2019. 공간 방향 추정 또는 Mahoney 및 Majwick 필터를 두려워하지 않는 방법02/04/2019 벡터 시스템이 직교합니까?

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평면에서 단위 길이의 서로 수직인 두 개의 벡터를 선택하면(그림 7), 동일한 평면의 임의 벡터는 이 두 벡터의 방향으로 확장될 수 있습니다. 즉, 다음 형식으로 표시됩니다.

축 방향에 대한 벡터의 투영과 동일한 숫자는 어디에 있습니까? 축에 대한 투영은 길이와 축 각도의 코사인의 곱과 같기 때문에 스칼라 곱의 정의를 회상합니다. , 우리는 쓸 수있다

마찬가지로, 3차원 공간에서 단위 길이의 서로 수직인 세 개의 벡터를 선택하면 이 공간의 임의 벡터는 다음과 같이 표현될 수 있습니다.

힐베르트 공간에서는 이 공간의 쌍별 직교 벡터 시스템, 즉 함수를 고려할 수도 있습니다.

이러한 함수 시스템을 직교 함수 시스템이라고 하며 분석에서 중요한 역할을 합니다. 그것들은 수학 물리학, 적분 방정식, 근사 계산, 실수 변수의 함수 이론 등의 다양한 문제에서 발견됩니다. 이러한 시스템과 관련된 개념의 순서와 통일은 초기에 이끈 인센티브 중 하나였습니다. 20세기. 창조에 일반적인 개념힐베르트 공간.

정확한 정의를 내리자. 기능 시스템

이 시스템의 두 기능이 서로 직교하는 경우 직교라고 합니다.

3차원 공간에서는 시스템 벡터의 길이가 1과 같아야 했습니다. 벡터 길이의 정의를 떠올려 보면 힐베르트 공간의 경우 이 요구 사항이 다음과 같이 작성된다는 것을 알 수 있습니다.

요구 사항 (13)과 (14)를 충족하는 함수 시스템을 직교 및 정규화라고 합니다.

그러한 기능 시스템의 예를 들어 보겠습니다.

1. 간격에 따라 기능의 순서를 고려하십시오.

이 시퀀스의 두 함수는 모두 서로 직교합니다. 이는 해당 적분을 간단히 계산하여 확인할 수 있습니다. 힐베르트 공간에서 벡터 길이의 제곱은 함수 제곱의 적분입니다. 따라서 시퀀스 벡터의 제곱 길이는

적분의 본질

즉. 벡터의 시퀀스는 직교하지만 정규화되지는 않습니다. 시퀀스의 첫 번째 벡터의 길이는 다음과 같습니다.

나머지는 길이가 . 각 벡터를 길이로 나누어 직교 정규화된 시스템을 얻습니다. 삼각함수

이 시스템은 역사적으로 직교 시스템의 최초이자 가장 중요한 예 중 하나입니다. 그것은 현 진동 문제와 관련하여 오일러(Euler), D. 베르누이(D. Bernoulli), 달랑베르(d'Alembert)의 연구에서 나타났습니다. 그녀의 연구는 전체 분석의 발전에 중요한 역할을 했습니다.

현 진동 문제와 관련하여 삼각 함수의 직교 시스템이 나타나는 것은 우연이 아닙니다. 매체의 작은 진동에 관한 각 문제는 주어진 시스템의 소위 자연 진동을 설명하는 직교 함수의 특정 시스템으로 이어집니다(§ 4 참조). 예를 들어 구의 진동 문제와 관련하여 소위 구형 함수가 나타나고 둥근 막이나 원통의 진동 문제와 관련하여 소위 원통형 함수가 나타납니다.

2. 각 함수가 다항식인 직교 함수 시스템의 예를 들 수 있습니다. 이러한 예는 르장드르 다항식의 수열입니다

즉, 의 차수 도함수가 (상수 요소까지) 있습니다. 이 수열의 처음 몇 개의 다항식을 적어 보겠습니다.

일반적으로 차수의 다항식이 있다는 것은 명백합니다. 우리는 이 다항식이 구간에서 직교 수열을 나타내는지 스스로 확인하는 것은 독자에게 맡깁니다.

일반이론직교 다항식(소위 가중치가 있는 직교 다항식)은 19세기 후반에 뛰어난 러시아 수학자 P. L. 체비셰프(P. L. Chebyshev)에 의해 개발되었습니다.

직교 함수 시스템의 확장. 3차원 공간에서와 마찬가지로 각 벡터를 표현할 수 있습니다.

단위 길이의 세 쌍의 직교 벡터의 선형 조합

함수 공간에서 임의의 함수를 직교하고 정규화된 함수 시스템의 계열로 확장하는 문제가 발생합니다. 즉, 함수를 다음 형식으로 표현합니다.

이 경우, 급수(15)가 함수로 수렴하는 것은 힐베르트 공간의 요소들 사이의 거리라는 의미로 이해됩니다. 이는 함수에서 계열 부분합의 제곱 평균 제곱 편차가 다음과 같이 0이 되는 경향이 있음을 의미합니다.

이러한 수렴을 일반적으로 "평균 수렴"이라고 합니다.

특정 직교 함수 시스템의 확장은 분석에서 흔히 발견되며 수리 물리학의 문제를 해결하는 중요한 방법입니다. 예를 들어, 직교 시스템이 간격에 대한 삼각 함수 시스템인 경우

그런 확장은 삼각함수 급수 함수의 고전적인 확장입니다.

힐베르트 공간의 모든 함수에 대해 확장(15)이 가능하다고 가정하고 그러한 확장의 계수를 찾아보겠습니다. 이를 위해 우리 시스템의 동일한 기능을 방정식의 양쪽에 스칼라로 곱해 봅시다. 우리는 평등을 얻을 것이다

계수의 값이 결정될 때

우리는 일반적인 3차원 공간(이 섹션의 시작 부분 참조)에서와 마찬가지로 계수가 벡터 방향에 대한 벡터 투영과 동일하다는 것을 알 수 있습니다.

스칼라 곱의 정의를 떠올려 보면 직교하고 정규화된 함수 시스템에서 함수 확장 계수가 다음과 같습니다.

공식에 의해 결정됨

예를 들어, 위에 주어진 직교 정규화 삼각함수 시스템을 고려해보세요.

물론 이러한 확장이 가능하다는 가정 하에 함수를 삼각 급수로 확장하는 계수를 계산하는 공식을 얻었습니다.

우리는 그러한 확장이 일어난다는 가정하에 직교 함수 시스템에서 함수의 확장 계수(18)의 형태를 확립했습니다. 그러나 무한 직교 함수 시스템은 힐베르트 공간에서 임의의 함수를 확장하는 것이 가능하기에는 충분하지 않을 수 있습니다. 그러한 확장이 가능하려면 직교 함수 시스템이 다음을 충족해야 합니다. 추가 조건- 소위 완전성 조건.

직교 시스템시스템의 모든 기능에 직교하는 동일하지 않은 단일 함수를 추가하는 것이 불가능한 경우 함수를 완전이라고 합니다.

불완전한 직교 시스템의 예를 드는 것은 쉽습니다. 이를 위해 직교 시스템을 예로 들어보겠습니다.

삼각 함수 시스템을 제거하고 이 시스템의 기능 중 하나를 제거합니다(예: 남은 무한 함수 시스템).

물론 여전히 직교할 것입니다. 물론 우리가 제외한 기능이 시스템의 모든 기능과 직교하기 때문에 완전하지는 않습니다.

함수 시스템이 완전하지 않은 경우 힐베르트 공간의 모든 함수를 확장할 수는 없습니다. 실제로, 그러한 시스템에서 시스템의 모든 기능에 직교하는 영 함수를 확장하려고 하면 공식 (18)에 따라 모든 계수는 0과 같고 함수는 0과 같지 않습니다.

다음 정리가 성립합니다. 힐베르트 공간에서 완전한 직교 및 정규화된 함수 시스템이 주어지면 모든 함수는 이 시스템의 기능 측면에서 계열로 확장될 수 있습니다.

이 경우 확장 계수는 직교 정규화 시스템의 요소에 대한 벡터의 투영과 동일합니다.

힐베르트 공간의 § 2에 있는 피타고라스 정리를 통해 계수와 함수 사이의 흥미로운 관계를 찾을 수 있습니다. 계열의 첫 번째 항의 차이와 합으로 표시하겠습니다.

이러한 벡터의 하위 집합 $\backslash 왼쪽\backslash (\; \backslash varphi\_i\; \backslash 오른쪽\backslash )\backslash 하위\; 집합\; H$그들 중 임의의 두 개는 직교합니다. 즉, 스칼라 곱은 0과 같습니다.

$(\backslash varphi\_i,\; \backslash varphi\_j)\; =\; 0$.

직교 시스템이 완성되면 공간의 기초로 사용할 수 있습니다. 게다가, 어떤 원소의 분해도 $\backslash vec\; a$다음 공식을 사용하여 계산할 수 있습니다. $\backslash vec\; a\; =\; \backslash sum\_(k)\; \backslash alpha\_i\; \backslash varphi\_i$, 어디 $\backslash alpha\_i\; =\; \backslash frac((\backslash vec\; a,\; \backslash varphi\_i))((\backslash varphi\_i,\; \backslash varphi\_i))$.

모든 요소의 규범이 있는 경우 $||\backslash varphi\_i||=1$, 직교 시스템이라고합니다.

직교화

유한차원 공간에서 완전한 선형 독립 시스템이 기본입니다. 따라서 단순한 기초에서 직교 기초로 갈 수 있습니다.

직교분해

정규 직교 기반에 따라 벡터 공간의 벡터를 분해할 때 스칼라 곱 계산이 단순화됩니다. $(\backslash vec\; a,\; \backslash vec\; b)\; =\; \backslash sum\_(k)\; \backslash alpha\_k\backslash beta\_k$, 어디 $\backslash vec\; a\; =\; \backslash sum\_(k)\; \backslash alpha\_k\; \backslash varphi\_k$그리고 $\backslash vec\; b\; =\; \backslash sum\_(k)\; \backslash beta\_k\; \backslash varphi\_k$.

또한보십시오

"직교 시스템" 기사에 대한 리뷰를 작성하세요.

직교 시스템을 특징짓는 발췌문

정의. 벡터ㅏ 그리고비 서로 직교(수직)하다고 합니다. 스칼라 곱 0과 같습니다. 즉ㅏ × 비 = 0.

0이 아닌 벡터의 경우 ㅏ 그리고 비 스칼라 곱이 0과 동일하다는 것은 cos를 의미합니다. 제이= 0, 즉 . 영 벡터는 모든 벡터와 직교합니다. 왜냐하면 ㅏ × 0 = 0.

운동. 와 를 직교 벡터로 놔두세요. 그러면 변과 가 있는 직사각형의 대각선을 고려하는 것이 당연합니다. 증명해 보세요

저것들. 직사각형의 대각선 길이의 제곱은 평행하지 않은 두 변의 길이의 제곱의 합과 같습니다(피타고라스의 정리).

정의. 벡터 시스템ㅏ 1 ,…, ㅏ 이 시스템의 두 벡터가 직교하는 경우 m을 직교라고 합니다..

따라서 벡터의 직교 시스템에 대해 ㅏ 1 ,…,ㅏ 중평등은 사실입니다: ㅏ 나 × ㅏ 제이= 0 나¹ 제이, 나= 1,…, 중; 제이= 1,…,중.

정리 1.5. 0이 아닌 벡터로 구성된 직교 시스템은 선형 독립입니다. .

□ 모순에 의한 증명을 실시합니다. 0이 아닌 벡터의 직교 시스템이 다음과 같이 가정됩니다. ㅏ 1 , …, ㅏ 중선형 의존적입니다. 그 다음에

내가 1 ㅏ 1 + …+ 엘 중ㅏ 중= 0 , 여기서 . (1.15)

예를 들어 l 1 1 0이라고 가정합니다. ㅏ 1 평등의 양면(1.15):

내가 1 ㅏ 1× ㅏ 1 + …+ 엘 중 ㅏ 중 × ㅏ 1 = 0.

첫 번째 항을 제외한 모든 항은 시스템의 직교성으로 인해 0과 같습니다. ㅏ 1 , …, ㅏ 중. 그럼 난 1 ㅏ 1× ㅏ 1 =0, 이는 다음과 같습니다. ㅏ 1 = 0 , 이는 조건과 모순됩니다. 우리의 가정은 잘못된 것으로 판명되었습니다. 이는 0이 아닌 벡터의 직교 시스템이 선형 독립임을 의미합니다. ■

다음 정리가 성립합니다.

정리 1.6. 공간 Rn에는 항상 직교 벡터로 구성된 기저(직교 기저)가 있습니다.
(증거 없음).

직교 베이스는 기본적으로 이러한 베이스에 대한 임의 벡터의 확장 계수가 간단하게 결정되기 때문에 편리합니다.

임의의 벡터의 분해를 찾아야 한다고 가정합니다. 비 직교 기준으로 이자형 1 ,…,이자형 N. 이 기저에 대해 아직 알려지지 않은 확장 계수를 사용하여 이 벡터의 확장을 구성해 보겠습니다.

이 등식의 양변에 벡터를 스칼라로 곱해 봅시다. 이자형 1 . 벡터의 스칼라 곱의 공리 2°와 3°를 통해 다음을 얻습니다.

기본 벡터 이후 이자형 1 ,…,이자형 N서로 직교하는 경우 첫 번째를 제외한 기본 벡터의 모든 스칼라 곱은 0과 같습니다. 계수는 공식에 의해 결정됩니다

동등성(1.16)을 다른 기본 벡터와 하나씩 곱하면 벡터 확장 계수를 계산하기 위한 간단한 공식을 얻을 수 있습니다. 비 :

공식(1.17)은 .

정의. 벡터ㅏ 길이가 다음과 같으면 정규화(또는 단위)라고 합니다. 1, 즉. (ㅏ , ㅏ )= 1.

0이 아닌 모든 벡터는 정규화될 수 있습니다. 허락하다 ㅏ ¹ 0 . 그런 다음 벡터는 정규화된 벡터입니다.

정의. 벡터 시스템 이자형 1 ,…,이자형 n이 직교이고 시스템의 각 벡터의 길이가 다음과 같으면 정규 직교라고 합니다. 1, 즉

공간 Rn에는 항상 직교 기저가 있고 이 기저의 벡터는 정규화될 수 있으므로 Rn에는 항상 직교 기저가 있습니다.

공간 Rn의 정규 직교 기저의 예는 벡터 시스템입니다. 이자형 1 ,=(1,0,…,0),…, 이자형 N=(0,0,…,1)을 등식(1.9)으로 정의된 스칼라 곱으로 계산합니다. 정규 직교 기반에서 이자형 1 ,=(1,0,…,0),…, 이자형 N=(0,0,…,1) 벡터 분해의 좌표를 결정하기 위한 공식(1.17) 비 가장 간단한 형식을 갖습니다.

허락하다 ㅏ 그리고 비 – 정규 직교 기저를 갖는 공간 Rn의 임의의 두 벡터 이자형 1 ,=(1,0,…,0),…, 이자형 N=(0,0,…,1). 벡터의 좌표를 나타내자 ㅏ 그리고 비 기초에 이자형 1 ,…,이자형 N그에 따라 ㅏ 1 ,…,ㅏ N그리고 비 1 ,…, 비 N그리고 좌표를 통해 이들 벡터의 스칼라 곱에 대한 표현식을 찾습니다. 이를 바탕으로, 즉. 그런 척하자

마지막 평등으로부터 스칼라 곱 공리 및 관계(1.18) 덕분에 우리는 다음을 얻습니다.

마침내 우리는

따라서, 정규 직교 기반에서 두 벡터의 스칼라 곱은 이러한 벡터의 해당 좌표 곱의 합과 같습니다..

이제 n차원 유클리드 공간 Rn에서 완전히 임의적인(일반적으로 정규직교가 아닌) 기저를 고려하고 두 임의 벡터의 스칼라 곱에 대한 표현식을 찾아보겠습니다. ㅏ 그리고 비 지정된 기준으로 이러한 벡터의 좌표를 통해. 에프 1 ,…,에프 N유클리드 공간 R n 임의의 두 벡터의 스칼라 곱은 이들 벡터의 해당 좌표의 곱의 합과 같습니다. 기초가 필요하고 충분합니다. 에프 1 ,…,에프 N직교정규였습니다.

실제로 식 (1.20)은 기저의 직교성을 확립하는 관계가 만족되는 경우에만 (1.19)에 들어갑니다. 에프 1 ,…,에프 N.

우리는 무엇에 대해 이야기하고 있습니까?

Majvik 필터에 대한 Habré의 게시물 등장은 그 자체로 상징적인 사건이었습니다. 드론에 대한 일반적인 관심이 관성 측정을 통해 신체 방향을 추정하는 문제에 대한 관심을 다시 불러일으킨 것으로 보입니다. 동시에 칼만 필터를 기반으로 한 전통적인 방법은 드론에 허용되지 않는 높은 계산 요구 사항이나 복잡하고 직관적이지 않은 매개 변수 설정으로 인해 대중을 만족시키지 못했습니다.

이 게시물에는 C에서 필터를 매우 간단하고 효율적으로 구현한 내용이 포함되어 있습니다. 그러나 의견에 따르면 이 코드와 전체 기사의 물리적 의미가 일부 사람들에게는 모호하게 남아 있었습니다. 글쎄, 현실을 직시하자: Majwick 필터는 일반적으로 매우 간단하고 우아한 원리를 기반으로 하는 필터 그룹 중 가장 복잡합니다. 내 게시물에서 이러한 원칙에 대해 논의하겠습니다. 여기에는 코드가 없습니다. 내 게시물은 방향 추정 알고리즘의 특정 구현에 대한 이야기가 아니라 주어진 주제에 대해 자신만의 변형을 만들어내도록 초대하는 것입니다.

방향 보기

기본 사항을 기억합시다. 공간에서 물체의 방향을 평가하려면 먼저 이 방향을 고유하게 결정하는 몇 가지 매개변수를 선택해야 합니다. 본질적으로 조건부로 고정된 시스템(예: NED(북쪽, 동쪽, 아래쪽) 지리 시스템)을 기준으로 관련 좌표계의 방향입니다. 그런 다음 운동 방정식을 만들어야 합니다. 자이로스코프의 각속도를 통해 이러한 매개변수의 변화율을 표현합니다. 마지막으로 가속도계, 자력계 등의 벡터 측정값을 계산에 고려해야 합니다. 방향을 나타내는 가장 일반적인 방법은 다음과 같습니다.

오일러 각도- 롤(roll, ), 피치(pitch, ), 코스(heading, ). 이것은 가장 시각적이고 가장 간결한 방향 매개변수 세트입니다. 매개변수 수는 회전 자유도 수와 정확히 같습니다. 이 각도에 대해 우리는 쓸 수 있습니다 오일러의 운동 방정식. 이론 역학에서는 매우 인기가 있지만 탐색 문제에서는 거의 사용되지 않습니다. 첫째, 각도를 알더라도 관련 벡터의 구성 요소를 지리 좌표계로 또는 그 반대로 직접 변환할 수는 없습니다. 둘째, ±90도 피치에서는 운동 방정식이 퇴화되고 롤과 방향이 불확실해집니다.

회전 행렬- 지리 시스템에서 동일한 벡터를 얻기 위해 연관된 좌표계의 모든 벡터를 곱해야 하는 3x3 행렬: . 행렬은 항상 직교합니다. 즉 . 이에 대한 운동 방정식의 형식은 다음과 같습니다.
다음은 결합 좌표계에서 자이로스코프에 의해 측정된 각속도 구성 요소의 행렬입니다.

회전 행렬은 오일러 각도에 비해 시각적이 조금 떨어지지만, 회전 행렬과 달리 벡터를 직접 변환할 수 있고 어떤 각도 위치에서도 의미가 없어지지 않습니다. 계산적인 관점에서 볼 때 주요 단점은 중복성입니다. 3개의 자유도를 위해 9개의 매개변수가 한 번에 도입되며 모든 매개변수는 운동 방정식에 따라 업데이트되어야 합니다. 행렬의 직교성을 이용하면 문제를 약간 단순화할 수 있습니다.

회전 쿼터니언- 중복과 퇴화에 대한 급진적이지만 매우 비직관적인 치료법입니다. 이는 숫자, 벡터, 행렬이 아닌 4개 구성 요소로 구성된 개체입니다. 두 가지 각도에서 쿼터니언을 볼 수 있습니다. 첫째, 스칼라와 벡터의 공식적인 합으로서 축의 단위 벡터는 어디에 있습니까(물론 터무니없게 들립니다). 둘째, 일반화하자면 복소수, 지금은 하나가 아닌 세 개가 사용됩니다. 다른(적지 않게 터무니없게 들리는) 가상의 단위. 쿼터니언은 회전과 어떤 관련이 있나요? 오일러의 정리를 통해: 몸체는 방향 벡터를 사용하여 특정 축을 중심으로 특정 각도를 통과하는 최종 회전을 통해 항상 한 방향에서 다른 방향으로 이동할 수 있습니다. 이러한 각도와 축은 쿼터니언으로 결합될 수 있습니다. 행렬과 마찬가지로 쿼터니언을 사용하여 벡터를 한 좌표계에서 다른 좌표계로 직접 변환할 수 있습니다. 보시다시피 방향의 쿼터니언 표현도 중복성 문제를 겪지만 행렬 표현보다 훨씬 적습니다. 추가 매개변수가 하나뿐입니다. 쿼터니언에 대한 자세한 리뷰는 이미 Habré에 게시되었습니다. 기하학과 3D 그래픽에 대한 이야기가 있었습니다. 쿼터니언의 변화율은 측정된 각속도와 관련되어야 하기 때문에 우리는 운동학에도 관심이 있습니다. 해당 운동 방정식의 형식은 다음과 같습니다. 여기서 벡터는 스칼라 부분이 0인 쿼터니언으로도 간주됩니다.

필터 회로

방향을 계산하는 가장 순진한 접근 방식은 운동 방정식으로 무장하고 그에 따라 원하는 매개변수 세트를 업데이트하는 것입니다. 예를 들어 회전 행렬을 선택한 경우 C += C * Omega * dt 와 같은 루프를 작성할 수 있습니다. 결과는 실망스러울 것이다. 자이로스코프, 특히 MEMS는 영점 오프셋이 크고 불안정합니다. 결과적으로 완전히 정지한 상태에서도 계산된 방향에는 무한히 누적되는 오류(드리프트)가 발생합니다. Mahoney, Majwick 및 나를 포함한 다른 많은 사람들이 발명한 모든 트릭은 가속도계, 자력계, GNSS 수신기, 로그 등의 측정을 포함하여 이러한 드리프트를 보상하는 것을 목표로 했습니다. 이것이 간단한 기본 원리를 바탕으로 전체 방향 필터 제품군이 탄생한 방식입니다.

기초 원리.방향 드리프트를 보상하려면 자이로스코프에 의해 측정된 각속도에 다른 센서의 벡터 측정을 기반으로 구성된 추가 제어 각속도를 추가해야 합니다. 제어 각속도 벡터는 측정된 벡터의 방향을 알려진 실제 방향과 결합하도록 노력해야 합니다.

이는 칼만 필터의 수정 항 구성과는 완전히 다른 접근 방식을 포함합니다. 주요 차이점은 제어 각속도가 용어가 아니라 승수추정된 값(행렬 또는 쿼터니언)에서. 이는 다음과 같은 중요한 이점을 제공합니다.

• 추정 필터는 방향 자체에 대해 구축될 수 있으며 자이로스코프에 의해 제공된 방향과의 작은 편차에 대해서는 구축될 수 없습니다. 이 경우 추정된 수량은 자동으로 문제에 따른 모든 요구 사항을 충족합니다. 즉, 행렬은 직교하고 쿼터니언은 정규화됩니다.
• 제어 각속도의 물리적 의미는 칼만 필터의 보정 항보다 훨씬 명확합니다. 모든 조작은 추상적인 다차원 상태 공간이 아닌 일반적인 3차원 물리적 공간에서 벡터와 행렬을 사용하여 수행됩니다. 이를 통해 필터의 개선 및 구성이 크게 단순화되고, 보너스로 고차원 행렬과 무거운 행렬 라이브러리를 제거할 수 있습니다.

이제 이 아이디어가 특정 필터 옵션에서 어떻게 구현되는지 살펴보겠습니다.

마호니 필터. Mahoney의 원본 논문에 있는 놀라운 수학은 모두 간단한 방정식을 정당화하기 위해 작성되었습니다(32). 이를 우리 표기법으로 다시 작성해 보겠습니다. 자이로스코프 제로 변위의 추정을 무시하면 회전 행렬에 대한 실제 운동 방정식(행렬 형태의 각속도 제어)과 바로 이 속도의 형성 법칙이라는 두 가지 주요 방정식이 남습니다. 벡터의. 단순화를 위해 가속도나 자기 간섭이 없다고 가정하고 이로 인해 가속도 측정이 가능합니다. 자유 낙하가속도계와 자력계를 통한 지구 자기장의 강도. 두 벡터 모두 관련 좌표계의 센서로 측정되며 지리 시스템에서 해당 위치는 위쪽, 자북 방향으로 알려져 있습니다. 그러면 Mahoney 필터 방정식은 다음과 같습니다.

두 번째 방정식을 자세히 살펴보겠습니다. 우변의 첫 번째 항은 교차곱입니다. 첫 번째 요소는 측정된 중력 가속도이고 두 번째 요소는 실제 요소입니다. 승수는 동일한 좌표계에 있어야 하므로 두 번째 승수는 을 곱하여 관련 시스템으로 변환됩니다. 외적(cross product)으로 구성된 각속도는 인자 벡터의 평면에 수직입니다. 승수 벡터가 방향과 일치할 때까지 관련 좌표계의 계산된 위치를 회전할 수 있습니다. 그러면 벡터 곱이 0으로 재설정되고 회전이 중지됩니다. 계수는 그러한 피드백의 심각도를 지정합니다. 두 번째 항은 자기 벡터와 유사한 작업을 수행합니다. 본질적으로 Mahoney 필터는 잘 알려진 주제를 구현합니다. 두 개의 서로 다른 좌표계에서 두 개의 비공선형 벡터에 대한 지식을 사용하면 이러한 시스템의 상호 방향을 명확하게 복원할 수 있습니다. 벡터가 세 개 이상인 경우 이는 유용한 측정 중복성을 제공합니다. 벡터가 하나만 있는 경우 하나의 회전 자유도(이 벡터 주위의 동작)를 고정할 수 없습니다. 예를 들어, 벡터만 주어지면 롤과 피치 드리프트는 수정될 수 있지만 헤딩 드리프트는 수정될 수 없습니다.

물론 Mahoney 필터에서는 회전 행렬을 사용할 필요가 없습니다. 비정규 쿼터니언 변형도 있습니다.

가상 자이로 플랫폼. Mahoney 필터에서는 관련 좌표계에 제어 각속도를 적용했습니다. 그러나 이를 지리 좌표계의 계산된 위치에 적용할 수도 있습니다. 그러면 운동 방정식은 다음과 같은 형식을 취하게 됩니다.

이 접근법은 매우 유익한 물리적 유추의 길을 열어준다는 것이 밝혀졌습니다. 짐벌의 자이로 안정화 플랫폼을 기반으로 한 방향 및 관성 내비게이션 시스템 등 자이로 스코프 기술이 어디서 시작되었는지 기억하는 것만으로도 충분합니다.

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그곳에서 플랫폼의 임무는 지리좌표계를 구현하는 것이었다. 캐리어의 방향은 짐벌 프레임의 각도 센서를 통해 이 플랫폼을 기준으로 측정되었습니다. 자이로스코프가 표류하면 플랫폼도 함께 표류하고 각도 센서 판독값에 오류가 누적됩니다. 이러한 오류를 제거하기 위해 우리는 피드백플랫폼에 설치된 가속도계에서. 예를 들어, 북쪽 축을 중심으로 수평선에서 플랫폼의 편차는 동쪽 축의 가속도계에 의해 감지되었습니다. 이 신호를 통해 제어 각속도를 설정하고 플랫폼을 수평선으로 되돌릴 수 있습니다.

우리는 작업에서 동일한 시각적 개념을 사용할 수 있습니다. 그러면 작성된 운동 방정식을 다음과 같이 읽어야 합니다. 방향 변화율은 두 방정식의 차이입니다. 회전 운동- 캐리어의 절대 운동(첫 번째 항)과 가상 자이로플랫폼의 절대 운동(두 번째 항). 비유는 제어 각속도의 형성 법칙으로 확장될 수 있습니다. 벡터는 자이로 플랫폼에 있는 것으로 추정되는 가속도계의 판독값을 나타냅니다. 그런 다음 물리적 고려 사항을 통해 다음과 같이 작성할 수 있습니다.

Mahony 필터의 정신으로 벡터 곱셈을 수행하면 형식적인 방식으로 정확히 동일한 결과에 도달할 수 있지만 이제는 연결된 것이 아니라 지리 좌표계에서 수행됩니다. 이것이 정말로 필요한가?

플랫폼과 스트랩다운 관성 항법 사이의 유용한 비유에 대한 첫 번째 힌트는 고대 보잉 특허에서 나타나는 것으로 보입니다. 그런 다음이 아이디어는 Salychev에 의해 적극적으로 개발되었으며 최근에는 저도 마찬가지입니다. 이 접근 방식의 확실한 장점은 다음과 같습니다.

• 제어 각속도는 이해 가능한 물리적 원리를 기반으로 생성될 수 있습니다.
• 당연히 수평 채널과 방향 채널은 분리되어 있으며 속성과 수정 방법이 매우 다릅니다. Mahoney 필터에서는 혼합되어 있습니다.
• 관련 축이 아닌 지리적으로 정밀하게 제공되는 GNSS 데이터를 이용하면 가속도 영향을 보상하는 데 편리합니다.
• 지구의 모양과 회전을 고려해야 하는 고정밀 관성항법의 경우에는 알고리즘을 일반화하기 쉽습니다. 나는 Mahoney의 계획에서 이것을 어떻게 수행할지 전혀 모릅니다.

마이빅 필터. Majwick은 어려운 길을 선택했습니다. Mahoney가 직관적으로 결정을 내리고 이를 수학적으로 정당화했다면 Majwick은 처음부터 자신이 형식주의자임을 보여주었습니다. 그는 최적화 문제를 맡았습니다. 그는 이렇게 추론했습니다. 회전 쿼터니언으로 방향을 설정해 보겠습니다. 이상적인 경우에는 일부 측정된 벡터의 계산된 방향(우리가 갖고 있음)이 실제 벡터와 일치합니다. 그러면 그렇게 될 것입니다. 실제로는 항상 달성할 수 있는 것은 아니지만(특히 벡터가 3개 이상인 경우) 정확한 동일성에서 벗어나는 것을 최소화하려고 노력할 수 있습니다. 이를 위해 최소화 기준을 도입합니다.

최소화하려면 경사 하강이 필요합니다. 즉 경사와 반대 방향으로 작은 단계로 이동합니다. 기능이 가장 빠르게 증가하는 것과 반대입니다. 그건 그렇고, Majvik은 실수를 범합니다. 그의 모든 작업에서 그는 실제로 정확하게 계산하지만 을 전혀 입력하지 않고 대신 지속적으로 씁니다.

경사 하강법은 궁극적으로 다음 조건으로 이어집니다. 방향 드리프트를 보상하려면 운동 방정식의 쿼터니언 변화율에 비례하는 새로운 음수 항을 추가해야 합니다.

여기서 Majwick은 우리의 "기본 원리"에서 약간 벗어났습니다. 그는 각속도가 아니라 쿼터니언의 변화율에 수정 항을 추가했는데 이는 정확히 같은 것이 아닙니다. 결과적으로 업데이트된 쿼터니언은 더 이상 단위가 아니므로 방향을 나타내는 기능을 잃게 될 수 있습니다. 따라서 Majwick 필터의 경우 쿼터니언의 인위적인 정규화는 필수적인 작업인 반면, 다른 필터의 경우에는 선택 사항이 아닌 바람직합니다.

가속도의 영향

지금까지 실제 가속도는 없으며 가속도계는 중력에 의한 가속도만 측정하는 것으로 가정했습니다. 이를 통해 수직 기준을 확보하고 이를 사용하여 롤 및 피치 드리프트를 보상하는 것이 가능해졌습니다. 그러나 일반적으로 가속도계는 작동 원리에 관계없이 다음을 측정합니다. 겉보기 가속도- 실제 가속도와 자유 낙하 가속도의 벡터 차이. 겉보기 가속도의 방향은 수직 방향과 일치하지 않으며 가속도로 인한 오차는 롤 및 피치 추정에 나타납니다.

이는 가상 자이로스코프의 비유를 사용하여 쉽게 설명할 수 있습니다. 보정 시스템은 플랫폼에 설치된 가속도계의 신호가 재설정되는 각도 위치에서 플랫폼이 멈추도록 설계되었습니다. 측정된 벡터가 가속도계의 감도 축에 수직이 될 때. 가속도가 없으면 이 위치는 수평선과 일치합니다. 수평 가속이 발생하면 자이로플랫폼이 편향됩니다. 자이로플랫폼은 감쇠가 심한 진자 또는 수직선과 유사하다고 말할 수 있습니다.

Majwick 필터에 대한 게시물의 댓글에는 이 필터가 예를 들어 Mahoney 필터보다 가속도에 덜 민감하기를 바랄 수 있는지에 대한 질문이 있었습니다. 불행하게도 여기에 설명된 모든 필터는 동일한 물리적 원리를 이용하므로 동일한 문제를 안고 있습니다. 수학으로 물리학을 속일 수는 없습니다. 그러면 무엇을 해야 할까요?

가장 간단하고 조잡한 방법은 항공 자이로미터를 위해 지난 세기 중반에 발명되었습니다. 코스의 가속 또는 각속도(회전 진입을 나타냄)가 있을 때 제어 각속도를 줄이거 나 완전히 재설정하는 것입니다. 동일한 방법을 현재의 플랫폼 없는 시스템으로 이전할 수 있습니다. 이 경우 가속도는 , 가 아닌 의 값으로 판단해야 하며, 이 값 자체는 0이 됩니다. 그러나 크기 면에서 제거해야 하는 자이로 플랫폼의 기울기 때문에 발생하는 중력 가속도의 투영과 실제 가속도를 구별하는 것이 항상 가능한 것은 아닙니다. 따라서 이 방법은 안정적으로 작동하지 않지만 추가 센서가 필요하지 않습니다.

보다 정확한 방법은 GNSS 수신기의 외부 속도 측정을 사용하는 것입니다. 속도를 알면 수치적으로 미분할 수 있고 실제 가속도를 얻을 수 있습니다. 그러면 캐리어의 움직임에 관계없이 그 차이는 정확히 동일할 것입니다. 수직 표준으로 사용할 수 있습니다. 예를 들어, 자이로플랫폼의 제어 각속도를 다음 형식으로 설정할 수 있습니다.

센서 영점 오프셋

소비자용 자이로스코프와 가속도계의 슬픈 특징은 시간과 온도에서 제로 오프셋이 크게 불안정하다는 것입니다. 이를 제거하려면 공장이나 실험실 교정만으로는 충분하지 않습니다. 작동 중에 추가 평가가 필요합니다.

자이로스코프.자이로스코프의 영점 오프셋을 다루겠습니다. 관련 좌표계의 계산된 위치는 두 가지 반대 요인(자이로스코프의 제로 변위 및 제어 각속도)에 의해 결정되는 각속도를 사용하여 실제 위치에서 멀어집니다. 수정 시스템(예: Mahoney 필터)이 드리프트를 중지한 경우 정상 상태는 다음과 같습니다. 즉, 제어 각속도에는 알려지지 않은 작용 외란에 대한 정보가 포함됩니다. 그러므로 신청하시면 됩니다 보상 평가: 우리는 교란의 규모를 직접적으로 알지 못하지만 균형을 맞추려면 어떤 시정 조치가 필요한지 알고 있습니다. 이는 자이로스코프의 영점 오프셋을 추정하기 위한 기초입니다. 예를 들어 Mahoney의 점수는 법에 따라 업데이트됩니다.

그러나 그의 결과는 이상했습니다. 추정치는 0.04 rad/s에 도달했습니다. 최악의 자이로스코프에서도 이러한 제로 오프셋의 불안정성은 발생하지 않습니다. 나는 Mahoney가 GNSS나 기타 외부 센서를 사용하지 않고 가속 효과로 인해 어려움을 겪고 있다는 사실 때문에 문제가 발생했다고 생각합니다. 가속도가 해를 끼치 지 않는 수직 축에서만 추정치가 다소 합리적으로 보입니다.

마호니 외., 2008

가속도계.가속도계 영점 오프셋을 추정하는 것은 훨씬 더 어렵습니다. 이에 대한 정보는 동일한 제어 각속도에서 추출되어야 합니다. 그러나 직선 운동가속도계 제로 시프트의 효과는 캐리어가 기울어지거나 센서 장치가 비뚤어지게 설치된 것과 구별할 수 없습니다. 가속도계에는 첨가제가 생성되지 않습니다. 첨가제는 회전할 때만 나타나므로 자이로스코프와 가속도계의 오류를 분리하고 독립적으로 평가할 수 있습니다. 이것이 어떻게 이루어질 수 있는지에 대한 예가 내 기사에 나와 있습니다. 거기에서 찍은 사진은 다음과 같습니다.

결론 대신 칼만 필터는 어떻습니까?

여기에 설명된 필터는 속도, 코드의 압축성 및 구성 용이성 측면에서 기존 Kalman 필터에 비해 거의 항상 이점을 갖는다는 점은 의심할 여지가 없습니다. 이것이 필터가 만들어진 이유입니다. 평가의 정확성에 관해서는 여기에서 모든 것이 그렇게 명확하지 않습니다. 가상 자이로 플랫폼을 사용하는 필터에 비해 정확도가 눈에 띄게 떨어지는 제대로 설계되지 않은 Kalman 필터를 발견했습니다. Majwick은 또한 다음과 관련하여 필터의 이점을 입증했습니다. 일부칼만 추정. 그러나 동일한 방향 추정 문제에 대해 최소한 12개 이상의 서로 다른 칼만 필터 회로를 구성하는 것이 가능하며 각 회로에는 무한한 수의 구성 옵션이 있습니다. Mahoney나 Majwick 필터가 더 정확할 것이라고 생각할 이유가 없습니다. 가능한 최선칼만 필터. 물론 Kalman 접근 방식은 항상 보편성의 이점을 갖습니다. 즉, 평가되는 시스템의 특정 동적 속성에 엄격한 제한을 가하지 않습니다.