Калькулятор вычисляет производные всех элементарных функций, приводя подробное решение. Переменная дифференцирования определяется автоматически.

Производная функции — одно из важнейших понятий в математическом анализе. К появлению производной привели такие задачи, как, например, вычисление мгновенной скорости точки в момент времени , если известен путь в зависимоти от времени , задача о нахождении касательной к функции в точке.

Чаще всего производная функции определяется как предел отношения приращения функции к приращению аргумента, если он существует.

Определение. Пусть функция определена в некоторой окрестности точки . Тогда производной функции в точке называется предел, если он существует

Как вычислить производную функции?

Для того, чтобы научиться дифференцировать функции, нужно выучить и понять правила дифференцирования и научиться пользоваться таблицей производных .

Правила дифференцирования

Пусть и — произвольные дифференцируемые функции от вещественной переменной, — некоторая вещественная постоянная. Тогда

— правило дифференцирования произведения функций

— правило дифференцирования частного функций

0" height="33" width="370" style="vertical-align: -12px;"> — дифференцирование функции с переменным показателем степени

— правило дифференцирования сложной функции

— правило дифференцирования степенной функции

Производная функции онлайн

Наш калькулятор быстро и точно вычислит производную любой функции онлайн. Программа не допустит ошибки при вычислениях производной и поможет избежать долгих и нудных расчётов. Онлайн калькулятор будет полезен и в том случае, когда есть необходимость проверить на правильность своё решение, и если оно неверно, быстро найти ошибку.

На данном уроке мы познакомимся с понятием функции двух переменных, а также подробно рассмотрим наиболее распространенное задание – нахождение частных производных первого и второго порядка, полного дифференциала функции.

Для эффективного изучения нижеизложенного материала Вам необходимо уметь более или менее уверенно находить «обычные» производные функции одной переменной. Научиться правильно обращаться с производными можно на уроках Как найти производную? и Производная сложной функции . Также нам потребуется таблица производных элементарных функций и правил дифференцирования, удобнее всего, если она будет под рукой в распечатанном виде.

Начнем с самого понятия функции двух переменных, постараемся ограничиться минимумом теории, так как сайт имеет практическую направленность. Функция двух переменных обычно записывается как , при этом переменные , называются независимыми переменными или аргументами .

Пример: - функция двух переменных.

Иногда используют запись . Также встречаются задания, где вместо буквы используется буква .

Полезно знать геометрический смысл функций. Функции одной переменной соответствует определенная линия на плоскости, например, – всем знакомая школьная парабола. Любая функция двух переменных с геометрической точки зрения представляет собой поверхность в трехмерном пространстве (плоскости, цилиндры, шары, параболоиды и т.д.). Но, собственно, это уже аналитическая геометрия, а у нас на повестке дня математический анализ.

Переходим к вопросу нахождения частных производных первого и второго порядков. Должен сообщить хорошую новость для тех, кто выпил несколько чашек кофе и настроился на невообразимо трудный материал: частные производные – это почти то же самое, что и «обычные» производные функции одной переменной.

Для частных производных справедливы все правила дифференцирования и таблица производных элементарных функций. Есть только пара небольших отличий, с которыми мы познакомимся прямо сейчас.

Пример 1

Найти частные производные первого и второго порядка функции

Сначала найдем частные производные первого порядка. Их две.

Обозначения:

Или – частная производная по «икс»

Или – частная производная по «игрек»

Начнем с .

Важно! Когда мы находим частную производную по «икс», то переменнаясчитается константой (постоянным числом).

Решаем. На данном уроке будем сразу приводить полное решение, а комментарии давать ниже.

Комментарии к выполненным действиям:

(1) Первое, что мы делаем при нахождении частной производной – заключаем всю функцию в скобки под штрих с подстрочным индексом .

Внимание, важно! Подстрочные индексы НЕ ТЕРЯЕМ по ходу решения. В данном случае, если Вы где-нибудь нарисуете «штрих» без , то преподаватель, как минимум, может поставить рядом с заданием (сразу откусить часть балла за невнимательность).

(2) Используем правила дифференцирования ; . Для простого примера, как этот, оба правила вполне можно применить на одном шаге. Обратите внимание на первое слагаемое: так как считается константой, а любую константу можно вынести за знак производной , то мы выносим за скобки. То есть в данной ситуации ничем не лучше обычного числа. Теперь посмотрим на третье слагаемое : здесь, наоборот, выносить нечего. Так как константа, то – тоже константа, и в этом смысле она ничем не лучше последнего слагаемого – «семерки».

(2) Используем таблицу производных элементарных функций. Мысленно поменяем в таблице все «иксы» на «игреки». То есть данная таблица рАвно справедлива для(и вообще для любой буквы). В данном случае, используемые нами формулы имеют вид: и .

Итак, частные производные первого порядка найдены

Продолжаем всеми любимую тему математического анализа – производные. В данной статье мы научимся находить частные производные функции трёх переменных : первые производные и вторые производные. Что необходимо знать и уметь для освоения материала? Не поверите, но, во-первых, нужно уметь находить «обычные» производные функции одной переменной – на высоком или хотя бы среднем уровне. Если с ними совсем туго, то начните с урока Как найти производную? Во-вторых, очень важно прочитать статью и осмыслить-прорешать если не все, то бОльшую часть примеров. Если это уже сделано, то уверенной походкой идём со мной, будет интересно, даже удовольствие получите!

Методы и принципы нахождения частных производных функции трёх переменных на самом деле очень похожи на частные производные функции двух переменных. Функция двух переменных, напоминаю, имеет вид , где «икс» и «игрек» – независимые переменные. Геометрически функция двух переменных представляет собой некоторую поверхность в нашем трёхмерном пространстве.

Функция трёх переменных имеет вид , при этом переменные называютсянезависимыми переменными или аргументами , переменная называется зависимой переменной или функцией . Например: – функция трёх переменных

А теперь немного о фантастических фильмах и инопланетянах. Часто можно услышать о четырехмерном, пятимерном, десятимерном и т.д. пространствах. Чушь или нет?
Ведь функция трёх переменных подразумевает тот факт, что все дела происходят в четырехмерном пространстве (действительно, переменных же четыре). График функции трёх переменных представляет собой так называемую гиперповерхность . Представить её невозможно, поскольку мы живём в трехмерном пространстве (длина/ширина/высота). Чтобы вам со мной не было скучно, предлагаю викторину. Я задам несколько вопросов, а желающие могут попробовать на них ответить:

– Существует ли в мире четвертое, пятое и т.д. измерения в смысле обывательского понимания пространства (длина/ширина/высота)?

– Можно ли построить четырехмерное, пятимерное и т.д. пространство в широком понимании этого слова? То есть, привести пример такого пространства в нашей жизни.

– Возможно ли путешествие в прошлое?

– Возможно ли путешествие в будущее?

– Существуют ли инопланетяне?

На любой вопрос можно выбрать один из четырёх ответов:
Да / Нет (наукой это запрещено) / Наукой это не запрещено / Не знаю

Кто правильно ответит на все вопросы, тот, скорее всего, обладает некоторой вещью;-)

Ответы на вопросы я постепенно буду выдавать по ходу урока, не пропускайте примеры!

Собственно, полетели. И сразу хорошая новость: для функции трёх переменных справедливы правила дифференцирования и таблица производных . Именно поэтому вам необходимо хорошо управляться с «обычными» производными функций одной переменной. Отличий совсем немного!

Пример 1

Решение: Нетрудно догадаться –для функции трёх переменных существуют три частных производных первого порядка, которые обозначаются следующим образом:

Или – частная производная по «икс»;
или – частная производная по «игрек»;
или – частная производная по «зет».

В ходу больше обозначение со штрихом, но составители сборников, методичек в условиях задач очень любят использовать как раз громоздкие обозначения – так что не теряйтесь! Возможно, не все знают, как правильно читать вслух эти «страшные дроби». Пример: следует читать следующим образом: «дэ у по дэ икс».

Начнём с производной по «икс»: . Когда мы находим частную производную по , то переменныеи считаются константами (постоянными числами). А производная любой константы, о, благодать, равна нулю:

Сразу обратите внимание на подстрочный индекс – никто вам не запрещает помечать, что являются константами. Так даже удобнее, начинающим рекомендую использовать именно такую запись, меньше риск запутаться.

(1) Используем свойства линейности производной, в частности, выносим все константы за знак производной. Обратите внимание, что во втором слагаемом константу выносить не нужно: так как «игрек» является константой, то – тоже константа. В слагаемом за знак производной вынесена «обычная» константа 8 и константа «зет».

(2) Находим простейшие производные, не забывая при этом, что – константы. Далее причесываем ответ.

Частная производная . Когда мы находим частную производную по «игрек», то переменныеи считаются константами:

(1) Используем свойства линейности. И снова заметьте, что слагаемые , являются константами, а значит, за знак производной выносить ничего не нужно.

(2) Находим производные, не забывая, что константы. Далее упрощаем ответ.

И, наконец, частная производная . Когда мы находим частную производную по «зет», то переменныеи считаются константами:

Общее правило очевидно и незатейливо: Когда мы находим частную производную по какой-либо независимой переменной, то две другие независимые переменные считаются константами.

При оформлении данных задач следует быть предельно внимательным, в частности, нельзя терять подстрочные индексы (которые указывают, по какой переменной проводится дифференцирование). Потеря индекса будет ГРУБЫМ НЕДОЧЁТОМ. Хммм…. забавно, если после такого устрашения я их сам где-нибудь их пропущу)

Пример 2

Найти частные производные первого порядка функции трёх переменных

Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока.

Рассмотренные два примера достаточно просты и, решив несколько подобных задачек, даже чайник приноровится расправляться с ними устно.

Для разгрузки вернемся к первому вопросу викторины: Существует ли в мире четвертое, пятое и т.д. измерения в смысле обывательского понимания пространства (длина/ширина/высота)?

Верный ответ: Наукой это не запрещено . Вся фундаментальная математическая аксиоматика, теоремы, математический аппарат прекрасно и непротиворечиво работают в пространстве любой размерности. Не исключено, что где-нибудь во Вселенной существуют неподвластные нашему разуму гиперповерхности, например, четырёхмерная гиперповерхность, которая задается функцией трех переменных . А может быть гиперповерхности рядом с нами или даже мы находимся прямо в них, просто наше зрение, другие органы чувств, сознание способны на восприятие и осмысление только трёх измерений.

Вернемся к примерам. Да, если кто сильно загрузился викториной, ответы на следующие вопросы лучше прочитать после того, как научитесь находить частные производные функции трёх переменных, а то я вам по ходу статьи вынесу весь мозг =)

Помимо простейших Примеров 1,2 на практике встречаются задания, которые можно назвать небольшой головоломкой. Такие примеры, к моей досаде, выпали из поля зрения, когда я создавал урок Частные производные функции двух переменных . Навёрстываем упущенное:

Пример 3

Решение: вроде бы тут «всё просто», но первое впечатление обманчиво. При нахождении частных производных многие будут гадать на кофейной гуще и ошибаться.

Разберём пример последовательно, чётко и понятно.

Начнём с частной производной по «икс». Когда мы находим частную производную по «икс», то переменные считаются константами. Следовательно, показатель нашей функции – тоже константа. Для чайников рекомендую следующий приём решения: на черновике поменяйте константу на конкретное положительное целое число, например, на «пятерку». В результате получится функция одной переменной:
или ещё можно записать так:

Это степенная функция со сложным основанием (синусом). По :

Теперь вспоминаем, что , таким образом:

На чистовике, конечно, решение следует оформить так:

Находим частную производную по «игрек», считаются константами. Если «икс» константа, то – тоже константа. На черновике проделываем тот же трюк: заменим, например, на 3, «зет» – заменим той же «пятёркой». В результате снова получается функция одной переменной:

Это показательная функция со сложным показателем. По правилу дифференцирования сложной функции :

Теперь вспоминаем нашу замену:

Таким образом:

На чистовике, понятно, оформление должно выглядеть, благообразно:

И зеркальный случай с частной производной по «зет» ( – константы):

При определенном опыте проведенный анализ можно проводить мысленно.

Выполняем вторую часть задания – составим дифференциал первого порядка. Это очень просто, по аналогии с функцией двух переменных, дифференциал первого порядка записывается по формуле:

В данном случае:

И делов то. Отмечу, что в практических задачах полный дифференциал 1-го порядка функции трёх переменных требуют составить значительно реже, чем для функции двух переменных.

Забавный пример для самостоятельного решения:

Пример 4

Найти частные производные первого порядка функции трёх переменных и составить полный дифференциал первого порядка

Полное решение и ответ в конце урока. Если возникнут затруднения, используйте рассмотренный «чайниковский» алгоритм, он гарантированно должен помочь. И ещё полезный совет – не спешите . Такие примеры быстро не решаю даже я.

Отвлекаемся и разбираем второй вопрос: Можно ли построить четырехмерное, пятимерное и т.д. пространство в широком понимании этого слова? То есть, привести пример такого пространства в нашей жизни.

Верный ответ: Да . Причём, очень легко. Например, добавляем к длине/ширине/высоте четвёртое измерение – время. Популярное четырехмерное пространство-время и всем известная теория относительности, аккуратно украденная Эйнштейном у Лобачевского, Пуанкаре, Лоренца и Минковского. Тоже не все знают. За что у Эйнштейна Нобелевская премия? В научном мире был страшный скандал, и Нобелевский комитет сформулировал заслугу плагиатора примерно следующим образом: «За общий вклад в развитие физики». Так то оно. Бренд троечника Эйнштейна – чистая раскрутка и пиар.

К рассмотренному четырехмерному пространству легко добавить пятое измерение, например: атмосферное давление. И так далее, так далее, так далее, сколько зададите измерений в своей модели – столько и будет. В широком смысле слова мы живём в многомерном пространстве.

Разберём еще пару типовых задач:

Пример 5

Найти частные производные первого порядка в точке

Решение: Задание в такой формулировке часто встречается на практике и предполагает выполнение следующих двух действий:
– нужно найти частные производные первого порядка;
– нужно вычислить значения частных производных 1-го порядка в точке .

Решаем:

(1) Перед нами сложная функция, и на первом шаге следует взять производную от арктангенса. При этом мы, по сути, невозмутимо используем табличную формулу производной арктангенса . По правилу дифференцирования сложной функции результат необходимо домножить на производную внутренней функции (вложения): .

(2) Используем свойства линейности.

(3) И берём оставшиеся производные, не забывая, что – константы.

По условию задания необходимо найти значение найденной частной производной в точке . Подставим координаты точки в найденную производную:

Преимуществом данного задания является тот факт, что другие частные производные находятся по очень похожей схеме:

Как видите, шаблон решения практически такой же.

Вычислим значение найденной частной производной в точке :

И, наконец, производная по «зет»:

Готово. Решение можно было оформить и по другому: сначала найти все три частные производные, а потом вычислить их значения в точке . Но, мне кажется, приведенный способ удобнее – только нашли частную производную, и сразу, не отходя от кассы, вычислили её значение в точке.

Интересно отметить, что геометрически точка – вполне реальная точка нашего трехмерного пространства. Значения же функции , производных – уже четвертое измерение, и где оно геометрически находится, никто не знает. Как говорится, по Вселенной никто с рулеткой не ползал, не проверял.

Коль скоро снова философская тема пошла, рассмотрим третий вопрос: Возможно ли путешествие в прошлое?

Верный ответ: Нет . Путешествие в прошлое противоречит второму закону термодинамики о необратимости физических процессов (энтропии). Так что не ныряйте, пожалуйста, в бассейн без воды, событие можно открутить назад только в видеозаписи =) Народная мудрость не зря придумала противоположный житейский закон: «Семь раз отмерь, один раз отрежь». Хотя, на самом деле грустная штука, время однонаправлено и необратимо, никто из нас завтра не помолодеет. А различные фантастические фильмы вроде «Терминатора» с научной точки зрения – полная чушь. Абсурд и с точки зрения философии – когда Следствие, вернувшись в прошлое, может уничтожить собственную же Причину. .

Интереснее с производной по «зет», хотя, всё равно почти то же самое:

(1) Выносим константы за знак производной.

(2) Здесь опять произведение двух функций, каждая из которых зависит от «живой» переменной «зет». В принципе, можно использовать формулу производной частного, но проще таки пойти другим путём – найти производную от произведения.

(3) Производная – это табличная производная. Во втором слагаемом – уже знакомая производная сложной функции.

Пример 9

Найти частные производные первого порядка функции трёх переменных

Это пример для самостоятельного решения. Подумайте, как рациональнее находить ту или иную частную производную. Полное решение и ответ в конце урока.

Перед тем как перейти к заключительным примерам урока и рассмотреть частные производные второго порядка функции трёх переменных, всех еще раз взбодрю четвертым вопросом:

Возможно ли путешествие в будущее?

Верный ответ: Наукой это не запрещено . Парадоксально, но не существует математического, физического, химического или другого естественнонаучного закона, который бы запрещал путешествие в будущее! Кажется чушью? Но практически у каждого в жизни бывало предчувствие (причём, не подкрепленное никакими логическими доводами), что произойдет то или иное событие. И оно происходило! Откуда пришла информация? Из будущего? Таким образом, фантастические фильмы о путешествии в будущее, да и, к слову, предсказания всевозможных гадалок, экстрасенсов нельзя назвать таким уж бредом. По крайне мере, наука этого не опровергла. Всё возможно! Так, когда я учился в школе, то компакт диски и плоские мониторы из фильмов казались мне невероятной фантастикой.

Известная комедия «Иван Васильевич меняет профессию» – выдумка наполовину (как максимум). Никакой научный закон не запрещал Ивану Грозному оказаться в будущем, но невозможно, чтобы два перца оказались в прошлом и исполняли обязанности царя.

Частные производные функции двух переменных.
Понятие и примеры решений

На данном уроке мы продолжим знакомство с функцией двух переменных и рассмотрим, пожалуй, самое распространенное тематическое задание – нахождение частных производных первого и второго порядка, а также полного дифференциала функции . Студенты-заочники, как правило, сталкиваются с частными производными на 1 курсе во 2 семестре. Причем, по моим наблюдениям, задание на нахождение частных производных практически всегда встречается на экзамене.

Для эффективного изучения нижеизложенного материала вам необходимо уметь более или менее уверенно находить «обычные» производные функции одной переменной. Научиться правильно обращаться с производными можно на уроках Как найти производную? и Производная сложной функции . Также нам потребуется таблица производных элементарных функций и правил дифференцирования, удобнее всего, если она будет под рукой в распечатанном виде. Раздобыть справочный материал можно на странице Математические формулы и таблицы .

Быстренько повторим понятие функции двух переменных , я постараюсь ограничиться самым минимумом. Функция двух переменных обычно записывается как , при этом переменные , называются независимыми переменными или аргументами .

Пример: – функция двух переменных.

Иногда используют запись . Также встречаются задания, где вместо буквы используется буква .

С геометрической точки зрения функция двух переменных чаще всего представляет собой поверхность трехмерного пространства (плоскость, цилиндр, шар, параболоид, гиперболоид и т. д.). Но, собственно, это уже больше аналитическая геометрия, а у нас на повестке дня математический анализ, который никогда не давал списывать мой вузовский преподаватель является моим «коньком».

Переходим к вопросу нахождения частных производных первого и второго порядков. Должен сообщить хорошую новость для тех, кто выпил несколько чашек кофе и настроился на невообразимо трудный материал: частные производные – это почти то же самое, что и «обычные» производные функции одной переменной .

Для частных производных справедливы все правила дифференцирования и таблица производных элементарных функций . Есть только пара небольших отличий, с которыми мы познакомимся прямо сейчас:

…да, кстати, для этой темы я таки создал маленькую pdf-книжку , которая позволит «набить руку» буквально за пару часов. Но, пользуясь сайтом, вы, безусловно, тоже получите результат – только может чуть медленнее:

Пример 1

Найти частные производные первого и второго порядка функции

Сначала найдем частные производные первого порядка. Их две.

Обозначения :
или – частная производная по «икс»
или – частная производная по «игрек»

Начнем с . Когда мы находим частную производную по «икс», то переменная считается константой (постоянным числом) .

Комментарии к выполненным действиям:

(1) Первое, что мы делаем при нахождении частной производной – заключаем всю функцию в скобки под штрих с подстрочным индексом .

Внимание, важно! Подстрочные индексы НЕ ТЕРЯЕМ по ходу решения. В данном случае, если вы где-нибудь нарисуете «штрих» без , то преподаватель, как минимум, может поставить рядом с заданием (сразу откусить часть балла за невнимательность).

(2) Используем правила дифференцирования , . Для простого примера, как этот, оба правила вполне можно применить на одном шаге. Обратите внимание на первое слагаемое: так как считается константой, а любую константу можно вынести за знак производной , то мы выносим за скобки. То есть в данной ситуации ничем не лучше обычного числа. Теперь посмотрим на третье слагаемое : здесь, наоборот, выносить нечего. Так как константа, то – тоже константа, и в этом смысле она ничем не лучше последнего слагаемого – «семерки».

(3) Используем табличные производные и .

(4) Упрощаем, или, как я люблю говорить, «причесываем» ответ.

Теперь . Когда мы находим частную производную по «игрек», то переменная считается константой (постоянным числом) .

(1) Используем те же правила дифференцирования , . В первом слагаемом выносим константу за знак производной, во втором слагаемом ничего вынести нельзя поскольку – уже константа.

(2) Используем таблицу производных элементарных функций. Мысленно поменяем в таблице все «иксы» на «игреки». То есть данная таблица рАвно справедлива и для (да и вообще почти для любой буквы) . В частности, используемые нами формулы выглядят так: и .

В чём смысл частных производных?

По своей сути частные производные 1-го порядка напоминают «обычную» производную :

– это функции , которые характеризуют скорость изменения функции в направлении осей и соответственно. Так, например, функция характеризует крутизну «подъёмов» и «склонов» поверхности в направлении оси абсцисс, а функция сообщает нам о «рельефе» этой же поверхности в направлении оси ординат.

! Примечание : здесь подразумеваются направления, которые параллельны координатным осям .

В целях лучшего понимания рассмотрим конкретную точку плоскости и вычислим в ней значение функции («высоту»):
– а теперь представьте, что вы здесь находитесь (НА САМОЙ поверхности).

Вычислим частную производную по «икс» в данной точке:

Отрицательный знак «иксовой» производной сообщает нам об убывании функции в точке по направлению оси абсцисс. Иными словами, если мы сделаем маленький-маленький (бесконечно малый) шажок в сторону острия оси (параллельно данной оси) , то спустимся вниз по склону поверхности.

Теперь узнаем характер «местности» по направлению оси ординат:

Производная по «игрек» положительна, следовательно, в точке по направлению оси функция возрастает . Если совсем просто, то здесь нас поджидает подъём в гору.

Кроме того, частная производная в точке характеризует скорость изменения функции по соответствующему направлению. Чем полученное значение больше по модулю – тем поверхность круче, и наоборот, чем оно ближе к нулю – тем поверхность более пологая. Так, в нашем примере «склон» по направлению оси абсцисс более крут, чем «гора» в направлении оси ординат.

Но то были два частных пути. Совершенно понятно, что из точки, в которой мы находимся, (и вообще из любой точки данной поверхности) мы можем сдвинуться и в каком-нибудь другом направлении. Таким образом, возникает интерес составить общую «навигационную карту», которая сообщала бы нам о «ландшафте» поверхности по возможности в каждой точке области определения данной функции по всем доступным путям. Об этом и других интересных вещах я расскажу на одном из следующих уроков, ну а пока что вернёмся к технической стороне вопроса.

Систематизируем элементарные прикладные правила:

1) Когда мы дифференцируем по , то переменная считается константой.

2) Когда же дифференцирование осуществляется по , то константой считается .

3) Правила и таблица производных элементарных функций справедливы и применимы для любой переменной (, либо какой-нибудь другой), по которой ведется дифференцирование.

Шаг второй. Находим частные производные второго порядка. Их четыре.

Обозначения :
или – вторая производная по «икс»
или – вторая производная по «игрек»
или – смешанная производная «икс по игрек»
или – смешанная производная «игрек по икс»

Со второй производной нет никаких проблем. Говоря простым языком, вторая производная – это производная от первой производной .

Для удобства я перепишу уже найденные частные производные первого порядка:

Сначала найдем смешанные производные:

Как видите, всё просто: берем частную производную и дифференцируем ее еще раз, но в данном случае – уже по «игрек».

Аналогично:

В практических примерах можно ориентироваться на следующее равенство :

Таким образом, через смешанные производные второго порядка очень удобно проверить, а правильно ли мы нашли частные производные первого порядка.

Находим вторую производную по «икс».
Никаких изобретений, берем и дифференцируем её по «икс» еще раз:

Аналогично:

Следует отметить, что при нахождении , нужно проявить повышенное внимание , так как никаких чудесных равенств для их проверки не существует.

Вторые производные также находят широкое практическое применение, в частности, они используются в задаче отыскания экстремумов функции двух переменных . Но всему своё время:

Пример 2

Вычислить частные производные первого порядка функции в точке . Найти производные второго порядка.

Это пример для самостоятельного решения (ответы в конце урока). Если возникли трудности с дифференцированием корней, вернитесь к уроку Как найти производную? А вообще, довольно скоро вы научитесь находить подобные производные «с лёту».

Набиваем руку на более сложных примерах:

Пример 3

Проверить, что . Записать полный дифференциал первого порядка .

Решение: Находим частные производные первого порядка:

Обратите внимание на подстрочный индекс: , рядом с «иксом» не возбраняется в скобках записывать, что – константа. Данная пометка может быть очень полезна для начинающих, чтобы легче было ориентироваться в решении.

Дальнейшие комментарии:

(1) Выносим все константы за знак производной. В данном случае и , а, значит, и их произведение считается постоянным числом.

(2) Не забываем, как правильно дифференцировать корни.

(1) Выносим все константы за знак производной, в данной случае константой является .

(2) Под штрихом у нас осталось произведение двух функций, следовательно, нужно использовать правило дифференцирования произведения .

(3) Не забываем, что – это сложная функция (хотя и простейшая из сложных). Используем соответствующее правило: .

Теперь находим смешанные производные второго порядка:

Значит, все вычисления выполнены верно.

Запишем полный дифференциал . В контексте рассматриваемого задания не имеет смысла рассказывать, что такое полный дифференциал функции двух переменных. Важно, что этот самый дифференциал очень часто требуется записать в практических задачах.

Полный дифференциал первого порядка функции двух переменных имеет вид:

В данном случае:

То есть, в формулу нужно тупо просто подставить уже найденные частные производные первого порядка. Значки дифференциалов и в этой и похожих ситуациях по возможности лучше записывать в числителях:

И по неоднократным просьбам читателей, полный дифференциал второго порядка .

Он выглядит так:

ВНИМАТЕЛЬНО найдём «однобуквенные» производные 2-го порядка:

и запишем «монстра», аккуратно «прикрепив» квадраты , произведение и не забыв удвоить смешанную производную:

Ничего страшного, если что-то показалось трудным, к производным всегда можно вернуться позже, после того, как поднимите технику дифференцирования:

Пример 4

Найти частные производные первого порядка функции . Проверить, что . Записать полный дифференциал первого порядка .

Рассмотрим серию примеров со сложными функциями:

Пример 5

Найти частные производные первого порядка функции .

Решение:

Пример 6

Найти частные производные первого порядка функции .
Записать полный дифференциал .

Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока). Полное решение не привожу, так как оно достаточно простое

Довольно часто все вышерассмотренные правила применяются в комбинации.

Пример 7

Найти частные производные первого порядка функции .

(1) Используем правило дифференцирования суммы

(2) Первое слагаемое в данном случае считается константой, поскольку в выражении нет ничего, зависящего от «икс» – только «игреки». Знаете, всегда приятно, когда дробь удается превратить в ноль). Для второго слагаемого применяем правило дифференцирования произведения. Кстати, в этом смысле ничего бы не изменилось, если бы вместо была дана функция – важно, что здесь произведение двух функций, КАЖДАЯ из которых зависит от «икс» , а поэтому, нужно использовать правило дифференцирования произведения. Для третьего слагаемого применяем правило дифференцирования сложной функции.

(1) В первом слагаемом и в числителе и в знаменателе содержится «игрек», следовательно, нужно использовать правило дифференцирования частного: . Второе слагаемое зависит ТОЛЬКО от «икс», значит, считается константой и превращается в ноль. Для третьего слагаемого используем правило дифференцирования сложной функции.

Для тех читателей, которые мужественно добрались почти до конца урока, расскажу старый мехматовский анекдот для разрядки:

Однажды в пространстве функций появилась злобная производная и как пошла всех дифференцировать. Все функции разбегаются кто куда, никому не хочется превращаться! И только одна функция никуда не убегает. Подходит к ней производная и спрашивает:

– А почему это ты от меня никуда не убегаешь?

– Ха. А мне всё равно, ведь я «е в степени икс», и ты со мной ничего не сделаешь!

На что злобная производная с коварной улыбкой отвечает:

– Вот здесь ты ошибаешься, я тебя продифференцирую по «игрек», так что быть тебе нулем.

Кто понял анекдот, тот освоил производные, минимум, на «тройку»).

Пример 8

Найти частные производные первого порядка функции .

Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и образец оформления задачи – в конце урока.

Ну вот почти и всё. Напоследок не могу не обрадовать любителей математики еще одним примером. Дело даже не в любителях, у всех разный уровень математической подготовки – встречаются люди (и не так уж редко), которые любят потягаться с заданиями посложнее. Хотя, последний на данном уроке пример не столько сложный, сколько громоздкий с точки зрения вычислений.

Пример. Найти частные производные функции y x yxz

Решение. Полагая y =const , находимy xy x z

Полагая x =const , находим 2 2) 1 (1 y x x y xx y z

Пример. Найти значения частных производных функции в точке M (1, – 1, 0). xyzyxu)ln(

Решение. Полагая y = const , z = const , находим 10 11 22 1)02(1 22 22 , Ì czy yz yx x yzx yxx u

Аналогично находим 10 11 22 1)20(1 22 22 , M czx xz yx y xzy yxy u 110 , M cyx xyxy z u

Геометрическим смыслом частной производной (например,) является тангенс угла наклона касательной, проведенной в точке M 0 (x 0 , y 0 , z 0) к сечению поверхности плоскостью у = у 0. xz

Предположим, что функция z = f (x , y) имеет непрерывные частные производные), (yxf x z x), (yxf y z y

Эти производные в свою очередь являются функциями независимых переменных x и y. Будем называть и частными производными 1 — го порядка.), (yxf x), (yxf y

Частными производными 2 -го порядка называются частные производные от частных производных 1 -го порядка. Для функции z = f (x , y) двух переменных можно найти четыре частные производные 2 -го порядка, которые обозна-чаются следующим обр-м:

В общем случае смешанные частные производные могут не совпадать, однако для них справедлива теорема: Теорема. Если смешанные частные производные и непрерывны в некоторой точке M (x , y) , то они равны, т. е. xyfyxf), (yxfyxf yxxy

Ч астными производными n – го порядка называются частные производные от частных производных (n – 1)– го порядка. Их обозначают и т. д. 221 , yx z x z n n n

Пример. Найти частные производные 2 -го порядка функции)1 sin(23 xyyxz

Решение. Последовательно находим); 1 cos(3 22 xyyyx x z cy); 1 cos(2 3 xyxyx y z cx

); 1 sin(6)1 cos(3 22 22 2 2 xyyxy xyyyx xx z cy cy); 1 sin()1 cos(6)1 cos(3 2 22 2 xyyx xyyyx z cx cx

)1 sin()1 cos(6 1 cos(2 2 3 2 xyyx xyxyx xxy z cy cy)1 sin(2)1 cos(2 23 3 2 2 xyxx xyxyx yy z cx cx

Рассмотрим функцию z = f (x , y). Дадим аргументу x приращение Δ x , а аргументу y приращение Δ y. Тогда z получит приращение которое называется полным приращением функции z.), (yxfyyxxfz

Предположим, что f (x , y) в точке M (x , y) имеет непрерывные частные производные.

Определение. Дифференциалом 1 -го порядка функции z = f (x , y) называется главная часть полного приращения Δ z этой функции, линейная относительно Δ x и Δ y , обозначается символом dz или df и вычисляется по формуле y y z x x z zd

Так как дифференциалы независимых переменных совпадают с их приращениями, т. е. dx = Δ x , dy = Δ y , то эту формулу можно записать в виде: dy y z dx x z zd

Геометрическим смыслом полного дифференциала функции двух переменных f (x , y) в точке (х 0 , у 0) является приращение аппликаты (координаты z) касательной плоскости к поверхности при переходе от точки (х 0 , у 0) к точке (х 0 + х, у 0 + у).

Геометрический смысл полного дифференциала функции двух переменных является пространственным аналогом геометрического смысла дифференциала функции одной переменной.

Дифференциалом 2 -го порядка функции z = f (x , y) называется дифференциал от ее дифференциала 1 -го порядка и обозначается)(zzddd

Если все частные производные 2 -го порядка функции z = f (x , y) непрерывны, то имеет место формула: 2 2 2 y y z yx yx z x x z zddddd

Пример. Найти дифференциалы 1 -го и 2 -го порядков функции y x yz 2 x

Решение. Найдем частные производные 1 -го и 2 -го порядков: y yx x z 1 2 2 2 y x x y z

; 202 1 2 2 2 yy y xy xx z cy ; 1 2 2 2 y xy yyx z cx 33 22 22 2)2(0 y x yx y x x y y z cy

Следовательно, дифференциалы 1 -го и 2 -го порядков запишутся в виде: dy y x xdx y xyz)() 1 2(d 2 2 2 32 222) 1 2(22 y y x yx y xxyzddddd

Пусть функция f (x , y) дифференцируема в точке (х, у). Найдем полное приращение этой функции:), (yxfyyxxfz zyxfyyxxf), (

Если подставить в эту формулу выражение то получим приближенную формулу: y yf x xf dzz y y yxf x x yxf yyxxf), (

Пример. Вычислить приближенно значение исходя из значения функции при x = 1, y = 2, z = 102, 1 ln 04, 1 99, 1 zxu y ln

Решение. Из заданного выражения определим x = 1, 04 – 1 = 0, 04, y = 1, 99 – 2 = -0, 01, z = 1, 02 – 1 = 0, 02. Найдем значение функции u (x , y , z) = 11 ln

Находим частные производные: 1 12 12 ln 2 1 zx xy x u y y 0 ln 2 ln zx xx y u y y

Полный дифференциал функции u равен: 2 1 ln 2 1 zx z z u y

05, 001, 004, 0 02, 0 21 01, 0004, 01 02, 001, 004, 0 zu yu xudu

Точное значение этого выражения: 1, 049275225687319176. 05, 105, 01)1, 2, 1(02, 1 ln 04, 1 99, 1 duu

Касательной плоскостью к поверхности в ее точке M 0 называется плоскость, которая содержит все касательные к кривым, проведенным на поверхности через эту точку.

Нормалью к поверхности в точке M 0 называется прямая, проходящая через эту точку и перпендикулярная касательной плоскости, проведенной в данной точке.

Если поверхность задана уравнением F (x , y , z) = 0 то уравнение касательной плоскости в точке M 0 (x 0 , y 0 , z 0) имеет вид: 0))((00 0000 zz. MF yy. MFxx. MF z yx

Уравнения нормали, проведенной к поверхности в точке M 0 (x 0 , y 0 , z 0) , запишутся следующим образом:)()()(0 0 0 MF zz MF yy MF xx zyx

Если поверхность задана уравнением z = f (x , y) , то уравнение касательной плоскости в точке M 0 (x 0 , y 0 , z 0) имеет вид:))(, (000 0000 yyyxf xxyxfzz y x

а уравнения нормали запишутся так: 1), (0 00 0 zz yxf yy yxf xx yx

Пример. Составить уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности в точке M 0 (x 0 , y 0 , z 0) , если 01332 22 yzxzxyyx. 1, 2 00 yx

Решение. Подставляя x 0 и y 0 в уравнение поверхности, находим значение z 0: откуда находим z 0 = 1. Следовательно, M 0 (2, – 1, 1) – точка касания. 01)1(32)1(23)1(2400 2 zz

По условию задачи поверхность задана неявно. Обозначим и найдем частные производные в точке M 0 (2, – 1, 1) : 1332), (22 yzxzxyyxzyx.

, 32 zyx. F x 21)1(322)(0 MF x , 334 zxy. F y 51323)1(4)(0 MF y , 3 yx. F z 1)1(32)(0 MF z

Подставля ем найденные значения частных производных в уравнение касательной плоскости 0))((00 0000 zz. MF yy. MFxx. MF z yx

У равнения нормали име ю т вид 1 1 5 1 2 2 zyx

Определение. Функция z = f (x , y) имеет максимум в точке M 0 (x 0 , y 0) , если существует такая окрестность этой точки, что для любых точек M (x , y) из этой окрестности выполняется неравенство), (00 yxfyxf