2개의 부분 파생물. 온라인으로 함수의 미분을 계산합니다. 마찬가지로, y에 대한 z의 부분 증가를 얻습니다.

그리고 아무것도 찾을 필요가 없습니다. 별도의 기사에서 이를 수행할 수 있도록 모든 것을 이미 준비했습니다. 이제 부분 파생 상품에 대해 이야기하겠습니다.

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둘 이상의 변수의 기능

편도함수에 대해 이야기하기 전에 여러 변수의 함수 개념을 살펴봐야 합니다. 이 개념이 없으면 편도함수에는 의미가 없습니다. 학교에서 우리는 하나의 변수의 함수를 다루는 데 익숙합니다.

우리는 이전에 그러한 함수의 파생물을 고려했습니다. 일변수 함수의 그래프는 직선, 포물선, 쌍곡선 등 평면 위의 선입니다.

다른 변수를 추가하면 어떻게 될까요? 다음과 같은 기능을 얻게 됩니다:

두 개의 독립변수의 함수이다. 엑스그리고 와이. 이러한 함수의 그래프는 3차원 공간의 표면입니다. 즉, 진공 속의 공, 쌍곡면, 포물면 또는 기타 구형 말입니다. 편도함수 지 X와 Y는 각각 다음과 같이 작성됩니다.

3개 이상의 변수로 구성된 함수도 있습니다. 사실, 그러한 함수의 그래프를 그리는 것은 불가능합니다. 이를 위해서는 최소한 4차원 공간이 필요하며, 이는 묘사할 수 없습니다.

1차 편도함수

주요 규칙을 기억합시다.

변수 중 하나에 대한 편도함수를 계산할 때 두 번째 변수는 상수로 사용됩니다. 그렇지 않으면 미분 계산 규칙이 변경되지 않습니다.

즉, 편도함수는 본질적으로 일반 도함수와 다르지 않습니다. 그러니 파생상품표를 눈앞에 두세요. 기본 기능일반 파생 상품 계산 규칙. 완전히 명확하게 설명하기 위해 예를 살펴보겠습니다. 다음 함수의 1차 편도함수를 계산해야 한다고 가정해 보겠습니다.

먼저, y를 일반 숫자로 간주하여 x에 대한 편도함수를 구해 보겠습니다.

이제 x를 상수로 사용하여 y에 대한 편도함수를 계산합니다.

보시다시피 이것에 대해 복잡한 것은 없으며 성공이 더 중요합니다. 복잡한 예– 연습의 문제일 뿐입니다.

2차 편도함수

2차 편도함수는 어떻게 구하나요? 첫 번째와 동일합니다. 2차 편도함수를 찾으려면 1차 도함수의 도함수를 취하면 됩니다. 위의 예로 돌아가서 2차 편도함수를 계산해 보겠습니다.

게이머별:

3차 이상 부분 도함수는 계산 원리가 다르지 않습니다. 규칙을 체계화해 보겠습니다.

하나의 독립변수로 미분할 때 두 번째 독립변수는 상수로 간주됩니다.
2차 도함수는 1차 도함수의 도함수입니다. 3차 – 2차 도함수의 도함수 등

편도함수와 총미분함수

실제 작업에서 일반적인 질문은 함수의 전체 미분을 찾는 것입니다. 여러 변수로 구성된 함수의 경우 총 미분은 인수 증분에 대한 함수의 작은 총 증분의 주요 선형 부분으로 정의됩니다.

정의는 번거롭게 들리지만 문자를 사용하면 모든 것이 더 간단합니다. 여러 변수로 구성된 함수의 1차 총 미분은 다음과 같습니다.

부분 도함수를 계산하는 방법을 알면 총 미분을 계산하는 데 문제가 없습니다.

부분 파생 상품은 그렇게 쓸모없는 주제가 아닙니다. 예를 들어, 2차 편미분 방정식은 실제 물리적 과정을 수학적으로 설명하는 데 널리 사용됩니다.

여기서 우리는 1차와 2차 부분도함수에 대한 일반적이고 피상적인 아이디어만을 제시했습니다. 이 주제에 관심이 있거나 구체적인 질문이 있습니까? 의견을 통해 질문하고 전문 학생 서비스 전문가에게 문의하여 학업에 대한 자격을 갖춘 긴급 지원을 받으십시오. 우리와 함께라면 당신은 문제에 홀로 남겨지지 않을 것입니다!

수학의 물리적 문제나 예를 해결하는 것은 도함수와 이를 계산하는 방법에 대한 지식 없이는 완전히 불가능합니다. 미분은 수학적 분석에서 가장 중요한 개념 중 하나입니다. 우리는 오늘의 기사를 이 근본적인 주제에 전념하기로 결정했습니다. 도함수란 무엇이며, 물리적, 기하학적 의미는 무엇이며, 함수의 도함수를 계산하는 방법은 무엇입니까? 이 모든 질문은 하나로 결합될 수 있습니다: 파생 상품을 이해하는 방법은 무엇입니까?

도함수의 기하학적, 물리적 의미

기능이 있다고 하자 에프엑스(f(x)) , 특정 간격으로 지정 (a, b) . 점 x와 x0은 이 구간에 속합니다. x가 변경되면 함수 자체가 변경됩니다. 인수 변경 - 값의 차이 x-x0 . 이 차이는 다음과 같이 쓰여진다. 델타 x 인수 증가라고 합니다. 함수의 변경 또는 증가는 두 지점에서 함수 값의 차이입니다. 파생상품의 정의:

한 지점에서 함수의 도함수는 인수가 0이 되는 경향이 있을 때 인수의 증가에 대한 주어진 지점에서 함수의 증가 비율의 한계입니다.

그렇지 않으면 다음과 같이 작성할 수 있습니다.

그러한 한계를 찾는 이유는 무엇입니까? 그리고 그 내용은 다음과 같습니다.

한 점에서 함수의 도함수는 OX 축 사이 각도의 탄젠트와 주어진 점에서 함수 그래프의 탄젠트와 같습니다.

파생어의 물리적 의미: 시간에 대한 경로의 미분은 직선 운동의 속도와 같습니다.

사실 학창 시절부터 속도는 특정한 길이라는 것을 모두가 알고 있습니다. x=f(t) 그리고 시간 티 . 특정 기간 동안의 평균 속도:

순간의 이동 속도를 알아보려면 t0 한도를 계산해야 합니다.

규칙 1: 상수를 설정하세요

상수는 도함수 기호에서 제외될 수 있습니다. 게다가 이것은 반드시 이루어져야 합니다. 수학의 예를 풀 때 원칙적으로 다음을 따르십시오. 표현식을 단순화할 수 있다면 단순화하세요. .

예. 미분을 계산해 봅시다:

규칙 2: 함수 합의 도함수

두 함수의 합의 미분은 이러한 함수의 미분의 합과 같습니다. 함수의 차의 미분에 대해서도 마찬가지이다.

우리는 이 정리에 대한 증거를 제시하지 않고 실제적인 예를 고려해 보겠습니다.

함수의 도함수를 구합니다:

규칙 3: 함수 곱의 도함수

두 개의 미분 가능한 함수의 곱의 미분은 다음 공식으로 계산됩니다.

예: 함수의 도함수 찾기:

해결책:

여기서는 복잡한 함수의 미분 계산에 관해 이야기하는 것이 중요합니다. 유도체 복잡한 기능는 중간 인수에 대한 이 함수의 도함수와 독립 변수에 대한 중간 인수의 도함수를 곱한 것과 같습니다.

위의 예에서 우리는 다음과 같은 표현을 발견했습니다.

이 경우 중간 인수는 8x의 5승입니다. 이러한 식의 도함수를 계산하기 위해 먼저 중간 인수에 대한 외부 함수의 도함수를 계산한 다음 독립 변수에 대한 중간 인수 자체의 도함수를 곱합니다.

규칙 4: 두 함수의 몫의 도함수

두 함수의 몫의 도함수를 결정하는 공식:

우리는 인형 파생상품에 대해 처음부터 이야기하려고 했습니다. 이 주제는 보기만큼 간단하지 않으므로 주의하세요. 예제에는 종종 함정이 있으므로 도함수를 계산할 때 주의하세요.

이 주제와 기타 주제에 관해 궁금한 점이 있으면 학생 서비스에 문의하세요. 짧은 시간 안에, 이전에 미분 계산을 해본 적이 없더라도 가장 어려운 테스트를 해결하고 작업을 이해할 수 있도록 도와드립니다.

여러 변수의 함수의 부분 도함수는 동일한 변수의 함수입니다. 이러한 함수는 차례로 부분 도함수를 가질 수 있으며, 이를 원래 함수의 2차 부분 도함수(또는 2차 부분 도함수)라고 부릅니다.

예를 들어, 두 변수의 함수에는 다음과 같이 정의되고 표시되는 4개의 2차 편도함수가 있습니다.

세 변수의 함수에는 9개의 2차 편도함수가 있습니다.

여러 변수의 함수의 3차 이상의 부분 도함수는 유사하게 정의되고 표시됩니다. 여러 변수의 함수 차수의 부분 도함수는 동일한 차수의 편도함수의 1차 부분 도함수입니다. 기능.

예를 들어, 함수의 3차 편도함수는 2차 편도함수의 y에 대한 1차 편도함수입니다.

여러 다른 변수에 대해 취해진 2차 이상의 편도함수를 혼합 편도함수라고 합니다.

예를 들어, 편도함수

두 변수 함수의 혼합 편도함수입니다.

예. 함수의 혼합 2차 편도함수 찾기

해결책. 1차 부분도함수 찾기

그런 다음 2차 혼합 편도함수를 찾습니다.

미분의 순서, 즉 다양한 변수에 대해 미분을 진행하는 순서만 서로 다른 혼합 부분도함수는 동일하게 나타나는 것을 알 수 있다. 이 결과는 우연이 아닙니다. 혼합 편도함수와 관련하여 다음 정리가 성립하며 우리는 이를 증명 없이 받아들입니다.

부분 도함수는 여러 변수의 함수와 관련된 문제에 사용됩니다. 찾기 규칙은 단일 변수의 함수와 완전히 동일합니다. 유일한 차이점은 미분 시 변수 중 하나가 상수(상수)로 간주되어야 한다는 것입니다.

공식

두 변수 $ z(x,y) $의 함수에 대한 편미분은 $ z"_x, z"_y $ 형식으로 작성되며 공식을 사용하여 찾습니다.

1차 편도함수

$$ z"_x = \frac(\partial z)(\partial x) $$

$$ z"_y = \frac(\partial z)(\partial y) $$

2차 편도함수

$$ z""_(xx) = \frac(\partial^2 z)(\partial x \partial x) $$

$$ z""_(yy) = \frac(\partial^2 z)(\partial y \partial y) $$

혼합 파생상품

$$ z""_(xy) = \frac(\partial^2 z)(\partial x \partial y) $$

$$ z""_(yx) = \frac(\partial^2 z)(\partial y \partial x) $$

복소 함수의 편도함수

a) $ z (t) = f(x(t), y(t)) $라고 하면 복소 함수의 미분은 다음 공식에 의해 결정됩니다.

$$ \frac(dz)(dt) = \frac(\partial z)(\partial x) \cdot \frac(dx)(dt) + \frac(\partial z)(\partial y) \cdot \frac (dy)(dt)$$

b) $ z (u,v) = z(x(u,v),y(u,v)) $라고 하면 함수의 부분 도함수는 다음 공식으로 구됩니다.

$$ \frac(\partial z)(\partial u) = \frac(\partial z)(\partial x) \cdot \frac(\partial x)(\partial u) + \frac(\partial z)( \partial y) \cdot \frac(\partial y)(\partial u) $$

$$ \frac(\partial z)(\partial v) = \frac(\partial z)(\partial x) \cdot \frac(\partial x)(\partial v) + \frac(\partial z)( \partial y) \cdot \frac(\partial y)(\partial v) $$

암시적 함수의 부분 파생물

a) $ F(x,y(x)) = 0 $, 그러면 $$ \frac(dy)(dx) = -\frac(f"_x)(f"_y) $$

b) $ F(x,y,z)=0 $라고 하면 $$ z"_x = - \frac(F"_x)(F"_z); z"_y = - \frac(F"_y)( F"_z) $$

솔루션의 예

실시예 1
1차 편도함수 찾기 $ z (x,y) = x^2 - y^2 + 4xy + 10 $
해결책
$ x $에 대한 편도함수를 찾기 위해 $ y $를 상수 값(숫자)으로 간주합니다. $$ z"_x = (x^2-y^2+4xy+10)"_x = 2x - 0 + 4y + 0 = 2x+4y $$ $y$에 대한 함수의 편미분을 찾기 위해 $y$를 상수로 정의합니다. $$ z"_y = (x^2-y^2+4xy+10)"_y = -2y+4x $$ 문제를 해결할 수 없다면 저희에게 보내주세요. 상세한 솔루션을 제공해드리겠습니다. 계산 진행 상황과 이득 정보를 볼 수 있습니다. 이렇게 하면 적시에 선생님으로부터 성적을 받는 데 도움이 될 것입니다!
답변
$$ z"_x = 2x+4y; z"_y = -2y+4x $$

실시예 2
2차 함수의 편도함수 찾기 $ z = e^(xy) $
해결책
먼저 1차 도함수를 찾아야 하며, 이를 알면 2차 도함수를 찾을 수 있습니다. $y$를 상수로 둡니다. $$ z"_x = (e^(xy))"_x = e^(xy) \cdot (xy)"_x = 예^(xy) $$ 이제 $ x $를 상수 값으로 설정해 보겠습니다. $$ z"_y = (e^(xy))"_y = e^(xy) \cdot (xy)"_y = xe^(xy) $$ 1차 도함수를 알면 마찬가지로 2차 도함수를 찾을 수 있습니다. $y$를 상수로 설정합니다. $$ z""_(xx) = (z"_x)"_x = (ye^(xy))"_x = (y)"_x e^(xy) + y(e^(xy))"_x = 0 + 너희^(xy)\cdot (xy)"_x = y^2e^(xy) $$ $ x $를 상수로 설정합니다. $$ z""_(yy) = (z"_y)"_y = (xe^(xy))"_y = (x)"_y e^(xy) + x(e^(xy))"_y = 0 + x^2e^(xy) = x^2e^(xy) $$ 이제 남은 것은 혼합 파생 상품을 찾는 것입니다. $ z"_x $를 $ y $로 차별화할 수 있고 $ z"_y $를 $ x $로 차별화할 수 있습니다. 왜냐하면 $ z""_(xy) = z""_(yx) $ 정리에 따르기 때문입니다. $$ z""_(xy) = (z"_x)"_y = (ye^(xy))"_y = (y)"_y e^(xy) + y (e^(xy))"_y = 너희^(xy)\cdot (xy)"_y = yxe^(xy) $$
답변
$$ z"_x = 너희^(xy); z"_y = xe^(xy); z""_(xy) = yxe^(xy) $$

실시예 4
$ 3x^3z - 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5 = 0 $이 암시적 함수 $ F(x,y,z) = 0 $을 정의한다고 가정합니다. 1차 부분도함수를 찾아보세요.
해결책
$ F(x,y,z) = 3x^3z - 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5 = 0 $ 형식으로 함수를 작성하고 도함수를 찾습니다. $$ z"_x (y,z - const) = (x^3 z - 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5)"_x = 3 x^2 z - 4 $$ $$ z"_y (x,y - const) = (x^3 z - 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5)"_y = 3z^2 $$
답변
$$ z"_x = 3x^2 z - 4; z"_y = 3z^2; $$

각 편도함수( 엑스그리고 와이)는 두 변수의 함수 중 다른 변수의 고정 값에 대한 한 변수의 함수의 일반 도함수입니다.

(어디 와이= const),

(어디 엑스= const).

따라서 부분 도함수는 다음을 사용하여 계산됩니다. 한 변수의 함수의 미분을 계산하기 위한 공식 및 규칙, 다른 변수 상수를 고려하면서.

이에 필요한 사례 분석과 최소한의 이론은 필요하지 않지만 문제에 대한 해결책만 필요한 경우 다음으로 이동하십시오. 온라인 편미분 계산기 .

함수에서 상수가 어디에 있는지 추적하는 데 집중하기 어려운 경우 예제의 초안 솔루션에서 고정 값이 있는 변수 대신 임의의 숫자를 대체할 수 있습니다. 그런 다음 편도함수를 다음과 같이 빠르게 계산할 수 있습니다. 하나의 변수 함수의 일반 도함수. 최종 디자인을 완료할 때 상수(고정된 값을 갖는 변수)를 원래 위치로 되돌려 놓는 것만 기억하면 됩니다.

위에 설명된 편도함수의 속성은 시험 문제에 나타날 수 있는 편도함수의 정의를 따릅니다. 따라서 아래 정의에 익숙해지기 위해 이론적 참고 자료를 열 수 있습니다.

기능의 연속성의 개념 지= 에프(엑스, 와이) 점에서 하나의 변수의 함수에 대한 이 개념과 유사하게 정의됩니다.

기능 지 = 에프(엑스, 와이)는 다음과 같은 경우 한 지점에서 연속이라고 합니다.

차이 (2)를 함수의 총 증분이라고 합니다. 지(두 인수의 증가 결과로 얻어집니다).

기능을 부여하자 지= 에프(엑스, 와이) 및 기간

기능이 변경된 경우 지인수 중 하나만 변경될 때 발생합니다. 예를 들어, 엑스, 다른 인수의 고정 값 포함 와이, 그러면 함수는 증분을 받습니다.

기능의 부분적 증가라고 함 에프(엑스, 와이) 에 의해 엑스.

기능 변경을 고려 지인수 중 하나만 변경하면 효과적으로 한 변수의 함수로 변경됩니다.

유한한 한계가 있는 경우

그런 다음 이를 함수의 부분 도함수라고 합니다. 에프(엑스, 와이) 인수로 엑스기호 중 하나로 표시됩니다.

(4)

부분 증분도 비슷하게 결정됩니다. 지에 의해 와이:

부분도함수 에프(엑스, 와이) 에 의해 와이:

(6)

예시 1.

해결책. 변수 "x"에 대한 편도함수를 구합니다.

(와이결정된);

변수 "y"에 대한 편미분을 구합니다.

(엑스결정된).

보시다시피, 변수가 어느 정도 고정되어 있는지는 중요하지 않습니다. 이 경우 편도함수를 찾는 변수의 요소(일반 도함수의 경우처럼)인 특정 숫자일 뿐입니다. . 고정 변수에 부분 도함수를 찾는 변수를 곱하지 않으면 일반 도함수의 경우처럼 어느 정도까지 이 외로운 상수가 사라집니다.

예시 2.주어진 함수

편도함수 찾기

(X 기준) 및 (Y 기준) 및 해당 지점의 값을 계산합니다. ㅏ (1; 2).

해결책. 고정시 와이첫 번째 항의 도함수는 검정력 함수의 도함수로 구됩니다( 한 변수의 미분 함수 표):