먼트의 보조정리

중첩된 세그먼트의 보조정리 (코시-캔터). 중첩된 세그먼트의 모든 시스템

비어 있지 않은 교차점이 있습니다. 즉, 주어진 시스템의 모든 세그먼트에 속하는 숫자가 하나 이상 있습니다.

또한, 주어진 시스템의 세그먼트 길이가 0이 되는 경향이 있는 경우, 즉

그러면 이 시스템의 세그먼트 교차점은 하나의 점으로 구성됩니다.

이 속성은 칸토어의 의미에서 실수 집합의 연속성. 아래에서는 아르키메데스 순서 필드의 경우 Cantor 연속성이 Dedekind 연속성과 동일하다는 것을 보여줍니다.

최고의 원칙[편집 | 위키 텍스트 편집]

최고의 원칙. 위에 제한된 모든 비어 있지 않은 실수 집합에는 상한이 있습니다.

미적분학 과정에서 이 명제는 일반적으로 정리이며 그 증명은 본질적으로 어떤 형태로든 실수 집합의 연속성을 활용합니다. 동시에, 반대로, 위의 경계가 있는 비어 있지 않은 집합에 대한 상한의 존재를 가정할 수 있으며, 이에 의존하여 예를 들어 데데킨트에 따른 연속성의 원리를 증명할 수 있습니다. 따라서, 상한 정리는 실수의 연속성 속성에 대한 등가 공식 중 하나입니다.

논평. 상한 대신 하한의 이중 개념을 사용할 수 있습니다.

무한의 원리. 아래로부터 제한된 비어 있지 않은 모든 실수 집합은 극한을 갖습니다.

이 제안은 데데킨트의 연속성 원리와도 동일합니다. 더욱이, 상한 정리의 진술은 하한 정리의 진술에서 직접적으로 따르고 그 반대도 마찬가지라는 것을 알 수 있습니다(아래 참조).

유한 덮음 정리(Heine-Borel 원리)[편집 | 위키 텍스트 편집]

주요 기사:하이네-보렐 정리

유한 커버 정리 (하이네-보렐). 세그먼트를 포함하는 모든 간격 시스템에는 이 세그먼트를 포함하는 유한한 하위 시스템이 있습니다.

한계점 보조정리(Bolzano-Weierstrass 원리)[편집 | 위키 텍스트 편집]

주요 기사:볼차노-바이어슈트라스 정리

한계점 보조정리 (볼차노-바이어슈트라스). 모든 무한 제한 숫자 세트에는 최소한 하나의 제한점이 있습니다.

실수 집합의 연속성을 표현하는 문장의 동등성[편집 | 위키 텍스트 편집]

몇 가지 예비적인 발언을 해보자. 실수의 공리적 정의에 따르면, 실수 집합은 세 그룹의 공리를 충족합니다. 첫 번째 그룹은 장 공리입니다. 두 번째 그룹은 실수 집합이 선형적으로 정렬된 집합이며 순서 관계가 해당 필드의 기본 연산과 일치한다는 사실을 표현합니다. 따라서 첫 번째와 두 번째 공리 그룹은 실수 집합이 순서화된 필드를 나타냄을 의미합니다. 세 번째 공리 그룹은 하나의 공리, 즉 연속성(또는 완전성) 공리로 구성됩니다.

실수의 연속성에 대한 다양한 공식의 동등성을 보여주기 위해, 이러한 진술 중 하나가 순서 필드에 대해 유효하면 다른 모든 진술의 타당성은 이것으로부터 나온다는 것을 증명하는 것이 필요합니다.

정리. 임의의 선형 순서 집합이라고 하자. 다음 명령문은 동일합니다.

1. 비어 있지 않은 집합이 무엇이든 두 요소에 대해 부등식이 성립하는 요소는 모든 요소와 관계에 대해 성립하는 요소가 존재합니다.

2. 모든 섹션에는 이 섹션을 생성하는 요소가 있습니다.

3. 위의 경계가 있는 비어 있지 않은 모든 집합에는 상한값이 있습니다.

4. 아래로부터 유계가 있는 비어 있지 않은 모든 집합은 하한값을 갖습니다.

이 정리에서 볼 수 있듯이, 이 네 문장은 선형 순서 관계가 도입되었다는 사실만 사용하고 필드의 구조를 사용하지 않습니다. 따라서 이들 각각은 선형 순서 집합의 속성을 표현합니다. 이 속성(임의의 선형 순서 집합, 반드시 실수 집합일 필요는 없음)을 다음과 같이 부릅니다. 데데킨트에 따르면 연속성 또는 완전성.

다른 문장의 동등성을 증명하려면 이미 필드 구조가 필요합니다.

정리. 임의의 순서가 지정된 필드라고 가정합니다. 다음 문장은 동일합니다.

1. (선형적으로 정렬된 집합으로서) 데데킨트는 완전하다

2. 아르키메데스의 원리를 충족시키기 위해그리고 중첩 세그먼트의 원리

3. Heine-Borel 원리가 만족되기 때문입니다.

4. Bolzano-Weierstrass 원리가 충족되었습니다.

논평. 정리에서 알 수 있듯이 중첩된 세그먼트의 원리 자체는 동일하지 않음데데킨트의 연속성 원리. Dedekind의 연속성 원리에서 중첩 세그먼트의 원리가 따르지만, 그 반대의 경우 순서 필드가 아르키메데스 공리를 충족해야 한다는 것을 추가로 요구할 필요가 있습니다.

위 정리의 증명은 아래 참고문헌 목록의 도서에서 찾아볼 수 있습니다.

· 쿠드랴브체프, L. D.수학적 분석 과정. - 5판. - M .: "Drofa", 2003. - T. 1. - 704 p. - ISBN 5-7107-4119-1.

· 피크텐골츠, G.M.수학적 분석의 기초. - 7판. - M.: "FIZMATLIT", 2002. - T. 1. - 416 p. - ISBN 5-9221-0196-X.

· 데데킨트, R.연속성과 무리수 = Stetigkeit und irrationale Zahlen. - 4차 개정판. - 오데사: 수학, 1923. - 44p.

· 조리치, V. A.수학적 분석. 파트 I. -Ed. 4 번째, 수정됨 - M.: "MCNMO", 2002. - 657 p. - ISBN 5-94057-056-9.

· 함수 및 수치 영역의 연속성: B. Bolzano, L. O. Cauchy, R. Dedekind, G. Cantor. - 3판. - 노보시비르스크: ANT, 2005. - 64 p.

4.5. 연속성의 공리

두 개의 비어 있지 않은 실수 집합 A와

B , 임의의 요소 a ∈ A 및 b ∈ B에 대해 부등식

a ≤ b, 모든 a ∈ A, b ∈ B에 대해 다음이 성립하는 숫자 λ가 있습니다.

평등 a ≤ λ ≤ b.

실수의 연속성은 실수에서 다음을 의미합니다.

정맥 라인에는 "공극"이 없습니다. 즉, 숫자를 나타내는 점이 채워집니다.

전체 실제 축.

연속성 공리에 대한 또 다른 공식을 제시해 보겠습니다. 이를 위해 소개합니다.

정의 1.4.5. 두 세트 A와 B를 섹션이라고 부르겠습니다.

실수 집합인 경우

1) 세트 A와 B는 비어 있지 않습니다.

2) 집합 A와 B의 합집합은 모든 실수 집합을 구성합니다.

숫자;

3) 세트 A의 모든 숫자는 세트 B의 숫자보다 작습니다.

즉, 섹션을 구성하는 모든 세트에는 최소한 하나의 섹션이 포함됩니다.

요소인 경우, 이 세트는 공통 요소를 포함하지 않으며 a ∈ A 및 b ∈ B이면

세트 A를 하위 클래스, 세트 B를 상위 클래스라고 하겠습니다.

섹션 클래스. 섹션을 A B로 표시하겠습니다.

섹션의 가장 간단한 예는 다음과 같이 얻은 섹션입니다.

불어오는 길. 어떤 숫자 α를 취하고

A = ( x x< α } , B = { x x ≥ α } . Легко видеть, что эти множества не пусты, не пере-

절단되고 a ∈ A 및 b ∈ B이면 a< b , поэтому множества A и B образуют

부분. 마찬가지로 세트별로 섹션을 구성할 수도 있습니다.

A =(x x ≤ α ) , B =(x x > α ) .

우리는 숫자 α에 의해 생성된 섹션을 섹션이라고 부르겠습니다.

숫자 α가 이 단면을 생성한다고 말할 것입니다. 이는 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

임의의 숫자로 생성된 섹션에는 두 가지 흥미로운 점이 있습니다.

속성:

속성 1. 상위 클래스에 가장 작은 숫자가 포함되고 하위 클래스에 포함됩니다.

클래스에 가장 큰 숫자가 없거나 하위 클래스에 가장 큰 숫자가 포함되어 있습니다.

아, 그리고 상류층에는 최소한도 없습니다.

속성 2. 주어진 섹션을 생성하는 번호는 고유합니다.

위에서 공식화된 연속성의 공리는 다음과 동일하다는 것이 밝혀졌습니다.

데데킨트의 원리라는 진술과 일치합니다.

데데킨트의 원리. 각 섹션마다 번호가 생성됩니다.

이것은 섹션입니다.

이 진술의 동등성을 증명해 보겠습니다.

연속성의 공리가 참이라고 가정하고, 일부는 다음과 같습니다.

A B 읽기 . 그러면 클래스 A와 B가 조건을 만족하므로 식은 다음과 같습니다.

공리에서 언급된 임의의 숫자에 대해 a ≤ λ ≤ b를 충족하는 숫자 λ가 있습니다.

a ∈ A 및 b ∈ B. 그러나 숫자 λ는 다음 중 하나에만 속해야 합니다.

클래스 A 또는 B이므로 부등식 a ≤ λ 중 하나가 충족됩니다.< b или

ㅏ< λ ≤ b . Таким образом, число λ либо является наибольшим в нижнем классе,

또는 상위 클래스에서 가장 작은 섹션을 생성합니다.

반대로 데데킨트의 원리가 만족되고 두 개가 비어 있지 않다고 하자.

모든 a ∈ A 및 b ∈ B에 대해 부등식이 되도록 A와 B를 설정합니다.

a ≤ b. 임의의 경우 a ≤ b인 숫자 집합 b를 B로 표시하겠습니다.

b ∈ B 및 모두 a ∈ A. 그렇다면 B ⊂ B이다. 집합 A에 대해 우리는 모든 숫자의 집합을 취합니다

B에 포함되지 않은 마을

집합 A와 B가 하나의 단면을 형성한다는 것을 증명해 보겠습니다.

실제로 집합 B는 다음을 포함하므로 비어 있지 않음이 분명합니다.

비어 있지 않은 세트 B. 집합 A도 비어 있지 않습니다. 왜냐하면 숫자 a ∈ A이면,

그러면 숫자 a − 1∉ B가 됩니다. 왜냐하면 B에 포함된 모든 숫자는 최소한 다음과 같아야 하기 때문입니다.

따라서 숫자 a는 a − 1∈ A입니다.

집합의 선택으로 인해 모든 실수의 집합.

그리고 마지막으로 a ∈ A이고 b ∈ B이면 a ≤ b입니다. 실제로 혹시라도

숫자 c는 부등식 c > b를 만족합니다. 여기서 b ∈ B이면 잘못된 것입니다.

동등성 c > a (a는 집합 A의 임의 요소임) 및 c ∈ B.

그래서 A와 B가 단면을 이루게 되고, 데데킨트의 원리에 의해 여러 개의

lo λ는 이 섹션을 생성합니다. 즉, 클래스에서 가장 큰 것입니다.

이 숫자가 클래스 A에 속할 수 없음을 증명해 보겠습니다. 유효한

그러나 λ ∈ A이면 다음과 같은 숫자 a* ∈ A가 있습니다.< a* . Тогда существует

숫자 λ와 a* 사이에 숫자 a'가 있습니다. 불평등 a'로부터< a* следует, что

a′ ∈ A , 그러면 부등식 λ로부터< a′ следует, что λ не является наибольшим в

클래스 A는 Dedekind의 원리와 모순됩니다. 따라서 숫자 λ는 다음과 같습니다.

클래스 B에서 가장 작으며 모든 a ∈ A에 대해 부등식은 유지됩니다

a ≤ λ ≤ b , 이것이 증명되어야 하는 것입니다.

따라서 공리로 공식화 된 속성과 속성

Dedekind의 원리로 공식화 된 것은 동일합니다. 앞으로는 이들

연속성이라고 부를 실수 집합의 속성

데데킨트에 따르면.

Dedekind에 따른 실수 집합의 연속성으로부터 다음과 같습니다.

두 가지 중요한 정리.

정리 1.4.3. (아르키메데스의 원리) 실수가 무엇이든 간에

a, a를 만족하는 자연수 n이 있습니다.< n .

정리의 진술이 거짓이라고 가정합시다. 즉, 다음과 같은 것이 있습니다.

모든 자연수에 대해 부등식 n ≤ b0이 유지되는 어떤 숫자 b0

N. 실수 세트를 두 클래스로 나누어 보겠습니다. 클래스 B에는 다음이 포함됩니다.

임의의 자연수 n에 대해 부등식 n ≤ b를 만족하는 모든 숫자 b.

이 클래스에는 숫자 b0이 포함되어 있으므로 비어 있지 않습니다. 우리는 모든 것을 클래스 A에 넣을 것입니다

남은 숫자. 이 클래스는 비어 있지 않습니다. 왜냐하면 모든 자연수가

A에 포함됩니다. 클래스 A와 B는 교차하지 않으며 이들의 합집합은 다음과 같습니다.

모든 실수의 집합.

임의의 숫자 a ∈ A와 b ∈ B를 취하면 자연수가 있습니다.

숫자 n0은 다음과 같습니다.< n0 ≤ b , откуда следует, что a < b . Следовательно, классы

A와 B는 데데킨트의 원리를 만족하고 다음을 나타내는 수 α가 있습니다.

섹션 A B를 생성합니다. 즉, α는 클래스 A에서 가장 크거나

또는 클래스 B에서 가장 작습니다. α가 클래스 A에 속한다고 가정하면

부등식 α가 성립하는 자연수 n1을 찾을 수 있습니다.< n1 .

A에는 n1도 포함되어 있기 때문에 α라는 숫자는 이 클래스에서 가장 크지는 않을 것이고,

그러므로 우리의 가정은 틀렸고 α는 다음에서 가장 작습니다.

클래스 B.

반면에 클래스 A에 포함되는 숫자 α − 1을 취합니다. 슬레도바-

따라서 α − 1이 되는 자연수 n2가 존재합니다.< n2 , откуда получим

α < n2 + 1 . Так как n2 + 1 - натуральное число, то из последнего неравенства

α ∈ A가 됩니다. 그 결과 모순이 정리를 증명합니다.

결과. 숫자 a와 b가 0이 되는 것은 무엇이든< a < b , существует

부등식 na > b가 성립하는 자연수 n.

이를 증명하려면 아르키메데스의 원리를 숫자에 적용하면 충분합니다.

불평등의 성질을 이용합니다.

추론은 단순한 기하학적 의미를 갖습니다.

세그먼트가 더 큰 경우 끝 중 하나에서 연속적으로

더 작은 것을 넣으면 유한한 수의 단계를 거쳐 그 이상으로 갈 수 있습니다.

더 큰 세그먼트.

예 1. 음수가 아닌 모든 숫자에 대해 a가 존재함을 증명

음이 아닌 유일한 실수 t

t n = a, n ∈ , n ≥ 2 .

이 존재 정리 산술 루트 n급

학교 대수학 과정에서 음수가 아닌 숫자는 증거 없이 허용됩니다.

행위.

☺ a = 0이면 x = 0이므로 산술이 존재한다는 증거입니다.

a의 실수근은 a > 0인 경우에만 필요합니다.

a > 0이라고 가정하고 모든 실수 집합을 나눕니다.

두 수업 동안. 클래스 B에는 다음을 만족하는 모든 양수 x가 포함됩니다.

클래스 A에서 다른 모든 사람들에게 불평등 x n > a를 만듭니다.

아르키메데스의 공리에 따르면 다음과 같은 자연수 k와 m이 있습니다.

< a < k . Тогда k 2 ≥ k >a 및 2 ≤< a , т.е. оба класса непусты, причем класс

A에는 양수가 포함되어 있습니다.

분명히 A ∪ B =이고 x1 ∈ A 및 x2 ∈ B이면 x1< x2 .

따라서 클래스 A와 B는 단면을 형성합니다. 이것을 구성하는 숫자

섹션은 t로 표시됩니다. 그러면 t는 클래스에서 가장 큰 숫자입니다.

ce A 또는 클래스 B에서 가장 작은 것입니다.

t ∈ A 및 t n이라고 가정합시다.< a . Возьмем число h , удовлетворяющее нера-

주권 0< h < 1 . Тогда

(t + h)n = tn + Cnt n−1h + Cn t n−2h2 + ... + Cnn hn< t n + Cnt n−1h + Cn t n−2h + ... + Cn h =

T n + h (Cnt n−1 + Cn t n−2 + ... + Cn + Cn t n) − hCn t n = t n + h (t + 1) − ht n =

T n + h (t + 1) − t n

그러면 우리는 (t + h)를 얻습니다.< a . Это означает,

따라서 우리가 h를 취하면<

이는 t + h ∈ A이며 이는 t가 클래스 A에서 가장 큰 요소라는 사실과 모순됩니다.

마찬가지로, t가 클래스 B의 가장 작은 요소라고 가정하면,

그런 다음 부등식 0을 만족하는 숫자 h를 취합니다.< h < 1 и h < ,

(t − h) = t n − Cnt n−1h + Cn t n−2 h 2 − ... + (−1) Cn h n >

> t n − Cnt n−1h + Cn t n−2h + ... + Cn h = t n − h (t + 1) − t n > a .

이는 t − h ∈ B 및 t가 가장 작은 요소가 될 수 없음을 의미합니다.

클래스 B. 그러므로 tn=a이다.

독창성은 t1이면 다음과 같은 사실에서 비롯됩니다.< t2 , то t1n < t2 .☻ n

예 2. 다음을 증명하십시오.< b , то всегда найдется рациональное число r

그런< r < b .

☺숫자 a와 b가 유리수이면 그 숫자는 합리적이고 만족스럽습니다.

필요한 조건을 만족합니다. 숫자 a 또는 b 중 적어도 하나가 있다고 가정합시다.

무리수, 예를 들어 숫자 b가 무리수라고 가정해 보겠습니다. 아마도

또한 a ≥ 0이고 b > 0이라고 가정합니다. 숫자 a와 b의 표현을 다음과 같이 작성해 보겠습니다.

소수 분수: a = α 0,α1α 2α 3.... 및 b = β 0, β1β 2 β3..., 여기서 두 번째 분수는 무한대입니다.

간헐적이고 비주기적이다. 숫자 a의 표현에 대해 우리는 고려할 것입니다

숫자 a가 유리수이면 그 표기법은 유한하거나 그렇지 않습니다.

주기가 9가 아닌 주기 분수.

b > a이므로 β 0 ≥ α 0입니다. β 0 = α 0이면 β1 ≥ α1이고; β1 = α1이면 β 2 ≥ α 2

등등, 그리고 처음으로 다음이 될 i 값이 있습니다.

엄격한 부등식 βi > α i가 충족됩니다. 그러면 숫자 β 0, β1β 2 ...βi는 유리수입니다.

nal이며 숫자 a와 b 사이에 위치합니다.

만약< 0 , то приведенное рассуждение надо применить к числам a + n и

b + n, 여기서 n은 n ≥ a인 자연수입니다. 그런 숫자의 존재

아르키메데스의 공리를 따랐다. ☻

정의 1.4.6. 수직선의 일련의 부분을 주어라.

([ 안 ; 억 ]), 안< bn . Эту последовательность будем называть системой вло-

임의의 n에 대해 부등식 an ≤ an+1이고

이러한 시스템의 경우 포함이 이루어집니다.

[a1; b1 ] ⊃ [ a2 ; b2 ] ⊃ [ a3 ; b3 ] ⊃ ... ⊃ [ ; 억 ] ⊃ ... ,

즉, 각 후속 세그먼트는 이전 세그먼트에 포함됩니다.

정리 1.4.4. 중첩된 세그먼트 시스템에는 다음이 있습니다.

각 세그먼트에 포함된 최소 하나의 포인트입니다.

두 집합 A = (an)과 B = (bn)을 생각해 보겠습니다. 그들은 비어 있지 않으며 어떤 경우에도

n과 m 불평등< bm . Докажем это.

n ≥ m이면,< bn ≤ bm . Если n < m , то an ≤ am < bm .

따라서 클래스 A와 B는 연속성 공리를 충족하며,

따라서 임의의 n에 대해 ≤ λ ≤ bn을 만족하는 숫자 λ가 있습니다. 즉, 이것

숫자는 모든 세그먼트에 속합니다 [ an ; 억 ] .←

다음(정리 2.1.8)에서 이 정리를 개선할 것입니다.

정리 1.4.4에서 공식화된 진술을 원리라고 합니다.

칸토어와 이 조건을 만족하는 집합은 비-집합이라고 불릴 것이다.

칸토어에 따르면 불연속적이다.

우리는 주문된 세트가 Dede-continuous인 경우를 증명했습니다.

그렇다면 아르키메데스의 원리가 그 안에서 충족되고 칸토르에 따르면 연속적입니다.

원칙을 만족하는 순서집합임을 증명할 수 있다.

아르키메데스와 칸토르의 시는 데데킨트에 따르면 계속될 것입니다. 증거

이 사실은 예를 들어 다음과 같습니다.

아르키메데스의 원리를 통해 각 선분은 비-선분을 비교할 수 있습니다.

이는 조건을 만족하는 유일한 양수입니다.

1. 동일한 세그먼트가 해당됩니다. 같은 숫자;

2. AC 구간의 B점과 AB, BC 구간이 숫자 a와 일치하는 경우

b이면 세그먼트 AC는 숫자 a + b에 해당합니다.

3. 숫자 1은 특정 세그먼트에 해당합니다.

각 세그먼트에 해당하고 1~3의 조건을 만족하는 번호입니다.

이 세그먼트의 길이라고 합니다.

칸토어의 원리는 모든 긍정적인 경우에 대해 다음을 증명할 수 있게 해줍니다.

번호를 입력하면 이 번호와 길이가 같은 세그먼트를 찾을 수 있습니다. 따라서,

양의 실수 집합과 세그먼트 집합 사이

주어진 측면을 따라 직선의 특정 지점에서 해고되는 코프

이 시점부터 일대일 대응이 가능해집니다.

이를 통해 수치 축을 정의하고 사이의 대응 관계를 도입할 수 있습니다.

나는 선의 실수와 점을 기다리고 있습니다. 그러기 위해 몇 가지를 살펴보겠습니다.

첫 번째 선을 그 위에 있는 점 O를 선택하면 이 선이 두 개로 나뉩니다.

빔. 우리는 이 광선 중 하나를 양수라고 부르고 두 번째 광선을 음수라고 부릅니다.

명. 그러면 우리는 이 직선상의 방향을 선택했다고 말할 것입니다.

정의 1.4.7. 우리는 숫자 축을 직선이라고 부를 것입니다.

a) 좌표의 원점 또는 원점이라고 불리는 점 O;

b) 방향;

c) 단위 길이의 세그먼트.

이제 각 실수 a에 대해 점 M을 숫자와 연관시킵니다.

그렇게 똑바로 울부짖어라

a) 숫자 0은 좌표의 원점에 해당합니다.

b) OM = a - 원점에서 M 지점까지의 세그먼트 길이는 다음과 같습니다.

모듈로 숫자;

c) a가 양수이면 양수 광선에 점이 찍히고,

음수이면 음수입니다.

이 규칙은 다음과 같은 일대일 대응을 설정합니다.

실수 집합과 선 위의 점 집합.

수직선(축)도 실제선이라고 부르겠습니다.

이는 또한 실수 계수의 기하학적 의미를 의미합니다.

la: 숫자의 모듈러스는 원점에서 표시된 점까지의 거리와 같습니다.

수직선에서 이 숫자를 누르세요.

이제 속성 6과 7에 기하학적 해석을 제공할 수 있습니다.

실수의 모듈러스. 숫자 x의 양수 C에 대해 다음을 충족합니다.

속성 6을 만족하고, 구간 (−C, C)를 채우고, 숫자 x를 만족시킵니다.

속성 7은 광선 (−무한대,C) 또는 (C, +무한대) 위에 있습니다.

물질 모듈의 놀라운 기하학적 특성을 한 가지 더 살펴보겠습니다.

실수.

두 숫자 사이의 차이 계수는 점 사이의 거리와 같습니다.

실제 축의 숫자에 해당합니다.

표준 숫자 세트.

자연수의 집합;

정수 세트;

유리수 세트;

실수 집합;

각각 유리수와 실수의 정수 집합

음수가 아닌 실수;

복소수의 집합입니다.

또한, 실수 집합은 (−무한대, +무한대)로 표시됩니다.

이 세트의 하위 세트:

(a, b) = ( x | x ∈ R, a< x < b} - интервал;

[ a, b] = ( x | x ∈ R, a ≤ x ≤ b) - 세그먼트;

(a, b] = ( x | x ∈ R, a< x ≤ b} или [ a, b) = { x | x ∈ R, a ≤ x < b} - полуинтерва-

ly 또는 절반 세그먼트;

(a, +무한대) = ( x | x ∈ R, a< x} или (−∞, b) = { x | x ∈ R, x < b} - открытые лучи;

[ a, +) = ( x | x ∈ R, a ≤ x) 또는 (−, b] = ( x | x ∈ R, x ≤ b) - 닫힌 광선.

마지막으로 때로는 우리가 신경 쓰지 않을 틈이 필요할 수도 있습니다.

끝이 이 간격에 속하는지 여부. 우리에게도 그런 시기가 있을 것이다

a, b를 나타냅니다.

§ 5 숫자 집합의 경계

정의 1.5.1. 숫자 집합 X를 유계 집합이라고 합니다.

위에서부터, 모든 요소 x에 대해 x ≤ M을 만족하는 숫자 M이 있는 경우

X를 설정합니다.

정의 1.5.2. 숫자 집합 X를 유계 집합이라고 합니다.

아래에서, 모든 요소 x에 대해 x ≥ m을 만족하는 숫자 m이 있는 경우

X를 설정합니다.

정의 1.5.3. 숫자 집합 X를 유계(bounded)라고 합니다.

위와 아래로 제한되는 경우.

기호 표기법에서 이러한 정의는 다음과 같습니다.

∃M ∀x ∈ X: x ≤ M인 경우 집합 X는 위에서부터 제한됩니다.

∃m ∀x ∈ X: x ≥ m인 경우 아래로 제한됩니다.

∃m, M ∀x ∈ X: m ≤ x ≤ M인 경우 제한됩니다.

정리 1.5.1. 숫자 집합 X는 다음과 같은 경우에만 유계입니다.

이 세트의 모든 요소 x에 대해 숫자 C가 있는 경우

부등식 x ≤ C가 성립합니다.

집합 X를 유계로 둡니다. C = max(m, M) - 가장 큰 값이라고 합시다.

m과 M 중 더 큰 숫자입니다. 그런 다음 실수 모듈의 속성을 사용하여

숫자를 사용하여 부등식 x ≤ M ≤ M ≤ C 및 x ≥ m ≥ − m ≥ −C를 얻습니다.

x ≤ C라는 것은 참입니다.

반대로, 부등식 x ≤ C가 충족되면 −C ≤ x ≤ C가 됩니다. 이게 셋-

M = C 및 m = −C라고 가정하면 예상됩니다.

위에서 집합 X의 경계를 이루는 숫자 M을 상위 집합이라고 합니다.

집합의 경계. M이 집합 X의 상한이라면,

M보다 큰 숫자 M'도 이 집합의 상한이 됩니다.

따라서 우리는 집합의 상한 집합에 대해 이야기할 수 있습니다.

엑스. M에 의한 상한 세트를 표시해 보겠습니다. 그런 다음 ∀x ∈ X 및 ∀M ∈ M

부등식 x ≤ M이 충족되므로 공리에 따르면 연속적으로

x ≤ M 0 ≤ M 을 만족하는 수 M 0 가 존재합니다. 이 숫자를 정확한 숫자라고 합니다.

숫자 집합 X의 상한 또는 이 상한은 없습니다.

집합 또는 집합 X의 상한이며 M 0 = sup X 로 표시됩니다.

따라서 우리는 비어 있지 않은 모든 숫자 집합이

위의 경계에는 항상 정확한 상한이 있습니다.

M 0 = sup X 등가는 두 가지 조건과 동일하다는 것이 명백합니다.

1) ∀x ∈ X 부등식 x ≤ M 0이 성립합니다. 즉, M 0 - 다중도의 상한

2) ∀ε > 0 ∃xε ∈ X 부등식 xε > M 0 − ε가 성립합니다. 즉, 이 게임

가격은 개선(인하)될 수 없습니다.

예 1. 집합 X = ⎨1 − ⎬을 생각해 보세요. sup X = 1임을 증명해보자.

☺실제로 첫째, 불평등 1 −< 1 выполняется для любого

n ∈ ; 둘째, 임의의 양수 ε을 취하면

아르키메데스의 원리를 사용하면 nε > 에 해당하는 자연수 nε을 찾을 수 있습니다. 저것-

여기서 부등식 1 − > 1 − ε가 충족됩니다. 즉, 발견된 요소 xnε 다중-

X의 값은 1 − ε보다 큽니다. 이는 1이 최소 상한임을 의미합니다.

마찬가지로, 집합이 아래로 제한되어 있으면 다음을 증명할 수 있습니다.

하한이라고도 하는 정확한 하한이 있습니다.

집합 X의 새로운 또는 최하위이며 inf X로 표시됩니다.

m0 = inf X 등식은 다음 조건과 동일합니다.

1) ∀x ∈ X 부등식 x ≥ m0이 유지됩니다.

2) ∀ε > 0 ∃xε ∈ X이므로 부등식 xε이 유지됩니다.< m0 + ε .

집합 X에 가장 큰 요소 x0이 있으면 이를 호출합니다.

집합 X의 최대 요소이고 x0 = max X 를 나타냅니다. 그 다음에

X = x0 . 마찬가지로, 집합에 가장 작은 요소가 있는 경우

우리는 그것을 최소라고 부르고 최소 X를 표시할 것입니다.

집합 X의 최대값.

예를 들어, 자연수 집합은 가장 작은 요소를 갖습니다.

단위는 세트의 하한선이기도 합니다. 최고

이 세트에는 위에서부터 제한되지 않기 때문에 무마가 없습니다.

정확한 상한과 하한의 정의는 다음과 같이 확장될 수 있습니다.

위 또는 아래에 제한이 없는 집합(sup X = +무한대 또는 이에 상응하는 것으로 가정)

따라서 inf X = − 입니다.

결론적으로 우리는 상한과 하한의 몇 가지 속성을 공식화합니다.

속성 1. X를 숫자 집합으로 설정합니다. 다음으로 나타내자

− X 집합(− x | x ∈ X ) . 그런 다음 sup (− X) = − inf X 및 inf (− X) = − sup X 입니다.

속성 2. X를 어떤 숫자로 설정하고 λ를 실수로 설정합니다.

숫자. 집합 (λ x | x ∈ X )을 λ X로 표시하겠습니다. 그런 다음 λ ≥ 0이면

sup (λ X) = λ sup X , inf (λ X) = λ inf X 그리고 λ인 경우< 0, то

sup (λ X) = λ inf X , inf (λ X) = λ sup X .

속성 3. X1과 X2를 숫자 집합으로 둡니다. 다음으로 나타내자

X1 + X 2 는 집합( x1 + x2 | x1 ∈ X 1, x2 ∈ X 2 )이고 X1 − X 2 를 통해 집합

( x1 − x2 | x1 ∈ X1, x2 ∈ X 2) . 그러면 섭(X 1 + X 2) = 섭 X 1 + 섭 X 2 ,

inf (X1 + X 2) = inf X1 + inf X 2 , sup (X 1 − X 2) = sup X 1 − inf X 2 및

inf (X1 − X 2) = inf X1 − sup X 2 .

속성 4. X1과 X2를 숫자 집합으로 설정하고 모든 요소는 다음과 같습니다.

ryh는 음수가 아닙니다. 그 다음에

sup (X1 X 2) = sup X1 ⋅ sup X 2 , inf (X1 X 2) = inf X 1 ⋅ inf X 2 .

예를 들어 속성 3의 첫 번째 동일성을 증명해 보겠습니다.

x1 ∈ X1, x2 ∈ X 2 및 x = x1 + x2라고 합니다. 그러면 x1 ≤ 공급 X1, x2 ≤ 공급 X 2 및

x ≤ sup X1 + sup X 2 , 여기서 sup (X1 + X 2) ≤ sup X1 + sup X 2 입니다.

반대 부등식을 증명하려면 다음 숫자를 취하십시오.

와이< sup X 1 + sup X 2 . Тогда можно найти элементы x1 ∈ X1 и x2 ∈ X 2 такие,

그 x1< sup X1 и x2 < sup X 2 , и выполняется неравенство

와이< x1 + x2 < sup X1 + sup X 2 . Это означает, что существует элемент

x = +x1 x2 ∈ X1+ X2, 이는 숫자 y보다 크고

섭 X1 + 섭 X 2 = 섭 (X1 + X 2) .◀

나머지 속성의 증명도 유사하게 수행되며 다음을 제공합니다.

독자에게 공개됩니다.

§ 6 셀 수 있는 집합과 셀 수 없는 집합

정의 1.6.1. 처음 n개의 자연수 집합을 생각해 보세요.

n = (1,2,..., n) 및 일부 세트 A. 상호 설립이 가능한 경우

A와 n 사이의 일대일 대응이면 집합 A가 호출됩니다.

결정적인.

정의 1.6.2. 어떤 세트 A가 주어질 수 있습니다. 내가 할 수 있다면

집합 A와 집합 사이의 일대일 대응을 설정합니다.

자연수의 집합이면 집합 A를 카운트(count)라고 합니다.

정의 1.6.3. 집합 A가 유한하거나 가산 가능하다면, 우리는

셀 수 있는 것 이상은 아니라고 믿습니다.

따라서 집합의 요소를 셀 수 있으면 집합도 셀 수 있습니다.

순서대로 넣습니다.

예 1. n ⇔ 2n 매핑이므로 짝수의 집합은 셀 수 있습니다.

자연 집합 사이의 일대일 대응입니다.

숫자와 많은 짝수.

분명히 그러한 서신은 다음뿐만 아니라

zom. 예를 들어, 세트와 다중 사이의 대응을 설정할 수 있습니다.

(정수의) 임신, 이러한 방식으로 대응 관계 설정

정의 2. 임의의 에 대해 c (각각 )와 같은 숫자가 존재하는 경우 집합은 위(아래)에 속한다고 합니다.

이 경우 숫자 c는 집합 X의 상위(각각 하위) 경계 또는 집합 X의 주요(단소) 경계라고 합니다.

정의 3. 위와 아래 모두 유계인 집합을 유계라고 합니다.

정의 4. 요소 a는 모든 요소에 대해 (각각 ) 집합의 가장 큰 또는 최대(가장 작은 또는 최소) 요소라고 합니다.

몇 가지 표기법을 소개하고 동시에 최대 및 최소 요소의 정의에 대한 공식적인 표기법을 각각 제공하겠습니다.

지정과 함께("최대"를 읽으십시오(동일한 의미로 "최소"를 읽으십시오. 기호는 각각 사용됩니다)

1차 공리로부터 숫자 집합에 최대(최소) 요소가 있으면 그 중 하나만 존재한다는 것이 바로 따릅니다.

그러나 제한된 세트라도 모든 세트에 최대(최소) 요소가 있는 것은 아닙니다.

예를 들어 집합에는 최소 요소가 있지만 쉽게 확인할 수 있듯이 최대 요소가 없습니다.

정의 5. 위에서 집합을 제한하는 가장 작은 수를 집합 X의 상한(또는 정확한 상한)이라고 하며 다음과 같이 표시합니다("상한 또는

이것이 이 단락의 기본 정의입니다. 그래서,

정의되는 개념의 오른쪽에 있는 첫 번째 괄호에는 위에서부터 X를 제한한다고 기록되어 있습니다. 두 번째 괄호는 이 속성을 갖는 최소 숫자임을 나타냅니다. 보다 정확하게는 두 번째 괄호는 더 작은 숫자가 더 이상 X의 상한이 아니라는 것을 나타냅니다.

마찬가지로 집합 X의 하한(정확한 하한) 개념은 집합 X의 하한 중 가장 큰 것으로 도입됩니다.

정의 6.

지정과 함께(“X의 아랫면에 대한 하한”이라고 읽음) 지정도 사용됩니다.

따라서 다음과 같은 정의가 제공됩니다.

그러나 위에서 우리는 모든 세트에 최소 또는 최대 요소가 있는 것은 아니라고 말했습니다. 따라서 숫자 세트의 상한 및 하한에 대한 허용된 정의에는 다음과 같은 논증이 필요합니다.

보조정리(상한 원칙). 위에 제한된 실수 집합의 비어 있지 않은 모든 부분 집합은 고유한 상한을 갖습니다.

우리는 숫자 집합의 최소 요소의 고유성을 이미 알고 있으므로 상한의 존재만 확인하면 됩니다.

이 부분집합을 X의 상한의 집합으로 하고, 조건에 의해, 완전성 공리에 의해 숫자 c가 X의 메이저이자 마이너런트가 되는 수가 존재합니다. X의 메이저로서 숫자 c는 는 Y의 요소이지만 Y의 소수로서 숫자 c는 집합 Y의 최소 요소입니다. 따라서,

물론 아래로 제한된 수치 집합의 하한의 존재와 고유성은 비슷한 방식으로 증명됩니다.

중첩된 세그먼트의 정의. 중첩된 세그먼트에 대한 Cauchy-Cantor 보조정리 증명.

콘텐츠

중첩된 선 정의

a와 b를 두 개의 실수()라고 하자. 그냥 놔두세요. 부등식을 만족하는 숫자 x의 집합을 끝점 a와 b를 갖는 세그먼트라고 합니다. 세그먼트는 다음과 같이 지정됩니다.

숫자 세그먼트의 순서

시퀀스라고 불리는 중첩된 세그먼트, 각 후속 세그먼트가 이전 세그먼트에 포함된 경우:
.
즉, 세그먼트의 끝은 부등식으로 연결됩니다.
.

중첩된 세그먼트에 대한 정리(Cauchy-Cantor 원리)

일련의 중첩된 세그먼트에는 이러한 모든 세그먼트에 속하는 점이 있습니다.
세그먼트의 길이가 0이 되는 경향이 있는 경우:
,
그러면 그런 점이 유일한 것입니다.

이 보조정리라고도 합니다. 중첩 세그먼트 정리또는 코시-칸토어 원리.

증거

증거용 보조정리의 첫 번째 부분, 실수의 완전성 공리를 사용합시다.

실수의 완전성 공리다음과 같다. 집합 A와 B를 임의의 두 요소와 이들 집합에 대해 불평등이 유지되는 실수의 두 부분 집합이라고 가정합니다. 그런 다음 불평등이 모든 사람에게 적용되는 실수 c가 있습니다.
.

이 공리를 적용해 보겠습니다. 집합 A를 세그먼트의 왼쪽 끝점 집합으로 설정하고 집합 B를 오른쪽 끝점 집합으로 설정합니다. 그러면 이 집합의 두 요소 사이에 불평등이 유지됩니다. 그런 다음 실수의 완전성 공리로부터 모든 n에 대해 다음 불평등이 유지되는 숫자 c가 있습니다.
.
이는 점 c가 모든 세그먼트에 속한다는 것을 의미합니다.

증명해보자 보조정리의 두 번째 부분.

허락하다 . 수열의 극한 정의에 따르면, 이는 임의의 양수에 대해 ε에 따라 자연수 N이 존재하므로 모든 자연수 n > N에 대해 부등식이 성립함을 의미합니다.
(1) .

반대로 가정해보자. 두 개의 서로 다른 점 c가 있다고 하자. 1 그리고 c 2 , 씨 1 ≠ c 2, 모든 세그먼트에 속합니다. 이는 모든 n에 대해 다음 불평등이 성립함을 의미합니다.
;
.
여기에서
.
(1)을 적용하면 다음과 같습니다.
.
이 부등식은 ε의 양수 값에 대해 유지되어야 합니다. 그것은 다음과 같습니다
씨 1 = c2.

보조정리는 증명되었습니다.

논평

모든 세그먼트에 속하는 점의 존재는 실수에 대해 유효한 완전성 공리를 따릅니다. 이 공리는 유리수에는 적용되지 않습니다. 따라서 중첩된 세그먼트 보조정은 유리수 집합에도 적용되지 않습니다.

예를 들어, 왼쪽과 오른쪽 끝이 모두 무리수로 수렴되도록 세그먼트를 선택할 수 있습니다. 그러면 n이 증가함에 따라 유리수는 항상 세그먼트 시스템에서 벗어날 것입니다. 단수형전체 세그먼트에 속하는 것은 무리수입니다.

참고자료:
O.V. Besov. 수학적 분석에 대한 강의. 1부. 모스크바, 2004년.

연속성(완전성)의 공리. $A\부분집합\mathbb(R)$ 그리고 $B\하위 집합\mathbb(R)$ $a\in A$ 그리고 $b \in B$ 불평등이 유지된다 $a\leqslant b$ , 그런 실수가 있어요 $\xi$ 그건 모두를 위한 거야 $a\in A$ 그리고 $b \in B$ 관계가있다

$a \leqslant \xi \leqslant b$

기하학적으로 실수를 선 위의 점으로 취급하면 이 진술은 명백해 보입니다. 2개 세트라면 $ㅏ$ 그리고 $비$ 수직선에서 그 중 하나의 모든 요소가 두 번째 요소의 모든 요소 왼쪽에 놓이고 숫자가 표시됩니다. $\xi$ , 나누기이 두 세트, 즉 모든 요소의 오른쪽에 위치 $ㅏ$ (아마도 아주 $\xi$ ) 및 모든 요소의 왼쪽 $비$ (동일한 면책 조항).

여기서는 이 속성의 "명백성"에도 불구하고 유리수에 대해 항상 사실이 아니라는 점에 유의해야 합니다. 예를 들어, 두 세트를 고려하십시오.

A = $x \in \mathbb(Q): x > 0, \; x^2< 2\}, \quad B = \{x \in \mathbb{Q}: x >0,\; x^2 > 2$

어떤 요소에 대해서도 쉽게 알 수 있습니다. $a\in A$ 그리고 $b \in B$ 불평등이 유지된다 $ㅏ< b$ . 하지만 합리적인숫자 $\xi$ , 이 두 세트를 분리하는 것은 존재하지 않습니다. 실제로 이 번호는 $\sqrt(2)$ , 그러나 그것은 합리적이지 않습니다.

수학적 분석의 구성에서 연속성 공리의 역할

연속성 공리의 의미는 그것 없이는 수학적 분석의 엄격한 구성이 불가능하다는 것입니다. 설명하기 위해 우리는 실수의 연속성을 기반으로 한 증명인 몇 가지 기본 분석 설명을 제시합니다.

(Weierstrass의 정리).모든 유계 단조 증가 수열은 수렴합니다.
(Bolzano-Cauchy 정리).세그먼트에서 연속적인 함수는 끝에서 서로 다른 부호의 값을 취하며 세그먼트의 일부 내부 지점에서 사라집니다.
(정의의 "자연" 영역 전반에 걸쳐 거듭제곱, 지수, 로그 및 모든 삼각 함수의 존재).예를 들어, 모든 경우에 대해 다음이 입증되었습니다. $에이 > 0$ 그리고 전체 $n\geqslant 1$ 존재한다 $\sqrt[n](a)$ , 즉 방정식의 해는 다음과 같습니다. $x^n=a, x>0$ . 이를 통해 표현식의 값을 결정할 수 있습니다. $a^x$ 모두 합리적으로 $엑스$ :

$a^(m/n) = \왼쪽(\sqrt[n](a)\오른쪽)^m$

마지막으로 수직선의 연속성 덕분에 식의 값을 결정할 수 있습니다. $a^x$ 이미 임의로 $x\in\R$ . 마찬가지로 연속성의 성질을 이용하여 수의 존재를 증명한다. $\log_(a)(b)$ 어떠한 것도 $a,b >0 , a\neq 1$ .

오랜 역사적 기간 동안 수학자들은 기하학적 정당성을 언급하는 "미묘한 장소"에서 분석을 통해 정리를 증명했고, 더 자주는 명백했기 때문에 정리를 모두 건너뛰었습니다. 가장 중요한 연속성 개념이 명확한 정의 없이 사용되었습니다. 19세기 마지막 3분의 1에서야 독일의 수학자 카를 바이어스트라스(Karl Weierstrass)는 분석을 산술화하여 실수를 무한소수로 표현하는 최초의 엄격한 이론을 세웠습니다. 그는 언어에서 극한에 대한 고전적인 정의를 제안했습니다. $\varepsilon - \delta$ , 그 이전에는 당연하다고 여겨졌던 수많은 명제들을 증명함으로써 수학적 분석의 기초를 다졌다.

나중에 실수를 결정하는 다른 접근법이 제안되었습니다. 공리적 접근 방식에서는 실수의 연속성이 별도의 공리로 명시적으로 강조됩니다. 예를 들어 데데킨트 섹션을 사용하여 실수를 구성할 때와 같이 실수 이론에 대한 건설적인 접근 방식에서 연속성 속성(하나의 공식 또는 다른 공식에서)이 정리로 입증됩니다.

연속성의 다른 공식과 등가 문장

데데킨트의 연속성

Dedekind는 그의 작품 "연속성과 무리수"에서 실수의 연속성 문제를 고려합니다. 그 안에서 그는 유리수를 직선 위의 점과 비교합니다. 알려진 바와 같이, 시작점과 세그먼트의 측정 단위가 선에서 선택되면 유리수와 선의 점 사이에 대응 관계가 설정될 수 있습니다. 후자를 사용하여 각 유리수에 대해 $ㅏ$ 해당 세그먼트를 구성하고 존재 여부에 따라 오른쪽 또는 왼쪽에 배치합니다. $ㅏ$ 양수 또는 음수, 점수 획득 $피$ , 숫자에 해당 $ㅏ$ . 따라서 모든 유리수에 대해 $ㅏ$ 단 하나의 포인트가 일치합니다. $피$ 직선으로.

이 연속성이 무엇으로 구성되어 있는지 알아내기 위해 데데킨트는 다음과 같이 언급합니다. 만약에 $피$ 선 위에 특정 점이 있으면 선 위의 모든 점은 두 가지 클래스로 나뉩니다. 즉, 왼쪽에 있는 점입니다. $피$ , 그리고 오른쪽에 위치한 점 $피$ . 아주 똑같은 점 $피$ 하급 또는 상급으로 임의로 배정될 수 있습니다. 데데킨트는 연속성의 본질을 역원리에서 본다.

기하학적으로 이 원리는 명백해 보이지만 증명할 수는 없습니다. 데데킨트는 본질적으로 이 원리가 우리가 연속성이라고 부르는 귀속된 직접 속성의 본질을 표현하는 가정임을 강조합니다.

유한 덮음 정리(Heine-Borel 원리)

유한 커버 정리 (하이네-보렐). 세그먼트를 포함하는 모든 간격 시스템에는 이 세그먼트를 포함하는 유한한 하위 시스템이 있습니다.

한계점 보조정리(Bolzano-Weierstrass 원리)

한계점 보조정리 (볼차노-바이어슈트라스). 모든 무한 제한 숫자 세트에는 최소한 하나의 제한점이 있습니다.

실수 집합의 연속성을 표현하는 문장의 동등성

정리. 허락하다 $\mathsf(R)$ - 임의의 선형 순서 집합입니다. 다음 명령문은 동일합니다.

비어있지 않은 집합이 무엇이든 간에 $A\부분집합\mathsf(R)$ 그리고 $B\하위 집합\mathsf(R)$ , 임의의 두 요소에 대해 $a\in A$ 그리고 $b \in B$ 불평등이 유지된다 $a\leqslant b$ , 그런 요소가 있어요 $\xi \in \mathsf(R)$ 그건 모두를 위한 거야 $a\in A$ 그리고 $b \in B$ 관계가있다 $a \leqslant \xi \leqslant b$
모든 섹션에 대해 $\mathsf(R)$ 이 섹션을 생성하는 요소가 있습니다.
위의 경계가 있는 비어 있지 않은 집합 $A\부분집합\mathsf(R)$ 상한선이 있다
아래로부터 제한된 비어 있지 않은 집합 $A\부분집합\mathsf(R)$ 하한선이 있다

이 정리에서 볼 수 있듯이, 이 네 문장은 다음과 같은 것만 사용합니다. $\mathsf(R)$ 선형 순서 관계가 도입되고 필드 구조가 사용되지 않습니다. 따라서 각각은 속성을 표현합니다. $\mathsf(R)$ 선형적으로 정렬된 세트로. 이 속성(임의의 선형 순서 집합, 반드시 실수 집합일 필요는 없음)을 다음과 같이 부릅니다. 데데킨트에 따르면 연속성 또는 완전성.

다른 문장의 동등성을 증명하려면 이미 필드 구조가 필요합니다.

정리. 허락하다 $\mathsf(R)$ - 임의의 정렬된 필드입니다. 다음 문장은 동일합니다.

$\mathsf(R)$ (선형적으로 정렬된 집합으로서) 데데킨트는 완전하다
을 위한 $\mathsf(R)$ 아르키메데스의 원리를 충족한그리고 중첩 세그먼트의 원리
을 위한 $\mathsf(R)$ 하이네-보렐 원리가 충족됨
을 위한 $\mathsf(R)$ Bolzano-Weierstrass 원리가 충족되었습니다.

논평. 정리에서 알 수 있듯이 중첩된 세그먼트의 원리 자체는 동일하지 않음데데킨트의 연속성 원리. Dedekind의 연속성 원칙에서 중첩 세그먼트의 원칙이 따르지만, 그 반대의 경우에는 순서가 지정된 필드가 추가로 필요합니다. $\mathsf(R)$ 만족된 아르키메데스의 공리

위 정리의 증명은 아래 참고문헌 목록의 도서에서 찾아볼 수 있습니다.

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노트

문학

쿠드랴브체프, L. D.수학적 분석 과정. - 5판. - M .: "Drofa", 2003. - T. 1. - 704 p. - ISBN 5-7107-4119-1.
피크텐골츠, G.M.수학적 분석의 기초. - 7판. - M.: "FIZMATLIT", 2002. - T. 1. - 416 p. - ISBN 5-9221-0196-X.
데데킨트, R.= Stetigkeit und irrationale Zahlen. - 4차 개정판. - 오데사: 수학, 1923. - 44p.
조리치, V. A.수학적 분석. 파트 I. -Ed. 4 번째, 수정됨 - M.: "MCNMO", 2002. - 657 p. - ISBN 5-94057-056-9.
함수 및 수치 영역의 연속성: B. Bolzano, L. O. Cauchy, R. Dedekind, G. Cantor. - 3판. - 노보시비르스크: ANT, 2005. - 64 p.

실수 집합의 연속성을 특징으로 하는 발췌

-그래서 내가 미안하다고 느끼는 사람은 인간의 존엄성, 양심의 평화, 순결, 등과 이마가 아니라 아무리 베여도 아무리 면도해도 여전히 같은 등과 이마로 남을 것입니다. .
“아니요, 아니오, 천 번도 아니오. 저는 결코 당신의 의견에 동의하지 않을 것입니다.” 피에르가 말했습니다.

저녁에는 안드레이 왕자와 피에르가 마차를 타고 대머리 산맥으로 운전했습니다. 피에르를 쳐다보던 안드레이 왕자는 때때로 자신이 기분이 좋다는 것을 증명하는 연설로 침묵을 깨뜨렸습니다.
그는 밭을 가리키며 그의 경제적 발전에 대해 말했습니다.
피에르는 단음절로 대답하며 침울한 침묵을 지켰고, 생각에 잠긴 듯 보였다.
피에르는 안드레이 왕자가 불행하고, 자신이 착각했으며, 진정한 빛을 알지 못하며, 피에르가 그를 도와주고 깨우쳐주고 그를 일으켜 세워야 한다고 생각했습니다. 그러나 피에르는 자신이 어떻게 그리고 무엇을 말할지 알아내자마자 안드레이 왕자가 한 마디, 한 가지 주장으로 그의 가르침의 모든 것을 파괴할 것이라는 예감을 느꼈고, 시작하기를 두려워했고, 그의 사랑하는 성지를 가능성에 노출시키는 것을 두려워했습니다. 조롱의.
“아니, 왜 그렇게 생각하세요?” 피에르가 갑자기 고개를 숙이고 황소를 맞히는 모습을 취하면서 시작했는데, 왜 그렇게 생각하시나요? 그렇게 생각하면 안 됩니다.
- 나는 무슨 생각을 하고 있는 걸까? – 안드레이 왕자가 놀라서 물었습니다.
– 인생, 사람의 목적에 대해. 그럴 수 없습니다. 나도 같은 생각을 했고 그것이 나를 구했다. 그거 알아? 프리메이슨 아니요, 웃지 마세요. 제가 생각했던 것처럼 프리메이슨은 종교적인 종파도 아니고 의식적인 종파도 아니지만, 프리메이슨은 인류의 가장 좋고 영원한 면을 유일하게 표현하는 최고이자 최고입니다. -그리고 그는 안드레이 왕자에게 프리메이슨을 이해한 대로 설명하기 시작했습니다.
그는 프리메이슨이 국가와 종교적 족쇄에서 벗어난 기독교의 가르침이라고 말했습니다. 평등, 형제애, 사랑의 가르침.
– 오직 우리의 거룩한 형제애만이 삶에서 진정한 의미를 갖습니다. “다른 모든 것은 꿈이에요.” 피에르가 말했습니다. “친구여, 당신은 이 결합 밖의 모든 것이 거짓말과 비진리로 가득 차 있다는 것을 이해합니다. 그리고 나는 총명하고 친절한 사람이 당신처럼 자신의 삶을 살아갈 수밖에 없다는 것에 동의합니다. 다른 사람들.” 그러나 우리의 기본 신념을 동화시키고, 형제애에 합류하고, 자신을 우리에게 주시고, 우리가 당신을 인도하게 해주세요. 그러면 이제 당신도 제가 그랬던 것처럼 이 거대하고 보이지 않는 사슬의 일부임을 느끼게 될 것입니다. 그 시작은 하늘에 숨겨져 있습니다.” 피에르.
안드레이 왕자는 조용히 앞을 바라보며 피에르의 연설을 들었습니다. 유모차의 소음이 들리지 않아 그는 피에르의 들리지 않는 말을 여러 번 반복했습니다. 안드레이 왕자의 눈에 빛나는 특별한 반짝임과 그의 침묵으로 피에르는 그의 말이 헛되지 않았으며 안드레이 왕자가 그를 방해하지 않고 그의 말을 비웃지 않을 것임을 알았습니다.
그들은 범람한 강에 도착했고, 페리를 타고 건너야 했습니다. 마차와 말이 설치되는 동안 그들은 나루터로 갔다.
안드레이 왕자는 난간에 기대어 석양에 반짝이는 홍수를 조용히 바라보고 있었다.
- 글쎄, 이것에 대해 어떻게 생각하세요? - 피에르에게 물었습니다. - 왜 침묵합니까?
- 내가 생각하는 것? 나는 당신의 말을 들었습니다. “모두 사실이에요.” 안드레이 왕자가 말했다. "그러나 당신은 말합니다. 우리 형제애에 합류하면 우리는 당신에게 삶의 목적과 인간의 목적, 그리고 세상을 다스리는 법칙을 보여줄 것입니다." 우리는 누구입니까? 왜 다 알고 계시나요? 당신이 보는 것을 왜 나만 보지 못하는 걸까? 당신은 땅에서 선과 진리의 나라를 보지만 나는 보지 못합니다.
피에르가 그를 방해했습니다. – 미래의 삶을 믿나요? - 그는 물었다.
- 미래의 삶으로? – 안드레이 왕자는 반복했지만 피에르는 그에게 대답할 시간을 주지 않았고 특히 안드레이 왕자의 이전 무신론적 신념을 알고 있었기 때문에 이 반복을 부인으로 받아들였습니다.
– 선과 진리의 나라를 땅에서는 볼 수 없다고 하셨습니다. 그리고 나는 그를 본 적이 없으며 우리 삶을 모든 것의 끝으로 보면 그는 볼 수 없습니다. 지구상에서, 바로 이 땅에서(피에르가 들판을 가리켰습니다) 진실은 없습니다. 모든 것이 거짓말이고 악입니다. 그러나 세상에, 온 세상에는 진리의 왕국이 있으며, 우리는 이제 땅의 자녀이며 영원히 온 세상의 자녀입니다. 나는 이 거대하고 조화로운 전체의 일부라는 것을 내 영혼 속에서 느끼지 않습니까? 나는 신성(당신이 원하는 대로 가장 높은 힘)이 나타나는 이 엄청나게 셀 수 없이 많은 존재들 속에 내가 낮은 존재에서 더 높은 존재로 한 단계 더 나아가 하나의 연결고리를 구성하고 있다고 느끼지 않습니까? 내가 본다면 식물에서 사람으로 이어지는 이 계단을 분명히 볼 수 있는데, 왜 이 계단이 나와 부서지고 더 이상 이어지지 않는다고 가정해야 합니까? 나는 세상에 사라지는 것이 없듯이 나는 사라질 수 없을 뿐만 아니라, 앞으로도 계속 존재할 것이며 앞으로도 계속 그랬을 것이라고 생각합니다. 나는 나 외에 내 위에 영들이 살고 있고 이 세상에 진리가 있다는 것을 느낀다.
안드레이 왕자는 "예, 이것이 헤르더의 가르침입니다. 그러나 내 영혼이 나를 확신시키는 것은 아니지만 삶과 죽음이 나를 확신시키는 것입니다."라고 말했습니다. 설득력 있는 것은 당신이 유죄였고 자신을 정당화하기를 바랐던 당신과 연결되어 있는 당신에게 소중한 존재를 본다는 것입니다. (안드레이 왕자의 목소리가 떨리고 돌아섰습니다.) 갑자기 이 존재가 고통받고 고통받고 더 이상 존재하지 않는다는 것입니다. ... 왜? 답이 없을 리가 없습니다! 그리고 나는 그가... 그것이 바로 저를 확신하게 만든 것입니다.” 안드레이 왕자가 말했습니다.
"글쎄요, 그렇죠, 글쎄요." 피에르가 말했습니다. "내가 말하는 건 그게 아니거든요!"
- 아니요. 나는 단지 당신에게 미래의 삶의 필요성을 확신시키는 것은 논쟁이 아니라 당신이 어떤 사람과 손을 잡고 인생을 걷다가 갑자기 그 사람이 저 멀리 아무데도 사라지고 당신 자신이 그 앞에 멈춰 섰다는 것을 말하는 것입니다. 이 심연을 들여다보세요. 그리고, 보니...
- 그럼요! 거기에 무엇이 있고 누군가가 있다는 것을 알고 있습니까? 거기에는 미래의 삶이 있습니다. 누군가는 신입니다.
안드레이 왕자는 대답하지 않았습니다. 마차와 말은 오랫동안 반대편으로 옮겨져 이미 누워 있었고 태양은 이미 반쯤 사라졌고 저녁 서리가 페리 근처의 웅덩이를 별들로 덮었고 피에르와 안드레이는 놀랐습니다. 보병, 마부, 운송인은 여전히 나룻배 위에 서서 이야기를 나누고 있었다.
– 신이 있고 내생이 있다면 진리가 있고 덕이 있습니다. 인간의 가장 큰 행복은 그것을 달성하기 위해 노력하는 것입니다. 우리는 살아야 하고, 사랑해야 하고, 믿어야 한다고 피에르는 말했습니다. 우리는 지금 이 땅에만 사는 것이 아니라 모든 것 속에서 그곳에서 살았고 영원히 살게 될 것입니다(그는 하늘을 가리켰습니다). 안드레이 왕자는 페리 난간에 팔꿈치를 대고 서서 피에르의 말을 들으며 눈을 떼지 않고 푸른 홍수에 반사되는 태양의 붉은 색을 바라 보았습니다. 피에르는 침묵했다. 완전히 조용했습니다. 나룻배는 오래 전에 착륙했고, 해류의 파도만이 희미한 소리와 함께 나루터 바닥을 때렸다. 안드레이 왕자에게는 파도가 씻어내는 것이 피에르의 말에 "사실입니다, 믿으세요"라고 말하는 것 같았습니다.
안드레이 왕자는 한숨을 쉬며 빛나고 유치하고 부드러운 시선으로 그의 우월한 친구 앞에서 피에르의 붉어지고 열정적이지만 점점 더 소심한 얼굴을 바라 보았습니다.
- 네, 그렇다면요! -그가 말했다. “하지만 우리 같이 앉자.” 안드레이 왕자는 덧붙이고 페리에서 내리면서 피에르가 가리킨 하늘을 바라보았고, 오스터리츠 다음으로 처음으로 그 높고 영원한 하늘을 보았다. 그는 아우스터리츠 들판에 누워 있는 것을 보았고 오랫동안 잠들어 있던 것, 그에게 가장 좋은 것이 갑자기 그의 영혼 속에서 즐겁고 젊게 깨어났습니다. 이 느낌은 안드레이 왕자가 평범한 삶의 조건으로 돌아 오자마자 사라졌지만, 그는 어떻게 발전해야할지 몰랐던이 느낌이 그 안에 살고 있다는 것을 알고있었습니다. 피에르와의 만남은 안드레이 왕자에게 겉으로는 동일하지만 내면에서는 그의 새로운 삶이 시작된 시대였습니다.

안드레이 왕자와 피에르가 리소고르스크 집의 정문에 도착했을 때는 이미 어두워졌습니다. 그들이 다가오는 동안 안드레이 왕자는 미소를 지으며 뒷 현관에서 일어난 소동에 피에르의 관심을 끌었습니다. 배낭을 메고 몸을 굽힌 노부인과 긴 머리에 검은 옷을 입은 키 작은 남자가 마차가 달려오는 것을 보고 서둘러 문을 통과해 되돌아갔다. 두 명의 여자가 그들을 따라 달려갔고, 네 명 모두 유모차를 뒤돌아보며 겁에 질려 뒷베란다로 달려갔다.
"이것들은 신의 기계입니다." 안드레이 왕자가 말했습니다. “그들은 우리를 아버지로 여겼어요.” 그리고 이것이 그녀가 그에게 순종하지 않는 유일한 일입니다. 그는 이 방랑자들을 쫓아내라고 명령하고 그녀는 그들을 받아들입니다.
- 하나님의 백성이란 무엇인가? 피에르가 물었다.
안드레이 왕자는 그에게 대답할 시간이 없었습니다. 하인들이 그를 맞으러 나왔고, 그는 늙은 왕자가 어디 있는지, 곧 그를 기다리고 있는지 물었다.
늙은 왕자는 여전히 도시에 있었고 그들은 매 순간 그를 기다리고 있었습니다.
안드레이 왕자는 피에르를 그의 아버지 집에서 항상 완벽한 질서로 기다리고 있던 그의 절반으로 데려갔고 그 자신도 보육원에갔습니다.
"내 여동생에게 가자." 피에르에게 돌아온 안드레이 왕자가 말했다. - 나는 아직 그 사람을 본 적이 없습니다. 그 사람은 지금 자기의 백성들과 함께 숨어 앉아 있습니다. 그녀를 올바르게 섬기면 그녀는 당황하게 될 것이며 당신은 하나님의 백성을 보게 될 것입니다. C "est curieux, ma parole. [솔직히 흥미롭습니다.]
– Qu"est ce que c"est que [하나님의 백성이란 무엇입니까?] - 피에르에게 물었다
- 하지만 알게 될 거예요.
Marya 공주는 그들이 그녀에게 왔을 때 정말 당황스러워서 얼굴이 붉어졌습니다. 아이콘 케이스 앞에 램프가 있는 아늑한 방, 소파 위, 사모바르 옆에는 긴 코와 긴 머리, 수도원 가운을 입은 어린 소년이 앉아 있었습니다.
근처 의자에는 주름지고 마른 노파가 어린아이 같은 얼굴에 온순한 표정을 짓고 앉아 있었다.
"Andre, pourquoi ne pas m"avoir prevenu? [Andrei, 왜 나에게 경고하지 않았나요?]"라고 그녀는 닭 앞에 있는 암탉처럼 방랑자들 앞에 서서 온순한 비난으로 말했습니다.
– Charmee de vous voir. Je suis tres contente de vous voir, [만나서 매우 반갑습니다. “당신을 만나서 정말 기뻐요.” 피에르가 그녀의 손에 키스하는 동안 그녀는 피에르에게 말했습니다. 그녀는 어렸을 때 그를 알았고 이제 안드레이와의 우정, 아내와의 불행, 그리고 가장 중요한 것은 그의 친절하고 단순한 얼굴이 그녀를 사랑하게 되었습니다. 그녀는 아름답고 빛나는 눈으로 그를 바라보며 이렇게 말하는 것 같았습니다. “나는 당신을 매우 사랑합니다. 하지만 나를 비웃지 마십시오.” 첫 인사를 나눈 뒤 자리에 앉았다.
"아, 그리고 Ivanushka가 여기 있어요." Andrei 왕자가 미소를 지으며 젊은 방랑자를 가리키며 말했습니다.
– 앙드레! - Marya 공주가 애원하면서 말했습니다.
“Il faut que vous sachiez que c"est une femme, [이 사람이 여자라는 걸 알아두세요.”라고 Andrei가 Pierre에게 말했습니다.
– 앙드레, au nom de Dieu! [안드레이, 제발!] – Marya 공주를 반복했습니다.
방랑자들을 향한 안드레이 왕자의 조롱하는 태도와 그들을 대신한 메리 공주의 쓸데없는 중보가 그들 사이에 친숙하고 확립된 관계임이 분명했습니다.
"Mais, ma bonne amie"라고 Andrei 왕자가 말했습니다. "vous devriez au contraire m"etre reconaissante de ce que j"explique a Pierre votre 친밀한 avec ce jeune homme... [하지만 친구여, 나에게 감사해야 합니다. 나는 피에르에게 당신이 이 청년과 친밀한 관계를 맺고 있다는 것을 설명합니다.]
- 브레이멘트? [정말?] - 피에르는 안경을 통해 Ivanushka의 얼굴을 들여다 보며 호기심 많고 진지하게 말했습니다 (Marya 공주는 특히 그에게 감사했습니다). Ivanushka는 자신에 대해 이야기하고 있다는 것을 깨닫고 교활한 눈으로 모든 사람을 바라 보았습니다.
Marya 공주는 자신의 백성을 부끄러워하는 데 완전히 헛된 일이었습니다. 그들은 전혀 소심하지 않았습니다. 노부인은 눈을 내리깔고 들어오는 사람들을 곁눈질로 바라보며 컵을 접시 위에 뒤집어 놓고 그 옆에 물린 설탕 조각을 놓고 의자에 꼼짝도 하지 않은 채 앉아 차를 더 마시기를 기다리고 있었다. . 접시로 술을 마시는 Ivanushka는 교활하고 여성스러운 눈으로 눈썹 아래에서 젊은이들을 바라 보았습니다.
– 키예프에서는 어디에 있었나요? – 안드레이 왕자가 노파에게 물었습니다.
“아버지, 아버지.” 노파가 큰 소리로 대답했습니다. “크리스마스에 나는 거룩한 하늘의 비밀을 전하는 영광을 성도들과 함께 받았습니다.” 그리고 이제 아버지 콜랴진에게서 큰 은총이 열렸습니다...
- 음, Ivanushka가 당신과 함께 있나요?
Ivanushka는 깊은 목소리로 말하려고 노력하면서 "나는 혼자 갈 것입니다, 가장입니다. "라고 말했습니다. - Pelageyushka와 나는 Yukhnov에서만 사이가 좋았습니다...
Pelagia는 동료를 방해했습니다. 그녀는 분명히 자신이 본 것을 말하고 싶었습니다.
-아버지 콜랴진에게 큰 은혜가 드러났습니다.
- 음, 유물은 새로운 건가요? -안드레이 왕자에게 물었습니다.
"그만하면 충분해요, 안드레이." Marya 공주가 말했습니다. - 말하지 마세요, Pelageyushka.
"아니...무슨 말씀이세요, 어머니, 왜 제게 말씀해주시지 않나요?" 나는 그를 사랑합니다. 그는 친절하고 하나님의 은혜를 받았으며 은인이었던 그는 나에게 루블을 주었던 것을 기억합니다. 내가 키예프에 있었던 방법과 성스러운 바보 Kiryusha는 나에게 말했습니다. 그는 진정한 신의 사람이며 겨울과 여름에 맨발로 걷는다. 그는 왜 걷고 있습니까? 당신의 집이 아니라 Kolyazin으로 가십시오. 기적의 아이콘이 있으며 가장 거룩한 Theotokos의 어머니가 공개되었습니다. 그 말에 나는 성도들에게 작별 인사를 하고 갔습니다...
모두가 조용했고, 한 방랑자는 공기를 끌어당기며 신중한 목소리로 말했습니다.
- 아버지가 오셨고 사람들이 나에게 와서 말했습니다. 어머니에게 큰 은혜가 나타났습니다 성스러운 신의 어머니몰약이 뺨에서 떨어지는데...
"알았어, 알았어. 나중에 말해줄게." Marya 공주가 얼굴을 붉히며 말했습니다.
“내가 그녀에게 물어보겠습니다.” 피에르가 말했다. -직접 본 적 있나요? - 그는 물었다.
- 아버지, 아버지께서는 영광을 받으셨습니다. 얼굴에는 천상의 빛 같은 광채가 있고 어머니의 뺨에서는 계속 뚝뚝 떨어지고 있습니다 ...
"그러나 이것은 속임수입니다. "방랑자의 말을주의 깊게 듣고 피에르가 순진하게 말했습니다.
- 아, 아버지, 무슨 말씀이세요? -Pelageyushka는 공포에 질려 말하며 보호를 위해 Marya 공주에게 의지했습니다.
“그들은 국민을 속이고 있다”고 그는 반복했다.
- 주 예수 그리스도님! – 방랑자가 성호를 긋고 말했습니다. - 아, 말하지 마세요, 아버지. 그래서 한 아나랄은 그것을 믿지 않고 “승려들이 속이고 있다”고 말했고, 그가 말한 대로 그는 눈이 멀게 되었습니다. 그리고 그는 페체르스크의 어머니가 그에게 와서 이렇게 말하는 꿈을 꾸었습니다. “나를 믿으십시오. 내가 당신을 치료해 드리겠습니다.” 그래서 그는 묻기 시작했습니다. 나를 데려가십시오. 나는 당신에게 실제 진실을 말하고 있습니다. 나는 그것을 직접 보았습니다. 그들은 그를 곧바로 그녀에게 데려왔고 그는 올라와 넘어져 말했습니다. “치료하세요! “왕이 네게 준 것을 나도 네게 주리라”고 그는 말합니다. 제가 직접 봤습니다. 아버지, 그 안에 별이 박혀 있었습니다. 글쎄, 나는 시력을 얻었습니다! 그렇게 말하는 것은 죄입니다. “하나님은 벌을 주실 것입니다.”그녀는 피에르에게 교훈적으로 말했습니다.
- 별은 어떻게 이미지에 등장하게 됐나요? 피에르가 물었다.
- 어머니를 장군으로 삼았나요? -안드레이 왕자가 웃으며 말했습니다.
펠라기아는 갑자기 얼굴이 창백해지며 손을 꼭 잡았습니다.
- 아버지, 아버지, 당신에게는 죄입니다. 당신에게는 아들이 있습니다! - 그녀는 갑자기 창백한 색에서 밝은 색으로 변하면서 말했습니다.
- 신부님, 뭐라고 하셨어요? 신이시여, 용서해 주세요. - 그녀는 성호를 그었습니다. - 주님, 그를 용서해주세요. 어머니, 이게 뭐죠?..." 그녀는 Marya 공주를 향해 돌아섰습니다. 그녀는 일어서서 거의 울면서 지갑을 챙기기 시작했습니다. 이런 말을 할 수 있는 집에서 혜택을 누렸다는 사실이 두렵기도 하고 부끄럽기도 했고, 이제 이 집의 혜택까지 박탈당하게 된 것이 안타깝다.
- 그럼 어떤 사냥을 원하시나요? - Marya 공주가 말했습니다. -나한테 왜 왔어?...
"아니요, 농담이에요, Pelageyushka." 피에르가 말했습니다. - 공주, 가석방, je n"ai pas voulu l"범죄자, [공주님, 제 말이 맞아요. 그녀를 화나게 하고 싶지 않았어요.] 그냥 그랬어요. 내가 농담했다고 생각하지 마세요”라고 그는 소심하게 웃으며 사과하고 싶었다. -결국 나인데 그는 단지 농담을 한 것뿐이었습니다.
Pelageyushka는 믿을 수 없을 정도로 멈췄지만 Pierre의 얼굴은 회개의 진심을 보여 주었고 Andrei 왕자는 처음에는 Pelageyushka를 너무 온유하게 바라보다가 Pierre를 바라보며 점차 진정되었습니다.

방랑자는 진정하고 다시 대화를 시작하면서 그의 손에서 야자 냄새가 날 정도로 생명의 성자였던 암필로키우스 신부에 대해, 그리고 키예프로의 마지막 여행에서 그녀가 알고 있던 승려들이 어떻게 그녀에게 동굴의 열쇠, 그리고 그녀가 크래커를 가지고 성도들과 함께 동굴에서 이틀을 보낸 방법. “한 사람에게 기도하고, 읽고, 다른 사람에게 가겠습니다. 나는 소나무를 가져갈 것이고, 가서 다시 키스를 할 것이다. 그리고 어머니, 어머니께서는 하느님의 빛 속으로 나가고 싶지도 않으실 만큼 그 침묵과 은총이 너무 많으십니다.”
피에르는 그녀의 말을 주의 깊게 진지하게 들었습니다. 안드레이 왕자가 방을 나갔습니다. 그 다음에는 하느님의 백성들이 차를 마시도록 남겨두고 마리야 공주가 피에르를 거실로 데려갔습니다.
“당신은 매우 친절해요.” 그녀가 그에게 말했다.
-아, 정말 그녀를 화나게 할 생각은 없었습니다. 저는 이러한 감정을 이해하고 매우 소중히 여깁니다!
Marya 공주는 조용히 그를 바라보며 부드럽게 미소를 지었습니다. “결국 나는 당신을 오랫동안 알고 있었고 당신을 형제처럼 사랑합니다”라고 그녀는 말했습니다. – 안드레이를 어떻게 찾았나요? -그녀는 그에게 아무 말도 할 시간을주지 않고 서둘러 물었습니다. 달콤한 말. -그는 나를 매우 걱정합니다. 겨울에는 건강이 좋아졌는데 지난 봄에 상처가 아팠고 의사는 치료를 받으러 가야 한다고 했습니다. 그리고 도덕적으로 나는 그를 매우 두려워합니다. 그는 우리 여성들이 고통받고 슬픔을 울부짖는 그런 성격이 아닙니다. 그는 그것을 자신 안에 가지고 있습니다. 오늘날 그는 명랑하고 활기가 넘친다. 그러나 그에게 그런 영향을 미친 것은 당신의 도착이었습니다. 그는 이와 같은 경우가 거의 없습니다. 그를 해외로 가도록 설득할 수만 있다면! 그에게는 활동이 필요하며, 이 순조롭고 조용한 생활이 그를 망치고 있습니다. 다른 사람들은 눈치채지 못하지만 나는 봅니다.
10시에 웨이터들은 늙은 왕자의 마차가 다가오는 종소리를 듣고 현관으로 달려갔습니다. 안드레이 왕자와 피에르도 현관으로 나갔다.
- 누구세요? -마차에서 내려 피에르를 추측하며 늙은 왕자에게 물었습니다.
– AI는 매우 행복합니다! “키스하세요.” 그는 낯선 청년이 누구인지 알아낸 뒤 말했다.
늙은 왕자는 기분이 좋았고 피에르에게 친절하게 대했습니다.
저녁 식사 전에 아버지의 사무실로 돌아온 안드레이 왕자는 피에르와 열띤 논쟁을 벌이고 있는 늙은 왕자를 발견했습니다.
피에르는 이렇게 주장했다. 때가 올 것이다더 이상 전쟁이 없을 때. 늙은 왕자는 놀렸지만 화를 내지 않고 그에게 도전했습니다.
- 정맥에서 피를 빼내고 물을 조금 부으면 전쟁이 없을 것입니다. "여자의 말도 안되는 소리, 여자의 말도 안되는 소리"라고 그는 말했지만 여전히 다정하게 피에르의 어깨를 두드리며 대화에 참여하고 싶지 않은 안드레이 왕자가 왕자가 사무실에서 가져온 서류를 정리하고 있는 테이블로 걸어갔습니다. 도시. 늙은 왕자가 그에게 다가와 사업에 대해 이야기하기 시작했습니다.
- 지도자 로스토프 백작은 국민의 절반을 구출하지 못했습니다. 나는 도시에 와서 그를 저녁 식사에 초대하기로 결정했습니다. - 나는 그에게 그런 저녁을주었습니다... 하지만 이것 좀 보세요... 음, 형제, - 니콜라이 안드레이히 왕자는 그의 아들에게 돌아서 피에르의 어깨에 박수를 쳤습니다. - 잘했어, 친구야, 난 그 사람을 사랑했어! 나를 화나게한다. 다른 하나는 똑똑한 말을하는데 듣고 싶지 않지만 그는 거짓말을하고 노인 인 나를 화나게합니다. 글쎄요, 가세요.” 그가 말했습니다. “어쩌면 내가 와서 당신의 저녁 식사에 앉을 것 같아요.” 나는 다시 논쟁 할 것이다. 내 바보를 사랑해, Marya 공주.”그는 문에서 피에르에게 소리 쳤습니다.
Pierre는 지금 Bald Mountains를 방문했을 때 Andrei 왕자와의 우정의 모든 힘과 매력을 높이 평가했습니다. 이 매력은 자신과의 관계가 아니라 모든 친척 및 친구와의 관계에서 많이 표현되었습니다. 피에르는 늙고 엄격한 왕자와 온유하고 소심한 마리야 공주와 함께 거의 알지 못했음에도 불구하고 즉시 오랜 친구처럼 느껴졌습니다. 그들은 모두 이미 그를 사랑했습니다. 낯선 사람들에 대한 온유 한 태도에 매수 된 Marya 공주뿐만 아니라 가장 빛나는 시선으로 그를 바라 보았습니다. 그러나 그의 할아버지가 그를 불렀던 한 살짜리 어린 니콜라이 왕자는 피에르에게 미소를 지으며 그의 품에 안겼습니다. 미하일 이바노비치, m lle Bourienne는 늙은 왕자와 이야기를 나누는 동안 즐거운 미소를 지으며 그를 바라보았습니다.